数学悖论论文

数学悖论论文

悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展意义不言而喻。从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的概念、特征以及对数学发展的影响也就非常必要。

数学是一门有趣的学问，严谨中包含着各种各样有趣的规律。从几条简简单单的公理出发，就可以推理出一整套的体系。可就是这门严密可靠的学科，却也有着像孩子一样顽皮的一面。这其中最好的体现，就是悖论的存在。

早在两千多年前的古希腊，人们就发现了让人难以解释的矛盾，用正确的方法去证明一个命题，如果认为这个命题成立，就会发现它的否定命题也成立。相反的，如果认为这个命题的否定命题成立，又会发现这个命题成立。这便使人们产生里难以解释的困惑。随着时光的流逝，越来越多这样的问题被人们发现，于是，悖论就诞生了。

1.1相对存在性

一方面，由于科学的无止境性，自相矛盾的系统将和科学理论体系永远并存，它从前有，现在有，将来仍然有，所以说，悖论是永远存在的。另一方面，悖论只是产生并存在于人类思维及其产物中，客观物质世界的本质及规律并不因为人类意识中的矛盾有丝毫改变。因此，悖论只与人的思维方式和理论有着密切的联系.

2．2悖论是一种特殊的逻辑矛盾

科学理论中的“逻辑矛盾”有层次之分。表层的是普通的逻辑矛盾，可以凭借实验、经验和思辨，在不触动科学理论“硬核”的情况下，清除矛盾并弥合它们对科学理论整体造成的缝隙；深层的是特殊的逻辑矛盾。这是在普通的逻辑矛盾被清理之后又显现出来的关涉科学理论体系核心假说可信与否的逻辑矛盾。这种矛盾常常危及科学理论的“硬核”。悖论就是这样一种特殊的逻辑矛盾。

2．3可解决性

人类思维应该没有悖论，应消除悖论。然而，由于现阶段人类思维与大自然的割裂性，人所构造的思维及其符号系统必然会有悖论，所以悖论研究应该是通过深入分析，找出人所构造的思维系统或符号系统的起始基点，明确其向另一方向解释的两重性和可能性，限定其有效性范围，制定对本系统的理解和使用规则，避免因误解、误用而引起的思维纷争。许多悖论都是由系统构造基点本身引起的，只有跳到系统外，从整体上去审视该系统的特点，才能解决，局限于系统内是难以解决的。在对人所构造的思维系统或符号系统基点研究的基础上，可以进一步研究系统或学科的扩展，或不同系统或学科的融通。这样，原来系统的基点就不再是基点，而成了更大的系统的子系统中的东西，从而，悖论也就在更大的系统中得到了解决.

2．4创新性

科学史实已经表明，在科学发展极为迅速的20世纪，凡是获得重大创新的领域都与悖论问题紧紧地联系在一起。数学基础领域的巨大成就与1900年前后发现的布拉里福蒂悖论、康托尔悖论、罗素悖论等一系列集合论悖论联系在一起，物理学领域的重大发展则与光速悖论密切相关，甚至在社会经济领域，从法国社会学家孔多塞等人发现的“投票悖论”，到肯尼斯·阿罗获得诺贝尔经济学奖，也都与悖论问题有着重要关联……悖论之于科学理论创新的作用已经得到充分彰显。因此，有意识地发现悖论，进而分析并解决悖论应当是我们从逻辑理性层面创新科学理论的一个重要维度。

悖论的“提出”是科学理论的发展和进步；悖论的解决更是一种科学理论的创新。通过悖论的消解而自我超越，往往使理论发生革命性的重大变革。

悖论的种类有很多很多，其中最著名的有如下几个：

1.罗素悖论

一天，萨维尔村的理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师哑口无言。

因为如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但招牌上说他不给这类人理发。但如果让别人理，他就是不给自己理发的人，他的头发应该有由自己理。无论如何推论，他的话总是自相矛盾的。

2．说谎者悖论

克里特岛哲学家爱皮梅尔特曾说：“所有克里特岛人都说谎。”

这句话有两种解释，假如他的话是对的，那么作为克里特岛人的爱皮梅尔特就是在说谎，他的话就是错的；但假如他的话是错的，那么克里特岛也有人不说谎，他的话就是对的。无论哪种种解释都无法自圆其说。

这个悖论可以被简化为“我正在说的这句话是谎话。”

3.强盗悖论

一个强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上准备杀掉。为了戏弄这个商人，强盗对他说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就放了你，如果错了，就杀掉你，绝不反悔。”聪明的商人便说，“你会杀掉我。”强盗便呆了。

因为强盗如果杀了他，他就是说对了，应该放了他。可如果放了他，他就是错的，应该被杀。强盗被自己的话给难住了。最终便放了这个聪明的商人。

4.芝诺悖论

阿基里斯是古希腊神话里跑的最快的人,但如果他前面有一只乌龟正在向前爬，那么他永远也追不上这只乌龟。

他的理由是这样的：他要追上乌龟必须要经过乌龟出发的地方A点,但当他追到这个地方的时候,乌龟又向前爬了一段距离,到了B点,他要追上乌龟又必须经过B点,但当他追到B

点的时候,乌龟又爬到了C 点......所以阿基里斯永远也追不上乌龟!

这些悖论都是由一些有名的哲学家或者是数学家提出的，其实智慧的中国人在很早的的时候也对于悖论这类问题有了一定的思考。

“飞鸟之景，未尝动也”“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”这些是中国名家惠施的命题，这便是典型的悖论的展示。为我们大家所熟知的矛与盾的故事也是一个很好的例子。

关于悖论曾经引起了许多学者们煞费苦心的研究，其中甚至还曾使一些数学的基础产生了动摇，爆发了“数学危机”。既然悖论本身就是一个巨大的矛盾，无论怎么想都不会有结果，那么研究它还有什么意义呢。

其实并不是这样的，就是因为有了这些悖论和难以解释的问题，数学家们努力地开始对各种各样的说法进行归纳整理，在探索中激发出了求知欲和严谨的思维。解决这些悖论难免需要创造性的思考，于是便产生了各种创新的思路。

悖论还反应出了数学这门学科并不是绝对的严谨，它的概念原理也是有很多矛盾之处的。凡事无绝对，正是有了悖论，让我们对这个世界多了一份怀疑。有了怀疑，我们才能在更多的领域获得更多发现。

数学悖论“特别是对中学生和大学生学好数学、逻辑学、物理学和语言学是有很大帮助的，他们可以从古今中外数学思想中、经验中获得激励自己的意志，启迪征集的智慧”。

数学悖论的教育意义或价值至少有以下几点：1)激发学生对数学的学习或研究兴趣；2)促使学生更好地了解某些重要的数学思想；3)开发丰富多彩的数学学习活动；4)帮助学生洞察数学问题(包括悖论)的解决过程；5)提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、甚至幽默性质的鉴赏力.