14.3因式分解3-公式法
14.3.3因式分解(公式法-完全平方公式)
2
的多项式称为完全平方式.
完全平方公式
a b
2
a 2ab b
2
2
a 2ab b ；
2 2
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1．有三部分组成． 2．其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方， 另一部分是上述两数（或式） 且这两部分同号．
的乘积的2倍，符号可正可负．
一天,小明在纸上写了一个算式为
4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个
代数式的值都是正值,你不信试一试?”
4x 2 8x 11 2x 2 2x 2 22 7
2
2x 2 7 4 x 1 7
2 2
分解因式：
(1) 9x2+24x+16;
2 2
分解因式:
2x y
2
62x y 9
分解因式： (a b) 10(a b) 25．
2
因式分解：
(1)-a3b3+2a2b3-ab3 (2)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
(3)16x4-8x2＋1
因式分解：
(4)(y2 + x2 )2 - 4x2y2 (5)(a+b)2＋2(a+b)(a-b)＋(a-b)2
2 2
(3) x 2 xy y ； 是
2 2
(4) x 2 xy y ； 不是
2 2
(5) x 2 xy y ． 是
2 2
a2 2ab b2 (a b)2 ; a2 2ab b2 (a b)2
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出 相应的 a、 b 各表示什么？ (1) x 2 6 x 9；是 a表示x，b表示3.
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.3.2 公式法(第2课时)
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式: a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.解：(1)16x2+ 24x +9= (4x)2 + 2·4x·3 + 32= (4x + 3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+ 4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )（出示课件15）A . 11 B. 9 C. –11 D. –9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a –4b+5=0，求2a 2+4b –3的值.（出示课件23） 师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a –4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b –2)2=0∴ 2a 2+4b –3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )A ．a 2＋1B ．a 2–6a ＋9C ．x 2＋5yD ．x 2–5y2.把多项式4x 2y –4xy 2–x 3分解因式的结果是( )A ．4xy(x –y)–x 3B ．–x(x –2y)21020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩C．x(4xy–4y2–x2) D．–x(–4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2–4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2–8x＋m2是完全平方式，则m的值为_________ ．5. 把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36; (2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1–x2;6. 计算：(1) 38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327. 分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)1x2–2x＋3.3小聪和小明的解答过程如下：小聪: 小明:他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8. (1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．参考答案：1.B2.B3.14. ±45. 解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6. 解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17. 解: (1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2(2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28. 解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
14.3 因式分解习题课教学设计
14.3 因式分解习题课教学设计教学目标：1.灵活运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；2.小组合作交流，培养学生团队意识和集体荣誉感.3.经过练习和讨论，体验分析、类比及化归思想，整体思想.教学重点：灵活运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；教学难点：经过练习和讨论，体验分析、类比及化归思想，整体思想．一．温故知新（一）因式分解的定义因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积 . 像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.（二）因式分解的方法1、提公因式法①多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的_公因式．②确定公因式：系数部分是取多项式各项系数的最大公约数；字母部分是取多项式各项中同底数幂次数最低的．2、公式法①平方差公式：a2－b2＝（a+b）(a-b).②完全平方公式：(1)a2＋2ab＋b2＝_(a+b)2_；(2)a2－2ab＋b2＝_(a-b)2__. 二、考点解析（一）概念理解1、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( B )A．a(x－y)＝ax－ay B．x2－1＝(x＋1)(x－1)C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋12、把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )A．2(x2－8) B．2(x－2)2 C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－4 )3.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是(xy－1)2．4.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝ 9 ．5.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为 20 ．6.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式，则m＝－6或0 ．（二）几种类型的因式分解类型1 运用提公因式法分解因式1.分解因式：(1) a2b＋ab2（2）8a3b2－12ab3c 解：原式＝ab(a＋b) 解：原式＝4ab2(2a2－3bc)(3)3x(a－b)－9y(b－a)解：原式＝3x(a－b)＋9y(a－b)＝3(a－b)(x＋3y)(4)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3解：原式＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3＝5(x－2y)3(x＋4y)类型2 运用公式法分解因式2．