八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年解答题版
2020苏科版八上第二章轴对称中的线段和最小值问题(一)(有答案)
2020苏科版八上第二章轴对称中的线段和最小值问题（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F.若AC=12，BC=5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为()A. 15B. 17C. 18D. 203.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°4.如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则|PA−PB|的最大值是()A. 4B. 5C. 6D. 85.如图，△ABC≌△AED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF=3，CF=5，则BP+DP的最小值是()A. 4B. 8C. 10D. 16二、填空题6.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm.点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm，着在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为______cm．7.如图，△ABC中，AC=BC=5，AB=6，CD=4，CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为______．8.如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=______°.9.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为______．10.如图，四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为______．11.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，△BDM的周长最小值为8，则△ABC的面积是______三、解答题12.如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．(1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；(3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积=______．13.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．(1)若∠ABC=65°，则∠NMA的度数是______度．(2)若AB=10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．14.要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A，B两个开发区运货．(1)若要求货站到A，B两个开发区的距离相等，在图1中作出货站P．(2)若要求货站到A，B两个开发区的距离和最小，在图2中作出货站P′．15.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；(3)在直线m上画一点P，使得CP+C1P的值最小．16.你可以直接利用结论“有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形”解决下列问题：在△ABC中，AB=AC．(1)如图1，已知∠B=60∘，则△ABC共有______条对称轴，∠A=______∘，∠C=______∘；(2)如图2，已知∠ABC=60∘，点E是△ABC内部一点，连结AE、BE，将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB与AC重合，旋转后得到△ACF，连结EF，当AE=3时，求EF的长度．(3)如图3，在△ABC中，已知∠BAC=30∘，点P是△ABC内部一点，AP=2，点M、N分别在边AB、AC上，△PMN的周长的大小将随着M、N位置的变化而变化，请你画出点M、N，使△PMN的周长最小，要写出画图方法，并直接写出周长的最小值．答案和解析1.D解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．2.C解：∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，DE平分∠ADC，∴ED垂直平分AC，∴点A与点C关于DE对称，∴PC=PA，如图所示，当点P与点E重合时，PC+PB=PA+PB=AB，此时△PBC的周长最小，∵AC=12，BC=5，△ABC的周长为30，∴AB=13，∴△PBC周长的最小值为AB+BC=13+5=18，3.D解：∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，∴∠C+∠EPF=180°，∵∠C=50°，∵∠D+∠G+∠EPF=180°，∴∠D+∠G=50°，由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，∴∠GPN+∠DPM=50°，∴∠MPN=130°−50°=80°，故选：D．4.A解：如图，作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∴∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，∵∠BCD=15°，∴∠ACD=75°，∴∠CAA′=15°，∵AC=A′C，∴A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，∴∠ACA′=150°，∵∠ACB=90°，∴∠A′CB=60°，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B=BC=4．5.B解：如图所示，连接CP，由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，∴CP=DP，EF=BF=3，∴BP+DP=BP+CP，∴当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，∵EF=3，CF=5，∴BF+CF=BC=8，∴BP+DP的最小值是8，6.5解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=3.5cm，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm，∴QD=DQ′=1.5(cm)，∴CQ′=BP=2(cm)，∴AP=AQ′=5(cm)，∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=5(cm)，∴PE+QE的最小值为5cm．7.245解：过B作BF⊥AC于F，交CD于E，则BF的长即为AE+EF的最小值，∵AC=BC=5，CD为△ABC的中线，∴AD=12AB=3，∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BF，∴BF=6×45=245，∴AE+EF的最小值为24，58.105解：如图1，作CH⊥BC，且CH=BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC=BC，∠DAC=30°，∴AC=CH，∵∠BCH=90°，∠ACB=60°，∴∠ACH=90°−60°=30°，∴∠DAC=∠ACH=30°，∵AE=CF，∴△AEC≌△CFH(SAS)，∴CE=FH，BF+CE=BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC=45°，∠FCB=60°，∴∠AFB=105°，9.18cm解：如图，连接PA．∵△PBC的周长=BC+PB+PC，BC=8cm，∴PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小，∵MN垂直平分线段AB，∴PA=PB，∴PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，∴PB+PC的最小值为10cm，∴△PBC的周长的最小值为18cm．10.100°解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．延长线DA到H，∵∠C=40°，∴∠DAB=140°，∴∠HAA′=40°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=40°，∴∠EAF=140°−40°=100°，11.12解：连接AD交EF与点M′．∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM．∴BM+MD=MD+AM．∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，即此时△BDM的周长最小，∵△BDM的周长最小值为8，∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=8；∵D为底边BC的中点，BC长为4，∴BD=2，∴AD=6，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×6=12，12.解：(1)如图所示，直线l即为所求．(2)如图所示，点P即为所求；(3)3．