工程力学03力系等效简化

P rC Pi ri
投影式：
xC
Px , y P
i i i
C

Py , z P
i i i
C

Pz P
i
i i
重心
若以△Pi= △mi g , P=Mg 代入上式可得质心坐标公式
xC m x ,
i i
M
yC
m y ,z
i i
M
C
m z M
i 1 i 1
•主矩 M O M i ri Fi
i 1 i 1
力系的主矢和主矩
主矢 力系中各力的矢量和称为力系的主矢。 F FR 主矢与简化中心选择无关。只有大小和 方向,没有作用点概念. 思考:力系的主矢与合力的区别? 主矩 力系中各力对简化中心之矩的矢量和 称为力系对简化中心的主矩。 M O M O ( F ) 力系对简化中心的主矩和简化中心的选择有关。 力系的主矢和主矩是决定力系对刚体作用 效应（移动和转动）的两个基本特征量。
合力
FR
O

FR
O
FR
MO
合力
FR
d
O’ O
FR
d O’
(A) FR 0, M O 0, FR M O (B) FR 0, M O 0
d
FR M O FR2
(2)
FR 0, M O 0, FR M O
力螺旋 (wrench)
M O1 MO
M O1

FR
O

O x yC
y z
xC
重心
物体各部分所受重力的合力就是物体的重力。由各部分所受 重力组成的空间平行力系的中心，称为此物体的重心。 确定重心的物理意义：
重心的高低与支撑面的大小直接和物体稳定性密切相关
不论物体如何放置，重心相对于物体其相对位置不会改变。这 也是平行力系固有的特性。
重心
设物体由若干部分组成，其第i部分重为Pi，重心为 ( xi , yi , zi ) 则该物体的重心为：
F1r1 F2r2 Fnrn Fi ri rC FR Fi
•
空间平行力系的中心
y
z
FR F1 F2 rC r1 r2 zC C F3 Fn r3
2）直角坐标形式（投影式）
Fi xi xC , Fi
rn
Fi yi yC , Fi Fi zi zC Fi
M d F
分析：不能。力的移动只 能在同一个刚体上；因为刚架 不是一个刚体，所以力F不能从 D点平移到E点，即使是加附加 力偶也不行。
二、空间任意力系向一点简化
思路： 应用力的平移定理，将空间（平面）力系分解成两个力系，即
空间（平面）汇交力系和力偶系，然后，再将两个力系分别合成。
Fn
C
o
B A
O称为简化点
一、力的平移
F
B
A
F

A
B
F’
B
MB r BA A
B
F’
A
F
F”
力的平 移定理
{F }A {F ' , M B }B ,
F ' F , M B rBA F
M Fd M B ( F )
可以把作用于刚体上点A的力F平行移到同一刚体上 的任意点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加 力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。 物理含义: 力可使物体移动和转动 力的平移定理说明一个力和一个力偶可以进一步合 成为一个力。
四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN，试求该力
系对O点的简化结果，以及该力系的最简合成结果。
y
F2
60 °
A
B
F3
2m
F1 C O
3m
F4
30° x
y
解：1.求主矢。建立如图坐标系Oxy。
F2
60 °
A
B
F3
x Fx FR
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
可以看作一个三角形分布力和 q1 一个均匀分布力的叠加
q2
l
在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后在求解。
y
Q
q x dx x
xC
结论： 1、合力的大小等于线载荷所组成几何图形的面积。 2、合力的方向与线载荷的方向相同。 3、合力的作用线通过载荷图的形心。
•
例：在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有
作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大
小相等的平行力。
攻丝时为什么要两个手施力,用一个手会有 什么不好之处
?
问：能否将力F从D点移动 到E点并附加力偶。
F
D
Fra Baidu bibliotek
d
C
F
E
问：已知力F和力偶M，两者可 以合成为一个力，请问该力应 该在A点的左侧还是右侧?
B d
M
F
A B
A
M
F 分析：左边。合力应该在刚 体上A点的左侧。但是和原来的 力F平行且距离为d，
三、空间任意力系简化的最后结果
空间任意力系 {F1 , F2 ,, Fn } {FR , M O } 简化结果
1、 FR 0, M O 0 2、 FR 0, M O 0 3、 FR 0, M O 0 4、 FR 0, M O 0
平衡
合力 合力偶
?
(1)
FR 0, M O 0, FR M O
x3 1.5 cm , y3 0.5 cm , S3 3.0 cm2
Ai xi xC A S x S x S3 x3 1 1 2 2 S1 S2 S3 3 (1.5) 4 0.5 3 1.5 3 43 0.2 cm
Fn'
Mn
O
FR

