任意性和存在性的综合问题
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任意性和存在性的综合问题:
1.已知函数,其中m ,a 均为实数. (1)求的极值;(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值;(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得 成立,求的取值范围.
2.设2()()x f x x ax b e =++(1)若2,2a b ==-,求()f x 极大值(2)若1x =是函数()f x 的一个极值点,用a 表示b ,并确定()f x 的增区间(3)在(2)的条件下,设0a >,函数24()(14)x g x a e +=+,若[]12,0,4x x ∃∈使得12()()1f x g x -<成立,求a 的取值范围。(若将""∃改成""∀呢?)
变式训练:
若2()25f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数,且[]12,1,1x x a ∀∈+时总有12()()4f x f x -≤,求a 的范围。
e ()ln ,()e
x x f x mx a x m g x =--=()g x 1,0m a =<12,[3,4]x x ∈12()x x ≠212111()()()()
f x f x
g x g x -<-a 2a =0(0,e]x ∈(0,e]1212,()t t t t ≠120()()()f t f t g x ==m
3.函数()ln f x x a x =-,(1)求函数的单调区间(2)若0a <,(]12,0,1x x ∀∈且12x x ≠,1212
11()()4f x f x x x -<-恒成立,求a 的取值范围
(变式训练)已知函数f(x)=(a +1)lnx +ax 2+1.(1) 讨论函数f(x)的单调性;
(2) 设a<-1.如果对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f(x 1)-f(x 2)|≥4|x 1-x 2|,求a 的取值范围.
4.已知2
(),()ln a f x x g x x x x
=+=-,若对[]12,1,x x e ∀∈都有12()()f x g x ≥成立,求a 的范围。
5.已知'()ln
(1)12x f x f x =-+ (1)求'(2)f (2)求()f x 的单调区间和极值(3)1a ≥,22()325g x x ax a =-+-,若
对()00,1x ∀∈,总存在()10,2x ∈,使得10()()f x g x =成立,求a 的范围。
变式训练:
已知函数[]24(),0,233
x f x x x =∈+(1)求()f x 值域(2)设0a ≠,函数[]3211(),0,23
g x ax a x x =-∈,若对任意[]10,2x ∈,总存在[]00,2x ∈,使10()()0f x g x -=,求a 的取值范围
6.(1)已知函数24123()21
x x f x x --=+,[]0,1x ∈,求函数()f x 的单调区间和值域; (2)已知1a ≥,函数32
()32g x x a x a =--,[]0,1x ∈,判断函数()g x 的单调性并证明;(3)当1a ≥时,对于上述(1),(2)小题中的函数()f x ,()g x ,若对于任意[]10,1x ∈,总存在[]20,1x ∈,使得21()()g x f x =成立,求实数a 的取值范围。
7.已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠
(1)求证:函数()f x 在()0,+∞上是增函数(2)若函数()1y f x t =--有三个零点,求t 的值
(3)若存在[]12,1,1x x ∈-,使得12()()1f x f x e -≥-,试求a 的取值范围。
8.已知函数2()()f x x x a =-,2
()(1)g x x a x a =-+-+(其中a 为常数)(1)如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点,求a 的值(2)设0a >,问是否存在0(1,)3
a x ∈-,使得00()()f x g x >,若存在,请求出实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由(3)记函数[][]()()1()1H x f x g x =--,若函数()y H x =有5个不同的零点,求实数a 的取值范围