解(3)△ABC的面积=2×4−12×1×2−12×1×4−12×2×2=3，故答案为：3．13.40解：(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠C ∵∠ABC=65°，∴∠C=65°，∴∠A=50°，MN是AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴∠A=∠ABM=50°，∴∠MBC=∠ABC−∠ABM=15°，∴∠AMB=∠MBC+∠C=80°，∠AMB=40°．∴∠NMA=12故答案为40度．(2)①∵AB=AC=10，△MBC的周长是18cm，即BM+MC+BC=18∵AM=BM，∴AM+MC+BC=18，∴AC+BC=18，∴BC=8．答：BC的长度为8cm．②当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，答：△PBC的周长的最小值为18cm．14.解：(1)如图1所示：点P即为所求；(2)如图2所示：点P′即为所求．15.解：(1)如图，△A1B1C1为所作图形(2)如图，△A2B2C2为所作图形(3)如图，两点间线段最短，故如图，连接C1与C2与m的交点即为点P，使得CP+C1P的值最小．16.解：(1)3，60，60(2)如图2，∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∵△ACF是由△ABE绕点A旋转而得到的，且边AB与AC重合∴∠EAF=∠BAC=60°，AF=AE，∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE=3；(3)如图3，画图方法：①画点P关于边AB的对称点G，②画点P关于边AC的对称点H，③连结GH，分别交AB、AC于点M、N，此时△PMN周长最小，其值等于GM+MN+NH=GH．由轴对称的性质，AG=AP=AH，∠GAM=∠PAM，∠PAN=∠HAN，∴∠GAH=2∠MAN=60°，∴△GAH是等边三角形，∴GH=AP=2，即△PMN周长最小值为2．解：(1)如图1，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC共有3条对称轴，∠A=60°，∠C=60°，故答案为3，60，60；。
初中数学专题复习(轴对称-最短距离问题)
初中数学专题复习（轴对称-最短距离问题）一．轴对称-最短路线问题1．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD＝+，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P ′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．2．（2020•贵港）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+1解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．3．（2020•恩施州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．8解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．4．（2020•潍坊）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB 交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．5．（2020•西宁）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC 的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为18．解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，∵EF垂直平分线段AC，∴MA＝MC，∴DM+MC＝AM+MD，∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，∴DH＝CH﹣CD＝5，∴AD＝＝＝13，∴DM+MC的最小值为13，∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，故答案为18．6．（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．7．（2020•毕节市）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．8．（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．9．（2020•日照）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．10．（2019•西藏）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B 两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即PA+PB的最小值为2．故选：A．11．（2019•聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB 的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．12．（2019•黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为4．解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△P AB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．13．（2019•陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，延长PN′交BC于M，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．15．（2019•德阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．。
初中数学人教版八年级上册第十三章《轴对称》练习册(含答案)13.4 课题学习 最短路径问题
初中数学人教版八年级上册实用资料13.4课题学习最短路径问题基础巩固1.（知识点1）已知直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）2.（知识点1）已知在平面直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（）3.（题型二）如图13-4-1，正方形ABCD的边长为8，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使得PD+PE的值最小，则这个最小值为（）图13-4-1A.4B.6C.8D.104.（题型二）已知MN是正方形ABCD的一条对称轴（A，D是一组对称点，B，C是一组对称点），P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD= °.5.（题型三）如图13-4-2，为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，首先到公路l1上设卡检查，然后到公路l2上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们如何走才能使总路程最短？图13-4-26.（题型二）如图13-4-3，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于直线m的对称点，AB′交m于点P.（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？（2）在m上取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由.图13-4-37.（题型一）如图13-4-4，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P，Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？图13-4-4能力提升8.（题型二）如图13-4-5，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为.图13-4-59.（题型一）如图13-4-6，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上有一点R.当△PQR的周长最小时，求它的周长.图13-4-610.（题型三）两艘军舰A，B在某海港中的位置如图13-4-7，在Ox和Oy两岸上各有一个军需所，A舰舰长乘小艇从A舰出发，首先到Oy边的军需所，然后到Ox边的军需所各取一些物资，最后一起送到B舰上，要使舰长所走的水路最近，他应分别在Ox，Oy岸边的何处上岸？图13-4-7答案基础巩固1. D 解析：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于点M.根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短.故选D.2. C 解析：过点A作关于y轴的对称点，再连接B和作出的对称点，连线和y轴的交点即为所求.由给出的四个选项可知选项C满足条件.故选C.3. C 解析：连接PB.由题意知，B是点D关于AC的对称点，∴PD+PE=PB+PE≥BE.当点P为BE与AC的交点时，PD+PE最小，即最小值为BE的长.