2020年广东省惠州市中考数学试卷

2020年广东省惠州市中考数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1. 9的相反数是（）A.−9B.9C.19D.−19【答案】A【考点】相反数【解析】根据相反数的定义即可求解．【解答】9的相反数是−9，2. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（）A.5B.3.5C.3D.2.5【答案】C【考点】中位数【解析】中位数是指一组数据从小到大排列之后，如果数据的总个数为奇数，则中间的数即为中位数；如果数据的总个数为偶数个，则中间两个数的平均数即为中位数．【解答】将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5，∵数据个数为奇数，最中间的数是3，∴这组数据的中位数是3．3. 在平面直角坐标系中，点(3, 2)关于x轴对称的点的坐标为（）A.(−3, 2)B.(−2, 3)C.(2, −3)D.(3, −2)【答案】D【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．【解答】点(3, 2)关于x轴对称的点的坐标为(3, −2)．4. 若一个多边形的内角和是540∘，则该多边形的边数为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【考点】多边形内角与外角【解析】根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180∘列式进行计算即可求解．【解答】设多边形的边数是n，则(n−2)⋅180∘＝540∘，解得n＝5．5. 若式子√2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x≠2B.x≥2C.x≤2D.x≠−2【答案】B【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．【解答】∵√2x−4在实数范围内有意义，∴2x−4≥0，解得：x≥2，∴x的取值范围是：x≥2．6. 已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（）A.8B.2√2C.16D.4【答案】A【考点】三角形中位线定理【解析】根据中位线定理可得DF=12AC，DE=12BC，EF=12AC，继而结合△ABC的周长为16，可得出△DEF的周长．【解答】∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，∴DF=12AC，DE=12BC，EF=12AC，故△DEF的周长＝DE+DF+EF=12(BC+AB+AC)=12×16＝8．7. 把函数y＝(x−1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A.y＝x2+2B.y＝(x−1)2+1C.y＝(x−2)2+2D.y＝(x−1)2+3【答案】C【考点】二次函数图象与几何变换【解析】先求出y＝(x−1)2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】二次函数y＝(x−1)2+2的图象的顶点坐标为(1, 2)，∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2, 2)，∴所得的图象解析式为y＝(x−2)2+2．8. 不等式组{2−3x≥−1,x−1≥−2(x+2)的解集为（）A.无解B.x≤1C.x≥−1D.−1≤x≤1【答案】D【考点】解一元一次不等式组【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，解不等式x−1≥−2(x+2)，得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x≤1，9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60∘．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A.1B.√2C.√3D.2【答案】D【考点】翻折变换（折叠问题）正方形的性质【解析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60∘，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB′＝60∘，BE＝B′E，设BE＝x，则B′E＝x，AE＝3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)＝x，解方程求出x即可得出答案．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AB // CD，∠A＝90∘，∴∠EFD＝∠BEF＝60∘，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB′＝60∘，BE＝B′E，∴∠AEB′＝180∘−∠BEF−∠FEB′＝60∘，∴B′E＝2AE，设BE＝x，则B′E＝x，AE＝3−x，∴2(3−x)＝x，解得x＝2．10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【考点】抛物线与x轴的交点二次函数图象与系数的关系【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．【解答】由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc<0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b=1，可得b＝−2a，2a由图象可知，当x＝−2时，y<0，即4a−2b+c<0，∴4a−2×(−2a)+c<0，即8a+c<0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c>0；当x＝−1时，y＝a−b+c>0，两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．分解因式：xy−x＝________．【答案】x(y−1)【考点】因式分解-提公因式法【解析】直接提取公因式x，进而分解因式得出答案．【解答】xy−x＝x(y−1)．如果单项式3x m y与−5x3y n是同类项，那么m+n＝________．【答案】4【考点】同类项的概念【解析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得m＝3，n＝1，再代入代数式计算即可．【解答】∵单项式3x m y与−5x3y n是同类项，∴m＝3，n＝1，∴m+n＝3+1＝4．若√a−2+|b+1|＝0，则(a+b)2020＝________．