常微分方程的建模训练
数学建模中的常微分方程
数学建模中的常微分方程在科学中，常微分方程（ODE）是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有着广泛的应用，例如物理、化学、生物学等。
在数学建模中，ODE也起到了至关重要的作用。
一、什么是ODE？ODE是指只包含一个自变量（通常是时间）和它的一个或多个导数的方程。
例如，形式为dy/dx=f(x)的方程就是一个ODE，其中y是x的函数。
ODE分为一阶ODE和高阶ODE。
一阶ODE只包含y和它的一阶导数，而高阶ODE则包含更高阶的导数。
在数学建模中，我们通常使用一阶ODE来描述物理、化学、生物等系统。
二、ODE在数学建模中的应用1.物理建模ODE被广泛运用于物理建模中。
例如，在经典力学中，牛顿第二定律指出，质点的运动状态可以由ODE描述。
在电磁学中，麦克斯韦方程组也可以转化为ODE来描述电磁场的变化。
2.化学建模化学过程中涉及到许多反应，这些反应的速率常常可以使用ODE来描述。
在化学反应模型中，ODE可以用来描述化学反应底物的浓度、反应速率、反应机理等。
3.生物建模ODE在生物建模中也有着广泛的应用。
例如，ODE可用来描述种群数量的变化、生物系统的动力学行为、遗传学习环境等。
三、ODE的求解方法一阶ODE的求解方法非常多，例如欧拉方法、隐式欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法可以通过计算机程序实现。
四、数学建模实例考虑一个简单的数学建模实例：一个小球在重力作用下自由落体。
我们可以使用ODE来描述这一过程，即y''=-g，其中g为重力加速度。
假设小球的初始位置为y0，速度为v0，则小球的运动状态可以用ODE求解。
欧拉方法可以得到如下结果：y(n+1)=y(n)+h*v(n)v(n+1)=v(n)-h*g其中，h是自变量的步长。
通过不断迭代，我们可以得到小球落到地面的时间t和落地时的位置y(t)。
总结：ODE在数学建模中具有非常广泛的应用。
它不仅可以描述生物、化学、物理等系统的行为，还可以指导我们如何求解这些系统。
wxj(微分方程模型)建模辅导
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
年 1625 1830 1930 10 20 1960 30 1974 40 1987 1999 50 60
* 0
为两个平衡点．
现在考虑最大捕捞量问题．
N )N 设 h1 ( N ) r (1 Nm
h2 ( N ) kN 则 dN h1 ( N ) h2 ( N )
dt
将抛物线 h1 ( N ) 与直线 h2 ( N ) 描在同一坐标系内．当
h1 ( N ) = h2 ( N ) 时种群数量N达到最大值．
人口（亿）5
可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百 年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带 着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。 只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶 化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系， 人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问 题。
1、建模步骤
1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物 学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在 经济学中)等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t dw 的表达式． 上的增量表达式，令△t →0，即得到 dt 3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位． 4、确定条件：
dx 2x 2x 0.03 dx 0.03dt dt dt 100 t 100 t
数学建模例题题
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
matlab建模习题
1.用dsolve求常微分方程的初值问题dy/dx+3y=8,y|x=0=2的解>>r=dsolve('Dy+3*y=8','y(0)=2','x')r=8/3-2/3*exp(-3*x)2.用dsolve求常微分方程的初值问题（1+x^2）y’’=2xy’,y|x=0=1,y’|x=0=3的解>>r=dsolve('D2y*(1+x^2)=2*x*Dy','y(0)=1,Dy(0)=3','x')r=1+x^3+3*x3.用dsolve求微分方程y’’’’-2y'''+y’’=0的解>>r=dsolve('D4y-2*D3y+D2y=0','x')r=C1*exp(x)+C2*exp(x)*x+C3+C4*x4.