多元微分学在几何中的应用
8-6-1多元微分在几何上的应用
三、求出曲线 x t , y t 2 , z t 3 上的点,使在该点的切线平行
于平面 x 2 y z 4 .
z x 2 y 2 的交线在 四、求球面 x y z 6 与抛物面
2 2 2
(1,1,2) 处的切线方程 .
五、求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1上平行于平面 x y 2z 0 的切 平面方程.
6 x 0 2 y0 2 z 0 3 3
y0 x0 ,
z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 x0 2 x0 9 x0 16 0 , 2 2 2 3 x0 2 x0 9 x0 16 0
2.
练习题
例 2 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0 在点(1,2, 1) 处的切 线及法平面方程.
解1 直接利用公式;
解2
将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
dz dy y dx z dx x dy dz 1 dx dx
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线
第八章
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
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一、空间曲线的切线与法平面
x (t ) 设空间曲线的方程 y ( t ) z (t )
解
设 ( x0 , y0 , z0 )
为曲面上的切点,
切平面方程为
2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 6 z0 ( z z0 ) 0
数二考多元函数微分学的几何应用
数二考多元函数微分学的几何应用微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
而多元函数微分学则是微分学的一个延伸，研究的是多个变量的函数的变化规律。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用，尤其在几何学中，可以帮助我们揭示图形的性质和变化规律。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面上的曲线，我们想要研究它的切线方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲线上任意一点的切线方程。
具体的方法是，首先求出曲线的导数，然后将导数代入切线方程的一般式中，即可得到切线方程。
这样，我们就可以通过切线方程来描述曲线的变化情况了。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个三维空间中的曲面，我们想要研究它的切平面方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲面上任意一点的切平面方程。
具体的方法是，首先求出曲面的偏导数，然后将偏导数代入切平面方程的一般式中，即可得到切平面方程。
这样，我们就可以通过切平面方程来描述曲面的变化情况了。
除了切线方程和切平面方程，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲线的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲率可以通过求曲线的二阶导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲线的一阶导数和二阶导数，然后将导数代入曲率公式中，即可得到曲线的曲率。
通过研究曲线的曲率，我们可以揭示曲线的弯曲情况和变化规律。
同样地，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲面的曲率。
曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲面的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲面的曲率可以通过求曲面的二阶偏导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲面的一阶偏导数和二阶偏导数，然后将偏导数代入曲率公式中，即可得到曲面的曲率。
通过研究曲面的曲率，我们可以揭示曲面的弯曲情况和变化规律。
除了切线方程、切平面方程和曲率，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的极值。
极值是描述函数在某个区间内取得最大值或最小值的点，可以帮助我们了解函数的最优解。
多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。
二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用
z z0 (F , G) ( x , y )
M
法平面方程
(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )
M
( y y0 ) ( z z0 ) 0
M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 法平面方程
(F , G) (F , G) ( x x0 ) ( y y0 ) ( y, z ) M ( z , x) M (F , G) ( z z0 ) 0 ( x , y) M
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 例4. 求曲线 x t , y t 2 , z t 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解： x 1, y 2 t , z 3t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量有何特点? 2 3 1 xx 法平面方程为 答: : y ( x ) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
T
M
利用
点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
§ 8.6 向量值函数及多元函数微分学的几何应用 1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设 上的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 对应 t t0 , (t0 ), (t0 ), (t0 )不全
为0, 则 在点M 的导向量为
数学强化班(武忠祥)-高数第八章 向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用第一节 向 量1．数量积1）几何表示：αcos ||||b a b a =⋅. 2) 代数表示: z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ⋅=⋅ii) 分配律: .)(c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 4) 几何应用:i) 求模: a a a ⋅=||ii) 求夹角: ||||cos b a ba ⋅=α iii) 判定两向量垂直: 0=⋅⇔⊥b a b a 2.向量积1) 几何表示 b a ⨯是一向量. 模: αsin ||||||b a b a =⨯. 方向: 右手法则.2) 代数表示: zyx z y xb b b a a a k j ib a =⨯. 3) 运算规律 i) b a ⨯= )(a b ⨯-ii) 分配律: ⨯a (c b +)=b a ⨯+c a ⨯. 4)几何应用:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ⨯.ii) 求以a 和b 为邻边的平行四边形面积:=S |b a ⨯|.iii)判定两向量平行: ⇔b a //0=⨯b a . 3.