数学悖论论文
辽宁省沈阳市第四十五中学初中数学教学论文 浅谈数学悖论与数学史上三次著名的数学危机
浅谈数学悖论与数学史上三次著名的数学危机关键词：数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；集合论悖论Abstract: In the history of mathematic, the most famous three paradox "Pythagoras paradox ","Berkeley paradox ", “Set theory paradox”. paradox plays an enormous role in mathematics and development. In the history of mathematics also has appeared on three big mathematical crises .but every crisis occurs and paradox inseparable. This article is to the paradox of the mathematical history with three crisis is analyzed. The first mathematical crisis led to the birth of the axiom geometry and logic. The second mathematical crisis led to the theory of analysis of the establishment of the perfect and set theory .The third mathematical crisis led to the development of mathematical logic with a batch of modern mathematics production .the paradox for the development of mathematics is not a kind of disaster with despair, but lead people to explore the unknown guide. Paradox not only attractive, but also is the part of mathematics and the mathematics of the important and enduring support the thrust and promote prosperity and progress in maths,is the scientific development's powerful lever .with great methodological significance.Key words：Mathematical crisis ; Pythagoras paradox ; Berkeley paradox ; Set theory paradox前言提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。
关于悖论的论文 [悖论的形态论文(5篇可选)]
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《关于悖论的论文 [悖论的形态论文（5篇可选）]》摘要：对全能悖论中的“全能”到底是“偶发全能”和“本质全能”的不同理解，将引起讨论方式上的重大差异，为了避免悖论，把“直觉上的可构造性”作为数学“可靠性”的唯一标准，对古典数学绝对否定，造成了数学的支离破碎，并目作为悖论的解决方案，这个要求已经相当弱了，但即使这个目标也没有完全达到，所以，为解决数学基础中出现的悖论问题，形式主义采取了与逻辑主义和直觉主义不同的方法：他们企图构造一个无矛盾的，完备的，可判定的形式系统，数学的各个分支及所有证明全部形式化，使数学本身成为数学研究对象，以达到证明数学的一致性，从而避免了悖论，这就是著名的“希尔伯特规划”悖论是以一种什么形态来存在:首先是否存在，是要通过解析才能说明它的存在，因为它确实是有，并且能推动逻辑、数学等学科的发展;但是它是不存在，是因为它是我们思维构造出来的一种形式，它的形态是语言、是文字或是其他。
但是在客观世界中，确实是一种大家认为荒谬不存在的认知。
悖论是真实存在的。
首先质疑的不存在，是因为反应的事实不存在，如“白马非马”。
但是悖论的定义就是推出的结论似是而非。
推理本身并没有错，推理的过程也是合乎逻辑，只看重推理本身的有效，抛开结论的真假，有效的推理得出结论，当然是一个真实的存在。
如果只是认为结论的不真实性，不确定或是荒谬，从而认为整个悖论都不存在，是否定整个推理的过程。
我们本身就只是研究推理的有效而忽视结论，但是如果认为悖论不存在，那是从结论的有效来决定整个推理的有效，这是和逻辑研究、悖论研究的初衷相悖的。
(一)不能因为结论的真假来断定推理(悖论)的存在根据推理的定义可以知道:由已知的判断为前提，来推导出一个未知的结论的思维过程就是推理。
其作用就是要从己知的知识，来得出一个合乎逻辑的结论。
但是如果这个前提是错误的，那结论就可能是正确的、错误的或是不可确定的;如果是有意或无意以一个错误的前提去推出结论，那悖论也就存在了出现的条件。
数学悖论论文
数学悖论论文一、教学中的常见问题1、学习兴趣不足在当今中小学数学教学中，学习兴趣不足的问题日益突出。
这一问题主要表现在学生对数学学科缺乏热情，学习积极性不高，课堂参与度低等方面。
导致这一现象的原因有以下几点：（1）教学内容与实际生活脱节：许多数学教学内容未能紧密结合学生的生活实际，使得学生难以体会到数学学习的实用价值。
（2）教学方式单一：部分教师在教学过程中，过于依赖讲授法，忽视学生的主体地位，缺乏启发性和趣味性。
（3）评价体系不合理：过于强调考试成绩，忽视学生的个体差异，使得部分学生产生挫败感，进而对数学学习失去兴趣。
2、重结果记忆，轻思维发展在数学教学中，部分教师过于关注学生的成绩，导致教学过程中重视结果记忆，轻视思维发展。
这种现象表现在以下方面：（1）课堂教学中，教师过于强调公式、定理的背诵，忽视学生对知识形成过程的理解。
（2）课后作业和考试中，题目过于注重计算和解答，缺乏对思维能力的考查。
（3）学生为了应对考试，过于依赖题海战术，缺乏对数学知识体系的深入理解和思考。
3、对概念的理解不够深入在数学学习中，概念的理解是基础。
然而，在实际教学中，部分学生对概念的理解不够深入，主要表现在以下方面：（1）对概念的定义模糊：学生未能准确把握概念的内涵和外延，导致在解决问题时出现偏差。
（2）对概念之间的关系不清：学生在学习过程中，未能充分理解各个概念之间的联系，使得知识体系不够完善。
（3）缺乏对概念内涵的挖掘：学生在学习过程中，未能深入探讨概念的内涵，导致在解决实际问题时难以运用所学知识。
二、教学实践与思考1、梳理脉络，全面理解教材（1）从培养目标出发，理解课程核心素养的发展体系为了解决教学中存在的问题，教师应当首先从培养目标出发，深入理解课程核心素养的发展体系。