F2
M2
F1'
F1
M1 F ' 2

O
MO
{F1 , F2 ,, Fn } {F1 ' , F2 ' ,, Fn ' , M1 , M 2 ,, M n } {FR , M O }
FR 一个作用在O点上的力, MO 一个作用在刚体上的力偶
n n n n
•主矢 FR Fi Fi '
§3 力系等效与简化
攻丝时为什么要两个手施力,用一个手会有 什么不好之处
?
. 空间一般力系简化
z
F1
F2
F3
y
o
x
Fi
Fn
•空间一般力系(general noncoplanar force system )： 力作用线在空间任意分布的力系 ？ 问题： {F1 , F2 ,, Fn } {FR , M O }
1 F F R
O
C
3m
2m
F4
30° x
0.598 kN
y Fy FR
F1 F2 sin 60 F4 sin 30
0.768 kN
0.598i 0.768 j FR
2. 求主矩
M O M O F
MO
FR
FR
2 F2 cos 60 2 F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
把该空间力系向O点简化，得到附加力偶矩
i
j
k
M O (F1 ) l 0 0 F1
0 F1lk M (F ) 0 O 2 0
i
j
k
F2
b h F2 hj - F2bk 0 0
得到主矩 得到主矢
MO (F) M MO (F1 ) MO (F2 ) 10j 10k
FR F2i F1 j 100i 100j
B
•
空间平行力系的中心
y
z
FR F1 F2 rC r1 r2 zC C F3 Fn r3
定义： 空间平行力系，当它有合力时， 合力的作用点C 就是该力系的中心。 平行力系的中心坐标公式
O x yC
rn
y z
xC
1）矢量形式
由合力矩定理： MO (FR ) MO (Fi )
rC FR r1 F1 r2 F2 rn Fn
yC Ai yi A S y S y S3 y3 1 1 2 2 S1 S2 S3 3 (4.5) 4 3 3 0.5 3 43 2.7 cm
拧螺丝时施加的力螺旋
工程中的力螺旋
工程中的力螺旋
空间力系合成的可能结果为：
平衡 合成为一个力 合成为一个力偶 合成为一个力螺旋
3 力系合成为合力偶
证 明
FB
MB
FA
MA
A
FR′=0，而 MO ≠ 0，则原
B
力系合成为一个矩为MO
的合力偶 。
如果向点B简化，则由力线平移
定理有
FΑ FB
此时力系主矩MO与简化中心无关。
（3）合成为一个作用于简化中心的合力 FR ≠0， MO=0，。
此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零。
（4）合成为一个不作用于简化中心的合力
FR ≠0， MO≠0
MO d FR '
(*)
FR FR FR
合力的大小等于原力系的主矢， 合力的作用线位置由公式（*）确定。
同向平行力系的合成 例 三角形分布载荷作用在水平梁上，如图所 示。最大载荷强度为qm ，梁长l。试求该力系的 合力。 解：先求合力。 x q qm l
1 FR qdx qm l 0 2
l
再求合力作用线位置。
M A qxdx
0 l
MA 2 h l FR 3
•
例3: 如图，梯形分布力向一点简化
i i
xC

V
x dV M
, yC

V
y dV M
, zC

V
z dV M
式中 M dV ，上式称为积分形式重心坐标公式。
V
对于均质物体， = 恒量，其重心即是其几何中心——形心。
重心的求法
对称法：具有对称点﹑对称轴﹑对称面的均质物体，其重心就在其对 称点﹑对称轴﹑对称面上。
讨论：
主矢 FR′
0
主矩 MO
0
合成结果
平衡
0 非0
非0
非0 0
非0
力偶 合力
合力
• 例1: 如图,求简支梁上线性分布载 荷的合力。
将荷载分布在线、面、体上的即为分布荷载，对应的分别为线 性分布荷载，面荷载，体荷载。 为了描述分布力，引入分布力集度q(x),即单位长度上的力. 如图所示的线性分布载荷，属于平面平行力系.
M O M O ( F )
一般情况下，主矩和简化中心的选择有关。由于主矢只是力系 中各力的矢量和，与简化中心的选择没有关系。
主矢
主矩 （1）平衡
F'R = F1 +F2+· · · +Fn=∑Fi MO = ∑ MO (Fi ) F'R =0， MO=0 F'R =0，MO≠0 代数和
（2）合成为力偶
分割组合法 • 例7：已知均质等厚Z 形截面，尺 寸如图。求：该截面的重心位置。
重心的求法
解：将该截面分割为三部分， 取Oxy直角坐标系，如图。
x1 1.5 cm , y1 4.5 cm , S1 3.0 cm2
x2 0.5 cm , y2 3.0 cm , S2 4.0 cm2
MO (F) M MO (F1 ) MO (F2 ) 10j 10k
FR F2i F1 j 100i 100j
FR Mo 0
力螺旋
•
。
例：在边长为 a 的立方体的A、B顶点上作用有大
小均为 F 的力F1和F2,试讨论此力系的最后合成结果 a
F1
A
F2
MB=MA+MB(FA′)
该力系的主矩不随简化 中心的位置而改变。
如果 则
0 FΑ
MB=MA
• 平面力系向一点的简化与合成
简化结果： 平面力系向作用面内任选一点 O简化，一般可得一个 力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中 心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。
Fx i Fy j FR
MO2
FR
O
FR
FR
d O’
o
FR
( M O FR ) FR M O1 FR2 FR M O oo' d FR2
M O1
O d
FR
O’ O
M O1
d
FR
O’
力螺旋是由静力学的两个基本要素（力和力偶）组成的最简单的 力系，不能进一步合成。力螺旋的力作用线称为该力系的中心轴。
受到的空气阻力构 成力螺旋
由于主矢和主矩都不为零，故最简合成结果是一个合力FR。如图所示。
FR FR
且合力FR到O点的距离 d
MO 0.51 m FR
例:已知正方体上受力情 况,求向A点简化结果
Fx F FRx Fy 0 FRy Fz F FRz
MA
F'R
2F FR
F F A
M Ax 0 M Ay 0 M Az Fa
简化结果为力螺旋
M A Fa
x
z y
• 例：一空间力系如图所示，已知F1=F2=100N，
M=20N· m，b=300mm，l =h=400mm。求力系的主矢 和主矩，并说明该力系的最简合成结果是什么。
解：
力F1 (0, F1 , 0)， 作用点A(l , 0, 0) 力F2 ( F2 , 0, 0)， 作用点B(0, b, h) 力偶矩矢量M Mj