离散数学 第5章 习题解答

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离散数学第五章作业答案

离散数学第五章作业答案
解,用Dijkstra算法得
t
b
a
c
d
e
f
g
1
2
引入b
3
引入c
4
引入a
5
引入f
6
引入e
7
引入g
故b到其余各顶点的最短路径和距离为
b→a:ba,长度为4
b→c:bc,长度为1
b→d:bcegd,长度为9
b→e:bce,长度为5
b→f:bcf,长度为4
b→g:bceg,长度为7
5.20 解:
(1)画出项目网络图
5.1 设有向图D的度数列是2,2,3,3, 度列为0,0,2,3,试求D的出读列。
解:由于 ,故出度列为2,2,1,0.如图
5.5下面各无向图中有几个顶点?
(1)16条边,每个顶点都有2度顶点
(2)21条边,3个4度顶点,其余是3度顶点
(3)24条边,各顶点的度数相同的
解:设顶点个数为n,则有握手定理知:
(1)
(2)
(3)设顶点的度数为K,则nk=2*4=48且n,k均为正整数,
则① n=1,k=48 ⑥ n=8,k=6
② n=2,k=24 ⑦ n=12,k=4
③ n=3,k=16 ⑧ n=16,k=3
④ n=4,k=12⑨ n=24,k=2
⑤ n=6,k=8⑩n=48,k=1
5.11K4的生成子图中有几个非同构的自补图
解:由握手定理知2m=3n,又知2n-3=m则m=9,n=6
G不是唯一的,即使简单图也不唯一的如
5.18 有向图D在定义意义下长度为4的通路总数,并指出有多少条是回路,又有 到 通路。
解:由图 V4得D的邻接矩阵为
V1 则,

离散数学 (5)

离散数学 (5)

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一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 注意: 题目中没给个体域, 解 注意 题目中没给个体域 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数 G(y): y为负数 L(x,y): x>y 为正数, 为负数, 为正数 为负数 →y(G(y)→L(x,y))) 或 x(F(x)→ → → xy(F(x)∧G(y)→L(x,y)) ∧ → 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数 G(y): y是有理数 是无理数, 是有理数, 是无理数 是有理数 L(x,y):x>y : ∧y(G(y)∧L(x,y))) x(F(x)∧ ∧ ∧ 或 xy(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) ∧ ∧ 两者等值
6
谓词: 谓词 表示个体词的性质或相互之间关系的词 谓词常项: 谓词常项:表示具体性质或关系的谓词 F: …是人,F(a):a是人 是人, 是人 : 是人 是自然数, G: …是自然数, F(2):2是自然数 是自然数 : 是自然数 谓词变项: 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词 F: …具有性质 ,F(x):x具有性质 具有性质F, 具有性质具有性质 : 具有性质 元数: 元数:谓词中所包含的个体变项个数 一元谓词: 一元谓词 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词 ≥ 元谓词, 多元谓词 元谓词 n≥2): 表示个体词之间的关系 有关系L, 如 L(x,y): x与y有关系 , L(x,y): x比y高2厘米 : 与 有关系 : 比 高 厘米 注意:多元谓词中, 注意:多元谓词中,个体变项的顺序不能随意改动
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例1(续) 续
(2) 2 是无理数仅当 3 是有理数 2 在命题逻辑中, 是有理数. 在命题逻辑中 设 p: 2 是无理数,q: 33 : 2是无理数, : 是有理数 符号化为 q→p, 这是假命题 → 在一阶逻辑中, x是无理数 是无理数, x是有理 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 F ( ( 22 ) → G (3 )3 ) F ) → G( (3) 如果 如果2>3,则3<4 , 在命题逻辑中, 在命题逻辑中 设 p:2>3,q:3<4. : , : 符号化为 p→q, 这是真命题 → 在一阶逻辑中, 在一阶逻辑中 设 F(x,y):x>y,G(x,y):x<y, : , : 符号化为 F(2,3)→G(3,4) →

离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答习题五(第五章 格与布尔代数)1.设〈L ,≼〉是半序集,≼是L 上的整除关系。

问当L 取下列集合时,〈L ,≼〉是否是格。

a) L={1,2,3,4,6,12} b) L={1,2,3,4,6,8,12} c) L={1,2,3,4,5,6,8,9,10}[解] a) 〈L ,≼〉是格,因为L 中任两个元素都有上、下确界。

b) 〈L ,≼〉不是格。

因为L 中存在着两个元素没有上确界。

例如:812=LUB{8,12}不存在。

c) 〈L ,≼〉不是格。

因为L 中存在着两个元素没有上确界。

16312486312411倒例如:46=LUB{4,6}不存在。

2.设A ,B 是两个集合,f 是从A 到B 的映射。

证明:〈S ,⊆〉是〈2B,⊆〉的子格。

其中S={y|y=f (x),x ∈2A}[证] 对于任何B 1∈S ,存在着A 1∈2A,使B 1=f (A 1),由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B,故此S ⊆2B;又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A),所以S 非空;对于任何B 1,B 2∈S ,存在着A 1,A 2∈2A,使得B 1=f (A 1),B 2=f (A 2),从而 L ∪B{B 1,B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)=f (A 1∪A 2) (习题三的8的1)) 由于A 1∪A 2⊆A ,即A 1∪A 2∈2A,因此f (A 1∪A 2)∈S ,即上确界L ∪B{B 1,B 2}存在。

对于任何B 1,B 2∈S ,定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1},A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2},则A 1,A 2∈2A,且显然B 1=f (A 1),B 2=f (A 2),于是GLB{B 1,B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊇f (A 1∩A 2) (习题三的8的2))又若y ∈B 1∩B 2,则y ∈B ,且y ∈B 2。