【答案】1【考点】非负数的性质：偶次方非负数的性质：算术平方根非负数的性质：绝对值【解析】根据非负数的意义，求出a、b的值，代入计算即可．【解答】∵√a−2+|b+1|＝0，∴a−2＝0且b+1＝0，解得，a＝2，b＝−1，∴(a+b)2020＝(2−1)2020＝1，已知x＝5−y，xy＝2，计算3x+3y−4xy的值为________．【答案】7【考点】列代数式求值【解析】由x＝5−y得出x+y＝5，再将x+y＝5、xy＝2代入原式＝3(x+y)−4xy计算可得．【解答】∵x＝5−y，∴x+y＝5，当x+y＝5，xy＝2时，原式＝3(x+y)−4xy＝3×5−4×2＝15−8＝7，AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作如图，在菱形ABCD中，∠A＝30∘，取大于12弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为________．【答案】45∘【考点】作图—基本作图菱形的性质线段垂直平分线的性质【解析】根据∠EBD＝∠ABD−∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB=1(180∘−∠A)＝75∘，2由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝30∘，∴∠EBD＝∠ABD−∠ABE＝75∘−30∘＝45∘，有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90∘，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为________．【答案】2√5−2【考点】直角三角形斜边上的中线点与圆的位置关系【解析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD−BE求解即可．【解答】如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN＝90∘，MN＝4，EM＝NE，∴BE=1MN＝2，2∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．（也可以用DE≥BD−BE，即DE≥2√5−2确定最小值）三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x−y)−2x2，其中x=√2，y=√3．【答案】(x+y)2+(x+y)(x−y)−2x2，＝x2+2xy+y2+x2−y2−2x2＝2xy，当x=√2，y=√3时，原式＝2×√2×√3=2√6．【考点】整式的混合运算—化简求值【解析】根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．【解答】(x+y)2+(x+y)(x−y)−2x2，＝x2+2xy+y2+x2−y2−2x2当x=√2，y=√3时，原式＝2×√2×√3=2√6．某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：（1）求x的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？【答案】x＝120−(24+72+18)＝6；=1440（人），1800×24+72120答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．【考点】用样本估计总体【解析】（1）根据四个等级的人数之和为120求出x的值；（2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例．【解答】x＝120−(24+72+18)＝6；1800×24+72=1440（人），120答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE 与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵ ∠ABE ＝∠ACD ，∴ ∠DBF ＝∠ECF ，在△BDF 和△CEF 中，{∠DBF =∠ECF∠BFD =∠CFE BD =CE，∴ △BDF ≅△CEF(AAS)，∴ BF ＝CF ，DF ＝EF ，∴ ∠FBC ＝∠FCB ，∴ ∠ABC ＝∠ACB ，∴ AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定全等三角形的性质与判定【解析】先证△BDF ≅△CEF(AAS)，得出BF ＝CF ，则∠FBC ＝∠FCB ，得出∠ABC ＝∠ACB ，则AB ＝AC ．【解答】证明：∵ ∠ABE ＝∠ACD ，∴ ∠DBF ＝∠ECF ，在△BDF 和△CEF 中，{∠DBF =∠ECF∠BFD =∠CFE BD =CE，∴ △BDF ≅△CEF(AAS)，∴ BF ＝CF ，DF ＝EF ，∴ ∠FBC ＝∠FCB ，∴ ∠ABC ＝∠ACB ，∴ AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）已知关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =−10√3,x +y =4与{x −y =2,x +by =15 的解相同． （1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax +b ＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是方程组{x +y =4x −y =2的解， 解得，{x =3y =1，代入原方程组得，a ＝−4√3，b ＝12； 当a ＝−4√3，b ＝12时，关于x 的方程x 2+ax +b ＝0就变为x 2−4√3x +12＝0， 解得，x 1＝x 2＝2√3，又∵ (2√3)2+(2√3)2＝(2√6)2，∴ 以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．【考点】二元一次方程组的解根与系数的关系一元二次方程的解加减消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组【解析】（1）关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =−10√3,x +y =4与{x −y =2,x +by =15 的解相同．实际就是方程组{x +y =4x −y =2的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值； （2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2+ax +b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2√6为边长，判断三角形的形状．