等价关系与划分
4.5等价关系与划分
A,A ,..., A 的任一划分={ }, 可以唯一对应集合 A上 的一个等价关系：
1 2 k
R ( A1 A1 ) ( A2 A2 ) ... ( Ak Ak )
例 设A={1,2,3,4,5,6}, ={<1,4>,<2,5,6>,{3}}是 A的一个划分，求由划分所谓一确定的A上的 等价关系。 解：等价关系R为：两个元素之间有关系R当且仅 当它们处在同一个分块中，记 1={1,4}， 2={2,5,6}， 3={3} R1= 1× 1 R2= 2 × 2 R3= 3 × 3 R=R1∪R2∪R3
(1) (2) (3) (4) (5)
{{a},{b,c},{d}}, {{a,b,c,d}}, {{a,b},{c},{a,d}}, {,{a,b},{c,d}}, {{a},{b,c}},
例 设A＝{1,2,3},求出A上所有的等价关系. 解: 先求A的各种划分:只有1个划分块的划分1,具有两个 划分块的划分2,3和4,具有3个划分块的划分5,请看 下图|
等价类
定 义 4.5-2 R 是 非 空 集 合 A 上 的 等 价 关 系 ， xA，等价类[x]R={y|yA xRy}
例 A＝{1,2,3,4,5,8},R＝{<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 3)}, 其中x=y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除. R为A上的等价 关系,它的关系图如下所示,其中1~4,2~5~8,3~6. 解： [1]＝[4]＝{1,4}, [2]＝[5]＝[8]＝{2,5,8}, [3]= {3}.
等价关系的关系图
一个例子 A={1,2,3,4,5} R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>, <1,2>, <2பைடு நூலகம்1>, <1,5>, <5,1>, <2,5>, <5,2>, <3,4>, <4,3>}
概率论-第十五讲 等价关系和划分
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
14
二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（必要性）假设π诱导出R,R诱导出π′ 设a是A的任一元素,并设B和B′分别是π和π′的块, 使a∈B和B′，那么对任一b b∈B iff ［a］R =［b］R iff b∈B′ 所以,B=B′。 因为a是A的任一元素而π和π′都是A的覆盖,故π=π′。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
11
二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
10
二、划分
例4：①A={a,b,c}，则 S={{a,b},{b,c}}, Q={{a},{a,b},{a,c}}, D={{a},{b,c}}, G={{a,b,c}}, E={{a},{b},{c}}, F={{a},{a,c}}, 划分 最小划分 最大划分 既不是覆盖，也不是划分 覆盖 覆盖
回顾初中数学集合的等价关系与划分
回顾初中数学集合的等价关系与划分集合论是数学中的一个重要分支，其研究的核心概念之一是等价关系与划分。
等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系，而划分则是将集合拆分成多个不相交的子集。
本文将回顾初中数学中关于集合的等价关系与划分的基本概念和应用。
一、等价关系的定义与性质在集合的研究中，等价关系是一个非常重要的概念。
设集合A是一个非空集合，若一个二元关系R满足以下三个条件：自反性、对称性和传递性，即对于任意的a、b、c ∈ A，满足以下条件：1. 自反性：对于任意的a∈A，都有aRa；2. 对称性：对于任意的a、b∈A，若aRb，则bRa；3. 传递性：对于任意的a、b、c∈A，若aRb且bRc，则aRc。
