1.1.2弧度制 (1)
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(最终讲解)1.1.2弧度制(1)
180 1 rad 57.30 57 18
1
180
rad 0.01745 rad
180 rad
精确值
近似值
180 1 rad 57.30 57 18
例1、按照下列要求,把67030'化成弧度. (1)精确值; (2)精确到0.001的近似值.
所有与角 终边相同的角，连同角 在内， 可构成一个集合
S = = +k 360 , k Z
即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和。
1、什么叫角度制 ？
用度作单位来度量角的单位制叫做角度 制。单位为“度”（即“ º ”）。
2、1º 的角是怎样规定的？
135 (1)因为 67 30 解： ， 2
所以
135 3 67 30 rad rad. 180 2 8
(2)由于 1 所以
180
rad 0.01745 rad ，
67 30 67.5 67.5 0.01745 rad 1.178 rad.
三、弧度与角度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但 数量相同（都是0）；用角度制和弧度制来度量任一 非零角，单位不同，数量也不同。 因为周角的弧度数是 2 ，而在角度制下的度数 是 360 。所以有：
360 2 rad 180 rad 1 rad 0.01745 rad 180
例2、把3.14rad换算成角度(用度数表示,精确 到0.001).
解： 因为
180 180 1 rad 57.2956 , 3.1416 所以
1.1.2弧度制(1)
B r o A r o A
y
弧度 角度 弧度 角度 弧度 反思： ① 1 rad 等于 度； 1° 等于 弧度. ② 角的概念推广之后， 无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间 建立一种一一对应的关系.
270° 300° 315° 330° 360° 135° 150° 180° 210° 225° 240°
教学重点、 1． 教学重点：掌握换算. 2．教学难点：理解弧度意义 难点
πr 2π r r 2r
逆时针 逆时针
1 −2 −π 0
教学过程 课堂导入 复习 1：写出写出终边在下列位置的角的集合. （1）x 轴： . . （2）y 轴： （3）第三象限： . （4）第一、三象限： . 复习 2：角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 度， 故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度.
rad
l=2r
C
.
B α O A x
正角 零角 负角
正实数 零 负实数
典型例题 例 1 把 67o 30' 化成弧度.
3 变式：把 π rad 化成度. 5
小结：在具体运算时， “弧度”二字和单位符号“rad”可省略，如：3 表示 3rad ， sinπ表示πrad 角的正弦.
例 2 用弧度制表示： （1）终边在 x 轴上的角的集合； （2）终边在 y 轴上的角的集合.
2. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，求其圆心角的弧度数，并化为度表示.
rad .
变式：终边在坐标轴上的角的集合.
作业布置： 1. 用弧度制表示终边在下列位置的角的集合： （1）直线 y=x； （2）第二象限.
※ 学习小结 1. 弧度数定义； 2. 换算公式（180°=π rad） ； 3. 弧度制与角度制互化. ※ 知识拓展 弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位， 然后用对应的弧长 与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度. 印度著名数学家阿利 耶毗陀﹝476？-550？﹞定圆周长为 21600 分，相度地定圆半径为 3438 分 ﹝即取圆周率π=3.142﹞， 但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念. 严格 的弧度概念是由瑞士数学家欧拉﹝1707-1783﹞于 1748 年引入. 欧拉与阿利 耶毗陀不同，先定半径为 1 个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为 0， 就记为 sinπ= 0，同理，1/4 圆周的弧长为π/2，此时的正弦为 1，记为 sin(π /2)=1. 从而确立了用π、 π/2 分别表示半圆及 1/4 圆弧所对的中心角. 其它的 角也可依此类推.
y
弧度 角度 弧度 角度 弧度 反思： ① 1 rad 等于 度； 1° 等于 弧度. ② 角的概念推广之后， 无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间 建立一种一一对应的关系.