用dsolve求微分方程组的特解{2*dx/dt+4*x+dy/dt-y=e^t,x|t=0=3/2;{dx/dt+3x+y=0,y|t=0=0;>>[X,Y]=dsolve('2*Dx+4*x+Dy-y=exp(t),Dx+3*x+y=0','x(0)=3/2','y(0)=0')X=-3/2*exp(7^(1/2)*t)*(1/3*7^(1/2)+1/3)-3/2*exp(-7^(1/2)*t)*(-1/3*7^(1/2)+1/3)+1/6*exp(t)+1/2 *7^(1/2)*exp(7^(1/2)*t)*(1/3*7^(1/2)+1/3)-1/2*7^(1/2)*exp(-7^(1/2)*t)*(-1/3*7^(1/2)+1/3)Y=exp(7^(1/2)*t)*(1/3*7^(1/2)+1/3)+exp(-7^(1/2)*t)*(-1/3*7^(1/2)+1/3)-2/3*exp(t)1.选择适当的ode函数，求常微分方程的初值问题dy/dx+3y=8,y|x=0=2的解dy/dx+3y=8即是y’=8-3*y;y|x=0=2即是y(0)=2;故建立m-file文件function test1ode45(@fun,[0,1],2)%---%function f=fun(x,y)f=8-3*y;run之后结果2.选择适当的ode函数，求常微分方程的初值问题（1+x^2）y’’=2xy’,y|x=0=1,y’|x=0=3的解。
微分方程建模 个例
A1
C
C1
分析：1.追击开始后，大家将进入正方 A 形里面，距离将变小，由于追击的规则 及四个人速度和方向的假定，四人还是 在某个正方形的顶点上。 2.会不会出现四个人绕一个圆循环追？ 不会！距离会不断缩小最后到一点，就 是正方形的中心。追击曲线是四条指向 D1 中心的螺旋线（可能绕中心几周） 3.坐标架怎么建？ D O点在中心，直角坐标架。
2H g
2.二氧化碳的吸收
空气通过盛有CO2的吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO2的量与 CO2的浓度及吸收层的厚度成正比，今有含CO28%的空气通过厚度 为10cm的吸收层后浓度为2%，求： （1）若吸收层变为30cm厚，出口浓度是多少？ （2）要使出口浓度为1%，应该设多厚的吸收层？ 解： 记吸收层厚度为d，等分n份，每小层d/n厘米。入口浓 度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为： kd k8%d/n，含量变为： 8%(1)
v0t y x(0) 0 y , 就是曲线的切向量， 1 x y (0) 0
Q(1,v0t) 模型里y(t)，x(t)都是t的函数，但是三个 变量不好处理，注意我们要求的是y(x)。 P(x,y) O 1 x
(1 x) y y v0t实现了变量t的分离
再建立一个y(t)，x(t)，t的关系：t时间里导弹已 飞行的距离是可求的。 x 1 y2 dx 5v0t (1 x) y y v0t , x0 0, y0 0
v r (0) 2 2 , (2r cos dx cos dr r sin d dx r sin cos d , , y r sin dy sin dr r cos d dy r cos sin dr d 1 sin cos dx dr r r cos r sin dy
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是一类用来描述物理系统动态变化的方程。
它们在数学建模中有广泛的应用，可以用来描述各种各样的系统，包括力学系统、电学系统、热学系统、生物学系统等等。
举个例子，假设你想描述一个物体在受到重力作用力时的运动轨迹。
这个问题可以用常微分方程来解决，具体来说，你可以用下面的方程来描述物体的运动：
其中，x 是物体的位置，t是时间，g 是重力加速度。
这个方程表示物体受到重力作用力时的加速度，根据牛顿第二定律，加速度等于作用力除以质量。
因此，这个方程可以用来描述物体在受到重力作用力时的运动轨迹。
常微分方程还可以用来描述其他类似的问题，例如：
•电路中的电流和电压的变化
•化学反应过程中物质浓度的变化
•振动系统中振动的频率和振幅的变化
•生物学系统中生物体内激素浓度的变化
总的来说，常微分方程在数学建模中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种各样的物理系统的动态变化，并且通常都有解析解或者近似解的存在。
此外，常微分方程还有很多的数学理论，可以用来解决常微分方程的特殊情况。
尽管常微分方程在数学建模中有着广泛的应用，但它们也有一些局限性。
例如，常微分方程通常假设系统是连续的、平滑的，并且忽略了离散的、非连续的现象。
在这些情况下，常微分方程可能不再适用。
因此，在使用常微分方程进行数学建模时，需要谨慎考虑是否适用。
(完整版)常微分方程在数学建模中的应用.
微分方程应用1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节．3 常微分方程模型3．1 常微分方程的简介微分方程的发展有着渊远的历史．微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式．在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具.3．2 常微分方程模型示例数学模型按照建立模型的数学方法可以分为初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型和规划论模型等．当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测他的未来性态时，通常要建立对象的动态模型，即微分方程模型．建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来．下面我们由浅入深地介绍一些微分方程模型．例1 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400，那么，前12h后总数是多少？