高中数学函数的极限人教版
高中数学极限知识点lim
高中数学极限知识点lim
嘿,朋友!说起高中数学里的极限知识点“lim”,那可真是一座充满挑战又藏着宝藏的大山呀!
你想啊,极限就像是一场追逐游戏。
想象一下,你在追一只跑得超快的兔子,你永远也追不上它,但你能越来越接近它,那个无限接近
却又碰不到的点,就是极限。
比如说,函数 y = 1 / x ,当 x 趋近于无穷大时,y 就趋近于 0 。
这
就好像你站在一条无限长的跑道上,越往前跑,手里的东西就变得越轻,轻到几乎感觉不到重量,那个几乎为 0 的感觉就是极限。
再看数列的极限。
就像一群小朋友排队报数,1,2,3,4……一直报下去,当报到无穷大的时候,某个和式或者乘积式会趋近于一个固
定的值,这就是数列的极限。
还有函数的极限,那简直就是数学世界里的神秘探险!比如说,f(x) = sin(x) / x ,当 x 趋近于 0 时,极限值是 1 。
这就好比是在走钢丝,越靠近那个关键的点,越要保持平衡,找到那个稳定的结果。
计算极限也有不少技巧呢!比如等价无穷小替换,这就像是找到了一把神奇的钥匙,能轻松打开难题的大门。
可别小看了极限,它在数学的各个领域都大显身手。
就像盖房子的基石,没有它,好多高楼大厦都建不起来。
在解决实际问题中,极限也能帮大忙。
比如在物理学中计算瞬时速度,不就是通过极限的思想来搞定的吗?
学极限可不能怕吃苦,得像个勇敢的探险家,不怕困难,勇往直前。
多做练习题,多思考,多总结,你就会发现,原来极限也没那么可怕,反而充满了乐趣和惊喜!
所以啊,朋友们,好好掌握极限这个知识点,让它成为你数学世界
里的得力助手,帮你攻克一个又一个难题,开启数学的奇妙之旅!。
新人教版高一数学必修一目录
新人教版高一数学必修一目录
一、第一章函数
1. 基本概念
2. 函数的表示法
3. 函数的图象
4. 函数的性质
二、第二章曲线
1. 曲线的表示法
2. 曲线的切线
3. 兰联形曲线
4. 椭圆曲线
5. 双曲线
三、第三章相关与回归
1. 相关系数
2. 线性回归与回归直线
四、第四章初等函数
1. 指定法求方程的根
2. 二次函数及加减乘除法
3. 牛顿迭代法求方程的根
五、第五章指数函数
1. 指数函数的基本性质
2. 常用指数函数
3. 对数函数及其应用
六、第六章对数函数及其应用
1. 对数函数的基本性质
2. 对数函数及其应用
七、第七章几何极限
1. 无穷小分析法
2. 无穷量极限
3. 二元函数极限
4. 级数的极限
八、第八章函数的微分
1. 导数的概念
2. 定义型微分
3. 导数的性质及应用
九、第九章函数的积分
1. 定积分及其应用问题
2. 微积分的应用ii
3. 曲线的积分性质。
高一函数极限知识点
高一函数极限知识点函数极限是高中数学中的重要概念之一,它不仅在数学中有重要的应用,而且在物理、经济等领域也发挥着重要的作用。
在高一阶段,我们首先需要了解函数极限的定义,然后学习一些相关的性质和计算方法。
接下来,我将对高一函数极限的知识点进行详细的介绍。
一、函数极限的定义函数极限的定义是指当自变量趋于某个特定值时,函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说,对于函数f(x),当x无限接近某个实数a时,如果存在一个实数L,使得对于任意给定的正数ε,总存在另一个正数δ,使得当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - L| < ε成立,那么我们说f(x)在x趋于a的过程中极限为L,并记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
二、函数极限的性质1. 极限的唯一性:如果函数f(x)在x趋于a的过程中存在极限L,那么这个极限是唯一的,即极限不存在多个值。
2. 四则运算法则:对于两个函数的和、差、积、商,如果它们都在各自的定义域内有极限,那么其极限也存在,并且满足相应的四则运算法则。
3. 复合函数的极限:如果函数f(x)在x趋于a的过程中有极限L,而函数g(x)在x趋于L的过程中有极限M,那么复合函数g(f(x))在x趋于a的过程中有极限M。
4. 夹逼定理:如果对于同一个自变量x在某个区间(a - δ, a + δ)内的三个函数f(x), g(x), h(x),有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)成立,并且当x趋于a时,f(x)和h(x)的极限都为L,那么函数g(x)在x趋于a的过程中的极限也为L。
三、函数极限的计算方法1. 直接代入法:当函数在某个点的取值未定义或不容易计算时,可以通过将自变量x的值直接代入函数中来计算极限。
2. 分解因式法:当函数式子中存在因式可以分解的情况时,可以将式子进行因式分解,然后逐项计算各个因子的极限,最后再利用四则运算法则计算整个函数的极限。
3. 凑零法:当函数式子中存在分式或根式,并且分子与分母之间有相同的因子时,可以通过凑零来化简式子,然后计算得到极限。
高考数学总复习 12.3函数的极限与连续性课件 人教版
函数的极限与连续性
考点 函数极 函数极 限、函 数的连
考纲要求 了解函数极限的概念,了
考查角度
限;左右 解左右极限的概念;掌握
极限;函 函数极限的四则运算法
数的连续 则,会求函数的极限;了 性;连续 解函数连续的意义;了解 函数的性 闭区间上连续函数有最大 质 最小值的性质
求函数的极
限;求函数 连续的条件
(2)如果函数 f(x), g(x)在 x0 处连续, 那么函数 f(x)± g(x), fx f(x)· g(x),及 (g(x)≠0)在点 x0 处都连续. gx 函数 f(x)在点 x0 处连续反映在函数的图象上是在点 x0 处图象是连着的,不间断的. (3)若函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么函数 f(x) 在闭区间[a,b]上有最大值和最小值,在开区间(a,b)内 则没有这个性质.