混合积: c b a abc ⋅⨯=)()( 1) 代数表示:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) 几何应用i) 平行六面体V =|)(|abc .ii)判定三向量共面: c b a ,,共面⇔(abc )=0.题型一 向量运算例8.1 设,2)(=⋅⨯c b a 则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a +⋅⨯+⨯+⨯+⨯=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( a c b c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=⋅⋅+⨯⋅⨯))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ⋅+⨯=⋅⋅+⨯⋅⨯ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=⋅b a ,则=⨯||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解 由于2),cos(==⋅∧b a b a b a ，而2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从而4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=⋅==⨯∧b a b a b a题型二 向量运算的应用及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的角平分线向量且使其模为32。
第二章 多元函数微分法及其应用 第四节 多元函数微分法在几何上的应用
Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 ) 0
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
令 T { ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )}
第 八 章 切向量 T n 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )}
第四节
多元函数微分在几何上的应用
切平面方程
第 八 章
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
多 元 通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线称为曲 函 数 面在该点的法线.法线方程 微 分 x x0 y y0 z z0 法 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 应 用
第 八 章
在
解: 由于
M 0 (0 , R , k ) 2 z
多 对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 元 函 yR zk x 2 切线方程 数 微 0 R k 分 法 k x Rz R k 0 2 即 及 其 yR0 应 用 法平面方程 R x k ( z k ) 0 2
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第四节
多元函数微分在几何上的应用
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M 处的法向量即
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
多元函数微分学的几何应用数二考不考
多元函数微分学的几何应用数二考不考多元函数微分学是数学中的一个重要分支，其主要研究多元函数的导数和微分，以及这些概念在几何上的应用。
它在计算机图形学、物理学、经济学、工程学等领域都有很广泛的应用。
在这篇文章中，我们将着重介绍多元函数微分学在几何上的应用，为数学爱好者提供一些指导。
多元函数微分学中最基本的一些概念包括偏导数和全微分。
偏导数是指一个函数在某个指定的方向上的变化率，它只是函数变化率的一个组成部分，这个方向可以是$x$方向，$y$方向，$z$方向。
全微分则是指函数在一个点处的线性近似，可以看作是$\Delta x$和$\Delta y$的一个组合，其中$\Delta x$和$\Delta y$是$x$和$y$方向上的偏移量，常常用于描述某个变量的微小变化。
几何上，偏导数可以理解为函数曲面在某个方向上的斜率，而全微分可以理解为函数曲面在某个点处的切平面。
利用这些概念，我们可以计算函数曲面在某个点处的各种几何量。
例如，函数$f(x,y)=x^2+y^2$是一个二次函数，它的图像是一个平面上的圆。
在某个点$(x_0,y_0)$处，它的偏导数可以表示为$\frac{\partial f}{\partial x}=2x$和$\frac{\partialf}{\partial y}=2y$。
这些偏导数可以告诉我们在这个点处圆上的切线方向。
同时，此点的全微分可以表示为$df=2x\Delta x+2y\Deltay$，它可以告诉我们在这个点处圆上的切平面。
在三维空间中，函数$f(x,y,z)$表示的是一个三维曲面。
同样可以定义偏导数和全微分。
在某个点$(x_0,y_0,z_0)$处，偏导数可以表示为$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}$，而全微分可以表示为$df=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partialf}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Deltaz$。
§8.6微分学几何应用
r Fy Fz 切向量为: 切向量为 T = , G y Gz M0
切线方程为: 切线方程为
F( x, y, z) = 0 的情形: 的情形 G( x, y, z) = 0
x − x0 y − y0 z − z0 , = = Fy Fz Fx Fy Fz Fx Gy Gz M Gz Gx M0 Gx Gy M
Fz′ |(1, 2 , 0 ) = 1 − e z |(1, 2 , 0 ) = 0,
4( x − 1) + 2( y − 2) + 0 ⋅ ( z − 0) = 0, 2 x + y − 4 = 0, 即 x −1 y − 2 z − 0 . = = 法线方程为: 法线方程为 2 1 0 例5: 求曲面 x2+2y2+3z2=21平行于平面 x+4y+6z=0 平行于平面 的切平面方程. 的切平面方程 )为曲面上的切点 为曲面上的切点, 解: 设(x0, y0, z0)为曲面上的切点, 曲面在该点处的 r 法向量为: 法向量为 n = ( 2 x0 , 4 y0 , 6 z0 ), 切平面方程为: 切平面方程为 2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
§8.6 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线和法平面
定义: 是空间曲线L上的一个定点 是 上 上的一个定点, 定义 设M0是空间曲线 上的一个定点 M是L上 割线M 的极限 的一个动点, 沿曲线L趋于 的一个动点 当M沿曲线 趋于 0时, 割线 0M的极限 沿曲线 趋于M 位置MT0(如果极限存在 称为曲线 在M0处的切线 如果极限存在)称为曲线L在 处的切线. 位置 如果极限存在 称为曲线 z M L 下面导出空间曲线的切线方程. 下面导出空间曲线的切线方程 1. 空间曲线方程为参数方程的情形 空间曲线方程为参数方程的情形: T M x = ϕ(t ) L: y =ψ (t ) (1) o y z = ω(t ) x (1)式中的三个函数均可导 且导数不同时为零 式中的三个函数均可导. 式中的三个函数均可导 且导数不同时为零. 设M0(x0, y0, zo)对应参数 t=t0, M(x0+∆x, y0+∆y, zo+∆z) 对应参数 则割线M 的方程为 的方程为: 对应参数 t=t0+∆t. 则割线 0M的方程为
第3章 多元函数微分学的应用
