轴对称变换
轴对称及轴对称变换
Ⅳ轴对称及轴对称变换1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.一、例题【例１】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【训练1】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【训练2】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【训练3】1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.3．⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.⑵实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【训练4】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋BM为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．【训练6】1．设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）2．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．二、课后练习1．如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（）．A．48°B．54°C．74°D．78°2．如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（）A．80°B．85°C．95°D．110°4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）5．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（）A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－17．如图，镜子中号码的实际号码是___________．8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2.9．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x轴对称，则a＋b＝___________.10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．。
轴对称的变换
轴对称变换的特征是什么？
由一个平面图形可以得到它关于一条直线L 对称的图形，• 个图形与原图形的 这 (形状和大小 )完全相同；
新图形上的每一点，都是原图形上的某 一点关于直线L的( 对称点 )； 连接任意一对对应点的线段被对称轴 ( 垂直平分 )．
轴对称变换的特征:
由一个平面图形可以得到它关 于一条直线l对称的图形，这个图 形与原图形的形状、大小完全一 样；
由一朵花变成八朵 花至少需要几次轴 对称变换？
思维启发：
巧用轴对称变换可以图案
中外建筑
法国著名画家
V· 瓦萨雷利
《 委 加 派 尔 》
1969
·
雕刻家
威廉斯· 多佛
《 木 制 卫 兵 雕 像 》 1971
如果有一个图形和一 条直线,作出与这个图形关 于这条直线对称的图形,你 会了吗? 我来试一试,
A’ C’ B’
3、连接A’B’、B’C’、 C’A’。
∴△A’B’C’即为所求。
例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与 △ABC关于直线l对称的图形。
B B A A C’ B’ C C l A B’ A A’ B C C l
B
∴△AB’C’即为所 求。
∴△A’B’C即为所 求。
A’
B C l
画出点A关于 l 的对称点A′ ?
l A
O
A′
作法: 过点A作直线l的垂线在垂线上截取 OA’=OA,垂足为点O，点A’就是点A关于 直线l的对称点.
如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法：1、过点A作直 线l的垂线，垂足为点 O，在垂线上截 OA’=OA，点A’就是点 A关于直线l的对称点； 2、类似地，作出点B 关于直线l的对称点B’； B
轴对称变换
1、下图是从镜中看到的一串 数字，这串数字应为多少？
2、已知图形X和直线a，将 图形X以直线a为对称轴，作轴对 称变换后得到的图形是（ A ） X a
A
B
C
D
猜单词游戏
轴对称变换后的像 原来的图形1、2、3、 4、5、
6、
由一个图形变为另一个图形，并使这两 个图形关于某一条直线成轴对称，这样 轴对称变换及相关概念：的图形改变叫做图形的轴对称变换，也 叫反射变换，简称反射，经变换所得的 新图形 叫做原图形的像。 由一个图形变为另一个图形的这种改变的 轴对称图形和轴对称 过程是轴对称变换，而变换后的结果看成 变换的区别和联系： 一个图形时是轴对称图形。 轴对称变换不改变原图形的形状和大小， 轴对称变换的性质： 只改变位置和方向。 轴对称变换的作图方法： 1、找点
2.2轴对称变换
知识回顾：什么是轴对称图形？
如果一个图形沿着一条直线折起来， 直线两旁的部分能够相互重合， 那么这个图形叫做轴对称图形，
这条直线就是它的对称轴。
民间剪纸艺术
你知道它们是怎样剪出来的吗?
看成两个图形 两个图形成轴对称
轴对称图形和成轴对称是不是一回事?它们 有区别吗?