fx-4x3 解:∵f(x)是多项式,且lim x→∞ x2 =1, ∴可设 f(x)-4x3=x2+ax+b(a,b 为待定系数), 即 f(x)=4x3+x2+ax+b. fx b 2 又lim (4x +x+a+ x)=5, x →0 x→0 x =5,即lim
13 3 - x 3x3-1 3-0 【自主解答】 (1) lim = = 3=lim x→∞ x+1 x→∞ 1 3 1+03 1+ x 3; x2-1 x+1x-1 x+1 3 (2) lim =lim =lim =4; 2 x→2 x +x-2 x→2 x-1x+2 x→2 x+2 x 2 x cos 2-sin 2 x x (3)原式= limπ = limπ (cos + sin ) x x 2 2 x→ cos -sin x→ 2 2 2 2
1 2 m m-1 1 =lim (C + C x + … + C x ) = C m m m m=m=b. x→0
高二数学数列、函数的极限知识精讲 人教版
高二数学数列、函数的极限知识精讲 人教版一. 本周教学内容:高三新课:数列、函数的极限二. 本周教学重、难点: 1. 数列极限 (1)定义(2)运算法则如果a a n n =∞→lim ,b b n n =∞→lim ,那么① b a b a b a n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→lim lim )(lim② b a b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim③ b a b a b a n n n n nn n ==∞→∞→∞→lim lim lim (0≠b )④ a c a c a c n n n n ⋅==⋅∞→∞→lim )(lim (c 为常数)(3)几个常用的极限① 0lim =∞→c n (c 为常数)② 0)1(lim =∞→pn n(>p 0)③ c ad cn b an k k n =++∞→lim (N k ∈R d c b a ∈,,,*且0≠c ) ④ 0lim =∞→nn q (1<q )2. 函数的极限(1)当∞→x 时,)(x f 的极限 (2)当0x x →时,)(x f 的极限 (3)运算法则如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0,那么① b a x g x f x x ±=±→)]()([lim 0② b a x g x f x x ⋅=⋅→)]()([lim 0③ )0()()(lim≠=→b bax g x f x x【典型例题】[例1] 考察下面的数列,写出它们的极限。
(1) ,1,,271,81,13n(2) ,1057,,995.6,95.6,5.6n - (3) ,)2(1,,81,41,21n---解:(1)}1{3n 的项随n 的增大而减少,但大于0,且当n 无限地增大时,31n 无限地趋于0,因此01lim 3=∞→nn 。
高中数学函数极限的教案
高中数学函数极限的教案
一、教学目标:
1. 了解数学函数极限的概念及性质;
2. 掌握计算函数极限的方法;
3. 能够运用函数极限解决实际问题;
4. 培养学生的数学思维和分析能力。
二、教学重点与难点:
重点:函数极限的定义和性质,计算函数极限的方法;
难点:理解并运用函数极限解决实际问题。
三、教学内容:
1. 函数极限的定义与性质;
2. 常见函数的极限计算方法;
3. 函数极限在实际问题中的应用。
四、教学过程:
1. 导入:通过一个简单的例子引入函数极限的概念;
2. 讲解:介绍函数极限的定义和性质,讲解常见函数的极限计算方法;
3. 演练:组织学生做一些练习题巩固所学内容;
4. 应用:通过一些实际问题引导学生运用函数极限解决问题;
5. 总结:对本节课的内容进行总结,并提醒学生需要多加练习。
五、教学资源:
1. 教科书;
2. 手册和笔记。
六、作业布置:
1. 完成教材上的相关习题;
2. 自主查找一些函数极限的应用题并做一些解答。
七、教学反思:
通过本节课的教学,学生对函数极限的概念、性质和计算方法有了更加清晰的认识,提高了解决实际问题的能力。
同时,也发现学生在理解函数极限的过程中可能存在一些困难,需要更多的练习和巩固。
在后续教学过程中,需要继续帮助学生理解和掌握函数极限的知识。
人教版高中数学课件:高二数学课件-数列的极限
收敛数列的性质
收敛数列具有唯一性,即收敛 数列只能收敛到一个唯一的极 限值。
收敛数列具有有界性,即收敛 数列的项值必须在一定范围内 波动,不会无限增大或减小。
收敛数列具有保序性,即如果 一个数列收敛到极限a,那么对 于任何正整数n,都有 an≥an+1。
03
数列极限的应用
利用极限求数列的通项公式
总结词
通过数列的极限,我们可以推导出数列的通项公式。
详细描述
在数列的极限中,如果一个数列的极限值存在,那么这个极限值就是数列的通项 公式。例如,对于等差数列,其通项公式可以通过求差分比值的极限得到。
利用极限证明数列的单调性
总结词
通过比较相邻项的极限,可以证明数 列的单调性。
极限的唯一性
极限的唯一性是数列极限的一个 重要性质,即一个数列只能有一
个极限值。
如果一个数列有两个不同的极限 值,那么这个数列就不会收敛。
极限的唯一性对于研究数列的性 质和函数的变化规律非常重要, 是数学分析中的一个基本原则。
THANK YOU
数列极限的存在性
01
02
03
单调有界定理
如果数列单调递增且有上 界或单调递减且有下界, 则该数列存在极限。
闭区间套定理
如果数列满足闭区间套的 条件,则该数列存在极限 。
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$,存在正整 数N,使得当$n, m > N$ 时,有$|a_n - a_m| < varepsilon$,则该数列 存在极限。
04
数列极限的求解方法
直接代入法
高三数学函数的极限
高三备课组
函数极限的定义:
一般地,当自变量x的绝对值无限增大时,如果函
数 y f ( x ) 的值都无限趋近于一个常数a,就说
当x趋向于无穷大时,函数 y f ( x ) 的极限是a,
记作 limf (x) a x
也就是说:当 lim f ( x ) = lim f ( x ) =a时,才
lim f (x) C .