则称R为A上的等价关系，记作R∼。
集合A中任意两个元素a和b满足a∼b，则称a与b等价。
等价关系具有一些重要的性质，如：1. 等价关系将集合划分成几个非空的等价类；2. 等价类具有相同的元素，且两个等价类要么完全相同，要么完全不相交；3. 对于集合A中的元素a，一定有a∼a，即每个元素都与自身等价；4. 对于集合A中的任意两个元素a和b，若a∼b，则b∼a；5. 若a∼b且b∼c，则a∼c，即等价关系具有传递性。
二、划分的定义与表示划分是将一个集合拆分成多个不相交的子集，即这些子集之间没有共同的元素。
设集合A是一个非空集合，若存在一个集合B，满足以下条件：1. A是B的全集，即每个元素都属于B；2. B的任意两个子集之间是不相交的，即任意的两个子集A1和A2满足A1∩A2=∅。
则称B为A的一个划分。
对于划分中的每个子集Ai，称其为划分的一个划块。
一般情况下，划分可以用花括号表示，如{A1, A2, A3, ...}。
其中Ai 表示划分的一个划块。
三、等价关系与划分的联系等价关系与划分是密切相关的概念。
事实上，等价关系可以帮助我们对集合进行划分，而通过划分，可以构建等价关系。
具体来说，在一个集合A上，我们可以根据等价关系R构建一个划分B。
4.6 等价关系与划分
R = R ⇔A R = A R 1 2 1 2
必要性显然成立。 证. 必要性显然成立。 充分性 设 A R = A R ，则当 (a,b)∈R时，有 1 1 2 b∈[a]R ，而 [a]R ∈A R = A R ，故存在 [c]R ∈A R 1 2 2 使 [a]R =[c]R ，于是由 a,b∈[a]R =[c]R 可知 aRb 2 即 (a,b)∈R2 ，说明 R ⊆R2 ，同理可证 R2 ⊆R 。 1 1
1
1
2
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2
• 上述三个定理表明集合 A上的任一等价关系可以 上的任一等价关系可以 的一个划分； 惟一地确定 A的一个划分；反过来，A的任一划 的一个划分 反过来， 的任一划 分也可以惟一地确定A上的一个等价关系 上的一个等价关系。 分也可以惟一地确定 上的一个等价关系。
定理4.6.1 设Ｒ是非空集合Ａ上的等价关系，则 上的等价关系， 定理 是非空集合； （1）若 a ∈ A ,则 [a ] 是非空集合； ） （2）若 aRb ,则 [a] = [b] ； ） （3）若 aRb ,则 [a ] ∩ [b] = ∅ ； ） （4） ∪ [a] = A ）
a∈A
上述定理表明，等价的元素属于同一等价类， 上述定理表明，等价的元素属于同一等价类， 即等价类与代表元的选取无关； 即等价类与代表元的选取无关；不等价的元素的 等价类是不相交的；进一步， 就是所有这些互 等价类是不相交的；进一步，A就是所有这些互 不相交的等价类之并。 不相交的等价类之并。
定义4.6.2 设Ｒ是集合Ａ上的等价关系,元素 a ∈ A 上的等价关系, 定义 称与 a 等价的元素所组成的集合为由 a 生成的等 价类， 的等价类， 价类，简称 a 的等价类，记为 [a]R 或简记为 [a ]， 即
等价关系与划分3.1
21
划分(partition)
注： 等价关系Ｒ把Ａ的元素分为若干类，各 类之间没有公共元素。 划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分 块(block).
6
例2(续)
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R) =rts( R ) =rst( R ) 自反 对称 传递 等价关 (等价闭包) 系
7
等价类(equivalence class)
设R是A上等价关系,xA,令 [x]R={ y | yA xRy }, 称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x].