第3章多元函数微分学的应用第3章多元函数微分学应用§11 空间曲线的切线和法平面过点M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.空间的一条光滑曲线在点M 处的切线，定义为此点处曲线割线的极限位置.ΓTMπ第3章多元函数微分学应用1. 曲线方程为参数方程ΓTX 0Xt =t 0：X 0=(x (t 0), y (t 0), z (t 0))t =t 0+∆t ：X =(x (t 0 +∆t ), y (t 0 +∆t ), z (t 0 +∆t ))⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆+∆-∆+∆-∆+t t z t t z t t y t t y t t x t t x )()(,)()(,)()(000000为X 0X 的一个方向向量，令∆t →0 (X →X 0)，得())(),(),(000t z t y t x '''s =称为曲线Γ在点X 0的一个切向量.这里不全为0，且s 指向曲线Γ的参数t 增加的方向.)(,)(,)(000t z t y t x '''★ ：x =x (t ), y =y (t ), z =z (t )第3章多元函数微分学应用◆曲线Γ在点X 0的切线方程为)()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-或：X -X 0= λ⋅s (-∞<λ<+∞)◆曲线Γ在点X 0的法平面方程为))()(())()(())()((000000=-'+-'+-'t z z t z t y y t y t x x t x 或：s ⋅(X -X 0)= 0例1 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3 在点(1,1,1)处的切线和法平面.第3章多元函数微分学的应用2. 曲线方程为一般方程★ ：y =y (x ), z =z (x )视为参数方程x =x ,y =y (x ), z =z (x )当y =y (x ), z =z (x )可导，则得到 在点X 0(x 0, y (x 0), z(x 0))的切向量())(),(,100x z x y ''=s 于是切线的方程为)()(100000x z z z x y y y x x '-='-=-法平面方程)(0x x -)()(00y y x y -'+0))((00=-'+z z x z第3章多元函数微分学的应用当F , G ∈C 1，且，则在U (X 0)内确定函数y =y (x ), z =z (x )，且★ ：F (x , y , z ) =0, G (x , y , z ) =00),(),(0≠∂∂=Xz y G F J 0),(),(1)(0X x z G F J x y ∂∂='0),(),(1)(0Xy x G F J x z ∂∂='于是得到 在点X 0(x 0, y (x 0), z(x 0))的切向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=00),(),(1,),(),(1,1X X y x G F J x z G F J s 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=000),(),(,),(),(,),(),(X X X y x G F x z G F z y G F s第3章多元函数微分学的应用例2.求曲线0,6222=++=++z y x z y x 在点M ( 1,–2, 1) 处的切线和法平面.第3章多元函数微分学的应用§22 曲面的切平面和法线1. 曲面的切平面和法线设X 0=(x 0, y 0, z 0)为∑上一点，F (x,y,z )=0 在X 0可微,且JF (X 0) ≠0 .设t =t 0对应点为X 0 且不全为0，)(,)(,)(000t z t y t x '''则Γ在X 0 有切向量))(),(),((000t z t y t x '''=s •X 0s★曲面∑：F (x , y , z ) = 0若在∑上过点X 0任意做一条完全在曲面上的曲线Γ：x =x (t ),y =y (t ),z =z (t )，第3章多元函数微分学应用又Γ在∑上，故F (x (t ),y (t ),z (t )) ≡0.上式微分得0d d 0==t t tF 即0)()()()()()(000000=''+''+''t z X F t y X F t x X F z y x 也即0))(),(),(())(),(),((000000='''⋅'''t z t y t x X F X F X F z y x 或JF (X 0) ⋅s = 0•X 0sJF (X 0)由Γ的任意性，知任一过X 0的曲线之切线均与JF (X 0) 垂直，因此这些切线确定一个平面.该平面称为曲面∑在X 0的切平面. JF (X 0) 是其法向量.第3章多元函数微分学应用JF (X 0)亦称曲面∑在X 0的一个法向量，X 0称为切点.•X 0sJF (X 0)记n =JF (X 0) =))(),(),((000X F X F X F z y x '''则切平面方程为n ⋅(X -X 0)=0或0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z X F y y X F x x X F z y x 过点X 0与切平面垂直的直线称为曲面∑在X 0的法线：)()()(000000X F z z X F y y X F x x z y x '-='-='-或X -X 0=λ⋅n (-∞< λ<+∞)第3章多元函数微分学的应用★曲面 ：z =f (x , y )取F (x ,y ,z )≡z -f (x ,y )=0，则有1,,=''-=''-='z y y x x F f F f F 故有)1),,(),,((0000y x f y x f y x '-'-=n 显然n 的方向朝“上”，即它与z 轴正向间的夹角为锐角.例1.求椭球面上点(x 0,y 0,z 0)处的切平面和法线.1222222=++c z b y a x 例2.求曲面z =x 2+y 2-1在点(2,1,4) 的切平面和法线.第3章多元函数微分学应用2. 二元函数全微分的几何意义切平面方程其中z 0=f (x 0, y 0)，记，则00,y y y x x x -=∆-=∆yy x f x y x f z z y x ∆'+∆'=-),(),(00000当z =f (x , y )在点(x 0, y 0)可微时,曲面∑在点(x 0, y 0, z 0) 有)(),()(),(0000000y y y x f x x y x f z z y x -'+-'=-上式右边为d z ，左边对应于PQ ，则∆z ≈d z 表明|∆x | 和|∆y | 很小时，PR 可用PQ 近似代替.P O z xy X 0+∆X X 0Q z=f (x,y )∆x ∆y R点X 0称为极大值点(极小值点); 极大值和极小值统称为极值.第3章多元函数微分学应用§33 多元函数的极值定义1 设函数z =f (X ) 在U (X 0)⊂R n 内有定义，若∀X ∈Û(X 0) 有 f (X ) ≤f (X 0) ( f (X ) ≥f (X 0))则称函数在点X 0 取得极大值(极小值).1. 多元函数的极值函数在点(0,0) 有极小值；2243y x z +=221y x z --=函数在点(0,0) 有极大值；第3章多元函数微分学应用zx y定理1(必要条件) 设u=f (X)在点X取得极值，且Jf(X0)存在，则必有Jf(X0)=0.使得Jf(X)=0成立的点X0称为f (X) 的驻点.可偏导的函数其极值点一定是驻点. 但驻点不一定是极值点.函数z=xy在点(0,0)，是驻点但不是极值点.第3章多元函数微分学应用二元函数取得极值的一个充分条件：定理2设z =f (X )= f (x ,y )∈C 2(U (X 0))，且Jf (X 0)=0，其中X 0=(x 0, y 0).记, , ,则f (X ))(0X f A xx ''=)(0X f B xy ''=)(0X f C yy ''=△= AC -B 2> 0 A < 0，取极大值f (X 0) ；A > 0，取极小值f (X 0) ；△= AC -B 2< 0，在点X 0 不取极值.例1 求f (x ,y )=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.第3章多元函数微分学应用◇f (X )在其偏导数不存在的点处也可能取极值.例如函数在点(0,0)取极小值.22y x z +=◇定理中的△=AC -B 2= 0，则不能判定f (X )在点X 0 是否取极值.