导数用于单调性和极值问题
高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值
利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性问题例1.函数f（x）=e x-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．例3.函数f（x）=sin x-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值与最值问题例1.函数y=lnx-e x在[1，e]最大值为（）A．1-e e B．C．-eD．例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=e x+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）A．1+ln2B．1-ln2C．D．当堂练习单选题练习1.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若存在实数x使不等式f（x）≤m2-am-3对于a∈[0，2]恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（-∞，-2]∪[2，+∞）B．C．D．练习2.若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）=g'（t），则称函数g（x）为f（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）=x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值范围是（）A．（-∞，1）B．（-∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）练习3.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）<0的解集为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，3）D．（3，+∞）练习4.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），f（x）>0且f（e）=1，若xf′（x）lnx+f（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则不等式<lnx的解集为（）A．{x|0<x<1}B．{x|x>1}C．{x|x>e}D．{x|0<x<e}练习5.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A．3B．2C．1D．0练习6.若函数f（x）=e x+axlnx（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-e）B．（-∞，-2e）C．（e，+∞）D．（2e，+∞）填空题练习1.已知函数f（x）=，若∃，使得f（f（x0））=x0，则m的取值范围是_________练习2.设函数f（x）=e x（2x-1）-2ax+2a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是_______．练习3.已知函数，若当x1，x2∈[1，3]时，都有f（x1）<2f（x2），则a的取值范围为______________．练习4.若函数f（x）=e-x（x2+ax-a）在R上单调递减，则实数a的值为____．练习5.已知函数，g（x）=|x-t|，t∈（0，+∞）．若h（x）=min{f（x），g （x）}在[-1，3]上的最大值为2，则t的值为___．练习6.已知函数f（x）=x3-ax2在（-1，1）上没有最小值，则a的取值范围是_________．解答题练习1.'已知函数f（x）=e x-a（x+1），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a>0时，函数f（x）恰有一个零点，求实数a的值．（3）已知数列{a n}满足a n=，其前n项和为S n，求证S n>ln（n+1）（其中n∈N）．'练习2.'已知函数f（x）=（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0<x1<1，x2>1，是否存在实数a，使得OP⊥OQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f′（x1-），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．'练习3.'已知函数f（x）=x2+ax-alnx（1）若函数f（x）在上递减，在上递增，求实数a的值．（2）若函数f（x）在定义域上不单调，求实数a的取值范围．（3）若方程x-lnx-m=0有两个不等实数根x1，x2，求实数m的取值范围，并证明x1x2<1．'练习4.'已知函数f（x）=xlnx-x2-ax+1，a>0，函数g（x）=f′（x）．（1）若a=ln2，求g（x）的最大值；（2）证明：f（x）有且仅有一个零点．'练习5.'已知函数f（x）=e x-ax-b．（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求ab的最大值；（Ⅱ）设g（x）=lnx+1，若F（x）=g（x）-f（x）存在唯一的零点，且对满足条件的a，b不等式m（a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．'。
导数的应用的单调性与极值
导数的应用的单调性与极值在微积分学中，导数是一个非常重要的概念，它有着广泛的应用。
本文将讨论导数的应用方面，着重探讨其与单调性和极值的关系。
一、导数与函数的单调性在研究函数的单调性时，导数是一个非常重要的工具。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减性质。
1. 单调递增如果一个函数在某个区间内的导数恒大于零，那么这个函数在该区间内是单调递增的。
也就是说，函数的图像在这个区间上是向上的。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，我们可以求得它的导数f'(x) = 2x。
由于2x大于零，所以函数f(x)在整个实数轴上都是单调递增的。
2. 单调递减类似地，如果一个函数在某个区间内的导数恒小于零，那么这个函数在该区间内是单调递减的。
还是以前面的例子f(x) = x^2为例，我们可以看到，函数f(x)的导数2x在负数区间上小于零，因此函数f(x)在负数区间上是单调递减的。
通过上述例子可以看出，导数可以帮助我们分析函数的单调性，从而更好地理解函数的变化规律。
二、导数与函数的极值另一个与导数密切相关的概念是函数的极值。
极值分为极大值和极小值，而导数可以帮助我们判断函数的极值点。
1. 极值点一个函数在某个点上的导数等于零时，该点就是函数的极值点。
根据导数的定义，导数为零表示函数在该点附近的变化趋势趋向于水平。
2. 极大值如果一个函数在某个点的导数从正数变为负数，那么这个点就是函数的极大值点。
在极大值点上，函数的图像从上升转向下降。
3. 极小值与极大值相反，如果一个函数在某个点的导数从负数变为正数，那么这个点就是函数的极小值点。
在极小值点上，函数的图像从下降转向上升。
例如，考虑函数f(x) = x^3，我们可以求得它的导数f'(x) = 3x^2。
当x等于零时，导数为零，说明函数在x=0处有极值。
通过进一步的分析，我们可以得知这个点是极小值点。
三、综合应用导数的应用不仅仅局限于单调性和极值的讨论，还可以应用于其他问题的求解。
函数与导数函数的单调性与极值点的几何意义分析示例
函数与导数函数的单调性与极值点的几何意义分析示例函数与导数函数是微积分中重要的概念，它们在数学和物理领域中有着广泛的应用。
本文将通过详细的分析与实例，探讨函数与导数函数的单调性以及极值点的几何意义。
一、函数的单调性与导数函数函数的单调性描述了函数在定义域上的增减情况。
若定义域内的任意两个自变量x1、x2，满足x1<x2，则函数f(x1)<f(x2)时，称函数在该定义域上是递增的；若f(x1)>f(x2)，则称函数在该定义域上是递减的。
导数函数是函数f(x)在其定义域内的任意点x处的导数值构成的新函数。
导数函数可以用来研究函数的单调性。
若导数函数在某个定义域上恒大于0，则原函数在该定义域上是递增的；若导数函数在某个定义域上恒小于0，则原函数在该定义域上是递减的。
二、函数单调性的几何意义函数的单调性在几何意义上可以理解为曲线的上升或下降趋势。
当函数递增时，其对应的曲线随着自变量的增大逐渐上升；当函数递减时，其对应的曲线则随着自变量的增大逐渐下降。
以一元函数f(x)为例，当其在某个定义域上是递增的时，可以理解为曲线向上延伸，表示曲线在这个区间内的斜率是正的。
这意味着曲线的切线在每一点的斜率都是正的，从而在几何上可以理解为曲线向上倾斜；同样，函数在某个定义域上是递减的时候，对应的曲线则是向下倾斜的。
三、极值点的几何意义极值点是指函数的取值在某一区间内达到最大值或最小值的点。
在数学上，极值点可以通过函数的导数求解得到。
当函数导数在某个点处等于零，并且该点的导数存在两侧变号，那么该点就是函数的极值点。
在几何上，极值点可以理解为曲线的拐点。
当曲线从上方或下方逼近极值点时，曲线的方向会发生变化，从而在几何上形成一个拐点。
拐点的左右两侧曲线的斜率会发生变化，而极值点正好位于曲线拐点的位置。
四、实例分析我们以函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x为例，来分析函数的单调性与极值点的几何意义。
用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤
用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）2122-+=x x y解：（1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f令0)(/=x f ，得驻点2,57,1321===x x x0)1(=∴f 是函数的极大值；3125108)57(-=f 是函数的极小值. （2）22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x xx x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+=令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=∴当1-=x 时，f极小=-3；当1=x 时，f极大=-1值。
导数的应用单调性、极值、最值
导数的应用(单调性、极值、最值)蓝园高级中学数学组陈秋彬1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单 调区间。
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解极大值、极小值的概念；会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值。
3. 会用导数求不超过三次的多项式函数在定区间上的最大值、最小值。
命题规律|从进几年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性、极值和最值是导数的基本问题， 分值较大，需要考生重点练习、熟练应用。
导数及其应用占据着非常重要的地位，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性 等；还包括将导数内容和传统内容中有关不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合 试题。
随着导数作为考试内容的考查力度逐年增大，导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上 升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
导数一般考法比较简单，就是讨论单调区间求最值。
但也有的省市考得较难，与不等式结合，放在 最后一题的位置，往往需要我们理解其几何意义，才能找到方向。