解：第一句话说的是在任何瞬间都成立的事实；第二句话给出的是特定瞬间的信息．如果我们用)y表示总数，第一句话告诉我们(tky dtdy = 它的通解为kt y Ae =A 和k 这两个常数可以由问题中第二句话提供的信息计算出来，即,100)0(=y (3.1) 和 ,400)24(=y (3.2) 其中t 的单位为小时．(3.1)意味着.100)0(0===A Ae y(3.2)意味着.400100)24(24==k e y它给出 .24)4(ln =k 故 .100)(244ln t e t y =要我们求的是200100)12(4ln )2412(==e y 个细菌．例 2 将室内一支读数为 60的温度计放到室外．10min 后，温度计的读数为 70；又过了10min ，读数为 76.先不用计算，推测一下室外的温度.然后利用牛顿的冷却定律计算出正确的答案．牛顿的冷却定律或称加热定律是：将温度为T 的物体放进处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差．在这个数学模型中，假定介质足够大，从而，当放入一个较热或较冷的物体时，m 基本上不受影响．实验证明，这是一个相当好的近似．解 显然，对于这个题首先要做的是了解牛顿定律的含义，这已经做过了。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析常微分方程是运用微积分中的概念与理论研究变化率的方程。
它是数学建模中常用的方法之一，可用于描述各种实际问题，如经济增长、生物扩散、化学反应等。
本文将通过一个关于人群传染病的数学建模案例，分析常微分方程在实际问题中的应用。
假设地有一种传染病，病毒的传播速度与感染者的接触频率有关。
现在我们要研究传染病的传播速度以及控制措施对传染病传播的影响。
为此，我们可以建立如下的数学模型：设N(t)表示时间t时刻的总人口数，而I(t)表示感染者的人口数，S(t)表示易感者的人口数。
根据该模型，易感者的人数随时间的变化率可表示为：dS/dt = -βSI其中，β表示感染率，即感染者每接触到一个易感者，会使其发病的概率。
感染者的人数随时间的变化率可表示为：dI/dt = βSI - γI其中，γ表示恢复率，即感染者每天被治愈的人数。
总人口数随时间的变化率可以通过易感者和感染者的变化率求和得到：dN/dt = dS/dt + dI/dt通过对该方程进行求解，我们可以得到感染者和易感者的人数随时间变化的解析解。
进一步，我们可以通过调节β和γ来研究不同的传播速度和控制措施对传染病传播的影响。
例如，如果β较大，表示感染率较高，此时传染速度会加快，可能导致传染病扩散的速度加快。
反之，如果β较小，表示感染率较低，传染病传播的速度会减慢。
另外，如果γ较大，表示恢复率较高，此时感染者的人数会快速减少，传染病传播的速度会减慢。
相反，如果γ较小，传染病传播的速度会加快。
通过对这些参数的调节，我们可以研究不同的控制措施对传染病传播的影响。
例如，我们可以通过降低感染率β或增加恢复率γ来减缓传染病传播的速度，从而控制疫情的爆发。
在实际应用中，常微分方程数学建模方法可以用于预测传染病的传播趋势，评估各种干预措施的效果。
此外，还可以通过引入更多的变量和参数，建立更复杂的模型，以更好地解释实际问题。
总之，常微分方程是数学建模中常用的方法之一，可以用于描述各种实际问题，如传染病的传播、经济增长等。
常微分方程数学建模案例分析
常微分方程数学建模案例分析假设我们要研究一个简单的生物系统：一种细菌的生长过程。
我们知道，细菌的生长通常可以描述为以指数速度增长的过程。
为了建立一个数学模型，我们首先需要确定一些基本假设和已知信息。
基本假设：1.我们假设细菌的生长速度与细菌的数量成正比。
2.我们假设细菌的死亡速率与细菌的数量成正比。
已知信息：1.我们已经知道在初始时刻，细菌的数量为N0个。
2.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的增长速率为r个/单位时间。
3.我们已经知道在初始时刻的细菌数量的死亡速率为d个/单位时间。
接下来，我们将建立一个常微分方程模型来描述细菌数量的变化。
假设t表示时间，N(t)表示时间t时刻的细菌数量，则我们可以得到以下微分方程：dN/dt = rN - dN这个方程的含义是，细菌数量的变化率等于细菌的增长速率减去细菌的死亡速率。
如果我们将细菌的增长速率和死亡速率设为常数r和d，则上述方程可以进一步简化为：dN/dt = (r-d)N解这个微分方程，我们可以得到细菌数量随时间变化的函数N(t)。
根据初值条件N(0)=N0，我们可以求解该方程并得到解析解：N(t) = N0 * exp((r-d)t)上述解析解告诉我们，细菌数量随时间以指数速度增长。
这与我们的基本假设相符。
然而，对于复杂的系统，往往很难获得精确的解析解。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来求解微分方程。
常见的数值方法包括欧拉法、改进的欧拉法和四阶龙格-库塔法等。
这些方法基于近似计算的原理，通过迭代逼近解。
在我们的细菌生长模型中，我们可以使用数值方法来计算细菌数量随时间的变化。
我们可以选择欧拉法，它是一种简单而直观的数值方法。
欧拉法的迭代公式为：N(t+h)=N(t)+h*(r-d)N(t)其中，N(t)是在时间t时刻的细菌数量，N(t+h)是在时间(t+h)时刻的细菌数量，h是时间间隔。
我们可以选择一个足够小的时间间隔h，并迭代使用欧拉法来计算细菌数量的近似解。
7 微分方程-1