x x0
注意:
(1)lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0,但不包含x=x0即
x≠x0,所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
的函数值的变化有关,而与函数f(x)在点x0的值无关
(x0可以不属于f(x)的定义域)
(2)lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限,
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些,都是典型的事例。 再综观当代文坛,哪个成功的作家没有被逼过?他被报社、出版社的人逼,也被他自己逼。读者逼主编;主编逼作家;作家逼自己,逼得想睡也不能睡,不想写也得写。问题是,多少惊人的作品就这样诞生了。 从某种
意义上说,逼学生的老师,何尝没有逼自己?“教学相长”不也是“教学相逼”吗? 常言道:“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候,你的学识、才干等将会有很大的长进。因此,你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。 作文题三十八 阅读下面的材料,根据要求作文。
人生,而以怎样的态度,持怎样的价值观,就是一个不可回避的问题。对于两种心态、行为、价值观,拟题者并未厚此薄彼,学生亦无需定势思维,完全可以从自己的生活体验出发,以自己的人生判断为尺度,真诚地表达自己要说的话,风行水上,自然成文,就是好文章。 作文题三十
四 阅读下面的材料,根据要求作文。 我们周围很多古代遗址都得到了保护和修缮,电视上几个戏曲节目备受欢迎,书市上古代文化类的图书也在悄悄升温,在重大的节日里很多人都穿起了唐装……传统的历史文化气氛笼罩着我们的生活。就连2008年将在举行的奥运盛会,也提出
高中数学(人教版)函数极限课件
f ( x)
o
x
2
(一)自变量的不同变化过程
1.
2. 3. 4. 5. 6.
x x x x x0 x x0 x x0
(一)自变量的不同变化过程
1.
2. 3. 4. 5. 6.
x x x x x0 x x0 x x0
(三)各过程的函数极限定义
1.
2. 3. 4. 5. 6.
x x x x x0 x x0 x x0
4. x
x0
y
x递增地无限接近常数x0,但恒不等于x0 例:
x 1 x, f ( x) 0, x 1 x 2, x 1
1.
2. 3. 4. 5. 6.
x x x x x0 x x0 x x0
(三)各过程的函数极限定义
1.
2. 3. 4. 5. 6.
x x x x x0 x x0 x x0
2.x
y
自变量恒取负值, |x|递增地无限变大
3.x
1 f ( x) 1 x2 当 x 时,
f ( x) 0
lim f ( x ) A
x
自变量可取正值,也可取负值, |x|无限变大
例:
y
o
x
(一)自变量的不同变化过程
1.
2. 3. 4. 5. 6.
x x x x x0 x x0 x x0
(一)自变量的不同变化过程
(二)函数极限的统一定义 (三)各过程的函数极限定义
(四)举例
(一)自变量的不同变化过程
高中数学必修一 函数与极限 课件
高中数学必修一函数与极限课件第一章函数及其表示1.1 函数的概念函数是自变量和因变量之间的关系,通常用符号f(x)表示。
1.2 函数的图像函数的图像是自变量和因变量的对应关系在坐标系中的表示,可以通过绘制函数的图像来研究函数的性质。
1.3 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等,通过研究这些性质可以更好地理解函数的特点。
1.4 函数的分类常见的函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等,每种函数都有其特殊的性质和图像。
第二章极限的概念2.1 函数的极限函数在某一点的极限表示函数在该点附近的取值趋近于某个确定的值,可以用数列的极限来形象地理解函数的极限。
2.2 极限的性质极限具有唯一性、有界性、保序性等性质,这些性质有助于我们研究函数在不同点的极限。
2.3 无穷大与无穷小无穷大和无穷小是对函数趋于无穷时的极限进行定义,并通过符号∞和0来表示。
2.4 极限的运算法则极限的运算法则包括四则运算法则、复合函数的极限法则等,可以方便地计算复杂函数的极限。
第三章连续与间断3.1 函数的连续性函数在某一点连续表示函数在该点的函数值等于极限值,通过研究函数的连续性可以得到函数图像的一些特征。
3.2 连续函数的性质连续函数具有介值定理、零点定理、最值定理等性质,这些性质可以帮助我们更好地理解连续函数的特点。
3.3 链式法则和分段函数链式法则是求复合函数的导数的一种方法,分段函数是由不同部分组成的函数,其连续性要通过各部分的连续性来判断。
第四章导数与其应用4.1 导数的概念导数表示函数在某一点的变化率,可以通过极限来定义导数,并用符号f'(x)表示。
4.2 导数的计算常见的导函数包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等,可以通过求导公式来计算它们的导数。
4.3 导数的应用导数的应用包括函数的增减性、极值点、拐点、图像的凹凸性等,通过导数的应用可以更好地理解函数的特征和变化规律。
函数的极限教案范文
函数的极限教案范文一、教学目标1.理解函数极限的概念;2.掌握函数极限的计算方法;3.能够通过极限计算解决一些实际问题。
