条件分布与二维随机变量的独立性
第三章 第二节 二维随机变量的独立性
§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。
例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解 由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。
例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )， 所以X,Y 相互独立。
2-2-3随机变量的独立性,条件分布
x
FX Y ( x y) pX Y ( x y) d x
x
[ p(x, y)
pY ( y)]d x.
y
FY X ( y x) pY X ( y x) d y
y
[ p(x, y)
pX (x)]d y.
备份题
例1 设
(X,Y )
~
p( x,
y)
Cy(1 0,
x),
0 x 1,0 其 它.
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求与应满足的条件;
(2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
(2,3)
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p• j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi• P{ X xi }
1
1
18
3
1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,
0,
2
3
1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi• p• j , (i 1,2; j 1,2,3)
xe(x y)dy xe x
0
x>0
pY ( y) 0 xe( x y)dx e y
y >0
即：
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布■2009考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布■2009考试要求1．理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。
2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。
3．掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N （221212,;,;)μμσσρ的概率密度，理解其中参数的概率意义。
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和条件）；均匀与正态。
介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。
本章是教育部关于概率论大题命题的重点。
一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义(), X Y 是二维随机变量，对任意实数x 和y ，称为(), X Y 的分布函数，又称联合分布函数。
●(), F x y 具有一维随机变量分布类似的性质。
① ()0, 1F x y ≤≤；② (), F x y 对x 和y 都是单调非减的，如()()1212, , x x F x y F x y >⇒≥； ③ (), F x y 对x 和y 都是右连续；④ ()()()()(), lim , 1, , , , 0,x x F F x y F F x F y →+∞→+∞+∞+∞==-∞-∞=-∞=-∞=●(), F x y 几何意义：表示(), F x y 在(), x y 的函数值就是随机点(), X Y 在X x =左侧和Y y =下方的无穷矩形内的概率。
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
2012数学强化讲义---张伟---概率
.
例22 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击 命中目标的概率为p(0 < p < 1),则此人第4次 射击恰好第2次命中目标的概率为 ( A) 3 p(1− p)2. (B) 6 p(1− p)2. (C) 3 p2 (1− p)2. (D) 6 p2 (1− p)2.
例23 做一系列独立试验, 每次试验成功的概率 都是p, 试求下列事件的概率 : A ="4次失败在第3次成功之前"; B ="成功10次之前至多失败2次"; C ="现进行n次重复试验,已知试验没有 全部失败, 成功不止一次".
P(B | A) = 0.2,
则P( A) =
.
例9 设事件A, B同时发生时, 事件C一定发生, 则 ( A) P(C) ≤ P( A) + P(B) −1. (B) P(C) ≥ P( A) + P(B) −1. (C) P(C) = P( AB). (D) P(C) = P(A ∪ B).
例10
⎪⎩ 0
若x ∈[ 0, 1 ], 若x ∈[ 3, 6 ],
其他.
若使得P{X ≥ k}= 2 , 则k的取值
3
范围是 ______
例11
设随机变量X的密度函数为ϕ(x),且ϕ(−x) = ϕ(x).
F (x)是X的分布函数, 则对任意实数a, 有
∫ ∫ ( A) F (−a) = 1− aϕ(x)dx. (B) F (−a) = 1 − aϕ(x)dx.
例6 设F1(x)与F2 (x)为两个分布函数, 其相应的概率密度f1(x)与f2 (x) 是连续函数, 则必为概率密度的是
( A) f1(x) f2 (x)(B) 2 f2 (x)F1(x) (C) f1(x)F2 (x) (D) f1(x)F2 (x) + f2 (x)F1(x)
2.4 概率论——二维随机变量的独立性
y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的 边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的 边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定
3.2条件分布与随机变量的独立性
3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲 来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立 地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分 布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分 钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解 由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表 中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解 由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
3.2条件分布及其独立性
解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{X
x, X
0.5} x 0.05.,5,
0.5 x1, x 1.
从而可得
F (x|
X
0.5)
P{X x, X 0.5} P{X 0.5}
P{X
x, X 0.5
0.5}
F(x| X
0.5) 2x0, 1,
x 0.5, 0.5 x1,
1, x 1.
