第6章 窄带随机过程
4.3 窄带随机过程的基本特点
1 j = [ S X (ω + ω0 ) + S X (ω ω0 )] + [ S X (ω + ω0 ) S X (ω ω0 )] 2 2
S X (ω ) = j sgn( ω ) S X (ω )
AC (t)与AS (t)的互相关函数是奇函数
当τ = 0时, 有 : RAC AS (0) = 0
在同一时刻 AC (t)与AS (t)之间是正交的 , .
16
RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = FT[RAC AS (τ )]
RAC AS (τ ) = RX (τ ) sin( ω0τ ) + RX (τ ) cos(ω0τ )
1 SAC (ω) = SAS (ω) = {SX (ω +ω0 )[1+ sgn( ω +ω0 )] 2 + SX (ω ω0 )[1sgn( ω ω0 )]}
10
ω
SX (ω ω0 ) + SX (ω +ω0 )
1 ω 2
偶函数
11
ω SX (ω +ω0 ) + SX (ω ω0 ) ω < SAC (ω) = SAS (ω) = 2 0 其它
8
E[ AC (t)] = E[ AS (t)] = 0
AC (t)和AS (t)都是平稳过程
RAC (τ ) = RAS (τ ) = RX (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin( ω0τ )
窄带随机过程的模拟与分析
实验报告实验题目：窄带随机过程的模拟窄带随机过程的模拟一、实验目的（1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。
二、实验原理（1）任意功率谱的正态随机过程的模拟假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱满足()X G f 。
为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。
即0201()()j f k k k dXt X e f T π∞=-∞==∑由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{}()Xt 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。
即 2220()()(())kk k X k G f g f kf gE X δ∞=-∞=- =∑通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。
假定()X G f 是带限的，即()0()X G f f B = >那么，{}2k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。
因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。
然后据此构造时域样本函数即可，有02()[]()Mj f k i t k k MX i X i t X e π∆=-=∆=∑其中t ∆为任意小的时间间隔。
（2）窄带随机过程的模拟对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=-其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。
6.窄带随机过程的产生 - 随机信号分析实验报告
计算机与信息工程学院综合性实验报告一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。
3、掌握窄带随机过程的分析方法。
二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理基于随机过程的莱斯表达式00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1)实验过程框图如下：理想低通滤波器如图所示：图1 理想低通滤波器()20AH ∆ω⎧ω≤⎪ω=⎨⎪⎩其它(3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（）,则系统输出的物理谱为 220=()=20Y X N AG H G ∆ω⎧0≤ω≤⎪ωωω⎨⎪⎩（）（）其它(3.3) 输出的自相关函数为:01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞=⎰ /221cos 2N A d ωωτωπ∆=⎰ (3.4) 20sin 242N A ωτωωτπ∆∆=⋅∆ 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。
计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。
四、MATLAB 实验程序function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程%--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p;w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C;[b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a（t）y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b（t）yt=y_at-y_bt; %产生一个p个点的高斯窄带随机过程subplot(211)plot(yt)title('高斯窄带随机过程y(t)')subplot(212)pdf_ft=ksdensity(yt) ;plot(pdf_ft)title('y(t)的概率密度图')disp('均值如下')E_Xt=mean(y_at)E_at=mean(y_at)E_bt=mean(y_bt)E_ft=mean(yt)%-