《离散数学》课后习题解答--第5章

《离散数学》课后习题解答--第5章

习题5.11.设A=⎨a,b,c⎬,B=⎨1,2,3⎬,试说明下列A到B二元关系,哪些能构成A到B的函数?⑴f1=⎨<a,1>,<a,2>,<b,1>,<c,3>⎬⑵f2=⎨<a,1>,<b,1>,<c,1>⎬⑶f3=⎨<a,2>,<c,3>⎬⑷f4=⎨<a,3>,<b,2>,<c,3>,<b,3>⎬⑸f5=⎨<a,2>,<b,1>,<b,2>⎬解:⑴不能构成函数。

因为<a,1>∈f1且<a,2>∈f1⑵能构成函数⑶不能构成函数。

因为dom f3≠A⑷不能构成函数。

因为<b,2>∈f4且<b,3>∈f4⑸能构成函数。

2.试说明下列A上的二元关系,哪些能构成A到A的函数?⑴A=N(N为自然数集合),f1=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧a+b<10⎬⑵A=R(R为实数集合),f2=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=a2⎬⑶A=R(R为实数集合),f3=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b2=a⎬⑷A=N(N为自然数集合),f4=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b为小于a的素数的个数⎬⑸A=Z(Z为整数集合),f5=⎨<a,b>| a∈A∧b∈A∧b=|2a|+1⎬解:⑴不能构成函数。

由于1+1<10且1+2<10,所以<1,1>∈f1且<1,2>∈f1。

⑵能构成函数。

⑶不能构成函数。

由于12=1且(-1)2=1,所以<1,1>∈f3且<1,-1>∈f3。

⑷能构成函数。

⑸能构成函数。

3. 回答下列问题。

⑴设A=⎨a,b⎬,B=⎨1,2,3⎬。

求B A,验证|B A|= |B||A|。

离散数学第五章习题答案

离散数学第五章习题答案

离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上,如果对于所有的a, b, c属于A,满足以下条件:- 如果(a, b)属于R,则(b, a)属于R。

- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R,则(a, c)属于R。

证明R是传递的。

答案:根据题目给出的条件,R是对称的和传递的。

首先,对称性意味着如果(a, b)属于R,那么(b, a)也必须属于R。

其次,传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R,那么(a, c)也必须属于R。

结合这两个性质,我们可以得出结论:对于任意的a, b, c属于A,如果(a, b)和(b, c)都属于R,那么(a, c)也属于R,从而证明了R的传递性。

题目2: 给定一个函数f: A → B,如果对于A中的每个元素a,都有唯一的b属于B使得f(a) = b,那么称f为单射(或一一映射)。

证明如果函数f是单射,那么它的逆函数f^-1也是单射。

答案:要证明f^-1是单射,我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2,如果f^-1(b1) = f^-1(b2),则b1 = b2。

假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a',其中a, a'属于A。

由于f是单射,我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。

根据f^-1的定义,我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。

因此,如果f^-1(b1) = f^-1(b2),则b1必须等于b2,这证明了f^-1是单射。

题目3: 证明一个函数f: A → B是满射(或到上映射)当且仅当对于B中的每个元素b,都存在A中的元素a使得f(a) = b。

答案:首先,我们证明如果f是满射,那么对于B中的每个元素b,都存在A 中的元素a使得f(a) = b。

假设f是满射,这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。

因此,对于B中的任意元素b,我们可以找到一个a属于A,使得f(a) = b。

离散数学习题与解答()

离散数学习题与解答()

作业题与解答第一章19 (2)、(4) 、(6) 21 (1)、(2) 、(3)19、(2)解答: (p→┐p)→┐q 真值表如下:所以公式(p→┐q)→┐q 为可满足式19、(4)解答: (p→q)→(┐q→┐p) 真值表如下:所以公式(p→q)→(┐q→┐p)为永真式19、(6)解答: ((p→q)∧(q→r))→(p→r) 真值表如下:所以公式((p→q)∧(q→r))→(p→r)为永真式21、(1)解答: ┐(┐p∧q)∨┐r 真值表如下:所以成假赋值为:01121、(2)解答: (┐q∨r)∧(p→q)真值表如下:所以成假赋值为:010,100,101,11021、(3)解答: (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)真值表如下:所以成假赋值为:100,101第二章5、(1) (2) (3) 6、(1) (2) (3) 7、(1) (2) 8、(1) (2) (3)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值(1) (┐p→q)→(┐q∨p)⇔┐(┐p→q) ∨(┐q∨p)⇔┐(┐(┐p) ∨q) ∨(┐q∨p)⇔(┐p ∧┐q) ∨(┐q∨p)⇔(┐p ∧┐q) ∨(p ∧┐q)∨(p ∧q)⇔m0 ∨m 2∨m3,所以00,10,11 为成真赋值。

(2) (┐p→q)∧(q∧r)⇔(┐┐p∨q)∧(q∧r)⇔(p∨q)∧(q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)⇔m3∨m 7,所以011,111 为成真赋值。

(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔┐(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧(┐q∨┐r))∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧┐r)∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧┐q)∨((┐p∧┐r)∨(p∨q∨r))⇔(┐p∧┐q)∨((┐p∨p∨q∨r)∧(┐r∨p∨q∨r) )⇔(┐p∧┐q)∨(1∧1)⇔(┐p∧┐q)∨1⇔1⇔m0∨m1∨m 2∨m3∨m4∨m5∨m 6 ∨m 7,所以000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。

离散数学-第五章习题答案

离散数学-第五章习题答案

习题答案(P151~P153)1.用枚举法给出下列集合解:(2){-3,2}(4){5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}2.用抽象法说明下列集合解:(2){x|x为素数,10<x<20}(4){x|x为中国的省会}(6){x|x=2k+1,k∈I}3.判断下列哪些∈关系成立,为什麽?解:根据只有集合中的元素才与该集合有∈关系,故(1)、(4)、(6)、(7)成立,(2)、(3)、(5)、(8)不成立。