分解因式：(1)a2－9b2 (2)4a2＋4ab＋b2解：原式＝(a＋3b)(a－3b) 解：原式＝(2a＋b)2(3)(x－1)2－6(x－1)＋9 (4)81x4－72x2y2＋16y4解：原式＝(x－1－3)2 解：原式＝(9x2－4y2)2＝(x－4)2＝(3x＋2y)2(3x－2y)2(5)(x2＋9)2－36x2解：原式＝(x2＋9－6x)(x2＋9＋6x)＝(x－3)2(x＋3)2类型3 公因式和公式法的结合分解因式3．分解因式：(1)ax2－4a解：原式＝a(x2－4)＝a(x＋2)(x－2)(2)3x3－24x2＋48x解：原式＝3x(x2－8x＋16)＝3x(x－4)2(3)－18b(a－b)2－12(a－b)3解：原式＝－6(a－b)2(3b＋2a－2b)＝－6(a－b)2(2a＋b)类型4 x2+(p+q)x+pq型式子的分解因式4．分解因式：(1)x2－4x-12解：原式＝(x＋2)(x－6)(2)3x3－21x2＋30x解：原式＝3x(x2－7x＋10)＝3x(x－2)(x-5)类型5 分组分解法分解因式5．分解因式：(1)3x3－6x2＋5x-10解：原式＝(3x3－6x2)＋(5x-10)＝3x2(x-2)+5(x-2)＝(x-2)(3x2+5)(2)x2－4xy-1+4y2解：原式＝(x2-4xy+4y2)-1＝(x-2y)2-1＝(x-2y+1)(x-2y-1)类型6 先去(添)括号后因式分解6．分解因式：(1)(x＋2)(x＋4)＋1解：原式＝x2＋6x＋9＝(x＋3)2(2)(a＋4)(a－4)＋4(a＋5)解：原式＝a2－16＋4a＋20＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2(3)1－x2＋2xy－y2解：原式＝1－(x2－2xy＋y2)＝1－(x－y)2＝(1＋x－y)(1－x＋y)三、总结反思1、通过本节课的活动，你有哪些收获？2、谈一谈，你还有哪些困惑呢？四、作业布置详见《精准作业》五、板书设计。
14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案
学科：数学授课教师：年级：八年级总第课时课题14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》课时教学目标知识与技能用完全平方公式分解因式过程与方法1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．情感价值观通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图复习提问1、分解因式：（1）－a2＋b2（2）2a－8a22、把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2思考解答复习引入完全平方公式1、把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2a b＋b2（a－b）2＝a2－2a b＋b2反过来，得到：a2＋2a b＋b2＝（a＋b）2a2－2a b＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2a b＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。
（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。
（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
尝试独立完成然后与同伴交流总结掌握完全平方公式分解因式特点例题练习1、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y22、练习：P119页：练习：1、2：（1）--（4）3、分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+364、练习：P119页：练习：2：（5）（6）5下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 思考动手板演归纳总结巩固知识因式分解的一般步骤1、把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44yx-；（2）33abba-；（3）22363ayaxyax++；（4）22)()(qxpx+-+；（5）4x2+20（x-x2）+25（1-x）22、分解因式的一般步骤：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到每个多项式因式不能再分解为止．3、练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；课堂小结1、完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
14.3因式分解 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
(4) 2ax2+6ax+4a (4) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2) =2a(x+1)(x+2)
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
请直接口答计算结果：
1.(x+2)(x+1)= x2+3x+2 2.(x+2)(x-1)= x2+x-2
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b﹍同号﹍，且a、b的符号与p的符号﹍相﹍同。 （2）当q＜0时，a、b﹍异号﹍，且﹍a、﹍b中﹍绝﹍对﹍值﹍较﹍大的﹍因﹍数与p的符号相同。
例２：试将x2 6x 16 分解因式
解： x2 6x 16
x2 6x 16
∴
x x
8 2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
独立练习：把下列各式分解因式
x2 2x 15 x2 13x 12
14.3公式法因式分解
各位评委老师，大家好！我说课的课题是公式法因式分解。
我将从教学背景、教法学法、教学过程以及板书设计四个方面进行说明。
首先是教学背景·教材的地位和作用分析如下：本节内容出自人教版数学八年级·上第14章第3节因式分解。
在此之前，学生已经学习乘法的平方差公式和因式分解的概念。
本节课这些知识的延伸与扩展，同时，本节课对学生以后学习解方程打下基础。
·以上是教材分析，那么学生作为学习的主体，其学情是什么样的呢？八年级学生的心理特点是形象思维能力较强，抽象思维能力基本成熟。
在知识方面，学生对公式的灵活运用存在困难，因此教师要给予适当的引导。
·根据新课标要求与学生实际，确定以下三维教学目标：知识与技能会运用平方差公式分解因式过程与方法培养学生知识的综合运用能力，向学生渗透整体思想。
情感态度价值观培养学生主动探究、合作交流的意识；并使学生感受到探究的乐趣与成功的喜悦，从而树立学习数学的信心。
·根据以上的分析，我确定如下的重点、难点重点是会运用平方差公式分解因式难点是对公式的灵活应用·为了实现教学目标，突出重点、突破难点，我对教法学法分析如下：在教学过程中，我遵循教师的主导地位与学生的主体地位相统一的原则，我采用的教法主要是问题探究式教学。
并充分利用多媒体来辅助教学。
与之相应的学法是：自主探究，合作交流，学练结合。
（不改了！）·第三部分：教学过程，本过程分5个环节：·环节1，创设情境，引入课题向学生提问什么是因式分解？提公因法的步骤是什么？设计意图：温故知新，激发兴趣，引入课题。
·环节2 师生合作，探究新知问题1. 你能将a2-b2因式分解吗？你是如何思考的？设计意图：学生先独立思考，然后小组讨论。
通过让学生回忆乘法的平方差公式，结合因式分解的定义，可以给出其因式分解。
然后教师补充，得出完整的归纳。
问题2. 观察得出的平方差公式，公式的项、指数、符号有什么特点？前面乘法的平方差公式有什么异同。
14.3 因式分解【教案】八年级上册数学
