第6章 窄带随机过程

s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t) js(t) h(t)
F变换
Z( f ) S( f )1 jH ( f )
上
海
H(f)的设计要求：
大
1．要满足使得Z(f)只有正频域频谱；
学 通 信
2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。 由此可得，
学 院
H( f ) 0,j,
xˆ
2
(
t
)dt
x
2
(t
)dt
lim 1 T xˆ 2 (t)dt lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
T 2T T
上 海 大 学 通 信 学 院
上 海 大 学 通 信 学 院
3
2016/10/28
上
海 三、窄带随机过程的性质
大
学
通 问题：若已知Z(t)的功率谱密度 GZ ( ) 或统计特性RZ ( ) 信 （讨论平稳窄带过程），则其B(t)和 (t ) 或X(t) 和Y (t)
上
海
大 学 通 信
表达式1： Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0, (t) 0t (t)
表达式2：Z(t) X (t)cos0t Y (t)sin0t
学 院
X (t ) B(t ) cos (t ) Y (t ) B(t ) sin (t )
B(t) X 2(t) Y 2(t), tan(t) Y (t) / X(t) 问题的提出：
上
海 大
表达式 2： Z(t) X (t)cos0t Y (t)sin0t
学 通 信
其中：
X (t ) B(t )cos (t )
Y (t ) B(t )sin(t )
学
院
B(t) X 2(t) Y 2(t), tan (t) Y (t) / X (t)
由于cos0t 与sin0t 正交，故称X( t )为Z( t )的同相分 量，Y( t )为Z( t )的正交分量。引入表达式 2 的目的是将 Z( t )分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。
学 通 信 学
平 X(稳t)与过Y程(t的)互性不质相。关同，时高由斯RX统Y (0计) 独R立YX (。0) 0 可知：同时刻的
院
2．Z(t)的包络B(t)和相位Ф(t)的概率分布
Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 若Z(t)为零均窄带平稳高斯随机过程，则
p( X t ,Yt )
(
f
)，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。
1
2016/10/28
上
海 大
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余
学 的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S ( f )，即可。
通
信 学
若只取正频域频谱
S ( f )，则
S
(
f
)
S (
f
)，即S ( f ) 不满
院 足共轭对称性，且 S ( f ) 时域复信号。
学 院
Z(t ) BN (t ) cos[0t (t )]
X N (t ) cos 0t YN (t ) sin0t
其中，X N (t) BN (t)cos[ (t)], YN (t) BN (t)sin[ (t)] 。
f 0 f 0 j sgn( f )
j, f 0
h(t) F 1 H( f ) 1
。
t
故此，sˆ(t) s(t) 1 t
1 s( ) d
t
H
[s(t)]，
称为Hilbert变换。
上 海 大 学 通 信 学 院
H(f)或h(t)称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性， 只改变信号的相频特性。
通
信 学
pZ(t2 ) pY(t2 ) pY(t) ， t 的任意性。
院
故， pZ(t) pX (t) pY (t)
1
Z 2(t)
2 Z
exp
2
2 Z
其中，Z(t)可替换为X (t) 或Y (t)。
上 海
结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量X(t)
大 和正交分量Y(t)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带
R( f )
jI ( f )
学 院
S( f )满足共轭对称性，即，
S( f ) S( f )
R(f ) I(f )
R(f ), I(f )，
偶函数 奇函数
j arctan I ( f )
S( f ) S( f ) e j( f ) R2 ( f ) I 2 ( f )e
R( f )
S ( f ) ，偶函数
若已知Z( t )的功率谱密度GZ ( ) 或统计特性 RZ ( ) （讨论平稳窄带过程），则其B( t )与Ф( t ) 或X( t )和Y( t )
的统计特性如何确定呢？
上
海 二、解析信号与希尔伯特变换*
大
学
1． 解析信号的引入
通 信
时域实信号S(t) S( f )
s(t
)e
j
2
f t dt
复信号=实部+虚部，传送二路信号不经济。 信号传输： 实信号；
信号处理： 复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
上
海 2．解析信号的构造
大
学
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
通
信
z(t) s(t) jsˆ(t)
学
院
其中，sˆ(t) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
通
信 学
性质9． GX () Lp[GZ ( 0 ) GZ ( 0 )]
院
其中，Lp[·]为求等效低通运算。即，令ω0=0
性质10． GX () GY ()
性质11．GXY () jLp[GZ ( 0 ) GZ ( 0 )]
性质12．GY X () GXY (),
上 海
性质证明
大
2016/10/28
上
海 第六章 窄带随机过程
大
学 一、窄带随机过程的定义
通 信
很多无线电系统的通频带 是比较窄的，它们远小于
学 其中心频率 0 ，这种系统只允许输入信号靠近 0 附近的
院 频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：
0 , 0 一般为高频载波。
同理，可定义窄带随机过程，即：
若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波 ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
上
海
例：求窄带高斯随机过程包络平方的概率分布。
大
学 通
设包络的平方为：ut Bt2， ut , Bt 0 。
信 学 院
已知： p(Bt
)
Bt
2 Z
exp
wenku.baidu.com
Bt2
2
2 Z
,
Bt
0。求
p(ut )
解：
Bt
ut ,
J
dBt dut
1 2 ut
p(ut ) p(Bt ) J p(Bt
1 ut ) 2 ut
由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号。写为
sA (t) s(t) jH s(t) 。
S A ( f ) S( f )1 jH ( f ) 2SS((ff)),,
0,
f 0 f 0 f 0
上
上
海
海
大
大
学
学
通
通
信
信
学
学
院
院
2
上 海
Hilbert逆变换
大
学
通
信
学
院
上 海 大 学 通 信 学 院
上
海 例：图6.1为窄带随机过程的功率谱密度函数
大
学
GZ(ω)
通
信
学
院
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即 Gz ( ) Z(t ) 。
上 海 大
1.