270° 300° 315° 330° 360° 135° 150° 180° 210° 225° 240°
教学重点、 1． 教学重点：掌握换算. 2．教学难点：理解弧度意义 难点
πr 2π r r 2r
逆时针 逆时针
1 −2 −π 0
教学过程 课堂导入 复习 1：写出写出终边在下列位置的角的集合. （1）x 轴： . . （2）y 轴： （3）第三象限： . （4）第一、三象限： . 复习 2：角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 度， 故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度.
rad
l=2r
C
.
B α O A x
正角 零角 负角
正实数 零 负实数
典型例题 例 1 把 67o 30' 化成弧度.
3 变式：把 π rad 化成度. 5
小结：在具体运算时， “弧度”二字和单位符号“rad”可省略，如：3 表示 3rad ， sinπ表示πrad 角的正弦.
例 2 用弧度制表示： （1）终边在 x 轴上的角的集合； （2）终边在 y 轴上的角的集合.
2. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，求其圆心角的弧度数，并化为度表示.
rad .
变式：终边在坐标轴上的角的集合.
作业布置： 1. 用弧度制表示终边在下列位置的角的集合： （1）直线 y=x； （2）第二象限.
※ 学习小结 1. 弧度数定义； 2. 换算公式（180°=π rad） ； 3. 弧度制与角度制互化. ※ 知识拓展 弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位， 然后用对应的弧长 与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度. 印度著名数学家阿利 耶毗陀﹝476？-550？﹞定圆周长为 21600 分，相度地定圆半径为 3438 分 ﹝即取圆周率π=3.142﹞， 但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念. 严格 的弧度概念是由瑞士数学家欧拉﹝1707-1783﹞于 1748 年引入. 欧拉与阿利 耶毗陀不同，先定半径为 1 个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为 0， 就记为 sinπ= 0，同理，1/4 圆周的弧长为π/2，此时的正弦为 1，记为 sin(π /2)=1. 从而确立了用π、 π/2 分别表示半圆及 1/4 圆弧所对的中心角. 其它的 角也可依此类推.
1.1.2弧度制(一)
2、弧度与角度的换算
L 若L=2 π r，则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360° 即为 °
L=2 π r
2π弧度 弧度
360° 360°= 2π 弧度 180° 180°= π 弧度
O
r
（B） ） A
180°= 1°× 180 ° °×
由180°= π 弧度 还可得 ° π 1°= —— 弧度 ≈ 0．01745弧度 ° ． 弧度 180 180）°≈ 57．30°= 57°18′ 57．30° 57° 1弧度 =（——） π
（ 2）终边在 y 轴上的角的集合
（3）终边在坐标轴上的角的集合 ） （4）第Ⅱ象限角的集合 ）
例4将下列各角化成 0到2π的角加上 2 kπ （ k ∈ Z）的形式。 23 23 （1） π（2） − π（3） （4） 450 ° 450 ° − 3 3
已知四边形的四个内角之比是1： ： ： ， 例5已知四边形的四个内角之比是 ：3：5：6， 已知四边形的四个内角之比是 分别用角度制和弧度制将这些内角的大小表 示出来。
4.若三角形的三个内角之比是2： 3：4，求其三个内角的弧度数．
5.下列角的终边相同的是（
）．
kπ π 与 kπ + ，k ∈ Ζ C． 2 2
D．
π π A． kπ + 与 2kπ ± ，k ∈ Ζ 4 4 π 2π B． 2kπ − 与 π + ，k ∈ Ζ 3 3
(2k +1)π 与 3kπ，k ∈ Ζ
四、课堂小结： 课堂小结：
1.弧度制定义 弧度制定义 2.角度与弧度的互化 角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数 特殊角的弧度数
360° ° 度 0° 30 °45 ° 60 ° 90 ° 180 270° ° 弧 0 度
人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件
3.无论是以“弧度”还是以“度”为单位, 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
1.1.2弧 度 制(1)
1º=
π
180
rad0.01745rad
1rad = ( 1π80) º 57.3º =57º 18′
特殊角的度数与弧度数的对应表:
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 0 4 3 2 32
由弧度的定义可知：
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径
弧度制
弧度制的定义:用弧度做单位来度量
角的制度叫做 弧度制
1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角.用符号rad表示。
正角
2.正角的弧负度角数 负角的弧零度角数
零角的任弧意度角数的集合
正数
负数 正数 0 负数
实数集R 零
角度制与弧度制的换算:
360º = 2π rad, 180º = π rad
1 2
R
2;
(2)S
1lR. 2
l OS
R
小 结 1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个
仅与角α大小有关的常数,所以作为度 量角的标准.