二、教学重点1.函数极限的概念;2.极限的计算方法。
三、教学难点1.通过极限计算解决实际问题。
四、教学准备1.教材《高中数学新课标(必修4)》;2.随堂练习题;3.讲解用的PPT。
五、教学过程Step 1 引入新课1.引导学生回顾一元函数的概念和相关知识;2.提出问题:当自变量趋近于一些值时,函数的取值会发生什么变化?请解释你的回答。
Step 2 理解函数极限的概念1.引导学生思考自变量趋近于一些值时,函数的取值趋近于什么值;2.引导学生理解极限的概念:当自变量无限接近一些值时,函数的取值无限接近一些值;3. 讲解函数极限的定义:设函数 f(x) 在 x=a 的一些去心邻域内有定义,如果存在常数 L ,对任意给定的正数ε,总能找到正数δ,使得当 0<,x-a,<δ 时,有,f(x)-L,<ε 成立,则称函数 f(x) 在x=a 时的极限为 L,记作 lim(x->a) f(x)=L;4.通过实例讲解函数极限的概念和定义。
Step 3 掌握函数极限的计算方法1.讲解函数极限的计算方法:a.代数运算法则:如果f(x)和g(x)在x=a时的极限都存在,则有以下运算法则:- lim(x->a) [f(x)+g(x)] = lim(x->a) f(x) + lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)-g(x)] = lim(x->a) f(x) - lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)g(x)] = lim(x->a) f(x) * lim(x->a) g(x)- lim(x->a) [f(x)/g(x)] = lim(x->a) f(x) / lim(x->a) g(x),g(x)≠0b.无穷小代换法则:若f(x)在x=a时的极限为0,g(x)在x=a时的极限存在,且不等于0,则有以下运算法则:- lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) * lim(x->a) [f(x)/g(x)]c.已知极限的基本公式:常用的已知极限公式有:- lim(x->0) sin(x)/x = 1- lim(x->0) (a^x-1)/x = ln(a),a>0,a≠12.通过例题讲解函数极限的计算方法。
函数的极限 教案
函数的极限教案教案标题:函数的极限教案概述:本教案将帮助学生理解函数的极限概念,并掌握常见的函数极限计算方法。
通过引导学生进行实例分析和数学推理,培养学生的思维逻辑和问题解决能力。
同时,通过相关应用问题的讨论,帮助学生理解极限在实际中的意义和应用。
教学目标:1. 理解函数极限的定义和概念;2. 掌握函数极限的计算方法,包括直接代入法、夹逼准则等;3. 能够应用函数极限解决实际问题;4. 培养学生的问题分析与解决能力以及数学推理能力。
教学重点:1. 函数极限的定义和概念;2. 函数极限的计算方法;3. 实际问题的极限应用。
教学难点:1. 函数极限的计算方法的掌握;2. 实际问题的极限应用的理解和解决。
教学准备:1. 教材《高中数学教程》等相关教材;2. 针对性的示例和练习题;3. 多媒体教学工具。
教学过程:步骤一:导入与概念讲解(15分钟)1. 引入函数和极限的概念,解释函数极限的意义和重要性;2. 让学生观看一段相关的视频或示例,激发学生的兴趣与思考;3. 对函数极限的定义进行解读和讲解,引导学生形成初步印象。
步骤二:函数极限计算方法介绍(20分钟)1. 介绍常见的函数极限计算方法,如直接代入法、夹逼准则等;2. 通过示例演示不同计算方法的应用步骤和技巧;3. 强调每种方法的适用范围和注意事项,帮助学生理解方法的合理性。
步骤三:练习与提问(30分钟)1. 给学生提供一些基础练习题,让他们在教师指导下独立尝试解答;2. 鼓励学生多与同学合作、讨论,共同解决难题;3. 教师要随时引导学生思考和解决问题,及时纠正错误。
步骤四:实际问题应用(15分钟)1. 展示一些实际问题,引导学生分析问题中存在的极限概念;2. 引导学生运用所学的函数极限计算方法解决实际问题;3. 鼓励学生提出自己的问题,并引导他们进行探究和解决。
步骤五:总结与扩展(10分钟)1. 对本节课所学内容进行总结,强调函数极限的重要性和应用;2. 扩展函数极限概念,引导学生对其他相关内容进行进一步学习;3. 鼓励学生提出关于函数极限的问题和疑惑,及时解答。
人教版高中数学(理科)选修函数的极限1
函数的极限教学目标(一)教学知识点1.数列的极限是一个十分重要的概念,它的通俗定义是:随着项数n的无限增大,数列的项a n无限地趋近于某个常数a(即|a n-a|无限地接近于0),它有两个方面的意义.2.ε—N定义定量地刻划了数列的项a n怎样随n的无限增大而无限地趋近于常数a,要深刻理解|a n-a|能任意小,并保持任意小.对于ε的理解它既具有任意性又具有相对的固定性.3.定义法求简单数列的极限.(二)能力训练要求※1.掌握数列极限的ε—N的定义.※2.会用ε—N,求数列的极限.(三)德育渗透目标1.培养学生有限与无限、精确与近似、量变与质变的辩证关系.2.培养学生数形结合、极限的数学思想方法和灵活应变的解题能力,培养学生学会利用定义解题.3.通过“割圆术〞的介绍,培养学生的爱国主义精神和弘扬中华民族优秀文化的精神.教学重点理解数列的极限的直观描述方式的定义,只是对数列变化趋势的定性说明,而不是定量化的定义.