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常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。

有只含y 的积分因子的充要条件是。

２、称为黎卡提方程，它有积分因子。

３、称为伯努利方程，它有积分因子。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。

５、形如的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时，零解是稳定的，对应的奇点称为。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求４、32()480dy dy xy y dx dx -+= ５、求方程2dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近 似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型与稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为的连续函数。

2、 形如的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数，可化为线性方程。

是常数。

引入变量变换-------≠1.03、如果存在常数使得不等式,0 L 对于所有称为利普希兹常数。

都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R上关于y 满足利普希兹条件。

4、 形如的方程，称为欧拉方程，这里是常数。

,,21a a 5、设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ。

一、 计算题40%1.求方程的通解。

26xy x ydx dy -= 2.求程xye x y dxdy =+的通解。

3.求方程t e x x x 25'6''=++的隐式解。

4.求方程）的第三次近似解。

、通过点（002y x dx dy+=二、 证明题30%1.试验证()t Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡122t t t 是方程组'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-t t22102⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ，在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上的基解矩阵。

2.设()t Φ为方程'（A 为⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）），证明: ()t Φ1-Φ(t 0)=Φ( t 0)其中t 0为某一值.常微分方程期终试卷(3)一 . 解下列方程(10%*8=80%) 2.dxdy =6x y 2y 3. 'y =22)12(-++y x y4.'y22y x + 6. {(2x +2y)}08. 已知f(x)⎰xdtt f 0)(=1≠0,试求函数f(x)的一般表达式。

二． 证明题(10%*2=20%)9. 试证：在微分方程0中，如果M 、N 试同齐次函数，且≠0,则)(1yN xM +是该方程的一个积分因子。

常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。

２、当（ ）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（ ）。

４、对毕卡逼近序列，())()(1≤--x x k k ϕϕ。

５、解线性方程的常用方法有（ ）。

６、若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。

７、方程组x t A x )(='（ ）。

８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系：（ ）。

９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ）。

当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１１、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解（ ）。

二、计算题求下列方程的通解。

１、1sin 4-=-x e dx dyy 。

２、1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y 。

３、求方程2y x dx dy+=通过)0,0(的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。

４、0=+'+''x x x 。

５、t e x x =-'''。

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型与稳定性：６、5,!--=+--=y x dt dyy x dt dx 。

三、证明题。

１、 １、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，证明)(t φ)()(001t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

常微分方程期终考试试卷（5）一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dx dy+=称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dxx P e )( ，其通解为 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 。

3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ 。

4．方程22y x dx dy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 。

5．函数组tt t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 。

6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 。

7．若)(t Φ是xt A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ=是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。

9．满足 的点),(**y x ，称为驻定方程组。

二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

11．求方程0=-+x e dx dydx dy的通解。

12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dxdy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。

13．求方程t t x x 3sin 9''=+的通解。

14．试求方程组)('t f Ax x +=的解).(t ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ15．试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt dy y x dt dx 的奇点，并判断奇点的类型与稳定性。

三．证明题 （10分）16．如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=常微分方程期终考试试卷(6)三． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1、 当时，方程M()()0称为恰当方程，或称全微分方程。

2、称为齐次方程。

3、求dxdy ()满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程的连续解。

4、若函数f()在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy=的解 ),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。

6、方程组x t A x )(/=的称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则 。

8、满足的点（**,y x ），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部时，零解是稳定的，对应的奇点称为。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dxdy=312+++-y x y x2、 2、解方程： (221)(2)03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解 4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421,为其中A e At6、试讨论方程组cy dt dyby ax dt dx=+=, （1）的奇点类型，其中为常数，且≠0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么=)(t ϕ[]η)(0t t A e-常微分方程期终试卷(7) 一、选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分3. 方程21d d y x y-=过点)1,2(π共有（ ）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三 4．方程xx y x y +-=d d （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个5．方程y x y =d d 的奇解是（ ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y 二、计算题1'y 22y x +203. 0d d )2(=-+y x x y x4.1d d +=x y x y5.0d )ln (d 3=++y x y x x y三、求下列方程的通解或通积分 1.)1(d d 2y x x yy-=2.2)(d d x yx y x y -=3.x y x y2e 3d d =+四．证明1.设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y的解，且满足)(01x y )(02x y 0，0)(1≠x y ，这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，),(0∞+-∞∈x ．试证明：存在常数C 使得)(2x y )(1x y ． 2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．常微分方程期终试卷(8)一、 填空（每空3分） 1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。