研究种群增长的Logistic Logistic微 例2 研究种群增长的Logistic微分方程模型 的动力学行为。 dn/dt= r (1-n) n 的动力学行为。 数值试验（ 对不同的初值N0=[0.01 数值试验（1）取r=0.8 对不同的初值Байду номын сангаас0=[0.01 0.2 0.5 0.8] 观察解的变化 。 建立函数文件: 建立函数文件: funlog.m function y=funlog(t,x) y=0.8*x*(1-x); y=0.8*x*(1运行程序： 运行程序： N=[0.01 0.2 0.5 0.8] for i=1:4 x0=N(i); [tt,xx]=ode45('funlog',[0,10],x0); plot(tt,xx),grid, hold on end
练习1 数值实验（ 对固定的初值N0=0.1， 练习1：数值实验（2）对固定的初值N0=0.1， N0=0.1 取不同的r=[0.1, 观察Logistic Logistic微 取不同的r=[0.1, 0.8, 1, 2, 5] 观察Logistic微分方 程解的变化 。 练习2 给出下面的Matlab Matlab指令的数学表达 练习2：给出下面的Matlab指令的数学表达 F=@(t,y)[y(2); -y(1)] ode45(F,[0,10],[0,2]) for i=1:5 [t,y]=ode45(F,[0,10],[0,1/i]); plot(y(:,1),y(:,2)),grid,hold on end
附录1. 研究洛伦兹Lorentz Lorentz方程组 附录1. 研究洛伦兹Lorentz方程组 的动力学行为。 的动力学行为。 在一个从底部加热的空气层里， 在一个从底部加热的空气层里， 上升的热空气与下降的冷空气相 互作用形成湍流圈。 互作用形成湍流圈。一个简化的 系统模型包含3个状态变量x 系统模型包含3个状态变量x1对流 环旋转的速度， 环旋转的速度，x2上升与下降气 流的温差， 流的温差，x3垂直温度剖面的线 性偏差，运动方程： 性偏差，运动方程： 对不同的r值数值模拟该动力系统， 对不同的r值数值模拟该动力系统， 以确定解的长期行为。 以确定解的长期行为。 分别考虑 0<r<1; 1<r<1.35; 24.8<r几种情形下的 1.35<r<24.8; 24.8<r几种情形下的 平衡态及其稳定性。 平衡态及其稳定性。
常微分方程在人口增长模型中的数学建模
常微分方程在人口增长模型中的数学建模人口增长是一个复杂而重要的社会问题，对于解决人口问题，了解人口增长模型是十分必要的。
常微分方程是研究自然现象的重要工具，它在人口增长模型中的应用也是十分广泛的。
本文将介绍常微分方程在人口增长模型中的数学建模。
一、人口增长模型的基本假设在建立人口增长模型之前，我们需要先进行一些基本假设。
首先，我们假设人口增长是一个连续的过程，即人口数量的变化是连续的。
其次，我们假设人口增长的速率与当前人口数量成正比，即人口增长率与人口数量成正比。
最后，我们假设人口增长的速率还受到其他因素的影响，比如出生率、死亡率、迁移率等。
二、人口增长模型的建立为了建立人口增长模型，我们需要引入常微分方程。
常微分方程是描述变量之间关系的方程，它包含一个未知函数及其导数。
在人口增长模型中，我们可以将人口数量表示为一个未知函数P(t)，其中t表示时间。
根据前面的假设，我们可以得到人口增长率与人口数量的关系式：dP/dt = kP其中dP/dt表示人口数量P关于时间t的导数，k表示人口增长率。
这个关系式描述了人口数量随时间的变化规律。
三、人口增长模型的求解为了求解上述的常微分方程，我们可以使用分离变量法。
将上述方程改写为：1/P dP = k dt对上述方程两边同时积分，得到：ln|P| = kt + C其中C为常数。
进一步求解，得到：P(t) = e^(kt+C) = Ce^kt由于人口数量不能为负数，所以常数C必须为正数。
这个解表示了人口数量随时间的变化规律。
四、人口增长模型的应用通过上述的人口增长模型，我们可以对人口增长进行预测和分析。
通过调整人口增长率k和常数C的值，我们可以模拟不同的人口增长情况。
例如，如果k为正数，表示人口增长率为正，那么人口数量将会呈指数增长。
这在一些发展中国家中是比较常见的情况。
相反，如果k为负数，表示人口增长率为负，那么人口数量将会呈指数减少。
这在一些发达国家中是比较常见的情况。
常微分方程在数学建模中的应用(免费版)
常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是|⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.;例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ；@（2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<tN ,t N d d 单减,即人口增长率t Nd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿. ）值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为—⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α. 下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 。
常微分方程第五章微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线上某点)yy=点的导数；力学中的牛顿第二运动(x(xyy=的切线斜率即函数在该)F=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一定律：ma阶导数等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
