五年级奥数“约数与倍数” 第十三讲

相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵
树之间的距离最多是多少米？
解： 由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树 所以要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并 且使每段的长度最长。 因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2 所以，45÷2=22.5 即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
答：3和120或者15和24。
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第11讲 因数与倍数的应用
例4：甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。
例 题 精
甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好 在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
讲
解：
从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大 应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长 所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。
答：边长为整数有4种裁法，面积最大可以裁20块。
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第11讲 因数与倍数的应用
练 练习1：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，
解： 设这两个自然数称为甲数和乙数。 因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数 与最小公倍数的积。 根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是 360÷120=3。 又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b 一定是互质数 所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。 当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120； 当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。
相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5的最小公倍数是60
所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
答：至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
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第11讲 因数与倍数的应用
练 习
练习4：一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需 要这样的砖头多少块？
习 题
如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
解： 要把三根钢管截成同样长的小段 每小段的长度数应该是240、200和480的公约数 而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。 240、200和480的最大公约数是40 所以每小段最长是40厘米。
答：每小段最长是40厘米。
要使三人再次从出发点一齐出发
经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数
200、150和300的最小公倍数是600
所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。
答：经过600秒后三人又同时从出发点出发。
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第11讲 因数与倍数的应用
练 习 题
练习5：有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向 而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分 钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。
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第11讲 因数与倍数的应用
例 题 精
例5：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的 环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从 出发点出发？
讲
解：
甲跑一圈需要600÷3=200秒
乙跑一圈需要600÷4=150秒
丙跑一圈需要600÷2=300秒
最大公约数×最小公倍数=两数的乘积 即（a、b）×[a、b]= a×b
要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，
对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被 除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公 约数问题混淆。
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第11讲 因数与倍数的应用
例 题 精
例1： 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一 块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁 得的正方形面积最大，可以裁多少块？
讲
解：
7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。 因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长 是75和60的公约数。 75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
5年级趣味数学
第11讲 因数与倍数的应用
第11讲 因数与倍数的应用
知 识 精
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一 个叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公
讲 约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一
个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公 倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]= a×b。 两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：
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第11讲 因数与倍数的应用
例 例2：一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切
ห้องสมุดไป่ตู้
题 精
成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是
讲
多少分米？
解： 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。 要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱 长应该是长、宽、高的公约数。
现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公 约数。 （270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
答：正方体棱长最大0.3分米。
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第11讲 因数与倍数的应用
练 习 题
练习2：一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米， 乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离
答：相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
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第11讲 因数与倍数的应用
例 例3：两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分
题 精
别是多少？
讲
解：
根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个 数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两 个数。根据题意：
题
解： 把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、
宽、高的公倍数。
现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、 高的最小公倍数
求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关 系就能求出长方体砖的块数。 （20,12,6）=60 （60×60×60）÷（20×12×6）=150（块）
答：至少需要150块。
解： 400÷1=400（米/分钟） 400÷10=40（米/分钟）
甲速：（400+40）÷2=220（米/分钟） 乙速：（400-40）÷2=180（米/分钟）
答：甲速220米/分钟，乙180米/分钟。
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当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；
当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。
所以，这两个数是15和90或者30和45。 答：这两个数是15和90或者30和45。
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第11讲 因数与倍数的应用
练 练习3：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？ 习 题