Ｒ是等价关系，但不直观，用关系图表示。
三个不连通的图
19
二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把Ａ分 成了三个等价类，
（Ａ）＝｛｛０｝，｛１，２，３｝，｛４，５｝｝
A/R＝｛［０］，［１］，［４］｝ 例6 ： Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ≡ｂ （ｍｏｄ３）， ａ，ｂ∈Ｉ｝ 是整数集合Ｉ上模３同余的二元关系. 证明R是等价关系。
等价关系与划分
内容提要 等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数
1
等价(equivalence)关系
定义 同余关系 等价类 商集 划分 划分的加细 Stirling子集数
2
等价关系Equivalence Relations
[定义1] Ａ上的二元关系Ｒ，如果Ｒ是
22
也可表示为： [ 定义 ] 集合的划分：把集合Ａ分为若干子 集Ａ1，Ａ2，…，满足： （1）当ｉ≠ｊ时Ａi∩Ａj＝ （2） ａ∈Ａ， ｉ， 使ａ∈Ａi（ｉ＝１，２，…） 则集合 Pr（Ａ）＝｛Ａ 1 ，Ａ 2 ， … ，Ａ n，…｝ 称为Ａ的一个划分/partition。
等价关系,商集和集合的划分
等价关系,商集和集合的划分1.等价关系所需要的三个性质 --- 自反的，对称的，传递的必须同时具备，缺一不可2.同余关系纠正：同余关系需要三个数，一个正整数m，和两个整数a,b，如果整数(a - b)能够被m整除的话，则称a和b 是同余关系（需要注意的是整数0能够被仍和整数整除，整除的结果为0）1.关于第二点：负号不影响整除关系1通过特定规则（这个特定规则就是上面的这个生成元规则）获取的等价关系的子集称为等价类2.任何等价类都是非空集合，因为在这个等价类中一定包含了生成元本身3.有些等价类是完全相同的，有些等价类是完全不一样的4.所有等价类并在一起就能够得到总的集合a1.第二点的b证明处：证明两个集合没有交集的常用方法是反证法 --- 即证明有交集是矛盾的来得出没有交集这个结论2.关于第三点：两个集合互为子集则这两个集合等价1.商集其实就是集合的集合2.在集合中相同的元素只需要写一个，不用重复写最后一句话的意思就是：直到最后给定集合中的所有的元素都被找完第二部分 --- 集合的划分1.注意这里面的si都是非空集合a的非空子集1.通过等价关系，等价类和商集对集合进行划分1.关系的复合运算是左右两个关系中间一个圈，左右两个集合中间一个乘号这是笛卡尔积 --- 得到的结果是一个序偶集合，其中序偶的定义域由称号左边的集合元素提供，值域由乘号右边的集合元素提供2.上面这个等价关系是由每个划分的块集合的全关系序偶集合取并集得到的一个总的序偶集合，且每个块集合的全关系序偶集合都不一样（因为每个块集合的元素都不相同），所以等价关系这个序偶集合中的任意一个序偶元素都来自于某一个块集合的全关系序偶集合一个集合上的所有等价关系个数与这个集合的所有划分方式的个数相等。
集合的等价关系和划分
集合的等价关系和划分概述在集合论中，等价关系和划分是两个重要的概念。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种特定的关系，而划分则是将集合分为不相交的子集合。
本文将对这两个概念进行详细解释和讨论。
等价关系等价关系是一种二元关系，通常用符号“≡”表示。
对于集合A中的元素a和b，如果满足以下三个条件，则称a和b具有等价关系：1. 反身性（Reflexivity）：对于集合A中的任意元素a，a≡a成立。
2. 对称性（Symmetry）：对于集合A中的任意元素a和b，如果a≡b，那么b≡a也成立。
3. 传递性（Transitivity）：对于集合A中的任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，那么a≡c也成立。
等价关系可以将集合中的元素划分为等价类。
每个等价类包含具有相同等价关系的元素。
等价类之间两两不相交，并且它们的并集等于整个集合。
划分划分是将集合分为不相交的子集合的过程。
对于集合A，如果存在一个集合P，满足以下两个条件，则称P为A的一个划分：1. P中的每个元素都是A中的子集。
2. P中的元素两两不相交，并且它们的并集等于A。
划分可以通过等价关系来构建。
对于集合A中的元素a，可以定义P(a)为包含a的所有等价类组成的集合。
那么P={P(a)|a∈A}就是A的一个划分。
应用和重要性等价关系和划分在数学和计算机科学等领域具有广泛的应用。
它们可以用于建模和解决各种问题，例如图论、数据库设计和自然语言处理等。
在图论中，等价关系可以表示两个节点之间的等价性，从而简化网络分析和图算法的实现。
在数据库设计中，划分可以将数据分为多个不相交的部分，提高查询效率和数据管理的灵活性。
在自然语言处理中，等价关系和划分可以用于语义分析和情感分类等任务。
综上所述，了解和理解集合的等价关系和划分对于理解和应用集合论的相关概念和方法具有重要意义。
结论集合的等价关系和划分是集合论中的重要概念。
等价关系是一种特定的二元关系，可以将集合划分为等价类。
3.5等价关系和划分
定义3.5―2设k是一正整数而a,b∈I. 如果对某整数m，a-b=m·k，那么a和b是模k等 价,写成 a≡b(modk) 整数k叫做等价的模数。 （a除以k的余数与b除以k的余数相等 ）
例 [0] ={ kn|k∈Z}, [1] ={ 1+kn|k∈Z}, [2] ={ 2+kn|k∈Z},…, [n-1]={(n-1)+kn|k∈Z}.
