高中数学常用逻辑用语总复习(pdf版)
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1 解析：根据命题的定义：能判断真假的陈述句，符合条件的只有 C．
答案：C
下列语句是命题的是（ ）
A．你吃过午饭了吗
B．过点 A 作直线 MN
2 C．同角的余角相等
D．红扑扑的脸蛋
解析：根据命题的定义：能判断真假的陈述句，符合条件的只有 C．
答案：C
已知 f (x) ln(1 x) ln(1 x), x(1,1) ，现有下列命题： 3
1 | 14
[常用逻辑用语]
一、命题及其关系
1．命题 命题定义：能够判断真假的语句，即能够判断对错的陈述句． 真假命题：判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 一般形式：“若 p，则 q”，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 例如： 命题：“太阳比地球大”（真命题），“若 x 1 ，则 x 1 3 ”．（假命题） 非命题：“打篮球的个子都很高吗？”，“我到河北省来”．（不能判断真假）
答案：C
证明：若 a2 4b2 2a 1 0 ，则 a 2b 1
证明：原命题和逆否命题等价，改为证逆否命题正确． 例2
逆否命题为“若 a 2b 1，则 a2 4b2 2a 1 0 ”，把 a 2b 1带入后式，可
轻松证明结论正确．
练习题：
下列语句是命题的是（ ）
A．延长线段 AB B．你吃过午饭了吗 C．直角都相等 D．连接 A，B 两点
A． (,2]
B． (2,2)
C． (2,) D．[2,)
解析：命题为真命题，即 (a 2)x2 4x a 1 0 恒成立；
例 2 当 a 2 时，不等式变为 4x 3 0 ，此不等式不能恒成立；当 a 2 时，要是
不等式恒成立，则需满足
a 2 0 14 4(a
2)(a
1)
0
[常用逻辑用语]
常用逻辑用语
命题及其关系
常用 逻辑 用语
充分条件与必要条件 简单的逻辑连接词
命题 四种命题 四种命题间的相互关系 充分条件与必要条件 充分条件、必要条件的四种类型 “且”“或”“非” 命题pq，pq ，p的真假判定
Hale Waihona Puke Baidu
全称量词与全程命题
全称量词与存在量词
存在量词与特称命题
含有一个量词的命题的否定
3 | 14
[常用逻辑用语]
如果两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． 例如： 原命题：如果 x 1 ，那么 x 1 2 （真命题） 逆命题：如果 x 1 2 ，那么 x 1 （真命题） 否命题：如果 x 1，那么 x 1 2 （真命题）
给出命题：若函数 y f (x) 是幂函数，则函数 y f (x) 的图像不过第四象限，在
命题“若 p，则 q”的逆命题是（ ）
A．若 q，则 p
B．若 p，则 q
例 1 C．若 q，则 p
D．若 p，则 q
解析：逆命题是把命题反过来说．
答案：A
命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是（ ） 4
A．若 ，则 tan 1 4
B．若 ，则 tan 1 4
例 2 C．若 tan 1，则 4
D．若 tan 1，则 4
解析：逆否命题是把命题反过来说，再把条件和结论否了．
答案：C
3．四种命题的关系 关系图：
结论： 原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同，即：如果两个命题互为逆否命 题，它们有相同的真假性． 例如： 原命题：如果 x 1 ，那么 x2 2x 3 0 （真命题） 逆命题：如果 x2 2x 3 0 ，那么 x 1 （假命题） 否命题：如果 x 1，那么 x2 2x 3 0 （假命题） 逆否命题：如果 x2 2x 3 0 ，那么 x 1（真命题）
下列语句是命题的为（ ）
A． x 1 0
B． 2 3 8
C．你会说英语吗 D．这是一棵大树
解析： x 1 0 无法判断真假，A 不是命题； 2 3 8 不正确，故 B 是命题；命 例1
题不能是疑问句，所以 C 不是命题；这是一颗大树也无法判断真假，D 也不是
命题．
答案：B
若命题 p： ax2 4x a 2x2 1是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