考点1函数的单调性与导数1. 在某个区间(a,b)内，如果f (x) 0,那么函数y f (x)在这个区间内单调递增；如果那么函数y f (x)在这个区间内单调递间.2. 判断函数单调性的步骤：因为f (x)____________ ，所以f (x)当f (x) 0,即 ________________ 时，函数f(x) L 单调递增； 当f (x) 0，即 _______________ 时，函数f(x) L 单调递减• 函数f(x) L 的单调增区间为 __________________ ，单调减区间为3. 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.考点2函数的极值与导数1. (1)如果函数y f (x)在点x a 的函数值f (a)比它在点x a 附近其他点的函数值都小叫做y f(x)的极小值点，f (a)叫做函数y f (x)的极小值；⑵ 如果函数y f (x)在点x b 的函数值f (b)比它在点x b 附近其他点的函数值都大，那么点 b叫做y f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y f(x)的极大值.每年必考,f (x) 0 ，这时函数(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2. (1)求函数y f (x)的极值的方法(充分条件)：解方程f (x) 0 •当f (x0) 0时：①如果在x o附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0,那么f(X o)是极大值；②如果在X。
利用导数求解函数的单调性与最值问题
利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。
本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。
1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。
它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。
因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。
我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。
因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。
3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。
因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。
最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。
这两个点即为函数f(x)的极值点。
我们还需要判断它们是否是函数的最值点。
当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。
导数在函数单调性与极值求解中的应用
导数在函数单调性与极值求解中的应用导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。
所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。
解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。
本文仅以历年高考试为例谈谈导数在函数单调性与极值求解中的应用问题问题，供鉴赏。
一、导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。
利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）。
方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
1. 利用导数求单调区间：例1.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是 A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0，e1)上是减函数，在(e1,1)上是增函数D.在(0，e1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性. 解：y ′=ln x +1,当y ′>0时，解得x >e 1.又x ∈(0,1),∴e1<x <1时，函数y =x ln x 为单调增函数.同理，由y ′<0且x ∈(0,1)得0<x <e1,此时函数y =x ln x 为单调减函数.故应选C.答案：C例2.函数y =sin 2x 的单调递减区间是__________. 分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解：y ′=2sin x cos x =sin2x . 令y ′<0,即sin2x <0， ∴2k π－π<2x <2k π,k ∈Z . ∴k π－2π<x <k π,k ∈Z .∴函数y =sin 2x 的单调递减区间是(k π－2π,k π),k ∈Z .2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：例3.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（AC BD分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f (x )在x =0处取得极大值,在x =2处取得极小值.答案:C例4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中 ()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数： 例5、方程3269100x x x -+-=的实根的个数是 （ ）A 、3B 、2C 、1D 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。
导数在函数的单调性、_ 极值、最值中的应用
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
归纳总结
1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间
和极值点必须在函数的定义域内进行．
失
误 2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就
与
是最值点，要通过认真比较才能下结论．
防
范
3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的
故 函 数 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, e) ， 单 调 递 减 区 间 为 (e, ) ． （ Ⅱ ） 因 为 e 3 π ， 所 以 e ln 3 e ln π ， π ln e π ln 3 ， 即 ln 3e ln πe ， ln eπ ln 3π ． 于是根据函数 y ln x ， y ex ， y πx 在定义域上单调递增，可
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高考赏析
(2014.湖北高考)（本小题满分 14 分）
π 为圆周率， e 2.718 28 为自然对数的底数.
（Ⅰ）求函数fBiblioteka (x)ln x x
的单调区间；
（Ⅱ）求 e3 ， 3e ， eπ ， πe ， 3π ， π3 这 6 个数中的最大数
与最小数。
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要点梳理
2．求可导函数极值的步骤
(1)求导数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；
(3)考察在每个根 x0 附近，从左到右，导函数 f′(x)的符号 如何变化．如果 f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值 ； 如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是 极小值 ．
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤导数是微积分中非常重要的概念，它可以通过求取函数的斜率来提供关于函数的很多信息。
通过导数，我们能够判断函数的单调性、极值和最值。
下面，我将详细介绍使用导数进行函数分析的方法步骤。
一、函数的单调性分析：函数的单调性指的是函数在定义域上的递增或递减特性。
使用导数可以判断函数在不同区间上的单调性。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
若函数在其中一点存在导数，则说明函数在该点是可导的。
2.导数的符号变化：对求得的导数进行符号变化的分析，即导数求值时，符号的正负变化。
假设导数的结果是f’(x)。
通过求解f’(x)=0的解集，得到导数的零点集合。
3.导数零点的意义：对于导数零点集合中的每一个点进行分析。
如果导数在其中一点处的零点是一个正的极值点，则说明函数在该点是递增的；如果导数在其中一点处的零点是一个负的极值点，则说明函数在该点是递减的。
4.极值点的判定：在求得导数零点的基础上，通过导数的符号变化来判定函数在区间上的单调性。
当导数从正数变为负数时，说明函数在该区间上是递减的；当导数从负数变为正数时，说明函数在该区间上是递增的。
二、函数的极值分析：函数的极值是指函数在其中一点处取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的极值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数零点的极值分析：计算导数的零点，并求出零点对应的函数值，在零点处求得导数的值，在零点前后进行符号判定。
3.极值点的判定：若导数从负数增加到正数，则说明函数在该点处取得极小值；若导数从正数减小到负数，则说明函数在该点处取得极大值。
三、函数的最值分析：函数的最值是函数在定义域上取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的最值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数的变化性：通过计算导数的值和导数的符号变化来判断函数的最值。
3.导数的非零点分析：计算函数的定义域上的导数，找出导数等于零的点的集合。
利用导数研究函数单调性和求极值、最值
abxy)(x f y ¢=O利用导数研究函数单调性和求极值、最值一、基础知识回顾：1. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数)x (f y ¢=¢； （2）解方程0)x (f =¢；（3）使不等式0)x (f >¢成立的区间就是递增区间，使0)x (f <¢成立的区间就是递减区间。