常微分方程建模方法
常微分方程建模方法常微分方程建模方法可以分为定性分析和定量分析两个阶段。
定性分析是通过分析问题的物理背景和现象特征，确定微分方程的类型和形式。
而定量分析则是通过对微分方程进行求解，得到具体的解析解或数值解，来揭示问题的本质。
1.理解问题背景：了解问题的物理背景、现象特征、变量之间的关系等，分析问题的要素和限制条件。
2.建立数学模型：根据问题的特征和变量关系，建立微分方程模型。
通常可以利用物理定律、守恒定律、动力学方程等来描述问题的变化规律。
3.确定初始条件和边界条件：对于初值问题，需要确定初始条件；对于边值问题，需要确定边界条件。
这些条件是求解微分方程的前提。
4.分析微分方程：对建立的微分方程进行分析，研究方程的特性和性质。
可以利用变量分离、线性化、换元等方法来化简和求解方程。
5.求解微分方程：根据微分方程的类型和性质，选择合适的求解方法。
可以将高阶微分方程化简为一阶微分方程，然后利用解析解或数值解的方法求解。
6.模型验证和优化：对求解得到的解析解或数值解进行验证，检验模型的合理性和准确性。
如果模型不准确，需要进行调整和优化。
7.结果解释和应用：根据求解得到的结果，解释模型的含义和意义，并将模型应用到实际问题中，得出结论和预测。
常微分方程建模方法可以应用于各个领域，如物理学、生物学、工程学、经济学等。
例如，通过建立流体力学方程，可以研究流体的流动和扩散过程；通过建立生态学方程，可以研究生物种群的数量和分布变化；通过建立经济学方程，可以研究经济增长和波动。
总之，常微分方程建模方法是将实际问题抽象成数学模型的过程，通过求解微分方程来揭示问题的本质和规律。
建模过程需要充分理解问题的背景和特征，合理选择合适的数学工具和求解方法，最终得到有实际应用价值的结论和预测。
2.4 常微分方程数值解(数学建模)
>>simplify(s) %以最简形式显示s
结果为
s
=(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+
(-1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x)
ans =-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)
缺省值：off
疏Jacobi矩阵
Mass
有效值：none、 M、 M(t)、M(t,y) 缺省值：none
M：不随时间变化的常数矩阵 M(t)：随时间变化的矩阵 M(t,y)：随时间、地点变化的矩阵
MaxStep
有效值：正实数 缺省值：tspans/10
最大积分步长
例2-45 求解描ห้องสมุดไป่ตู้振荡器的经典的Ver der Pol微分
[tout,yout]=ode45(‘yprime’,[t0,tf],y0) 采用变步长四 阶Runge-Kutta法和五阶Runge-Kutta-Felhberg法求数值 解，yprime是用以表示f(t,y)的M文件名，t0表示自变 量的初始值，tf表示自变量的终值，y0表示初始向量 值。输出向量tout表示节点(t0,t1, …,tn)T,输出矩阵yout 表示数值解，每一列对应y的一个分量。若无输出参 数，则自动作出图形。 ode45是最常用的求解微分方程数值解的命令，对于刚性方 程组不宜采用。ode23与ode45类似，只是精度低一些。ode12s 用来求解刚性方程组，是用格式同ode45。可以用help dsolve, help ode45查阅有关这些命令的详细信息. 例1 求下列微分方程的解析解 （1）
使用于精度较低的 情形
常微分方程教学中数学建模思想的渗透
（ 如 人 口增 长模 型 ， 传 染病 Ｓ Ｉ Ｓ模 型 ， 一般战争模型 ， 捕食 一被 捕 食 模 型 等 ） 和 生 动 有 趣 的 现 实 热 点 问 题＿ ４ （ 如 为什 么旗杆 是空 心 ， 预测 一 个 彗星 何 时通 过
近 日点 ， 核废 料 的处理 问题 ） ．
一
但可 以使 学生 了解 常 微 分方 程 的背 景 、 方法 和意 义 ，
而且 还能 提 高 学 生 将 常 微 分 方 程 、 计 算 机 等 方 面 的 知识 应用 于 实 践 的 能 力 ，程 作 为高 等 师 范 院校 数 学 与应 用 数 学
决 实 际问题 的能 力．
专业的主干基础课之一 ， 是数学分析 和高等 代数的 后 继课 程 ， 微 分 方 程 的 建 立 过 程 本 身 就 是 一 个 数 学
建 模 的过程 ． 但 传 统 的“ 定 义一 定 理一 方 法一技 巧一 例题” 的教 学模 式 已不适 应 现代 社 会 的发展 需 要 ， 也 使得 学 生 在 学 习 常 微 分 方 程 课 程 时 只 知 道 怎 么 解 题， 却不 知道 有什 么用 途 ， 在需 要 将 理论 知 识 运 用 于 解决 实 际 问题 时常 常感 到 很 吃力 ， 甚 至无 从下 手 ， 从 而 对该 课程 缺乏 学 习 的动 力 和兴 趣 ． 因此 ， 如 何 在 教
２ ． 将建 模 思想 融入课 后作 业 中
课 后作 业 是 进 一 步 理 解 、 消 化 和 巩 固课 堂 教 学
［ 基金项 目］ 江苏 教育 学院“ 十二 五” 规划课 题 （ 项 目编号 ： Ｊ ｓ ｉ ｅ ２ ０ １ ２ ｙ ｂ ０ ２ ） ．
［ 收稿 日期 ］２ ０ １ ３— ０ ５— ０ ８
数学建模之欧拉算法（求解常微分方程）