2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
正角
正实数
零角 负角
零 负实数
定
长的比的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对值。
义
B
的 合 理
B
l=r
1弧度
l=r
1弧度
OO r r A A
的与 一半 个径 比长 值无
性
关
3.任一已知角α的弧度数的绝对值
|α| = —lr
α 其中l为以角 作为圆心角时所对圆弧的
长,r为圆的半径.
4.
l = |α| r (弧长计算公式)
1、1、2弧度制教案(可编辑修改word版)
1、1、2 弧度制教学目标：知识目标1）理解 1 弧度的角的意义。
2）理解弧度制的定义，建立弧度制的概念。
能力目标1）掌握角度制与弧度制的换算公式并能熟练地进行角度制与弧度制的换算。
2）牢记特殊角的弧度数与角度数的互化。
情感目标通过弧度制一弧度角及弧度制定义的探索过程，培养学生主动探索、勇于发现的精神，渗透由特殊到一般的思想方法。
通过弧度制与角度制之间的联系及转化，渗透广泛联系，透过本质看问题的辨证唯物主义的思想。
重点：理解弧度的意义，正确进行弧度与角度的换算难点：弧度的概念，弧度制与角度制之间的关系教学方法：目标式教学课时：1 课时教学过程：一、复习引入和预习准备1.角分为几类？2.什么是象限角？什么是轴线角？3.与角终边相同的角的集合？第一象限角如何表示？二、创设情境，设置疑问初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的。
那么1 的角是如何定义的？规定周角的 1做为1 的角。
360我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它就可以计算弧长，公式为l =n r 。
180角度制是度量角的一种单位制。
单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制，古代常以人体的一部分作为长度的单位。
例如我国三国时期(公元三世纪初)王肃编的《孔子家语》一书中记载有：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻。
”两臂伸开长八尺，就是一寻。
还有记载说：“十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫。
”可见，古时量物，寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系。
现在国际上通用的是国际单位制中的“米制” ，米的标准长度，等于光在真空中在 1/299792458 秒的时间间隔内所传播路径的长度。
“米制”教之“尺、寸……”应用起来要方便得多。
在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难。
那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来常识研究这种新单位制。
课件1：1.1.2 弧度制
把长度等于半 周角的1/360叫做1
单位规 径长的弧所对 度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1
rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718
导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8
.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)
8 8 180
(
)
5
5
288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
0.0175
数学：1.1.2《弧度制》课件(1)(新人教B版必修4)
3π 2 5π 3
7π 4 11π 6
2π
扇形AOB中， 例4. 扇形 中 半径是50米，求 半径是 米
π
所对的圆心角是60º， AB 所对的圆心角是 ， 的长l 的长 AB
解：因为60º= 3 ,所以 因为 所以 π l=α·r= 3×50≈52.5 . 的长约为52.5米. 答： AB 的长约为 米
弧度制与角度制的换算
零角既是0º 又是0 ① 零角既是 º角，又是 rad角 角 平角、周角的弧度数： ② 平角、周角的弧度数： 180°=π rad ° π 360°=2π rad ° π
o
1°= °
π
180
rad
180 o o 1 rad = ≈ 57.3 = 5718' π
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的 在半径为 的圆中， º 的圆中 弧长为 中心角等于 ，面积为2R2的扇形的 面积为 弧度。 弧度。
4 ：（1） 根据l=αR，得 解：（ ）240º= π ，根据 ， 3
4 l = πR 3 1 2 1 （2）根据 ）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
l 的弧度数的绝对值: ③角α的弧度数的绝对值 α = r
用弧度制表示弧长公式： 用弧度制表示弧长公式：
弧长公式： ① 弧长公式： l = r ⋅ α
l 由公式： 由公式：α = ⇒ l = r ⋅ α r