14.3.1提公因式法课时目标1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念,体会数学知识的内在含义与价值.2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,培养学生有条理的思考和运算能力.3.会利用因式分解进行简便计算,体会因式分解的价值,培养学生的创新意识.学习重点运用提公因式法分解因式.学习难点正确理解因式分解的概念,准确找出公因式.课时活动设计回顾引入1.回顾整式乘法完成填空:(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc.(2)(x+1)(x-1)=x2-1.(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.2.根据等式性质填空:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2-1=(x+1)(x-1).(3)a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:引导学生回顾旧知识,激活学生已有的知识体系,为学习新知识打下基础.探究新知探究1因式分解问题:回顾引入中第2组式子有什么共同特点?学生回答:将一个多项式化成多个整式相乘.教师引导并给出因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.p(a+b+c)pa+pb+pc通过观察,你发现因式分解和整式乘法有什么关系?学生发现:因式分解与整式乘法的互逆性.探究2提公因式法问题1:观察下列多项式有哪些相同因式?学生观察发现前者的相同因式为p,后者的相同因式为x.总结如下:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.师生活动:教师板书:pa+pb+pc=p(a+b+c).引导学生用文字进行总结:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.问题2:找出3x2-6xy的公因式,并思考如何确定一个多项式的公因式?师生活动:学生先独立思考,然后小组交流得出结论:公因式为3x.教师引导学生用文字总结如何确定一个多项式的公因式:1.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母;2.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.设计意图:通过具体问题的解决,让学生在观察、思考和操作的过程中,了解因式分解的概念,培养学生类比的思想方法和运算能力;学生从系数、字母、指数多个角度思考问题,培养学生思维的全面性和开阔性,养成积极思考的学习态度和创新意识.典例精讲例1把下列各式分解因式:(1)8a3b2+12ab3c;(2)2a(b+c)-3(b+c);(3)(a+b)(a-b)-a-b.解:(1)8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).(2)2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).(3)(a+b)(a-b)-a-b=(a+b)(a-b)-(a+b)=(a+b)(a-b-1).技巧:1.整体思想找公因式;2.整项被提取后,1不能丢;3.可以用整式乘法验证.例2以下因式分解是否正确?如果错误,请指出原因并改正.(1)把12x2y+18xy2分解因式.解:原式=3xy(4x+6y).解:不正确.正解:原式=6xy(2x+3y).注意:公因式要提尽.(2)把3x2-6xy+x分解因式.解:原式=x(3x-6y).解:不正确.正解:原式=3xx-6yx+1·x=x(3x-6y+1).注意:某项提出莫漏1.(3)把-x2+xy-xz分解因式.解:原式=-x(x+y-z).解:不正确.正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).注意:首项有负常提负.例3计算:(1)39×37-13×91;(2)29×20.16+72×20.16+13×20.16-20.16×14.解:(1)原式=3×13×37-13×91=13×(3×37-91)=13×20=260.(2)原式=20.16×(29+72+13-14)=2 016.例4已知a+b=7,ab=4,求a2b+ab2的值.解:∵a+b=7,ab=4,∴原式=ab(a+b)=4×7=28.设计意图:通过例题,让学生寻求不同的解题方法,体会在计算求值时,若式子各项都含有公因式,用提公因式的方法可使运算简便,感悟学习因式分解的作用,培养学生转化意识、整体思想,进一步训练运算能力.巩固训练1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是(C)A.5mnB.5m2n2C.5m2nD.5mn22.把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后,余下的部分是(D)A.x+1B.2xC.x+2D.x+33.简便计算:2 0132+2 013-2 0142.解:原式=2 013×(2 013+1)-2 0142=2 013×2 014-2 0142=2 014×(2 013-2 014)=-2 014.设计意图:巩固训练共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.整式乘法和因式分解的关系是方向相反的变形,因式分解的目的是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.2.找公因式的方法三定:定系数;定字母;定指数.3.提公因式的因式分解的步骤第一步找公因式,第二步提公因式.4.提公因式的技巧或注意问题1.要提尽;2.不漏项;3.提负数要注意变号.5.本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第115页练习第1,2,3题.2.作业.教学反思14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解课时目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化思想和逆向思维.2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,培养运算能力和应用意识.3.培养良好的推理能力,体会“化归”与“整体”的思想方法,形成灵活的应用能力.学习重点掌握平方差公式的特点,运用平方差公式进行因式分解.学习难点灵活应用平方差公式因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了平方差公式,今天先回顾一下.计算:(1)(x+2)(x-2);(2)(x-1)(x+1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x-2)=x2-4.(2)(x-1)(x+1)=x2-1.设计意图:从结构上认识本节课所研究的多项式的结构特点,引出课题,培养学生观察问题的能力和模型观念.探究新知问题:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?学生观察得出结论:a2-b2=(a+b)(a-b)是a,b两数的平方差的形式.追问1:你能根据符号语言写出文字语言吗?师生活动:教师引导学生结合整式乘法归纳出因式分解平方差公式的文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.追问2:如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能验证刚才的公式吗?师生活动:教师首先引导学生利用面积验证平方差公式,提问两名同学分别列出左右两个图形涂色区域的面积.左:涂色区域的面积=a2-b2;右:涂色区域的面积=(a+b)(a-b).根据左右涂色区域的面积相等得到:a2-b2=(a+b)(a-b).设计意图:通过利用拼图求面积验证平方差公式,培养学生多角度思考问题的习惯和图形语言、符号语言、文字语言的相互转化能力.典例精讲例1分解因式:(1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2.解:(1)原式=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)原式=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)].例2分解因式:(1)x4-y4;(2)a3b-ab.解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1).