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2)R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt的自相关函数R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt的自相关函数R_ft=xcorr(yt);subplot(2,2,1);plot(R_Xt);title('高斯白噪声的自相关函数R_Xt'); %并绘制图形subplot(2,2,2)plot(R_at);title('限带白噪声的自相关函数R_a_bx'); %并绘制图形subplot(2,2,3)plot(R_y_bt);title('随机过程b(t)的自相关函数R_y_bt');subplot(2,2,4)plot(R_ft);title('高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R_yt');%------------------------功率谱密度代码如下---------------------------% figure(3)subplot(1,2,1)periodogram(Xt);title('高斯白噪声功率谱密度S_Xt');subplot(1,2,2)periodogram(at);title('限带白噪声功率谱密度S_a_bt');figure(4)subplot(3,1,1)periodogram(y_at);title('随机过程a(t).coswt概率密度概率密度S_y_at');subplot(3,1,2)periodogram(y_bt);title('随机过程b(t).sinwt功率谱密度S_y_bt');subplot(3,1,3);periodogram(yt);title('高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S_yt');五、实验结果将上述random 函数放在Path 中后，在Commaod Window 中输入：random(1000,10,0.001)时，输出结果如下：01002003004005006007008009001000-0.50.5高斯窄带随机过程y(t)0102030405060708090100246y(t)的概率密度图0500100015002000-50005001000高斯白噪声的自相关函数R X t 0500100015002000-101020限带白噪声的自相关函数R ab x 0500100015002000-50510随机过程b(t)的自相关函数R yb t 0500100015002000-101020高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R y t00.51-40-30-20-10010Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯白噪声功率谱密度S X t 00.51-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )限带白噪声功率谱密度S ab t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程a(t).coswt 概率密度概率密度S ya t00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程b(t).sinwt 功率谱密度S yb t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-40-30-20-10Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S y t在Commaod Window 中输出的结果如下：E_Xt = 0.0020 E_at= 0.0020 E_bt= -0.0020 E_ft = 0.0040六、实验结果分析：1、由于高斯白噪声Xt是标准正态的，所以均值趋近于零，而at，bt是由Xt通过一个线性系统（低通滤波器）得到的，所以输出均值不变，仍为零，从程序运行结果可以看出，Xt，at，bt均值都趋近于零。
窄带随机过程
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
Matlab仿真窄带随机过程
随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。
若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。
包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。
Matlab仿真窄带随机过程
随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。
若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。
包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。
第6章 窄带随机信号
,
r2
=
a2 2σ 2
1
fAt (a t ) ≈
1 2πσ
exp
而所有样本函数的总体---窄带随机信号 X (t) ，则可写成：
6-1
《随机信号分析基础》第六章：窄带随机信号分析
第2页 共9页
X (t ) = A(t ) cos ⎡⎣ω0t + Φ (t )⎤⎦ 上式就是窄带随机信号常用的数学模型。由于 ak (t ) ，ϕk ( t ) 相对 cosω0t 来说是慢变化的时
上式中， cosω0t ， sinω0t 都是确定函数。其中
Ac(t) = A(t) cos Φ(t) 同相分量(In-phase Component)
As(t) = A(t) sin Φ(t) 正交分量(Quadrature Component,书上称为几何“垂直”分量)
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t )
G
X
