【第二版】计算机控制系统(康波 李云霞)第2章
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傅里叶级数： 给定任意一个周期为T的函数f(t)=f(t+T),如果它有 限区间内有界且只有有限个间断点，则将其可展开成傅氏级数
f
t
a0 2
ak
k 1
coskst
bk
s in kst
式中，
ak
2 T
T
2 T
2
f tcoskstdt
bk
2 T
连续连续信号 6 e(t)
（模拟信号）
5 4
离散离散信号 3
（t 采样信号)
2 1
t
0123456
0123456
6 e(t)
5 4
离散离散信号
110 101
e(t)
3 2 1
离散数字信号
100 011
（数字信号）
010
t
001 000
t
0123456
0123456
内容提要
2.1 CCS中的信号种类 2.2 CCS中的信号转换过程分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的量化
f t e jtdt
傅里叶变换 位移定理
F * j
1 T
F j
n
jns
...
1 T
F
j
j 2s
1 T
F
j
js
1 T
F
j
1 T
F j
js
1 T
F j
j2s ...
F * j
32
物理上可实现的采样信号的非理想恢复
物理上可实现的恢复只能以现在时刻及过
去时刻的采样值为基础，通过外推插值来 实现
零阶外插值—— 零阶保持器 一阶外插值—— 一阶保持器
为什么叫零阶？一阶？
对 f (t) 在 t kT 时刻，进行泰勒级数展开：
f (t) f (kT ) f '(kT )(t kT ) f '' (kT ) (t kT )2 ... 2!
t
Ck e jkst
k
Ck
1 T
T
2 T
f
2
t e jkst dt
f t T t t kT k
教材21页2.11式
f
*t
f
tT t
f
t• 1
T
e jkst
k
F j F f t
模拟信号 采样信号
数字信号
2.2.1 信号的采样
单位脉冲函数： (t)
∞ δ(t)
1/Δt A=1
δ(t) 延迟t0
1
1
δ(t-t0)
0
t
0 Δt t
(t
)
0
(t)dt
1
t0 t0
延迟t0
0
t
0 t0 t
用长度为1的箭头表示
(t
t0
做理想采样
f *(t) ：理想采样信号
采样过程的描述
采样系统的分类： 均匀采样：采样周期不变 非均匀采样：采样周期是变化的 随机采样：采样周期是随机变化的
单速率采样系统：在一个系统里，各采样 开关的采样周期相同
多速率采样系统：在一个系统里，各采样 开关的采样周期不同
理想采样信号的时域数学描述
2.2 CCS中的信号转换过程分析
计算机控制系统中的信号转换包括以下过程：
A
B
量化 C
编码
D
E
计算机
F
解码 G
保持 H
A点 B点 C点 G点 D点 F点
E点
H点
6 e(t) 5 4 3 2 1
012
3
45
e(t) 6 5 4 3 2 1t
6012
3
4
5
e(t) 6 5 4 3 2 t1
6 012
s 2max
T F*( j)
s
max max
s
s
s 2max
T F *( j)
s max
maxs
频率混叠 s
内容提要
2.1 CCS中的信号种类 2.2 CCS中的信号转换过程分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的量化
2.3 信号的恢复与重构
延迟kT
(n
kN
)
1 0
n kN n kN
采样过程的描述
连续信号：f (t)
T τ
开 结开 结 始 束始 束 采 采采 采 样 样样 样
f(t)
f(t)
T
：采样一次所需要的时间
T ：相邻两次采样之间的时
间间隔，叫采样周期
由于T ? ，为了简化，则
认为 0 ，此时的采样叫
理想滤波器
处理装置
理想滤波器 频域表达
理想滤波器 时域表达
不符合物理可实现系统的因果关系 （即系统响应不可能发生在输入信号作用之前），
因而该滤波器是物理不可实现的。
产生频谱混叠的两种情况
● 连续信号带宽有限时——ωs < 2ωm时，频谱 混叠；
● 连续信号带宽无限时——必然混叠；实际信号 一般如此
机械工业出 版社
清华大学 电子工业出
出版社
版社
第二章 计算机控制系统信号分析
内容提要
2.1 CCS中的信号种类 2.2 CCS中的信号转换过程分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的量化
2.1 CCS中的信号种类
A 模拟控制器 B 被控对象
C
连续系统：
A、B、C点的信号都是连续模拟信号 计算机控制系统：
T
2 T
2
f tsinkstdt
k 0,1,2,...