例如函数和在点(0,0)均有△=AC -B 2= 0，但显然前者不取极值，而后者取得最小值.33y x z +=222)(y x z +=第3章多元函数微分学应用2. 最大值和最小值极值是局部(邻域内)的概念，最值是全局范围(区域) 上的概念.ΩΩ若f (X)在有界闭域上连续，则f (X)在上必有最值.此时最值或者在Ω内部达到，或者在∂Ω上达到. 若最值在Ω内达到，而f (X)在Ω内只有有限个极值点，则最值必是某个极值；若在∂Ω上达到，则最值也必是f (X)在∂Ω上的最值.第3章多元函数微分学应用例2 求f (x ,y )=sin x +sin y -sin(x +y ) 在由x 轴、y 轴及直线x +y =2π所围成的区域D 上的最大值和最小值.例3求的最大值和最小值.122+++=y x y x z xyO 2第3章多元函数微分学应用Rz xyO 例4 若用钢板制造一个容积为2m 3的有盖长方体水箱, 问当长、宽、高各为多少时，能使所用钢板材料最省？例5 在半径为R 的半球内求一个体积为最大的内接长方体.第3章多元函数微分学应用3. 条件极值定义2 设区域Ω⊂R n ，L ={X | X ∈Ω；ϕ1(X )=0, ϕ2(X )=0, ⋯,ϕm (X )=0, m <n }，若X 0∈L ，且∀X ∈L ∩Û(X 0) ，有f (X ) ≤f (X 0) ( f (X ) ≥f (X 0))则称f (X 0)为函数f (X )在约束条件ϕ1(X )=0, ϕ2(X )=0, ⋯, ϕm (X )=0下的条件极大值(条件极小值).● LX 0统称条件极值. 类似定义条件最值.这里给出的约束条件是等式约束.第3章多元函数微分学应用求解条件极值问题：将其转化为无约束极值问题.1) 代入法.求函数z =f (x,y) 在条件ϕ(x,y)=0 下的极值：从约束条件解出y=ψ(x) 代入z =f (x,ψ(x)) 求无约束极值.例6 若用钢板制造一个容积为2m3的有盖长方体水箱, 问当长、宽、高各为多少时，能使所用钢板材料最省？设水箱长x、宽y、高z，则此问题便是求表面积S=2( xy+ yz+ xz)在约束条件xyz=2下的极小值.第3章多元函数微分学应用2) Lagrange 乘数法.讨论函数z =f (x ,y ) 在条件ϕ(x ,y )=0下的极值.构造Lagrange 函数F (x ,y ,λ)= f (x ,y ) + λϕ(x ,y )其中λ为待定参数，称为Lagrange 乘数.问题便化为求F (x ,y ,λ) 的无约束极值.一般地，求u =f (X ) 在约束条件ϕ1(X )=0, ϕ2(X )=0, ⋯, ϕm (X )=0 (m <n )下的极值，则构造Lagrange 函数∑=+=mi i i m X X f X F 121)()(),,,;(ϕλλλλ第3章多元函数微分学应用例6 若用钢板制造一个容积为2m 3的有盖长方体水箱, 问当长、宽、高各为多少时，能使所用钢板材料最省？例7 在旋转抛物面z =x 2+y 2和平面x +y +z =1的交线上，求到坐标原点的最长和最短距离.z y x O (x,y,z )条件极值问题更一般地发展成为数学规划问题。
数学强化班（武忠祥）-高数第八章向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用
数学强化班（武忠祥）-⾼数第⼋章向量代数与解析⼏何及多元微分在⼏何上应⽤第⼋章向量代数与空间解析⼏何及多元微分学在⼏何上的应⽤第⼀节向量1．数量积1）⼏何表⽰：αcos ||||b a b a =?. 2) 代数表⽰: z z y y x x b a b a b a ++=?b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ?=?ii) 分配律: .)(c a b a c b a ?+?=+? 4) ⼏何应⽤:i) 求模: a a a ?=||ii) 求夹⾓: ||||cos b a ba ?=α iii) 判定两向量垂直: 0=??⊥b a b a 2.向量积1) ⼏何表⽰ b a ?是⼀向量. 模: αsin ||||||b a b a =?. ⽅向: 右⼿法则.2) 代数表⽰: zyx z y xb b b a a a k j ib a =?. 3) 运算规律 i) b a ?= )(a b ?-ii) 分配律: ?a (c b +)=b a ?+c a ?. 4)⼏何应⽤:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ?.ii) 求以a 和b 为邻边的平⾏四边形⾯积:=S |b a ?|.iii)判定两向量平⾏: ?b a //0=?b a . 3.混合积: c b a abc ??=)()( 1) 代数表⽰:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) ⼏何应⽤i) 平⾏六⾯体V =|)(|abc .ii)判定三向量共⾯: c b a ,,共⾯?(abc )=0.题型⼀向量运算例8.1 设,2)(=??c b a 则=+?+?+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +?+?+)(][a c c b b b c a b a +??+?+?+?=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ??+??+??+??+??+??=)()()()()()( a c b c b a ??+??=)()( 4)(2=??=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=??+))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ?+?=??+ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=?b a ,则=?||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解由于2),cos(==?∧b a b a b a ，⽽2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从⽽4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=?==?∧b a b a b a题型⼆向量运算的应⽤及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的⾓平分线向量且使其模为32。
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(x1)2(y1)3(z1)0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 即x2y3z6
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
讨论:
1 若曲线的方程为y(x), z(x), 则切向量T?
2 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 提示:
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
例1 求曲线xt, yt2, zt3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面 方程
解 点(1, 1, 1)所对应的参数t1 因为 xt1, yt2t, zt3t2, 所以切向量为T(1, 2, 3) 于是, 切线方程为
2dyddyxdzddxz11 dx dx
(x1)0(y2)(z1)0, 即 xz0
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二、曲面的切平面与法线
设M0(x0, y0, z0)是曲面: F(x, y, z)0上的一点, 是曲面 上过点M0的任意一条曲线, 其参数方程为
x(t), y(t), z(t),
tt0对应于点M0(x0, y0, z0) 因为曲线在曲面上, 所以有
F[(t),(t),(t)]0
等式的两边在tt0点求全导数得
Fx(x0, y0, z0)(t0)Fy(x0, y0, z0)(t0)Fz(x0, y0, z0)(t0)0
2.7多元微分学的几何应用.