【解答】由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是方程组{x +y =4x −y =2的解， 解得，{x =3y =1，代入原方程组得，a ＝−4√3，b ＝12； 当a ＝−4√3，b ＝12时，关于x 的方程x 2+ax +b ＝0就变为x 2−4√3x +12＝0， 解得，x 1＝x 2＝2√3，又∵ (2√3)2+(2√3)2＝(2√6)2，∴ 以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．如图1，在四边形ABCD 中，AD // BC ，∠DAB ＝90∘，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD ．（1）求证：直线CD 与⊙O 相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E ，P 为优弧AÊ上一点，AD ＝1，BC ＝2．求tan ∠APE 的值．【答案】证明：作OE ⊥CD 于E ，如图1所示：则∠OEC ＝90∘，∵ AD // BC ，∠DAB ＝90∘，∴∠OBC＝180∘−∠DAB＝90∘，∴∠OEC＝∠OBC，∵CO平分∠BCD，∴∠OCE＝∠OCB，在△OCE和△OCB中，{∠OEC=∠OBC ∠OCE=∠OCBOC=OC，∴△OCE≅△OCB(AAS)，∴OE＝OB，又∵OE⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示：则四边形ABFD是矩形，∴AB＝DF，BF＝AD＝1，∴CF＝BC−BF＝2−1＝1，∵AD // BC，∠DAB＝90∘，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD、BC是⊙O的切线，由（1）得：CD是⊙O的切线，∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，∴CD＝ED+EC＝3，∴DF=√CD2−CF2=√32−12=2√2，∴AB＝DF＝2√2，∴OB=√2，∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE，∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90∘，∴∠ABE＝∠BCH，∵∠APE＝∠ABE，∴∠APE＝∠BCH，∴tan∠APE＝tan∠BCH=OBBC =√22．【考点】直角梯形解直角三角形圆周角定理切线的判定与性质【解析】（1）证明：作OE⊥CD于E，证△OCE≅△OCB(AAS)，得出OE＝OB，即可得出结论；（2）作DF⊥BC于F，连接BE，则四边形ABFD是矩形，得AB＝DF，BF＝AD＝1，则CF＝1，证AD、BC是⊙O的切线，由切线长定理得ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，则CD＝ED+EC＝3，由勾股定理得DF＝2√2，则OB=√2，证∠ABE＝∠BCH，由圆周角定理得∠APE＝∠ABE，则∠APE＝∠BCH，由三角函数定义即可得出答案．【解答】证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：则∠OEC＝90∘，∵AD // BC，∠DAB＝90∘，∴∠OBC＝180∘−∠DAB＝90∘，∴∠OEC＝∠OBC，∵CO平分∠BCD，∴∠OCE＝∠OCB，在△OCE和△OCB中，{∠OEC=∠OBC ∠OCE=∠OCBOC=OC，∴△OCE≅△OCB(AAS)，∴OE＝OB，又∵OE⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示：则四边形ABFD是矩形，∴AB＝DF，BF＝AD＝1，∴CF＝BC−BF＝2−1＝1，∵AD // BC，∠DAB＝90∘，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD、BC是⊙O的切线，由（1）得：CD是⊙O的切线，∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，∴CD＝ED+EC＝3，∴DF=√CD2−CF2=√32−12=2√2，∴AB＝DF＝2√2，∴OB=√2，∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE，∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90∘，∴∠ABE＝∠BCH，∵∠APE＝∠ABE，∴∠APE＝∠BCH，∴tan∠APE＝tan∠BCH=OBBC =√22．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【答案】每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；建造这90个摊位的最大费用是10520元【考点】分式方程的应用一元一次不等式的实际应用【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．（2）设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．【解答】设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据题意得：60x+2=60x⋅35，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；设建A摊位a个，则建B摊位(90−a)个，由题意得：90−a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×(90−22)×3＝10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）如图，点B是反比例函数y=8x(x>0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．（1）填空：k＝________；（2）求△BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．【答案】2△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA−S△OAD=12×8−12×2＝3；设点D(m, 2m )，则点B(4m, 2m)，∵点G与点O关于点C对称，故点G(8m, 0)，则点E(4m, 12m)，设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得{2m=ms+n 12m =4ms+n并解得：直线DE的表达式为：y=−12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F(5m, 0)，故FG＝8m−5m＝3m，而BD＝4m−m＝3m＝FG，则FG // BD，故四边形BDFG为平行四边形．