这意味着教师需要把握数学学科的核心素养，如逻辑推理、数学建模、直观想象等，并将这些素养融入到教学设计中。
具体做法包括：- 设计教学活动时，充分考虑核心素养的培养，将知识点与核心素养紧密结合，让学生在掌握知识的同时，提升综合能力。
浅谈悖论
浅学数学悖论
误打误撞我选到了趣味数学悖论这门选修课，从小就蛮喜欢数学，却不喜欢计算，喜欢几何和画图一类的，当然理论也不排斥，不过学了一点数学悖论发现其实还蛮有趣的，所以就谈谈我的一些想法。
什么是悖论？
笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。
悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。
由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。
如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。
数学悖论不仅存在于一些基础的重要的数学理论中，而且在我们身边、生活中不短缺。
数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平。
当我们学习了解了数学悖论更有利于开发丰富多彩的数学学习活动；有利于帮助我们洞察数学问题的解题过程；有利于我们辩证的、开
创性的、批判性的思维方式；有利于提高我们对现代数学所具有的美妙、多样，甚至幽默性质的鉴赏力。
从这个意义上说，没有悖论的数学学习是危险的，没有悖论思想的数学教学是苍白的。
数学家同时也是悖论大师。
悖论不是目的，以悖论为手段学会创新才是目标。
虽然我们学的只是浅显的一点知识，但是也不局限于数学这一门科，其他学科，还有生活之中也是有很多地方会用到。
相信以后会有机会学习更多的有趣的数学知识。
10医工
101031037
王奥娜。
关于数学悖论的探讨
关于数学悖论的探讨摘要：中西方哲学界和数学界对悖论问题的研究已经持续了长达几十年，这个问题牵涉到逻辑和哲学。
具体说来,它还同多种数理逻辑上的实际问题有关。
因此,，对于悖论的研究不仅有着哲学上的意义，对于数学逻辑的养成以及解决实际问题上也有着深远的意义。
许多悖论到如今依旧没有在这篇论文中我希望通过阐述几个世界上较为知名的悖论，并且通过自己的分析得出结论来谈一谈我对悖论的理解。
关键字：悖论罗素悖论说谎者悖论芝诺悖论逻辑正文：一．悖论的基本概念悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。
悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确。
悖论的成因极为复杂且深刻，但深入研究有助于数学、逻辑学、语义学、形而上学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。
其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托尔悖论等等。
悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。
在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。
二．悖论的主要形式悖论的主要形式有以下三种。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
三．悖论的分类悖论可大致分为三类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论。
时间悖论通常是指因时间旅行或穿梭时空而导致的逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。
逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统中含有一个悖论，因为这时A和A'在系统中是可证等价的。
统计悖论可追溯到18世纪，它是一个非传递关系的典型，这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的。
人们也许已经很熟悉传递关系的概念。
数学悖论浅析
浅谈数学悖论悖论是创新思维的一种体现。
悖论在整个数学发展史中，起到了着不可磨灭的作用，它的作用主要表现在检验，完善某一理论体系，推动了数学的发展，引发了三次数学危机。
在数学与人类文明课堂上，老师就通过阿基里斯追龟的悖论故事讲述了三次数学危机。
通过进一步的阅读，我得知第一次数学危机是“毕达哥托斯悖论”。
早在古希腊时期，著名哲学家和数学家毕达哥拉斯就提出了一切的现象均可表示为整数或整数之比的形式。
但与此同时，希帕索斯发现了一些直角三角形的斜边不能表示为整数或整数之比的情形，例如直角边长均为1的直角三角形就是如此.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条, 导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机，因而使得数学家们正式研究了无理数，给出了无理数的严格定理，引出了无理数和实数的概念，并建立了完整的实数理论。
第二次是“贝克莱悖论”。
贝克莱提出无穷小是否为零的问题，从而引出了极限理论——穷小是以零为极限但永远不为零的变量。
第三次是“罗素悖论”。
这一问题虽然促进了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生，但仍未能从根本上得到解决。
由此可见，数学悖论是指引我们前进的一盏明灯，数学史上的这三次危机不仅对整个数学的发展,而且对现代数学也起着非常重要的作用。
由于每次危机的提出都使数学家们有了新思想的产生，从而形成了数学理论的严谨性。
对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学在历史局限性上的认识，而解决数学悖论的过程则是发展和超越历史局限性的过程。
从数学历史上来看，数学悖论不仅仅只是趣味数学的一个分支，每一次悖论的发现都是与数学发展密切相关的，不仅仅推动了数学的发展，更推动了逻辑的演变。
数学悖论的定义是由很多种说法，而我的理解为：在表面上看起来能自圆其说的命题或理论体系，但在逻辑上可以推出互相矛盾的2个结论。
用更简单的说法就是：以一个被认为是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论，既为非B；反之，若以非B为前提，亦可推得B。
论文模板：数学悖论与三次数学危机
数学悖论与三次数学危机陈基耿摘要：数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。
历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。
数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。
危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。
悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1]。
数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。
数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。
本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。
1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。
他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比），除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。
毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3]，也就是我们所说的勾股定理。
勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a2=b2+c2，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
浅论数学悖论的积极意义
浅
论
数
学
悖
论
的
积
极
意
义
王新 爱
（ 州 四 中 ， 肃 兰 州 ７ ０ ５ ） 兰 甘 ３ ０ ０
摘 要 ： 学悖 论 是 指 在 当前 的 数 学 学科 理 论 体 系 下 由 数 些“ 确” 事实或“ 正 的 可接 受 ” 的约 定 出发 。 过 严 密 正 确 的 经 逻 辑推 理 得 到 的 矛 盾 的数 学 结论 。 既具 有 极 强 的 思 辨 品 格 ． 它 又 具有 浓 厚 的 幽 默 色彩 。 对基 础 数 学 的发 展 起 着 重要 的 作 用 。 本文 通 过 揭 示 数 学 悖 论 的认 识根 源 、 维特 色 ， 掘 出数 学悖 思 挖 论 的积 极 意 义 ． 而激 发 学 生 对 数 学探 索 的情 趣 。 进
一
、
论 ” 致 了数 学史 上 第 一 个 无 理 数 的 诞 生 ． 后 ． 多 数 学 家 导 之 许 正 式 研 究 了无 理 数 。 出 了无 理 数 的 严 格 定 义 ． 出 了一 个 含 给 提 有 有 理 数 和 无 理 数 的新 的数 类 — — 实 数 ，并 建 立 了完 整 的 实 数 理 论 。“ 帕 索 斯 悖 论 ” 消 除 是 通 过 否 定 产 生 这 一 矛 盾 的 希 的 前 提 “ 宙 的 一 切 现 象 都 能 归 结 为 整 数 或 整 数 之 比 ”而 完 成 宇 的 ， 使希腊人从依靠 直觉 、 验转 向依靠证 明 ． 仅 扩大 了 它 经 不 数 域 。 且 带 来 了公 理 化 方 法 数 学 学 科 向前 发展 。 二 是 “ 克 而 贝 莱 悖论 ” 第 二 次 数 学 危 机 的化 解 。在 十七 世 纪 ， 积 分 这 一 与 微 锐 利无 比 的数 学 工 具 被 牛 顿 、 布 尼 兹 各 自独 立 发现 ， 许 多 莱 许 多数 学 疑难 问题 便 迎 刃 而解 。 两人 的 理 论 都 建 立 在 无 穷 小 分 析 之上 ．但 他 们 对 作 为基 本 概 念 的 无 穷 小 量 的 理 解 与 运 用 却 是 混 乱 的 。 此 。 微 积 分 诞 生 时 就 遭 到 了一 些 学 者 的 反 对 与 因 从 攻 击 。 中 最 猛 烈 的是 英 国大 主教 贝 克 莱 。 一 问 题 的 提 出 在 其 这 当 时 的数 学 界 又 引 起 新 的 大辩 论 ， 由此 导致 了第 二 次 数 学 危 机 的产 生 。 后 经 过 达 朗贝 尔 、 西 、 拉 、 托 尔 等 数 学 家 历 此 柯 欧 康 经 １０ 年 的不 懈 努 力 ， 建 微 积 分 学 基 础 。 结 束 了数 学 中 ０多 重 才 暂 时 的混 乱 局 面 。 时也 宣 布 了 第 二 次 数 学 危 机 的 基 本 解 决 。 同 在 “ 克莱悖论 ” 除的过程 中． 学家不 是把 “ 穷小量 ” 贝 消 数 无 概 念 中所 蕴 含 的 朴 素 的 辩 证 法 因 素 连 同其 逻 辑 上 的混 乱 一 起 抛 掉． 而是 创 立 了 一种 更 加 自洽 、 为 严 密 的数 学 理 论 — — 极 限 更 理论作为微积分学的基础使微积分方法趋于完善 。 人信服。 令 三是“ 罗素 悖 论 ” 与第 三 次数 学 危 机 的 化 解 。 ９ ３ ， 个 震 惊 １０ 年 一 数 学 界 的 消 息 传 出 ： 合 论 是 有漏 洞 的 。 就 是英 国数 学 家 罗 集 这 素 提 出 的 著 名 的 罗 素 悖 论 。 这 一 悖 论 就 像 在 平 静 的数 学 水 面 上 投 下 了 一块 巨 石 ．而 它 所 引 起 的 巨 大 反 响 则 导 致 了第 三 次 数 学 危 机 。 １０ 年 。策 梅 罗 等 建 立 了 第 一 个 公 理 化 集 合 论 体 ９８ 系— — Ｚ 系 统 ．在 很 大 程 度 上 弥 补 了 康 托 尔 朴 素 集 合 论 的 缺 Ｆ 陷 。公 理 化集 合 系 统 的 建立 ，成 功 排 除 了 集 合 论 中出 现 的 悖 论 。 而 比较 圆 满地 解决 了第 三 次 数 学 危 机 。 从 此 外 ． 了 让 专 科 生 在 以 后 的 工 作 中增 强 数 学 的趣 味 性 ． 为 诸 如数 学 史 、 学美 学 等 数 学 文 化 课 的 开 设 也 是 必 要 的 。 方 数 一 面 ． 些 数 学 文 化课 的 开 设 可 以弥 补 专 业 课 开 设 过 少 的不 足 ， 这 从 而 开 阔专 科 生 的数 学 视 野 ，使 学 生 对 数 学 的 发 展 和 全 貌 有 个 比较 粗 略 的 了解 ．在 以后 的工 作 学 习 中 遇 到 问 题 时 不 至 于束 手 无 策 。 一 方 面 。 学美 学 中诸 如 孪 生 素 数 、 另 数 四生 素 数 、 完 美 数 、 文素 数 ． 回 以及 数 学 史 中著 名 数 学 家 的 小故 事 等 内 容 都 是 中小 学 生 所 喜 闻乐 见 的 ，在 学 习 的过 程 中适 当地 穿 插 这 些 趣 味 知 识 ， 可 以 活跃 课 堂 气 氛 ， 强 对 数 学 知识 的理 解 与 既 加 记忆 ． 又可 以激 发 中小 学 生 学 数 学 的兴 趣 ， 帮助 他 们 树 立 学 好 数学的信心。 总 之 。在 进 行 课 程 设 置 时 ．我 们 应 针 对 专 科 生 的实 际情 况 ， 够 用 为原 则 ， 全 面 提 高 专 科 生 的 数 学 专 业 素 养 出发 ， 以 从 使 专 科 生 毕 业 后 能 够 迅 速 完 成 从 学 生 到 教 师 的转 变 ，成 长 为 名 优 秀 的 人 民教 师 。
论数学悖论对数学发展的影响
《数学简史》论文—论数学悖论对数学发展的影响班级：11级农业水利工程姓名：张成强学号：2011095091摘要从悖论的产生背景和定义出发，得出数学悖论是由矛盾引起的。