数学建模之欧拉算法（求解常微分⽅程）⽬录数学建模之求解常微分算法常微分⽅程欧拉算法定义定义：在数学和计算机科学中，欧拉⽅法，命名⾃它的发明者莱昂哈德·欧拉，是⼀种⼀阶数值⽅法，⽤以对给定初值的常微分⽅程（即初值问题）求解。
它是⼀种解决数值常微分⽅程的最基本的⼀类显型⽅法（Explicit method ）。
欧拉法是常微分⽅程的数值解法的⼀种，其基本思想是迭代。
其中分为前进的EULER 法、后退的EULER 法、改进的EULER 法。
所谓迭代，就是逐次替代，最后求出所要求的解，并达到⼀定的精度。
误差可以很容易地计算出来。
⾮线性⽅程都是所谓“解不出来”的，即使是d yd x =y 2+x 2。
对于⽤微分⽅程解决实际问题来说，数值解法是⼀个重要的⼿段。
公式推导设微分⽅程为d y d x =f (x n ,y (x n )),a ≤x ≤b y (a )=y 0差商近似导数若⽤向前差商y (x n +1)−y (x n )h 代替y ′(x n )带⼊微分⽅程d y d x =f (x n ,y (x n ))中，可得y (x n +1)−y (x n )h ≈f (x n ,y (x n ))y (x n +1)=y (x n )+hf (x n ,y (x n ))如果⽤y (x n )的近似值y n 代⼊上式右端，所得结果作为y (x n +1)得近似值，记为y n +1，则有y n +1=y n +hf (x n ,y n ),n =0,1,⋯,N −1这样，微分⽅程的近似解可以通过求解下述式⼦来获得y n +1=y n +hf (x n ,y n ),n =0,1,⋯,N −1y 0=y (a )算法缺点欧拉算法简单地取切线地端点作为起点来计算，当步数增多时，误差会因积累⽽越来越⼤。
因此，欧拉算法⼀般不⽤于实际计算。
{{Processing math: 100%。
常微分方程在数学建模中的应用
常微分方程在数学建模中的应用常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究描述自然现象中连续变化的函数的微分方程。
在数学建模中，常微分方程是一种常用的工具，用于描述和解释各种自然和社会现象。
本文将探讨常微分方程在数学建模中的应用，并详细介绍其中的一些具体案例。
首先，常微分方程在经济学建模中发挥着重要作用。
经济学中，人们经常使用常微分方程来描述经济系统中的变化。
例如，经济增长模型可以使用一阶线性常微分方程来描述。
这个方程中的未知函数是时间的函数，表示经济变量（如国内生产总值）的增长率。
通过求解这个方程，可以推导出经济增长模型中的稳定点、周期性和渐近行为等信息，从而对经济现象进行预测和分析。
其次，常微分方程在物理学建模中也有广泛的应用。
物理学中的许多自然现象可以用微分方程来描述，例如运动学、力学、光学等。
例如，一个简单的自由落体模型可以用一阶非线性微分方程来描述。
这个方程中的未知函数是时间的函数，表示物体的高度随时间的变化。
通过求解这个方程，可以推导出物体的运动轨迹、终止位置和速度等信息，从而对物理现象进行分析和预测。
此外，常微分方程在生物学建模中也有重要的应用。
生物学中的许多现象和过程可以用微分方程来描述，例如生物种群的增长、化学反应速率的变化等。
例如，一个简单的生物种群模型可以用一阶线性微分方程来描述。
这个方程中的未知函数是时间的函数，表示种群数量随时间的变化。
通过求解这个方程，可以推导出种群的稳定点、消亡速度和周期性等信息，从而对生物现象进行研究和分析。
最后，常微分方程还在工程学建模中广泛应用。
工程学中的许多问题，如电路、动力学系统、流体力学等，都可以用微分方程来描述。
例如，一个简单的电路模型可以用一阶非线性微分方程来描述。
这个方程中的未知函数是时间的函数，表示电流随时间的变化。
通过求解这个方程，可以推导出电流的稳定值、频率响应和幅频特性等信息，从而对电路的性能进行分析和优化。
综上所述，常微分方程在数学建模中具有重要的应用。
常微分方程在数学建模中的应用举例
2021年 4 期 总第 609 期新一代New Generation常微分方程在数学建模中的应用举例梁中正 余伟豪 张慧清 林燕萍 陈创鑫 通讯作者(仲恺农业工程学院 计算科学学院 广东 广州 510225)摘 要：常微分方程是数学建模的必备知识之一，但在建模过程中却经常没有得到足够的重视。
本文从常微分方程在数学建模中的应用入手，用生活中的常见例子说明了常微分方程在数学建模中的重要作用，并揭示了常微分方程在数学建模中的应用性和有效性。
关键词：常微分方程；数学建模；应用常微分方程理论从创立至今已有300多年的历史，其发展与许多学科的发展息息相关，随着科学技术的迅猛发展，不同学科之间的相互渗透更为迅速，因此，常微分方程几乎在人类社会发展的每一个角落里都展示了自身无可代替的魅力，如天文学、生物学、物理学、经济学、医学等科学领域。
随着近年来计算机的高速发展，常微分方程作为数学学科的一个分支，它在现实生活中有着重要的应用。
常微分方程课程的特点是“从实践中来，到实践中去”。
微分方程是对自然科学和工程技术中各种不同系统的数学描述，在生物、经济、物理、化学等学科中都有微分方程的应用。
很多常微分方程反映的是物理、生物、化学以及气象中的关系模型，注重微分方程应用，把微分方程理论结果用于解释客观现象，可以培养学生的学习兴趣和积极性[1]。
数学建模是将实际问题转化为一个数学问题并利用数学的相关知识和方法以及计算机技术进行求解且对现实问题做出解释的一个过程。
也是对复杂现象进行分析、用数学语言描述其中的关系或规律并抽象出恰当的数学关系的一个过程。
常微分方程在数学建模中的应用和常微分方程的出现，将生产生活实际与数学理论巧妙地结合起来，给人们提供一种新的思维和解决问题的方式，把人们的理论从知识型向能力型转变。