nπr 简单. 比公式 l = 简单 180
弧长等于弧所对的圆心角弧度的绝对值 弧长等于弧所对的圆心角弧度的绝对值 与半径的积. 与半径的积
5 合 − 36 π
已知一半径为R的扇形 的扇形， 例7. 已知一半径为 的扇形，它的周长等于 所在圆的周长， 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？扇形的面积是多少？ 扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－ 所以扇形的中心角是2(π－ 所以扇形的中心角是 －1) rad. 扇形面积是 (π − 1)R 2
7π 4 11π 6
2π
扇形AOB中， 例4. 扇形 中 半径是50米，求 半径是 米
π
所对的圆心角是60º， AB 所对的圆心角是 ， 的长l 的长 AB
解：因为60º= 3 ,所以 因为 所以 π l=α·r= 3×50≈52.5 . 的长约为52.5米. 答： AB 的长约为 米
弧度制与角度制的换算
零角既是0º 又是0 ① 零角既是 º角，又是 rad角 角 平角、周角的弧度数： ② 平角、周角的弧度数： 180°=π rad ° π 360°=2π rad ° π
o
1°= °
π
180
rad
180 o o 1 rad = ≈ 57.3 = 5718' π
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的 在半径为 的圆中， º 的圆中 弧长为 中心角等于 ，面积为2R2的扇形的 面积为 弧度。 弧度。
4 ：（1） 根据l=αR，得 解：（ ）240º= π ，根据 ， 3
4 l = πR 3 1 2 1 （2）根据 ）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
l 的弧度数的绝对值: ③角α的弧度数的绝对值 α = r
用弧度制表示弧长公式： 用弧度制表示弧长公式：
弧长公式： ① 弧长公式： l = r ⋅ α
l 由公式： 由公式：α = ⇒ l = r ⋅ α r
nπr 简单. 比公式 l = 简单 180
弧长等于弧所对的圆心角弧度的绝对值 弧长等于弧所对的圆心角弧度的绝对值 与半径的积. 与半径的积
5 合 − 36 π
已知一半径为R的扇形 的扇形， 例7. 已知一半径为 的扇形，它的周长等于 所在圆的周长， 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？扇形的面积是多少？ 扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－ 所以扇形的中心角是2(π－ 所以扇形的中心角是 －1) rad. 扇形面积是 (π − 1)R 2
1.1.2(1)弧度制
终边在直线y=x上 {β |β =450+K∙1800，K∈Z}
例4.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
例5. 扇形AOB中， AB 所对的圆心角是60º ，
0
6
4
3 2
2 3 5 3 4 6
3 2 2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常 省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。不能“混 和”用 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形 式。如无特别要求，不用将π化成小数。
写出一些特殊角的弧度数
角 度
弧 度
0 30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6
4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
三、例2
（1）、把67°30′化成弧度。
1 解：67 30' 67 2
1 3 67 30' rad 67 rad 180 2 8
负数
零
弧度与角度的换算
若l=2 π r，则∠AOB=
此角为周角 即为360°
l = 2π弧度 r
l=2 π r
2π弧度
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
O
r
（B） A
（2）弧度与角度的换算公式是怎样的？
换算公式 180º = rad
1
1.1.2弧度制(1)
三）弧度数 1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的 弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是 2πrad 的角. 2、任意一个00~3600的角的弧度数必然适合不 等式 0≤x<2π. 3、任一正角的弧度数都是一个正实数； 任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0. 弧度制下的角与实数建立一一对应关系
舍去
练习1：课本P9 题1、2、3 练习2：当扇形的中心角为600，半径为10cm， 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 600=π/3 L=10π/3
3 S = 50( − )cm 2 3 2
π
π表示时等于1800，表示的数是 3.141592….