(b)将一张纸撕成几片,则所得的各个碎片是 该纸的一个划分(参看图3.5―5). π={A1,A2,A3,A4}是A的划分,秩是4.
图 3.5―5
(c)集合族 {{x,-x}|x∈I }是I的秩无限的一个划分。 的秩无限的一个划分。
(d)设A是非空集合， 是非空集合，那么ρ(A)-{∅}是非空集合族， 是非空集合族，这 个集合族是A的一个覆盖， 的一个覆盖，而不是A的划分， 的划分，除非A是单 元素集合。 元素集合。
1. 在全体中国人所组成的集合上定义的“ 在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓” 同姓”关系； 关系； 2. 对任何非空集合A，A上的全关系； 上的全关系； 3. 三角形的“ 三角形的“相似关系” 相似关系”、“全等关系” 全等关系”； 4. 直线的“ 直线的“平行关系” 平行关系”； 5. “朋友” 朋友”关系。 关系。
离散数学
Discrete Mathematics
3.5等价关系和划分
张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10
目录
3.5.1 等价关系 3.5.2 划分 3.5.3 划分的积与和
8个定义 16个定理
2011-1-10
离散数学
2
3.5.1 等价关系
定理 3.5―7 设A是非空集合， R是 A上的等价 关系。R的等价类集合{［ a］ R｜ a∈A}是A 的划分。 的划分 定义3.5―6 设R是非空集合A上的等价关系， 称划分{［a］R｜a∈A}为商集 商集A/R，也叫A 模R。 显然， ∪A/R=A（商集就是A的一个划分 ） 由商集的定义和定理3.5―5立即可得: 定理 3.5―8 设 R1 和 R2 是非空集合 A 上的等价 关系，那么R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。
等价关系与划分
• • • • •
例：'={{1},{2},{3,4}}，={{1,2}, {3,4}} 因为{1}{1,2}，{2}{1,2}， {3,4}{3,4}， 所以'细分 若 ' 细分 , 则与它们对应的二元关系 R' 和R它们之间有何联系？
• (1)若 '细分 ,则与它们对应的二元关系 R'和R满足R'R。 • 证明：对任意(a,b)R‘，目标是(a,b)R • (2)若R'R，是否有'细分？ • 证明：对任意S‘’,目标是S • S‘S • 定理 2.17：设',是A的划分,它们确定A 上的等价关系分别为R,R',则'细分当 且仅当R'R。
• 作业:p42 19,25(2),26,28,35,38, 39
• 证明：(1)对任一aA，因为R是A上的等 价关系，所以有aRa(R自反)，则a[a]。 • ( 2 ) 对 a,bA, aRb, 分 别 证 明 [ a][b]， [b][a]。 • 对任意x[a](目标证明x[b]，即xRb)。 • 下面证明[b][a] • 对任意x[b](目标证明x[a]，即xRa)。 • (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]= • 采用反证法。假设[a]∩[b]≠，则至少存 在x[a]∩[b]。
• 2.划分的和 • 设集合 A 上的等价关系为 R1 和 R2, 容易证 明 R1∪R2 是 A 上的自反和对称关系 , 但不 是 A 上的等价关系。然而 R1∪R2 的传递 闭包是A上的等价关系。 • 定理 2.19:设R1和R2是集合A上的等价关 系,则(R1∪R2)+是A上的等价关系。 • 定义 2.18:设R1和R2是A上的等价关系, R1 和R2确定A的划分分别为1和2。 A上 的等价关系 (R1∪R2)+ 所确定 A 的划分称 为1与2划分的和,记为1+2。
等价关系与划分
4.4 等价关系与划分等价关系：同时具有自反、对称和传递性。
等价关系是最重要、最常见的二元关系之一。
4.4 等价关系与划分定义4.13设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的定义4.13，则称R为A上的等价关系。
设R为等价关系，如果<x,y> R，称x等价于y，记作x~y。