正因为常微分方程的这种重要意义，才使它的应用越来越广泛[1]。
在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足常微分方程关系式的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质[2]。
常微分方程建模方法及案例分析
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常微分方程的建模训练各位同学：欢迎大家开始《高等数学》课程的第二阶段的学习。
本次辅导材料是关于建立微分方程的模型，主要目的有2个。
一是开阔大家的视野，二是练习如何将一个实际问题用数学语言描述出来，也就是平时讲的建模，这是一个理工科学生的最重要的基本功之一。
希望大家努力掌握之。
建立微分方程的途径主要有：1）根据问题的性质，利用相应学科已经知道的客观规律，比如研究物体的运动，在已知外力的情况下，可运用著名的牛顿第二定律；研究热力学问题，可以用热力学定律，研究电路问题就可以用电路的基尔霍夫定律等。
2）对于一些没有明显规律可用时，可以考虑应用微元法（上学期学习积分时已经学习过），这时，需要考虑的是在自变量[,d]+的微段d x中，函数的增x x x量的微分表达式。
本次材料包括的题目不少，你可能没有太多的时间做。
没有关系，可以边学边做，或有空时做，拳不离手，曲不离口，功夫是逐渐炼成的。
要注意的是，对一个确定的问题，仅仅列出微分方程是不够的，还要有一组初始条件或边界条件，才能使微分方程的通解具体化，称为一个对应与问题本身的特解！如何列出这样的条件，也需要训练你的观察能力，因为很多题目中，这些条件常隐含在题目的叙述中。
本次练习不要求你去求解这些方程，但随着我们课堂的进度，当你学会微分方程的求解后，你再去求解它们。
好，开始吧！1. 有一类物质具有放射性，根据观察，放射性元素的质量随时间推移而逐渐减少，这种现象称为衰变。
由实验测定，每一时刻放射性元素镭的衰变率（即质量减少的速率）与该时刻λ>。
求镭的衰变规律。
的镭的质量成正比，比例系数0又由经验判断，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，求镭的质量R与时间t的函数关系。
2. 物理上把已知物体质量和外力的条件下，求物体的运动规律的问题称为动力学问题。
物s t来表示。
体的运动可用它的位移量()已知物体质量为m的物体在外力F的作用下沿外力的方向作直线运动。
试根据下列提供的外力特点，求物体的运动规律：1）外力为地球重力；2）外力为与其速度的平方成反比的阻力；3）外力为与其位移成正比，但方向相反的弹性恢复力；4） 外力为独立的时间周期性外力sin A t ω；5） 外力为上述阻力和周期性外力的合力。
请你观察这些方程各有什么特点？结合课程学习，请仔细琢磨对应的解法会有何不同？3. 一门大炮以初速度0v ，以初始射角（仰角）α发射一发炮弹，不计空气阻力，求炮弹的弹道方程。
4. 求曲线族2y cx =（其中c 为任意常数）的正交轨线族的方程式。
（两族曲线正交指两曲线在交点处的切线相互垂直）5. （盯梢问题）甲乙两人，乙对甲盯梢，即乙与甲保持一定距离a ，盯着甲而行，若甲沿直线前进，问乙的运动路线如何？假设甲开始时的位置不在乙的行走直线上。
6. （追击问题）兔子从原点出发沿y 轴方向以速度a 逃跑，同时一只狐狸从(,0)c 出发，以速度b 追捕兔子，求狐狸的追捕路线，并讨论狐狸最终能捉着兔子的条件。
7. 质量为1克的指点受力作用作直线运动，此力和时间成正比，和质点运动的速度成反比。
在10秒时，速度等于50cm /秒，力为4达因。
问从运动开始经过1分钟后的速度为多少？8. 根据水利学的定律，水从距自由面的深度为h cm 的孔流出，它的流速为v 中g 为重力加速度。
现有盛满水而高度为1米的半球形容器，水从它的底部的一个面积为1平方厘米的孔流出，孔口收缩系数为0.6（该收缩系数指流出来的水柱截面积与孔口的面积之比）。
求流尽水所需要的时间。
9. 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴肩的任意切线线段均被切点所平分。
求该曲线方程。
10．求一曲线方程，使得曲线上任意一点处的切线恒垂直于此点与原点的联线。
11. 一曲线通过（2，0）点，且在其切点与纵坐标轴肩的切线段有定长2，求此曲线方程。
12. 曲线()0y f x =≥，且通过原点和（1，1）点，它围成一以[0,]x 为底的曲边梯形，其面积与()f x 的1n +次幂成正比，求此曲线方程。
13. 求曲线族，使其在,x a x b ==间的一段弧长k 倍于此弧与,x a x b ==及x 轴所围的面积。
14. 求一曲线族，使其上任何点P 处的切线在y 轴上的截距等于原点到P 的距离。
15. 求一曲线，使曲线的切线上自切点至与x 轴的交点的一段距离为常数a 。
16. 求一曲线，使曲线的法线上自曲线上的点至与x 轴的交点的一段距离为常数a 。
17. 求一曲线族，它在任何点的矢径（指原点到该点的有向线段）与在该点的切线所夹的角ψ为矢径与极轴间的夹角的n 倍。
（提示：设曲线的极坐标方程为()r r θ=，则d t a n /d r r ψθ=）18. 一汽艇在以10km/小时的速度在静水上运动时停止了发动机，经过20秒后，艇的速度减至6km/小时。
试确定发动机停止2分钟后艇的速度。
19．假定物体在空气中的冷却速度正比于该物体的温度与它周围空气的温度之差。
有一物体加热到0T 度时移入室内，如果室问保持常值a 度，求温度随时间变化的关系。
20. （续上题）假设是问为20︒C ，一物体由100︒C 冷却到60︒C 需要经过20分钟时间。