不同点：轴对称图形对一个图形而言。
成轴对称是对两个图形而言。
联系：
轴对称图形 成轴对称
由一个图形变为另一个图形， 并使这两个图形关于某一条直线 成轴对称，这样的图形改变叫做 图形的轴对称变换,也叫反射变换， 简称反射，经变换所得的新图形 叫做原图形的像。
轴对称变换和轴对称图形有 什么区别和联系？
轴对称变换和轴对称图形关系:
都是沿一条直线折叠后能够互相重合。 联系：
轴对称变换的性质：
m
轴对称变换不改变原图形的形状和 大小，只改变位置和方向。
八年级上册数学《轴对称》轴对称图形的变换 知识点整理
13.2轴对称图形的变换一、本节学习指导本节比较好学，同学们要多动动手和观察，本节配套免费学习视频。
二、知识要点1、轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•注：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2、轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3、作一个图形关于某条直线的轴对称图形【重点】（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．例：画出△ABC的轴对称变换后的得到的图形。
分析：我们找到能决定形状的点，①找到点A、B、C，②接着过点A、B、C分别作对称轴的垂线，并使得垂足到两个两个点的的距离相等，如：B、B＇到对称轴的距离相等③连接经过轴对称变换后的几个点A＇B＇C＇，得到△A＇B＇C＇，完毕。
4、找一点使距离之和最短【重点】条件：如下左图，Ａ、Ｂ是直线Ｌ同旁的两个定点．问题：在直线Ｌ上确定一点Ｐ，使PA＋PB的值最小．方法：作点A关于直线L的对称点A＇，连结A＇B交L于点P，则PA+PB=A＇B的值最小。
注：这个知识点非常有技巧，以后遇到的很多题型如果会运用这个方法就省很多事。
用坐标表示轴对称5、关于坐标轴对称【重点】点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）图1 图2三、经验之谈：上面的总结已经淋漓尽致了，基本上每个知识点都说的很清楚，剩下的就看同学们愿不愿意思考和动手了。
上图2中，同学们想一想P(x,y)关于y=-x轴对称点P2的坐标是什么。
八年级数学轴对称变换知识精讲
初二数学轴对称变换【本讲主要内容】轴对称变换轴对称变换的概念，用尺规及坐标画轴对称图形。
【知识掌握】【知识点精析】1. 由一个平面图形得到它的轴对称图形的图形运动称为轴对称变换。
2. 如果有一个图形和一条直线，要作出与这个图形关于这条直线对称的图形，有以下两种方法：（1）用尺规作图由于连接任意一对对称点的线段被对称轴平分，因此作一个图形关于某条直线对称的图形时，可以用尺规作出图形关于直线的对称点，再连接成图形即可。
（2）用坐标找出对称点在平面直角坐标系中，利用坐标画出已知点和对称点的位置，再连接成图形。
【解题方法指导】例1. 画出△ABC关于直线l的轴对称图形。
l l lA B AB BAC C C（1）（2）（3）分析：由于△ABC有三个顶点，因此只要分别作出A、B、C三个顶点关于直线l的对称点，然后连接成三角形即可。
解：对于（1），作AD⊥l于D，延长线段AD到A＇，使A＇D＝AD作BE⊥l于E，延长线段BE到B＇，使B＇E＝BE作CF⊥l于F，延长线段CF到C＇，使C＇F＝CF顺次连接A＇，B＇，C＇△A＇B＇C＇即为所求。
对于（2），方法同（1），但由于点B在直线l上，因此点B关于l的对称点B＇与点B重合，也在直线l上。
对于（3），方法同（1）＇＇（1）（2）（3）评析：要注意点在对称轴上时，它关于l的对称点也在对称轴上；点在对称轴异侧时，它们关于l的对称点仍在对称轴异侧。
例2. （1）写出点（-2，3）关于y轴的对称点的坐标，关于x轴的对称点的坐标；（2）写出点（2，0）关于y轴的对称点的坐标，关于x轴的对称点的坐标。
（3）写出点（3，2）关于x＝1的对称点的坐标，关于y＝1的对称点的坐标；（4）若点（-3，1）关于某直线的对称点的坐标为（3，1），写出该直线；（5）若点（-1，-2）关于某直线的对称点的坐标为（-1，2），写出该直线。
分析：（1）x轴，y轴为对称轴，不难找出（-2，3）点关于x轴，y轴的对称点的坐标。
轴对称变换
轴对称变换轴对称变换是一种常见的几何变换方式，它在我们的日常生活中无处不在。
无论是建筑设计、艺术创作，还是图形处理、物体制造，轴对称变换都扮演着重要角色。
本文将从不同领域的角度，分别介绍轴对称变换的应用。
在建筑设计中，轴对称变换常常被用于对称建筑的设计。
对称建筑体现了一种和谐、平衡的美感，它通过轴对称变换实现对称效果。
例如，古代的宫殿、寺庙和城堡等建筑物往往具有左右对称的结构。
通过轴对称变换，设计师可以在图纸上只绘制一半的建筑结构，然后通过轴对称变换复制另一半，从而节省了时间和精力。
在艺术创作中，轴对称变换也被广泛运用。
许多古代艺术作品，如中国的对联、剪纸和泥塑等，都采用了轴对称的构图方式。
这种构图方式通过轴对称变换使作品呈现出一种平衡、和谐的美感。
此外，现代艺术家也喜欢运用轴对称变换来创作独特的艺术作品。
他们通过将图像沿着某条轴进行镜像对称，创造出奇特、离奇的艺术效果，给人以强烈的视觉冲击力。