高等数学AⅠ吉林大学数学学院金今姬第二章多元函数的微分学及其应用一、偏导数二、全微分三、复合函数的微分法四、隐函数微分法五、方向导数与梯度六、多元微分学的几何应用七、多元函数的Taylor公式与极值问题§7 多元微分学的几何应用7.1空间曲线的切线与法平面7.2曲面的切平面与法线复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线(x f y =,(00y x 切线方程0y y −法线方程0y y −若平面光滑曲线方程为,0,(=y x F ,(,(d d y x F y x F x y y x −=故在点,(00y x 切线方程法线方程(0y y −,(00y x F y +(,(000x x y x F x −0=((00x x x f −′=((100x x x f −′−=在点有有因 0(,(000=−−y y y x F x ,(00y x F y (0x x −7.1 空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.ΓT M π空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限平面.1. 曲线方程为参数方程的情况(,(,(:t z t y t x ωψϕ===Γzz z y y y x x x ∆−=∆−=∆−000,t ∆上述方程之分母同除以得令,0→∆t 切线方程000z z y y x x −=−=−,,(0000z y x M t t 对应设=,,(0000z z y y x x M t t t ∆+∆+∆+′∆+=对应(0t ϕ′(0t ψ′(0t ω′T M ΓM ′:的方程割线M M ′((00x x t −′ϕ此处要求(,(,(000t t t ωψϕ′′′也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.((00y y t −′+ψ0((00=−′+z z t ω如个别为0, 则理解为分子为0 .πΓM 不全为0,(,(,((000t t t T ωψϕ′′′=T 因此得法平面方程 o (t r T 切线方程000z z y y x x−=−=−(0t ϕ′(0t ψ′(0t ω′例7.1 求曲线32,,t z t y t x ===在点(1,1,1处的切线与法平面方程.解:(((((,3,2,1,,2'''t t t z t y t x =点(1,1,1对应于参数t =1,故曲线在点(1,1,1处的切向量(((((.3,2,11,1,1'''==z y x s 所求切线方程为,312111−=−=−z y x 法平面方程为(((,013121=−+−+−z y x 即.0632=−++z y x2. 曲线为一般式的情况((,,:x z z x y y ==Γ光滑曲线取x 为参数,((,,,:x z z x y y x x ===Γ根据上述情形的结论,在点M 处的切向量为(((,,,10'0'x z x y s =切线方程为((,10'00'00x z z z x y y y x x −=−=−法平面方程为(((((.000' 00'0=−+−+−z z x z y y x y x x光滑曲线⎩⎨⎧==Γ0,,(0,,(:z y x G z y x F 当0,(,(≠∂∂=z y G F J ⎩⎨⎧==((x z x y ψϕ=x y d d 曲线上一点,,(000z y x M x y z, 且有=x z d d ,,(,(1x z G F J ∂∂,,(,(1y x G F J ∂∂时, Γ 可表示为处的切向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=M M y x G F J x z G F J ,(,(1,,(,(1,1{}(,(,100x x T ψϕ′′=3. 空间曲线的情况000z z y y x x −=−=−Mz y G F,(,(∂∂则在点,,(000z y x M 切线方程法平面方程有Mz y G F ,(,(∂∂Mx z G F,(,(∂∂My x G F ,(,(∂∂(0x x −My x G F,(,(∂∂+Mx z G F ,(,(∂∂+(0y y −0(0=−z z 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=M MM y x G F x z G F z y G F T ,(,(,,(,(,,(,(为了便于记忆,用行列式记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=M MM y x G F x z G F z y G F T ,(,(,,(,(,,(,(Mzy x z y xG G G F F F k j i T =((((((000=−−−M G M G M G M F M F M F z z y y x x z y x z y x 也可表为(,(,((,(,(00y y Mx z G F x x M z y G F −∂∂+−∂∂法平面方程0(,(,(0=−∂∂+z z M y x G F例7.2 求曲线0,102222=++=++z y x z y x 在点M ( 1,–2, 1 处的切线方程与法平面方程. 切线方程110211−−=+=−z y x 解法1 令,,102222z y x G z y x F ++=−++=则即⎩⎨⎧=+=−+0202y z x M z yx z y xG G G F F F k j i T =Mz y x k j i 111242=111282−=kj i (.1,0,110−−=法平面方程01(2(01(=−−+⋅+−z y x 即0=−z x x xz z x y y −=+d d d d 2解法2. 方程组两边对 x 求导, 得1d d d d −=+x zx y 112112d d z y xy xz −−=112d d z y x y =曲线在点 M (1,–2, 1 处有:切向量解得11−−z x ,2z y x z −−=z y y x −−=221,0,1(−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=M M x z x y T d d ,d d ,1切线方程121−=+=−z y x 即⎩⎨⎧=+=−+0202y z x 法平面方程01(1(2(01(1=−⋅−++⋅+−⋅z y x 即0=−z x 点 M (1,–2, 1 处的切向量01−11,0,1(−=T当空间曲线(((t z z t y y t x x ===Γ,,:给出时,若(((t z t y t x ''',,连续且不同时为零,则曲线上每一点处都有切线,并且切线随着切点的移动而连续地变动,称为光滑曲线.当空间曲线((x z z x y y ==Γ,:给出时,若((x z x y '',连续,则此曲线是光滑曲线.当空间曲线⎩⎨⎧==Γ0,,(0,,(:z y x G z y x F 给出时,若F ,G 是类函数且Jacobi 行列式不同时为零时,则此曲线是光滑曲线.((((((y x G F x z G F z y G F ,,,,,,,,∂∂∂∂∂∂(1C,,(:=Σz y x F 1.设有光滑曲面通过其上定点,,(000z y x M 0t t =设对应点M ,(,(,(000t t t ωψϕ′′′切线方程为(((000000t z z t y y t x x ωψϕ′−=′−=′−不全为0 . 则Γ 在,(,(,(:t z t y t x ωψϕ===Γ且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线M ΓT 下面证明:此平面称为∑ 在该点的切平面.