小结： 1、弧度制的意义——角与实数一一对应； 2、换算公式及方法； 3、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及应用 作业：课本P10 7、8 补充作业：扇形的周长L为定值，问它的圆心 角θ取和值时，扇形的面积最大？最大值是多 少？ θ =2，S大=1/16·L2
3、实验结果表明：当半径不同时，同样的圆 心角所对的弧长与半径的比是常数.称这个常数 为该角的弧度数.
l α = R
1弧度=L/R(L=R) 当半径为1时，α=L. α R
L
二）弧度制定义：在单位圆（半径为1的圆）长 为1个单位长度的弧所对应的圆心角称为1弧度的 角 单位符号是 rad,读作弧度 弧度把角度单位与长度单位统一起来. 如图α=1rad α R=1 L=1
方法：用互化公式先约分
练习： 练习：填表
度 弧度 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270 ° 360 °
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3π 2
2π
1.1.2 弧度制 (1)
1.1.2 弧度制（1）一、课题：弧度制（1）二、三维目标：1、 知识与技能目标：理解弧度制的意义2、 过程与方法目标：能正确的应用弧度与角度之间的换算；3、 记住公式||l rα= 4、 情感态度价值目标：使学生更全面地看问题，从多角度考虑问题。
三、教学重、难点：弧度与角度之间的换算。
教学方法：讲述法、启发法四、教学过程：（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1 角的？ （初中时把一个周角的1360记为1 ） （二）新课讲解：1．弧度角的定义：规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ．练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是rl =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是：4||4l r r rπαπ-=-=-=- 3．角度与弧度的换算3602π= rad 180π= rad 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈4．例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．解：因为6730' 67.5= ，所以 3671567.51808rad ππ'=⨯= rad ． 例2 把35πrad 化成度。
课件1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
1.1.2弧度制(1)
解：1rad= (
180
)
8 8 180 ( ) 5 5
288
三、特殊角的弧度 角 o 0 度 弧 度 30o 45o 60o 90o 120o
0
6
5 6
4
3
2
270
o
2 3
360
o
角 o o o 135 150 180 度
弧 度
3 4
3 2
2
用弧度来度量角，实现角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
l ④角的弧度数的绝对值: r
（l为弧长，r为半径） 这里， 的正负由角的终边的旋转方向决定。
360°=2 rad 180°= rad
1° =
180
rad
0.01745 rad
180 57 .30 1 rad= =57°18′
正角 正实数 对应角的 弧度数
零角
负角
零
负实数
角的集合
实数集R
1.1.2
弧度制
复习引入
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?
1 规定把周角的 作为1度的角，用度做单位 360 来度量角的制度叫做角度制．
讲授新课
一 、 弧度制定义
把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的
角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制． 在弧度制下，1弧度记做1 rad. 思考： 一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径的比值 是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
弧长 比值 半径
B O
B2
1.1.2弧度制(一) 公开课一等奖课件
o
90
o
120
o
0
6
4
3
270
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
0
6
4
3
2
270
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
360
o
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度 30
o
45
o
④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零．
l ⑥角的弧度数的绝对值||= . r
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
n 180
o
45
o
60
o
90
o
120
o
0
6
4
3
2
270
o
2 3
360
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 3 度 4
5 6
特殊角的弧度
角 o 0 度 弧 度 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
0
6
1.1.2 弧度制(1)
1 .这种用度 360 作为单位来度量角的单 位制, 称之角度制. 规定1度的角等于圆周角的
角度制 初中 角的度量 高中 弧度制
???