例3已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,∵x+y=1,①∴x-y=-2.②联立①②,组成二元一次方程组{x+y=1, x-y=−2,解得{x =−12,y =32. 例4 计算下列各题:(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4. 解:(1)原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400. (2)原式=4×(53.52-46.52) =4×(53.5+46.5)(53.5-46.5) =4×100×7=2 800.例5 求证:当n 为整数时,多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除. 证明:原式=(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)=4n ·2=8n , ∵n 为整数,∴8n 能被8整除.即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.设计意图:进一步通过例题强调平方差公式和因式分解的两种方法的综合应用,让学生体会若用平方差公式分解后的结果中有公因式,一定要再用提公因式法继续分解,分解到不能再分解为止,体会“一提二套三彻底”,培养学生归纳抽象能力和数学思想方法的掌握.巩固训练1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )A.a 2+(-b )2B.5m 2-20mnC.-x 2-y 2D.-x 2+9 2.把下列各式分解因式: (1)16a 2-9b 2= (4a +3b )(4a -3b ) ; (2)(a +b )2-(a -b )2= 4ab ; (3)2x 2-8= 2(x +2)(x -2) ; (4)-a 4+16= (4+a 2)(2+a )(2-a ) .3.如图,在边长为6.8 cm 正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm 的小正方形,求剩余部分的面积.解:根据题意,得6.82-4×1.62=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2).答:剩余部分的面积为36 cm2.设计意图:共设计3个题目,针对所学知识点对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结1.因式分解有哪些方法?2.能用平方差公式因式分解的结构特点是什么?3.平方差公式因式分解的步骤及注意问题有什么?4.本节用到什么研究问题的方法?5.根据本节的研究思路思考因式分解还有什么方法?设计意图:以提问的方式引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页习题14.3第2,5(4)题.2.作业.教学反思第2课时运用完全平方公式因式分解课时目标1.理解完全平方公式的结构特点,培养模型观念.2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.在运用完全平方公式法进行因式分解的同时,培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力.学习重点掌握完全平方公式的结构特点,运用完全平方公式进行因式分解.学习难点理解完全平方公式的结构特征,灵活运用完全平方公式进行因式分解.课时活动设计回顾引入之前学习了完全平方公式,今天先来回顾一下.计算:(1)(x+2)(x+2);(2)(x-1)(x-1).选两名学生黑板上板书计算过程:解:(1)(x+2)(x+2)=x2+4x+4.(2)(x-1)(x-1)=x2-2x+1.设计意图:通过复习旧知,巩固因式分解和整式乘法的关系,为探究新知做准备,回顾完全平方公式,注重知识间的联系和知识体系的渗透,培养知识的迁移能力.探究新知问题1:观察多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2,并回答下列各题.(1)每个多项式有几项?解:三项.(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?解:都是一个数的平方.(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?解:中间项是正负这两个数的积的2倍.追问:你能用符号语言和文字语言表述完全平方式吗?师生活动:选两名学生在黑板上板书整式乘法的完全平方公式.(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.等号两边互换位置,就得到:a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.教师引导学生用文字表述完全平方式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.问题2:你能把下面4个图形拼成一个正方形,并根据拼成的图形的面积写出等量关系吗?学生动手操作,通过拼图前后图形面积相等写出等量关系a2+2ab+b2=(a+b)2.设计意图:学生在归纳出完全平方式的结构特征后,尝试用符号语言和文字语言表述完全平方式,最后通过动手操作,以拼图的形式再次验证完全平方式,同时在探究过程中感受到学习数学的乐趣.典例精讲例1分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.解:(1)原式=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2.(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.例2把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a2+4)2-16a2.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.例3计算:(1)1002-2×100×99+992;(2)342+34×32+162;(3)7652×17-2352×17.解:(1)原式=(100-99)2=1.(2)原式=(34+16)2=2 500.(3)原式=17×(7652-2352)=17×(765+235)(765-235)=17×1 000×530=9 010 000.例4已知a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值.解:由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0,即(a+1)2+(b-2)2=0,解得a=-1,b=2.∴2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7.设计意图:通过多种方法的综合应用,感受因式分解给计算带来的便捷,选题层次分明考察各有侧重点,让学生体会“数式同性”,掌握研究方法和知识的迁移性,形成体系,培养数感和运算能力.巩固训练1.下列四个多项式中,能因式分解的是(B)A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是(B)A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.把下列多项式因式分解.(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(2)y2+2y+1-x2.解:(1)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b-1)2.(2)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).设计意图:共设计3个题目,针对所学内容对本节所学知识再巩固,检验学生的学习效果,准确地进行教学评价,帮助教师发现问题和进行教学改进.课堂小结(1)因式分解有哪些方法?(2)能用完全平方公式因式分解的结构特点是什么?(3)因式分解的步骤及注意问题有什么?(4)本节用到什么研究问题的方法?设计意图:引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获,把握本节课的核心,梳理本节课内容,回顾由具体到抽象的过程,总结方法,建立知识体系,体会类比、转化方法在研究数学问题中的重要作用,促进学生数学思维品质的优化.课堂8分钟.1.教材第119页练习第1,2题.2.作业.教学反思。