s 2 T
k 0,1,2,... 为基波角频率
欧拉公式：
sin kt 1 e jkt e jkt 2j
cos kt 1 e jkt e jkt 2
f
——频谱混叠现象、采样定理、前置滤波器
问题的提出：不失真恢复信号的条件
时域上——由离散的采样值求出所对应的连 续时间函数；
频域上——除去采样信号频谱的旁带，保留 基频分量。
不失真的恢复需要具备3个条件
➢ 原连续信号的频谱必须是有限带宽的 频谱
➢ 采样必须满足采样定理，即 ➢ 具有理想低通滤波器
采样信号理想恢复过程中的信号处理（频域）
A A/D ? 计算机 ? D/A B 被控对象
C
数字控制器
数字控制器中，各点的信号形式多样
2.1 CCS中的信号种类
从时间上区分：
连续时间：在任何时刻都可以取值的信号
离散时间：仅在离散断续时刻出现的信号
6 e(t)
e(t) 6
e(t) 6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
t1
t1
t
0123456 0123456
连续时间信号
离散时间信号
0123456
离散时间信号
2.1 CCS中的信号种类
从幅值上区分： 连续：信号的幅值可取任何值的信号 离散：幅值上取一系列离散值 数字：幅值用一定位数的二进制编码 形式表示
计算机控制系统中的信号
时间 幅值
连续
离散
连续
离散
数字 二进制
6 e(t) 5 4 3 2 1
取级数的第一项 f (t) f (kT ), kT t (k 1)T , k 0,1,2,... 由于仅仅取级数的常数项，或者说采取恒值 外推，所以叫零阶保持器 一阶保持：f (t) f (kT ) (t kT ) f (kT ) f (kT T ) ,
T kT t (k 1)T ,k 0,1,2,...
零阶保持器允许采样信号的高频分量通过 ，不过它的幅值是逐渐衰减的。
相频特性：零阶保持器是一个相位滞后环
节，相位滞后的大小与信号频率及采样周
期T成正比。
为降低高频噪声的影响，在零阶保 持器后，加入模拟低通滤波器，滤 除不必要的高频 分量，称为后置 滤波器。该滤波器对波形起平滑作 用，也称平滑滤波器。
采样信号f *(t)是一数字序列，可分解成一系列单脉 冲之和，它可以看作连续信号被单位脉冲序列调制 的过程。
理想采样信号的时域数学描述
f *(t) f (0) f (T ) ... f (kT ) ...
f *(t) f (t) (t) f (t) (t T ) ... f (t) (t kT ) ...
高频频谱分量：n≠0，产生以ωs为周 期的高频频谱分量称为旁带。
采样信号的频谱除了基本频谱外，还派生 出无限多个以ωs 为周期的高频频谱分量
频谱混叠
若连续信号的频谱带宽有限，最高频率 为ωm，采样频率记为ωs ,那么：
ωs ≥2ωm时，不重叠， ωs < 2ωm时，频谱混叠
采样信号的频谱：采样频率为 s
3
4
5
e(t) 110
101
100
011
010
t 001
6
000 012
3
45
t 6
e(t) 110 101 100 011 010 001 000
012
3
4
5
t 6
e(t) 6 5 4 3 2 1
012
3
4
5
t 6
连续时间 离散时间 离散时间 离散时间 连续时间 连续时间
连续幅值 连续幅值 离散幅值 数字幅值 数字幅值 离散幅值
)
0
t t0 t t0
(t t0 )dt
1
2.2.1 信号的采样
单位脉冲序列： (n)
(n)
1 0
n 0; n 0;
它在数字系统中所起的作用和模拟系统中的冲激函
数 (t) 所起的作用相似。所不同的只是在n=0时，其
值为1，而不是无穷大。
例：已知采样信号的变化范围为(0, 5)，转换 字长为4位，求：输入为3时，对应的数字 信号。
5 q 0.3125
24 对应的数字信号为： 3 9.6
q
舍入量化：=10
截尾量化：=9
截尾取整误差
舍入取整误差
本章结束
1 T
F j
n
jns