(ω) Δω
x k (t)
a k (t)
−ω 0 0
0 ω0 ω
t cos[ω 0t + ϕk (t)]
(a)窄带随机信号的功率谱密度
(b)窄带随机信号的样本函数波形
图 6.1 窄带随机信号
6.1.2 窄带随机信号的数学模型与表示
1.窄带随机信号的数学模型
随机信号 X(t) 的样本函数可写成：
xk (t ) = ak (t ) cos ⎡⎣ω0t + ϕk ( t )⎤⎦ ξk ∈ Ω (k = 1, 2, )
说明 X (t)与同相分量 Ac(t) 、正交分量 As (t) 具有相同的方差，即平均功率相等。
⑸ Ac (t) 、 As (t) 的概率分布
6.窄带与正弦波加窄带随机过程
于是， 由式（3.5 - 9）及式（3.5 - 10）得到
Rsc(0)=Rcs(0)=0
(3.5 - 15)
于是，由式（3.5 - 9）及式（3.5 - 10）得到
Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)
(3.5 - 16)
即σ2ξ=σ2c=σ2s
(3.5 - 17)
பைடு நூலகம்
这表明ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因
3.5 窄带随机过程
•窄带过程: 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出. •窄带系统: 是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。 •窄带随机过程 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通 过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪 声又是随机的，则称它们为窄带随机过程. •窄带噪声的波形:
再取使cosωct=0的所有t
(3.5 - 9)
Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (3.5 - 10)
其中应有
Rs(t, t+τ)=Rs(τ) Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ)
由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过 程ξ(t)是平稳的，则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
窄带随机信号的产生及分析
信息与通信工程学院实验报告（软件仿真性实验）课程名称：随机信号分析实验题目：窄带随机信号的产生及分析班级：学号：实验目的和任务1•掌握窄带随机信号的产生方法以及窄带滤波器的设计2•掌握窄带随机信号包络相位的提取实验内容及原理（一）实验原理在一般无线电接收机中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频率，既有这种线性系统通称为窄带线性系统在通信、雷达等许多电子系统中，都常常用一个宽带平稳随机过程来激励一个窄带滤波器，这是在滤波器输出端得到的便是一个窄带随机过程。
若用示波器观测此波形，则可看到, 它接近一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢的随机变化。
我们可以证明，任何一个是窄带随机过程X(t)都可以表示为：成绩指导教师：陈友兴学生姓名：X(t) = A(t)cos( .0t ⑴)式中，「。
是固定值，对于窄带随机过程来说，0 一般取窄带滤波器的中心频率或载波频率。
在实际应用中，常常需要检测出包络A(t)和「t的信息。
若将窄带随机过程X(t)送入包络检波器，则在检波器的输出端可得到包络A(t)，若将窄带随机过程X(t)，送入一个相位检波器，便可检测出相位信息」t，如图3.1所示。
(二)实验内容1.产生一输入信号X(t)二A(t)cos[ st (t)]N(t)，其中A(t戶1 cqst，•■i=2n二1000( n 为学号)，，'。
「'i，：(t)与A(t) 一样，N(t)为高斯白噪声；2•按图3.1的系统，设计一个低通滤波器，使得X(t)通过系统后的输出W(t)为窄带信号。
三、实验步骤或程序流程1. 输入信号，求输入信号的均值、方差、自相关函数、傅里叶变换、功率谱密度，分析各参数的特性；2.设计一个低通滤波器；3.分析滤波后信号时域、频域的各参数的特性。
四、实验数据及程序代码clear all ;clc;close all ;i=19; %学号为19n=1024;Fs=20000*i;t=0:1/Fs:(n-1)/Fs;wo=2*pi*1000*i;At=cos(wo*t); %输入信号的包络Nt=normrnd(0,1,1,n); %高斯白噪声Xt=At.*cos(4*wo*t+At)+Nt;M1=mean(Xt); %求输入信号的均值V1=var(Xt); %求输入信号的方差X1=xcorr(Xt, 'unbiased' ); %求X(t )的自相关函数window=boxcar(length(t)); %产生一个矩形窗[P1,f1]=periodogram(Xt,window,n,Fs); %求X( t )的功率谱密度%P11=10*log10(P1);F1=abs(fft(Xt)); %求傅里叶变换后幅度freq=(0:n/2)*Fs/n;figure(1)输入信号功率谱密度 ' ); %绘出输入信号功率谱密度图 1(1:n/2+1)), 'k' );title( ' 输入信号傅里叶变换特性 ' ); %绘出输入信% %带通滤波器设计 % Fs2=Fs/2; % fs1=800*i;fp1=900*i; % fs2=1100*i;fp2=1200*i;% ws1=fs1*pi/Fs2; wp1=fp1*pi/Fs2; % % ws2=fs2*pi/Fs2; wp2=fp2*pi/Fs2;% tr_width=min((wp1-ws1),(wp2-ws2));% 过渡带宽% N=ceil(6.6*pi/tr_width); % 计算 N % N=N+mod(N,2);%保证滤波器系数长 N+1为奇数 % wind=(hamming(N+1))'; % wc1=(wp1+ws1)/2;wc2=(ws2+wp2)/2; % fc1=wc1/pi;fc2=wc2/pi; % b=fir1(N,[fc1 fc2],wind); % 用汉明窗函数设计低通滤波器% omega=linspace(0,pi,512); % 频率抽样 512 个点 % mag=freqz(b,1,omega);%计算频率响应% magdb=20*log10(abs(mag)); % 计算对数幅度频率响应 % figure(2)% subplot(121),stem(b,'.');grid on;%axis([0 N-1]); % xlabel('n');ylabel('h(n)');title(' 单位抽样响应 '); % subplot(122),plot(omega*Fs/(2*pi),magdb);grid on; % xlabel(' 频率 ');ylabel('dB');title(' 幅度频率响应 ');%低通滤波器设计subplot(223);plot(f1,P1);title( subplot(224);plot(freq,abs(F 号傅里叶变换特性图归一化通带和阻带截止角频率deltaw=ws-wp; N=ceil(6.6*pi/deltaw);%计算 NN=N+mod(N,2); %呆证滤波器系数长 N+1为奇数 wind=(hamming(N+1))'; wn=(fp+fs)/Fs;b=fir1(N,wn,wind); % 用汉明窗函数设计低通滤波器 omega=linspace(0,pi,512); % 频率抽样 512个点 mag=freqz(b,1,omega); % 计算频率响应magdb=20*log10(abs(mag)); % 计算对数幅度频率响应figure(2)subplot(121),stem(b, '.' );grid on; %axis([0 N-1]);xlabel( 'n' );ylabel( 'h(n)' );title( ' 单位抽样响应 ' ); subplot(122),plot(omega*Fs/(2*pi),magdb);gridon; %axis([0 f1*4 -100 10]);xlabel( '频率' );ylabel( 'dB' );title( ' 幅度频率响应 ' );At=conv(Xt,b); %滤波Wt=At([33:1056]);M2=mea n( Wt);嫁带随机信号均值 V2=var(Wt); %窄带随机信号方差X2=xcorr(Wt, 'unbiased' ); %窄带随机信号自相关函数Fs2=Fs/2; fp=3000*i; fs=4000*i; wp=fp*pi/Fs2; %归一化通带截止角频率 ws=fs*pi/Fs2;%归一化阻带截止角频率%6dB截止频率%过渡带宽% P22=10*log10(P2); figure(3)subplot(221);plot(Wt);title( '窄带随机信号时域特性’);%绘出窄带随机信号时域特性曲线 subplot(222);plot(X2);title( '窄带随机信号自相关函数’);淤出窄带随机信号自相关函数图subplot(223);plot(f2,P2);title( '窄带随机信号功率谱密度');%会出窄带随机信号功率谱密度图五、实验数据分析及处理图3.1输入信号特性曲线4 2D-2 -4 笹入伯号自柞关圉数2 --------------- -------------- ■ -------输入僮号时域培任曲线500 1000 150010 10C0 2000 3000输入信号帖里叶燹取特性分析：由自相关函数图形可看出，中心点上相关程度最高，在其他地方，自相关函数接近 于零。
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。
解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。
窄带平稳随机过程
❖ 其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
❖ 形式
x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
❖ 包络
R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
正交且功率相同。
白噪声
❖ 定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
❖ 高斯白噪声经过带通系统
n t nc t cosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
t
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 的高斯随机变量2，因此它们独立
（窄带高斯过程的性质），则
令
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
则 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
nc r cos , ns r sin
I0
x
2
0
1
2
exp x
cos
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
窄带随机过程的模拟
实验报告实验题目：窄带随机过程的模拟一、实验目的了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用MATLAB软件产生各种随机过程，对随机过程的特征进行估计，并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。
二、实验原理（1）高斯白噪声的产生提示：利用MATLAB函数randn产生（2）自相关函数的估计111()()ˆ()1ˆ()N m n x N m x n m n n x n m x n N R m R m x x N m --=--+=⎧+⎪⎪=⎨⎪=⎪-⎩∑∑对有偏估计对无偏估计提示：MATLAB 自带的函数为xcorr()，阐述xcorr 的用法（3）功率谱的估计利用周期图方法估计功率谱，21ˆ()()xG X N=ωω 其它谱估计方法：…….提示：MATLAB 自带的函数为periodogram()，阐述periodogram()的用法;阐述其它谱估计方法的用法。