4.判断下列哪些集合相等(全集是整数集合I)解:A=G,B=E,C=F6.写出下列集合的幂集解:(2)ρ({1,∅})={∅,{1},{∅},{1,∅}}(4)ρ({∅,{a},{∅}})={∅,{∅},{{a}},{{∅}},{∅,{a}},{∅,{∅}},{{a},{∅}},{∅,{a},{∅}}}7.当把“⊆”插入空位时哪一个为真?解:(1)、(2)、(3)、(6)为真,(4)、(5)为假。

8.设A、B、C分别是集合,若A∈B,B∈C,哪麽A∈C一定成立吗?解:不一定,例如,A={a},B={{a}},C={{{a}}},虽然A∈B,B∈C,但A∈C不成立。

10.设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5}和C={2,4}试写出下列集合(8)ρ(A)-ρ(C)解:ρ(A)-ρ(C)={∅,{1},{4},{1,4}}-{∅,{2},{4},{2,4}}={{1},{1,4}}11.证明下列恒等式(1)A-(B⋂C)=(A-B)⋃(A-C)(2)(A-B)⋂B=∅解:(1)A-(B⋂C)= A⋂~(B⋂C)= A⋂(~B⋃~C)=(A⋂~B)⋃(A⋂~C)=(A-B)⋃(A-C)(2)(A-B)⋂B=(A⋂~B)⋂B= A⋂(~B⋂B)= ∅12.设A、B、C是集合,下列等式成立的条件是什么?(1)(A-B)⋃(A-C)=A(2)(A-B)⋃(A-C)= ∅解:(1)因为(A-B)⋃(A-C)= (A⋂~B)⋃(A⋂~C)= A⋂(~B⋃~C)= A⋂~(B⋂C)= A-(B⋂C)所以(A-B)⋃(A-C)=A 当且仅当A-(B⋂C)=A 由-的定义可知A⋂(B⋂C)=∅(2)由(1)可知,(A-B)⋃(A-C)=A-(B⋂C)所以(A-B)⋃(A-C)=∅当且仅当A-(B⋂C)=∅由定理5.11可知A⊆(B⋂C)13. 设A,B是集合(1)A-B=B,问A和B有何关系?(2)A-B=B-A, 问A和B有何关系?解:(1)A=B=φ。

大学_《离散数学》课后习题答案

大学_《离散数学》课后习题答案

《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分:集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分:图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分:代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分:组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分:命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学,即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。

教学方式以课堂讲授为主,课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。

《离散数学》学科内容随着信息时代的到来,工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化,离散数学的重要性逐渐被人们认识。

离散数学课程所传授的思想和方法,广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域,从科学计算到信息处理,从理论计算机科学到计算机应用技术,从计算机软件到计算机硬件,从人工智能到认知系统,无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机是一个离散结构,它只能处理离散的或离散化了的数量关系,因此,无论计算机科学本身,还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域,都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化,从而可由计算机加以处理。

离散数学是传统的逻辑学,集合论(包括函数),数论基础,算法设计,组合分析,离散概率,关系理论,图论与树,抽象代数(包括代数系统,群、环、域等),布尔代数,计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科,在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想,这是世界近代三大数学难题之一,它是在1852年,由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的,他在进行地图着色时,发现了一个现象,“每幅地图都可以仅用四种颜色着色,并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。

离散数学第5章_函数

离散数学第5章_函数

第5章 函数
证明 f和ρf的图示如图5 ― 2所示。 1) 任取a∈A, 有f(a)=f(a), 所以 (a, a)∈ρf, 故ρf自反; 任取a, b∈A, 若(a, b)∈ρf, 则f(a)=f(b), 所以 f(b)=f(a), 即(b 任取a, b, c∈A, 若(a, b)∈ρf, (b, c)∈ρf, 则f(a)=f(b), f(b)=f(c) , 所以 f(a)=f(c), 即(a, c)∈ρf; 故ρf传递。 综上ρf是A上的等价关系。
第5章 函数
任取b∈Rf, 由Rf的定义, 有a∈A, 使f(a)=b, 即有[a]∈A/ρf, 使得 g([a])=f(a)=b。 所以 g是满射。 综上g是双射。 定义 5.1 ― 5 恒等关系IA={(a, a)|a∈A}是A 到A的双射, 它称为A上的恒等函数。 定义 5.1 ― 6 若函数f: A→B, 对一切a∈A, 都 有f(a)=b, b∈B, 则f称为常函数。
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f: A→B, g: C→D, 若 有A=C、 B=D且对所有的x∈A, 有f(x)=g(x), 则称 函数f和g相等, 记为f=g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA, 即 BA={f|f: A→B}
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|=|B||A| 证明 设|A|=m, |B|=n(m, n∈N); 又设A={a1, a2, …, am}。 因为 Df=A,所以 f={(a1, f(a1)), (a2, f(a2)), …, (am , f(am))}。 而每个f(ai)(i∈Nm)都有n种可能, {n·n·…·n } =n +m个 m个即 |BA|=|B||A|

离散数学第3-5章习题答案

离散数学第3-5章习题答案

第三章1、用枚举法写出下列集合。

①英语句子“I am a student”中的英文字母;解:{I,a,m,s,t,u,d,e,n}②大于5小于13的所有偶数;解:{6,,8,10,12}③20的所有因数;解:{1,2,4,5,10,20}④小于20的6的正倍数。

解:{6,12,18}2、用描述法写出下列集合。

①全体奇数;解:S={x|x是奇数}②所有实数集上一元二次方程的解组成的集合;解:S={x|x是实数集上一元二次方程的解}③二进制数;解:S={x|x是二进制数}④能被5整除的整数集合。

解:S={x|x是能被5整除的整数}3、求下列集合的基数。

①“proper set”中的英文字母;解:S={p,r,o,e,s,t}所以 cardS=|S|=6②{{1,2},{2,1,1},{2,1,2,1}};解: cardS=|S|=3③{x|x=2或x=3或x=4或x=5};解:cardS=|S|=4④{{1,{2,3}}}。