又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=8，即PD+PE的最小值为8.故选C.4. 45 解析：∵MN是正方形ABCD的一条对称轴，且点D关于MN的对称点是点A，∴PC+PD的最小值为AC的长.又∵△ACD是等腰直角三角形，∴∠PCD=45°.图D13-4-15.解：如图D13-4-1，（1）作点A关于直线l1对称的点A′；（2）作点B关于直线l2对称的点B′；（3）连接A′B′，分别与l1，l2相交于C，D两点.沿路线A→C→D→B走可使总路程最短.6. 解：（1）AB′=AP+PB.理由如下：∵点B′是点B关于m的对称点，∴PB=PB′.∵AB′=AP+PB′，∴AB′=AP+PB.（2）AN+NB>AP+PB.理由如下：如图D13-4-2，连接AN，BN，B′N.∵AB′=AP+PB，∴AN+NB=AN+NB′＞AB′，∴AN+NB＞AP+PB.图D13-4-2 图D13-4-37.解：如图D13-4-3，分别作点D关于BC，AC的对称点D′，D″，连接D′D″，分别交BC和AC于点P，Q.P，Q的位置即为所求. 能力提升8. 3 解析：图D13-4-4如图D13-4-4，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M.过点M作MN⊥BC于点N.∵BD平分∠ABC，ME⊥A B于点E，MN⊥BC于点N，∴MN=ME，∴CE的长为CM+ME=CM+MN.∵钝角三角形ABC 的面积为15，AB=10，∴12×10·CE=15，∴CE=3，即CM+MN的最小值为3.9.解：图D13-4-5设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ.如图D13-4-5，作点P关于OA的对称点E，作点P关于OB的对称点F，连接EF与OA相交于点Q，与OB相交于点R，连接PQ，PR，则△PQR即为周长最小的三角形.∵OA所在的直线是PE的垂直平分线，∴EQ=QP.同理，OB所在的直线是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF.∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，∴△EOF是等边三角形，∴EF=10.即在保持OP=10的条件下，△PQR的周长最小，为10.10. 解：如图D13-4-6，分别作A，B关于y轴和x轴的对称点C，D，连接CD分别交y轴和x轴于点E，F，连接AE，EF，BF，E，F即为所求.图D13-4-6。
八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年压轴题版
八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_轴对称的应用-最短距离问题练习题1.(2019黄陂.八上期末) 在平面直角坐标系中，点A(a ，0)，B(0，b)，且a ，b 满足a －2ab ＋b＋(b －4)＝0，点C 为线段AB 上一点，连接OC.（1） 直接写出a ＝，b ＝；（2） 如图1，P 为OC 上一点，连接PA ，PB.若PA ＝B0，∠BPC ＝30°.求点P 的纵坐标；（3） 如图2，在(2)的条件下，点M 是AB 上一动点，以OM 为边在OM 的右侧作等边△OMN ，连接CN.若OC ＝t ，求ON ＋CN 的最小值(结果用含t 的式子表示).考点： 非负数之和为0;坐标与图形性质;含30度角的直角三角形;轴对称的应用-最短距离问题;2.(2017东台.八上期末) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，0），点B （0，2），点C （3，0），直线a 为过点D （0，﹣1）且平行于x 轴的直线．（1） 直接写出点B 关于直线a 对称的点E 的坐标；（2） 若P 为直线a 上一动点，请求出△PBA 周长的最小值和此时P 点坐标；（3） 若M 为直线a 上一动点，且S =S ，请求出M 点坐标．考点： 坐标与图形性质;轴对称的应用-最短距离问题;3.(2016海门.八上期末) 如图，矩形AOBC ，点A 、B 分别在x 、y 轴上，对角线AB 、OC 交于点D ，点C（，1），点M是射线OC 上一动点．（1） 求证：△ACD 是等边三角形；（2） 若△OAM 是等腰三角形，求点M 的坐标；（3） 若N 是OA 上的动点，则MA+MN 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．222△A BC △M A B答案解析答案解析答案解析考点： 点的坐标;等腰三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;矩形的性质;轴对称的应用-最短距离问题;4.(2016镇江.八上期末) 如图：在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y= 与一次函数y=﹣x+7的图象交于点A ．（1） 求点A 的坐标；（2） 在y 轴上确定点M ，使得△AOM 是等腰三角形，请直接写出点M 的坐标；（3） 如图、设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交y=和y=﹣x+7的图象于点B 、C ，连接OC ，若BC= OA ，求△ABC 的面积及点B 、点C 的坐标；（4） 在（3）的条件下，设直线y=﹣x+7交x 轴于点D ，在直线BC 上确定点E ，使得△ADE 的周长最小，请直接写出点E 的坐标．考点： 两一次函数图象相交或平行问题;一次函数与二元一次方程（组）的综合应用;三角形的面积;等腰三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题;5.(2016通许.八上期末) 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？考点：轴对称的应用-最短距离问题;2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_轴对称的应用-最短距离问题练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
(完整版)利用轴对称求最短距离问题
利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。
加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?·B ·A·B·Aa·B·Aa·A′图1M·A′MNa 图2图3思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。
设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。
在连接A′B的线中，线段A′B最短。
因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。
如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。
因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。
∴AM+BM= A′M+BM= A′B在△A′BN中，∵A′B＜A′N+BN∴AM+BM＜AN+BN即AM+BM最小。
点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。
思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，1159AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF22292525中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长222得AE＝BE＝最小， y值略。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。
使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。
初中数学《八上》 第十三章 轴对称《课题学习》最短路径问题 考试练习题
初中数学《八上》第十三章轴对称《课题学习》最短路径问题考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分评卷人得分1、如图，在△ABC中，AB 的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4 ，EC＝2 ，则BC的长是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8知识点：课题学习最短路径问题【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4 ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4 ，∴EB＝EA＝4 ，∴BC＝EB＋EC＝4 ＋ 2 ＝ 6 ，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2、如图，在△ABC中，按以下步骤作图：① 分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作对弧，两弧相交于M、N两点；② 作直线MN交BC于点D，交AC于E，连接AD，若AD＝BD，AB＝8 ，则DE＝___ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】4【分析】根据作图即可得到是的垂直平分线，再根据，得到DE是△ABC的中位线，即可得到DE的长．