在图形处理中，轴对称变换是一种非常重要的操作。
图像处理软件通常都提供了轴对称变换的功能，使用户可以轻松地对图像进行镜像对称。
这对于修复照片中的缺陷、改善图像的美观度非常有帮助。
此外，轴对称变换还被广泛应用于计算机辅助设计（CAD）领域。
在CAD软件中，轴对称变换可以帮助工程师快速复制和对称设计图形，提高设计效率。
在物体制造中，轴对称变换也起到了重要的作用。
许多物体的制造过程都需要进行轴对称变换。
例如，汽车零部件、家电产品等的制造往往需要对称的设计。
通过轴对称变换，制造商可以在设计阶段更好地控制产品的对称性，提高产品的质量和可靠性。
此外，轴对称变换还广泛应用于机械加工工艺中。
在机械加工过程中，通过轴对称变换可以使物体在加工过程中保持平衡，从而提高加工精度和效率。
轴对称变换在建筑设计、艺术创作、图形处理和物体制造等领域都具有重要的应用价值。
它不仅能够帮助设计师和工程师提高工作效率，还能够为我们带来更美丽、更和谐的世界。
《轴对称变换》一等奖说课稿
《轴对称变换》一等奖说课稿1、《轴对称变换》一等奖说课稿各位领导、专家、评委、老师们：今天我展示的课题是《轴对称变换》，这是八年级数学上册第十四章《轴对称》第二节的内容。
这节课分两个课时，我展示的是第一课时。
在初中的教学实践当中，我崇尚并践行这样的教学理念：①数学来源于现实，存在于现实，且应用于现实，数学教师的任务之一就是帮助学生构造现实，把现实“数学化”，积极引导学生通过探索、实践、思考，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。
②数学教学要面向全体学生，努力实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
在这样理念的指导下，我对教材进行了详细的分析。
（首先）（一）教材的地位和作用“轴对称变换”是一种“翻折变换”，而“翻折变换”是“全等变换”的一种，所以这节课的内容可以看作是前面学习的“全等变换”的延续；再者，教材把这节内容安排在“轴对称”概念、性质及垂直平分线性质定理等知识之后，进一步体现了轴对称的应用价值和丰富内涵，同时也为下阶段进一步探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法作铺垫。
通过这节课的学习，让学生体验了数学在生活中的广泛应用，培养学生在实际生活中“动眼－动手－动脑”的学习习惯。
根据教材的地位和作用，我确定了如下的教学目标。
（二）教学目标1．知识目标：通过具体的实例认识轴对称变换，了解它的定义和基本性质，能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称变换后的图形，能够利用轴对称变换进行简单的图案设计。
2．能力目标：用轴对称变换的方式去认识和构建几何图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换从事推理活动。
3．情感目标：结合教学内容，让学生体会数学来源于生活，数学美化生活，数学是我们生活中不可缺少的一部分，并培养学生空间想象能力，动手实践能力，以及善于合作、勇于创新的精神。
（三）教学重、难点教学重点：轴对称变换及轴对称作图；教学难点：利用轴对称变换构建几何图形；经过前面的分析，我对本节课的教学过程进行如下的设计。
考点13 初中数学中考考点 轴对称变换的性质
轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上；1.抓住对称轴，找准对应点，根据关于某条直线对称的两个图形全等，确定图形中的边，角的相等关系；2.理解基本图形中的重要关系：如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，点D的对称点是D′，点C的对称点是C′，则有①ED＝ED′，CD＝C′D′；②∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠DEF＝∠D′EF；③等腰△GEF中，GE＝GF.3.求角的度数的问题，一般利用轴对称的性质，结合平行线的性质，三角形的内角和定理，相似三角形等知识来求解；4.求线段的长度的问题，或构造直角三角形，利用勾股定理列方程，或借助全等三角形，或利用相似三角形求解.例1.如图，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在点G处，且BD与CD重合于线段DG，若∠A＝36°，∠AEG＋∠AFG的度数为（）．A .100°B .102°C .108°D .117°例2.如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开.再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，得到折痕BM ，同时，得到线段BN，若AB BM 的长为（ ） N ABC D EF M AB .2C .3 D.例3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD 上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积_____．