2. 求函数)(x f y =的极值的方法：（1）求导数)x (f y ¢=¢； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）；（3）如果在根0x 附近的左侧)x (f ¢____0，右侧)x (f ¢____0，那么)x (f 0是)(x f y =的极大值； 如果在根0x 附近的左侧)x (f ¢____0，右侧)x (f ¢____0，那么)x (f 0是)(x f y =的极小值 3．在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：（1）求函数 )(x f y =在),(b a 内的导数 ； （2）求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值 ； （3）将函数)(x f y =在),(b a 内的各极值与端点处的函数值)(),(b f a f 作比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 二、例题分析： （一）基础题型例1.如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（ ）例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )A.]1,0(;B.),1[+∞;C.]1,(-∞及]1,0( ;D. )0,1[-及]1,0(;例3. 若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =例4. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ¢在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 _个例5．若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极值，则a 的取值范围是 .例6．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则M m -= . （二）典型题型例7.已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.解析：因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x ∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2. 又f(x)=x 3+ax 2+3bx+c,所以-x 3+ax 2-3bx+c-2=-x 3-ax 2-3bx-c+2.所以.22,+-=--=c c a a 解得a=0，c ＝2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x 3+3bx+2.所以f ′(x)=3x 2+3b(b ≠0).当b ＜0时，由f ′(x)=0得x=±.b - x (-∞,-b -)-b - (-b -,b -) b - (b -,+∞)b -，+∞）上单调递增.当b ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )在（-∞，+∞）上单调递增.变式1.设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.（Ⅲ）若1b =-且()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。
如何利用导数讨论函数单调性？
高三复习：利用导数讨论函数单调性、求极值、最值1． 函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是增加的；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是减少的． 2． 函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上是增加的，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上是减少的，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．3. 如图是y ＝f (x )导数的图像，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.335． (·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)典例透析题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解探究提高(1)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )《③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的单调区间． (2) 要注意对含参数的函数的单调性进行讨论． 例2.（2018年新课标1）已知函数()1ln f x x a x x=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.1.如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）2.（2014广东文数）已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈， 求函数()f x 的单调区间；3 .当0x >时,讨论函数2()xg x e x =-的单调性例3.（2017年新课标1）已知函数)f x =（a e 2x+(a ﹣2) e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；练习1.若函数f (x ) =e x (x 2- 2x + 1- a ) - x 恒有2个零点， 则a 的取值范围是 ()A. (-1e ，+∞) B. (-∞,1) C. (0，1e ) D. (-∞，-1e )2.. (安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解2.（2020年新课标1理科）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.3.(2021年新高考1)22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像可能为( )2． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e3． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．44． 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤2 B ．5≤a ≤7 C ．4≤a ≤6 D ．a ≤5或a ≥7二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．6． 已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.7． 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·重庆)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )2． 函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A ．0 B.1eC.4e4D.2e23． f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋x ·f ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(0,4)B ．(－4,4)C ．(－∞，－4)∪(0,4)D ．(－∞，－4)二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－2,2])对应的曲线C 过坐标原点，且在x ＝±1处切线的斜率均为－1，则f (x )的最大值和最小值之和等于________．5． 设函数f (x )＝p ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (p 是实数)，若函数f (x )在其定义域内是增加的，则实数p 的取值范围为______．6． 已知函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________．。
利用导数求函数的单调性和极值
利用导数求函数的单调性和极值函数的单调性和极值是数学中一个常见的问题，利用导数可以很方便地求解。
导数可以告诉我们函数在某一点的变化情况，从而推断函数的单调性和极值。
本文将介绍如何利用导数求函数的单调性和极值。
1. 导数的定义首先，我们需要了解导数的定义。
对于一元函数y = f(x)，其导数可以通过以下公式求得：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，h表示一个无穷小的增量。
导数可以理解为函数在某一点上的变化速率。
2. 利用导数求函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上的变化趋势。
利用导数可以判断函数在某个区间上的单调性。
若在区间(a, b)上，对于任意的x1, x2∈(a, b)，当x1<x2时，若f'(x1)>0，则f(x1)<f(x2)，函数单调递增；若f'(x1)<0，则f(x1)>f(x2)，函数单调递减。
例如，函数f(x) = x^2，在定义域(-∞, +∞)上处处可导。
对于任意的x1, x2∈(-∞, +∞)，都有f'(x) = 2x。
当x1<x2时，若x1>0，则函数f(x)的导数f'(x)大于0，因此f(x)在正数区间上单调递增。
若x1<0，则f'(x)小于0，因此f(x)在负数区间上单调递减。
3. 利用导数求函数的极值函数的极值包括极大值和极小值。
利用导数可以判断函数的极值点。
首先，我们需要找出函数f(x)的导数f'(x)。
然后，求导函数f'(x)的零点，即f'(x)=0的解x。
这些解x处的函数值f(x)即为函数的极值点。
例如，函数f(x) = x^3 - 3x。
首先求导数，f'(x) = 3x^2 - 3。
然后将f'(x) = 0，求解得x=±1。
考点 利用导数求函数的单调性、极值、最值
考点：利用导数求函数的单调性、极值、最值知识点1.求函数单调区间的步骤：①确定f(x)的定义域；②求导数y ′；③令y ′>0(y ′<0),解出相应的x 的范围。
当y ′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y ′<0时，f(x)在相应区间上是减函数2.求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程/y =0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
4.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
5.求函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；②求方程f ′(x )=0的根 ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，若左正右负，则f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都正或都负，则f (x )在这个根处无极值例题1. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为_______________．2. 讨论下列函数的单调性：（1）x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；（2）)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；3.求下列函数的极值：（1）x x x f 12)(3-=；（2）x ex x f -=2)(；（3）.212)(2-+=x x x f练习1.下列说法正确的是（ ）A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.函数y =216x x +的极大值为（ ） A.3 B.4 C.2 D.53.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为（ ）A.0B.1C.2D.44.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为（ ）A.e －1B.0C.－1D.15．函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π)6．已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示（其中f′（x ）是函数f （x ）的导函数）.下面四个图象中y=f （x ）的图象大致是（ ）7.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ） A ．增函数，且0>y B ．减函数，且0>yC ．增函数，且0<yD ．减函数，且0<y8．函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.9. 求下列函数的单调区间：（1）32)(24+-=x x x f ； （2）22)(x x x f -=； （3）).0()(>+=b xb x x f10.已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．11.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 （1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围．。