① f (x) f (x)
4 | 14
[常用逻辑用语]
②
f
2x
( 1
x2
)
2f
(x)
③ | f (x) | 2 | x |
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
解析： f (x) ln(1 x) ln(1 x) f (x) ，故①正确；
f ( 2x ) ln(1 2x ) ln(1 2x ) ln( x 1)2 2 f (x) ，故②正确；
它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3
B． 2
C．1
D．0
例 1 解析：原命题是真命题，则逆否命题一定也是真命题，逆命题为 y f (x) 不过第 四象限，则 y f (x) 是幂函数，很明显是一个假命题，逆命题和否命题等价，所
以否命题也是假命题，真命题的个数只有 1 个
，解得
a
2
；
综上， a 2 时成立．
答案：D
2．四种命题 原命题：题目直接给的命题．
逆命题：把原命题反过来说．
否命题：把原命题条件和结论否了（用 p 和 q 表示，读作“非 p”和“非 q”）． 逆否命题：把原命题反过来说，再把条件和结论否了．
表述形式：
命题
表述形式
原命题
若 p，则 q
逆命题
若 q，则 p
当 x (1,0] 时 ， x [0,1) ， 则 f (x) 2(x) ， 即 f (x) 2x ， 所 以
1 x2
1 x2
1 x2
x 1
当 x [0,1) 时 ， | f (x) | 2 | x | f (x) 2x 0 ， 令 g(x) f (x) 2x ，
g(x)
2x2 1 x2
0 ，即
g(x) 在[0,1) 内单调递增，g(x)
f
(x) 2x
g(0)
0 ，故
f (x) 2x 成立；
否命题
若 p，则 q
逆否命题
若 q，则 p
2 | 14
[常用逻辑用语]
例如： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
汽车是很贵的 很贵的是汽车 如果它不是汽车，那么它不是很贵的 如果它不是很贵的，那么它不是汽车
如果 x 0 ，那么 x2 2x 0 如果 x2 2x 0 ，那么 x 0 如果 x 0 ，那么 x2 2x 0 如果 x2 2x 0 ，那么 x 0
答案：C
下列语句是命题的是（ ）
A．你吃过午饭了吗
B．过点 A 作直线 MN
2 C．同角的余角相等
D．红扑扑的脸蛋
解析：根据命题的定义：能判断真假的陈述句，符合条件的只有 C．
答案：C
已知 f (x) ln(1 x) ln(1 x), x(1,1) ，现有下列命题： 3
1 | 14
[常用逻辑用语]
一、命题及其关系
1．命题 命题定义：能够判断真假的语句，即能够判断对错的陈述句． 真假命题：判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 一般形式：“若 p，则 q”，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 例如： 命题：“太阳比地球大”（真命题），“若 x 1 ，则 x 1 3 ”．（假命题） 非命题：“打篮球的个子都很高吗？”，“我到河北省来”．（不能判断真假）
答案：C
证明：若 a2 4b2 2a 1 0 ，则 a 2b 1
证明：原命题和逆否命题等价，改为证逆否命题正确． 例2
逆否命题为“若 a 2b 1，则 a2 4b2 2a 1 0 ”，把 a 2b 1带入后式，可
轻松证明结论正确．
练习题：
下列语句是命题的是（ ）
A．延长线段 AB B．你吃过午饭了吗 C．直角都相等 D．连接 A，B 两点
A． (,2]
B． (2,2)
C． (2,) D．[2,)
解析：命题为真命题，即 (a 2)x2 4x a 1 0 恒成立；
例 2 当 a 2 时，不等式变为 4x 3 0 ，此不等式不能恒成立；当 a 2 时，要是
不等式恒成立，则需满足
a 2 0 14 4(a
2)(a
1)
0
[常用逻辑用语]
常用逻辑用语
命题及其关系
常用 逻辑 用语
充分条件与必要条件 简单的逻辑连接词
命题 四种命题 四种命题间的相互关系 充分条件与必要条件 充分条件、必要条件的四种类型 “且”“或”“非” 命题pq，pq ，p的真假判定
Hale Waihona Puke Baidu
全称量词与全程命题
全称量词与存在量词