解:cardS=|S|=14、求下列集合的幂集。

①“power set”中的英文字母;解:S={p,o,w,e,r,s,t}(S)是所有S的子集构成的集合,这里不一一列举了。

②{3,6,9};解:℘(S)={Φ ,{3},{6},{9},{3,6},{3,9},{6,9},{3,6,9}} ③小于20的5的正倍数;解:S={5,10,15} ℘(S)={Φ,{5},{10},{15},{5,10},{5,15},{10,15},{5,10,15}} ④{{1,3}}。

解:℘(S)={Φ,{1,3}}5、设Φ=A ,B=a ,求P(A) ,P(P(A)) ,P(P(P(A))) ,P(B) ,P(P(B)) ,P(P(P(B)))。

解:P(A)={Φ};P(P(A))={Φ,{Φ}};P(P(P(A)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}P(B)={Φ,a };P(P(B))={Φ,{Φ},{a},{Φ,a}};P(P(P(B)))={Φ,{Φ},{{Φ}},{{a}},{{Φ,a}},{Φ,{Φ}},{Φ,{a}},{Φ,{Φ,a}},{{Φ},{a}},{{Φ},{Φ,a}},{{a},{Φ,a}},{Φ,{Φ},{a}},{Φ,{Φ},{Φ,a}},{Φ,{a},{Φ,a}},{{Φ},{a},{Φ,a}},{{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}}.6、如果集合A 和B 分别满足下列条件,能得出A 和B 之间有什么联系? ①A ∪B=A ; ②A ∩B=A ; ③A -B=A ; ④A ∩B=A -B ; ⑤A -B=B -A ; ⑥A B A =⊕。

离散数学习题及解答

离散数学习题及解答

作业题与解答第一章19 (2)、(4) 、(6)21 (1)、(2) 、(3)19、(2)解答: (p→┐p)→┐q 真值表如下:所以公式(p→┐q)→┐q 为可满足式19、(4)解答: (p→q)→(┐q→┐p) 真值表如下:所以公式(p→q)→(┐q→┐p)为永真式19、(6)解答: ((p→q)∧(q→r))→(p→r) 真值表如下:所以公式((p→q)∧(q→r))→(p→r)为永真式21、(1)解答: ┐(┐p∧q)∨┐r 真值表如下:所以成假赋值为:01121、(2)解答: (┐q∨r)∧(p→q)真值表如下:所以成假赋值为:010,100,101,11021、(3)解答: (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)真值表如下:所以成假赋值为:100,101第二章5、(1) (2) (3) 6、(1) (2) (3) 7、(1) (2) 8、(1) (2) (3)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值(1) (┐p→q)→(┐q∨p)⇔┐(┐p→q) ∨(┐q∨p)⇔┐(┐(┐p) ∨q) ∨(┐q∨p)⇔(┐p ∧┐q) ∨(┐q∨p)⇔(┐p ∧┐q) ∨(p ∧┐q)∨(p ∧q)⇔m0 ∨m 2∨m3,所以00,10,11 为成真赋值。

(2) (┐p→q)∧(q∧r)⇔(┐┐p∨q)∧(q∧r)⇔(p∨q)∧(q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)⇔(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)⇔m3∨m 7,所以011,111 为成真赋值。

(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔┐(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧(┐q∨┐r))∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧┐r)∨(p∨q∨r)⇔(┐p∧┐q)∨((┐p∧┐r)∨(p∨q∨r))⇔(┐p∧┐q)∨((┐p∨p∨q∨r)∧(┐r∨p∨q∨r) )⇔(┐p∧┐q)∨(1∧1)⇔(┐p∧┐q)∨1⇔1⇔m0∨m1∨m 2∨m3∨m4∨m5∨m 6 ∨m 7,所以000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。

离散数学屈婉玲第五章_2022年学习资料

离散数学屈婉玲第五章_2022年学习资料

离散数学-实例-例1将下面命题用两种形式符号化,并证明两者等值:-1没有不犯错误的人-解令Fx:x是人,G :x犯错误.-3xPFxA一Gx-或-VxFx→Gx--3xFxΛ Gx-台xFxAGx-量词否定等值式-台 xFxVGx-置换-台VxFx→Gx-6
离散数学-实例-2不是所有的人都爱看电影-解令Fx:x是人,Gx:爱看电影.-一xFx→Gx或3xFxAx-台3xFx→Gx-量词否定等值式-台3x一(一FxVGx-置换-台3xFxAGx-7
离散数学-练习2-2.求下述公式的前束范式:-VxFx->yGx,yHx,y-解使用换名规则,-VxFxyGxyHxy-台VzFz→]yGxyHx,y-台3zFZ→]yGxyHxy-yF>Gx,yHx,y-使用 替规则-台VxFx→]yGzyHzy-台3xFx→]yG亿yH亿y-→3x3yFx→GkyHZy-18
离散数学置换规则、换名规则、代替规则-1.置换规则-设A是含A的公式,那么,若A台B,则A台B.-2.换名 则-设A为一公式,将A中某量词辖域中个体变项的所有约束-出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号,其余部分不变,设所得公式为A',则A'台A.-3.代替规则-设A为一公式,将A中某个个体变项的 有自由出现用A中-未曾出现过的个体变项符号代替,其余部分不变,设所得-5
离散数学-实例-例3设个体域D={a,b,ch,消去下述公式中的量词:-1x3yFx→Gy-解x3yFx→ y-→3yFa→GyA3yFb→GyA3yFc→Gy-→F@→GavF@→GbvFa-→Gc-AFb→Ga vFb→GbvFb→Gc-AFc→G@vFc→GbvFc→Gc-9
离散数学-实例-解法二-Vx3yFx→Gy-台VxFx→3yGy-辖域收缩等值式-台xFx→G@vGbvG -台Fa→GvGbvGc-Fb->GavGbvGc-Fc>GavGbvGc-10

(完整word版)离散数学第二版 屈婉玲 1-5章(答案)

