矩阵分析与计算--08-矩阵极限与级数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
T
15 5 5
A 2 15 5 5
矩阵序列极限
设 x1 , x2 , xn ,
V F
mn
是线性空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
m
lim xm x 0
则称序列{xm }按 -范数收敛于x
1.矩阵序列极限
定义1： 设 为F
mn
中矩阵范数， An ,
a
( m) ij
a
( n) ij
,
m, n N
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
数列Cauchy收敛准则 数列{an}收敛的充要条件是：对于任给的正数ε, 总存在一个自然数N, 使得n,m>N时，都有 |an-am|<ε
a
( m) ij
a
( n) ij
,
m, n N
Am An
1 1
2
2
t1 1 1 1 1 t 2 2 23 2t3 n 1 n
2
n 1
D1 JD D1PAP1D
det(uE ( E A)) 0
det((u 1) E A) (1)n det((1 u) E A)
det((1 u) E A) 0
令1 u ,这说明为A的一特征值
0< μ <2 → μ ≠ 0
1 ( E A ) ( E A) 的行列式不为零,
H k k
3.一类特殊矩阵序列—收敛矩阵
定义 3 设 A 为方阵,且当 k 时 A → 0 ,
k
则称 A 为收敛矩阵.
定理2 方阵 A 为收敛矩阵的充要条件是 A 的 所有特征值的模值均小于1.
如果n阶方阵A的谱半径 （A）= max i
1i n
定理2：A 0 ( A) 1
Matrix Analysis and Computations
矩 阵 分 析 与 计 算 ——矩阵极限与矩阵级数 Matrix Limit & Series
理学院 2011年10月
本讲主要内容 矩阵极限、矩阵级数
矩阵极限 • 矩阵序列的收敛性 • 矩阵序列极限的性质 矩阵级数 • 矩阵级数的收敛性 • 判断规则 • 性质
2、幂级数
定义 5
A 为方阵, ck Ak ， A0 E 称为 A 的幂级数.
k=0
k A 称为 k=0
A 的 Neumann 级数.
Neumann级数收敛的充要条件
定理 5 Neumann 级数收敛的充要条件是 A 1 ( E A ) 为收敛矩阵,且在收敛时其和为 .
证明: [必要性] 级数 A 收敛, 其元素为
等价于 → 0 i = 1,2,
k i
k
k i
i = 1, 2 , ,s , 而这
,s ,
只有
i 1 才可能也必能.
定理3
A 0 存在某种范数 ，使得 A 1
k
定理 设A C
mn
, A 是A的任意矩阵范
数，则 （A） A
上 讲 内 容
引理1
设A C nn的谱半径为 ( A), 则对任意给
k
证明: 对任何方阵A,均存在可逆矩阵P, 使得
A= PJP
J1 J= Js
-1
其中J为A的Jordan标准形
J2
λi Ji =
1 λi 1 λi
1 λi
J 1k k k -1 = P A = PJ P
3 1
k 1, 2,
, n,
3 1 lim Ak = k → 0 1
2. 收敛矩阵序列的性质
设 Ak 、 Bk 分别收敛于 A、B, 则
1) aAk +bBk → aA+bB
k
2) Ak Bk AB
3) ( Ak ) A
1 1
k
k , ( Ak ) ，A 存在
1i n j 1 n
行范数
3）从属于向量的2-范数的算子范数为 A 2 1
—范数
谱范数
1是方阵AH A的最大特征值
练习
1 3 若A ,求 A 1 , A 2 , A 2 4 答案：A 1 7, A 6
5 5 A A 5 25
1 , 2 , , n 为矩阵A的特征值，故
令
ti 1
D diag (1, , 2 , , n1 )
显然，D是可逆矩阵，且有
1 t1 2 n 1 t2
D1 JD D1PAP1D
1 tn 1 n n 1
λ J ( )= 1 λ
k J2
P -1 k Js
考虑一个一般的Jordan块，
1 λ C r r 1 λ
记
0 U=
0 1 0
1 0
1 0
C r r 1 0
存在
而
E + A+ A +
-1
2
+A
k
k+1 E A = E-A
右乘 ( E - A)
E + A+ A +
当 k 时
2
+ A = (E - A )(E - A)
A (E - A) → 0
k k→ i=0
k
k+1
-1
A
k+1
→0
i=0
k+1
1
i i -1 A = lim A = ( E A )
2) 在有限维线性空间中，序列按范数收敛于x 等价于按坐标收敛于x
定理 设A (aij ) nn C nn , 则 1）从属于向量的1-范数的算子范数为 A 1 max aij
1 j n i 1 n
列范数
2）从属于向量的-范数的算子范数为 A max aij
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
J ( )=( E U )
k
k
i 1 d i k i i k i C k U U i i 0 i 0 i ! d k k
m
定的 0，总有一方阵范数 A m ( A)
,使
证明：
对于A C
nn
, 则有可逆矩阵P，使得
t2 (t1 , t2 , tn 1 n
1 t1 2 P 1 AP J
, tn 1是1 或 0)
A 称为其部分和, 称矩阵序列
k k=1
S1 , S2 ,
为矩阵级数的部分和序列
, Sk ,
若矩阵部分和序列 Sk 收敛,且有极限 S, 则称该级 数收敛,且有极限 S. 记为
A =S
k k=1
若矩阵级数
A 的所有元素 a
k k=1 k=1
(k ) ij
均