B
弧AB的长＝半径r
1 rad
·
O
A
弧长＝半径
弧度制
定义：
长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 弧度 的角，记作1 的角，记作 rad. 用弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 用弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。 用弧度表示角的大小时，可以省略单位。 用弧度表示角的大小时，可以省略单位。 负角的弧度数是负数， 负角的弧度数是负数， 正角的弧度数是正数， 正角的弧度数是正数， 零角的弧度数零。 零角的弧度数零。
正实数 零 负实数
3 6 0 = 2π
o
ra d ra d
rad ≈ 0.01745rad
度 ≈ 57.30
180 = π
o
1度角等于多少弧度？ 度角等于多少弧度？ 度角等于多少弧度
1 =
o
π
180
1弧度角等于多少度？ 弧度角等于多少度？ 弧度角等于多少度
1rad =
180
o
π
π 7 π 2 π 2 π 3 3 12 4
弧度制
l α= R
l | α |= R
有正有负也可能是0 用于计算
其中 : 1、l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2πr 2、圆心角θ为周角时，l = 2πr，则θ = = 2π r πr 3、圆心角θ为半角时，l = πr，则θ = =π r
角度制与弧度制：一一对应：
正角 零角 负角
5π 4
弧长是500 mm, 求此弧长所对的圆心角 的弧度数。
1.1.2弧度制(1)
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
| 2 ( ) 4、 终边与Y轴正半轴重合； 2 3 5.终边与Y轴负半轴重合； ( ) | 2 2 | ( ) 6、 终边与Y轴重合； 2
B
A r r B 1rad O
A O r O r
1弧度 l=r 1弧度
l=r
A
阅读教材P.6，完成探究.
弧AB的长 OB的旋转 角AOB的弧度 方向 数 角AOB的度 数
1800
2r
r 2r
r
逆时针 顺时针 逆时针 逆时针
未做旋转
2
1 -2
3600
0
0
180
180 2
小结作业 1.用度为单位来度量角的单位制叫做角 度制，用弧度为单位来度量角的单位制 叫做弧度制.
（ 2）“角化弧”时，将 n 乘以 180 180 将 乘以 ；
（3）弧长公式： l ；“弧化角”时，
r
1 1 2 扇形面积公式： S lr r （其中 l为圆心角 所 2 2
2r
r r
0
0
顺时针 逆时针 逆时针
00
1800
2
1800
3600
思考4: 约定:正角的弧度数为正数,负角的弧度 数为负数,零角的弧度数为0.如果将半径为r圆 的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若弧AB 长为2r,那么∠AOB的大小为多少弧度？ 2r
A
－2rad.
r
O
B
思考5:如果半径为r的圆的圆心角α 所对的弧 长为l,那么,角α 的弧度数的绝对值如何计算？
1.1.2_弧度制(知识梳理+练习+答案)[1]
![1.1.2_弧度制(知识梳理+练习+答案)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/3bc50c0214791711cc7917ee.png)
1.1.2 弧度制知识梳理： 1. 弧度制弧度角： 叫做1弧度角，记作 ，或 ，或(单位可以省略不写).一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. 2. 弧度与角度的转化：弧度定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示.如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数为||lrα=.3. 弧度与角度的转化：根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=, 1___rad =度练习题: 一、选择题。
1、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ） A ．所对弧长相等 B ．所对的弦长相等 C ．所对弧长等于各自半径 D ．所对弧长等于各自半径2、时钟经过一小时，时针转过了( )A.6πrad B.－6πrad C. 12πrad D.－12πrad3、角α的终边落在区间（－3π,－52π）内,则角α所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、半径为πcm ，中心角为120o 的弧长为 （ ）A ．cm 3πB ．cm 32πC ．cm 32πD ．cm 322π5、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则 （ ）A ．集合M 是集合N 的真子集B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包含关系 6、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 二、填空题。
7、将下列弧度转化为角度： （1）12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）613π= °；8、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 9、把014852(02,)k k Z πααπ-+≤〈∈写成的形式是10、已知2rad 的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对的弧长是 三、解答题。
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3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的 面积公式得以简化，这体现了弧度制优 点.