(完整word版)离散数学第二版 屈婉玲  1-5章(答案)

《离散数学1-5章》练习题答案第2,3章(数理逻辑)1.答:(2),(3),(4)2.答:(2),(3),(4),(5),(6)3.答:(1)是,T (2)是,F (3)不是(4)是,T (5)不是(6)不是4.答:(4)5.答:⌝P ,Q→P6.答:P(x)∨∃yR(y)7.答:⌝∀x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解:P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 (主析取范式)d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解:P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、b、P→(Q→R),R→(Q→S) => P→(Q→S)证明:(1) P 附加前提(2) Q 附加前提(3) P→(Q→R) 前提(4) Q→R (1),(3)假言推理(5) R (2),(4)假言推理(6) R→(Q→S) 前提(7) Q→S (5),(6)假言推理(8) S (2),(7)假言推理d、P→⌝Q,Q∨⌝R,R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提(2) P→⌝Q 前提(3)⌝Q (1),(2)假言推理(4) Q∨⌝R 前提(5) ⌝R (3),(4)析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提(7) R (6)化简(8) R∧⌝R 矛盾(5),(7)合取所以该推理正确10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。

解:原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))(集合论部分)1、答:(4)2.答:323.答:(3)4. 答:(4)5.答:(2),(4)6、设A,B,C是三个集合,证明:a、A⋂ (B-C)=(A⋂B)-(A⋂C)证明:(A⋂B)-(A⋂C)= (A⋂B)⋂~(A⋂C)=(A⋂B) ⋂(~A⋃~C)=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂(B⋂~C)=A⋂(B-C)b、(A-B)⋃(A-C)=A-(B⋂C)证明:(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)=A⋂~(B⋂C)= A-(B⋂C)(二元关系部分)1、答:(1)R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}2.答:RοR ={〈1,1〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈2,4〉}R-1 ={〈2,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,3〉}3.答:R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}4.答:R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001000000001 R 1-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000015、解:(1)R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、传递的;(2)R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011101110;它是反自反的、对称的;(3)R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110;它既不是自反的、也不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。

《离散数学》第5章 代数系统简介

《离散数学》第5章 代数系统简介
x ( x) 0, ( x) x 0 .
在 M n (R) 上,对于矩阵乘法只有可逆矩阵 M M n (R) 存在逆元
M 1 , M M 1 E 和 M 1 M E 成立, 使得 其中 E 为 n 阶 单位矩阵.
9、设 为 S 上的二元运算,如果对任意的 x, y, z S 满足以下条件 (1)若 x y x z 且 x 不是零元,则 y z , (2)若 y x z x 且 x 不是零元,则 y z , 就称运算 满足消去律
例如: 在幂集 P ( S ) 上的 和 是满足吸收律的.
若 算“”满足左分配律; b c a b a c a , 则运算“ ”对运算“ ”满足右分配律.若左右分配律 均满足, 称运算“ ”对运算“ ”满足分配律. 则

5、 设 是 A 上的二元运算,若存在 a A ,有
1、若 a b b a ,则称运算“ ”在A上是可换的 ,或 者说运算“ ”满足交换律.
例如:在实数集R上,通常的加法和乘法都满足交换律,但减法 和除法不满足交换律.因为2和4都是实数.因为2-4≠4-2.在幂集 P(S)上 , , 都满足交换律,但相对补不满足交换律.
2、若a b c a b c,则称运算“*”在A上是可结合 的.或称“*”满足结合律.
这些相当于前缀表示法,但对二元运算用得较多的还是 a1 a2 b .我们在本书中所涉及的代数运算仅限于一元. 和二元运算.
如果集合S是有穷集,S上的一元和二元运算也可以用 运算表给出.表5―1和表5-2是一元和二元运算表的一 般形式.
表5-1
表5-1
例2、(2) 设 S 0,1, 2,3, 4 ,定义 S 上的两个 二元运算如下:

离散数学第五章集合及其运算习题答案

离散数学第五章集合及其运算习题答案

h00 0 10000
习题四 15
b
e
求关系图对应的关系矩阵,
并求其传递闭包
d
a
c
f
ab c de f gh
h
g
a01 0 00000
b00 1 00000
c11 0 00000
d00 0 01000
e00 0 00100
f 00 0 00010
g00 0 00001
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e00 0 00100
f 00 0 00010
g00 0 00001
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习题四 15
b
e
求关系图对应的关系矩阵,
并求其传递闭包
d
a
c
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求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四15求关系图对应的关系矩阵并求其传递闭包习题四16sr2证明

自考 离散数学教材课后题第五章答案

自考 离散数学教材课后题第五章答案

5.1习题参考答案1、设无向图G有16条边,有3个4度结点,4个3度结点,其余结点的度数均小于3,问:G中至少有几个结点。

阮允准同学提供答案:解:设度数小于3的结点有x个,则有3×4+4×3+2x≥2×16解得:x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、设无向图G有9个结点,每个结点的度数不是5就是6,证明:G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。

阮允准同学答案:证明:由题意可知:度数为5的结点数只能是0,2,4,6,8。

若度数为5的结点数为0,2,4个,则度数为6的结点数为9,7,5个结论成立。

若度数为5的结点数为6,8个,结论显然成立。

由上可知,G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。

3、证明:简单图的最大度小于结点数。

阮同学认为题中应指定是无向简单图.晓津证明如下:设简单图有n个结点,某结点的度为最大度,因为简单图任一结点没有平行边,而任一结点的的边必连有另一结点,则其最多有n-1条边与其他结点相连,因此其度数最多只有n-1条,小于结点数n.4、设图G有n个结点,n+1条边,证明:G中至少有一个结点度数≥3 。

阮同学给出证明如下:证明:设G中所有结点的度数都小于3,即每个结点度数都小于等于2,则所有结点度数之和小于等于2n,所以G的边数必小于等于n,这和已知G有n+1条边相矛盾。