存在量词与特称命题
含有一个量词的命题的否定
3 | 14
[常用逻辑用语]
如果两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． 例如： 原命题：如果 x 1 ，那么 x 1 2 （真命题） 逆命题：如果 x 1 2 ，那么 x 1 （真命题） 否命题：如果 x 1，那么 x 1 2 （真命题）
给出命题：若函数 y f (x) 是幂函数，则函数 y f (x) 的图像不过第四象限，在
命题“若 p，则 q”的逆命题是（ ）
A．若 q，则 p
B．若 p，则 q
例 1 C．若 q，则 p
D．若 p，则 q
解析：逆命题是把命题反过来说．
答案：A
命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是（ ） 4
A．若 ，则 tan 1 4
B．若 ，则 tan 1 4
例 2 C．若 tan 1，则 4
D．若 tan 1，则 4
解析：逆否命题是把命题反过来说，再把条件和结论否了．
答案：C
3．四种命题的关系 关系图：
结论： 原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同，即：如果两个命题互为逆否命 题，它们有相同的真假性． 例如： 原命题：如果 x 1 ，那么 x2 2x 3 0 （真命题） 逆命题：如果 x2 2x 3 0 ，那么 x 1 （假命题） 否命题：如果 x 1，那么 x2 2x 3 0 （假命题） 逆否命题：如果 x2 2x 3 0 ，那么 x 1（真命题）
下列语句是命题的为（ ）
A． x 1 0
B． 2 3 8
C．你会说英语吗 D．这是一棵大树
解析： x 1 0 无法判断真假，A 不是命题； 2 3 8 不正确，故 B 是命题；命 例1
题不能是疑问句，所以 C 不是命题；这是一颗大树也无法判断真假，D 也不是
命题．
答案：B
若命题 p： ax2 4x a 2x2 1是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
① f (x) f (x)
4 | 14
[常用逻辑用语]
②
f
2x
( 1
x2
)
2f
(x)
③ | f (x) | 2 | x |
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
解析： f (x) ln(1 x) ln(1 x) f (x) ，故①正确；
f ( 2x ) ln(1 2x ) ln(1 2x ) ln( x 1)2 2 f (x) ，故②正确；
它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3
B． 2
C．1
D．0
例 1 解析：原命题是真命题，则逆否命题一定也是真命题，逆命题为 y f (x) 不过第 四象限，则 y f (x) 是幂函数，很明显是一个假命题，逆命题和否命题等价，所
以否命题也是假命题，真命题的个数只有 1 个
，解得
a
2
；
综上， a 2 时成立．
答案：D
2．四种命题 原命题：题目直接给的命题．
逆命题：把原命题反过来说．
否命题：把原命题条件和结论否了（用 p 和 q 表示，读作“非 p”和“非 q”）． 逆否命题：把原命题反过来说，再把条件和结论否了．
表述形式：
命题
表述形式
原命题
若 p，则 q
逆命题
若 q，则 p
当 x (1,0] 时 ， x [0,1) ， 则 f (x) 2(x) ， 即 f (x) 2x ， 所 以
1 x2
1 x2
1 x2
x 1
当 x [0,1) 时 ， | f (x) | 2 | x | f (x) 2x 0 ， 令 g(x) f (x) 2x ，
g(x)
2x2 1 x2
0 ，即
g(x) 在[0,1) 内单调递增，g(x)
f
(x) 2x
g(0)
0 ，故
f (x) 2x 成立；
否命题
若 p，则 q
逆否命题
若 q，则 p
2 | 14
[常用逻辑用语]
例如： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
汽车是很贵的 很贵的是汽车 如果它不是汽车，那么它不是很贵的 如果它不是很贵的，那么它不是汽车
如果 x 0 ，那么 x2 2x 0 如果 x2 2x 0 ，那么 x 0 如果 x 0 ，那么 x2 2x 0 如果 x2 2x 0 ，那么 x 0