人教版八年级数学上册教学设计14.3 因式分解
人教版八年级数学上册教学设计14.3 因式分解一. 教材分析因式分解是八年级数学上册的教学内容，主要目的是让学生掌握因式分解的基本方法和技巧。
教材通过引入多项式的乘法，让学生理解因式分解的实质，进而学习提公因式法、公式法等因式分解方法。
本节课的内容在数学知识体系中具有重要的地位，为学生深入学习代数运算和方程求解打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备一定的代数基础。
但因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说较为抽象，需要通过实例分析、动手操作、小组讨论等方式，让学生逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解的基本方法，能够运用提公因式法、公式法等进行因式分解。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学的内在美。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和技巧。
2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法、公式法等进行因式分解。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法、引导发现法等，以学生为主体，教师为主导，充分调动学生的积极性，提高学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关教学PPT和教学素材。
2.设计好教学问题和练习题。
3.准备好黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的必要性，激发学生的学习兴趣。
例如：已知二次函数的图像，求其解析式。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和基本方法，引导学生观察、分析、归纳因式分解的规律。
通过PPT展示提公因式法、公式法等具体的因式分解方法。
3.操练（10分钟）让学生动手操作，尝试运用所学的因式分解方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生运用所学的因式分解方法进行解答。
教师选取部分学生的答案进行讲解和评价，及时巩固所学知识。
14.3 因式分解(提公式法)
举一反三
(1)a(a2+b2)-c(a2+b2) (2) 4m(n-3)+2(n-3) (3)2a(x-y)-3b(y-x) (4)4q(1-p)3+2(p-1)2
课堂小结
1．分解因式？
2．确定公因式的方法？
一看系数 二看字母 三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
做 提公因式法 .
思考：如何找公因式？
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因
式
4
最大公约数
ab
相同字母
a b2
最低指数
观察 方向 一看系数
二看字母
三看指数
知识要 点3
确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数；
（2）字母取多项式各项中都含有的相同 的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一 个，即最低次幂．
14.3 因式分解
——提公因式法
新课导入
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1.
根据上面的运算，你能把下列 多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x=____x_(_x_+_1_)__; (2)x2 – 1=__(_x_+_1_)_(x_-_1_) .
知识要 点1
公共的因式 m 多项式ma+mb+mc，它的各项都含有一个公共 的因式m，我们把因式m叫这个多项式各项的 公因式。
知识要 点2
ma+mb+mc =m(a+b+c) 这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的 形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一 个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以 m所得的 商,像这种分解因式的方法叫
14.3(7)因式分解--公式法-完全平方公式
14.3(7)因式分解--公式法-完全平方公式一．【知识要点】1.因式分解所用完全平方公式是 。
2.在对多项式进行因式分解时，应先考虑用 法，再用 法 。
3.因式分解必须进行到每个因式 为止（一般在有理数范围内）二．【经典例题】1．因式分解：()2114x x -+ ()22 2x 4xy 4y －＋－ ()23()4x y xy -+()24412()9()x y x y +-+-2.若2()2210x y x y --++=，则x y -=_____________。
3.下列多项式：①22y xy 2x -+ ②xy 2y x 22+-- ③22y xy x ++ ④2x 41x 1++，其中能用完全平方公式分解因式的有 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4个4．计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ）A.0B.1C.8.8804D.3.96015.若 a, b, c 是三角形的三边,且满足关系式0222=---++bc ac ab c b a ，试判断这个三角形的形状。
6．(2022年绵阳期末第13题）分解因式：x 2y ﹣2xy 2+y 3＝ ．三．【题库】【A 】1.下列多项式因式分解正确的是 （ ）A . 4-4a +a 2=(a -2)2B . 1+4a -4a 2=(1-2a ) 2C . 1+4x 2=(1+2x )2D . x 2+xy +y 2=(x +y )22．已知2210a a -+=，则2007a 等于 ( )A ．1B ．－1C D【B 】1.下列多项式能用完全平方公式分解的有（ ）⑴.a 2＋ab ＋b 2 ⑵.a 2－a ＋41 ⑶ .9a2 －24ab ＋4b 2 ⑷.－a 2 ＋8a －16 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.将下列各式分解因式（1）1102524++x x (2) 2816m m -+-(3) ()()962++-+n m n m【C 】1.下列多项式：①22y xy 2x -+ ②xy 2y x 22+-- ③22y xy x ++ ④2x 41x 1++ 其中能用完全平方公式分解因式的有 () A.1个 B.2个 C.3个D.4个 2.在多项式①x 2+2xy-y 2 ②-x 2-y 2+2xy ③x 2+xy+y 2 ④ 4x 2+1+4x 中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④3.因式分解:()21()2()1x y x y ++++4.下列多项式中能用完全平方是分解因式的有（ ）个⑴442++a a ⑵2241y xy x +-⑶412++-m m ⑷22469y xy x ++⑸2122++aa A.1 B.2 C.3 D.45.已知1251+=x a ,1351+=x b ,那么代数式ab b a 222-+的值是（ ） A.156 Ｂ.1- Ｃ.1 Ｄ.156-【D 】。
人教版初中数学八年级上册第十四章 公式法(第1课时)
14.3 因式分解/
14.3 因式分解
14.3.2 公式法(第1课时)
导入新知
14.3 因式分解/
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b
米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此
图形变换，你能得到什么公式？
a米
b米
(a–b)
a米 b米
a2– b2=(a+b)(a–b)
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b) ＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b–1).