绝对收敛,则称该级数为绝对收敛
k =
( )
k '
1 k '' ( ) 2! ( k ) '
k
k
1 k ( r 1) ( ) (r 1)! 1 k ( r 2) ( ) (r 2)! k ' ( ) k
A → 0 就等价于 J → 0
矩阵序列Cauchy收敛准则 定理4： 矩阵序列{Ak}收敛的充要条件是：对于 任给的正数ε,总存在一个自然数N, 使得 n,m>N时，都有 ||An - Am||<ε
二 矩阵级数
1.矩阵级数的定义
定义 4 矩阵序列 Ak 的无穷和 A 1 + A2 +
n
+ Ak +
wk.baidu.com
叫做矩阵级数, 而 Sn =
1 t1 2 t2
tn 1 n
1
对任意矩阵B，定义
B
m
D PBP D
1
显然 B m 是C nn中方阵范数，对此方阵范数有
A m D1PAP1D
1 t1 2 t2
(k) ij (k) ij mn ,
→ aij , 则称 Ak 收敛, 并
把 A= (aij )mn 叫做 Ak 的极限, 或称 Ak 收敛 于 A. 记为
lim Ak = A 或 Ak → A
k →
k
与依范数收敛有什么关系？答：两者等价
例1
设
3k 1 sin(k ) 3 1 k k Ak 2 sin k k 1 2 k k
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
设 A1 , A1 , Ak , 0 是矩阵空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
k
lim Ak A0
则称序列{Ak }按 -范数收敛于A0
(k ) (0) 记Ak （aij ） , A （ a l p 0 ij ） l p
由数列Cauchy收敛准则，有
1 1
4) PAk Q PAQ
k
收敛矩阵序列的性质
5） 设{xn }为有限维赋范线性空间V中向量序列，
mn
{ Ak }为F
n
中矩阵序列，Ak F
n
mn
, 则有
mn
（1） lim xn x lim xn x, y 0, 对y V （2） lim Ak A lim tr ( Ak A) B 0, 对B F
1 j n
D1 JD
n 1
tn 1 n
max j max t j ( A)
1 j n 1
再证明定理3
A 0 存在某种范数 ，使得 A 1
k
定理 设A C mn , A 是A的任意矩阵范 数，则 （A） A
A1 , A2 ,
是矩阵空间F mn中的矩阵序列，若A F mn ,s.t
i
lim Ai A 0
则称{Am }按范数 收敛于A, 记为Ai A
不收敛的矩阵序列称为发散的。
矩阵序列收敛性的另外一种定义
定义 2: 设有矩阵序列 Ak , 其中 Ak = (a ) 且当 k → 时 a
nn
内上 容讲
引理1
设A C 的谱半径为 ( A), 则对任意给
m
定的 0，总有一方阵范数 A m ( A)
,使
充分性有定理2可推出，必要性由引理1可推出
例2 考虑矩阵是否为收敛矩阵
1 2 A 1 4 1 3 1 5
A 1 0.75 1, 故A收敛
一、矩阵极限
上讲内容（向量序列极限）
设 x1 , x2 , xn , 是线性空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
m
lim xm x 0
则称序列{xm }按 -范数收敛于x
定理 ：有限维线性空间中任何两种向 量范数都是等价的
向量序列收敛性的判别
定理1 1) 在有限维线性空间中，若序列 {xm}按某种范 数收敛于x，则按任何范数收敛于x ，即在有限 维线性空间中按范数收敛是等价的。
k k=0
Eij +(A)ij +(A2 )ij +(A3 )ij +
显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于 零是级数收敛的必要条件. 故
(Ak )ij → 0 k
A 0
k
k
也就是说A为收敛矩阵
[充分性]: A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小 于 1. E A 的特征值为 . 则由
0 0 i U =
1 r r C 0 0
r-i-1
(1 i r ),U k 0 (k r )
示例
0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
15 5 5
A 2 15 5 5
矩阵序列极限
设 x1 , x2 , xn ,
V F
mn
是线性空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
m
lim xm x 0
则称序列{xm }按 -范数收敛于x
1.矩阵序列极限
定义1： 设 为F
mn
中矩阵范数， An ,
a
( m) ij
a
( n) ij
,
m, n N
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
数列Cauchy收敛准则 数列{an}收敛的充要条件是：对于任给的正数ε, 总存在一个自然数N, 使得n,m>N时，都有 |an-am|<ε
a
( m) ij
a
( n) ij
,
m, n N
Am An
1 1
2
2
t1 1 1 1 1 t 2 2 23 2t3 n 1 n
2
n 1
D1 JD D1PAP1D
det(uE ( E A)) 0
det((u 1) E A) (1)n det((1 u) E A)
det((1 u) E A) 0
令1 u ,这说明为A的一特征值
0< μ <2 → μ ≠ 0
1 ( E A ) ( E A) 的行列式不为零,
H k k
3.一类特殊矩阵序列—收敛矩阵
定义 3 设 A 为方阵,且当 k 时 A → 0 ,
k
则称 A 为收敛矩阵.