“随着项数n的无限增大,数列的项a n无限地趋近于某个常数a〞的意义有两个方面:一方面,数列的项a n趋近于a是在无限过程中进行的,即随着n的增大a n越来越接近于a;另一方面,a n不是一般地趋近于a,而是“无限〞地趋近于a,即|a n-a|随n的增大而无限地趋近于0.理解数列的极限的ε—N的定义是定量地刻划了数列的项a n怎样随n的无限增大而无限地趋近于常数a.对于预先指定的任意小的正数ε,都存在一个正整数N,使得只要n>N,就有|a n-a|<ε.教学难点数列的极限的ε—N定义的理解,这个定义具有一定的抽象性.数列{a n}的极限为a,意味着当n无限增大时,|a n-a|能任意小,并保持任意小.这就是说,对于预先给定的任意小的正数ε,都可以找到相应的N,当n>N时,|a n-a|比ε还要小,即{a n}中第N项以后的所有项都保持|a n-a|<ε.利用数列的极限的定义求数列的极限的步骤是:求|a n-a|的解析式(关于n)→求解关于n的不等式|a n-a|<ε(ε是任意给定的小正数)n>n0→取n0的整数部分作为N→由定义得出∞→n lima n =a .教学方法建构主义理论指导教学法. 教具准备 准备三X 幻灯片 第一X :(记作A)作圆的内接正六边形,再平分每条边所对的弧,作圆的内接正十二边形;用同样的方法继续作圆的内接正二十四边形,正四十八边形,…….问题1:随着边数的不断增加,圆内接正多边形圆,圆内接正多边形的周长也圆的. 问题2:设圆的半径为R ,圆内接正三角形,正四边形,…,正n 边形…的周长组成数列,P 3,P 4,P 5,P 6,…,P n ,….通项P n 的公式是什么:即P n =.当n 无限增大时, P n 是否应无限呢?第二X :(记作B)请观察以下数列,随n 变化时,a n 是否趋向于某一个常数:(1)n n a n 12+=; (2)nn a )31(3-=; (3)a n =4·(-1)n -1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n101第三X :(记作C)Ⅰ.课题导入[师]高一上学期我们学习了数列的有关概念、数列通项公式的求法,仔细研究了两个重要的数列——等差数列,等比数列.打出幻灯片A ,让同学们解决以下问题:[师]按影片上的要求,我们再画出正二十四边形,正四十八边形,…,从直观上看,随着边数的不断增加,圆内接正多边形与圆的关系?正多边形的周长与圆周长的关系是什么?[生1]正多边形越来越接近(逼近、趋近)于圆;圆内接正多边形的周长也就越来越接近(逼近、趋近)于圆的周长.[师]设圆的半径为R ,圆内接正三角形、正四边形、正五边形、…,正n 边形的周长所组成的数列P 3,P 4,P 5,…,P n ,….那么通项公式P n =.[生2]P 3=3·2R sin R333=π,P 4=4·2R sin R244=π,P 5=2R sin 5π×5=10R sin 5π,…,P n =n ·2R sin n π.[师]由图形可以直观看出当n 趋向无限大时,P n 就无限地趋向于什么呢? [生3]P n 无限地趋向于2πR .[师]这也是数列的另一个重要方面,今天我们就来学习研究数列的另一个侧面:随n 变化时,a n 是否趋向于某一个常数(虽然“趋向于〞并没有确切定义,但是同学们能感觉是什么意思——由“粗〞到“细〞.板书:研究数列a n 随n 变化时是否趋向于某一个常数) Ⅱ.讲授新课打出幻灯片B ,请同学们观察以下数列,随n 变化时,a n 是否趋向于某一个常数:(1)n n a n 12+=; (2)nn a )31(3-=; (3)a n =4·(-1)n -1; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(21)n ; (8)a n =6+n101.大部分学生在观察、思考,有的在草稿纸上写、画,有的在一起共同讨论.(几分钟以后)教师:“第一个数列a n =n n 12+趋向于一个常数吗?〞几乎全体学生:“趋向于2〞(板书:(1)n →∞,a n →2).“第二个呢〞“趋向于3〞(板书:(2)n →∞,a n →3).[师](小结)数列(1)中,a n 趋向于2;数列(2)中,a n 趋向于3. “第三个数列a n =4·(-1)n -1趋向于一个常数吗?〞 [生4]n 为奇数时趋向4,n 为偶数时趋向于-4. [生5]不趋向于任何常数.持这两种观点的学生在一起激烈地争论.经过短暂的探讨,形成了一致的结论,学生一致认为:它一会儿是4,一会儿是-4,不趋向于一个固定的常数.[师]噢,原来它是一个“朝三暮四〞的数列.不“朝四暮负四〞的数列. 学生大笑,课堂气氛十分和谐、宽松.[师]第四个数列a n =2n ,它是否趋向某一个常数呢? [生6]数列a n =2n ,趋向于+∞.几乎有80%的同学都认为这是对的,但也有几个学生提出质疑,或在位子上直摇头. [生7](突然站起来)数列a n =2n 不趋向于+∞,实质上+∞不是一个具体的固定的常数. [生6]站起来(反驳)+∞是一个很大很大的数,是一个要多大有多大的数.[生7](也不甘示弱,同时生7的支持者也参与声援),一个要多大有多大的数,那么究竟是什么样的固定常数呢?你们能找出来吗?或者讲,能确定这个数吗?[生6](思考片刻后)不能,但好像应该存在.[师](小结)大家争论得很好,你的思维能力就是在思维火花碰撞中发展起来的,“‘+∞’不是一个确定的数,是用来描述变量状态的.〞这一次是真理掌握在少数人的手中.课堂中,学生热烈鼓掌,异常兴奋.[师]第五个数列a n =3是否趋向某一个常数呢?这时学生中又出现很大的分歧.80%的学生认为不趋向于3,认为它就是3,谈不上趋向不趋向于3.