四川省成都市都江堰市八一聚源高中2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年四川省成都市都江堰市八一聚源高中高一（下）第二次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．计算：sin43°cos13°﹣sin13°cos43°的值等于（）A．B．C．D．2．已知=（﹣1，3），=（x，1），且，则x等于（）A．﹣3 B． C．D．33．函数f（x）=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数4．已知数列{a n）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（）A．1，0，1，0 B．0，l，0，l C．D．2，0，2，05．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m6．在△ABC中，若acosA﹣bcosB=0，则三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（）A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定9．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（）A．3B．C．D．10．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣11．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．2 B．4 C．D．12．已知定义域为R的函数f（x）=（a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=．15．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=．16．观察下列等式：①cos2α=2cos2α﹣1；②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1；③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1；④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1；⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1；可以推测，m﹣n+p=．三、解答题（共60分）17．在等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．18．已知函数f（x）=sinx+sin（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若f（α）=，求sin 2α的值．19．已知向量=（1，2），=（2，﹣2）．（1）设=4+，求；（2）若+与垂直，求λ的值；（3）求向量在方向上的投影．20．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．22．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．2017-2018学年四川省成都市都江堰市八一聚源高中高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．计算：sin43°cos13°﹣sin13°cos43°的值等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角差的正弦公式，把要求的式子化为sin（43°﹣13°）=sin30°，从而求得结果．【解答】解：sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=，故选D．2．已知=（﹣1，3），=（x，1），且，则x等于（）A．﹣3 B． C．D．3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程化简求解即可．【解答】解：=（﹣1，3），=（x，1），且，可得3x=﹣1，解得x=﹣．故选：B．3．函数f（x）=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数【考点】二倍角的正弦．【分析】本题考查三角函数的性质f（x）=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数．【解答】解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）为周期为π的奇函数，故选C4．已知数列{a n）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（）A．1，0，1，0 B．0，l，0，l C．D．2，0，2，0【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用公式，将n=1，2，3，4分别代入计算即可．【解答】解：由通项公式，得当n=1时，a1==1，当n=2时，a1==0，当n=3时，a1==1，当n=4时，a1==0，即数列{a n}的前4项依次为1，0，1，0．故选A．5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选A6．在△ABC中，若acosA﹣bcosB=0，则三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】解法1：把由余弦定理解出的余弦表达式代入已知的等式化简可得：（a2﹣b2）c2=（a2﹣b2）（a2+b2），分①a2﹣b2=0和②a2﹣b2≠0两种情况讨论；解法2：根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：法1：∵cosA=，cosB=，∴•a=•b，化简得：a2c2﹣a4=b2c2﹣b4，即（a2﹣b2）c2=（a2﹣b2）（a2+b2），①若a2﹣b2=0时，a=b，此时△ABC是等腰三角形；②若a2﹣b2≠0，a2+b2=c2，此时△ABC是直角三角形，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；法2：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，所以△ABC为等腰或直角三角形．故选D7．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（）A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角差的正弦函数化简函数f（x）=sinx﹣cosx为一个角的一个三角函数的形式，根据f（x）≥1，求出x的范围即可．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），因为f（x）≥1，所以2sin（x﹣）≥1，所以，所以f（x）≥1，则x的取值范围为：{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}故选：B8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大小关系不能确定【考点】余弦定理；不等式的基本性质．【分析】由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，进而求得a ﹣b=，根据＞0判断出a＞b ．【解答】解：∵∠C=120°，c=a ， ∴由余弦定理可知c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，∴a 2﹣b 2=ab ，a ﹣b=，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b=，∴a ＞b 故选A9．在△ABC 中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（ ）A ．3B ．C ．D ．【考点】正弦定理．【分析】由A 的度数求出sinA 和cosA 的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，把b ，sinA 及已知的面积代入求出c 的值，再由cosA ，b ，c 的值，利用余弦定理求出a 的值，由a 及sinA 的值，根据正弦定理求出三角形ABC 外接圆的直径2R ，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．