方差与协方差理解
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§2 方差、协方差与相关系数 方差
例1
比较甲乙两人的射击技术,已知两人每次击中环数分布为:
ξ:7
8901
0601...⎛⎝ ⎫⎭⎪ η:67891001
02040201.....⎛⎝ ⎫⎭⎪. 问哪一个技术较好
首先看两人平均击中环数,此时8E E ξη==,从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看,甲基本上稳定在8环左右,而乙却一会儿击中10环,一会儿击中6环,较不稳定.因此从直观上可以讲甲的射击技术较好. 上例说明:对一随机变量,除考虑它的平均取值外,还要考虑它取值的离散程度.
称ξ-E ξ为随机变量ξ对于均值E ξ的离差(deviation),它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值,考虑用()E E ξξ-,但由于
()E E ξξ-=E E ξξ-=0对一切随机变量均成立,即ξ的离差正负相消,因此
用()E E ξξ-是不恰当的. 我们改用()2
E E ξξ-描述取值ξ的离散程度,这
就是方差.
定义 1 若()2
E E ξξ-存在,为有限值,就称它是随机变量ξ的方差(variance),记作Var ξ,
Var ξ=()2E E ξξ- (1)
但Var ξ的量纲与ξξ的标准差(standard deviation).
方差是随机变量函数()2
E ξξ-的数学期望,由§1的(5)式,即可写出方差的计算公式
Var ξ=2()d ()x E F x ξ
ξ+∞
-∞-⎰=22()(),,()()d .i i i x E P x x E p x x ξξξξ+∞
-∞⎧-=⎪⎨⎪-⎩∑⎰离散型,连续型 (2)
进一步,注意到
()2
E E ξξ-=
()222E E E ξξξξ⎡⎤-+⎣⎦=()22E E ξξ- 即有
Var ξ=()2
2
E E ξξ-.
(3)
许多情况,用(3)式计算方差较方便些. 例1(续) 计算例1中的方差Var ξ与Var η. 解 利用(3)式
2
E ξ=
∑=i
i i x P x
)
(2
ξ=72×+82×+92×=,
Var ξ=
()2
2E E ξξ-=82=. 同理, Var η=
()2
2
E E ηη-= = > Var ξ, 所以η取值较ξ分散. 这说明甲的射击技术较好.
例2 试计算泊松分布P(λ)的方差.
解
2
2
01
!
(1)!k
k
k k E k
e
k
e k k λ
λ
λλξ∞
∞
--====-∑∑
1
1(1)
(1)!
(1)!k
k
k k k e
e k k λ
λ
λλ∞
∞
--===-+--∑∑
2
!
!
j
j
j j j
e
e j j λ
λ
λλλ
λ∞
∞
--===+∑∑
2
λλ=+
所以Var ξ=22
λλλλ+-=.
例3 设ξ服从[ a, b ]上的均匀分布U [a, b],求Var ξ.
解
()22
2211
d 3b
a
E x x a ab b b a ξ==++-⎰,
Var ξ()()2
221132a ab b a b ⎡⎤
=++-+⎢⎥⎣⎦()2
112b a =-. 例4 设ξ服从正态分布(
)2
,N a σ
,求Var ξ.
解 此时用公式(2),由于E a ξ=,
Var ξ2
()
E a ξ=
-222
()/2()d x a x a x σ+∞
---∞
=-⎰
2
2
2/2d z z e z
∞
--∞
=
222
/2/2z z ze e dz +∞+∞---∞-∞⎫=
-+⎪⎭⎰
2
2
2πσ=
=.
可见正态分布中参数2
σ就是它的方差, σ就是标准差. 方差也有若干简单而重要的性质. 先介绍一个不等式.
切贝雪夫(Chebyshev)不等式 若随机变量的方差存在,则对任意给定的正数ε,恒有
()2
Var P E ξξεξε-≥≤. (4)
证 设ξ的分布函数为()F x ,则
()P E ξξε-≥=⎰
≥-ε
ξ||)(E x x dF 2
2
||()d ()
x E x E F x ξε
ξε
-≥-≤⎰
22
1
()d ()
x E F x ξε
+∞
-∞
≤-⎰
=Var ξ/2
ε.
这就得(4)式.
切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义. 事实上,