作业
课本第10页习题1.1A组7,8,9
1 360
所对的圆心角
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
思考：在弧度制下，与角α 终边相同的角如何表 示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？
2k (k Z ) 终边x轴上： k (k Z ) 终边y轴上： k (k Z )
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
60 270 0 30 45 120 135 90 360 180 150 角 度 2 3 5 3 2 弧 0 4 3 2 3 4 6 6 度 2
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集 合与实数集 R之间建立了一一对应关系
∠AOB的 度数 180° 360°
-180° 0° 180° 360°
角有正负零角之分,它的弧度数也应该 有正负零之分,如π,-2π,0等等. 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度 数是一个负数,零角的弧度数是0.
角的正负主要由角的旋转方向来决定.
思考:如果一个半径为r的圆的圆 心角α所对的弧长是l,那么α的弧 度数是多少? l = 角α的弧度数的绝对值是 r
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 2 公式分别是 n R n R
l
180
,S
360
n°转换为弧度
1 2 S R 2
n 180 1 S lR 2
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角 的大小，而 1 是圆的 的大小；
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
练习：扇形AOB中，AB 所对的圆心角是
60º ，半径是50米，求 AB 的长l（精确到 0.1米）。
解：因为60º = 3 ,所以
3×50≈52.5 .
l=α· r=
答： AB 的长约为52.5米.
练习： 在半径为R的圆中，240º的中心角所
4 对的弧长为 R 3
，面积为2R2的扇
4
形的中心角等于
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
练习：与角－1825º 的终边相同，且绝对值最
5 － 25º 小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 36
解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
小结 1.用度为单位来度量角的单位制叫做角 度制，用弧度为单位来度量角的单位制 叫做弧度制. 2.度与弧度的换算关系，由180°＝ rad进行转化，以后我们一般用弧度为 单位度量角.
一一对应 正角
正实 数
零角
负角
0
负实 数
任意角的集合
实数集R
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1 l R
1 2 2 S R 2
1 3 S lR 2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
l 证明:(1)由公式 = r 得l=αR
探究
半径为r的圆的圆心与原点重合,角α 的始边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终 边与圆交于点B.请完成表格. y B
α
o
A x
弧AB的长 OB旋转的 方向 πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向 r 逆时针方向 2r 顺时针方向 πr 顺时针方向 0 πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向
∠AOB的 弧度数 π 2π 1 -2 -π 0 π 2π
1.1.2 弧度制
身高：2.26米 （7.32英尺） 体重： 140.6kg(310磅)
生活中，存在着各种 不同的度量单位制，比如 度量长度用的千米、尺、 码等，度量重量用的吨、 斤、磅等，不同单位制能 给解决问题带来便利，角 的度量除了用度之外，是 不是还有其他的单位制呢？
角度制 在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，1°的角 是如何定义的？
1
180
180°=π rad
rad 5718 1 rad
例1 按照下列要求,把67°30′化成弧度: (1)精确值
135 解： 67 30 2
135 3 67 30 rad rad 180 2 8
1 周角的 叫做1度角,记为1° 360
我们把用度做单位来度量角的制 度叫做角度制，在数学和其他许多科 学研究中还要经常用到一种度量角的 制度—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的 圆心角叫做1弧度的角．
B
1 rad
O
l
A
若弧是一个半圆，则其圆心角的 弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
2
练习：
(1)已知扇形的圆心角为720,半径等于20cm,求 扇形的弧长和面积； 8π 80π （2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇 形的圆心角的弧度数. 8或1/2
练习： 已知一半径为R的扇形，它的周长等
于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
r为半径, l为角α所对弧的长 α的正负由角α的终边旋转方向决定
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个 角时，除了零角以外，所得到的量数都 是不同的，但它们既然是度量同一个角 的结果，二者就可以相互换算．
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,其 弧度数是2π,而在角度制里它是360°. 因此 360°=2π rad
作业
课本第10页习题1.1A组7,8,9
1 360
所对的圆心角
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
思考：在弧度制下，与角α 终边相同的角如何表 示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？
2k (k Z ) 终边x轴上： k (k Z ) 终边y轴上： k (k Z )
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
60 270 0 30 45 120 135 90 360 180 150 角 度 2 3 5 3 2 弧 0 4 3 2 3 4 6 6 度 2
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集 合与实数集 R之间建立了一一对应关系
∠AOB的 度数 180° 360°
-180° 0° 180° 360°
角有正负零角之分,它的弧度数也应该 有正负零之分,如π,-2π,0等等. 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度 数是一个负数,零角的弧度数是0.