【详解】解：根据作图即可得到是的垂直平分线∴，∴，∵∴∴为的中点∴DE是△ABC的中位线∴故答案为【点睛】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，利用三角形中位线定理是解决问题的关键．3、如图，在△ABC 中， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A ＝________________ ° ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】36 ．【详解】试题分析：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x +x +x +2x＝180° ，解得：x＝36° ，故答案为36 ．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．4、在菱形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，且AE ⊥BC，AF ⊥CD，那么∠EAF等于（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°知识点：课题学习最短路径问题【答案】C【分析】连接AC，根据题意证得是等边三角形，再由等边三角形的性质求出∠EAC的度数，同理可求得∠FAC的度数，进而得到答案．【详解】解：如图，连接AC，∵E是BC中点，且AE ⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴AB =AC，又∵ 四边形ABCD是菱形，∴AB =BC，∴AB =BC =AC，∴是等边三角形，∴∠BAC =60° ，AE平分∠BAC，∴∠EAC =30° ，同理可得，∠FAC =30° ，∴∠EAF =∠EAC +∠FAC =60° ．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____cm ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】21 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC 和 AC=2AE=8cm ，根据三角形的周长公式计算即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB +BD +DA＝AB +BD +DC＝AB +BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB +BC +AC＝21cm，故答案为21 ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）．A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案.【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“ 线段的垂直平分线的性质” 是解题的关键 .7、已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4 ，BE＝3 ，则BF长为___ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】6 或【分析】AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F可知点F的位置两种情况，一是点F在AB的延长线上，二是点F在AB上，然后分类用矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理求解BF的长．【详解】解：① 当点F在AB的延长线上时，设BF =x，l∴△AOE ≌△AOH（ASA）∴AE =AH =5 ，又∵△FBE ∽△FAH，∴∴，解得：x =6 ，∴BF =6 ；② 当点F在AB的上时，设BF =y，如图2 所示：∵∠EFB =∠AFO，∠FBE =∠FOA，∴△EFB ∽△AFO，∴∠E =∠FAO，又∵△AFO +∠FAO =90° ，∠BCA +∠FAO =90° ，∴∠EFB =∠ACB，又∵∠EBF =∠ABC =90° ，∴△EBF ∽△ABC，∴，∴又∵AB =4 ，AB =AF +BF，∴AF =4-y，∵EH是AC的垂直平分线，∴AF =FC =4-y，在Rt △BFC中，由勾股定理得：BF2 +BC2 =FC2，∴，解得：或y =-6 （l 知识点：课题学习最短路径问题【答案】21 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC 和 AC=2AE=8cm ，根据三角形的周长公式计算即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB +BD +DA＝AB +BD +DC＝AB +BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB +BC +AC＝21cm，故答案为21 ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）．A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案.【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“ 线段的垂直平分线的性质” 是解题的关键 .10、如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】【分析】由等腰三角形，“ 等边对等角” 求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可．【详解】解：,,垂直平分．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．11、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B =60° ，∠C =25° ，则∠BAD =___________° .知识点：课题学习最短路径问题【答案】70 ．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C ，根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，计算出结果．【详解】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线，∴DA=DC ，∴∠DAC=∠C=25° ，∵∠B=60° ，∠C=25° ，∴∠BAC=95° ，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70° ，故答案为70 ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12、如图，在中，，．（1 ）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________ ，射线是的__________ ；（2 ）在（1 ）所作的图中，求的度数．知识点：课题学习最短路径问题【答案】（1 ）垂直平分线，角平分线；（2 ）25°【分析】（1 ）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；（2 ）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：（1 ）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，故答案为：垂直平分线，角平分线；（2 ）∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，∴．∵ 射线是的平分线，∴．【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．13、如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）知识点：课题学习最短路径问题【答案】见解析【分析】作出线段AB 的垂直平分线即可．【详解】解：如图所示，点即为所求．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图．14、如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，BE =AE，∴，∵∴∴又∵AC =5 ，∴ 在中，，解得：CE =3 ，又∵ 点F是的中点，∴，∴的周长=CF +CE +FE =．故答案为：8 ．【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．15、《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10 步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10 步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1 ）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2 ）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________ ，是的中点，（______________ ）（填推理的依据）．∵ 直线表示的方向为东西方向，∴ 直线表示的方向为南北方向．