理想采样信号频谱表达式：
当k = 0时， F* (jω) =F (jω)/T ，该项称为采样信号的 基本频谱，它正比于原连续信号f (t)的频谱，幅值相 差1/T。当k ≠ 0时，派生出以ωs为周期的谐波分量， 称为旁带。
基本频谱： n=0时，为采样信号的基本频 谱。它正比于原连续信号f(t) 的频谱，幅值相差1/T。
常用的量化方法： 舍入量化：对于小于量化单位的尾数进行四舍 五入的量化，即：大于q/2的入，小于q/2的舍。 截尾量化：对于小于量化单位的尾数全部截掉。
量化误差：
舍入量化误差： q ~ q, 22
截尾量化误差： 0 ~ q ,
最大误差： max
q 2
最大误差： max q
频率混叠现象的消除
前置滤波器：串在采样开关前面的模拟低通滤波器， 又叫做抗混叠滤波器。
F( j)
F ( j)
s 2
前置
采样
s 2 滤波max
max
采样
T F*( j) 恢复
T F( j)
恢复 T F ( j)
s 2
s 2
s 2
s 2
s 2
采样定理（香农定理）
● 定理：若连续信号为有限带宽（频率分量最 大值为ωm），当采样频率ωs ≥2ωm 时，原 连续信号完全可以用其采样信号来表征（采样 信号可以不失真地代表原连续信号）。
● 物理含义： ωs ≥2 ωm，对连续信号中所 含的最高频率的正弦分量来讲，能够做到1个 振荡周期内采样两次以上。
零阶保持器的时域表达 时域方程： 数学表达式：
零阶保持器的频域表达
传递函数： 频率特性：
Gh
(s)
1
eTs s
幅频特性： 相频特性：
频率特性图分析
理想滤波器的截止频率为c=s /2，在≤c 时，采样信号无失真地通过，在>c时锐
截止；而零阶保持器有无限多个截止频率
c＝ns(n＝1，2，…)，在0s内，幅值随 增加而衰减。
s 2
内容提要
2.1 CCS中的信号种类 2.2 CCS中的信号转换过程分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的量化
量化单位：
设采样信号f *(t)的变化范围为(fmin,fmax)，字长
为n位，则量化单位q为：
量化过程：
q
Βιβλιοθήκη Baidu
fmax fmin 2n
xq
x
q
f *(t) f (t) (t kT )
k 0
扩展到 ~ ， f *(t) f (t) (t kT )
令：
k
T (t) (t kT )
k
则： f * (t ) f (t ) T (t )
理想采样信号 时域表达式
理想采样信号的频域描述
f
t
a0 2
ak
k 1
coskst
bk
s in kst
式中，
ak
2 T
T
2 T
2
f tcoskstdt
bk
2 T
连续连续信号 6 e(t)
（模拟信号）
5 4
离散离散信号 3
（t 采样信号)
2 1
t
0123456
0123456
6 e(t)
5 4
离散离散信号
110 101
e(t)
3 2 1
离散数字信号
100 011
（数字信号）
010
t
001 000
t
0123456
0123456
内容提要
2.1 CCS中的信号种类 2.2 CCS中的信号转换过程分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的量化
f t e jtdt
傅里叶变换 位移定理
F * j
1 T
F j
n
jns
...
1 T
F
j
j 2s
1 T
F
j
js
1 T
F
j
1 T
F j
js
1 T
F j
j2s ...
F * j
32
物理上可实现的采样信号的非理想恢复
物理上可实现的恢复只能以现在时刻及过
去时刻的采样值为基础，通过外推插值来 实现
零阶外插值—— 零阶保持器 一阶外插值—— 一阶保持器
为什么叫零阶？一阶？
对 f (t) 在 t kT 时刻，进行泰勒级数展开：
f (t) f (kT ) f '(kT )(t kT ) f '' (kT ) (t kT )2 ... 2!