（4）均值的估计111ˆ()N x n mx n N -==∑ 提示：MATLAB 自带的函数为mean()（5）方差的估计12211ˆ[()]N xn x n x N -==-∑σ提示：MATLAB 自带的函数为var()(6) AR(1)模型的理论自相关函数和理论功率谱对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+，自相关函数为2||2()1m X a R m a =-σ ，其功率谱为22()(1)X j G aeωσω-=-。
三、实验内容1. 相关高斯随机序列的产生按如下模型产生一组随机序列()(1)()x n ax n w n =-+，其中()w n 为均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。
（1）产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形； （2）估计x(n)的均值和方差；（3）估计x(n)的自相关函数，并画出相关函数的图形。
2. 两个具有不同频率的正弦信号的识别设信号为12()sin(2)2cos(2)()x n f n f n w n ππ=++，1,2,,n N = ，其中()w n 为零均值正态白噪声，方差为2σ。
5.5窄带随机过程的莱斯表示
随机信号分析目录CONTENTSCONTENTS窄带随机过程的定义窄带随机过程的莱斯表示窄带随机过程的莱斯表示证明小结⚫定义：一个实平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽，满足则称此随机过程为窄带平稳随机过程，以下简称窄带随机过程。
2c ωω∆=0ωω∆<<窄带随机过程的功率谱密度图)(ωX S O ωω∆ω∆000 c c ωωωωω−+000 - -c c ωωωωω−−+窄带随机过程的一个样本函数缓慢变化的包络[B(t )]频率近似为ω0有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带随机过程的莱斯表示⚫窄带随机过程的莱斯表示式：其中：00ˆ()()cos ()sin a t X t t X t t ωω=+00ˆ()()sin ()cos b t X t t X t t ωω=−+将X(t)表示成解析过程：0000ˆˆ()cos ()sin ()sin ()cos X t t X t t j X t t X t t ωωωω⎡⎤⎡⎤=++−+⎣⎦⎣⎦ˆ()()()X t X t jXt =+[]000ˆ()()()cos sin j t X t e X t jX t t j t ωωω−⎡⎤=+−⎣⎦0()()()j tX t e a t jb t ω−=+证明：()a t =()b t ==+ωX t a t jb t e j t()()()0][=−++ωωωωa t t b t t j a t t b t t ()sin ()cos ()sin ()cos 0000][][=−ωω()()sin ()cos 00X t a t t b t t =+ωωa t X t t X t t ()()cos ()sin ˆ00=−+ωωb t X t t X t t ()()sin ()cos ˆ00取实部：=X t ()=Xt ()ˆ窄带随机过程的莱斯表示有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）窄带随机过程的定义：一个是平稳随机过程X(t),若它的功率谱密度具有下述性质00() ()0 X c c X S S ωωωωωωω⎧−≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它且带宽，满足则称其为窄带随机过程。
六.窄带随机过程
(2)
ˆ x(t ) 的希尔伯特变换为 x(t )
ˆ H [ x(t )] x(t )
两次希尔伯特变换相当于连续两次 900 相移，结果 正好是 1800反相
9 2013-7-21
1.2 希尔伯特变换性质(3)
(3)
y(t ) v(t ) * x(t ) 的希尔伯特变换为
ˆ ˆ ˆ y (t ) v (t ) * x (t ) v (t ) * x (t )
1 x (t ) d
反变换
ˆ x( ) ˆ x(t ) H [ x(t )] d t ˆ 1 x(t ) d
1
1
ˆ 1 x(t ) d
5
2013-7-21
CZ1Z2 E (Z1 mZ1 )* (Z2 mZ2 )
15 2013-7-21
1.3 复随机过程
若X与Y分别是实随机变量，定义
Z (t ) X (t ) jY (t )
为复随机变量 均值： 方差:
mZ (t ) mX (t ) jmY (t )
DZ (t ) DX (t ) DY (t )
H ( )
一个典型的确定性窄带信号可表示为 窄带系统
白噪声
X (t )
Y (t )
x 系统示意图 或宽带噪声 ( t ) a ( t ) cos[ 0 t ( t )]
x(t ) y(t ) a(t ) ——幅度调制或包络调制信号
窄带噪声
0
窄带系统传递函数
(t ) ——相位调制信号
1.1 希尔伯特变换
第六章窄带随机过程