知识点：课题学习最短路径问题【答案】（1 ）图见详解；（2 ），等腰三角形的三线合一【分析】（1 ）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2 ）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1 ）如图所示：（2 ）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵ 直线表示的方向为东西方向，∴ 直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．16、如图，在中，，，的垂直平分线交与点，交于点，则的周长是__________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】13【解析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求解即可【详解】是的垂直平分线..的周长为:故答案:13.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的周长公式,熟练掌握垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题关键.17、如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60°C．55° D．45°知识点：课题学习最短路径问题【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【详解】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．18、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )A．20° B．30° C．45° D．60°知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．19、如图，在△ABC中，∠A=40º，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】30°．【解析】已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．故答案为：30°．20、如图，已知：在△ABC中，AD平分∠ BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E .求证：AB+AC=2AE .知识点：课题学习最短路径问题【答案】详见解析【分析】延长 AE到 M，使 ME=AE，连接 CM，求出 AC=CM，求出 DM=MC，即可得出答案．【详解】延长 AE到 M，使 ME=AE，连接 CM，则 AM=2AE，∵ CE ⊥ AE，∴ AC=CM，∴∠ M= ∠ CAD= ∠ DAB，∴ AB ∥ MC，∴∠ B= ∠ MCD，∵ AB=AD，∴∠ B= ∠ ADB，∵∠ ADB= ∠ MDC，∴∠ MCD= ∠ MDC，∴ MC=MD，∴ AM=2AE=AD+MD=AB+AC，即 AB+AC=2AE.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出 DE=EC，有一定的难度．。
(完整版)利用轴对称求最短距离
利用轴对称求最短距离一、问题引入：1、如下图，在直线异侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。
2、如下图，在直线同侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。
二、典型例题：（1）、以菱形为媒介的最短距离问题：如下图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点M是AB中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是多少？（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E 分析：根据“两点之间线段最短”，可知：连接AB，与直线的交点即为P点.此基本类型为：一线（直线）两定点（点A、B）。
分析：作点A关于直线的对称点A′，连接AA′，则直线就是线段AA′的垂直平分线，根据“垂直平分线上一点到线段两端点的距离相等”可得，直线上任一点到点A的距离都等于到点A′的距离。
事实上，这个问题就可以转化成：在直线异侧各有点A′、B,在直线上找一点p，使PA′+PB最小。
即：一线两定点的问题。
由（1）得，连接BA′，与直线的交点即为点P。
分析：由题意知：首先找点B或者点M关于AC所在直线的对称点。
由菱形的轴对称性不难发现：点D即是点B关于直线AC的对称点，则连接DM与线段AC的交点即为P点。
那么PM+PB的最小值实际上就是线段DM的长度分析：由题意知：首先找点D或者点E关于AC所在直线的对称点。
由正方在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为多少？（3）、以圆为媒介的最短距离问题：如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值（4）、以二次函数为媒介的最短距离：如下图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y 轴交与点C，对称轴上存在一点P，使△PBC周长最小，求P 点坐标。
三、巩固加深：（5）、以三角形为媒介的最短距离问题：如下图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°, ∠BAC的角平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC 的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。
初二数学最短距离练习题答案
初二数学最短距离练习题答案这里将提供初二数学最短距离练习题的详细解答和答案。
通过对这些练习题的解析，你将能够更好地理解最短距离的概念和计算方法。
一、选择题1. 以下哪个选项不属于计算两点间最短距离的实际应用？A. 航空导航B. GPS定位C. 地图测绘D. 时间计算正确答案：D解析：最短距离的计算主要应用于航空导航、GPS定位和地图测绘等领域，帮助确定点与点之间的最短路径或距离。
时间计算与最短距离的概念没有直接关联。
2. 在直角坐标系中，点A(3,4)和点B(-1,2)之间的最短距离是多少？A. 2B. 4C. 5D. 6正确答案：C解析：根据两点间距离公式，设两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则最短距离d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
代入A(3,4)和B(-1,2)的坐标，得到d = √[(3-(-1))² + (4-2)²] = √[16 + 4] = √20 = 2√5 ≈ 4.47，选C。
二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(5,1)之间的最短距离是_________。
答案：√10 或 3.16解析：带入最短距离公式，d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，得到d = √[(5-2)² + (1-3)²] = √[9 + 4] = √13 ≈ 3.16，故答案为√13 或 3.16。
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A(-2,4)和点B(3,1)之间的最短距离为______。
答案：√34 或 5.83解析：根据图中两点的坐标，应用最短距离公式，d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，计算可得d = √[(3-(-2))² + (1-4)²] = √[25 + 9] = √34 ≈ 5.83，故答案为√34 或 5.83。
初中数学人教版八年级上册轴对称最短路径问题专项练习(附参考答案)
八年级数学上册轴对称最短路径问题练习班级考号姓名总分1、如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点。
2、如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
3、在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小4、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？5、如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？6、( 实际应用题)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？附：参考答案1、2、先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC ＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC ＋BC＜AC′＋C′B3、如图所示：作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．4、(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1/2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．5、如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．连接BC与河岸的一边交于点N.过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN 为所建的桥的位置．6、作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．。