所以结论成立。

5、试证明下图中两个图不同构。

晓津证明:同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。

我们可以看出,(a)图和(b)图中都有一个三度结点,(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点,而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点,因此可断定二图不是同构的。

6、画出所有5个结点3条边,以及5个结点7条边的简单图。

解:如下图所示: (晓津与阮同学答案一致)7、证明:下图中的图是同构的。

证明如下:在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系,并保持关联关系。

离散数学(屈婉玲)答案-1-5章

离散数学(屈婉玲)答案-1-5章

离散数学(屈婉玲)答案-1-5章第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s) ⇔(0↔1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)↔(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式//最后一列全为1(5)公式类型为可满足式(方法如上例)//最后一列至少有一个1(6)公式类型为永真式(方法如上例)//第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:p→q,⌝(q∧r),r结论:⌝p(4)前提:q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论:p∧q证明:(2)①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦¬p ⑤⑥拒取式证明(4):①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥(q→t)∧(t→q) ⑤置换⑦(q→t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q结论:s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论:⌝p证明:①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ④化简律⑥r∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀,在(a)中为假命题,在(b)中为真命xF题。

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第5章 习题解答5.1 A:③; B:⑥; C:⑧; D:⑩; E:⑨分析 S 为n 元集,那么有个元素.S 上的一个二元运算就是函数S S ⨯2n .这样的函数有个.因此上的二元运算有个.S S S f →⨯:2n n },{b a 162=n n 下面说明通过运算表判别二元运算性质及求特导元素的方法.1 °交换律 若运算表中元素关于主对角线成对称分布,则该运算满足交换律.2 °幂等律 设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线元,,,21n x x x 素的排列也为 则该运算满足幂等律.,,,21n x x x 其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素等来验证相关的算律是否成立.z y x ,,3 ° 幺元设运算表表头元素的排列顺序为如果元素所在的.e ,,,21n x x x i x 行和列的元素排列顺序也是则为幺元.,,,21n x x x i x 4 ° 零元如果元素所在的行和列的元素都是,则是零元. .θi x i x i x 5 ° 幂等元.设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线上,,,21n x x x 第个元素恰 为那么是幂等元.易见幺元和零元都是幂等元.i },,2,1{n i x i ∈i x 6 ° 可逆元素及其逆元.设为任意元素,如果所在的行和列都有幺元,并i x i x 且这两个幺元关于主对角线成对称分布,比如说第行第列和第行第列的两i j j i 个位置,那么与互为逆元.如果所在的行和列具有共同的幺元,则幺元一j x i x i x 定在主对角线上,那么的逆元就是自己.如果所在的和地或者所在的列没i x i x i x 有幺元,那么不是可逆元素.不难看出幺元一定是可逆元素,且;而零i x e e e =-1元不是可逆元素.θ以本题为例,的运算表是对称分布的,因此,这三个运算是可交换的,321,,f f f而不是可交换的.再看幂等律.四个运算表表头元素排列都是,其中主对角4f b a ,线元素排列为的只有,所以, 遵从幂等律.下面考虑幺元.如果某元素所b a ,4f 4f 在的行和列元素的排列都是,该元素就是幺元.不难看出只有中的a 满足这b a ,2f 一要求,因此,a 是的幺元,其他三个运算都不存在幺元.最后考虑零元.如果a 2f 所在的行和列元素都是a,那么a 就是零元;同样的,若b 所在的行和列元素都是b,那么b 就是零元.检查这四个运算表,中的a 满足要求,是零元,其他运算都没1f 有零元.在的运算表中,尽管a 和b 的列都满足要求,但行不满足要求.因而4f 4f 中也没有零元.5.2 A:①; B:③; C:⑤; D:⑦; E:⑩分析 对于用解析表达式定义的二元运算 °和 *,差别它们是否满足交换律,结合律,幂等律,分配律和吸收律的方法总结如下:任取,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成y x ,x y y =x 立 °运算就满足交换律.2 ° °运算的地合律任取根据°运算的解析表达式验证等式是否成立. z y x ,,)y (z y)(z x x =如果成立, °运算就是可结合的.3 ° °运算的幂等律任取x,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成立, °x x x = 运算满足幂等律.4 ° °运算对*运算的分配律任取,根据 °和*运算的解析表达式验证等式z y x ,,和是否成立。

如果成立,则°)(*)()*(z x y x z y x =)(*)()*(x z x y x z y =运算对*运算满足分配律。

5 ° °和*运算的吸收律首先验证 °和*运算是可交换的。

然后任取根据 °和 *运算的解析表达,,y x 式验证等式和是否成立。

如果成立,则°和 *运算满足x y x x =)*( x y x x =)(*吸收律。

设°是用解析表达式定义的A 上的二元运算,求解对于该运算的特导元素可以采用下述方法:1 ° 求幺元e 。

根据幺元定义,应满足等式。

将等式中的e A x ,∈∀x x e e x == 和用关于°运算的解析表达式代入并将结果化简,然后由x 的任意性=e x x e 来确定.e 2 °求零元根据零元定义,应该满足等式。