第六章窄带随机过程第⼋讲窄带随机过程8.1 希尔伯特变换和解析过程8.1.1 希尔伯特变换⼀．希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ?∞∞--==)(1)]([)(?⽤'ττ+=t 代⼊上式，进⾏变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞-+-=也可得'')'(1)(?τττπd t x t x ?∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ?∞∞----==)(?1)](?[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t x∞-∞∞-+=--=)(?1)(?1)(⼆．希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即tt x t xπ1*)()(?=于是，可以将)(?t x看成是将)(t x 通过⼀个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即)(<≥-=ωπωπω?上式表明，希尔伯特变换相当于⼀个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(?t x的傅⽴叶变换)(?ωX 为)()sgn()sgn()()(?ωωωωωX j j X X-=-?= 2. )(?t x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](?[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(?)(?*)()(?t x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(?t x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ?-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(?21lim )(21lim )(?)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
6.窄带与正弦波加窄带随机过程
2 n
[(zc
Acos )2
(zs
Asin )2 ]
利用上一节相似的方法， 根据式（3.6 - 3）、（3.6 - 4）
可以求得在给定相位θ的条件下的z和φ的联合概率密度函数
为(根据概率论知识)
zc zs
f(z, φ/θ)=f(zc, zs/θ)
z z zc zs
= z f (zc, zs/θ)
z
2
2 n
exp
[z 1 2
2
2 n
A2
2Az cos(
)]
而以相位θ为条件的包络z的概率密度分布为
2
f (z / ) 0 f (z, / )d
z
2
2 n
2
exp
0
1
2
2 n
[z2
A2
2 Az c os(
)]
d
z
2
2 n
exp(
z2 A2
2
2 n
)
2 0
exp[A0z2
cos(
3.5 窄带随机过程
•窄带过程: 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出. •窄带系统: 是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。 •窄带随机过程 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通 过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪 声又是随机的，则称它们为窄带随机过程. •窄带噪声的波形:
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
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xˆ
2
(
t
)dt
x
2
(t
)dt
lim 1 T xˆ 2 (t)dt lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
T 2T T
上 海 大 学 通 信 学 院
上 海 大 学 通 信 学 院
3
2016/10/28
上
海 三、窄带随机过程的性质
大
学
通 问题：若已知Z(t)的功率谱密度 GZ ( ) 或统计特性RZ ( ) 信 （讨论平稳窄带过程），则其B(t)和 (t ) 或X(t) 和Y (t)
性质4．
RX
(
)
1
0 GZ ()cos[( 0 ) ]d
性质5． RX ( ) RY ( )
性质6．
RXY
(
)
1
0 GZ ()sin[( 0 ) ]d
性质7． RY X ( ) RXY ( ), RXY ( ) RXY ( )
上
海
大 学
性质8． RXY (0) E[X(t)Y(t)] 0, RY X (0) 0
(
f
)，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。
1
2016/10/28
上
海 大
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余
学 的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S ( f )，即可。
通
信 学
若只取正频域频谱
S ( f )，则
S
(
f
)
S (
f
)，即S ( f ) 不满
院 足共轭对称性，且 S ( f ) 时域复信号。
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t) js(t) h(t)
F变换
Z( f ) S( f )1 jH ( f )
上
海
H(f)的设计要求：
大
1．要满足使得Z(f)只有正频域频谱；
学 通 信
2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。 由此可得，
学 院
H( f ) 0,j,
2016/10/28
上
海 第六章 窄带随机过程
大
学 一、窄带随机过程的定义
通 信
很多无线电系统的通频带 是比较窄的，它们远小于
学 其中心频率 0 ，这种系统只允许输入信号靠近 0 附近的
院 频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：
0 , 0 一般为高频载波。
同理，可定义窄带随机过程，即：
若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波 ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
学 院
则， p(Bt , t )
p(
X
t
,Yt
)
( X t ,Yt (Bt , t
) )