探究新知
14.3 因式分解/
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
(1) 4x2 9;
(2) (x p)2 (x q)2.
解:(1)原式= (2x)2 32 (22x 33)(22x 33) ;
a2 – b2 = ( a+ + b) (a –b)
(x ap)2 (x bq)2
(2)原式=[（x+p）+（x+q）]×[（x+p）-（x+q）]
(2x p q)( p q).
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能 被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除， 即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积 的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
八年级数学上第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解第3课时公式法__平方差公式新新人教1
答案显示
1．a2－b2＝__(a_＋__b_)_(_a_－__b_)__，即两个数的平方差，等于这 两个数的__和______与这两个数的___差_____的积．
2．(2020·金华)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式 的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
(1)请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式； 解：答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律； 解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)证明这个规律的正确性． 证明：设m，n为整数(m＞n)，两个奇数可分别表示为2m＋ 1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)． ①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数， ∴4(m－n)一定是8的倍数； ②当m，n是一奇一偶时，m＋n＋1一定为偶数， ∴4(m＋n＋1)一定是8的倍数． 综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)3a2－48; 解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)；
(4)2a2(n－m)＋8(m－n)． 原式＝2a2(n－m)－8(n－m)＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－ m)(a＋2)(a－2)．
14.3因式分解(3)——公式法(完全平方公式)讲练课件-2023-2024学年人教版八年级数学上册
；
；
(2b－a)2
(3x＋2)2
；
－(a＋b)2
．
2．填空：
(1)若x2＋8x＋k是完全平方式，则k＝
16
；
(2)若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝
±4
.
3．分解因式：
(1)1＋10t＋25t2;
2
(2)y －y＋ .
(1)解：原式＝12＋2·1·5t＋(5t)2
＝(1＋5t)2.
2
(2)解：原式＝4a(x2＋2xy＋y2)
＝4a(x＋y)2.
4.分解因式：
(1)2x3＋4x2＋2x； (2)－4x3＋4x2y－xy2.
(1)解：原式＝2x(x2＋2x＋1)
＝2x(x＋1)2.
(2)解：原式＝－x(4x2－4xy＋y2)
＝－x[(2x)2－2·2x·y＋y2]
＝－x(2x－y)2.
(1)解：原式＝(x2)2－2·x2·4y2＋(4y2)2
＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2.
(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
(2)解：原式＝(x2－2x＋1)2
＝(x－1)4.
运用因式分解进行简便运算
例5 利用因式分解计算：342＋34×32＋162.
解：原式＝342＋2×34×16＋162
方公式分解因式的有(
A．1个
C )
B．2个
C．3个
D．4个
4．分解因式：
(1)x2－2xy＋y2＝
(2)4a2＋4ab＋b2＝
(x－y)2
(2a＋b)2
；
．
5．若4x2－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为
人教版数学八年级上第十四章14.3因式分解(教案)
一、教学内容
人教版数学八年级上第十四章14.3因式分解：
1.因式分解的概念及意义；
2.提公因式法；
3.公式法：平方差公式、完全平方公式；
4.交叉相乘法；
5.应用因式分解解决实际问题。
二、核解决问题的能力，提高数学运算素养；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调提公因式法和公式法这两个重点。对于难点部分，比如平方差公式和完全平方公式的应用，我会通过具体例子和对比来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过拆解积木的方式，演示因式分解的基本原理。
在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论和实验操作中表现得非常积极，他们能够将所学知识应用到实际问题中，这让我很欣慰。但同时，我也注意到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高。为了提高每个学生的参与度，我计划在下次活动中，鼓励每个小组成员轮流发言，让每个人都能积极参与到讨论中来。
此外，学生小组讨论的环节，大家普遍表现出了较高的热情，能够积极分享自己的观点和成果。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。在接下来的教学中，我会更加关注学生的需求，提出更有针对性的问题，激发他们的思考。
2.培养学生通过观察、分析、归纳发现数学规律的能力，增强逻辑推理素养；
3.培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提升数学建模素养；
4.培养学生在解决问题过程中，与同伴合作交流，发展数学交流素养；
5.引导学生体会数学知识在实际生活中的应用，培养数学应用意识和创新意识。
三、教学难点与重点
八年级上册 14.3因式分解(3个课时)
理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什
么？
（1） x2+y2；
×
（2） x2 -y2；
√
（3） -x2+y2； √
（4） -x2 -y2． ×
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项 式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
（1） a2 - 1 b2； 25
（3） -1+36b2；
（2）9a2 -4b2； （4）（2 x+y）2 -（x+2 y）2．
综合运用平方差公式
例2 分解因式： （1）x4 -y 4；（2）a3b-ab.