将等.θθ,A x ∈∀θθθ==x x 式中的和用关于 °运算的解析表达式代入并将结果化简,然后由x 的θ x x θ任意性确定.θ3 ° 求幂等元. 将等式中的用关于 °运算的解析表达式代入x x x = x x 并化简单,然后求解该议程,所得到的解就是幂等元.4 ° 求可逆元素的逆元. 任取,设x 的逆元为y,则x 与y 应该满足等A x ∈式将等式中的与用关于°运算的解析表达式代入,并将.e x y y x == y x x y e 用 °运算的幺元代入,然后化简等式.观察使得该等式成产的x 应该满足的条件,然后将y 用含有x 的公式表示出来,从而得到x 的逆元.这里特别要说明一点,如果°运算不存在幺元则所有有元素都是不可逆的.,e 以本题为例,具体的分析过程如下: 任取,由Q Q y x b a ⨯>∈<><,,, >+>=<<*><b ay ax y x b a ,,,>+>=<<*><y xb xa b a y x ,,,可知一般情况下,所以运算不是可交换的. y xb b ay +≠+*任取,由Q Q v u y x b a ⨯>∈<><><,,,,, ><*>+>=<<*><*><v u b ay ax v u y x b a ,,,,,(>++=<b ay axv axu ,>+<*>>=<<*><*><y xv xu b a v u y x b a ,,,,,,,)(,>++>=<++=<b ay axv axu b y xv a axu 可知运算是可结合的.*设运算的幺元为则有*,,21><e e Q Q b a ⨯>∈<∀,, >>=<<*><b a e e b a ,,,21>>=<<*><b a b a e e ,,,21,代入关于运算的解析表达式得* ,,,21>>=<+<b a b ae ae.,,211>>=<+<b a e b e a e 从而得到b e b e a a e b b ae a ae =+==+=21121,,,由于是任意有理数,要使得上述四个等式都成立,必有b a ,0,121==e e 所以,运算的幺元为.*><0,1对于任意的,设的逆元为,那么有Q Q b a ⨯>∈<,><b a ,><y x , >>=<<*><0,1,,y x b a >>=<<*><0,1,,b a y x 代入关于运算的解析表达式得* >>=<+<0,1,b ay ax >>=<+<0,1,y xb xa 从而得到0,1,0,1=+==+=y xb xa b ay ax 解得)0(),0(1≠-=≠=a aby a a x这说明对一切,只要都存在逆元. Q Q b a ⨯>∈<,0≠a >-<aba ,1最后补充说明一点.不难验证, 运算没有零元.而关于运算的幂等元是**和,其中为任意有理数.><0,1><b ,0b 5.3 A:⑦; B:⑥; C:⑤; D:③; E:②分析 怎样检验运算是否为S 上的二元运算,或者说S 是否关于运算封闭? 主要是验证以下两个条件是否满足;1°任何S 中的元素都可以作为参与运算的元素. 2° 运算的结果仍旧是S 中的元素.如果给定了两个以上的运算,在讨论封闭性时要分别对每个运算讨论. 容易验证本题中的6个函数全是实数集R 上的二元运算.它们的可交换性,结合性, 幺元和零元的判别结果如下.交换 结合 幺元 零元 1f2f3f4f 5f6f √ × √ √ √ √√ × √ √ √ ×为0 × 为1 × × ×× × 为0 × × ×5.4 A:②; B:⑤; C:⑦; D:⑧; E:⑧ 分析 对于给定的自然数,,2,1,0, =n n}|{Z k nk nZ ∈=是V 的子代数,因为有nZ nk nk ∈∀21, .)(2121nZ k k n nk nk ∈+=+.)(2121nZ nk k n nk nk ∈=⋅这说明关于+和运算都是封闭的,满足子代数的定义.由于可以取任何nZ ∙n自然数,这样的子代数有无数多个.其中当时, 是有穷集合.即有限0=n }0{=nZ 的子代数,其余都是无限的子代数.对于来说,它是奇整数的集合.而奇数加奇数等于偶数,因而关于加法2T 2T 不封闭.类似地, 关于加法也不封闭,因为,但.因而可以判定3T 31T ∈3211T ∉=+和都不是V 的子代数,尽管和对于乘法是封闭的.2T 3T 2T 3T 5.5 A:④; B:⑨; C:①; D:①; E:④分析 构成代数系统的要素有三个:集合,二元或一元运算及代数常数.如果是代数系统和的同态,那么必须满足以下条件:ϕ1V 2V ϕ1° 即是和的函数. 21:V V →ϕϕ1V 2V 2° 对和上任意对应的二元运算和有1V 2V '1',),()()(V y x y x y x ∈∀=ϕϕϕ 对和上任意对应的二元运算和有1V 2V ∆'∆.),()(1'V x x x ∈∀∆=∆ϕϕ3° 对和上任意对应的代数常数和有1V 2V k 'k.)('k k =ϕ以本题为例.因为只有一个二元运算,验证时只要检验条件1°,2°即可.具体的验证过程如下:都是+R 到的映射, 且4321,,,ϕϕϕϕ+R).()(||||||)(,,111y x y x y x y x R y x ϕϕϕ⋅=⋅=⋅=⋅∈∀+).()()()(,,332223y x y x xy y x R y x ϕϕϕ⋅=⋅==⋅∈∀+ ).()(111)(,,444y x yx xu y x R y x ϕϕϕ⋅=⋅==⋅∈∀+所以和是V 的自同态.但是和不是V 的自同态.原因如下:31,ϕϕ4ϕ2ϕ5ϕ.4)2()21(22==⋅ϕϕ,8)22).(12()2()1(22=⋅⋅=⋅ϕϕ故,破坏了同态映射的条件2°.而对于,它将正数)2()1()21(222ϕϕϕ⋅≠⋅5ϕ映到负数,根本不是到的函数,破坏了条件1°,当然更谈不到同态了.+R +R 通过上面的分析已经知道了判别同态及其性质的基本方法.下面补公介绍一些典型同态映射的实例,以供读者参考.1°是整数加群.令这里的a 是>+=<,Z V ,,)(,:Z x ax x Z Z a a ∈∀==→ϕϕ给定的整数.那么有Z x ∈∀ ).()()()(y x ay ax y x a y x a a a ϕϕϕ+=+=+=+是V 的自同态.2ϕ当时,不是单同态,也不是满同态,其同态象为. 0=a a ϕ>+<},0{当时, 为自同态.1±a a ϕ当时,为单自同态,其同态象为,其中 1,0±≠a a ϕ>+<,aZ }.|{Z k ak aZ ∈=2°是模n 整数加群,其中.可以证明是V 的>⊕=<,n Z V }1,,1,0{-=n Z n p ϕ自同态.