角的正负主要由角的旋转方向来决定.
思考:如果一个半径为r的圆的圆 心角α所对的弧长是l,那么α的弧 度数是多少? l = 角α的弧度数的绝对值是 r
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 2 公式分别是 n R n R
l
180
,S
360
n°转换为弧度
1 2 S R 2
n 180 1 S lR 2
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角 的大小，而 1 是圆的 的大小；
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
练习：扇形AOB中，AB 所对的圆心角是
60º ，半径是50米，求 AB 的长l（精确到 0.1米）。
解：因为60º = 3 ,所以
3×50≈52.5 .
l=α· r=
答： AB 的长约为52.5米.
练习： 在半径为R的圆中，240º的中心角所
4 对的弧长为 R 3
，面积为2R2的扇
4
形的中心角等于
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
练习：与角－1825º 的终边相同，且绝对值最
5 － 25º 小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 36
解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
5 合 36
小结 1.用度为单位来度量角的单位制叫做角 度制，用弧度为单位来度量角的单位制 叫做弧度制. 2.度与弧度的换算关系，由180°＝ rad进行转化，以后我们一般用弧度为 单位度量角.
一一对应 正角
正实 数
零角
负角
0
负实 数
任意角的集合
实数集R
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1 l R
1 2 2 S R 2
1 3 S lR 2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
l 证明:(1)由公式 = r 得l=αR
探究
半径为r的圆的圆心与原点重合,角α 的始边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终 边与圆交于点B.请完成表格. y B
α
o
A x
弧AB的长 OB旋转的 方向 πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向 r 逆时针方向 2r 顺时针方向 πr 顺时针方向 0 πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向
∠AOB的 弧度数 π 2π 1 -2 -π 0 π 2π
1.1.2 弧度制
身高：2.26米 （7.32英尺） 体重： 140.6kg(310磅)
生活中，存在着各种 不同的度量单位制，比如 度量长度用的千米、尺、 码等，度量重量用的吨、 斤、磅等，不同单位制能 给解决问题带来便利，角 的度量除了用度之外，是 不是还有其他的单位制呢？
角度制 在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，1°的角 是如何定义的？
1
180
180°=π rad
rad 5718 1 rad
例1 按照下列要求,把67°30′化成弧度: (1)精确值
135 解： 67 30 2
135 3 67 30 rad rad 180 2 8
1 周角的 叫做1度角,记为1° 360
我们把用度做单位来度量角的制 度叫做角度制，在数学和其他许多科 学研究中还要经常用到一种度量角的 制度—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的 圆心角叫做1弧度的角．
B
1 rad
O
l
A
若弧是一个半圆，则其圆心角的 弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
2
练习：
(1)已知扇形的圆心角为720,半径等于20cm,求 扇形的弧长和面积； 8π 80π （2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇 形的圆心角的弧度数. 8或1/2
练习： 已知一半径为R的扇形，它的周长等
于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
r为半径, l为角α所对弧的长 α的正负由角α的终边旋转方向决定
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个 角时，除了零角以外，所得到的量数都 是不同的，但它们既然是度量同一个角 的结果，二者就可以相互换算．
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,其 弧度数是2π,而在角度制里它是360°. 因此 360°=2π rad