∑ 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.(,(,((000t t t T ωψϕ′′′=7.2 曲面的切平面与法线M ΓT 证:在∑ 上,(,(,(:t z t y t x ωψϕ===Γ∵0(,(,((≡∴t t t F ωψϕ,0处求导两边在t t =,0M t t 对应点注意=(0t ω′0=,,(000z y x F x ,,(000z y x F y +,,(000z y x F z +(0t ϕ′(0t ψ′得(,(,((000t t t T ωψϕ′′′=,,(,,,(,,,((000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =令nT ⊥切向量由于曲线Γ 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n 的平面上 ,从而切平面存在 .n(,,(0000x x z y x F x −曲面∑ 在点 M 的法向量法线方程000z z y y x x −=−=−(,,(0000y y z y x F y −+0(,,(0000=−+z z z y x F z 切平面方程,,(000z y x F x ,,(000z y x F y,,(000z y x F z M ΓT n,,(,,,(,,,((,,(000000000000z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x =∇=(,(000x x y x f x −曲面时, ,(y x f z =zy x f z y x F −=,(,,(则在点,,,(z y x 故当函数 ,(y x f ,(00y x 1,(,(0000000−−=−=−z z y x f y y y x f x x y x 法线方程,y y f F =1−=z F 令有在点,,(000z y x Σ2.当光滑曲面∑ 的方程为显式在点有连续偏导数时, (,(000y y y x f y −+=−0z z ,x x f F =切平面方程γβα,,法向量用2211cos y x f f ++=γ将,(,,(0000y x f y x f y x ,,y x f f 法向量的方向余弦:表示法向量的方向角,并假定法向量方向.为锐角则γ分别记为则,1cos ,1cos 2222y x y y x x f f f f f f ++−=++−=βα向上,1,,(,,((0000y x f y x f n y x −−=例7.4 求椭圆抛物面222y x z +=在点M (1,-1,3处的切平面方程和法线方程.解:因((1,1''1,,−−=y x z z n (,1,4,2−−=故所求切平面方程为(((,031412=−−+−−z y x 即.0342=−−−z y x 法线方程为.134121−−=−+=−z y x3.设曲面∑ 的参数方程为(((,,,,,,v u z z v u y y v u x x ===记((0,,P v u z y A ∂∂=((0,,P v u x z B ∂∂=((0,,P v u y x C ∂∂=不妨设由隐函数存在定理,方程组x=x (u,v ,y=y (u,v 在点(x 0,y 0,u 0,v 0的某一邻域唯一确定一组隐函数u=u (x,y ,v=v (x,y ,并且在(x 0,y 0处,.0≠C .,,,C x v C x u C y v C y u u y v y u x v x =−=−==将u=u (x,y , v=v (x,y ,代入z=z (u,v 得z=z (u (x,y ,,v (x,y .z=z (u (x,y ,,v (x,y .在(x 0,y 0处对x,y 求偏导,由连锁规则,有(,1C A y z y z C v z u z z u v v u x v x u x −=−=⋅+⋅=(.1C B x z x z C v z u z z u v v u y v y u y −=+−=⋅+⋅=曲面∑ 在点M 0的法向量为 (,1,,1,,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−C B C A z z y x (.,,C B A n =或0P v v v u u uz y x z y x k j in =切平面方程为 (((,0000=−+−+−z z C y y B x x A 法线方程为.000Cz z B y y A x x −=−=−0P vv v u u uz y x z y x k j i n =例7.5 求曲面3322,,v u z v u y v u x +=+=+=在对应于u =1,v =-1的点处的切平面方程.解:曲面上对应于u =1,v =-1的点为M (0,2,0,在该点故所求切平面方程为(,0203=−−⋅+z y x 即.03=−z x (1,1''''''−vv v u u u z y x z y x k j i (1,122321321−=vv uu kj i 321321−=k j i (,4,0,12−=当曲面(0,,:=∑z y x F 给出时,若''',,zyxFF F 连续且不同时为零,则曲面上每一点处都有切平面和法线,并且法线随着切点的移动而连续地变动,称为光滑曲面.zyxo1.求圆柱螺旋线ϕϕϕk z R y R x ===,sin ,cos 2πϕ=对应点处的切线方程和法平面方程. ,2时当πϕ=切线方程=−R x法平面方程x R −022=+−k z k x R π即⎩⎨⎧=−=−+02R y k R z R x k π即解: 由于,sin ϕR x −=′0R y −kk z 2π−=,cos ϕR y =′,k z =′,,0(20k R M π对应的切向量为0(2=−+k z k π在,0,(k R T −=, 故2. 确定正数σ 使曲面σ=z y x 222z y x ++在点,,(000z y x M 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000z y x y z x x z y ==0x 22020z y x ==∴又点 M 在球面上,32202020a z y x ===故于是有000z y x =σ2a=相切.333a =与球面,,,(0000001y x z x z y n =,,(0002z y x n =21//n n , 因此有20y 20z 23. 如果平面01633=+−+z y x λ与椭球面相切,提示: 设切点为,,,(000z y x M 则223y x +.λ求000226z y x ==3λ3−01633000=+−+z y x λ163202020=++z y x 2±=λ162=+z (二法向量平行 (切点在平面上(切点在椭球面上证明曲面(x y f x z =上任一点处的切平面都通过原点.提示: 在曲面上任意取一点,,,(000z y x M 则通过此=−0z z (0x x x z M −∂∂(0y y y z M −∂∂+4. 设 f ( u 可微,证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为5. 证明曲面0,(=−−y n z y m x F 与定直线平行,.,(可微其中v u F 证: 曲面上任一点的法向量,1F ′,((21n F m F −⋅′+−⋅′2F ′取定直线的方向向量为,m ,1n 则(定向量故结论成立 .的所有切平面恒(=n (=l ,0=⋅n l6. 求曲线⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 解: 点 (1,1,1 处两曲面的法向量为2,2,1(−=因此切线的方向向量为1,9,16(−=由此得切线:111−=−=−z y x 1691−法平面:01(1(91(16=−−−+−z y x 024916=−−+z y x 即与法平面.1,1,1(12,2,32(z y x n −=5,3,2(2−=n 21n n l ×=在点(1,1,1 的切线作业:习题2.6(A1 (1(4, 3 (1,5;(B2.。