八上数学每日一练：作图﹣轴对称练习题及答案_2020年解答题版
八上数学每日一练：作图﹣轴对称练习题及答案_2020年解答题版答案解析答案解析2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_作图﹣轴对称练习题1.(2017上杭.八上期末) 如图，△ABC 中，点A （﹣2，1）、B （﹣3，4）C（﹣5，2）均在格点上．在所给直角坐标系中解答下列问题：将△ABC 平移得△A B C 使得点B 的对应点B 与原点O 重合，在所给直角坐标系中画出图形；在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A B C ， 并写出A 、B 、C 的坐标；在x 轴上找一点P ，使得△PAB 的周长最小，请直接写出点P 的坐标．考点： 作图﹣轴对称;轴对称的应用-最短距离问题;作图﹣平移;2.(2017鄱阳.八上期中) △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A ，B ，C 三点在格点上．①作出△ABC 关于x 轴对称的△A B C ， 并写出点C 的坐标；②作出△ABC 关于y 对称的△A B C ， 并写出点C 的坐标．考点： 作图﹣轴对称;3.(2016嵊州.八上期末) 在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是（﹣3，﹣1）．①将△ABC 沿y 轴正方向平移3个单位得到△A B C ， 画出△A B C ， 并写出点B 坐标；②画出△A B C 关于y 轴对称的△A B C ， 并写出点C 的坐标．111122222221111222211111111112222答案解析答案解析答案解析考点： 作图﹣轴对称;作图﹣平移;4.(2016仙游.八上期末) △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、B 、C 三点在格点上：（1）画出△ABC 关于x 轴对称的图形△A B C （2）若点M （a ，b ）是△ABC 内任意一点，则△A B C 中与点M 对应的点M的坐标为．考点： 作图﹣轴对称;5.(2016监利.八上期末) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣1，5），B （﹣2，0），C （﹣4，3）．（1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A'B′C′（其中A'、B′、C′分别是A 、B 、C 的对称点，不写画法）；（2）写出C′的坐标，并求△ABC 的面积；（3）在y 轴上找出点P 的位置，使线段PA+PB的最小．考点： 作图﹣轴对称;轴对称的应用-最短距离问题;2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_作图﹣轴对称练习题答案1.答案：111222211111112.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
初二数学最短距离练习题答案
初二数学最短距离练习题答案题目一：求点P(-2,3)到直线2x+3y=6的最短距离。
解答：首先，我们需要确定直线的斜率，才能利用最短距离公式进行求解。
将直线转化为一般式方程，得到2x+3y-6=0。
将其与标准式方程y=kx+b进行比较，可以得到斜率k=-2/3。
由于点到直线的最短距离，必然垂直于直线，且通过给定的点P(-2,3)。
因此，我们可以利用直线的斜率k，求出垂线的斜率k'，然后利用点斜式方程求解。
垂线的斜率k'为直线的斜率k的相反数的倒数，即k' = -1/k = 3/2。
根据点斜式方程y - y1 = k'(x - x1)，代入点P(-2,3)，可以得到方程y-3 = (3/2)(x+2)。
将方程2x+3y=6与垂线方程联立，解得交点为A(0,2)。
最短距离即为点P和直线上的点A之间的距离。
利用两点间距离公式，可以求得最短距离d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2] = √[(-2-0)^2 + (3-2)^2] = √[4+1] =√5。
因此，点P(-2,3)到直线2x+3y=6的最短距离为√5。
题目二：求点P(3,4)到直线y=-2x+5的最短距离。
解答：首先，我们同样需要确定直线的斜率，才能利用最短距离公式进行求解。
由直线方程y=-2x+5可得到斜率k = -2。
同样，点到直线的最短距离必然垂直于直线，且通过给定的点P(3,4)。
因此，我们可以利用直线的斜率k，求出垂线的斜率k'，然后利用点斜式方程求解。
垂线的斜率k'为直线的斜率k的相反数的倒数，即k' = -1/k = 1/2。
根据点斜式方程y - y1 = k'(x - x1)，代入点P(3,4)，可以得到方程y-4 = (1/2)(x-3)。
将方程y=-2x+5与垂线方程联立，解得交点为A(1,3)。
最短距离即为点P和直线上的点A之间的距离。
利用两点间距离公式，可以求得最短距离d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2] = √[(3-1)^2 + (4-3)^2] = √[4+1] = √5。
初二最短距离练习题及答案
初二最短距离练习题及答案（题目一）在一个以点代表图样的坐标系中，已知点A(2, 3)和点B(-4, 1)，求线段AB的长度。
（解答一）根据两点间的距离公式，假设点A的坐标为 (x1, y1)，点B的坐标为 (x2, y2)，则线段AB的长度可以计算为：AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]代入题目中的坐标值，可以得到：AB = √[(-4 - 2)^2 + (1 - 3)^2]= √[(-6)^2 + (-2)^2]= √[36 + 4]= √40= 2√10所以线段AB的长度为2√10。
（题目二）在一个以点代表图样的坐标系中，已知点C(3, -5)和点D(1, 2)，求线段CD的长度。
（解答二）同样使用两点间的距离公式计算线段CD的长度，代入题目中的坐标值可以得到：CD = √[(1 - 3)^2 + (2 - (-5))^2]= √[(-2)^2 + 7^2]= √[4 + 49]= √53所以线段CD的长度为√53。
（题目三）在一个以点代表图样的坐标系中，已知点E(-3, -1)和点F(5, -4)，求线段EF的长度。
（解答三）使用两点间的距离公式计算线段EF的长度，代入题目中的坐标值可以得到：EF = √[(5 - (-3))^2 + (-4 - (-1))^2]= √[(8)^2 + (-3)^2]= √[64 + 9]= √73所以线段EF的长度为√73。
（题目四）在一个以点代表图样的坐标系中，已知点G(-2, 4)和点H(-4, -3)，求线段GH的长度。
（解答四）使用两点间的距离公式计算线段GH的长度，代入题目中的坐标值可以得到：GH = √[(-4 - (-2))^2 + (-3 - 4)^2]= √[(-2)^2 + (-7)^2]= √[4 + 49]= √53所以线段GH的长度为√53。
总结：初二最短距离练习题的答案如下：1. 线段AB的长度为2√10。
八年级数学上册轴对称练习题附答案
八年级数学上册轴对称练习题附答案八年级数学上册轴对称练习题附答案在学习和工作中，我们都经常看到练习题的身影，做习题有助于提高我们分析问题和解决问题的能力。
什么样的习题才能有效帮助到我们呢？以下是店铺为大家收集的八年级数学上册轴对称练习题附答案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
八年级数学上册轴对称练习题附答案篇11.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )2.下列说法中错误的是( )A.成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B.关于某条直线对称的两个图形全等C.全等的三角形一定关于某条直线对称D.若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称能力提升5.我国的文字非常讲究对称美，分析图中的四个图案，图案( )有别于其余三个图案.6.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图是( )7.如图，把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量的存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是( )A.对应点连线与对称轴垂直B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分D.对应点连线互相平行(1)猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形?(2)这个图形有几条对称轴?(3)如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸?应如何折叠?10.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.