多元微分学在几何中的应用

切线方程
x x0 y y0 z z0
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程
Fy Gy
Fz Gz
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(x
x0 )
Fz Gz
Fx Gx
0
(y
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
0
(z
z0
)
0
2020年4月5日星期日
4
高等数学（下）主讲杨益民
注意：对于情形3，做题时最好用推导法，而不是死记公式。
显然，只需证明：
r T
nr
（略）
2020年4月5日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
通过M点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。
法线方程： x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
命题： 曲面 上通过M (x0, y0, z0)点的所有曲线在M处的切线都 在同一平面 上，此平面称为 在M点的切平面，其方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
Tn
M
法平面方程： (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0 法向量： n ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
2020年4月5日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
例1
求曲线
:
x
t
0
eu
cos
udu，
y
2sin
t
cos
t,
z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程。
例5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21平行于平面 x 4 y 6z 0 的
切平面方程。
解：
设(x0,
y0,
z0)
为曲面上的切点,
则
2 x0 1
4 y0 4
6z0 6
,
且
x02 2 y02 3z02 21 得所求切点为：(1,2,2), (1,2,2),
与且平面程方程。
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3
高等数学（下）主讲杨益民
3. 空间曲线为一般式方程
F(x, y, z) 0 : G( x, y, z) 0 , P0( x0 , y0 , z0 ) , 则 在P0 (x0, y0, z0)处有
切向量（法向量）：
dy dz T n 1, dx P0 , dx P0
切平面上点的 函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
竖坐标的增量
(1) z=f (x, y)在(x0, y0)的全微分等于曲面z=f (x, y)在点(x0, y0, z0) 处的切平面上的点的竖坐标的增量。
(2) z=f (x, y)在(x0, y0)的全微分存在 曲面z=f (x, y)在点(x0, y0, z0)处的切平面存在。
高等数学（下）主讲杨益民
1. 空间曲线方程为参数方程
x (t)
:
y
(t
)
,
( x0 (t0 ), y0 (t0 ) , z0 (t0 )) ,
则
z (t)
在(x0, y0, z0)处有 切线方程： x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 ) 切向量： T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
例 3 求曲面z ez 2xy 3在(1,2,0)处的切平面及法线方程。
2. 空间曲面方程为： : z f ( x, y), M ( x0 , y0 , z0 )
曲面 在M处的切平面方程为：
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0
例2 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程。
z
注：在方程中一般要求
o
x
y
(t0 ), (t0 ), (t0 ) 不全为0,
如个别为0, 则理解为分子也为 0。
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2
高等数学（下）主讲杨益民
2. 空间曲线方程为
:
y z
(x) (x)
,
( x0 , y0 , z0 ) ,
牢记此时：
dy dz T n 1, dx P0 , dx P0
例2 求曲线 x2 y2 z2 6, x y z 0 在点M ( 1,–2, 1)
处的切线方程与法平面方程。
二、空间曲面的切平面与法线
1. 空间曲面方程为： : F ( x, y, z) 0, M ( x0 , y0 , z0 )
2020年4月5日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
证明： 设曲面上任取一条通过点M的曲线方程为
x (t)
:
y
(t
)
,
M ( x0 , y0 , z0 ) t0
z (t)
n
T
M
则：曲线在M点的切向量为
r
T {(t0 ), (t0 ), (t0 )}
曲面 在M点的切平面 的法向量为
nr Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0, y0, z0 )
则在(x0, y0, z0)处有
切线方程： x x0 y y0 z z0
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程：( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0
例3 求曲线 y 2x, z sin x 在P0 ( , 2 , 0)的切线方
曲面在M处的法线方程为：
x x0 y y0 z z0 fx ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
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高等数学（下）主讲杨益民
例4 求旋转抛物面z=x2+y2-1点(2,1,4)处的切平面及法线方程。
全微分的几何意义：
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
2020年4月5日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
若规定法向量 nr 的方向是向上的（即使得 nr 与z轴正向成锐
角）， 则法向量的方向余弦为：
cos
fx
, cos
fy
, cos
1
1
f
2 x
f
2 y
1
f
2 x
f
2 y
1
f
2 x
f
2 y
r n { fx, fy,1}
其中： f x f x ( x0 , y0 ), f y f y ( x0 , y0 )