多元函数微分学的几何应用
f (x, y) −z = 0
令 F(x, y, z) = f (x, y) − z 则 曲 ∑ 方 为 F(x, y, z) = 0 面 的 程 :
∴n = F (x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), F (x0, y0, z0) ) ( x z
= ( fx (x0, y0) , f y(x0, y0) ,−1 ) 即 n =( fx(x0, y0), f y(x0, y0),−1 )
即
dz dy y dx + z dx = −x dy dz + = −1 dx dx
解得
−x z dy −1 1 = y z dx 1 1
y −x
z −x = y−z
dz 1 −1 = y z dx 1 1
x− x− y = y−z
dz , dx )
∴T =
=
(1 ,
dy dx
|(1 −2,1) ,
切平面及法线方程. 解: 令 (x, y, z) = x2 + y2 + z2 −14 F
F = 2x ， y = 2y ，F = 2z F x z r ∴ n = (Fx, Fy, Fz ) = (2x,2y,2z) r ∴ n (1,2,3) =(2,4,6)
∴在 (1,2,3)处球 的 平 方 为 点 , 面 切 面 程
F (x0, y0, z0) Fy(x0, y0, z0) F (x0, y0, z0) x z
曲 Σ在 M 切 面 法 量 为 面 点 的 平 的 向 称 曲 Σ在 M 法 量 面 点 的 向 .
2. 面 的 程 : z = f (x, y) , M(x0, y0, z0)∈Σ 曲 ∑ 方 为
经典：一元向量值函数及多元函数微分法的几何应用
f (t ) (t)i(t)j(t)k
则Γ 方程成为：
r
f (t )
((t) ,(t) ,(t))
t[,]
3
1、一元向量值函数的定义：
设数 D 集 R，则映 f： D射 Rn为一元
向量值函数 r ， f (t 记 ) t作 D
其中D叫函数的定义域，t为自变量，r 叫因变量。
说明：（1）向量值函数是数量值函数的推广 （2）在R3中，若向量值函数的三个分量依次为
8
4、一元向量值函数的导数：
设向量值r 函f(数 t)在 点 t0的某邻域内有定义
lim rlim f(t0t)f(t0)
t t 0
t 0
t
存在，则称 为 该 函 极 f(t数 )在 限 t0处向 的量 导数.
记作：
f
(
t
0
)或
dr dt
.
t t0
9
说明 （1）向量值函数可导等价于它的分量函数 都可导，且
y
(
t
)
z ( t )
切向量 T ( t 0 ) ( t 0 , ) ( t 0 , )
切线方程
法平面
x (t0 x)0 y (ty 0)0 z (tz00 ).
( t 0 ) x x 0 ( ) ( t 0 ) y y 0 ( ) ( t 0 ) z z 0 ) ( 0
另一个是： 2, 2, 1
其指向与t的增长方向一致
3 挂式滑翔机上由于快速上升气流的
影响而沿位置向量
rf(t) (3 cto )i s(3 sit)n j t2k
的路径螺旋式上升.求
（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量；
（2）滑翔机在任意时刻t的速率；
第十章(空间解析几何)(数一)(基础留白版)
ax ay az 3. a,b,c 共面 ⇔ bx by bz = 0 .
cx cy cz 【例 4】已知=a {1, 2, −3}，=b {2, −3, k} ， c = {−2, k, 6} ，
（1）若 a ⊥ b ，求 k ;（2）若 a c ，求 k ;（3）若 a,b,c 共面，求 k .
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1 z2 − z1 = 0 ． z3 − z1
【评注】（1）.法向量是不唯一的.
（2）. Ax + By + Cz = 0 表示通过原点的平面， Ax + By + D =0 表示平行于 z 轴的平面，
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .
2.一般式：空间 O − xyz 中平面方程为三元一次方程
Ax + By + Cz + D = 0
3. 截距式：在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的截距分别为 a, b, c (abc ≠ 0) 的平面方程为
x + y + z =1 abc 4.三点式：过空间不共线的三点{x1, y1, z1}，{x2, y2, z2}，{x3, y3, z3} 的平面方程为
二.直线方程 平行于直线的非零向量称为该直线的方向向量，记为 s = {m, n, p}，方向向量不唯一.
1.对称式（点向式）:过点 ( x0 , y0 , z0 ) 且方向向量为 s = {m, n, p}的直线方程为
高等数学 多元函数的微分学 (8.7.2)--多元微分学在几何中的应用
1 习题8.7
1. 求下列曲线在指定点的切线与法平面方程：
(1) 22sin ,sin cos ,cos x a t y b t t z c t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩在对应于参数π4t =的点处; (2) 222210,10
x z y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩在)3,1,1(处； (3) 22230,23540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩
在)1,1,1(处. 2. 证明曲线e cos ,e sin ,e t t t x t y t z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
与圆錐面222z y x =+的所有母线相交成等角.
3. 求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程:
(1) x y z arctan
=在点π1,1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭处； (2) 1222=++cz by ax 在点(000,,z y x )处;
(3) e e 4x y z z +=在点)1,2ln ,2(ln 处.
4. 过直线430,0
x y z x y z +--=⎧⎨+-=⎩作曲面 33222=-+z y x 的切平面, 求该切平面的方程. 5. 两曲面在交点处的切平面的交角称为曲面在该点的交角, 根据此定义 (1) 求球面14222=++z y x 与椭球面 163222=++z y x 在点)3,2,1(--处的交角;
(2) 证明曲面222x y z ax ++=与222x y z by ++=相互正交.