数学悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。
因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
分析了数学悖论的历史和发展，得出数学悖论既引起了著名的三次数学危机，又推动数学的各个分支不断向前发展，并提出研究和解决悖论问题，不但可以丰富数学理论，还可以创造出新的科学观点，促进数学的研究和推动数学的发展。
可见数学中悖论的产生，不单是给数学带来危机和失望，也给数学的发展带来新的生机和希望。
从而说明数学悖论的出现，会引导人们向未知领域进行探索，促进数学的繁荣和发展，具有重要的历史意义。
关键字悖论；数学危机；矛盾；数学发展；意义论数学悖论对数学发展的影响悖论问题是一个古老而又常新的话题。
“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代。
但严格意义下的悖论是在19世纪末、20纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的。
当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论。
数学悖论也叫逆论或反论，他包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。
数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后逐步发展为对某些数学基础的动摇，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩。
历史上人们对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革。
可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。
所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
数学中有许多著名的悖论，如：说谎者悖论、芝诺悖论、康托尔悖论、罗素悖论等。
数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。
数学悖论
悖论的探索常识和科学都告诉我们：假如说一个论断是正确的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出错误的结论；同样，假如说某个论断是错误的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出正确的结论。
数学作为建筑在逻辑推理基础上的科学，总是严密的、可靠的。
像几何学，就是从几条公理出发，推演出一整套严密的科学体系，其中任何一条定律，在条件满足时总是正确的。
例如，平面上的两条直线，要么相交，要么平行。
这个论断是正确的，因为平面上不可能有两条既不平行也不相交的直线。
再如，不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，只有两个点就不行。
无论任何人都不可能在某种条件下，仅用两个点或者用任意三点就可决定一个平面。
但是，早在2 000多年前的古希腊，人们就发现了这样的矛盾:用公认的正确的推理方法，证明了这样两个“定理”，承认其中任何一个正确，都将推证出另一个是错误的。
甚至有这样的命题：如果承认它正确，就可以推出它是错误的；如果承认它不正确，又可以推出它是正确的。
到底哪个正确哪个错误，使人们难以判断。
这种情况看来十分荒唐，而事实上它是客观存在的。
这种现象科学家称为“悖论”。
“悖”就是相违背、谬误或混乱的意思。
千百年来，科学家一再发现这样的悖论。
今天，虽然数学家还不能合理地解释悖论，但正是在这种解释的努力中，数学家作出了一系列的发现，导致了大量新学科的建立，推动了数学科学的发展。
例如无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。
他在得到1 + x + x2 + x3 + ···= 1/(1- x)后，令 x = －1，得出S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。
数学悖论与三次数学危机
数学悖论与三次数学危机数学，作为一门精确的科学，自古以来一直受到人们的推崇和喜爱。
然而，数学也并非完美无缺，它也存在着一些悖论和危机，这些问题挑战着人们对数学的认知和理解。
本文将探讨数学悖论与三次数学危机，并着重讨论数学领域中的挑战和问题。
一、数学悖论1. 贝塞尔悖论：贝塞尔曲线在数学和科学领域中广泛应用，它是一种描述曲线形状的数学工具。
然而，贝塞尔悖论指出，贝塞尔曲线的某些性质与直觉相悖。
例如，当贝塞尔曲线被细分为越来越多的段落时，曲线并不会平滑地收敛到给定的目标形状。
这一悖论引发了对曲线近似和计算的许多挑战。
2. 伯克霍夫悖论：伯克霍夫悖论涉及到在无限次迭代的情况下，计算某些概率的困难性。
例如，如果我们有一枚硬币，每次抛掷，正面朝上的概率为1/2。
那么，如果我们连续无限次抛掷硬币，正面朝上的次数相对于总次数的比例又是多少呢？直觉上，这个比例应该是1/2，但根据伯克霍夫悖论，这个比例实际上是一个不确定的值。
3. 瑕疵统计：瑕疵统计是指在无限时间和空间中的某些分布，存在着某些奇怪的性质。
例如，考虑一个线段，我们可以通过在中间随机选择一个点，然后将剩余部分一分为二。
重复此过程，我们将得到一系列长度不断减小的线段。
然而，根据瑕疵统计，最终我们会得到一个长度为零的线段。
这种现象挑战着我们对无穷的理解。
二、三次数学危机1. 黑洞信息悖论：黑洞是宇宙中最神秘而又引人入胜的天体之一。
然而，根据黑洞信息悖论，当物质进入黑洞时，所有关于该物质的信息都将永久性地丢失。
这一结果与量子力学的基本原理相矛盾，其中信息是不可破坏的。
黑洞信息悖论挑战了我们对信息保存和宇宙进化的理解。
2. 艾伦-克拉曼恩悖论：在数学中，一个凯莱集合是指具有类似于实数线的长度，但没有定义的集合。
这种存在令人惊讶，因为对于实数而言，我们可以精确地描述和测量其长度。
然而，艾伦-克拉曼恩悖论指出，某些特殊的凯莱集合存在于一个叫做超计算的理论计算机中。
数学悖论--文献综述
本科毕业论文文献综述题目数学中悖论问题的研究系别********专业********班级****************姓名*************学号***********************一、前言本次论文是为了让我们更清楚地理解数学的神奇有趣，为我们开拓眼界。
让我们在本论文的引导下畅游在快乐的数学世界，与数学成为朋友。
数学广泛应用在各科和生活中，时代的发展使得思维方式深刻的变化。
也给传统的机械，死板的思维方式带来了挑战。
随着我们学习的迅速深入，思维方式的改变将迫在眉睫，数学的更抽象化，以及灵活性的加深，并逐步挑战着我们的思维。
数学的扩展，以及悖论的研究是深入学习化学，物理、生物、地理的基础，是提高逻辑能力，提高严密推理的必要手段。
二、正文（一）悖论问题的相关理解百度百科中有提到“悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。
