高中数学选修1-1 第三章 3.1.3创新设计题_1571

例 4 已知曲线 y＝1x和 y＝x2.求两曲线交点处的两条切线与 y 轴所围成的 三角形的面积.
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当堂检测
12345
1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( C )
A.4
B.16 C.8 D.2
f2＋Δx－f2
解析 f′(2)＝lim Δx→0
Δx
22＋Δx2－8
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (8＋2Δx)＝8， Δx→0
即斜率k＝8.
解析答案
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2.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A )
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
解析 由题意，知k＝y′|x＝0
高中数学选修1-1 第三章 3.1.3创新 设计题
学习 目标
1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系. 2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义. 3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.
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由直线的点斜式方程可得切线方程为 y－12＝－14(x－2)，
即x＋4y－4＝0.
解析答案
题型二 求过曲线外一点的切线方程
例2 已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程.
解
y′＝ lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
[2x＋Δx2－7]－2x2－7 ＝lim
Δx
Δx→0
自主学
知识点一 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))
处的切线的斜率 .也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜
率f′(是x0)
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
.相应地，切线方程为
.
知识点二 函数的导函数
解析答案
题型归纳 计算切线与坐标轴围成的图形的面积
求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类： (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要 求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算. (2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的图形的面积. 解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标. (3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为： ①求两曲线的交点坐标； ②求交点处两条切线的切线方程； ③求两切线与坐标轴的交点坐标； ④依据数形结合的思想计算图形的面积.
∴a＝1－
2 2.
a＝1－322，

x0＝－324，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 求过曲线 y＝1x在点2，12处的切线方程.
解
因为Δlixm→0f2＋ΔΔxx－f2＝Δlixm→02＋1ΔΔxx－21＝Δlixm→022－＋1Δx＝－14.
所以这条曲线在点2，12处的切线斜率为－14，
0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b
＝ lim Δx→0
Δx
＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
解析答案
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3.已知曲线 y＝12x2－2 上一点 P1，－32，则过点 P 的切线的倾斜角为( B )
由点(2,0)在直线上，得 x20y0＝2－x0，
再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，
所求直线方程为x＋y－2＝0.
解来自百度文库答案
题型三 求切点坐标 例3 在曲线y＝x2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角.
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 求过点 A(2,0)且与曲线 y＝1x相切的直线方程.
解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，
由 y′|xx0
＝ lim Δx→0
x0＋1 ΔΔxx－x10＝－x120，
得所求直线方程为 y－y0＝－x120(x－x0).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知抛物线y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? 解 设点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx. 当 Δx 无限趋近于零时，ΔΔyx无限趋近于 4x0. 即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3). (2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8， 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).
解
∵y＝x3＋3ax. ∴y′＝lim Δx→0
x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax Δx
＝ lim Δx→0
3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx Δx
＝ lim [ Δx→0
3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]
＝3x2＋3a.
设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，
结合已知3条件，得3x30x＋20＋33aax0＝＝3y，0＝3x0＋1，解得
(4x＋2Δx)＝4x.
由于点P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将 P(3,9)及 y0＝2x20－7 代入上式，得 9－(2x20－7)＝4x0(3－x0).
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数， 称即f′f(′x)(是x)f＝(xy)′的＝导Δ函lixm→数0 f(简x＋称Δ导Δxx数－)f.fx′(.x)也记作y′，
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题型探究
重点突破
题型一 已知过曲线上一点求切线方程
例1 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.