参考答案1.A 点拨：只有A图能沿中间竖直的一条直线折叠，左右两边能够重合，故选A.2.C 点拨：虽然关于某条直线对称的两三角形全等，但全等的两三角形不一定关于某条直线对称，因而选C.3.10.5 点拨：先判定出D在AB的垂直平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再求出△BCD 的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解.4.6 点拨：由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE+BD-DE=12，①由△EDC的周长为24可知CE+CD+DE=24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE=CE，BD=CD，所以BE+BD+DE=24，②②-①，得2DE=12，所以DE=6.5.D 点拨：都是轴对称图形，但图案D有两条对称轴，其余三个图案都只有一条对称轴.6.D 点拨：解决此类问题的基本方法是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”，从所给的最后图形作轴对称，题目折叠几次，就作几次轴对称，沿两条对角线所在直线画对称轴，只有D适合，故选D.7.B 点拨：因为对称且平移，所以原有的性质已有变化，A，C，D都已不成立，只有B选项正确，故选B.8.解：∵点M是点P关于AO的对称点，∴AO垂直平分MP，∴EP=EM.同理PF=FN.∵MN=ME+EF+FN，∴MN=EP+EF+PF.∵△PEF的周长为15，∴MN=EP+EF+PF=15.9.解：(1)轴对称图形.(2)这个图形至少有3条对称轴.(3)取一张正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，得到一个多层的36°角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开即可得到一个至少含有5条对称轴的轴对称图形.10.证明：(1)∵AD∥BC(已知)，∴∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等).∵E是CD的中点(已知)，∴DE=EC(中点的定义).∵在△ADE与△FCE中，∴△ADE≌△FCE(ASA).∴FC=AD(全等三角形的性质).(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF(全等三角形的对应边相等).∴BE是线段AF的垂直平分线.∴AB=BF=BC+CF.∵AD=CF(已证)，∴AB=BC+AD(等量代换).八年级数学上册轴对称练习题附答案篇2一、填一填。
八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年综合题版
八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年综合题版答案解析答案解析2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_轴对称的应用-最短距离问题练习题1.(2019婺城.八上期末) 如图是由边长为1的小正方形组成的网格图．（1） 请在网格图中建立平面直角坐标系xOy，使点A 的坐标为，点B 的坐标为；（2） 若点C 的坐标为，关于y 轴对称三角形为，则点C 的对应点坐标为；（3） 已知点D 为y 轴上的动点，求 周长的最小值．考点： 坐标与图形性质;关于坐标轴对称的点的坐标特征;轴对称的应用-最短距离问题;2.(2019黄陂.八上期末) 在平面直角坐标系中，点A(a ，0)，B(0，b)，且a ，b 满足a －2ab ＋b ＋(b －4)＝0，点C 为线段AB 上一点，连接OC.（1） 直接写出a ＝，b ＝；（2） 如图1，P 为OC 上一点，连接PA ，PB.若PA ＝B0，∠BPC ＝30°.求点P 的纵坐标；（3） 如图2，在(2)的条件下，点M 是AB 上一动点，以OM 为边在OM 的右侧作等边△OMN ，连接CN.若OC ＝t ，求ON ＋CN 的最小值(结果用含t 的式子表示).考点： 非负数之和为0;坐标与图形性质;含30度角的直角三角形;轴对称的应用-最短距离问题;3.(2019南昌.八上期中) 如图，在平面直角坐标系中，222答案解析答案解析答案解析（1） 描出A （﹣4，3）、B （﹣1，0）、C （﹣2，3）三点．（2） △ABC 的面积是多少？（3） 作出△ABC 关于 y 轴的对称图形．（4） 请在x 轴上求作一点P ，使△PA C 的周长最小，并直接写出点P 的坐标考点： 作图﹣轴对称;轴对称的应用-最短距离问题;4.(2018宁城.八上期末) 如图所示，在直角坐标系xOy 中，△ABC 三点的坐标分别为A(－1，0)，B(－4，4)，C(0，3)．（1） 在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A B C ；写出B 的坐标为.（2） 填空：在图中，若B (－4，－4)与点B 关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时点C 关于这条直线的对称点C 的坐标为；（3） 在y 轴上确定一点P ，使△APB 的周长最小.(注：简要说明作法，保留作图痕迹，不求坐标)考点： 关于坐标轴对称的点的坐标特征;作图﹣轴对称;轴对称的应用-最短距离问题;5.(2018青岛.八上期末) 如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）⑴ 作出与△ABC 关于y 轴对称△A B C ， 并写出三个顶点的坐标为：A （________），B （________），C （________）；考点： 关于坐标轴对称的点的坐标特征;坐标与图形变化﹣对称;轴对称的应用-最短距离问题;2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_轴对称的应用-最短距离问题练习题答案1.答案：111111221111112.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年填空题版
考点： 轴对称的应用-最短距离问题;
答案解析
7. (2019宁波.八上期末) 如图，在锐角△ABC中，AB=5 D，AB上的动点，则BM+MN的最小值是________．
，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是A
考点： 轴对称的应用-最短距离问题;
答案解析
8.
(2019杭州.八上期末) 如图，已知直线 y=
八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年填空题
版
2020年 八 上 数 学 ： 图 形 的 变 换 _轴 对 称 变 换 _轴 对 称 的 应 用 -最 短 距 离 问 题 练 习 题
1. (2020东台.八上期中) 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上 的动点，则 PC+PD 的最小值为________
考点： 勾股定理;轴对称的应用-最短距离问题;
答案解析
2. (2020江苏.八上期中) 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点 F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为________.
考点： 等边三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题;
x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ， 线段 AB 为直角边在第一内作等
腰 Rt△ABC ， ∠BAC＝90º． 点 P 是 x 轴上的一个动点，设 P(x ， 0)．
（1） 当 x ＝时，PB＋PC 的值最小； （2） 当 x ＝时，|PB－PC|的值最大．
考点： 全等三角形的判定与性质;关于坐标轴对称的点的坐标特征;轴对称的应用-最短距离问题;
八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年单选题版
考点： 勾股定理;轴对称的应用-最短距离问题;
答案
~~第4题~~ (2020邳州.八上期末) 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP= O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点
A. B. C.6D.3
考点： 等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;轴对称的应用-最短距离问题;
考点： 轴对称的应用-最短距离问题;
答案
2020年 八 上 数 学 ： 图 形 的 变 换 _轴 对 称 变 换 _轴 对 称 的 应 用 -最 短 距 离 问 题 练 习 题 答 案
1.答 案 ： D 2.答 案 ： B 3.答 案 ： B 4.答 案 ： D 5.答 案 ： C 6.答 案 ： A 7.答 案 ： B 8.答 案 ： C 9.答 案 ： C 10.答 案 ： B
A..
B.
C.
D.
考点： 轴对称的应用-最短距离问题;
答案
~~第2题~~ (2020乌海.八上期末) 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和 射线OB上的动点，当△P抓周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A . 140° B . 100V C . 50° D . 40°
A . 90° B . 80° C . 70° D . 60°
考点： 轴对称的应用-最短距离问题;
答案
~~第10题~~
(2019射阳.八上期末) 如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M、N分别为 OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为( )
A.2B.4C. D.