问共需要经过多少时间方可使该物体的温度从开始时的100︒C 降低到30︒C ？21. 根据物理学中热力学的波意尔定律，理想气体的密度与所受压力成正比。
假设在海平面上每一平方厘米大气压力等于1千克，离海平面高度500米时，每一平方厘米大气压力等于0.92千克。
求大气压力与高度的关系。
22. 将质量为m 的物体在空气中以速度0v 垂直上抛，空气阻力为2kv （k 为常数），求在上升过程中速度与时间的关系。
又问该物体何时返回到抛射点？23. 在上题中，若空气阻力该为kv ，继续上题的问答。
24. 质量为m 的指点沿直线运动，受力为F a bv =-，其中,a b 为正的常数，v 为质点运动速度。
若质点从静止出发，求它的速度与时间的关系。
25. 有一放置在铅垂平面内的刚性曲线，如果曲线以常角速度ω绕该平面内一铅垂直线旋转时，在曲线任一点处放置的质点都能处于平衡状态。
求此曲线的方程。
26. 设一物体质量m ，以初速度0v 从一斜面上推下，若斜面的倾角为α，摩檫系数为μ，试求物体在下面上移动的距离和时间的关系。
27. 求"y x =的经过点（0，1）切在此点与直线12x y =+相切的积分曲线。
28. 求曲率半径为常数的曲线。
29. 设曲线（在x 轴上方）在它的每一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线与x 轴间的长度。
证明：若曲线是凸的，则它是悬链线；若曲线是凹的，则它是半圆周。
（该题请在讲了悬链线方程后做）30. 设弹簧的上端固定，有两个相同的重物（每个质量为m ）挂于弹簧的下端，使弹簧伸长了2a 。
今突然取走其中的一个，使弹簧有静止开始振动。
求所挂重物的运动规律。
31. 有一单摆长为l ，质量为m 。
若其摆动角很小，求其运动方程，并确定每振动一次的时间（周期）。
又若摆动角较大，又将如何？（物理学上称的单摆，指摆杆的质量不计的摆，故质量都集中在摆锤处。
）32. 一拉紧的弹簧所受的拉力与他的长度伸长量成正比，当长度增加1cm 时，弹簧拉力为1kg ，今有2kg 的物体挂在弹簧的下端而保持平衡。
假若将它稍下拉，然后松手，求由此产生的振动的周期。
33. 一重4kg 的物体挂在弹簧下端，它使弹簧的长度曾长了1cm ，假定弹簧的上端有一转动机产生铅垂振动2sin 30y t =，且开始时，物体处于静止状态。
求此物体的运动规律。
34. 长为6米的链条自桌自上无摩擦地向下滑动，假定在运动开始时，链条自桌上垂下部分已有1米，问需要多少时间链条才全部划过桌子？35. 一链条挂在一个无摩擦的钉子上，假定运动起始时，链条一边垂下8米，另一边垂下10米。
问整个链条划过钉子需要多少时间？36. 设曲线L 位于第一象限，通过（1.5，1.5），其上任一点P 处的切线总与y 轴相交，交点A 。
已知||||PA OA =，求曲线方程。
37.在上半平面求一条凸的曲线，其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ 长度的倒数（Q 为法线与x 轴的交点），切曲线在（1，1）点出的切线与x 轴平行。
38. 设曲线L 的极坐标方程为()r r θ=，(,)M r θ为L 上的任一点，设0(2,0)M 是L 上的一定点。
若极径0,OM OM 与曲线L 所围成的曲边扇形的面积值等于L 上(,)M r θ和0(2,0)M 两点间的弧长的一半。
求曲线的方程。
39. 在某个人群中推广一种新技术是通过其中掌握了这项新技术的人进行的。
该人群的总人数为N ，在开始时已经掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已经掌握新技术的人数为()x t ，由于人数较多，可以将()x t 视为连续可微变量。
如果()x t 的变化率与已掌握新技术的人数和尚未掌握新技术的人数之积成正比，比例系数0k >。
求()x t 的变化规律。
40. 从船上向大海沉方一科学测量仪器。
按测量要求，需确定仪器下沉深度y （从海面算起）与下沉速度v 之间的关系。
设仪器在重力作用下垂直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。
若仪器质量为m ，体积为B ，海水的比重为ρ，且仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数0k >，试建立y 与v 所满足的微分方程，并求函数关系式。
41. 一颗子弹以速度0200v =m/s 打入一块厚为10cm 的板子，穿透板时的速度为80m/s 。
设板对子弹的阻力与子弹速度的平方成正比。
求子弹穿过板所用的时间。
42. 有一个30×30×12立方米的车间，空气中含有1.12%的二氧化碳，现用一台通风能力为每分钟1500立方米的鼓风机通入含有0，04%的二氧化碳的新鲜空气，同时用另一台同样通风能力的鼓风机把混合后的空气抽出。
问鼓风机开动10分钟后，车间内的二氧化碳的百分比降到多少？43. 有一 圆锥形容器，尖顶在下，底在上，顶角为2(045αα<<︒），高为H 。
今在顶部截去高为0H 的小圆锥，使形成一小孔，先用木塞子将孔塞住，并在容器里灌满水，然后把塞子拔去，让水流出。
设水流出的速率为1),v h μ=<<为该时水面与孔的高度差。
问经过多少时间，水将流尽？44. 沿水平方向作直线匀速飞行的麻雀的正上方50m 处有一只秃鹫，在麻雀的正下方100m 处有一只老鹰，鹫和鹰一起朝麻雀飞去捕食，并同时到达捕捉目标。
设鹰的飞行速度是麻雀的2倍，问秃鹫的飞行速度是麻雀的多少倍？45. 狗与其主人在岸边隔岸相对，河水以常速流动。
狗以在静水中2km/小时的游速游向对岸，在全部游程中狗一直保持着朝主人的方向游去。