定理2 方阵 A 为收敛矩阵的充要条件是 A 的 所有特征值的模值均小于1.
如果n阶方阵A的谱半径 （A）= max i
1i n
定理2：A 0 ( A) 1
Matrix Analysis and Computations
矩 阵 分 析 与 计 算 ——矩阵极限与矩阵级数 Matrix Limit & Series
理学院 2011年10月
本讲主要内容 矩阵极限、矩阵级数
矩阵极限 • 矩阵序列的收敛性 • 矩阵序列极限的性质 矩阵级数 • 矩阵级数的收敛性 • 判断规则 • 性质
2、幂级数
定义 5
A 为方阵, ck Ak ， A0 E 称为 A 的幂级数.
k=0
k A 称为 k=0
A 的 Neumann 级数.
Neumann级数收敛的充要条件
定理 5 Neumann 级数收敛的充要条件是 A 1 ( E A ) 为收敛矩阵,且在收敛时其和为 .
证明: [必要性] 级数 A 收敛, 其元素为
等价于 → 0 i = 1,2,
k i
k
k i
i = 1, 2 , ,s , 而这
,s ,
只有
i 1 才可能也必能.
定理3
A 0 存在某种范数 ，使得 A 1
k
定理 设A C
mn
, A 是A的任意矩阵范
数，则 （A） A
上 讲 内 容
引理1
设A C nn的谱半径为 ( A), 则对任意给
k
证明: 对任何方阵A,均存在可逆矩阵P, 使得
A= PJP
J1 J= Js
-1
其中J为A的Jordan标准形
J2
λi Ji =
1 λi 1 λi
1 λi
J 1k k k -1 = P A = PJ P
3 1
k 1, 2,
, n,
3 1 lim Ak = k → 0 1
2. 收敛矩阵序列的性质
设 Ak 、 Bk 分别收敛于 A、B, 则
1) aAk +bBk → aA+bB
k
2) Ak Bk AB
3) ( Ak ) A
1 1
k
k , ( Ak ) ，A 存在
1i n j 1 n
行范数
3）从属于向量的2-范数的算子范数为 A 2 1
—范数
谱范数
1是方阵AH A的最大特征值
练习
1 3 若A ,求 A 1 , A 2 , A 2 4 答案：A 1 7, A 6
5 5 A A 5 25
1 , 2 , , n 为矩阵A的特征值，故
令
ti 1
D diag (1, , 2 , , n1 )
显然，D是可逆矩阵，且有
1 t1 2 n 1 t2
D1 JD D1PAP1D
1 tn 1 n n 1
λ J ( )= 1 λ
k J2
P -1 k Js
考虑一个一般的Jordan块，
1 λ C r r 1 λ
记
0 U=
0 1 0
1 0
1 0
C r r 1 0
存在
而
E + A+ A +
-1
2
+A
k
k+1 E A = E-A
右乘 ( E - A)
E + A+ A +
当 k 时
2
+ A = (E - A )(E - A)
A (E - A) → 0
k k→ i=0
k
k+1
-1
A
k+1
→0
i=0
k+1
1
i i -1 A = lim A = ( E A )
2) 在有限维线性空间中，序列按范数收敛于x 等价于按坐标收敛于x
定理 设A (aij ) nn C nn , 则 1）从属于向量的1-范数的算子范数为 A 1 max aij
1 j n i 1 n
列范数
2）从属于向量的-范数的算子范数为 A max aij
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
J ( )=( E U )
k
k
i 1 d i k i i k i C k U U i i 0 i 0 i ! d k k
m
定的 0，总有一方阵范数 A m ( A)
,使
证明：
对于A C
nn
, 则有可逆矩阵P，使得
t2 (t1 , t2 , tn 1 n
1 t1 2 P 1 AP J
, tn 1是1 或 0)
A 称为其部分和, 称矩阵序列
k k=1
S1 , S2 ,
为矩阵级数的部分和序列
, Sk ,
若矩阵部分和序列 Sk 收敛,且有极限 S, 则称该级 数收敛,且有极限 S. 记为
A =S
k k=1
若矩阵级数
A 的所有元素 a
k k=1 k=1
(k ) ij
均
绝对收敛,则称该级数为绝对收敛
k =
( )
k '
1 k '' ( ) 2! ( k ) '