导数的应用(单调性、极值、最值)
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
高考数学利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(解析版)题型一：利用导数研究函数的单调性
题型一：利用导数研究函数的单调性1、讨论函数的单调性（或区间）1．已知函数211()(1)ln (,0)22f x x a x a a =-+-∈≠R ． （1）讨论函数的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）0a ≤.【详解】解：（1）由已知定义域为()0,∞+，()211'()x a a f x x x x-++=-= 当10a +≤，即1a ≤-时，()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a +>，即1a >-时，x =或x =所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.所以1a ≤-时，()f x 在()0,∞+上单调递增；1a >-时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）由（1）可知，当1a ≤-时，()f x 在()1,+∞上单调递增，若()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，只需(1)0f ≥，而(1)0f =恒成立，所以1a ≤-成立；当1a >-1≤，即10a -<≤，则()f x 在()1,+∞上单调递增，又(1)0f =，所以10a -<≤成立；若0a >，则()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以(0x ∃∈，()0()10f x f <=，不满足()0f x ≥对任意的[1,)x ∈+∞恒成立.所以综上所述：0a ≤.2．已知函数32()f x x x mx =+-.（1）若函数()f x 在2x =处取到极值，求曲线()y f x =在(1,())f x 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）113y x =--；（2）()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 【详解】（1）依题意，2()32f x x x m '=+-，(2)1240f m '=+-=，解得16m =，经检验，16m =符合题意；故32()16f x x x x =+-，2()3216f x x x '=+-，故(1)21614f =-=-，(1)11f '=-，故所求切线方程为1411(1)y x +=--，即113y x =--；（2）依题意2()32f x x x m '=+-，412m ∆=+，若0∆，即13m -时，()0f x '，()f x 在R 上单调递增；若0∆>，即13m >-时，令()0,f x x '===令12x x == 故当()1,x x ∈-∞时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，故函数()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 3．已知函数()ln a f x x x=+（a 为常数） （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）0a ≤时，(0,)+∞递增，0a >时，在(0,)a 递减，(,)a +∞递增；【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，221()a x a f x x x x-'=-=， 0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上是增函数；0a <时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 递减，x a >时，()0f x '>，()f x 递增．2、根据函数的单调性求参数的取值范围1．已知函数321()23f x ax x x =+-+，其中a R ∈. （1）若函数()f x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围；【答案】（1）()()1,00,a ∈-+∞； 【详解】（1）由321()23f x ax x x =+-+，得2()21f x ax x '=+-. ∵()f x 存在三个单调区间∴()0f x '=有两个不相等的实数根，即2210ax x .∴00a ≠⎧⎨∆>⎩，即0440a a ≠⎧⎨+>⎩，故()()1,00,a ∈-+∞.2．已知函数()321f x x ax =++，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，求a 的取值范围； （3）若函数()f x 的单调减区间是2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，求a 的值. 【答案】（1）答案见解析（2）[)1,+∞（3）1（1） 由题意知，22()323()3a f x x ax x x '=+=+， 当0a =时，2()30f x x '=≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()-∞+∞，； 当0a >时，令2()0()(0)3a f x x '>⇒∈-∞-+∞，，，令2()0(0)3a f x x '<⇒∈-，， 所以()f x 的单调递增区间为2(),(0)3a -∞-+∞，，，单调递减区间为2(0)3a -，， 当0a <时，令2()0(0)()3a f x x '>⇒∈-∞-+∞，，，令2()0(0)3a f x x '<⇒∈-，， 所以()f x 的单调递增区间为2(0)()3a -∞-+∞，，，，单调递减区间为2(0)3a -，； （2）由(1)知，当0a >时，有22(0)(0)33a -⊆-，，，所以2233a -≤-， 解得1a ≥，即a 的取值范围为[1)+∞，； （3）由(1)知，当0a >时，有22(0)(0)33a -=-，，，所以2233a -=-， 解得1a =.3．已知函数()3f x x ax =-+，a R ∈（1）若()f x 在)1,⎡+∞⎣上为单调减函数，求实数a 取值范围；【答案】（1）3a ≤；（2）最大值为0，最小值为16-．【详解】解：（1）因为()3f x x ax =-+，则()'23f x x a =-+．依题意得()'230f x x a =-+≤在[)1,x ∈+∞恒成立，∴23a x ≤在[)1,x ∈+∞恒成立． 因为当1≥x 时，233x ≥，所以 3a ≤．（2）当12a =时，()312f x x x =-+，()()()'2312322f x x x x =-+=-+-，令'0f x 得[]123,0x =∉-，22x =-，所以当32x -<<-时，()'0f x <，()f x 单调递减，当20x -<<时，()'>0f x ，()f x 单调递增，又()327369f -=-=-，()282416f -=-=-，()00f =．∴()f x 在[]3,0-上最大值为0，最小值为16-．。
导数在函数的单调性,极值中的应用
导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b>内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x>>0，那么函数y＝f(x>在这个区间内单调递增；如果f_′(x><0，那么函数y＝f(x>在这个区间内单调递减；如果f_′(x>＝0，那么f(x>在这个区间内为常数．问题探究1：若函数f(x>在(a，b>内单调递增，那么一定有f ′(x>>0吗？f ′(x>>0是否是f(x>在(a，b>内单调递增的充要条件？提示：函数f(x>在(a，b>内单调递增，则f ′(x>≥0，f ′(x>>0是f(x>在(a，b>内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1>函数的极小值函数y＝f(x>在点x＝a的函数值f(a>比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a>＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x><0，右侧f_′(x>>0，则点a叫做函数y＝f(x>的极小值点，f(a>叫做函数y＝f(x>的极小值．(2>函数的极大值函数y＝f(x>在点x＝b的函数值f(b>比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b>＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x>>0，右侧f_′(x><0，则点b叫做函数y＝f(x>的极大值点，f(b>叫做函数y＝f(x>的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f ′(x0>＝0，则x0一定是f(x>的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x>＝x3，在x＝0时，有f ′(x>＝0，但x＝0不是函数f(x>＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是( >A．(－∞，1> B．(0,1>C．(1，＋∞> D．(0,2>解读：函数的定义域为{x|x>0}，y′＝1－错误!<0，∴0<x<1.2．函数f(x>＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( >A．0 B．1C．2 D．3解读：f ′(x>＝3x2－6x＋3＝3(x－1>2≥0，∴f(x>单调递增，∴f(x>无极值点．答案：A3．函数f(x>＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞>上是增函数，则实数a的取值范围是( > A．[3，＋∞> B．[－3，＋∞>C．(－3，＋∞> D．(－∞，－3>解读：∵f(x>＝x3＋ax－2在(1，＋∞>上是增函数，∴f ′(x>＝3x2＋a≥0在(1，＋∞>上恒成立．即a≥－3x2在(1，＋∞>上恒成立．又∵在(1，＋∞>上－3x2<－3，∴a≥－3.答案：B4．(2018年山东诸城高三月考>已知函数y＝f(x>，其导函数y＝f ′(x>的图象如图所示，则y＝f(x>( >A．在(－∞，0>上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞>上为减函数D．在x＝2处取极大值解读：使导函数y＝f ′(x>>0的x的取值范围为增区间；使导函数y＝f ′(x><0的x 的取值范围为减区间．答案：C5．若函数f(x>＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( >A．2 B．3C．4 D．5解读：f ′(x>＝3x2＋2ax＋3，∵f(x>在x＝－3时取得极值，∴x＝－3时f ′(x>＝0得a＝5.检验知符合题意．答案：D6．(1>函数f(x>在x＝x0处可导，则“f ′(x0>＝0”是“x0是函数f(x>极值点”的________条件．(2>函数f(x>在(a，b>上可导，则“f ′(x>>0”是“f(x>在(a，b>上单调递增”的________条件．(3>函数f(x>在(a，b>上可导，则“f ′(x>≥0”是“f(x>在(a，b>上单调递增”的________条件．答案：(1>必要不充分(2>充分不必要(3>必要不充分三、考向指导考点1 求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1>确定函数f(x>的定义域；(2>求 f ′(x>，令f ′(x>＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3>把函数f(x>的间断点(即f(x>的无定义点>的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x>的定义区间分成若干个小区间；(4>确定f ′(x>在各个开区间内的符号，根据 f ′(x>的符号判定函数f(x>在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数f(x>在(a，b>内的单调性的步骤(1>求 f ′(x>．