解：（1） x4 -y4 =（x2+y2）（x2 -y2） =（x 2 +y 2）（x+y）（x-y）；
解：（2） -x2+4xy-4 y2 =-（x2 -4xy+4 y2） =-（x-2 y）2．
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： （1） x2+12x+36； （2） -2 xy-x2 -y 2； （3） a 2 + 2a+1； （4）4x2 -4x+1．
综合运用完全平方式
例2 分解因式： （1）3ax 2+6axy+3ay2 ； （ 2）（a+b）2-1（2 a+b）+36 ．ห้องสมุดไป่ตู้
应用完全平方式
例1 分解因式： （1） 16x2+24x+9 ； （ 2）-x2+4xy-4 y 2 ．
14.3因式分解方法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际数学问题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对因式分解方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
b)公式法的应用：学生需要记住平方差和完全平方公式，并能够灵活应用到具体的因式分解问题中。
-举例：学生在分解$x^2 - 2x + 1$时可能会忘记是完全平方公式$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的应用。
c)十字相乘法的步骤：学生需要掌握十字相乘法的详细步骤，包括如何找到乘积项和常数项。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点内容，采用适当的举例、图示、练习等方法，确保学生能够透彻理解和掌握因式分解的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“14.3因式分解方法”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在数学学习中是否遇到过多项式难以简化的问题？”比如$x^2 + 2x + 1$，看起来复杂，但其实可以简化为$(x+1)^2$。这个问题与我们将要学习的因式分解密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解的奥秘。
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7 y( x 3 y)2 2 (1)3 ( x 3 y)3
7 y( x 3 y)2 2( x 3 y)3 ( x 3 y)2[7 y 2( x 3 y)] 2 2 ( x 3 y) ( y 2x) 1 6 6
第四关：总结概括
2
2
2
2
提升训练
2.用完全平方公式分解因式。
(1)16x 72x 81 (4x ) 2 4x 9 9
4 2
2 2
2
2
4x 9
2
2
2
(2)(x 1) 2( x 1) 1 [(x 1) 1]
2
x
2
注意整体思想和换元思想的运用！
提升训练
第二关：探究新知 a 2 2ab b2 (a b) 2
问题2：填写下表：(10分)
多项式
是否是完全平方式
4a 1 x 6 x 9 4a 4ab 1 4
2 4 ab a 2 b 2 3 9
不是
是
不是
a表示什么
b表示什么
2ab表示什么
（1）形如________________ a 2 2ab b2 形式的多项式可以用完全
平方公式分解因式。 （2）因式分解通常考虑______________ 提取公因式法 再考虑其它方法, 并且因式分解要彻底。 整体 数学思想和_____ 换元 数学思想。 （3）注意_____
思考题：
有一系列等式： 2 1 2 3 4 1 5 2 （12 3 1 1 ） 2 2 3 4 5 1 112 （2 2 3 2 1） 2 3 4 5 6 1 192 （32 3 3 1 ） 2 4 5 6 7 1 292 （4 2 3 4 1） ...... （1 ）根据你的观察，归纳 ，发现的规律， 写出8 9 10 11 1的结果 __________ ; ( 2)试猜想nn 1( n 2)(n 3) 1是哪个数的平方，并证 明。
2
2
问题3：请每个小组交流讨论完全平方式的特点。（5分） 1.必须是三项式。
2. 有两项是两个数或者两个式子的平方， 判断完全平方式要注意： 另一项是这两数或者这两个式子乘积的2倍或-2倍。
要先找出为两数平方和的项，然后再确 定剩余项是不是这两数的2倍或者-2倍。
2 2 首 2首尾 尾
“首” 平方, “尾” 平方,
2 2 1 1 1 1 ( 2) y 2 y y 2 2 y 1 y 16 2 4 4 4
4 4 2 2 2 ( a 2 b) 2 2 2 (3) ab a b a 2 a b 3 3 9 3 3 1 1 1 1 2 ( 4) x x x 2 x x 4 2 2 2
分析：两种情况： 2 2 （ 1 ）如果x (m 3) x 4 ( x 2) 则m 3 4即m 7; 2 2 (2)如果x (m 3) x 4 ( x 2) 则m 3 4即m 1; m 7或 1。
综合应用
5.已知a b 2, ab 2, 1 3 1 3 2 2 则 a b a b ab 的值为_______ . 5分） （ 2 2
“首” “尾”两倍中间放.
