9运用函数地单调性与奇偶性解抽象函数不等式(附加半节课)—学生版
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教学容概要
教学容
【知识精讲】
一、常见的抽象函数模型:
① 正比例函数模型:()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。
② 幂函数模型:()2
x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ⋅=;()
()y f x f y x f =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛。
③ 指数函数模型:()x
a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ⋅=+;()()()
y f x f y x f =
-。 ④ 对数函数模型:()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=;()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛。
⑤ 三角函数模型:()x x f tan =┄┄┄()()()()()
y f x f y f x f y x f ⋅-+=
+1。
如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点,其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点,如何攻克这个难点呢?一个词:去壳。
二、奇偶函数的性质:
奇函数:(1)()()f x f x -=-;
(2)若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =; (3)图像关于原点对称;
(4)y 轴左右两侧的单调性相同; 偶函数:(1)()()f x f x -=; (3)图像关于y 轴对称; (4)y 轴左右两侧的单调性相反;
三、函数单调性的逆用:
若()f x 在区间D 上递增,则1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈);
若()f x 在区间D 上递减,则1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈).
四、不等式恒成立问题的解法
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化,转换为函数求最值的问题。
【经典例题】
例1、求函数
y =
例2、已知奇函数()f x 是定义在[]
1,1-上的减函数,解不等式()210f x ->。
例3、
()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减,若()()
2240f a f a -+-<,则a
的取值围是 (
) A .)2
B.(()2,-∞+∞
C.)
D.(()3,-∞+∞
例4、(引例)已知奇函数()f x 的定义域为[2,2]-,且在区间[2,0]-单调递减,求满足
2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值围.
(拓展)设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2
f x x =,若对任意的
[],2x t t ∈+,不等式()()2f x t f x +≥恒成立,则实数t 的取值围是 ( )
A .)
+∞ B .[
)2,+∞
C .(]
0,2 D .12,3⎡⎤⎡⎤-⎣⎦
⎣⎦
例5、已知偶函数()f x 在区间[
)0,+∞上单调递增,则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
的取值围是( )
A 12,
33⎛⎫
⎪⎝⎭ B 12,33⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C 12,23⎛⎫
⎪⎝⎭ D 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
例6、(引例)函数()f x 是R 上的单调函数,满足()()21f f >,且()
()2f m f m >-,
数m 的取值围;
(拓展)定义在R 上的单调函数()f x 满足()23log 3f =且对任意,x y R ∈都有
()()()f x y f x f y +=+ 。
(1)求证()f x 为奇函数;
(2)若()()
33920x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立,数k 的取值围.
【拓展提高】
例:已知奇函数()f x 的定义域为实数集,且()f x 在[
)0,+∞上是增函数,当02
π
θ≤≤
时,
是否存在这样的实数m ,使2
(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的
0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
均成立?若存在,求出所有适合条件的实数m ;若不存在,请说明理由。
【巩固练习】
1、已知)(x f 是定义在()0,∞-上的减函数,且)3()1(-<-m f m f ,则m 的取值围是( ) A .2 2、已知()f x 是偶函数,x R ∈,当0x >时,()f x 为增函数,若120,0x x <>,且12||||x x <,则 ( ) A 12()()f x f x ->- B 12()()f x f x -<- C 12()()f x f x ->- D 12()()f x f x -<- 3、已知定义域为R 的函数在上为减函数,且函数为偶函数,则 ( ) A.()()67f f > B.()()69f f > C.()()79f f > D.()()710f f > 4、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=, 0,4,0,4)(2 2x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值围是 ( ) A. (,1) (2,)-∞-+∞ B. (1,2)- C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-+∞ 5、若)(x f 是R 上的减函数,且)(x f 的图象经过点)4,0(A 和点)2,3(-B ,则当不等式 4)(2<+<-t x f 的解集为()2,1-时,t 的值为__ ___. ()f x ()8,+∞()8y f x =+