1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD 上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②AG＋DF＝FG；③△DEF∽△ABG；④S△ABG＝32S△FGH．其中正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，将矩形纸片的两个直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点C恰好落在边B′F上．若AE＝3，BE＝5，则FC＝______．3.如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．（1）若∠A∶∠ABC＝3∶4，∠ACD＝140°，求∠A的度数；（2）若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．求证：1902 MCP A ∠=︒-∠；（3）在（2）的条件下，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q（如图2），试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．（每道试题10分，总计100分）1.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A B.3 C.2 D.2.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D 处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为A.40°B.50°C.60°D.70°3.在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，把△ABE 沿直线AE 折叠，B 点落在点B ′处，B ′B 与AE 交于点F ，连接AB ′，DB ′，FC ．下列结论：①AB ′＝AD ；②△FCB ′为等腰直角三角形；③∠CB ′D ＝135°；④BB ′＝BC ；⑤2AB AE AF =⋅.其中正确的个数为（）.A .2B .3C .4D .54.已知点P （3，﹣1），那么点P 关于x 轴对称的点P ′的坐标是（）A .（﹣3，1）B .（3，1）C .（﹣1，3）D .（﹣3，﹣1）5.将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开．如果∠1＝56°，那么∠2＝______．6.如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于E、F，若∠EPF＝α，则∠AOB＝_____．7.如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上运动，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若∠B′ED＝90°，则BD的长是________．8.将三角形纸片ABC，按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF＝_______．9.问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB＝10，BC＝6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F．问题探究：（1）如图1，若点E的坐标为(0，4)，直接写出点A的坐标________；（2）将矩形沿直线12y x n=-+折叠，求点A的坐标；问题解决：（3）将矩形沿直线y kx n=+折叠，点F在边OB上（含端点），求k的取值范围．10.如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F.（1）如图1，当点P在边BC上时：①若∠BAP＝30°，求∠AFD的度数；②若点P是BC边上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；（2）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论；（3）是否存在这样的情况，点E为线段DF的中点，如果存在，求BP的值；如果不存在，请说明理由.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
轴对称变换要点全析