第三关：知识应用 a 2 2ab b2 (a b)2
基 础 训 练
提 升 训 练
综 合 应 用
过 关 测 试
基础训练
1.用完全平方公式分解因式。
(1) 4a 2 12ab 9b 2 (2a)2 2 2a 3b 3b2 2a 3b2
1.因式分解要彻底，直到不能分解为止。 2.在分解过程中还要有整体和换元思想。
第二关：探究新知
问题1：整式乘法中的完全平方公式是怎样的？
(a b) a 2ab b
2
2
2
(a b) a 2ab b
2
2
2 右边是整式的积
因式分解中的完全平方公式：
a 2ab b (a b) (a b)(a b) 2 2 2 a 2ab b (a b) (a b)(a b)
2.用完全平方公式分解因式。
(3)(m n) 10( m n) 25
4 2
[(m n) ] 2 (m n) 5 5 ] 2 2 2 2 2 [(m n) 5] (m 2mn n 5) 2n2 2 n 1 2n ( 4) x 18x 81x
表示为（a b) 2 或 （a b) 2的形式
x
3
2 x 3
不是三项多项式！ 完全平方公式中的两平方项应该做和而不是差！
是 x 2
不是
2 4 2 x 2 a 3 b 3 ab 3 2 1
1
( x 3)
2
x ( 1) 2 2
2
第二关：探究新知
a 2ab b 2 2 a 2ab b
14.2.2
因式分解
——完全平方公式
第一关：知识回顾
问题1：整式乘法中的平法差公式是怎样的?
答案:
(a b)(a b) a b
2
2
问题2：因式分解中的平法差公式是怎样的? 答案：
a b (a b)(a b)
2 2
你能熟练的运用平方差公式进行因式分解吗？
第一关：知识回顾
( x y) x y
2
2
过关测试
（5分） 3.如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ） A、20 B、 -20 (10 x y ) 100 x 20 xy y k 20. C、10 D、 -10 （5分） 4.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， 那么m的值为（ ） B A 、6 B、± 6 2 2 2 ( x 3 y ) x 6 xy 9 y C 、3 D、±3
998 （ 2） 1 1997
过关测试
1.把下列式子分解因式： （20分） 3 2 2 3 2 （1） 2a b 8a b 8ab ; (2)(x y) 4( x y 1); (3)(x y ) 4 x y ;
2 2 2 2 2
2
(4)(x 2 x) 2( x 2 x) 1;
2 2 2
m 6
过关测试
2x y 6 5.已知x, y满足 ，不解方程组， x 3 y 1 2 3 求7 y( x 3 y) 2(3 y x) 的值。
解： 7 y( x 3 y) 23 y x 7 y( x 3 y)2 2[(3 y x)]3
1 3 1 3 2 2 分析： a b a b ab 2 2 1 ab (a 2 2ab b 2 ) 2 1 1 2 ab ( a b) 2 2 2 4 2 2
综合应用
6.用简便方计算： (10分) 2 （ 1 ） 2008 64 16 2008 2 2 解：原始 2008 2 2008 8 8 2 2 （2008 8） 2000 4000000 2 （2） 999 1002 998 2 解：原始 （998 1 ）1002 998 2 998 2 998 1 1002 998 998 （998 2 1002） 1
2 2 2
2
2 2 ab ( a 2 b ) 解： (1)原始 2ab(a 4ab 4b )
2 (2)原始 ( x y) 4( x y) 4 （x y 2） 2 2 2 2 (3)原始 （x y ） (2xy)
2
( x 2 y 2 2xy)(x 2 y 2 2xy)
2 2 2
(x
n 1 2
) 2 x
n 1
9 9x
n 2
(x
n 1
9x )
n 2
提升训练
3.因式分解: 2 2 (1) 3ax 6axy 3ay 3a x 2 2 xy y 2
3a( x y)
(2)a 8a b 16b (a 4b )
2 2 2
左边是多项式
第二关：探究新知
形如
2 2
2 2
a 2ab b 或 a 2ab b 的多项式,
叫做完全平方式。 平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式 用完全平方公式分解因式的关键是： 判断一个多项式是不是一个完全平方式。
问题3：分解因式（）
(1)4a 9a
2
4
(2) (x 1) (x 1)
2
2 2
2
2
4a 9a
2 2
4
a (4 9a ) a (2 3a)(2 3a) 因式分解时，先考虑提取公 因式，再考虑其它方法。 2x (2) 4x
2
(x 1) (x 1) (x 1 x 1)(x 1 x 1)
4 2 2 4
2
2
2 2
[(a 2b)(a 2b)] 2 2 (a 2b) (a 2b) (3)(a 2 9) 2 36a 2 (a 2 9 6a)(a 2 9 6a)
2
(a 3) (a 3)
2
2
综合应用
2