t
Ck e jkst
k
Ck
1 T
T
2 T
f
2
t e jkst dt
f t T t t kT k
教材21页2.11式
f
*t
f
tT t
f
t• 1
T
e jkst
k
F j F f t
模拟信号 采样信号
数字信号
2.2.1 信号的采样
单位脉冲函数： (t)
∞ δ(t)
1/Δt A=1
δ(t) 延迟t0
1
1
δ(t-t0)
0
t
0 Δt t
(t
)
0
(t)dt
1
t0 t0
延迟t0
0
t
0 t0 t
用长度为1的箭头表示
(t
t0
做理想采样
f *(t) ：理想采样信号
采样过程的描述
采样系统的分类： 均匀采样：采样周期不变 非均匀采样：采样周期是变化的 随机采样：采样周期是随机变化的
单速率采样系统：在一个系统里，各采样 开关的采样周期相同
多速率采样系统：在一个系统里，各采样 开关的采样周期不同
理想采样信号的时域数学描述
2.2 CCS中的信号转换过程分析
计算机控制系统中的信号转换包括以下过程：
A
B
量化 C
编码
D
E
计算机
F
解码 G
保持 H
A点 B点 C点 G点 D点 F点
E点
H点
6 e(t) 5 4 3 2 1
012
3
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e(t) 6 5 4 3 2 1t
6012
3
4
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e(t) 6 5 4 3 2 t1
6 012
s 2max
T F*( j)
s
max max
s
s
s 2max
T F *( j)
s max
maxs
频率混叠 s
内容提要
2.1 CCS中的信号种类 2.2 CCS中的信号转换过程分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的量化
2.3 信号的恢复与重构
延迟kT
(n
kN
)
1 0
n kN n kN
采样过程的描述
连续信号：f (t)
T τ
开 结开 结 始 束始 束 采 采采 采 样 样样 样
f(t)
f(t)
T
：采样一次所需要的时间
T ：相邻两次采样之间的时
间间隔，叫采样周期
由于T ? ，为了简化，则
认为 0 ，此时的采样叫
理想滤波器
处理装置
理想滤波器 频域表达
理想滤波器 时域表达
不符合物理可实现系统的因果关系 （即系统响应不可能发生在输入信号作用之前），
因而该滤波器是物理不可实现的。
产生频谱混叠的两种情况
● 连续信号带宽有限时——ωs < 2ωm时，频谱 混叠；
● 连续信号带宽无限时——必然混叠；实际信号 一般如此
机械工业出 版社
清华大学 电子工业出
出版社
版社
第二章 计算机控制系统信号分析
内容提要
2.1 CCS中的信号种类 2.2 CCS中的信号转换过程分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的量化
2.1 CCS中的信号种类
A 模拟控制器 B 被控对象
C
连续系统：
A、B、C点的信号都是连续模拟信号 计算机控制系统：
T
2 T
2
f tsinkstdt
k 0,1,2,...
s 2 T
k 0,1,2,... 为基波角频率
欧拉公式：
sin kt 1 e jkt e jkt 2j
cos kt 1 e jkt e jkt 2
f
——频谱混叠现象、采样定理、前置滤波器
问题的提出：不失真恢复信号的条件
时域上——由离散的采样值求出所对应的连 续时间函数；
频域上——除去采样信号频谱的旁带，保留 基频分量。
不失真的恢复需要具备3个条件
➢ 原连续信号的频谱必须是有限带宽的 频谱
➢ 采样必须满足采样定理，即 ➢ 具有理想低通滤波器
采样信号理想恢复过程中的信号处理（频域）
A A/D ? 计算机 ? D/A B 被控对象
C
数字控制器
数字控制器中，各点的信号形式多样
2.1 CCS中的信号种类
从时间上区分：
连续时间：在任何时刻都可以取值的信号
离散时间：仅在离散断续时刻出现的信号
6 e(t)
e(t) 6
e(t) 6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
t1
t1
t
0123456 0123456
连续时间信号
离散时间信号
0123456
离散时间信号
2.1 CCS中的信号种类
从幅值上区分： 连续：信号的幅值可取任何值的信号 离散：幅值上取一系列离散值 数字：幅值用一定位数的二进制编码 形式表示
计算机控制系统中的信号
时间 幅值
连续
离散
连续
离散
数字 二进制
6 e(t) 5 4 3 2 1
取级数的第一项 f (t) f (kT ), kT t (k 1)T , k 0,1,2,... 由于仅仅取级数的常数项，或者说采取恒值 外推，所以叫零阶保持器 一阶保持：f (t) f (kT ) (t kT ) f (kT ) f (kT T ) ,
T kT t (k 1)T ,k 0,1,2,...
零阶保持器允许采样信号的高频分量通过 ，不过它的幅值是逐渐衰减的。
相频特性：零阶保持器是一个相位滞后环
节，相位滞后的大小与信号频率及采样周
期T成正比。
为降低高频噪声的影响，在零阶保 持器后，加入模拟低通滤波器，滤 除不必要的高频 分量，称为后置 滤波器。该滤波器对波形起平滑作 用，也称平滑滤波器。
采样信号f *(t)是一数字序列，可分解成一系列单脉 冲之和，它可以看作连续信号被单位脉冲序列调制 的过程。
理想采样信号的时域数学描述
f *(t) f (0) f (T ) ... f (kT ) ...
f *(t) f (t) (t) f (t) (t T ) ... f (t) (t kT ) ...