在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。
悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
当然非B也是一个悖论。
我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题。
”其中还提到“悖论(paradox)来自希腊语‘para+dokein’，意思是‘多想一想’。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
”（二）悖论问题的类型张红主编的《数学简史》中有介绍到芝诺著名的四个悖论。
自然辩证法论文-数学悖论促进数学的发展
自然辩证法课程论文数学悖论促进数学的发展XX XXXXXXXXXXXX华中科技大学2010-11-18摘要发现悖论、悖论的解决能促进科学的发展。
数学中的悖论对数学的影响是巨大的，由数学中的悖论直接导致了三次数学危机，以及悖论解决后数学的跨越式发展。
“芝诺悖论”的解决使人们认识到了无理数的存在，“微积分悖论”的解决使得微积分理论获得了坚定的理论基础。
关键词：数学悖论数学的发展“芝诺悖论”“微积分悖论”数学悖论促进数学的发展悖论被大哲学家康德称为“人类理智最奇特的现象”。
悖论是什么？从广义上，凡似是而非或似非而是的论点都叫做悖论。
狭义的悖论是由以下三点定义的：一，悖论是相对于一定的背景知识而言的；二，推导过程合乎逻辑；三，推导后可得到两个相互矛盾命题的等价式。
对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”，简单的斥之为“荒谬”。
因为一个一个理论之所以被认为包含悖论，不是由于它明显的暴露了错误，而是在于看起来它没有问题的，然而却在其中包含了悖论。
悖论的实质是客观事物的辩证性同主观思维的形而上学性以及方法的形式化特性之间矛盾的一种集中反映。
悖论分为两类，第一类：有关前提中包含有直接错误的悖论;第二类：前提中并不包含悖论，或看上去没有问题的悖论。
对于第一类悖论，其积极意义是不言而喻的，通过被悖论引出的逻辑矛盾，有助于揭露推理前提中隐含的错误，检查推理过程中的漏洞，这对于增强思维的严谨性，推动人们的认识的不断发展，无疑是有利的。
对于第二类悖论，其对科学发展的意义就更大了。
悖论对数学发展的影响是深刻的的、巨大的。
“芝诺悖论”引发的第一次数学危机，其促进了数学的严谨性，并促使公理化方法逐步成为希腊数学发展的途径。
2悖论，使得人们把眼光从有理数开拓到了无理数，有力的促进了数学的发展。
“微积分悖论”，即无穷小悖论引发了第二次数学危机，危机的克服、悖论的消除，使得微积分理论获得坚实的理论基础，并且导致了集合论的产生。
康托悖论，即最大基数悖论，该悖论的分析解决，形成了今天大家所熟知的ZF系统。
罗素1+1=2论文
罗素1+1=2论文(1)罗素认为一切事情都需要证明,他和怀海德合写了一本书《数学原理》试图证明1+1=2。
我们还是从康德谈起,康德在《纯粹理性批判》中认为,数学和自然科学的知识,都属于“先天综合判断”。
这种“先天综合判断”是一种客观存在,无需证明,需要探求的仅仅在于:先天综合判断是如何可能的。
而在罗素看来,我们必须先证明确实存在“先天综合判断”,然后才能论证先天综合判断如何可能。
如果根本就不存在先天综合判断,而奢谈先天综合判断,就属于“文不对题”。
所以罗素在他的《西方哲学史》中对康德的评价很糟糕:“伊曼怒尔·康德,一般认为是近代哲学家当中最伟大的。
我个人不能同意这种评价,但是若不承认他非常重要,也可说是愚蠢无知。
”(我认为这本书得的是诺贝尔文学奖,算不上严肃的哲学著作。
)于是罗素开始了他的“先天综合判断”证明之路,《数学原理》就是罗素的尝试,他试图用逻辑来证明1+1=2。
罗素写作过程中自己发现了“罗素悖论”,简单地说就是理发师不能自己给自己理发,而用哲学语言说就是逻辑本身不能用逻辑来证明。
对于这一点,罗素的学生维特根斯坦显然比罗素研究得透彻,这位公认的逻辑大师最后说的居然是:凡不可说的,应当保持沉默。
知乎网友告诉我,现代数学创造了“集合论”来证明1+1=2。
那集合论本身也需要证明,因果是可以无限上溯的,而最终的原因是在因果之外的,人类无法理解的。
因果是无法证明的,而人类与因果的关系其实是相信。
人类无法证明公理,人类只能相信公理。
这就是“信仰”了。
(2)罗素创造了“罗素的茶壶”,指出了现代基督教的错误。
沿着上文罗素的思路,上帝必须能被证明确实存在,然后才能相信。
而罗素也提出了著名的“罗素茶壶”来指出教会对神的理解的错误。
而人们更加进一步创造了“飞天面教”来指出现代基督教的荒谬之处,而正统的教会居然无法打败它。
宗教的荒谬在哪里?我们看看哲学家对于宗教的批判:自然神论哲学家爱德华-赫伯特对于宗教的认识是这样的,他认为以下五个观念构成了宗教的基础:1)有一个最高的神2)我们应当崇拜他3)敬神的最好形式是正当的道德行为4)我们应该为我们不道德的行为而怀悔5)来世我们将因此生的作为而受赏或受罚。
当数学体系遇上悖论
中天讲堂当数学体系遇上悖论有人对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”听到这样的话，你也许会震惊：谁会有这么狂妄的口气？其实，说这句话的不是别人，正是数学发展史上的“捣蛋鬼”———悖论！悖论的产生，使人们对数学的可靠性产生了怀疑，导致了数学发展史上三次严重的危机。
现在开始，爱上数学———在人们眼里，数学是一门严格、和谐、精确的学科，但是纵观数学史，它的发展却不完全是直线前进式的。
由于数学悖论的出现，数学体系曾显露出不严谨的一面，数学的理论也遭到过各种怀疑。
那么悖论到底是怎样的一个角色呢？简单地说，悖论是这样一种命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，可以推出它为真。
悖论貌似合理，却自相矛盾。
我们知道，严格性是数学的主要特点之一，因此数学中出现悖论，会使人们对数学的可靠性产生怀疑，导致对数学认识的危机感。
按照西方的说法，迄今为止，由悖论导致的“数学危机”，在数学发展史上出现过三次。
4希帕索斯悖论与第一次数学危机公元前6世纪，在古希腊学术界占统治地位的是毕达哥拉斯学派，他们倡导的是一种被称为“唯数论”的哲学观点，认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数）。
然而，毕达哥拉斯学派的学生希帕索斯发现这个论断存在问题。
希帕索斯提出了这样一个问题：边长为1的正方形，其对角线长度是多少？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，这在当时的数学界掀起了一场巨大的风波，直接动摇了人们对毕达哥拉斯学派的信仰。
实际上，这一发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对当时所有古希腊人的观念更是一个极大的冲击。
面对这一“荒谬”的问题，人们竟然毫无办法，当时的数学界思想极度混乱，史称“第一次数学危机”。
第一次数学危机的影响是巨大的，它推动了数学及其相关学科的发展。