(2>确认 f ′(x>在(a，b>内的符号．(3>作出结论： f ′(x>>0时，f(x>为增函数； f ′(x><0时，f(x>为减函数．例1 (2018年全国>已知函数f(x>＝x3－3ax2＋3x＋1.(1>设a＝2，求f(x>的单调区间；(2>设f(x>在区间(2,3>中至少有一个极值点，求a的取值范围．【解】(1>当a＝2时，f(x>＝x3－6x2＋3x＋1，f ′(x>＝3(x－2＋错误!>(x－2－错误!>．当x∈(－∞，2－错误!>时， f ′(x>>0，f(x>在(－∞，2－错误!>上单调增加；当x∈(2－错误!，2＋错误!>时， f ′(x><0，f(x>在(2－错误!，2＋错误!>上单调减少；当x∈(2＋错误!，＋∞>时， f ′(x>>0，f(x>在(2＋错误!，＋∞>上单调增加．综上，f(x>的单调增区间是(－∞，2－错误!>和(2＋错误!，＋∞>，单调减区间是(2－错误!，2＋错误!>．(2> f ′(x>＝3[(x－a>2＋1－a2]．当1－a2≥0时， f ′(x>≥0，f(x>为增函数，故f(x>无极值点；当1－a2<0时， f ′(x>＝0有两个根，x1＝a－错误!，x2＝a＋错误!.由题意知，2<a－错误!<3，①或2<a＋错误!<3.②①式无解．解②式得错误!<a<错误!.因此a的取值范围是(错误!，错误!>．课堂过手练习：设函数f(x>＝x3＋ax2－9x－1(a<0>．若曲线y＝f(x>的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1>a的值；(2>函数y＝f(x>的单调区间．解：(1>∵f(x>＝x3＋ax2－9x－1.∴f ′(x>＝3x2＋2ax－9＝3(x＋错误!>2－9－错误!.即当x＝－错误!时， f ′(x>取得最小值－9－错误!.∴－9－错误!＝－12，即a2＝9.解得a＝±3.由题设a<0，得a＝－3.(2>由(1>知a＝－3，因此f(x>＝x3－3x2－9x－1，f ′(x>＝3x2－6x－9＝3(x－3>(x＋1>．令f ′(x>＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x∈(－∞，－1>时， f ′(x>>0，故f(x>在(－∞，－1>上为增函数；当x∈(－1,3>时， f ′(x><0，故f(x>在(－1,3>上为减函数；当x∈(3，＋∞>时， f ′(x>>0，故f(x>在(3，＋∞>上为增函数．由此可见，函数f(x>的单调递增区间为(－∞，－1>和(3，＋∞>；单调递减区间为(－1,3>.考点2 由函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x>在(a，b>上递增(或递减>的充要条件应是 f ′(x>≥0(或 f ′(x>≤0>，x∈(a，b>恒成立，且 f ′(x>在(a，b>的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x>在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0>＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0>＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．例2 已知函数f(x>＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x>单调递增，求实数a的取值范围．【分析】利用f ′(x>≥0恒成立求解．【解】由已知，得f ′(x>＝3x2－a.因为在实数集R上y＝f(x>单调递增，所以f ′(x>＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈(－∞，＋∞>恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又a＝0时， f ′(x>＝3x2≥0，且等号仅在x＝0处才取得，即y＝f(x>在实数集R上单调递增．综上，当a≤0时，y＝f(x>在实数集R上单调递增．由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x>在区间I上单调递增(递减>，等价于不等式f ′(x>≥0(f ′(x>≤0>在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．课堂过手练习：已知f(x>＝ex－ax－1.(1>求f(x>的单调增区间；(2>若f(x>在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3>是否存在a，使f(x>在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞>上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：(1>f ′(x>＝ex－a.若a≤0, f ′(x>＝ex－a>0恒成立，即f(x>在R上递增．若a>0，令ex－a>0，ex>a，x>lna.此时f(x>的单调递增区间为(lna，＋∞>．(2>∵f(x>在R内单调递增，∴f ′(x>≥0在R上恒成立．∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．∴a≤(ex>min，又∵ex>0，∴a≤0.(3>假设存在a满足条件．解法一：由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立．∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．∵y＝ex在(－∞，0]上为增函数．∴x＝0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex－a≥0在[0，＋∞>上恒成立．∴a≤ex在[0，＋∞>上恒成立，∴a≤1，∴a＝1.解法二：由题意知，x＝0为f(x>的极小值点．∴f ′(0>＝0，即e0－a＝0，∴a＝1.考点3 求已知函数的极值运用导数求可导函数y＝f(x>极值的步骤：(1>先求函数的定义域，再求函数y＝f(x>的导数 f ′(x>；(2>求方程 f ′(x>＝0的根；(3>检查 f ′(x>在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x>在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么f(x>在这个根处取得极小值．例3 设f(x>＝错误!，其中a为正实数．(1>当a＝错误!时，求f(x>的极值点；(2>若f(x>为R上的单调函数，求a的取值范围．【解】对f(x>求导得f ′(x>＝e x错误!①(1>当a＝错误!时，若f ′(x>＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝错误!，x2＝错误!.结合①，可知12(2>若f(x>为R上的单调函数，则f ′(x>在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax ＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1>≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.课堂过手练习：函数f(x>＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解读：由f ′(x>＝3x2－6x＝3x(x－2>＝0，解得x1＝0，x2＝2当x<0时， f ′(x>>0，当0<x<2时f ′(x><0，当x>2时f ′(x>>0.∴当x＝2时， f(x>有极小值是f(2>＝23－3×22＋1＝－3.考点4 利用极值求参数已知函数解读式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解读式．例4 设x＝1与x＝2是函数f(x>＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1>试确定常数a和b的值；(2>试判断x＝1，x＝2是函数f(x>的极大值点还是极小值点，并说明理由．【解】(1>f ′(x>＝错误!＋2bx＋1，由题意得f ′(1>＝0, f ′(2>＝0，∴错误!解得错误!.(2>由(1>知f(x>＝－错误!lnx－错误!x2＋x，所以f ′(x>＝－错误!－错误!＋1＝错误!＝－错误!·错误!.又∵x>0，∴0<x<1时， f ′(x><0,1<x<2时， f ′(x>>0，x>2时， f ′(x><0，所以函数f(x>在(0,1>和(2，＋∞>上是减函数，在(1,2>上是增函数，所以，x＝1是函数f(x>的极小值点，x＝2是函数f(x>的极大值点．课堂过手练习：设函数f(x>＝(x－a>2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x>的极值点，求实数a.易错点求参数取值时出现典例：已知函数f(x>＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．【错解】求函数的导数f ′(x>＝3ax2＋6x－1，当f ′(x><0时， f(x>是减函数，则f ′(x>＝3ax2＋6x－1<0(x∈R>．故错误!解得a<－3.【错因分析】 f ′(x><0(x∈(a，b>>是f(x>在(a，b>上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f(x>＝－x3在R上递减，但f ′(x>＝－3x2≤0.【正确解答】求函数的导数f ′(x>＝3ax2＋6x－1，(1>当f ′(x><0时， f(x>是减函数，则f ′(x>＝3ax2＋6x－1<0(x∈R>．故错误!解得a<－3.(2>当a＝－3时， f(x>＝－3x3＋3x2－x＋1＝－3(x－错误!>3＋错误!易知此时函数也在R上是减函数．综上a的取值范围是a≤－3.(1>当函数在某个区间内恒有f ′(x>＝0，则f(x>为常数，函数不具有单调性．∴f (x>≥0是f(x>为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．(2>函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．(3>如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．纠错课堂练习：已知函数f(x>＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2.(1>试用c表示a，b；(2>求f(x>的单调递减区间．解：(1>f ′(x>＝3x2＋2ax＋b由已知条件错误!，即错误!解得a＝c，b＝－3－2c(2>f ′(x>＝3x2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c>(x－1>＝3(x＋错误!>(x－1>①若－错误!＝1，即c＝－3f ′(x>＝3(x－1>2≥0f(x>在(－∞，＋∞>上递增不合题意c＝－3应舍去．②若－错误!<1，即c>－3时，f(x>的递减区间为(－错误!，1>；③若－错误!>1，即c<－3时，f(x>的递减区间为(1，－错误!>．1．与函数的单调性有关的问题(1>利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x>>0或f ′(x><0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．(2>若函数f(x>在(a，b>上递增(或递减>，则在(a，b>上f ′(x>≥0(或f ′(x>≤0>恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x>＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．2．与函数的极值有关的问题(1>求函数的极值点，可通过 f ′(x>＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．(2>若函数f(x>在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0>＝0，我们可利用上述结论求参数的值．。