轴对称变换·要点全析1．变换在《现代汉语词典》中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法．在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换．所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程．在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变．如图14-2-1中，（1）图是△ABC平移后得到△DEF，（2）图是△ABC翻折后得到△DBC，（3）图是△ABC旋转一个角（即∠BAD）后，得到△ADE，（4）图是△ABC先平移（BE），后翻折，得到△DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换．变换前后，两图形全等．2．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．例如：图14-2-2中，△DEF与△ABC成轴对称，同样得到△ABC的一系列对称图形△GHK、△PQR、△LMN等，并且△ABC≌△DEF≌△GHK≌△PRQ≌△LMN．以上这些图形的变化过程就是轴对称变换．3．轴对称变换的性质（1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样．（2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【说明】如图14-2-2中，以△ABC与△DEF关于直线l对称为例说明如下：①△ABC与△DEF全等，只是图形的位置与方向发生变化，而形状、大小没变．②点A、B、C分别与点D、E、F关于直线l对称．③线段AD、CF被直线l垂直平分．（4）①当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同．依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变．如图14-2-3．②当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化．如图14-2-4．4．轴对称变换的应用利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子．如图14-2-5中的设计图：再如图14-2-6中的剪纸图：5．如何作一个图形关于某直线的对称图形由轴对称图形的性质可知，对称点的连线被对称轴垂直平分．因此，先把一个几何图形看成由一些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．例如：如图14-2-7中，已知△ABC和直线l．作出△ABC关于直线l的对称图形．分析：在（1）图中，△ABC的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线l的对称点，连接这三个对称点，就得△ABC关于直线l对称图形．作法：（1）图中，（1）过点A作直线l的垂线，垂足为G，在垂直线上截取GA′＝GA．则点A′，就是点A关于直线l的对称点（因AA′被直线l垂直平分）．（2）同样道理和方法，分别作出点B、C关于直线l的对称点B′、C′．（3）连接A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．在（2）图中，作法同（1）图的作法，图形如（2）图所示．再如一些几何图形的对称图形的画法，如图14-2-8所示．6．应用轴对称，寻找最佳方案问题例如：如图14-2-9，在金水河的同一侧有两个村庄A、B．要从河边同一点修两条水渠到A、B两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处使两条水渠最短？分析：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN，在直线MN的同一侧有A、B两点．在直线MN上找一点P，使P点到A、B两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图14-2-9所示，作B点关于直线MN的对称点B′，连接AB′与MN 相交于点P，则P点即为所求．事实上，如果不是P点而是P′点时，则连接AP′、P′B和P′B′．由轴对称性可知，P′B＝P′B′，PB＝PB′，所以P′到A、B的距离之和AP′＋P′B＝AP′＋P′B′．而P到A、B的距离之和AP＋PB＝AP＋PB′＝AB′，在△AB′P′中，三角形两边之和大于第三边，即AP′＋P′B′＞AB′．所以P点即为所求的点．【说明】（1）此题为典型的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材料，反映在数学上就是寻找最小值问题．（2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的．（3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决．（4）在本例中，充分利用了轴对称的性质．7．轴对称的坐标表示方法点（x，y）关于x轴对称点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称点的坐标为（－x，y）．如图14-2-10中，点P（2，3）关于x轴的对称点为P2（2，－3），关于y 轴的对称点为P1，（－2，3）；点P2关于y轴的对称点为P3（－2，－3）；而点P3（－2，－3）与点P1（－2，3）关于x轴对称．因此，我们得到规律：关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标不变，纵坐标变成它的相反数；关于y轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数．