【考点】反比例函数综合题【解析】（1）设点B(s, t)，st＝8，则点M(12s, 12t)，则k=12s⋅12t=14st＝2；(2)△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA−S△OAD，即可求解；（3）确定直线DE的表达式为：y=−12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F(5m, 0)，即可求解．【解答】设点B(s, t)，st＝8，则点M(12s, 12t)，则k=12s⋅12t=14st＝2，故答案为2；△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA−S△OAD=12×8−12×2＝3；设点D(m, 2m )，则点B(4m, 2m)，∵点G与点O关于点C对称，故点G(8m, 0)，则点E(4m, 12m)，设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得{2m=ms+n 12m =4ms+n并解得：直线DE的表达式为：y=−12m x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F(5m, 0)，故FG＝8m−5m＝3m，而BD＝4m−m＝3m＝FG，则FG // BD，故四边形BDFG为平行四边形．如图，抛物线y=3+√36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC=√3CD．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标． 【答案】∵ BO ＝3AO ＝3，∴ 点B(3, 0)，点A(−1, 0)， ∴ 抛物线解析式为：y =3+√36(x +1)(x −3)=3+√36x 2−3+√33x −3+√32，∴ b =−3+√33，c =−3+√32；如图1，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∴ CO // DE ， ∴ BCCD =BOOE ，∵ BC =√3CD ，BO ＝3， ∴ √3=3OE ，∴ OE =√3，∴ 点D 横坐标为−√3，∴ 点D 坐标为(−√3, √3+1)，设直线BD 的函数解析式为：y ＝kx +b ，由题意可得：{√3+1=−√3k +b 0=3k +b ，解得：{k =−√33b =√3， ∴ 直线BD 的函数解析式为y =−√33x +√3；∵ 点B(3, 0)，点A(−1, 0)，点D(−√3, √3+1)，∴ AB ＝4，AD ＝2√2，BD ＝2√3+2，对称轴为直线x ＝1， ∵ 直线BD:y =−√33x +√3与y 轴交于点C ，∴ 点C(0, √3)， ∴ OC =√3， ∵ tan ∠CBO =COBO =√33， ∴ ∠CBO ＝30∘，如图2，过点A 作AK ⊥BD 于K ，∴ AK =12AB ＝2，∴ DK =√AD 2−AK 2=√8−4=2， ∴ DK ＝AK ， ∴ ∠ADB ＝45∘，如图，设对称轴与x 轴的交点为N ，即点N(1, 0)，若∠CBO ＝∠PBO ＝30∘，∴ BN =√3PN ＝2，BP ＝2PN ， ∴ PN =2√33，BP =4√33，当△BAD∽△BPQ，∴BPBA =BQBD，∴BQ=4√33×(2√3+2)4=2+2√33，∴点Q(1−2√33, 0)；当△BAD∽△BQP，∴BPBD =BQAB，∴BQ=4√33×423+2=4−4√33，∴点Q(−1+4√33, 0)；若∠PBO＝∠ADB＝45∘，∴BN＝PN＝2，BP=√2BN＝2√2，当△DAB∽△BPQ，∴BPAD =BQBD，∴√22√2=2√3+2，∴BQ＝2√3+2∴点Q(1−2√3, 0)；当△BAD∽△PQB，∴BPBD =BQAD，∴BQ=√2×2√22√3+2=2√3−2，∴点Q(5−2√3, 0)；综上所述：满足条件的点Q的坐标为(1−2√33, 0)或(−1+4√33, 0)或(1−2√3, 0)或(5−2√3, 0)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE=√3，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30∘，∠ADB＝45∘，分∠ABP＝30∘或∠ABP＝45∘两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．【解答】∵BO＝3AO＝3，∴点B(3, 0)，点A(−1, 0)，∴抛物线解析式为：y=3+√36(x+1)(x−3)=3+√36x2−3+√33x−3+√32，∴ b =−3+√33，c =−3+√32；如图1，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∴ CO // DE ， ∴BC CD=BO OE，∵ BC =√3CD ，BO ＝3， ∴ √3=3OE ，∴ OE =√3，∴ 点D 横坐标为−√3，∴ 点D 坐标为(−√3, √3+1)，设直线BD 的函数解析式为：y ＝kx +b ， 由题意可得：{√3+1=−√3k +b 0=3k +b ，解得：{k =−√33b =√3，∴ 直线BD 的函数解析式为y =−√33x +√3；∵ 点B(3, 0)，点A(−1, 0)，点D(−√3, √3+1)，∴ AB ＝4，AD ＝2√2，BD ＝2√3+2，对称轴为直线x ＝1， ∵ 直线BD:y =−√33x +√3与y 轴交于点C ，∴ 点C(0, √3)， ∴ OC =√3， ∵ tan ∠CBO =COBO =√33， ∴ ∠CBO ＝30∘，如图2，过点A 作AK ⊥BD 于K ，∴AK=12AB＝2，∴DK=√AD2−AK2=√8−4=2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45∘，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N(1, 0)，若∠CBO＝∠PBO＝30∘，∴BN=√3PN＝2，BP＝2PN，∴PN=2√33，BP=4√33，当△BAD∽△BPQ，∴BPBA =BQBD，∴BQ=4√33×(2√3+2)4=2+2√33，∴点Q(1−2√33, 0)；当△BAD∽△BQP，∴BPBD =BQAB，∴BQ=4√33×42√3+2=4−4√33，∴点Q(−1+4√33, 0)；若∠PBO＝∠ADB＝45∘，∴BN＝PN＝2，BP=√2BN＝2√2，当△DAB∽△BPQ，∴BPAD =BQBD，∴√22√2=2√3+2，∴BQ＝2√3+2∴点Q(1−2√3, 0)；当△BAD∽△PQB，∴BPBD =BQAD，∴BQ=√2×2√22√3+2=2√3−2，∴点Q(5−2√3, 0)；综上所述：满足条件的点Q的坐标为(1−2√33, 0)或(−1+4√33, 0)或(1−2√3, 0)或(5−2√3, 0)．试卷第21页，总21页。