导数用于单调性和极值问题
专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性sin x n1.证明：函数f(x)= 在区间7，n上单调递减.x 2题型二利用导数求函数的单调区间2•求下列函数的单调区间.(1) f(x)= x3—x；(2)y = e x—x+ 1.3. 求函数y = x2—In x2的单调区间.题型三已知函数单调性求参数的取值范围a4. 已知函数f(x) = x2+ _(x丸,常数a€ R).若函数f(x)在x€ ［2 , +8)上是单调递增的,x的取值范围.5. (1)已知函数f(x)=x3+ bx2+ cx + d的单调减区间为［—1,2］，求b, c的值.(2)设f(x)= ax3+ x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围.题型四用单调性与导数关系证不等式16. 当x >0时，证明不等式ln(x+ 1) > x —；x2.n 17. 当0<x<2时，求证：x—sin x<y.题型五、函数的极值问题8.下列函数存在极值的是( )C . y = 3x — 1 29 .设函数 f (x )= '+ In x ,则()x1x = 2为f (x )的极大值点 1x =；为f (x )的极小值点x = 2为f (x )的极大值点 x = 2为f (x )的极小值点10 •若函数y = f (x )是定义在R 上的可导函数，则A .充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件 11 .函数y = x e x 的最小值为12 .若函数f (x )= -^(a >0)在［1 ,+R ］上的最大值为」，则a 的值为x 2 + a 3题型六、利用极值求参数范围n 3 n13.已知函数f (x )= a sin x — b cos x 在x = 一时取得极值，则函数 y = f (— x )是()4 4A •偶函数且图象关于点(n, 0)对称 3 nB .偶函数且图象关于点(丁, 0)对称B .y = x 2f '(x o )= 0是x o 为函数y = f (x )的极值点的3 nC•奇函数且图象关于点q-, 0)对称D .奇函数且图象关于点(n, 0)对称14 .已知函数f(x)= x3+ ax2+ bx + c, f(x)在x = 0处取得极值，并且在区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性.(1) 求实数b的值；(2) 求实数a的取值范围.题型七、导数用于解决实际问题15 .用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A. 6B. 8C. 10 D . 1216 .一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量).设每年每台的库存费为C1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_________ 台，一年中库存费和生产准备费之和最小.题型八、图像问题17.二次函数y= f(x)的图象过原点且它的导函数y=f '(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在()A •第i象限B.第n象限C .第川象限D .第W象限18.设函数f(x)在定义域内可导，y = f(x)的图象如下图所示，则导函数y= f '(x)的图象可能是( )巩固练习：119.定义域为R的函数f（x）满足f（1）= 1，且f（x）的导函数f '（x）>2，则满足2f （x）<x + 1的X 的集合为（）A . {x|- 1<x<1} B. {x|x<1}C. {x|x< —1 或x>1} D . {x|x>1}n 120 .函数f（x）= sin x+ 2xf'（3）, f '（x）为f（x）的导函数，令a = —；, b = log 32，则下列关系正3 2确的是()A . f(a)>f(b) B. f(a)<f(b)C. f(a) = f(b) D . f(|a|)< f(b)21. 若关于x的方程x3—3x+ m = 0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是()A . [ —2,2] B. [0,2]C. [ —2,0] D . (— s,—2) U (2 ,+^ )1 122. 已知函数f(x) = ax3+ ax2—2ax + 2a +1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是3 223. 已知函数f(x)= x3—3x，若过点A(1 , m)(m工一2)可作曲线y = f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_________三、解答题24 .求证：x>0 时，1 + 2x<e 2x.x —125.设函数f(x)= a ln x + ，其中a为常数.x +1(1)若a = 0,求曲线y= f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程;⑵讨论函数f(x)的单调性.26 .已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y= 4 —x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长.x a327.已知函数f (x ) = 4 + - — ln x —-，其中a € R ，且曲线y = f (x )在点(1 , f (i))处的切线垂直于 4 X2 1y ="X .(1) 求a 的值；(2) 求函数f (x )的单调区间与极值.28 .设函数 f (x )= e x — ax — 2.(1) 求f (x )的单调区间；(2) 若a = 1 , k 为整数，且当x >0时，(x — k )f '(x ) + x + 1>0，求k 的最大值.专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案x cos x — sin x n1.证明f '(x )= : ，又 x € 一，冗， x 2 2贝U cos x <0 ,「.x cos x — sin x <0 ,n•f(X )<0 ,「.f (x )在；,n 上是减函数.2. 解 (1)f'(x ) = 3x 2 — 1 = (一 3x + 1)( ；3x — 1),令 f '(x )<0，贝U x € — , .3 3• f (x ) = x 3 — x 的单调增区间为—o.令 f '(x )>0 ,则 x € 一 oo,-单调减区间为33，(2)y '毛x — i ，令 y >o ，即 e x — 1>0 ,则 x € (0 ,+^ )；令 y '<0，即 e x —1<0，贝U x € ( — g, 0), .•.y = e x — x + 1的单调增区间(0，+g )，单调减区间为(一g, 0).23.解 •••函数 y = f (x )= x 2— In x 2 的定义域为(—g,0) U (0，+g )，又 f '(x ) = 2x — _ =x2 x 2 — 1 2 x — 1 x + 1x = x ，由上表可知，函数 f (x ) = x 2 — In x 2在区间(一1,0) , (1 ,+g )上单调递增；在区间(一g, —1), (0,1)上单调递减.a 2x 3 — a4.解 f'(x )= 2x — 7 = 2—x 2 x 22x 3— a•/x 2>0 , .2x 3— a >0 , •a W 2x 3在x € [2 ,+g )上恒成立..•.a W (2 X 3)min .•••X € [2 ,+g ), y = 2x 3是单调递增的， .•.(2X 3)min = 16 ,「.a W 16.2x 3— 16当 a = 16 时，f'(x ) = ------- 2— >0(x € [2 ,+g ))有且只有 f'(2) = 0 ,.a 的取值范围是(一x 2g, 16].5. 解 (1) ••函数f (x )的导函数f'(x ) = 3x 2 + 2bx + c ,由题设知—1< x <2是不等式3x 2 + 2bx + c <0的解集.• —1,2是方程3x 2 + 2bx + c = 0的两个实根，2c•-1 +2=-3b ,(一1)x2=3,3即 b = — _, c = — 6.2(2) vf '(x ) = 3ax 2+ 1，且f (x )有三个单调区间, •方程f '(x ) = 3ax 2 + 1 = 0有两个不等的实根, ••A= 02 — 4 x 1 x 3a >0 ，―a <0.要使f (x )在［2 ,+g )上是单调递增的，则f '(x )» 在x € [2 ,+g )时恒成立,x 2>0 在 x € [2 , + g )时恒成立.•••a 的取值范围为(一3 0).16. 审题指导利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x ) = ln(x + 1) -x +2x 2，证明f (x )在(0, + 3)上单调增，由f (x )> f (0) = 0证得.1［规范解答］令 f (x ) = ln(x + 1) — x + 2x 2, (4 分) 1 x 2贝U f '(x ) = 一 1 + x = .(6 分)1 + x 1 + x 当 x € (0 ,+3 )时,f '(x ) >0 , •••f(x )在(0，+3)上是增函数.(8分) 于是当 x > 0 时，f (x ) > f (0) = 0 ,1•••当 x >0 时，不等式 In(x + 1) >x — ［x 2成立.(12 分) 1 n7. 证明 设 g (x ) = x — sin x —-x 3, x € 0, 一，6 21 xx —_x 2= 2 sin 2_— 2 2n—,二0 v sin x v x ,2x x「•sin 2；< 2 2，：g '(x ) v 0,n•••g(x)在0, 2上单调递减,1 /.g (x )v g (0) = 0 ,.「x — sin x v 一x 3.6 8. ［答案］D［解析］画出图像即可知 y = x 2存在极值f (0) = 0. 9. ［答案］D［解析］本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.f '(x )=—爲 + =一(1 — _) = 0 可得 x = 2. x 2 x x x当 0<x <2 时，f '(x )<0 , f (x )递减，当 x >2 时f '(x )>0 , /f (x )单调递增.所以x = 2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域.g (x ) = 1 — cos •/x € 0 ,当 x < — 1 时，y '<0，当 x > — 1 时 y >0 1「•y min = f (— 1)=——e12.［答案］,：3 — 1x 2 + a — 2x 2a — x 2厂［解析］f'(x ) =;; =2.当 x>- a 时 f'(x )<0 ,x 2 + a 2 x 2 + a 2减的，当一"a<x <” a 时，f '(x )>0 , f (x )在(一"a ，“ a ) 讨=F ，a = ^<1,不合题意.•••Kg = f ⑴=土 =寸，解得 a = 3一 1.13. ［答案］Dn［解析］■•f(x )的图象关于x = 一对称,4n• .f (0) =f (2)，••- b = a ,/•f(x ) = a si n x — b cos x = a s in x + a cos x = 2a si n( x + ；),3 n3 n n 一一— x )= 2a sin( ： — x +；) =2a sin( n —x ) =2a sin x .3 n 显然f ( — x )是奇函数且关于点(n, 0)对称，故选D.4 14.［解析］ ⑴由导数公式表和求导法则得， f '(x ) = 3x 2+ 2ax + b ,10.［答案］［解析］ 如y = x 3, y ' =3x 2, y '|x = o = 0，但x = 0不是函数y = x 3的极值点.11.［答案］［解析］ y '#x + l)e x= 0, x =— 1.f (x )在(-.a ,+^ )上是递上是递增的.当 x = a 时，fC a )因为f (x )在x = 0处取得极值，所以f'(0) = 0 ,即得b = 0.2 2⑵令f '(x )= 0,即卩3x 2+ 2ax = 0，解得x = 0或x = -；a .