反过来，也成立．例如：判断下列各点的位置关系：A（2，－5）B（2，5）C（－2，－5）D（－2，5）解：由坐标特点知，A与B关于x轴对称，A与C关于y轴对称，B与D关于y轴对称．8．点P（x，y）关于直线x＝a的对称点坐标如图14-2-11中，点P（1，4）关于直线x＝2的对称点为P1（3，4）；关于直线x＝－1的对称点为P2（－3，4）．由此可以看出，点P、P1、P2的纵坐标都没变，都是4，而P1、P2的横坐标发生了变化，变化的规律是：P1点的横坐标比A点横坐标2多了一个AP1（即AP）的长，而AP的长为2－1＝1，∴P1横坐标为2＋（2－1）＝3．同样道理，P2点的横坐标是比B点横坐标－1多了一个BP2（即BP）的长，而BP的长为｜－1－1｜＝2，∴P2横坐标为－1＋（－1－1）＝－3．因此，得出规律：点P（x，y）关于直线x＝m的对称点P1的横坐标为m＋（m－x）＝2m－x，纵坐标不变，即点P1、坐标为（2m－x，y）．同样，点P（x，y）关于直线y＝m的对称点P2的纵坐标为m＋（m－y）＝2m－y，横坐标不变，即点P2坐标为（x，2m－y）．由此可以直接写出点P（3，2）关于直线x＝5的对称点坐标为P1（2×5－3，2），即P1（7，2），关于y＝3的对称点P2的坐标为P2（3，4）例如：写出下列点关于直线x＝4和直线y＝5的对称点的坐标．A（2，3）B（4，5）C（－3，1）D（－2，－1）解：由上面的式子可知，点关于直线x＝4的对称点和关于直线y＝5的对称A（2，3）B（4，5）C（－3，1）D（－2，－1）关于直线x＝4的对称点A1（6，3）B1（4，５）C1（11，１）D1（10，－1）关于直线y＝5的对称点A2（2，７）B2（4，５）C2（－3，9）D2（－2，11）关于y轴（x＝0）对称的点的坐标中，y坐标不变，x坐标为其相反数．9．轴对称在生产实际中的应用应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题，看下面两个例子．例 1：如图14-2-12，EFGH是一个长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于A、B位置上．试问：怎样撞击黑球A，使黑球先撞击台边EF，反弹后再击中白球B？试画出黑球A的运动路线．画法：（1）作点A关于EF的对称点A′．（2）连接A′B交EF于点M．点M就是黑球A撞击边框EF的位置，黑球A的运动路线为AMB．根据物理知识，黑球A的入射角∠AMC只有与黑球A撞击边框EF反弹后的反射角∠BMC相等，黑球A才能击中白球B．证明：过点M作垂线CD．∵EF是线段A′A的中垂线，∴MA＝MA′，∴∠AMF＝∠A′MF．又∵∠FMC＝∠FMD＝90°（已知），∴∠AMC＋∠AMF＝90°，∠A′MD＋∠A′MF＝90°．∴∠AMC＝∠A′MD（等角的余角相等）．又∵∠A′MD＝∠BMC（对顶角相等）．∴∠AMC＝∠BMC（等量代换）．例 2：如图14-2-13，甲、乙、丙三人做接力游戏．开始时，甲站在∠AOB 内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上．游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑到终点P处．如果甲、乙、丙三个人速度相同，试找出乙、丙站在何处，他们比赛所用的时间最短．画法：（1）作点P关于OA的对称点P1．（2）作点P关于OB的对称点P2．（3）连接P1P2交OA于点M，交OB于点N．则点M是乙所站的位置，点N是丙所站的位置．证明：若在OA上取一点M′，连接M′P1，M′P．∵P和P1关于OA对称，∴M′P1＝M′P，同理在OB上取一点N′，则N′P＝N′P2．若乙站在M′位置，丙站在N′位置，接力棒传递路线为：PM′＋M′N′＋N′P．∵P1M′＝PM′，N′P2＝N′P，∴PM′＋M′N′＋N′P＝P1′＋M′N′＋N′P2．∵两点间直线段最短，∴P1M′＋M′N′＋N′P2＞P1P2＝P1M＋MN＋NP2＝PM＋MN＋NP．因此，乙站在M点，丙站在N点，甲、乙、丙三人传递接力棒的距离最短．。
轴对称变换
Bˊ
B A C Cˊ
作法:1、作AP⊥直线m于P，延长AP至Aˊ,使 APˊ=AP,则点Aˊ就是点A关于直线m的对称点, 同理点B和点C一样作. 2、连结A’B’，B’C’，CˊAˊ
∆AˊB’C’即为所求
第三关
已知对称轴m和四边形ABCD 经轴对称变换后所得的像
D D' A'
C
C'
B m
B'
闯关成功
注：对称轴上的点的对应点是它本身
六、点拨矫正
1、轴对称变换的性质： 轴对称变换不改变原图形 的形状和大小。 2、轴对称变换的作图方法： ⑴、找点 ⑵、作垂线 ⑶、倍长 ⑷、连结
见书P42
实际图形和镜中的像有何关系？
印章
实际图形和镜中的像可以看成上 图那样的成轴对称关系.
轴对称变换后的像
原来的图形
A´
A
B B´
A
B
如图，在正方形网格上有一个 △DEF。 （1）作△DEF关于直线HG的轴对 称图形（不写作法）; （2）作EF边上的高（不写作法）; （3）若网格上的最小正方形边长为 1，求△DEF的面积.