首先，人们开始认识到，除了整数和分数外，还有其他的数存在。
在许多数学家的研究及努力下，无理数诞生了，并且被给予了严格的定义。
同时，数学家们提出了一个包含有理数和无理数的新数类———实数，建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。
大学数学史考试论文--悖论
悖论一、什么是数学悖论悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。
笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。
悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。
悖论的成因极为复杂且深刻，常见的悖论的三种形式：１、命题表面上看是不可能的,或者是自相矛盾的,然而它们却是真的，如根据康托的理论,奇数的数目与自然数的数目一样多。
２、当一个论证看上去似乎是完全可靠的,然而却得到一个荒谬的结论，如芝诺悖论。
３、根据似乎完全可靠的推理能够证明某种东西必定为真而且也能够证明它必定为假，这也就是通常所说的二律背反。
（注：在康德的哲学概念中，二律悖反指对同一个对象或问题所形成的两种理论或学说虽然各自成立但却相互矛盾的现象）。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。
按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
说到这里，我们不得不谈谈数学史中最著名的三个悖论，它们分别引起了数学史上的三次危机。
二、数学史中的著名悖论与三大危机希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。
浅论数学悖论的积极意义
论”导致了数学史上第一个无理数的诞生．之后．许多数学家 正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义．提出了一个含
有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实
数理论。“希帕索斯悖论”的消除是通过否定产生这一矛盾的 前提“宇宙的一切现象都能归结为整数或整数之比”而完成 的，它使希腊人从依靠直觉、经验转向依靠证明．不仅扩大了 数域，而且带来了公理化方法数学学科向前发展。二是“贝克 莱悖论”与第二次数学危机的化解。在十七世纪．微积分这一 锐利无比的数学工具被牛顿、莱布尼兹各自独立发现．许许多 多数学疑难问题便迎刃而解。两人的理论都建立在无穷小分 析之上．但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却 是混乱的。因此，从微积分诞生时就遭到了一些学者的反对与 攻击，其中最猛烈的是英国大主教贝克莱。这一问题的提出在 当时的数学界又引起新的大辩论．由此导致了第二次数学危 机的产生。此后经过达朗贝尔、柯西、欧拉、康托尔等数学家历 经１００多年的不懈努力．重建微积分学基础。才结束ｒ数学中 暂时的混乱局面。同时也宣布了第二次数学危机的基本解决。 在“贝克莱悖论”消除的过程中．数学家不是把“无穷小量”概 念中所蕴含的朴素的辩证法因素连同其逻辑卜的混乱一起抛
二、数学悖论的思维特色
通过以上数学史中著名的三个数学悖论，以及其它数学 悖论的研究和学习。我们对数学悖论的思维特色有以下三点 认识。 首先，悖论是人们对客观事物的认识。希帕索斯悖论来源 于对直角三角形的认识：贝克莱悖论是人们对有限和无限、存 在和非存在两种对立概念认识的深化；罗素悖论是人们对集 合集合内部矛盾的认识。闪此，悖论决不是脱离客观实际的凭 空想象．也不足客观事物的规律性在人脑中简单地移植，而是 由主客体多次反复作用．认识达到高一级阶段主客体作用的 结果。当人们试图以原有的理论和方法及逻辑去解释一些新 的现象和规律时．就产生了认识和客体之间的冲突，反映到人 的主观思维Ｌ．打乱了ｌ一的思维层次，而新的思维不能同原有 的知识合乎逻辑地联系起来，这样就产生了悖论。 其次，悖论常产生于某一学科新旧理论的结合部，反映了 人们的思维从两个对立范围向辩证统一过渡。这无疑是思维 方法的进步和飞跃。人们的思维也从抽象统一向具体统一升 华．不再把有限和无限，存在和非存在看成非此即彼的两个对 立概念。而用极限理论完成了有限到无限的跨越，用无穷小量 完成了存在到非存在的跨越．从而使它们辩证地统一起来。进 而上升为辩证的思维方式。 再次，悖论是新颖独到、创造性的思维活动，它既没有有 效的方法和确定的规则可以直接利用．又没有人类以总结的 科学理论为依据，湿示了思维的智力品质的独创性。同时，我 们还看到悖论形成的思维过程，不是循规蹈矩、人云亦云，而 是独立思考．对旧的思维过程的批判和自我认识，显示了思维 活动的批判性。 三、数学悖论在数学教学中的教育意义 数学悖论不仅存在于一些基础的重要的数学理论中，而 且在我们身边、生活中不短缺。教师如果能够结合学校数学课 程，把我们在生活巾她到的数学悖论加以合理地处理，它们就 可以成为数学课堂教学中的“本原性问题”。下面举两个例子 予以说明。 例ｌ：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门 中选择一扇。其中一扇后面有一辆车。其余两扇后面则是山 羊。你选择了一扇ｆ】，假设是ｌ号门，然后知道门后面有什么的 主持人开启了另一扇后面有山羊的门．假设是３号门。然后他 问你：“你想选择２号门吗？”那么．改变你的选择对你来说是一 种优势吗？ 这个问题源自美国电视娱乐节目“让我们做个交易” （Ｌｅｔ’ｓ Ｍａｋｅ ａ Ｄｅａｌ）．后来被冠以节目主持人的名字“蒙提・霍 尔悖论”。莎凡是吉尼斯世界纪录中智商最高的人，她对这一 问题的解答是应该换．因为换了之后有２／３的概率赢得汽车。 不换的话概率只有１／３。她的这一解答引来了大量读者信件， 认为这个答案太荒唐了。有人说，如果这个解答代表了美国人 的智力，那美国就没希望了。因为直觉告诉人们，既然参赛者 是从鼍扇门巾任选一扇，那么选中汽车的概率就是１／３，换另 一扇门的话概率仍然是１／３。实际上，从数学上说，莎凡是对
论文悖论
北方民族大学学士学位论文论文题目:数学悖论问题对数学发展的推动及影响院(部)名称:数学与信息科学学院学生姓名:专业:数学与应用数学学号:指导教师姓名:论文提交时间: 4月20日论文答辩时间:（不填）学位授予时间:（不填）北方民族大学教务处制数学悖论问题对数学发展的推动及影响摘要：数学悖论是数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。
这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。
也为了能够很好的解决一些数学问题，使初学者产生一定的兴趣，给数学打下坚实的基础。
主要通过对数学分析的发展与回顾，以及数学史上几次重大的数学危机的出现和解决来研究数学悖论对于数学史的推动及发展。
通过研究数学分析的起源、发展和广泛运用以及数学悖论的起源和发展来分析数学分析中遇到的主要数学悖论，如何解决数学分析中遇到的数学悖论。