由
Gz ( )
E[l i m | T
ZT ( ) T
|2
]
可知:
学
若Gz(ω)占的频带很窄，则│ZT(ω)│也一定占很窄的
性质4．
RX
(
)
1
0 GZ ()cos[( 0 ) ]d
性质5． RX ( ) RY ( )
性质6．
RXY
(
)
1
0 GZ ()sin[( 0 ) ]d
性质7． RY X ( ) RXY ( ), RXY ( ) RXY ( )
上
海
大 学
性质8． RXY (0) E[X(t)Y(t)] 0, RY X (0) 0
通
频带。
信 学 院
2. Gz(ω)的谱特征实际上是一个具有幅度慢变化(∵∆ω窄) 的随机过程谱特征经移频变换的结果。即时域中的一个 慢变化信号对一高频(ω0)信号的调幅变换。
因此，任一窄带随机过程Z(t)可用下式表示： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0
式中B( t )与Ф( t )分别称为窄带随机过程Z(t)的包络函数 与相位函数，且B( t )和Ф( t )都是随时间 t 慢变化的随机 过程。
exp
Bt2
2
2 Z
d t
Bt
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
, Bt
0
p( t )
— —瑞利分布
p(Bt , t )dBt
Bt
0
2
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
dBt
(令 y Bt2 )
2
2 Z
1
1
exp( y)dy ,
2 0
2
— —均匀分布
0 t 2
上
学 院
的统计特性如何确定呢？
Z(t) X(t)cos0t Y (t)sin0t
若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均
且功率谱密度满足：
GZ
(
) 0,
0,
0 0 其他
0
上 海 则X(t)和Y(t)具有下列性质： 大 学 通 性质1． X(t)和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。 信 学 性质2． E[X(t)] E[Y (t)] 0 院 性质3． E[X 2 (t)] E[Y 2 (t)] E[Z 2 (t)]
上 海 大 学 通 信 学 院
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上
海 大
3．Hilbert变换的性质
学
通 信
性质1. H [xˆ(t)]= x(t)。
学 院
性质2 若 y(t) h(t) x(t)，则
H [ y(t) ] h(t) xˆ(t) hˆ(t) x(t)。
性质3 xˆ (t) 和x(t)的能量及平均功率相等，即
海 大
结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：
学 通
Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0
信
其包络B(t)服从瑞利分布，相位Ф(t)服从均匀分布。
学 院
且B(t)与Ф(t)在同一时刻t是统计独立的。
p(Bt ,t ) p(Bt ) p(t )
有窄带过程，则必存在非窄带过程。因此，相对于窄 带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即： 功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或 不满足∆f<<fo条件的）随机过程，称为非窄带过程。
Bt
p(Bt , t )
Bt
2
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
， Bt
0, 0 t
2
。
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2016/10/28
上
海 大 学
Bt B(t) 0 (B(t)的包络)，相位Ф(t)在[0，2π]上取值。
通
由边缘分布可得
信
学 院
p(Bt ) p(Bt , t )d t
2 Bt
0
2
2 Z
1
2
2 Z
exp
X
2 t
Yt
2
2 Z
2
。 X t ,Yt统计独立
p( X t ,Yt ) p( X t
) p(Yt )
上
海 大
设B(t)和Ф(t)的二维概率密度函数为：
学 通 信
p(Bt , t )
其中：
X (Bt , t ) Bt cos t Y (Bt , t ) Bt sin t
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
4
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信 学
–
院
+
2016/10/28
上 海
四. 窄带高斯随机过程Z(t)
大
学 1. Z(t)的同相分量X(t)和正交分量Y(t)的概率分布
通 信
由 Z(t) X (t)cos0t Y (t)sin0t ，可得：
学 院
t2t120时0 时 , ,
Z (t1) X (t1) Z (t2 ) Y (t2 )
由Z(t)为高斯的可知：X(t1)和Y(t2)也是高斯随机变量。 又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而
严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：
上
海
大 学
pZ(t1 ) pX(t1 ) pX(t)， t 的任意性。
1 2
2
exp
ut 2 2
,
ut
0
上 海
五、余弦波加窄带高斯过程
大
学 通
通信系统接收机前端模型
信
学
s(t) n(t )
院 s(t) 信道
H ( )
R(t) s(t) Z(t)
n(t )
白高斯噪声
带通滤波器
H( )
0
0
0
上
海
大 学
其中： s(t ) a cos(0t )
通 信
θ 是[0，2π]上均匀分布的随机变量。S(t)为随相余弦信号；
学 院
则， p(Bt , t )
p(
X
t
,Yt
)
( X t ,Yt (Bt , t
) )
。
X (Bt , t )
( X t ,Yt ) (Bt , t )
Bt X (Bt , t )
t
Y (Bt , t )
Bt Y (Bt , t )
cos t sin t
t
Bt sin t Bt cos t