例如，实数集上的相等关系、幂集上的各子集间的相等关系，三角形集合上的三角形的相似关系都是等价关系。
因为等价关系是自反、对称和传递的，可以通过关系矩阵和关系图判断某关系是否是等价关系。
设A ={1, 2, …, 8}，A 上的关系R 定义如下：R={<x, y> | x, y ∈A ∧x ≡y(mod 3)}其中x ≡y(mod 3)叫做x 与y 模3相等，即x 除以3的余数与y 除以3的余数相等或x −y 可被3整除。
可以验证R 为A上的等价关系：例4.21 4.4 等价关系与划分（1）自反：∀x∈A，x ≡x(mod 3)，即<x, x>∈R。
（2）对称：∀x, y∈A，若x ≡y(mod 3)即<x, y>∈R，则y ≡x(mod 3)即<y, x>∈R。
（3）传递：∀x, y, z∈A，若x ≡y(mod 3)且y ≡z(mod 3)，则x ≡z(mod 3)。
该关系的关系图如下：Sed ut perspiciatis unde omnis.68%定义4.14设R 为非空集合A 上的等价关系， x ∈A ，令[x]R ={y | y ∈A ∧xRy}称[x]R 为x 关于R 的等价类，简称为x 的等价类，简记为[x]。
x 的等价类就是A 中所有与x 等价的元素构成的集合。
如例4.21中的等价类有：[1] = [4] = [7] = {1, 4, 7}[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}[3] = [6] = {3, 6}4.4 等价关系与划分定理4.144.4 等价关系与划分定理4.19设R 是非空集合A 上的等价关系，则（1）∀x∈A，必定有[x]≠∅且[x]⊆A 。
冲刺高考数学等价关系与划分、商集的概念
冲刺高考数学等价关系与划分、商集的概念在高考数学的众多知识点中，等价关系、划分和商集这几个概念对于我们理解和解决数学问题起着重要的作用。
让我们一起来深入探讨一下这些概念。
首先，什么是等价关系呢？等价关系是集合中的一种特殊关系，它具有三个重要的性质：自反性、对称性和传递性。
自反性指的是对于集合中的任意一个元素 a，都有 a 和 a 具有这种关系。
比如说，如果我们定义在整数集合中，两个整数的差是 3 的倍数为一种等价关系，那么对于任意整数 a，a a ＝ 0 肯定是 3 的倍数，所以满足自反性。
对称性说的是如果元素 a 和 b 具有这种关系，那么 b 和 a 也具有这种关系。
还是以上面的例子来说，如果整数 a 和 b 的差是 3 的倍数，那么 b 和 a 的差也一定是 3 的倍数。
传递性则表示如果 a 和 b 具有这种关系，b 和 c 具有这种关系，那么 a 和 c 也具有这种关系。
比如在上述等价关系中，如果 a 和 b 的差是3 的倍数，b 和 c 的差是 3 的倍数，那么 a 和 c 的差也必然是 3 的倍数。
理解了等价关系，我们再来看看划分。
划分是把一个集合分成若干个互不相交的子集，这些子集的并集就是原来的集合。
举个简单的例子，对于集合{1, 2, 3, 4, 5, 6}，我们可以按照奇数和偶数进行划分，得到两个子集{1, 3, 5}和{2, 4, 6}，这两个子集互不相交，且它们的并集就是原集合。
那么划分和等价关系又有什么联系呢？其实，通过一个等价关系可以确定一个集合的划分，反之，一个集合的划分也能确定一个等价关系。
比如说，对于刚才整数集合中两个整数的差是 3 的倍数这个等价关系，它所确定的划分就是把整数集合划分为三个互不相交的子集：｛，－3, 0, 3, 6, ｝，｛，－2, 1, 4, 7, ｝，｛，－1, 2, 5, 8, ｝。
接下来我们说一说商集。
商集是由等价关系所确定的划分中的子集构成的集合。
《应用离散数学》方景龙版-3.4等价关系与划分
《应⽤离散数学》⽅景龙版-3.4等价关系与划分§3.4 等价关系与划分习题3.41. 对于给定的集合A 和其上的⼆元关系R ，判断R 是否为等价关系。
（1）A 为实数集，A y x ∈?，，2=-?y x xRy 。
（2）}321{，，=A ，A y x ∈?，，3≠+?y x xRy 。
（3）+=Z A ，即正整数集，A y x ∈?，，是奇数xy xRy ?。
（4）)(X P A =，集合X 的基数2||≥X ，A y x ∈?，，x y y x xRy ?∨??。
