一题多解之五种方法解一道经典数学题

O B

C

D

①

A 一题多解之五种方法解一道经典数学题

江苏海安紫石中学 黄本华

一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！

例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ，

C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．

【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。这就要用到条件∠CBA ＝45°。但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2

2

10AB OA OB =+=，

5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在

RT OBC ∆中，

根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()2

222

13(55)x x ++=-，解得15

2

x =-

（舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．

解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ， ∵点A （﹣1，0），B （0，3），

∴1OA =，3OB =，∴2

2

10AB OA OB =+=， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴5BD AD ==

设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=

+255BC x =

-+，

在152

x =-

中，222OC OB BC +=2

，即()222213(55)x x ++=-）， 解得x 1=﹣

（舍去），25x =，

②

③

∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+， 解得12k =

，∴直线BC 的解析式为1

32

y x =+． 【点评】虽然这种解法思路比较清晰，但是用勾股定理得出的方程比较复杂，解方程很繁，很费时，很累。当我们作AD BC ⊥时，我们应该想到求出D 点坐标不也可以吗？根据

ABD ∆是等腰直角三角形，我们很容易构造K 型全等形AED DFB ∆≅∆，如图②，从而求

出D 点坐标。

解法二：作AD ⊥BC 于D ，DE OC ⊥于E

BF DE ⊥于F ，如图②

易证AED DFB ∆≅∆，设AE x =， 则DE =1FB x =+，1FD OA ==

113x ∴++=，∴1x =，(2,2)D ∴-

设直线BC 的解析式为3y kx =+，

232k -+=，解得12

k =

∴∴直线BC 的解析式为1

32

y x =

+． 【点评】比较方法一和方法二，方法二计算量显然比解法一要少很多了。

进一步探索：我们如果如图③构造等腰直角三角形和K 型全等型ADE BOA ∆≅∆，是不是更容易求出点的坐标呢？我们会惊喜地发现D 点坐标几乎不用计算，就可以求出。

解法三：AD AB ⊥交BC 于D ，DE OC ⊥于E 易证：ADE BOA ∆≅∆，

==1DE OA ∴， =3AE OB =，

(41D ∴-，）

设直线BC 的解析式为3y kx =+，

∴431k -+=，∴1

2

k =

∴∴直线BC 的解析式为1

32

y x =

+． 【点评】显然，解法三又比前两种解法简便多了。但是我们不容易想到解法三的原因是：过点A 只习惯作BC 的垂线，而不习惯作AB 的垂线。因此，我们只有通过一题多解的训练，才能拓展我们的思维，克服定势思维。

继续探究：如果我们过C 点作AB 的垂线，构造等腰BCD ∆，如图④，可以做吗？

⑤

O B

C

A

容易发现ADC AOB ∆∆，则::::1:310AD DC AC AO BO AB ==：，

这样也容易求出C 点的坐标。

解法四：如图④，作CD AB ⊥于D ， 易证：ADC AOB ∆∆

则::::1:310AD DC AC AO BO AB ==： 设：AD x =，则3DC DB x ==

310x x -=102

x =

105AC x ∴==，6OC ∴=， (6,0)C ∴-

设直线BC 的解析式为y=kx+3

∴630k -+=，解得12

k =

∴直线BC 的解析式为y=

x+3．

【点评】这种解法也是不错的哦！

换个思路分析一下：要求直线BC 的解析式，并不一定要再求一个点的坐标，只要求出比例系数k 就行了。即求出

BO

OC

的值即可。因此，只要我们掌握公式tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

++=

-，

那么，辅助线都不用作，就能轻易做出。

解法五:

tan 45tan tan tan(45)1tan 45tan ABO CBO ABO ABO ︒+∠∠=︒+∠=-︒∠1

1321

13

+

=

=- 即2CO BO =，∴12

BO k CO == ∴直线BC 的解析式为y=

x+3．

【点评】哇！多记一个公式，解法这么简单！原来知识丰富，解题方法也就丰富啊！ 通过过这道题的解法研究，我们可以发现，这道题把一次函数与等腰直角三角形，勾股定理，方程，全等三角形，相似三角形，三角函数等知识都联系起来了，所以一题多解训练，才能真正发挥例题的功能，不仅能复习或巩固更多的知识，也发散了我们的思维，拓展了我们的思路。如果我们经常的对一些题目尝试一题多解，何愁数学不拔尖呢？