还是形成两种观点的激烈辩论.[生8]刚才大部分学生没有把数列看成函数,根据数列的定义,它可以是一个特殊的函数.而a n =3表示一个常量函数,不论n 取何值,a n 都是3,也就是常数为3.(板书:n →∞时,a n →3)此时学生都认为[生8]的解释是完全正确的,大家齐为她鼓掌,该生在掌声中微笑,从掌声中体验到成功的乐趣.[师]第六个数列a n =n n 2)1(1--是否趋向于某一个常数? [生9]数列a n =n n 2)1(1--趋向于零.(板书:n →+∞时,a n →0)[师]它是怎样趋向于零的呢? [生9]像阻尼振动一样,振幅越来越小. [师]能靠上零吗? [生9]不能.[师]这个“运动〞会停止吗? [生9]不会.[师]第七、第八两个数列是否趋向于某一个常数?[生10]a n =(21)n 趋向于0,a n =6+(101)n 趋向于6(板书n →∞时,a n =(21)n →0,a n =6+(101)n→6).教师小结各数列是否“趋向于〞一个常数的情况.[师]你们认为随着n 的不断变化,数列a n =n n 12+趋向于2.你们的“趋向于〞我还不明白是怎么回事,我想请一个同学来解释一下什么叫“趋向于2〞.[生11]就是无限接近2. [师]什么叫“无限接近〞?[生11]“就是n 越来越大,a n 与2的差越来越小〞.学生又补充说“就是距离|a n -2|越来越小.〞[师]距离|a n -2|比要小,行不行?(板书:|a n -2|<0.1) [生11]行,只要n >10即可.[师]距离|a n -2|比要小,行不行?(板书:|a n -2|<0.01). [生11]行,只要n >100即可.教师打出投影C.从图象上来看a n 与常数的距离越来越小,同时教师也可以借助于电脑来验证一下.这时教室的屏幕上出现数列a n =n n 12+的图象,并同时给出y ,y 的图象,故意给出的n 的取值X 围是1,…,5.图象并不在,2.1)间.[师]数列中的各项并不在,2.1)上,并不靠近2呀. 片刻[生12]:老师,你给出的n 太小了.把n 的X 围设定为11,12…,19时,数列的各项都在区间,2.1)上了.[师]看样子,当n 在(10,20)上时,数列的各项是在,2.1)上了,会不会n 到了(100,120)间,数列中有一项跑出,2.1)呢?把n 的X 围设定为(100,120),同学们发现数列的各项离2更近了. [师]你们认为在区间,2.1)上,此数列有多少项? [生13]有无限项.[师]有无限项?赞成的请举手(全体学生都举手).再给出|a n -2|<呢?多少项以后,这个数列的各项就能在区间,2.01)上,大多数同学说100项以后,但有几个同学不假思索就说1000、2000等都可以.[师]对,是100项以后.刚才,我听到几个同学说1000、2000、10000项,你们算了吗? [生14](这类学生的代表)没算.只要有就行. [师]你们认为他的说法对不对呢? 学生齐声道:对![师]对给出的小正数,只要能找到一项,使这一项以后的各项与2的差的绝对值小于就可以了,不必计较大小.(然后,再给出|a n -2|<,|a n -2|<,用电脑进行了演示).刚才那几个同学找出1000、2000、10000项的同学在课堂学习中能实事求是回答自己的过程是十分可贵的,有了这种精神和态度,你们不仅数学成绩能大幅度提高,同时你们的优秀品质也正在形成.(教师的人格力量对学生的影响是永远的,教师不仅仅是传授知识,同时也是学生思想工作的第一线工作者).教师一边与学生讨论一边板书,至此,黑板形成的板书是:(1)a n =n n 12+,n →∞,a n →2n >N : 10 100 1000 10000 …… |a n -2|<:0.1 0.01 0.001 0.0001 ……[师]我们把第二行中的数找个代表记作ε,第一行中的数记作N .此时ε代表了,,,,…就是不论给定一个多么小的正数ε(如,,,,……),都能找到一个自然数N (如10,100,1000,10000,……),使a N 以后各项与2的差的绝对值|a n -2|都小于ε,即|a n -2|<ε恒成立.你们的“趋向于1〞是这个意思吗?[生](齐声回答)是.[师]给出一个ε,都可以找到一个N ,那么ε与N 是什么样的关系呢? [生15]N 与ε的关系是通过解关于n 的不等式|a n -2|<ε找出来的. [师]你能具体地解一下吗?[生15](走上讲台,拿起粉笔在黑板上写)|a n -2|<ε即是n 1<ε(因为|a n -2|=|n n 12+-2|=|2+n 1-2|=n 1).∴n >ε1.这样N =ε1(检验ε,,,时都是正确的).[师]如果ε呢?[生15]也可以,3100000003.01==N ?(片刻)噢,不对,310000不是整数.那就取N =3334,就可以了.(又补充道)或3334以后的任何一个整数都可以作为N .[师]回答很好.究竟N 如何确定呢?[生16]刚才解出n >ε1,取ε1的整数部分作为N ,记作N =[ε1].(同学们一致赞同)教师小结,提出数列极限的定义,请几位同学总结概括,教师与学生共同完成定义(板书):对于无穷数列{a n },如果存在一个常数A ,无论预先指定的多么小的正数ε,都能在数列中找到一项a N ,使得这一项后面的所有项与A 的差的绝对值都小于ε,即当n >N 时,|a n -A |<ε恒成立,我们把常数A 叫做数列{a n }的极限,记作∞→n lima n =A .也可以写成:当n →∞时,a n→A .这就是数列极限的定义(板书:本节课题数列极限的定义).根据这个定义,我们再来查一下其他几个数列.