镜面反射——左右对称
湖面反射——上下对称
八、归纳总结
知识方面:
1.理解什么是两个图形成轴对称；
┓ A A’
┓ C C’
┓
B
B’
例1：如图，已知△ABC和直线 l ，作出与 △ABC关于直线 l 对称的图形.
l
A A
l
┓
A’
C’ B B ┓
┓
C B’
C
如图请做出已知图形以m直线为 对称轴轴对称变换后的图形。
m
m
m
轴对称变换课件PPT
THANK YOU
感谢聆听
直线的轴对称变换可以用来研 究几何图形的对称性和性质。
05
轴对称变换的应用举例
在几何图形中的应用
总结词：丰富多样
详细描述：轴对称变换在几何图形中有着广泛的应用，如矩形、正方形、菱形、 等腰三角形等都是轴对称图形。通过对这些图形进行对称变换，可以创造出更多 具有美学价值的图案和设计。
在函数图像中的应用
图案设计
在图案设计中，轴对称变换可 以创造出具有美感的图案，如 雪花、蜂巢等。
物理学应用
在物理学中，轴对称变换被应 用于分析物体的平衡和稳定性 问题，如天体运动、机械转动 等。
02
轴对称变换的定义与性质
轴对称变换的定义
轴对称变换是指图形关于某一直线（称为对称轴）对称的变换。
如果图形上任意一点P经过轴对称变换后，其对应点P'与P关于对 称轴对称，则称该变换为轴对称变换。
根据对称轴的方向，轴对称变换可分为正向和反向轴对称变换。正向轴 对称变换是指图形关于水平或垂直的直线进行对称的变换；反向轴对称 变换是指图形关于斜线进行对称的变换。
03
常见的轴对称变换
关于x轴的对称变换
总结词
图像在x轴两侧对称
详细描述
当一个图形关于x轴进行对称变换时，图像在x轴两侧呈现对称状态，即如果某 点坐标为(x, y)，则其对称点坐标为(x, -y)。
如果一个点关于某一直线进行 轴对称变换，则该点关于该直 线进行翻转，与原点关于该直 线对称。
点的轴对称变换可以用来研究 几何图形的性质和关系。
轴对称变换与直线的关系
直线是几何图形中的重要元素， 轴对称变换也可以应用于直线。
如果一条直线关于某一直线进 行轴对称变换，则该直线会变 成一条与原直线平行且距离相 等的直线。
中考数学 考点13 轴对称变换的性质(解析版)
轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合.轴对称的性质：①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③对应点的连线互相平行或在同一条直线上；1.抓住对称轴，找准对应点，根据关于某条直线对称的两个图形全等，确定图形中的边，角的相等关系；2.理解基本图形中的重要关系：如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，点D的对称点是D′，点C的对称点是C′，则有①ED＝ED′，CD＝C′D′；②∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠DEF＝∠D′EF；③等腰△GEF中，GE＝GF.3.求角的度数的问题，一般利用轴对称的性质，结合平行线的性质，三角形的内角和定理，相似三角形等知识来求解；4.求线段的长度的问题，或构造直角三角形，利用勾股定理列方程，或借助全等三角形，或利用相似三角形求解.例1.如图，将△ABC沿DE，DF翻折，顶点B，C均落在点G处，且BD与CD重合于线段DG，若∠A＝36°，∠AEG＋∠AFG的度数为（）．A .100°B .102°C .108°D .117°【答案】C例2.如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开.再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，得到折痕BM ，同时，得到线段BN ，若3AB，则BM 的长为（ ） N ABC D EF M A .332 B .2 C .3 D .23【答案】B例3.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝60°，点E 是边AB 上的一点，点F 是边CD 上一点，将平行四边形ABCD 沿EF 折叠，得到四边形EFGC ，点A 的对应点为点C ，点D 的对应点为点G ，则△CEF 的面积_____．73【精细解读】解：根据轴对称的性质可证△BCE ≌△GCF ，得到CE ＝CF 。
轴对称及中心对称变换平移及旋转变换
轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。
一、轴对称变换把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F和F'关于这条直线l对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。
轴对称图形有以下两条性质：1.对应点的连线被对称轴垂直平分；2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。
例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。
分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。
证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。
连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。
∴ BE＋AE＞AB ①EC'＋ED'＞C'D' ②①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。