（5）)(X P A =，集合X 和C 满⾜X C ?，A y x ∈?，，C y x xRy ?⊕?。
解略2. 设}{d c b a A ，，，=，对于A 上的等价关系A I c d d c a b b a R }{><><><><=，，，，，，，画出R 的关系图，并求出A 中各元素关于R 的等价类。
解 R 的关系图如下：A 中各元素关于R 的等价类分别为：},{][][b a b a ==，},{][][d c d c ==3. 考虑单词的集合}{sit wind wash sky last sheet W ，，，，，=。
1R 和2R 分别是由“具有同样多的字母”和“具有相同的开头字母”定义的等价关系。
求由1R 和2R 确定的商集1/R W 和2/R W 。
解略4. 给出模6同余关系，并求出所有的模6同余类。
解模6同余关系)}6(mod |{b a b a b a R ≡∧∈><=Z ，，所有的模6同余类为：510}|5{][，，，， =∈+=i z i z i Z即},20,15,10,5,0,5,10,15,20,{]0[ ----=},21,16,11,6,1,4,9,14,19,{]1[ ----=},22,17,12,7,2,3,8,13,18,{]2[ ----=},23,18,13,8,3,2,7,12,17,{]3[ ----=},24,19,14,9,4,1,6,11,16,{]4[ ----=5. 设}656443422120{ ，，，，，，，，，，，，><><><><><><=A ，判断下列关系是否等价关系，若是等价关系，试给出它的等价类。
05-等价关系与划分
–
–
等价关系与集合运算
假设R1, R2均为集合X上的等价关系，回答下列 问题：
– –
R1 R2 是否仍为等价关系？ R1 R2 是否仍为等价关系？
传递性不能保持
–
X2-R1 是否仍为等价关系？
自反性不能保持
集合的划分
A
A6
A1 A5 A2 A4 集合A的 分划 , , 是A的一组非 空子集的集合，即 (A), 且满 足： 1. 对任意 xA, 存在某个 Ai, 使 得 xAi. i.e. Ai A
交叉划分
若1和2和都是A上的划分，则={xy|x1, y2, xy非空}称为1和2的交叉划分 若1和2分别对应于R1和R2，则=对应于R1R2
–
A
<a,b> R1R2 当且仅当 存在x1, y1 （xy非空） 使得a,b均在xy中。 A A
交叉
1
– –
–
–
每个等价类是A的一个非空子集。 如果xRy，则[x]=[y] 如果非xRy，则[x][y]= 所有等价类的并集等于A
商集A/R：所有等价类的集合
等价关系的关系图
一个例子 A={1,2,3,4,5} R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>, <1,2>, <2,1>, <1,5>, <5,1>, <2,5>, <5,2>, <3,4>, <4,3>} R(1) 2
1
5
3
注意：R(1)即R(2) 或R(5); R(3)即R(4)
概率论-第十五讲 等价关系和划分
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
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二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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B∈π
二、划分
例5：设A={a,b,c,d,e}，划分S={{a,b},{c},{d,e}}, 由S确 定A上等价关系R。 解：R={a,b} ×{a,b} ∪{c} ×{c} ∪{d,e} ×{d,e} = {〈a,a〉, 〈a,b〉, 〈b,a〉, 〈b,b〉, 〈c,c〉, 〈d,d〉, 〈d,e〉, 〈e,d〉, 〈e,e〉} 若已知等价关系，求划分，则把有R关系的元素放到一 个划分块即可。
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一、等价关系