依题意有一；a >0.3 3 因为函数在单调区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性，15. ［答案］B［解析］设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为 V cm 3,由题意，得 V = x (48—2x )2(0< x <24) , V '^2(24 — x )(8 — x ).令 V '=0,则在(0,24)内有 x = 8，故当 x = 8 时，V 有最大值.17. ［答案］Ab+ b ，由 y = f '(x )的图象可知，2a <0 , b >0 ,「.a <0 , b >0,「.一—>0 ,2 a 故选A. 18. ［答案］A［解析］f (x )在(—g, 0)上为增函数，在(0,+^ )上变化规律是减T 增T 减，因此 f '(x )的图象在( — m, 0)上，f (x )>0，在(0，+g )上f '(x )的符号变化规律是负T 正T 负，故选所以应有 22 一产4，解得一6<a <-3.［解析］ N设每批生产x 台，则一年生产二批.一年中库存费和生产准备费之和 y = C i x +C 2N (0< x <N ).xC 2Ny '毛i -=.由 y ' =0 及 0<x <N ，解得x 2(台).根据问题的实际意义， y 的最小值是存在的，且 y '=0有唯一解.故x =C 2N百台是使费用最小的每批生产台数.［解析］设 f (x ) = ax 2 + bx + C ,'••二次函数 y = f (x )的图象过原点，二 c = 0，-f '(x ) = 2ax4ac — b 2 b 2—47°，4aC 2N16.［答案］C iA.19. ［答案］B1 ［解析］令g(x) = 2f(x) —x— 1 ,・.・f '(X)>2，•••g'(x)= 2f (x)—1>0 ,「.g(x)为单调增函数，•••f(l) = 1 ,「.g(l) = 2f(l) —1 —1 = 0,•••当x<1 时，g (x)<0，即2f(x)<x+ 1，故选 B.20. ［答案］An［解析］'-f '(x)= cos x + 2f '( 一),3n n n•••f '(3)= cos 3 +2f‘(3),/•f(x) = si n x —x.又f (x) = cos x— 1 <0, 故f(x)在R上递减.1又'一Fog 32 ,2f 1 <0,•••f(x ) = 0 在［0,2］上有解，•••f 2 >0 ,6322. ［答案］(-5，-石)［解析］f '(x )= ax 2+ ax — 2a = a (x — 1)(x + 2), 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，贝Uf — 2<0 ,此时无解；若a <0，则f 1 >0 ,23. ［答案］(—3 , — 2)［解析］f '(x )= 3x 2— 3，设切点为 P (X 0, y °)，则切线方程为 y — (x 3— 3x °)= (3x 6 — 3)(x —X 0),T 切线经过点 A (1 , m ),：m — (x 0 — 3x °) = (3x 0 — 3)(1 — X 0),；m = — 2x 3+ 3x 0 — 3 , m z=-6x 0 + 6x 0, •当0< X 0<1时，此函数单调递增，当X 0<0或X 0>1时，此函数单调递减， 当X 0 = 0时，m = — 3，当X 0 = 1时，m = — 2，•当一3< m < — 2时，直线 y = m 与函数y =—2x 3+ 3x 0 — 3的图象有三个不同交点，从而X 0有三个不同实数根，故过点 A (1 , m )可作三条不同切线，• m 的取值范围是(一3, — 2).24. ［分析］禾U 用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导 函数的符号确定.［解析］设 f (x ) = 1 + 2x — e 2x , 则 f'(x ) = 2 — 2e 2x = 2(1 — e 2x ).当 x >0 时，e 2x >1 , f '(x ) = 2(1 — e 2x )<0 ,m — 2<0,m• —2 <m <2.f — 2 >0 , f 1<0 ,6 3•—5<a <—材，综上知, 6 3 < a < — . 5 16所以函数f(x) = 1 + 2x —e2x在(0,+^ )上是减函数.当 x >0 时，f (x )<f (O) = 0,即当 x >0 时，1 + 2x — e 2x <0，即 1 + 2x <e 2x . 25. ［解析］(1)f (x )的定义域为(0,+^ )a x +1— x — 1 a 2 f '(x ) = _+" 2 = - + - 2x x +1 1 2 3x x + 1 22 1•••a = 0,「.f '(x ) = ―，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k = f '(1)=-,I而 f (1) = 0.1•••所求切线方程为y = [(x — 1), 即 x — 2y — 1 = 0.21 ° 当a = 0 时，f '(x )=;>0 ,x + 1•••f(x )在(0,+s )递增.令 g (x ) = ax 2 + 2(a + 1)x + aA = 4( a + 1)2 — 4a 2 = 8a + 4- a + 1—2 a + 12 ° 当 a >0 时，A >0 ,此时 g (x ) = 0 的两根 X 1 =：, X 2 =a—a + 1 +" 2a + 1a■/a>0 ,「.X 1<0 , X 2<0./•g(x )>0 ,：x € (0,—g ),「.f '(x )>0 故f (x )在(0,+s )递增.13°当锐时，A= 8a + 4® 即时，g (x)切，/f 3°.a (2) f '(x )=-x + 12+ 2x x x + 1 2ax 2+ 2 a + 1 x + a1当 A >0，即- 2<a <° 时,•••令 f '(X )>0 , X € (X 1 , X 2),f '(x )<0 , X € (0 , X 1) U (X 2,+^)• ••f(X )在(X 1 , X 2)递增，在(0, X 1)和(X 2 ,+8 )上递减. 综上所述：当a>0时，f (x )在(0,+^ )递增. 1当一2< a <0 时，f (x )在(X 1, X 2)递增,— a + 1+M 2a + 1 — a + 1—yl 2a + 1在(0 ,X 1)禾廿(X 2, +m)递减(其中 X 1 =：,X 2=:).aa1当 a w —2时，f (x )在(0，+m)递减.26. ［分析］如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ,然后利用导数求最值.［解析］设矩形边长为 AD = 2x ，则|AB | = y = 4 — x 2，则矩形面积 S = 2x (4 — x 2)(0< x <2), 即 S = 8x — 2x 3 ,「.S'= — 6x 2,X 1 =X 2 =—a +1+ -• 2a+ 1>0—a +1—2a + 1>083时，矩形的面积最大.［点评］本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长.27.［解析］ ⑴函数f （x ）的定义域为（0,+^ ）,1 a 1f'（x ）= 一一二一一，由导数的几何意义，且切线与1 y = x 垂直. 21 5得「⑴蔦—a - 1 一 2，心=；•令f '(x ) = 0解得x =— 1或5, — 1不在定义域之内故舍去.•••当 x € (0,5) , f '(x )<0 ,「.f (x )在(0,5)递减. 当 x € (5 , +s ), f '(x )>0 ,「.f (x )在(5 , +s )递增. 5 1 3•••f (x )在 x = 5 时取极小值 f (5) = 一+ 一- ln5 —_=— ln5.4 4228.［分析］［解析］(1)f (x )的定义域为(— °°，+^° ),f '(x )= e x — a .若a w 0,则f (x )>0，所以f (x )在(— s,+s )单调递增. 若 a >0，则当 x € (— g, In a )时，f '(x )<0 ; 当 x € (In a ,+g )时，f '(x )>0 ,x 5 3 ⑵由⑴知 f （x ）=4+4；-lnx -2，•f (x )蔦-4x 21 x2 — 4x - 5x 4x 22 — 2令S'=0，解得X 1 =—尸，X 2=—尸（舍去）寸3 寸3S 取得最大值，此时,即矩形的边长分别为所以f (x )在( — g, In a )单调递减，在(In a ,+^ )单调递增.⑵由于 a = 1，所以(x — k )f '(x )+ x + 1 = (x — k )(e x — 1)+ x + 1.故当 x >0 时，(x — k )f '(x )+ x + 1>0 等价于—x e x — 1e x则 g ，(x)=+ 1 =-由(1)知，函数 h (x ) = e x — x —2 在(0，+g )单调递增.而 h (1)<0 , h (2)>0，所以 h (x ) 在(0 , +g )存在唯一的零点.故g '(X )在(0 ,+g )存在唯一的零点.设此零点为a ,则a € (1,2).当 x € (0, a 时，g ((x )<o ； 当 x € ( a , +g )时,g '(x )>0.所以g (x )在(0，+g )的最小值为g ( a). 又由 g ( a)= 0，可得 e a= a + 2 , 所以 g ( a)= a + 1 € (2,3).由于①式等价于 k <g (a)，故整数k 的最大值为2.1•••f (-；)>f (log 32), 即 f (a )> f (b ). 21. ［答案］A［解析］ 令 f (x ) = x 3 — 3x + m ，则 f '(x )= 3x 1 2— 3 = 3(x + 1)(x — 1)，显然当 x < — 1 或x >1 时，f '(x )>0 , f (x )单调递增，当一1< x <1 时，f '(x )<0 , f (x )单调递减，•在 x =— 1 时，f (x ) 取极大值f ( — 1) = m + 2，在x = 1时，f (x )取极小值f (1) = m — 2.故f (x )在(0,+s )递减.x + 1k<L +x(x >0).e x — x —2 e x — 1 2。
导数在函数单调性、极值中的应用
,右侧
,则
点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值
若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数
值 ,且f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧
,右侧
,则
点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值,
和
统
称为极值.
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1. 作出结论:f'(x)>0时为增函数;f'(x)<0时为减函数. ○ 请做[针对训练]1
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二、函数的极值与导数
【例2】 已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6), 且函数g(x)=f'(x)+6x的图象关于y轴对称.
1. 求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间; 2. 若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.
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解:f'(x)=3x2+a,g'(x)=2x+b.
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由题意知f'(x)g'(x)≥0在[-1,+∞)上恒成立.
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因为a>0,故3x2+a>0,
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进而2x+b≥0,即b≥-2x在区间[-1,+∞)上恒成立,
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所以b≥2.因此b的取值范围是[2,+∞).