[师]运用定义说明(3)a n =4·(-1)n -1;(4)a n =2n 为何没有极限?[生17]据第(3)题数列通项取n 的特殊值,一会儿是4,一会儿是-4,不存在常数A .对于第(4)题a n =2n ,也是不存在常数A .[师]“3〞是常数列{a n =3}的极限吗?为什么?[生18](停顿片刻,原来认为数列a n =3不趋向于某一个常数的代表生8)3是常数列{a n =3}的极限.[师]对,数列{3}的极限就是3,这符合数列极限的定义吗?[生18]符合数列极限的定义.因为|a n -3|=|3-小于任何一个小正数ε,即对任意给定的小正数ε,都可以找到一项a N (N =1),使得从这一项开始以后的所有项a n ,都满足|a n -0|<ε恒成立.对于这个数列,第一项开始就满足.[师]回答很好.常数列的极限就是这个常数本身,你们赞成不赞成? 生齐声回答:赞成! Ⅲ.例题分析例(课本P 65例1)考查下面的数列,写出它们的极限:(1),1,,271,81,13n ;,,,…,7-n105,…; (3) ,)2(1,,81,41,21n---.[师]求数列的极限,可以归为前面我们常见的几道题型中去.然后再利用定义直观判断. 此题的知识点:极限的定义.[生19](1)数列{31n }的项随n 的增大而减小,但大于0,且当n 无限增大时,31n 无限地趋近于0.因此,数列{31n }的极限是0.事实上,|a n -0|=|31n -0|=31n ,对于给定任意小的正数ε,都能找到N ,使得当n >N 时,|a n -0|<ε恒成立,此题N =[31ε].[生20](2)数列{7-n 105}的项随n 的增大而增大,但小于7,且当n 无限增大时,7-n105无限地趋近于7.因此,数列{7-n105}的极限是7.[生21](3)数列{n)2(1-}的项正负交替,随n 增大其绝对值减小,但不等于0,并且当n 无限增大时,n )2(1-无限地趋近于0.因此,数列{n)2(1-}的极限是0.Ⅳ.课堂练习 1.选择题(1)命题:①单调递减的无穷数列不存在极限;②常数列的极限是这个常数本身;③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的选项是( )A.0B.1(2)数列{a n }的极限为a 的意义为( )A.当n 无限增大时,|a n -a |能任意小,并保持任意小.B.当n 无限增大时,a n -a 单调递减C.当n 无限增大时,|a n -a |能取到零D.当n 无限增大时,|a n -a |必能取到零 (3)以下数列,不存在极限的是…( )A. ,)1(,,271,81,131n n --- B. ,)1(1,,431,321,211+⋅⋅⋅n nC.-1,1,-1,1,…,(-1)n ,…D.,1,,34,23,2n n +答案:(1)B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n 1这是无穷单调递减数列,它的极限是零;③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列,它的极限是零.因为|a n -0|=|n n 2)1(1---0|=n 21可以任意小.应选B.(2)A.由极限的定义知应选A.对于B 、C 、D 可以举反例:a n =n n 2)1(1--它的极限是0,但a n -a =n n 2)1(1--是一个摇摆的数列,故排除B.当n 无限增大时,|a n -a |=n 21永远不能为0,故排除C 、D.(3)C.选项A 的极限是0,选项B ,a n =)1(1+n n 的极限是0,选项D 的极限a n =n n 1+=1+n1→0+1=1.2.将以下数列的前n 项分别在数轴上表示出来,并根据图形,“估计〞它们的极限值.(1){n 1};(2){1-n21};(3)a n =(-1)n ·n 1;(4)a n =(-1)n -1·2.解:(1)lim =∞→n n a(2)估计:a n 的极限为1(3)估计:a n 的极限为0 (4)a n 的极限不存在.3.数列的通项公式是a n =1+n n,那么该数列{a n }在第项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于10001.解:|a n -1|=|1+n n -1|=1000111<+n∴n >999. 故N =999.第999项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于10001.4.举一个无穷递增数列、无穷递减数列、无穷摇摆数列,使它们的极限均为2.解:单调递增数列:a n =2-n 1,a n =2-n21,…单调递减数列:a n =2+n 1,a n =2+n 21,…摇摆数列:a n =2+(-1)n n 1,a n =2+(-1)n ·n 21,…师:(解题回顾)本套课堂练习题着重是考查学生对数列极限定义的直观地认识和领悟,并能会用ε—N 的定义求数列的极限.同时定义法解题是解题策略中最常见的方法,美籍·匈牙利数学家G ·波利亚说过:让我们回到定义去吧!Ⅴ.课时小结本节学习了数列的极限的定义,经历两个阶段的演变,第一阶段是直观定义(描述性定义),它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力,例如第二X 幻灯片中的8个小题,数列是否趋近某一个常数,而这个定义不是很科学的,我们如何进行量化呢?