任意性和存在性的综合问题

任意性和存在性的综合问题：

1.已知函数,其中m ,a 均为实数． (1)求的极值；(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得 成立,求的取值范围．

2.设2()()x f x x ax b e =++（1）若2,2a b ==-，求()f x 极大值（2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，用a 表示b ，并确定()f x 的增区间（3）在（2）的条件下，设0a >，函数24()(14)x g x a e +=+，若[]12,0,4x x ∃∈使得12()()1f x g x -<成立，求a 的取值范围。（若将""∃改成""∀呢？）

变式训练：

若2()25f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，且[]12,1,1x x a ∀∈+时总有12()()4f x f x -≤，求a 的范围。

e ()ln ,()e

x x f x mx a x m g x =--=()g x 1,0m a =<12,[3,4]x x ∈12()x x ≠212111()()()()

f x f x

g x g x -<-a 2a =0(0,e]x ∈(0,e]1212,()t t t t ≠120()()()f t f t g x ==m

3.函数()ln f x x a x =-，（1）求函数的单调区间（2）若0a <，(]12,0,1x x ∀∈且12x x ≠，1212

11()()4f x f x x x -<-恒成立，求a 的取值范围

(变式训练)已知函数f(x)＝(a ＋1)lnx ＋ax 2＋1.(1) 讨论函数f(x)的单调性；

(2) 设a<－1.如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f(x 1)－f(x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围．

4.已知2

(),()ln a f x x g x x x x

=+=-，若对[]12,1,x x e ∀∈都有12()()f x g x ≥成立，求a 的范围。

5.已知'()ln

(1)12x f x f x =-+ （1）求'(2)f （2）求()f x 的单调区间和极值（3）1a ≥，22()325g x x ax a =-+-，若

对()00,1x ∀∈，总存在()10,2x ∈，使得10()()f x g x =成立，求a 的范围。

变式训练：

已知函数[]24(),0,233

x f x x x =∈+(1)求()f x 值域（2）设0a ≠，函数[]3211(),0,23

g x ax a x x =-∈，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]00,2x ∈，使10()()0f x g x -=，求a 的取值范围

6.（1）已知函数24123()21

x x f x x --=+，[]0,1x ∈，求函数()f x 的单调区间和值域； （2）已知1a ≥，函数32

()32g x x a x a =--，[]0,1x ∈，判断函数()g x 的单调性并证明；（3）当1a ≥时，对于上述（1），（2）小题中的函数()f x ，()g x ，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得21()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围。

7.已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠

（1）求证：函数()f x 在()0,+∞上是增函数（2）若函数()1y f x t =--有三个零点，求t 的值

（3）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围。

8.已知函数2()()f x x x a =-，2

()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值（2）设0a >，问是否存在0(1,)3

a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由（3）记函数[][]()()1()1H x f x g x =--，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围