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综上得:当0<a<1 时,f(x)有极大值-2,
无极小值;
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当1<a<3时,f(x)有 极小值-6,无极大值;
导数与方程单调性和极值点的关系
导数与方程单调性和极值点的关系导数是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们研究函数的单调性和极值点。
本文将探讨导数与方程单调性以及极值点之间的关系。
方程单调性与导数在研究方程的单调性时，我们可以利用导数的概念。
一个函数在某个区间上是递增的，意味着它的导数在该区间上大于零；而一个函数在某个区间上是递减的，意味着它的导数在该区间上小于零。
通过这种方式，我们可以将方程的单调性与导数联系起来。
例如，考虑一个函数f(x)，它在区间[a, b]上是递增的。
这意味着f'(x) > 0，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
因此，在区间[a, b]上，方程f'(x) = 0没有解。
这是因为导数大于零表明函数在该区间上是递增的，不可能同时存在一个点使得导数等于零。
同样地，如果一个函数在某个区间上是递减的，意味着它的导数在该区间上小于零。
在这种情况下，方程f'(x) = 0可能有解，因为导数小于零表明函数在该区间上是递减的，可能存在一个点使得导数等于零。
极值点与导数极值点是函数在某个区间上的最大值或最小值点。
导数可以帮助我们确定一个函数的极值点的位置。
考虑一个函数f(x)在区间[a, b]上有一个极值点。
如果这个极值点是一个局部最小值点，那么在该点处的导数f'(x) = 0。
同样地，如果这个极值点是一个局部最大值点，那么在该点处的导数f'(x) = 0。
这是因为极值点的定义需要函数在该点的导数为零。
然而，需要注意的是，导数为零的点并不一定是极值点。
在寻找极值点时，我们还需要考虑导数的符号变化。
如果一个函数在某个点的左侧导数大于零，而在右侧导数小于零，那么该点就是一个局部最大值点。
相反，如果一个函数在某个点的左侧导数小于零，而在右侧导数大于零，那么该点就是一个局部最小值点。
综上所述，导数与方程的单调性和极值点之间存在密切关系。
通过导数，我们可以确定一个函数在某个区间上的单调性以及极值点的位置。
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专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性1.证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题型二 利用导数求函数的单调区间2.求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝x 3－x ；(2)y ＝e x －x ＋1. ！3.求函数y ＝x 2－ln x 2的单调区间．题型三 已知函数单调性求参数的取值范围 4.已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．5.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．…题型四 用单调性与导数关系证不等式6.当x ＞0时，证明不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2.7.当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜16x 3.；题型五、函数的极值问题8．下列函数存在极值的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝1xC ．y ＝3x －1D ．y ＝x 29．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点…10．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．函数y ＝x ·e x 的最小值为________．12．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为________．题型六、利用极值求参数范围13.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称…B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．题型七、导数用于解决实际问题15．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6B ．8C ．10D ．1216．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________台，一年中库存费和生产准备费之和最小．题型八、图像问题17.二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限18.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ):巩固练习：19.定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}20．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )—21.若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)22.已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．23.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题24．求证：x >0时，1＋2x <e 2x . （25.设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.26．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．·27.已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．28．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值．|专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案1.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数． 2.解 (1)f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)，令f ′(x )>0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，令f ′(x )<0，则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. …∴f (x )＝x 3－x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. (2)y ′＝e x －1，令y ′>0，即e x －1>0，则x ∈(0，＋∞)；令y ′<0，即e x －1<0，则x ∈(－∞，0)，∴y ＝e x －x ＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． 3.解 ∵函数y ＝f (x )＝x 2－ln x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－1x＝2x －1x ＋1x， x (－∞，－1)－1 (－1,0) #(0,1)1 (1，＋∞)f ′(x )－＋－＋#f (x )↘ 1 ↗ ↘ 1 ↗ 22－1)，(0,1)上单调递减．4.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， "即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－5.解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3， |即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．6.审题指导 利用导数证明不等式，首先要构造函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，证明f (x )在(0，＋∞)上单调增，由f (x )>f (0)＝0证得．[规范解答] 令f (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，(4分)则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x 21＋x.(6分)当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(8分) ^于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln(x ＋1)＞x －12x 2成立．(12分)7.证明 设g (x )＝x －sin x －16x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g ′(x )＝1－cos x －12x 2＝2⎣⎡⎦⎤sin 2x 2－⎝⎛⎭⎫x 22.∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜sin x ＜x ， ∴sin 2x 2＜⎝⎛⎭⎫x 22，∴g ′(x )＜0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0，∴x －sin x ＜16x 3. 8.[答案] D[解析] 画出图像即可知y ＝x 2存在极值f (0)＝0. '9.[答案] D[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题． f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x )＝0可得x ＝2. 当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x >2时 f ′(x )>0，∴f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点． 对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．[解析] 如y ＝x 3，y ′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是函数y ＝x 3的极值点． 11.[答案] －1e[解析] y ′＝(x ＋1)e x ＝0，x ＝－1.&当x <－1时，y ′<0，当x >－1时y ′>0 ∴y min ＝f (－1)＝－1e12.[答案] 3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2.当x >a 时f ′(x )<0，f (x )在(a ，＋∞)上是递减的，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，a )上是递增的．当x ＝a 时，f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.13.[答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称， ∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)， ∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .|显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.14.[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0. 因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3. 15.[答案] B[解析] 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在(0,24)内有x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值． 16.[答案]C 2N C 1[解析] 设每批生产x 台，则一年生产N x 批．一年中库存费和生产准备费之和y ＝C 1x ＋C 2Nx (0<x <N )． （y ′＝C 1－C 2Nx 2.由y ′＝0及0<x <N ，解得x ＝C 2NC 1(台)．根据问题的实际意义，y 的最小值是存在的，且y ′＝0有唯一解．故x ＝C 2NC 1台是使费用最小的每批生产台数．17.[答案] A[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，由y ＝f ′(x )的图象可知，2a <0，b >0，∴a <0，b >0，∴－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a >0，故选A. 18.[答案] A[解析] f (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f ′(x )的图象在(－∞，0)上，f ′(x )>0，在(0，＋∞)上f ′(x )的符号变化规律是负→正→负，故选A.19.[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12， ∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B. .20.[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′( π3)， ∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)， 即f ′(π3)＝－12. ∴f (x )＝sin x －x . 又f ′(x )＝cos x －1≤0， 故f (x )在R 上递减．又∵－12<log 32， ∴f (－12)>f (log 32)， 即f (a )>f (b )． &21.[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2. 22.[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f1<0，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －2<0，f1>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.23.[答案] (－3，－2) )[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．24.[分析] 利用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导函数的符号确定．[解析] 设f (x )＝1＋2x －e 2x ， 则f ′(x )＝2－2e 2x ＝2(1－e 2x )． 当x >0时，e 2x >1，f ′(x )＝2(1－e 2x )<0，所以函数f (x )＝1＋2x －e 2x 在(0，＋∞)上是减函数．当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即当x >0时，1＋2x －e 2x <0，即1＋2x <e 2x . 25.[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝a x ＋x ＋1－x －1x ＋12＝a x ＋2x ＋12~∵a ＝0，∴f ′(x )＝2x ＋12，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12，而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)， 即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a x ＋12＋2x x x ＋12＝ax 2＋2a ＋1x ＋ax x ＋121°当a ＝0时，f ′(x )＝2x ＋12>0，∴f (x )在(0，＋∞)递增． 令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋aΔ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋42°当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根x 1＝－a ＋1－2a ＋1a，x 2＝－a ＋1＋2a ＋1a《∵a >0，∴x 1<0，x 2<0.∴g (x )>0，∵x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )>0 故f (x )在(0，＋∞)递增．3°当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12时，g (x )≤0，∴f ′(x )≤0. 故f (x )在(0，＋∞)递减． 当Δ>0，即－12<a <0时， x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a >0， x 2＝－a ＋1－2a ＋1a>0 ∴令f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)， f ′(x )<0，x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)；∴f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减．综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)递增． 当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)递减(其中x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a ，x 2＝－a ＋1－2a ＋1a)． 当a ≤－12时，f (x )在(0，＋∞)递减．26.[分析] 如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ，然后利用导数求最值．[解析] 设矩形边长为AD ＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2，则矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，∴S ′＝8－6x 2，令S ′＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍去) .当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0， ∴当x ＝23时，S 取得最大值，此时，S 最大＝3239，y ＝83. 即矩形的边长分别为433、83时，矩形的面积最大．[点评] 本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长．27.[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由导数的几何意义，且切线与y ＝12x 垂直．得f ′(1)＝14－a －1＝－2，∴a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，∴f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0解得x ＝－1或5，－1不在定义域之内故舍去．∴当x ∈(0,5)，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,5)递减．当x ∈(5，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(5，＋∞)递增．∴f (x )在x ＝5时取极小值f (5)＝54＋14－ln5－32＝－ln5.28.[分析] [解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x －1＋x (x >0)． ① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ， 则g ′(x )＝－x e x －1e x －12＋1＝e x e x －x －2e x －12. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g ′(x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.。