数学悖论在数学、哲学、逻辑学等学科中广泛运用，并且对数学史的发展有极大的推动作用。
关键字：数学悖论，数学分析。
mathematical paradoxto push and development of mathematicsAbstractMathematical paradox is a logical foundation of mathematics developing endanger the whole theoretical system of fundamental contradictions mathematical paradox is a logical foundation of mathematics developing endanger the whole theoretical system contradiction.This fundamental contradiction can show a certain stage of development the limitations of mathematical system based on logic.Encourage people to overcome this limitation, prompting mathematical development.In order to be able to very good solve some math problems, also help beginners have a certain interest, to lay a solid foundation for mathematics.Mainly through the development of mathematical analysis and review of several major mathematical crisis and the history of mathematics and solvemathematical paradox for the drive of the history of mathematics is to research and development.Through the study of the origin, development and mathematical analysis is widely used and the analysis of the origin and development of mathematical paradox to mathematical analysis of main mathematical paradox, how to solve the mathematical analysis of mathematical paradox.Mathematical paradox in mathematics, philosophy, logic and other discipline is widely used, and has great role to the development of history of mathematics.Key Words:mathematical paradox,mathematical analysis.绪论悖论在理科学，逻辑学，哲学中都有运用，在数学领域更是一次又一次的引起广泛关注，大批的数学家投身到数学悖论的研究中，检验并完善了某一理论体系，加固了理论的严谨性。
第二次数学危机论文
第二次数学危机论文篇一同学们刚开始学习导数的时候想必对这个问题感到困惑过：无穷小量究竟是不是零比如求f(某)=某2的导数，先取一个不为0的某的增量某(某无穷小)，则f(某)=■=■=2某+某;然后令某=0，求得导数f(某)=2某。
既然之前能够作为除数，说明某0;但最后又令某=0，那某究竟是什么呢17世纪，牛顿和莱布尼兹在同一时期各自独立创立了微积分，微积分成为了重要的数学工具。
但他们的理论都是不严格的，对作为基本概念的无穷小量的理解与运用是混乱的，始终无法就无穷小量是不是零作出明确回答。
因此微积分从诞生起就遭到了一些学者的反对与攻击，例如法国著名数学家罗尔曾说：微积分是巧妙的谬论的汇集。
其中攻击得最猛烈的是贝克莱。
贝克莱是18世纪的英国哲学家，著名哲学命题存在即是被感知就是他提出的。
1734年，他署名渺小的哲学家出版了一本小册子――《分析学家，或致一位不信神的数学家》。
在这本小册子中，他指责牛顿的微积分理论是依靠双重错误得到了不科学却正确的结果。
因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿是零，一会儿又不是零，于是贝克莱嘲笑无穷小量是已死量的幽灵。
这就是数学史上喧嚣一时的贝克莱悖论。
由于这一悖论揭示出了早期微积分基础中一直回避的逻辑丑闻，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机。
针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决问题，但都没有获得成功。
直到19世纪20年代，法国数学家柯西在这个问题上迈出了第一大步。
他在1821年出版的《代数分析教程》中从变量出发，抓住极限的概念，指出无穷小量不是固定的量而是以零为极限的变量，给出了关于无穷小量的比较明确的定义。
不过，由于当时严格的实数理论尚未建立起来，所以柯西的极限理论也还是不完善的。
19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人建立了实数理论，并在此基础上建立了严谨的极限理论。
由此，沿着柯西开辟的道路，众多数学家一同完成了微积分理论的逻辑奠基。
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数学悖论论文
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展意义不言而喻。
从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。
因而研究悖论的概念、特征以及对数学发展的影响也就非常必要。
数学是一门有趣的学问，严谨中包含着各种各样有趣的规律。
从几条简简单单的公理出发，就可以推理出一整套的体系。
可就是这门严密可靠的学科，却也有着像孩子一样顽皮的一面。
这其中最好的体现，就是悖论的存在。
早在两千多年前的古希腊，人们就发现了让人难以解释的矛盾，用正确的方法去证明一个命题，如果认为这个命题成立，就会发现它的否定命题也成立。
相反的，如果认为这个命题的否定命题成立，又会发现这个命题成立。
这便使人们产生里难以解释的困惑。
随着时光的流逝，越来越多这样的问题被人们发现，于是，悖论就诞生了。
1.1相对存在性
一方面，由于科学的无止境性，自相矛盾的系统将和科学理论体系永远并存，它从前有，现在有，将来仍然有，所以说，悖论是永远存在的。
另一方面，悖论只是产生并存在于人类思维及其产物中，客观物质世界的本质及规律并不因为人类意识中的矛盾有丝毫改变。
因此，悖论只与人的思维方式和理论有着密切的联系.
