二次根式定义解读

二次根式定义解读 我们知道：一般地，形如a )0(≥a 的式子的式子叫做二次根式，而a )0(≥a 也表示a 的算术平方根，所以可得,0≥a )0(≥a . 这里要注意的是两个非负数：a 是非负数，被开方数是非负数，那么它们在实际问题中有什么作用呢？

1. 条件)0(≥a 的作用：列不等式，可求被开方数中，字母的取值范围.

例1 当a -1

1++a 有意义时，a 的取值范围是 . 析解：此式中含有二次根式，被开方数为非负数，得,0≥-a

含有分式，分母不为零，得01≠+a , a 的取值应使以上二式都成立，

∴据题意得⎩⎨⎧≠+≥-0

10a a 解得：,0≤a 且1-≠a . 例2 121

2+x 有意义，则x 的取值范围是 .

解：法一 据题意得：

012>+x , 12->x ,

当x 取任意实数时，上式都成立，∴x 的取值范围是全体实数.

法二：∵,02≥x ∴112

≥+x , 即x 取任意实数，被开方数都是正数，原式都有意义，∴x 的取值范围是全体实数. 点评：此题看似简单，学生却极易出错，错误原因往往是对法一中的12->x 不会处理，不知道解到此步，应得结论，却接着往下解，从而得出荒谬的结论.

【小结】数学表达式中的条件，往往是列方程或列不等式的依据，从而求出所含字母的取值范围.

2. 0≥a 的作用：表示非负数，往往与也表示非负数的绝对值、偶次幂同时出现于同一题目中.

例3 若32-+y x 与1-xy 互为相反数，则22y x += .

解：据题意得， 32-+y x +1-xy =0, ∴⎩⎨⎧=-=-+010

32xy y x , ∴⎩⎨⎧==+13

2xy y x ,

∵xy y x y x 2)(222++=+, ∴12)32(222⨯++=y x ,

1022=+y x .

例4 若a a 21)12(2-=-，求a 的取值范围？ 解：∵2)12(-a 0≥，

∴021≥-a , 解得：2

1≤a .