高频频谱分量：n≠0，产生以ωs为周 期的高频频谱分量称为旁带。
采样信号的频谱除了基本频谱外，还派生 出无限多个以ωs 为周期的高频频谱分量
频谱混叠
若连续信号的频谱带宽有限，最高频率 为ωm，采样频率记为ωs ,那么：
ωs ≥2ωm时，不重叠， ωs < 2ωm时，频谱混叠
采样信号的频谱：采样频率为 s
3
4
5
e(t) 110
101
100
011
010
t 001
6
000 012
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t 6
e(t) 110 101 100 011 010 001 000
012
3
4
5
t 6
e(t) 6 5 4 3 2 1
012
3
4
5
t 6
连续时间 离散时间 离散时间 离散时间 连续时间 连续时间
连续幅值 连续幅值 离散幅值 数字幅值 数字幅值 离散幅值
)
0
t t0 t t0
(t t0 )dt
1
2.2.1 信号的采样
单位脉冲序列： (n)
(n)
1 0
n 0; n 0;
它在数字系统中所起的作用和模拟系统中的冲激函
数 (t) 所起的作用相似。所不同的只是在n=0时，其
值为1，而不是无穷大。
例：已知采样信号的变化范围为(0, 5)，转换 字长为4位，求：输入为3时，对应的数字 信号。
5 q 0.3125
24 对应的数字信号为： 3 9.6
q
舍入量化：=10
截尾量化：=9
截尾取整误差
舍入取整误差
本章结束
1 T
F j
n
jns
理想采样信号频谱表达式：
当k = 0时， F* (jω) =F (jω)/T ，该项称为采样信号的 基本频谱，它正比于原连续信号f (t)的频谱，幅值相 差1/T。当k ≠ 0时，派生出以ωs为周期的谐波分量， 称为旁带。
基本频谱： n=0时，为采样信号的基本频 谱。它正比于原连续信号f(t) 的频谱，幅值相差1/T。
常用的量化方法： 舍入量化：对于小于量化单位的尾数进行四舍 五入的量化，即：大于q/2的入，小于q/2的舍。 截尾量化：对于小于量化单位的尾数全部截掉。
量化误差：
舍入量化误差： q ~ q, 22
截尾量化误差： 0 ~ q ,
最大误差： max
q 2
最大误差： max q
频率混叠现象的消除
前置滤波器：串在采样开关前面的模拟低通滤波器， 又叫做抗混叠滤波器。
F( j)
F ( j)
s 2
前置
采样
s 2 滤波max
max
采样
T F*( j) 恢复
T F( j)
恢复 T F ( j)
s 2
s 2
s 2
s 2
s 2
采样定理（香农定理）
● 定理：若连续信号为有限带宽（频率分量最 大值为ωm），当采样频率ωs ≥2ωm 时，原 连续信号完全可以用其采样信号来表征（采样 信号可以不失真地代表原连续信号）。
● 物理含义： ωs ≥2 ωm，对连续信号中所 含的最高频率的正弦分量来讲，能够做到1个 振荡周期内采样两次以上。
零阶保持器的时域表达 时域方程： 数学表达式：
零阶保持器的频域表达
传递函数： 频率特性：
Gh
(s)
1
eTs s
幅频特性： 相频特性：
频率特性图分析
理想滤波器的截止频率为c=s /2，在≤c 时，采样信号无失真地通过，在>c时锐
截止；而零阶保持器有无限多个截止频率
c＝ns(n＝1，2，…)，在0s内，幅值随 增加而衰减。
s 2
内容提要
2.1 CCS中的信号种类 2.2 CCS中的信号转换过程分析 2.3 信号的恢复与重构 2.4 信号的量化
量化单位：
设采样信号f *(t)的变化范围为(fmin,fmax)，字长
为n位，则量化单位q为：
量化过程：
q
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fmax fmin 2n
xq
x
q
f *(t) f (t) (t kT )
k 0
扩展到 ~ ， f *(t) f (t) (t kT )
令：
k
T (t) (t kT )
k
则： f * (t ) f (t ) T (t )
理想采样信号 时域表达式
理想采样信号的频域描述