09_划分、等价关系
例：A = {1,2,3,4} A的划分： 的划分： 的划分 S1 = {{1,2},{3},{4}} S2 = {{1},{2},{3},{4}} S3 = {{1,2,3,4}}
最大划分 最小划分
S1是S3的加细 , 是 的加细 S2是S1的加细 , S2是S3的加细 是 的加细 是 的加细
说明： 说明： 的划分， ① A 的划分， 是 A 的幂集 P(A) 的子集 最大(最细 划分： 最细)划分 ② 最大 最细 划分：{ {a}｜a∈A } ｜ ∈ 最小(最粗 划分 最小 最粗)划分：{ A } 最粗 划分：
任意元素的等价类，非空； 任意元素的等价类，非空； 不同元素的等价类，相等或不相交； 不同元素的等价类，相等或不相交； 所有元素的等价类， 所有元素的等价类，并集为 A 。 例：{ 1,4,7 } 、{2,5,8 } 、{ 3,6 }
利用非空集合A上的等价关系 ， 利用非空集合 上的等价关系R， 上的等价关系 可以构造一个新集合——商集。 商集。 可以构造一个新集合 商集 定义： 定义： 是非空集合A上的等价关系 设R是非空集合 上的等价关系 是非空集合 上的等价关系, 令 A/R = { [a]R | a∈A }, ∈ 的商集。 称 A/R 为 A 关于 R 的商集。
例：A = {1,2,3,4}， ， 上等价关系的数目？ 问A上等价关系的数目？ 上等价关系的数目 解：欲求A上等价关系的数目 欲求 上等价关系的数目 先求A的划分的数目。 先求 的划分的数目。 的划分的数目 考虑划分中划分块的类型： 考虑划分中划分块的类型： 4 = 2+2 = 1+3 = 1+1+2 = 1+1+1+1
③对于任意的<a,b>,<b,c>∈R，有 对于任意的 ∈ ， a≡b(mod n), b≡c(mod n) 即存在整数k、 ， 即存在整数 、h， 使a-b=k·n，b-c=h·n， ， ， 那么有 a-c=(a-b)+(b-c)=(k+h)·n ∴有a≡c(mod n) ∴ <a,c>∈R ∈ ∴ R是传递的 是传递的 综合① 综合①、②、③，∴ R是等价关系 是等价关系
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例：'={{1},{2},{3,4}}，={{1,2}, {3,4}} 因为{1}{1,2}，{2}{1,2}， {3,4}{3,4}， 所以'细分 若 ' 细分 , 则与它们对应的二元关系 R' 和R它们之间有何联系？
• (1)若 '细分 ,则与它们对应的二元关系 R'和R满足R'R。 • 证明：对任意(a,b)R‘，目标是(a,b)R • (2)若R'R，是否有'细分？ • 证明：对任意S‘’,目标是S • S‘S • 定理 2.17：设',是A的划分,它们确定A 上的等价关系分别为R,R',则'细分当 且仅当R'R。
• 三、等价关系与划分 • 定义 2.14：设R是A上的等价关系, 对于 每个aA,与a等价的元素全体所组成的集 合称为由 a 生成的关于 R 的等价类 , 记为 [a]R, 即[a]R={x|xA,xRa},a称为该等价类 的代表元。 • 在不会引起误解的情况下 , 可把 [a]R 简记 为[a]。 • 定义 2.15 ：设 R 是 A 上的一个等价关系 , 关于R的等价类全体所组成的集合族称为 A 上 关 于 R 的 商 集 , 记 为 A/R, 即 A/R={[a]|aA}。
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定理 2.13：设R是A上的等价关系, 则 (1)对任一aA,有a[a]; (2)若aRb, 则[a]=[b]; (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]=;
(4) [a] A
aA
此定理的(1)说明A中每个元素所产生的等价类是非空的 定理的 (2)、 (3)说明：互相等价的元素属于同一个等价类， 而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素 定理的(4)说明：A上等价关系R所对应的等价类的并就等于 A. 由此定理说明 A 上等价关系 R 所对应的等价类集合是 A 的 一个划分。 该定理告诉我们，给定一个等价关系就唯一确定一个划分。