于是进入了第二个阶段,数列的极限的ε—N 的定义,这个定义的产生过程是由直观概括,通过图象演示,引入距离|a n —A |来刻划它们项与该数A 的相距问题,经过我们大家的共同努力,终于得出了数列的极限的科学的定义.Ⅵ.课后作业1.选择题(1)数列{a n }的极限为a 可理解为:①随着项数n 的无限增大,数列的项a n 无限地趋近于常数a ;②数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的,随n 的增大a n 越来越接近于a ;③a n 无限地趋近于a ,|a n -a |随n 的增大而无限地趋近于0.以上命题正确的个数为( )A.0B.1答案:D (2)数列a n =n n )1(-中,如果预先给定的正数ε=3101存在正常数N ,使得只要正整数n >N时,就有|a n -0|<ε,那么正常数N 的最小值为( )4 B.103 4-3-1答案:B2.填空题(1)数列41,0,31,0,21,0,1,…的极限为. 答案:0(2)数列412,,37,25,3+n ,…,那么|a n -2|=,第项以后的所有项都满足|a n -2|<1001.答案:n 11003.考察数列,,,…,2+n 101,…它的极限是什么?说明理由.答案:设第n 项为a n =2+n 101,|a n -2|=n 101,对于任意给定的小正数ε,|a n -2|<ε,即n 101<ε.∴10n >ε1,∴n >lg ε1=-lg ε.取N =[-lg ε].∴当n >N 时,|a n -2|<ε恒成立,∴a n 的极限为2,即2)1012(lim =+∞→n n .板书设计。
2.3函数的极限
O
当x 趋向于正无穷大时,函数 当自变量x 取正值并无 1 限增大时,函数 y 1 的值 y 的极限是0,记作 x x 无限趋近于0,即|y-0|可以 x 1 变得任意小. 0 lim
x
x
y
O
x
同样地,当自变量 x 趋向于负无穷大时,函数
1 y 的值也无限趋近于0,于是我们说,当 x 趋向 x
当 x 时,f ( x ) 的值保持为-1,即 xlim f ( x ) 1;
1 1 lim 1 . 例2、观察函数 y 1 的图象,写出极限 x x x
1 1 lim 1 . 例2、观察函数 y 1 的图象,写出极限 x x x
几个常用的极限:
lim C C (C是常数)。
n
1 lim k 0( k 0, k是常数)。 n n
lim a 0(a为常数,a | 1). |
n n
1.当x 时,函数f ( x)的极限
1 考察函数 y 当x 无限增大时的变化趋势. x
x y 1 1 y 10 0.1 100 0.01 1000 0.001 10000 0.0001 100000 0.00001 ·· · ·· ·
n
结合函数图象,学会求一些函数的极限。
Thank You!
L/O/G/O
1 x A. lim ( 3 ) 0 x
B. lim 10 0
x x
C. lim ( 1 ) x 0
x
2
D. lim 2 x 0
x
练习 求当 x , x , 及x 时下列函数的极限.
解:
2x 1 (1) y ; | x|
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函数的极限
教学目标:1、使学生掌握当0x x →时函数的极限;
2、了解:A
x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件是
A x f x f x x x x ==-
+→→)(lim )(lim 0
教学重点:掌握当0x x →时函数的极限
教学难点:对“0x x ≠时,当0x x →时函数的极限的概念”的理解。
教学过程: 一、复习:
(1)=∞→n
n q lim _____1<q ;(2)).(_______1lim
*
∞→∈=N k x k x
(3)?
lim 22
=→x x
二、新课
就问题(3)展开讨论:函数2
x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势
当x 从左侧趋近于2时 (-
→2x )
当x 从右
侧趋近于2时 (+
→2x )
当x 无限趋近于1(1≠x )时的变化趋势; 函数的极限有概念:当自变量x 无限趋近于
0x (0x x ≠)时,如果函数)(x f y =无限趋近于
一个常数A ,就说当x 趋向0x 时,函数)(x f y =的极限是A ,记作A x f x x =→)(lim 0。
特别地,C
C x x =→0
lim ;
lim x x x x =→
三、例题
求下列函数在X =0处的极限
(1)121
lim 220---→x x x x (2)x x x 0lim → (3)=)(x f
0,10
,00
,22<+=>x x x x x
四、小结:函数极限存在的条件;如何求函数的极限。
五、练习及作业:
1、对于函数12+=x y 填写下表,并画出函数的图象,观察当x 无限趋近于1时的变化趋势,说出当1→x 时函数12+=x y 的极限
2、对于函数
12
-=x y 填写下表,并画出函数的图象,观察当x 无限趋近于3时的变化趋势,说出当3→x 时函数
12
-=x y 的极限
3* 121lim 221---→x x x x 32302)31()1(lim x x x x x +-+-→ )
c o s (s i n 2lim 22x x x x --→π
2
321lim
4
--+→x x x x a
x a x -+→20lim
(0>a ) x x 1lim 0→。