2．2悖论是一种特殊的逻辑矛盾
科学理论中的“逻辑矛盾”有层次之分。
表层的是普通的逻辑矛盾，可以凭借实验、经验和思辨，在不触动科学理论“硬核”的情况下，清除矛盾并弥合它们对科学理论整体造成的缝隙；深层的是特殊的逻辑矛盾。
这是在普通的逻辑矛盾被清理之后又显现出来的关涉科学理论体系核心假说可信与否的逻辑矛盾。
这种矛盾常常危及科学理论的“硬核”。
悖论就是这样一种特殊的逻辑矛盾。
2．3可解决性
人类思维应该没有悖论，应消除悖论。
然而，由于现阶段人类思维与大自然的割裂性，人所构造的思维及其符号系统必然会有悖论，所以悖论研究应该是通过深入分析，找出人所构造的思维系统或符号系统的起始基点，明确其向另一方向解释的两重性和可能性，限定其有效性范围，制定对本系统的理解和使用规则，避免因误解、误用而引起的思维纷争。
许多悖论都是由系统构造基点本身引起的，只有跳到系统外，从整体上去审视该系统的特点，才能解决，局限于系统内是难以解决的。
在对人所构造的思维系统或符号系统基点研究的基础上，可以进一步研究系统或学科的扩展，或不同系统或学科的融通。
这样，原来系统的基点就不再是基点，而成了更大的系统的子系统中的东西，从而，悖论也就在更大的系统中得到了解决.
2．4创新性
科学史实已经表明，在科学发展极为迅速的20世纪，凡是获得重大创新的领域都与悖论问题紧紧地联系在一起。
数学基础领域的巨大成就与1900年前后发现的布拉里福蒂悖论、康托尔悖论、罗素悖论等一系列集合论悖论联系在一起，物理学领域的重大发展则与光速悖论密切相关，甚至在社会经济领域，从法国社会学家孔多塞等人发现的“投票悖论”，到肯尼斯·阿罗获得诺贝尔经济学奖，也都与悖论问题有着重要关联……悖论之于科学理论创新的作用已经得到充分彰显。
因此，有意识地发现悖论，进而分析并解决悖论应当是我们从逻辑理性层面创新科学理论的一个重要维度。
悖论的“提出”是科学理论的发展和进步；悖论的解决更是一种科学理论的创新。
通过悖论的消解而自我超越，往往使理论发生革命性的重大变革。
悖论的种类有很多很多，其中最著名的有如下几个：
1.罗素悖论
一天，萨维尔村的理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。
”于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师哑口无言。
因为如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。
但招牌上说他不给这类人理发。
但如果让别人理，他就是不给自己理发的人，他的头发应该有由自己理。
无论如何推论，他的话总是自相矛盾的。
2．说谎者悖论
克里特岛哲学家爱皮梅尔特曾说：“所有克里特岛人都说谎。
”
这句话有两种解释，假如他的话是对的，那么作为克里特岛人的爱皮梅尔特就是在说谎，他的话就是错的；但假如他的话是错的，那么克里特岛也有人不说谎，他的话就是对的。
无论哪种种解释都无法自圆其说。
这个悖论可以被简化为“我正在说的这句话是谎话。
”
3.强盗悖论
一个强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上准备杀掉。
为了戏弄这个商人，强盗对他说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就放了你，如果错了，就杀掉你，绝不反悔。
”聪明的商人便说，“你会杀掉我。
”强盗便呆了。
因为强盗如果杀了他，他就是说对了，应该放了他。
可如果放了他，他就是错的，应该被杀。
强盗被自己的话给难住了。
最终便放了这个聪明的商人。
4.芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话里跑的最快的人,但如果他前面有一只乌龟正在向前爬，那么他永远也追不上这只乌龟。
他的理由是这样的：他要追上乌龟必须要经过乌龟出发的地方A点,但当他追到这个地方的时候,乌龟又向前爬了一段距离,到了B点,他要追上乌龟又必须经过B点,但当他追到B
点的时候,乌龟又爬到了C 点......所以阿基里斯永远也追不上乌龟!
这些悖论都是由一些有名的哲学家或者是数学家提出的，其实智慧的中国人在很早的的时候也对于悖论这类问题有了一定的思考。
“飞鸟之景，未尝动也”“一尺之捶，日取其半，万世不竭。
”这些是中国名家惠施的命题，这便是典型的悖论的展示。
为我们大家所熟知的矛与盾的故事也是一个很好的例子。
关于悖论曾经引起了许多学者们煞费苦心的研究，其中甚至还曾使一些数学的基础产生了动摇，爆发了“数学危机”。
既然悖论本身就是一个巨大的矛盾，无论怎么想都不会有结果，那么研究它还有什么意义呢。
其实并不是这样的，就是因为有了这些悖论和难以解释的问题，数学家们努力地开始对各种各样的说法进行归纳整理，在探索中激发出了求知欲和严谨的思维。
解决这些悖论难免需要创造性的思考，于是便产生了各种创新的思路。
悖论还反应出了数学这门学科并不是绝对的严谨，它的概念原理也是有很多矛盾之处的。
凡事无绝对，正是有了悖论，让我们对这个世界多了一份怀疑。
有了怀疑，我们才能在更多的领域获得更多发现。
数学悖论“特别是对中学生和大学生学好数学、逻辑学、物理学和语言学是有很大帮助的，他们可以从古今中外数学思想中、经验中获得激励自己的意志，启迪征集的智慧”。
数学悖论的教育意义或价值至少有以下几点：1)激发学生对数学的学习或研究兴趣；2)促使学生更好地了解某些重要的数学思想；3)开发丰富多彩的数学学习活动；4)帮助学生洞察数学问题(包括悖论)的解决过程；5)提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、甚至幽默性质的鉴赏力.。