排列组合二项式定理知识点

第十六章 排列、组合、二项式定理

一、排列

)!(!)())((m n n m n n n n P m m n -=

+---=4444434444421Λ个相乘

121 （如：)!(!3553453

5-=⨯⨯=P ） 二、组合

!)!(!m m n n P P C m m m n m

n

-== （如：123345335533

353

5⨯⨯⨯⨯=

-==!)!(!P P C ） m n n m C C -=n ，m n m n m C C C 11+-=+n （如：253C C =5，36253C C C =+5）

三、二项式定理

1.二项式定理：000b a C b a n n n -=+)(111b a C n n ⋅⋅+-n n n b a C ⋅⋅+0Λ （1）展开式共有n+1项，其中第r+1项：r r

n r n r b a

C T ⋅⋅=-+1 （2）其中r

n C （0,1,2…）叫二项式系数

2.二项式系数的性质

(1)在二项展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。（对称性） (2)展开式中二项式系数最大的项：

若n 是偶数，是中间一项即第12

+n

项，二次项系数为2n

n C ；

若n 是奇数，是中间两项即第21+n 、2

1

+n +1项，二次项系数为21

-n n C 、21

+n n C ；

【区别】展开式中系数最大的项：⎩⎨

⎧≥≥+++的系数

的系数的系数

的系数r r T T T T r r 121⇒求出r

(3)二项式系数的和为n

2，即n n n n C C C 210=+++Λn

【区别】所有系数的和：令字母为1

(4)偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即1

31202-=++=++n n ΛΛn n n C C C C

3.二项式定理的主要应用 (1)赋值求职；

(2)证明某些整除问题或求余数；

(3)证明关于指数式与多项式的不等式； (4) 进行近似计算。

例