k
k
1 k ( r 1) ( ) (r 1)! 1 k ( r 2) ( ) (r 2)! k ' ( ) k
A → 0 就等价于 J → 0
矩阵序列Cauchy收敛准则 定理4： 矩阵序列{Ak}收敛的充要条件是：对于 任给的正数ε,总存在一个自然数N, 使得 n,m>N时，都有 ||An - Am||<ε
二 矩阵级数
1.矩阵级数的定义
定义 4 矩阵序列 Ak 的无穷和 A 1 + A2 +
n
+ Ak +
wk.baidu.com
叫做矩阵级数, 而 Sn =
1 t1 2 t2
tn 1 n
1
对任意矩阵B，定义
B
m
D PBP D
1
显然 B m 是C nn中方阵范数，对此方阵范数有
A m D1PAP1D
1 t1 2 t2
(k) ij (k) ij mn ,
→ aij , 则称 Ak 收敛, 并
把 A= (aij )mn 叫做 Ak 的极限, 或称 Ak 收敛 于 A. 记为
lim Ak = A 或 Ak → A
k →
k
与依范数收敛有什么关系？答：两者等价
例1
设
3k 1 sin(k ) 3 1 k k Ak 2 sin k k 1 2 k k
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
设 A1 , A1 , Ak , 0 是矩阵空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
k
lim Ak A0
则称序列{Ak }按 -范数收敛于A0
(k ) (0) 记Ak （aij ） , A （ a l p 0 ij ） l p
由数列Cauchy收敛准则，有
1 1
4) PAk Q PAQ
k
收敛矩阵序列的性质
5） 设{xn }为有限维赋范线性空间V中向量序列，
mn
{ Ak }为F
n
中矩阵序列，Ak F
n
mn
, 则有
mn
（1） lim xn x lim xn x, y 0, 对y V （2） lim Ak A lim tr ( Ak A) B 0, 对B F
1 j n
D1 JD
n 1
tn 1 n
max j max t j ( A)
1 j n 1
再证明定理3
A 0 存在某种范数 ，使得 A 1
k
定理 设A C mn , A 是A的任意矩阵范 数，则 （A） A
A1 , A2 ,
是矩阵空间F mn中的矩阵序列，若A F mn ,s.t
i
lim Ai A 0
则称{Am }按范数 收敛于A, 记为Ai A
不收敛的矩阵序列称为发散的。
矩阵序列收敛性的另外一种定义
定义 2: 设有矩阵序列 Ak , 其中 Ak = (a ) 且当 k → 时 a
nn
内上 容讲
引理1
设A C 的谱半径为 ( A), 则对任意给
m
定的 0，总有一方阵范数 A m ( A)
,使
充分性有定理2可推出，必要性由引理1可推出
例2 考虑矩阵是否为收敛矩阵
1 2 A 1 4 1 3 1 5
A 1 0.75 1, 故A收敛
一、矩阵极限
上讲内容（向量序列极限）
设 x1 , x2 , xn , 是线性空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
m
lim xm x 0
则称序列{xm }按 -范数收敛于x
定理 ：有限维线性空间中任何两种向 量范数都是等价的
向量序列收敛性的判别
定理1 1) 在有限维线性空间中，若序列 {xm}按某种范 数收敛于x，则按任何范数收敛于x ，即在有限 维线性空间中按范数收敛是等价的。
k k=0
Eij +(A)ij +(A2 )ij +(A3 )ij +
显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于 零是级数收敛的必要条件. 故
(Ak )ij → 0 k
A 0
k
k
也就是说A为收敛矩阵
[充分性]: A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小 于 1. E A 的特征值为 . 则由
0 0 i U =
1 r r C 0 0
r-i-1
(1 i r ),U k 0 (k r )
示例
0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0