∴BC＋AD＞AB+CD。
注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立；(2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。
其证明思路也完全相同，读者试自证。
二、中心对称变换如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F叫做中心对称图形。
初中阶段的五种图形变换
初中阶段的五种图形变换初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。
这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。
其中前四种变换还不改变图形的大小。
下面，让我们逐一回顾与归纳。
【一】平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
〔提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。
〕2.平移的性质：〔1〕平移前后，对应线段平行〔或共线〕且相等；〔2〕平移前后，对应点所连线段平行〔或共线〕且相等；〔3〕平移前后的图形是全等形。
〔提示：平移的性质也是平移作图的依据。
〕3.用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点〔x，y〕向右或向左平移a 〔a>0〕个单位，可以得到对应点〔x＋a，y〕或〔x－a，y〕；向上或向下平移b 〔b>0〕个单位，可以得到对应点〔x，y＋b〕或〔x，y－b〕。
【二】轴对称变换1.轴对称图形：〔1〕定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
〔提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。
〕〔2〕性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。
2.轴对称：〔1〕定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线〔成轴〕对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
〔2〕性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点必在对称轴上。
〔3〕判定：①根据定义〔提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称〕；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
关于任意轴的对称变换的5步
关于任意轴的对称变换的5步摘要：1.引言2.对称变换的概念3.任意轴对称变换的5 个步骤3.1 选择一个轴3.2 将物体绕轴旋转180 度3.3 确定旋转后的物体位置3.4 将物体沿着轴翻转3.5 确定翻转后的物体位置4.对称变换在数学和物理中的应用5.总结正文：对称变换是一种重要的几何变换，它在数学和物理中有着广泛的应用。
本文将详细介绍关于任意轴的对称变换的5 个步骤。
首先，我们需要了解对称变换的概念。
对称变换是指将一个物体或图形通过某种变换，使得其与某个轴对称。
在几何学中，轴对称变换是一种保持物体形状不变，但改变其位置的变换。
接下来，我们来介绍任意轴对称变换的5 个步骤。
第一步，选择一个轴。
对称轴可以是任意一条直线，如水平轴、垂直轴或斜轴。
选择对称轴的依据是它能够将物体分为两部分，使得这两部分关于轴对称。
第二步，将物体绕轴旋转180 度。
这意味着物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴旋转180 度。
需要注意的是，旋转的方向和角度要根据所选轴来确定。
第三步，确定旋转后的物体位置。
这一步需要根据物体的初始位置和旋转的角度来确定旋转后的物体位置。
如果物体在轴的左侧，旋转180 度后，它将位于轴的右侧；如果物体在轴的右侧，旋转180 度后，它将位于轴的左侧。
第四步，将物体沿着轴翻转。
翻转的目的是使物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴对称。
翻转后的物体应与旋转后的物体重合。
第五步，确定翻转后的物体位置。
这一步需要根据物体的旋转位置和翻转方向来确定翻转后的物体位置。
翻转后的物体可能与初始位置重合，也可能与初始位置相反。
对称变换在数学和物理中有着广泛的应用。
在数学中，对称变换可以用于解决几何问题，如求解图形的面积、周长等；在物理中，对称变换可以用于分析物体的受力情况，以及研究物体在相互作用过程中的运动规律。
总之，任意轴对称变换是一种在数学和物理中具有重要意义的几何变换。
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mLeabharlann 变为另一个图形,并使这两个图形关于
某一条直线成轴对称,
这样的图形改变叫做图 形的轴对称变换,
也叫反射变换,简称反射.
经变换所得的新图形叫做原图形的像.
例1:已知△ABC和直线m,以直线m为对 称轴,作△ABC经轴对称变换后所得的像.
一般地,轴对称变换有下面的性质: 轴对称变换不改变图形的形状和大小.
她——
看什么呢？
从照镜子開始
你应该有照鏡子的经验,当你赫然发現 镜中的你左脸冒出一颗代表青春年少的 “痘痘”时,你知道你的青春痘到底在
那一边嗎 ? 左边或右边呢 ?
镜面成像有什么特点？
实际图形与它在镜子里的像也可以构成 轴对称关系。