八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年单选题
学初二数学轴对称-距离最短问题专练
轴对称—距离最短专题训练一、选择题1.如图,,内有一定点P,且在OA上有一点Q,OB上有一点若周长最小,则最小周长是( )A. 10B. 15C. 20D. 302.如图,四边形ABCD是矩形,P是CD边上的一点,若,,则的最小值为( )A.B.C.D.3.如图,,M,N分别是边OA,OB上的定点,P,Q分别是边OB,OA上的动点,记,,当最小时,则关于,的数量关系正确的是( )A. B. C.D.4.如图,已知线段,点M、N是线段AB上的两点,且,点P是线段MN上的动点,分别以线段AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC、正方形PBFE,点G、H分别是CD、EF的中点,点O是GH的中点,当P点从M点到N点运动过程中,的最小值是( )A. 10B. 12C.D.5.如图,在中,,,,D,E分别是AB,BC的中点,MN是线段CE上一条动线段,点M在点N上方且,的最小值是A.B.C. 13D. 146.如图,已知矩形ABCD,,,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则的最小值为( )A. 20B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.如图,中,,,,,BD平分,如果M、N分别为BD、BC上的动点,那么的最小值是_____________．8.如图,在边长为6的菱形ABCD中,,E为AB的中点,F是AC上的一动点,则的最小值为______．9.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的点,,F为AB的中点,P为AC上一个动点,则的最小值为_______ ．10.如图,在锐角中,,,的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则的最小值是______．11.如图,等边的周长为18cm,BD为AC边上的中线,动点P,Q分别在线段BC,BD上运动,连接CQ,PQ,当BP长为___________cm时,线段的和为最小．12.在正方形ABCD中,E在BC上,,,P是BD上的动点,则的最小值是______．13.如图,中,,,,P是内部的任意一点,连接PA,PB,PC,则的最小值为_____________．14.如图,,M,N分别是边OA,OB上的定点,P,Q分别是边OB,OA上的动点,记,,当最小时,则关于与满足的数量关系是____________．15.如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上,且,点P,Q分别是边BC,CD上的动点均不与顶点重合,则四边形AEPQ的周长的最小值是．16.如图,正方形ABCD与矩形EFGH在直线l的同侧,边AD,EH在直线l上,且,,保持正方形ABCD不动,将矩形EFGH沿直线l左右移动,连接BF,CG,则的最小值为_______cm．17.如图,在等边中,,P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点,则的最小值是．18.如图,矩形ABCD中,,,E为CD边的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且,当时,四边形APQE的周长最小．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）19.如图,在等边中,,的平分线交BC于点D,M为AB边中点,N是AD上的动点在图上作出使得的和最小时点N的位置,并说明理由．求出的最小值。
2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题03 轴对称应用—最短距离问题(解析版)
2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题03 轴对称应用—最短距离问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2020八上·喀喇沁旗期末）如图，ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC∠的度数是（）的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，ECPA．30︒B．45︒C．60︒D．90︒【答案】A【完整解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，故答案为：A ．【思路引导】连接BE ，与AD 交于点P ，此时PE+PC 最小，再利用等边三角形的性质得出∠PCB=∠PBC=30°，即可解决问题。
2．（2分）（2020八上·霍林郭勒期末）如图， 35AOB ∠=︒ ，C 为OB 上的定点，M ，N 分别为射线OA 、OB 上的动点．当 CM MN + 的值最小时， OCM ∠ 的度数为（ ）A ．35︒B ．20︒C ．45︒D ．55︒【答案】B【完整解答】解：如图：作点C 关于OA 的对称点E ，过点E 作EN ⊥OC 于点N ，交OA 于点M ，∴ME=MC ，∴CM+MN=EM+MN=EN ，根据垂线段最短，EN 最短，∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，∴∠EMF=∠OMN=55°，∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF -∠MCE=20°．故答案为：B ．【思路引导】作点C 关于OA 的对称点E ，过点E 作EN ⊥OC 于点N ，交OA 于点M ，此时CM+MN=EM+MN=EN ，最短，进而根据∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解。
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八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年解答题版
答案解析答案解析答案解析
2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_轴对称的应用-最短距离问题练习题
1.
(2019洛阳.八上期中) 如图，在等边△ABC 中，AB ＝4，角BAC 的平分线交BC 于点D
，M 为AB 边中点，N 是AD 上的动点.
①在图上作出使得BN+MN 的和最小时点N 的位置，并说明理由.
②求出BN+MN 的最小值.（提示：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有AC +BC ＝AB 成立）
考点： 等边三角形的性质;勾股定理;轴对称的应用-最短距离问题
;2.
(2018徐州.八上期末) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x 的图象为直线l ．
（1） 观察与探究
已知点A 与A′，点B 与B′分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出C （4，﹣1）关于线l 的对称点C′的位置，并写出C′的坐标
（2） 归纳与发现
观察以上三组对称点的坐标，你会发现：
平面直角坐标系中点P （a ，b ）关于直线l 的对称点P′的坐标为；
（3） 运用与拓展
已知两点M （﹣3，3）、N （﹣4，﹣1），试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到M 、N 两点的距离之和最小，并求出相应的最小值．
考点： 轴对称的应用-最短距离问题;3.
(2017海勃湾.八上期末) 如图，∠AOB 的内部有一点P ，在射线OA ，OB 边上各取一点P ， P ， 使得△
PP P 的周长最小，作出点P ， P ， 叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．
考点： 轴对称的应用-最短距离问题;222121212
答案解析答案解析4.
(2017上杭.八上期末) 如图，△ABC 中，点A （﹣2，1）、B （﹣3，4）C （﹣5，2）均在格点上．在所给直角坐标系
中解答下列问题：
将△ABC 平移得△A B C 使得点B 的对应点B 与原点O 重合，在所给直角坐标系中画出图形；在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A B C ， 并写出A 、B 、C 的坐标；在x 轴上找一点P ，使得△PAB 的周长最小，请直接写出点P 的坐标．
考点： 作图﹣轴对称;轴对称的应用-最短距离问题;作图﹣平移;5.
(2016通许.八上期末) 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置
M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
考点： 轴对称的应用-最短距离问题;2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_轴对称的应用-最短距离问题练习题答案
1.答案：
11112222222
2.答案：
3.答案：
4.答案：
5.答案：。