因为有n Z y x ∈∀,n y x p y x p mod ))(()(⊕=⊕ϕn py n px n py px mod )(mod )(mod )(⊕=⊕=).()(y x p p ϕϕ⊕=由于p 有n 种取值,这里定义了n 个自同态.例如,上有6个自同态,即.其中>⊕=<==,}.5,1,0{,666Z V Z n 510,,ϕϕϕ ,,0)(60Z x x ∈∀=ϕ,,)1(61Z x x ∈∀=ϕ ,0)3(,4)2(,2)1(222===ϕϕϕ.0)0(,4)5(,2)4(222===ϕϕϕ,3)3(,0)2(,3)1(333===ϕϕϕ.0)0(,3)5(,0)4(333===ϕϕϕ ,0)3(,2)2(,4)1(444===ϕϕϕ,0)0(,2)5(,4)4(444===ϕϕϕ,3)3(,4)2(,5)1(555===ϕϕϕ.0)0(,1)5(,2)4(555===ϕϕϕ这3个自同态中和是自同构,其他的既不是单同态,也不是满同态.1ϕ5ϕ0ϕ的同态象为.和的同态象为的同态象为>⊕<},0{2ϕ4ϕ3,},4,2,0{ϕ>⊕<.>⊕<},3,0{3° 设分别为整数加群和模n 整数加群.>⊕<>+=<,,,21n Z V R V 容易证明是 满同态.n x x Z Z n mod )()(:,=→ϕϕϕ4°设其中和*R 分别代表实数集和非零实数,,,,*21>∙=<>+=<R V R V R 集,+和·分别代表普能加法和乘法.是和的单同态,其x e x R R =→)(,:*ϕϕ1V 2V 同态象为,这里的是正实数集.>∙<+,R +R 5° 设 是具有一个二元运算和代数系统. 和的>=<>=<,*,,21B V A V 1V 2V 积代数为令,那么是积代数到.,>∙⨯<B A a b a A B A =><→⨯),(,:ϕϕϕ21V V ⨯1V 同态的,因为对任意有B A b a b a ⨯>∈<><2211,,,)*,(),,(21212211><=><⋅><b b a a b a b a ϕϕ).,(),(221121><><==b a b a a a ϕϕ 容易看出是满同态.只有当B 为单元集时为同构. ϕϕ5.6 A:⑤; B:③; C:②; D:①; E:⑧ 5.7 (1)和(4)是代数系统.(2)不是,例如 S cm ∈=90,90)10,9(1 (3)不是,例如.90,9010*9S ∉=(5)不是,例如.0,010*9S ∉=5.8 (1)封闭,若是16的倍数,则也是16的倍数. t s y x ,t s y x ++)( (2)不封闭,例如2和5互质,3也和5互质,但2+3=5却不和5互质. (3)不封闭,3和5都是30的因子,但是3+5=8不是30的因子. (4)封闭5.9 (1)可交换,不幂等.a 是幺元,且和c 互逆元. b a a ,1=- (2)不可交换,有幂等性,元幺元,当然不考虑逆元了. (3)可交换,有幂等性, 幺元是和c 都没有逆元.b a a a ,,1=-分析 这里补谈谈结合律的判定问题.在验证结合律是)*(**)*(z y x z y x =否成立时,等式中的可以取中的任何元素,共有27种可能的选法.这z y x ,,c b a ,,意味着必须要要验证27个等式,工作量很大.若中有幺元或零元存在,则等z y x ,,式显然成立.考虑到这个因素,在验证时可以不选取集合中的幺元和零元.下面以本题为例来判定结合律是否成立.(1)a 是幺元.只须对b 和 c 进行验证.又由于*运算的可交换性,全是b 或全是c 情况可以忽略,因而需要验证的只有下面六种情况:),*(****)*(c b b a b b c c c b b ==== ),*(****)*(b c b a b b b a b c b ==== ),*(****)*(b b c c c c a c c b ==== ),*(****)*(b b c c c b b a b b c ==== ),*(****)*(c b c a c c c a c b c ==== ).*(****)*(b c c a c c b b b c c ====由以上验证可知*运算是可结合的.(2)通过观察发现,有每个元素都是右零元.因而必有S y x ∈∀,.*y y x =,S z y x ∈∀,,.*)*(*,**)*(z z x z y x z z y z y x ====这就证明了结合律是成立的.(3)c 是零元,故只须对a 和b 验证.显然因此,只须考虑),*(**)*(a a a a a a =至少含有一个b 的等式.由可知无论b 处在哪一个位置,等b b b b a b b a ===*,**式两边都等于b,因此结合律成立.5.10 结果如表5.2所示 表5.2 <0,0> <0,1> <1,0> <1,1> <2,0> <2.1> <0,0> <0,1> <1,0> <1,1> <2,0> <2,1><0,0> <0,0> <1,0> <1,0> <2,0> <2,0><0,0> <0,1> <1,0> <1,1> <2,0> <2,1><1,0> <1,1> <2,0> <2,0> <0,0> <0,0><1,0> <1,1> <2,0> <2,1> <0,0> <0,1><2,0> <2,0> <0,0> <0,0> <1,0> <1,0><2,0> <2,1> <0,0> <0,1> <1,0> <1,1>其中<0,1>为幺元.5.11 运算表如表5.3所示.1 2 5 10 * 1 2 5 10 xx ∆1 2 5 101 1 1 1 12 1 1 1 1 5 5 1 2 5 101 2 5 101 2 5 10 2 2 10 10 5 10 5 10 10 10 10 101 2 5 1010 5 2 15.12 (1)可交换,不可结合,无幺元,无可逆元素. (2)不可交换,不可结合,无幺元,无可逆元素. (3)可交换,可结合, 幺元是1,有. *R a ∈∀aa 11=-5.13 结果如表5.4所示. 表5.4* 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 零元 0 幺元 1 逆元 ,443,32,111111====----0元逆元.5.14 其中},,,,{4321f f f f A A = 2)2(,2)1(;2)2(,1)1(;1)2(1)1(33221======f f f f f f。

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