6. 证明:
(1) 曲面3a xyz =的切平面与坐标平面所围的四面体的体积为常数;
(2) 曲面 32323232a z
y x =++上任意点处的切平面在各坐标轴截距的平方和等于2a ; (3) 曲面y z xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的所有切平面都相交于一点.。
多元函数微分学的几何应用
t t0
向量值函数极限存在、连续、可导 的充分必要条件
向量值函数f ( t )当t t0时的极限存在的充分必要条件是： 在函数f ( t )当t t0时的极限存在时，其极限 lim f ( t ) lim f 1 ( t )， lim f 2 ( t )， lim f 3 ( t )
t t0 t t0 t t0 t t0
f ( t )的三个分量函数f1 ( t )，f 2 ( t )，f 3 ( t )当t t 0时的极限存在；
（5 ）
向量值函数f ( t )在点t0的某一邻域内有定义，若 lim f ( t ) f ( t0 )
t t0
则称向量值函数f ( t )在点t0 连续.
二、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 假定(t), (t), (t)都在[, ]上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方 程为 x x y y zz
(t0 ) (t0 ) (t0 )
0
0
0
定义2 向量值函数f ( t )在点t 0的某一邻域内有定义，如果 f ( t 0 t ) f ( t 0 ) lim t 0 t 存在,那么就称这个极限向量为向量值函数r f ( t )在t 0处
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2020年4月5日星期日
8
高等数学（下）主讲杨益民
若规定法向量 nr 的方向是向上的（即使得 nr 与z轴正向成锐
角）， 则法向量的方向余弦为：
cos
fx
, cos
fy
, cos
1
1
f
2 x
f
2 y
1
f
2 x
f
2 y
1
f
2 x
f
2 y
r n { fx, fy,1}
其中： f x f x ( x0 , y0 ), f y f y ( x0 , y0 )
高等数学（下）主讲杨益民
1. 空间曲线方程为参数方程
x (t)
:
y
(t
)
,
( x0 (t0 ), y0 (t0 ) , z0 (t0 )) ,
则
z (t)
在(x0, y0, z0)处有 切线方程： x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 ) 切向量： T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
显然，只需证明：
r T
nr
（略）
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6
高等数学（下）主讲杨益民
通过M点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。
法线方程： x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切线方程
x x0 y y0 z z0
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程
Fy Gy
Fz Gz
0
(x
x0 )
Fz Gz
Fx Gx
0
(y
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
0
(z
z0
)
0
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高等数学（下）主讲杨益民
注意：对于情形3，做题时最好用推导法，而不是死记公式。
例2 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程。
z
注：在方程中一般要求
o
x
y
(t0 ), (t0 ), (t0 ) 不全为0,
如个别为0, 则理解为分子也为 0。
2020年4月5日星期日
2
高等数学（下）主讲杨益民
2. 空间曲线方程为
:
y z
(x) (x)
,
( x0 , y0 , z0 ) ,
例 3 求曲面z ez 2xy 3在(1,2,0)处的切平面及法线方程。
2. 空间曲面方程为： : z f ( x, y), M ( x0 , y0 , z0 )
曲面 在M处的切平面方程为：
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0
2020年4月5日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
证明： 设曲面上任取一条通过点M的曲线方程为
x (t)
:
y
(t
)
,
M ( x0 , y0 , z0 ) t0
z (t)
n
T
M
则：曲线在M点的切向量为
r
T {(t0 ), (t0 ), (t0 )}
曲Hale Waihona Puke 在M点的切平面 的法向量为nr Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0, y0, z0 )
与且平面程方程。
2020年4月5日星期日
3
高等数学（下）主讲杨益民
3. 空间曲线为一般式方程
F(x, y, z) 0 : G( x, y, z) 0 , P0( x0 , y0 , z0 ) , 则 在P0 (x0, y0, z0)处有
切向量（法向量）：
dy dz T n 1, dx P0 , dx P0
牢记此时：
dy dz T n 1, dx P0 , dx P0
例2 求曲线 x2 y2 z2 6, x y z 0 在点M ( 1,–2, 1)
处的切线方程与法平面方程。
二、空间曲面的切平面与法线
1. 空间曲面方程为： : F ( x, y, z) 0, M ( x0 , y0 , z0 )
例5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21平行于平面 x 4 y 6z 0 的
切平面方程。
解：
设(x0,
y0,
z0)
为曲面上的切点,
则
2 x0 1
4 y0 4
6z0 6
,
且
x02 2 y02 3z02 21 得所求切点为：(1,2,2), (1,2,2),
则在(x0, y0, z0)处有
切线方程： x x0 y y0 z z0
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程：( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0
例3 求曲线 y 2x, z sin x 在P0 ( , 2 , 0)的切线方
切平面上点的 函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
竖坐标的增量
(1) z=f (x, y)在(x0, y0)的全微分等于曲面z=f (x, y)在点(x0, y0, z0) 处的切平面上的点的竖坐标的增量。
(2) z=f (x, y)在(x0, y0)的全微分存在 曲面z=f (x, y)在点(x0, y0, z0)处的切平面存在。
曲面在M处的法线方程为：
x x0 y y0 z z0 fx ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
2020年4月5日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
例4 求旋转抛物面z=x2+y2-1点(2,1,4)处的切平面及法线方程。
全微分的几何意义：
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
命题： 曲面 上通过M (x0, y0, z0)点的所有曲线在M处的切线都 在同一平面 上，此平面称为 在M点的切平面，其方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
Tn
M
法平面方程： (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0 法向量： n ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
2020年4月5日星期日
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高等数学（下）主讲杨益民
例1
求曲线
:
x
t
0
eu
cos
udu，
y
2sin
t
cos
t,
z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程。