【解答】解：∵A=60°，b=1，其面积为，∴S=bcsinA=c=，即c=4，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，∴a=，由正弦定理得：===2R==，则=2R=．故选B10．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=，则cos （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C11．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣，因此，则=4故选：B．12．已知定义域为R的函数f（x）=（a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先化简函数解析式后，由三角函数的辅助角公式求函数的值域，再根据最大值与最小值之和为6求得a的值．【解答】解：由题意知，f（x）==a+，设y=a+，则y﹣a=，即3sinx+（a﹣y）cosx=2y﹣2a，所以sin（x+φ）=2y﹣2a，因为|sin（x+φ）|=|||≤1，化简得（y﹣a）2≤3，所以a﹣≤y≤a+，因为函数f（x）的最大值与最小值的和为6，所以2a=6，解得a=3，故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．【分析】先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．【解答】解：f（x）=1﹣2sin2x=cos2x∴函数最小正周期T==π故答案为：π．14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．15．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=100．【考点】等差数列的前n项和；数列递推式；三点共线．【分析】因为，且A、B、C共线，所以a1+a200=1，所以=100．【解答】解：A、B、C三点共线的充要条件是：对平面内任意一点O，都有．因为，且A、B、C共线，所以a1+a200=1，所以=100．故答案为：100．16．观察下列等式：①cos2α=2cos2α﹣1；②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1；③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1；④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1；⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1；可以推测，m﹣n+p=962．【考点】类比推理．【分析】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．【解答】解：因为2=21，8=23，32=25，…，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，﹣2×4，3×6，﹣4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=﹣400．所以m﹣n+p=962．故答案为：962．三、解答题（共60分）17．在等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）求出数列的公差，即可求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，结合数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3，∴公差d=（﹣3﹣1）=﹣2，∴a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（Ⅱ）S k==﹣35，∴k=7．18．已知函数f（x）=sinx+sin（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若f（α）=，求sin 2α的值．【考点】运用诱导公式化简求值；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断f（x）的最小正周期是2π（2）依上问f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断f（x）的最大值是2，最小值是﹣2．（3）把α代入函数式，两边平方可得答案．【解答】解：（1）∵=∴函数f（x）=sin x+sin（x+）的最小正周期是2π．（2）∵x∈R，﹣1≤sinx≤1（2）=∴f（x）的最大值为，最小值为…（3）∵f（α）=sinα+sin（α+）=sinα+cosα=∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=∴sin2α=﹣1=19．已知向量=（1，2），=（2，﹣2）．（1）设=4+，求；（2）若+与垂直，求λ的值；（3）求向量在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）由已知中向量=（1，2），=（2，﹣2），=4+，可得向量的坐标，代入向量数量积公式可得的值，再代入数乘向量公式，可得答案．（2）若+与垂直，则（+）•=0垂直，进而可构造关于λ的方程，解方程可得λ的值．（3）根据向量在方向上的投影为||cos θ=，代入可得答案．【解答】解：（1）∵向量=（1，2），=（2，﹣2）．∴=4+=（6，6），∴=2×6﹣2×6=0∴=…3分（2）+λ=（1，2）+λ（2，﹣2）=（2λ+1，2﹣2λ），由于+λ与垂直，∴2λ+1+2（2﹣2λ）=0， ∴λ=．…（3）设向量与的夹角为θ，向量在方向上的投影为||cos θ．∴||cos θ===﹣=﹣．…20．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2． （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）在三角形BCD 中，利用余弦定理列出关系式，将BC ，CD ，以及cosC 的值代入表示出BD 2，在三角形ABD 中，利用余弦定理列出关系式，将AB ，DA 以及cosA 的值代入表示出BD 2，两者相等求出cosC 的值，确定出C 的度数，进而求出BD 的长；（2）由C 的度数求出A 的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD 与三角形BCD 面积，之和即为四边形ABCD 面积． 【解答】解：（1）在△BCD 中，BC=3，CD=2， 由余弦定理得：BD 2=BC 2+CD 2﹣2BC •CDcosC=13﹣12cosC ①， 在△ABD 中，AB=1，DA=2，A +C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．21．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，]上的最值．（2）将x0代入化简后的函数解析式可得到sin（2x0+）=，再根据x0的范围可求出cos （2x0+）的值，最后由cos2x0=cos（2x0+）可得答案．【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=﹣=﹣．所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．22．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC，即：vt2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=再由二次函数法求解最值．（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，然后是距离最短，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，再解得相应角．【解答】解：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：v2t2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=当t=时，取得最小值，此时，v=30（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，此时∠BOD=30°此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．2018年11月3日。