。
X (Bt , t )
( X t ,Yt ) (Bt , t )
Bt X (Bt , t )
t
Y (Bt , t )
Bt Y (Bt , t )
cos t sin t
t
Bt sin t Bt cos t
exp
Bt2
2
2 Z
d t
Bt
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
, Bt
0
p( t )
— —瑞利分布
p(Bt , t )dBt
Bt
0
2
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
dBt
(令 y Bt2 )
2
2 Z
1
1
exp( y)dy ,
2 0
2
— —均匀分布
0 t 2
上
学 通 信 学
平 X(稳t)与过Y程(t的)互性不质相。关同，时高由斯RX统Y (0计) 独R立YX (。0) 0 可知：同时刻的
院
2．Z(t)的包络B(t)和相位Ф(t)的概率分布
Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 若Z(t)为零均窄带平稳高斯随机过程，则
p( X t ,Yt )
通
信 学
性质9． GX () Lp[GZ ( 0 ) GZ ( 0 )]
院
其中，Lp[·]为求等效低通运算。即，令ω0=0
性质10． GX () GY ()
性质11．GXY () jLp[GZ ( 0 ) GZ ( 0 )]
性质12性质证明
大
f 0 f 0 j sgn( f )
j, f 0
h(t) F 1 H( f ) 1
。
t
故此，sˆ(t) s(t) 1 t
1 s( ) d
t
H
[s(t)]，
称为Hilbert变换。
上 海 大 学 通 信 学 院
H(f)或h(t)称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性， 只改变信号的相频特性。
上
海 大
表达式 2： Z(t) X (t)cos0t Y (t)sin0t
学 通 信
其中：
X (t ) B(t )cos (t )
Y (t ) B(t )sin(t )
学
院
B(t) X 2(t) Y 2(t), tan (t) Y (t) / X (t)
由于cos0t 与sin0t 正交，故称X( t )为Z( t )的同相分 量，Y( t )为Z( t )的正交分量。引入表达式 2 的目的是将 Z( t )分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。
学 院
t2t120时0 时 , ,
Z (t1) X (t1) Z (t2 ) Y (t2 )
由Z(t)为高斯的可知：X(t1)和Y(t2)也是高斯随机变量。 又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而
严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：
上
海
大 学
pZ(t1 ) pX(t1 ) pX(t)， t 的任意性。
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
4
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信 学
–
院
+
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上 海
四. 窄带高斯随机过程Z(t)
大
学 1. Z(t)的同相分量X(t)和正交分量Y(t)的概率分布
通 信
由 Z(t) X (t)cos0t Y (t)sin0t ，可得：
Bt
p(Bt , t )
Bt
2
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
， Bt
0, 0 t
2
。
5
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上
海 大 学
Bt B(t) 0 (B(t)的包络)，相位Ф(t)在[0，2π]上取值。
通
由边缘分布可得
信
学 院
p(Bt ) p(Bt , t )d t
2 Bt
0
2
2 Z
通
信 学
pZ(t2 ) pY(t2 ) pY(t) ， t 的任意性。
院
故， pZ(t) pX (t) pY (t)
1
Z 2(t)
2 Z
exp
2
2 Z
其中，Z(t)可替换为X (t) 或Y (t)。
上 海
结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量X(t)
大 和正交分量Y(t)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带
由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号。写为
sA (t) s(t) jH s(t) 。
S A ( f ) S( f )1 jH ( f ) 2SS((ff)),,
0,
f 0 f 0 f 0
上
上
海
海
大
大
学
学
通
通
信
信
学
学
院
院
2
上 海
Hilbert逆变换
大
学
通
信
学
院
上 海 大 学 通 信 学 院
上 海 大 学 通 信 学 院
2016/10/28
上
海 大
3．Hilbert变换的性质
学
通 信
性质1. H [xˆ(t)]= x(t)。
学 院
性质2 若 y(t) h(t) x(t)，则
H [ y(t) ] h(t) xˆ(t) hˆ(t) x(t)。
性质3 xˆ (t) 和x(t)的能量及平均功率相等，即
1 2
2
exp
ut 2 2
,
ut
0
上 海
五、余弦波加窄带高斯过程
大
学 通
通信系统接收机前端模型
信
学
s(t) n(t )
院 s(t) 信道
H ( )
R(t) s(t) Z(t)
n(t )
白高斯噪声
带通滤波器
H( )
0
0
0
上
海
大 学
其中： s(t ) a cos(0t )
通 信
θ 是[0，2π]上均匀分布的随机变量。S(t)为随相余弦信号；
学 院
Z(t ) BN (t ) cos[0t (t )]