• 例：设整数集 I 上的模 2 同余关系为 R, 这 是I上的等价关系。 • 在 R 下，把 I 中所有与 0 有关系即与 0 等价 的整数划分为一类，记为E； • 与1等价的所有整数划分为一类，记为O • 集合 I 中的元素或者属于 E，或者属于 O, 且它们互不相交。 • 由关系R把I分为两类：E和O， • 这就是I的一个划分。
(4) [a] A
aA
对任意的x [a], 必存在某个 a A, 使得x [a] A
aA
所以[a[ x] [a]
aA
所以A [a]
aA
因此有[a] A
aA
• 例 ： 设 A={1,2,3,4}，R={(1,1),(2,2), (3,3),(4,4),(1,3),(2,4),(3,1), (4,2)} 为等价关 系。 • 其等价类为[1]={1,3} • [2]={2,4} • [3]={1,3} • [4]={2,4} • 划分={[1],[2]} • 前面是给定等价关系唯一确定划分，反 过来，给定一个划分，也可唯一确定一 个等价关系。
• 定理 2.15:设R1和R2是A上的等价关系,R1=R2 当且仅当A/R1=A/R2。 • 定理 2.13 和定理 2.15 说明集合A上的任一等 价关系可以唯一地确定A的一个划分。 • 定理 2.14和定理 2.15说明集合 A的任一划分 可以唯一地确定A上的一个等价关系。 • 集合 A 上给出一个划分和给出一个等价关系 是没有什么实质区别的。 • 设集合A上的等价关系为R1和R2,它们通过并 和交运算而得到的关系是不是等价关系? • 若是,其对应的划分与原来的两个划分有何联 系。
• 四、划分的积与和 • 1.划分的积 • 定理 2.16：设R1和R2是A上的等价关系,则 R1∩R2是A上的等价关系。 • 定义 2.16：设R1和R2是A上的等价关系, 由 R1和 R2确定的A的划分分别为 1和2,A上 的等价关系 R1∩R2 所确定的 A 的划分 , 称为 1与2划分的积,记为1· 2。 • 定义 2.17：设和'是A的划分, 若'的每 一块包含在的一块中, 称'细分,或称' 加细。
• 例：整数集 I 上的模 2 同余关系 R，其等价类为 [0],[1]。 • 其中 [0]={ … ,-4,-2,0,2,4, … }=[2]=[4]=[-2]=[4]=… • [1]={…,-3,-1,1,3,…}=[3]=[-1]=[-3]=… • 因此A/R={[0],[1]} • 例 :整数集 I上的模 n同余关系是 I上的等价关系。 I上关于R的等价类为： • [0]={…,-2n,-n,0,n,2n,…} • [1]={…,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,…} • … • [n-1]={…,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,…} • 这些类又称I上模n同余类。 • I上关于R的商集I/R={[0],[1],…,[n-1]}
• 证明：(1)对任一aA，因为R是A上的等 价关系，所以有aRa(R自反)，则a[a]。 • ( 2 ) 对 a,bA, aRb, 分 别 证 明 [ a][b]， [b][a]。 • 对任意x[a](目标证明x[b]，即xRb)。 • 下面证明[b][a] • 对任意x[b](目标证明x[a]，即xRa)。 • (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]= • 采用反证法。假设[a]∩[b]≠，则至少存 在x[a]∩[b]。
• 设非空集A上划分={A1,A2,…,An}，定义A 上二元关系 R：aRb 当且仅当存在 Ai, 使得 a,bAi。 • 即R=(A1A1)∪(A2A2)∪…∪(AnAn) • 容易证明R是等价关系。 • 定理2.14：集合A上的任一划分可以确定 A 上的一个等价关系R。 • 例：设 A={a,b,c} 的一个划分 ={{a,b},{c}}, 由确定A上的一个等价关系R： • R=({a,b}{a,b})∪({c}{c})={(a,a),(a,b),(b,a) ,(b,b), (c,c)}