Yy
的条件下
X
的条件密度函数
类似地 可以讨论在Xx的条件下 Y的条件分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y)
如果fX(x)0 fY(y)0 则
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)
解 在X0时 Y的条件概率分布为
P{Y
1|
X
0}
P{Y 1, X P{X 0}
0}
0.1 0.10.20
1 3
P{Y
0|
X
0}
P{Y 0, X P{X 0}
0}
0.2 0.3
2 3
P{Y
2|
X
0}
P{Y 2,X 0} P{X 0}
0 0.3
0
定理33(独立性的判断)
设X Y是离散型随机变量 其联合概率分布为
§32 条件分布与随机变量的独立性
一、条件分布与独立性的一般概念 二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
一、条件分布与独立性的一般概念
多维随机变量及其分布,随机变量相互独立性,条件概率
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
二维随机变量及条件分布
F (x,y)A [Bar(c x)t]C g [ar(c y)t]g
2
3
1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解: F( , )A [B]C []1
F F ( (x , , y )) A A [[B B a 2]r C 2 [ ( x c )aC ] tr 2 g [( 3 y c ] ) t]0 0 gBC2 A12
称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低 维分量的分布。
27
例1. 已知(X,Y)的分布函数为
1ex xey
F(x,y)1ey yey
0
求 FX(x) 与 FY(y)。
1 ex x 0
解：FX(x)=F(x,)=
0
x0
0xy 0yx
其它
解 (1)X所有可能取的不同值为0,1,2; Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为
P{Xi,Yj}2i 2j7223i
j
, 0
i 0,1,2, j 0,1,2, i j 2.
13
分布律也可写成以下表格的形式.
X Y
0
1
2
0 1/7 2/7 1/21
1 2/7 4/21 0
概率论与数理统计
第五讲 二维随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
2
3.1 二维随机变量
设 E是一个随机,试 它验 的样本空S间{是 e},
设XX(e)和YY(e)是定义S在上的随机变 , 量
高等数学3.4 随机变量的独立性与条件分布
2 3/15 3/15
0 1
(2) 由( X , Y ) 的联合分布律知 X 的边缘分布为 X P 0 1/15 1 10/15
由条件分布定义可知
P Y = 0 X = 0 = P Y = 1 X = 0 = P Y = 2 X = 0 =
P X = 0 , Y = 0 P X = 0 P X = 0 , Y = 1 P X = 0 P X = 0 , Y = 2 P X = 0
Y P
1 1/2
2 1/9 +α
3 1/18 +β
若X 与 Y 相互独立, 则有 1 = P X = 1, Y = 2 = P X= 1 9 1 1 = ( + ) 3 9 1 = P X = 1, Y= 3 = P X =1 18 1 1 = ( + ) 3 18
Y P = 2
dt
=
同理
x R
fY ( y ) =
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0 , 则对于任意实数 x 与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数 x与 y 都有 f ( x, y ) = f X ( x )fY ( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
1 2
2
2 2 ( x ) ( x ) 2 2 1 1 + 2 2 1 1
y 2 ( x 1 ) x 1 1 = 2 2 1 2 1 2(1 ) 2
2
所以( X , Y )关于X的边缘密度为
条件分布及其独立性
分析
设(X Y)是连续型随机向量 分布函数和密度函数分别为 F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
由于{Yy}是一个零概率事件
P{X x|Y y} P{X x,Y y} P{Y y}
(328)
的分子、分母均为0 因而直接根据条件概率定义来考虑X的
(320)
对给定的x和y 如果事件{Xx}与事件{Yy}独立 则有
此时
F(x y) P{Xx Yy}P{Xx}P{Yy} FX(x)FY(y)
F(x|Yy)FX(x)
(321)
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(1) pi|j 0 (2) pi| j 1 i
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
条件概率分布
设(X Y)是二维离散型随机向量 其概率分布为
P{Xxi Yyj}pij i j1 2 则由条件概率公式 当P{Yyj}0时 有
P{X
xi |Yຫໍສະໝຸດ 1 x2 , π 0,
| x|1, 其他.
于是 对一切x(|x|1) 有
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)
2
1, 1 x2 0,
| y| 1 x2, 其他.
例38(2) 设(X Y)是在D{(x y)|x2y21}上服从均匀分布 的随机向量 求fX|Y (x|y)
二维随机变量及其分布
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函 数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二 维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章 二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、 二维随机变量 一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二 维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而 确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维 随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为 二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
整理课件
§5.2 二维离散型随机变量
二维随机变量
1
例3:将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，已 在例1中求了(X,Y)的联合分布律，现求二维随机 变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.
X0
1
2
3 p. j
Y
1
0 3/8 3/8 0 6/8
求（X1 ,X2）的联合分布律及边缘分布律。 假设： （1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式 （3）通过此题你得出何结论?
FX ( x) P( X x,Y ) F( x,)
x
x
dx f ( x, y)dy ( f ( x, y)dy)dx
固定x
同理:
固定y
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
即 F（x，y）= F（x+0，y） F（x，y）= F（x，y+0）
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值 是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维 离散型随机变量。
中心问题：(X,Y)可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
6e2x3 y , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
求( X ,Y )关于X与Y的边缘概率密度。
解：当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
=0
当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
6e 2x3 y dy 6e 2 x e 3 y dy 2e 2 x
(2) pij 1
ij
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”， 试求(X,Y)的联合分布律。
随机变量的独立性
定义3. 7 设X 和Y 为两个随机变量，若对于任意的x 和y 有 P{X x，Y y} P{X x}P{Y y}，
则称X 和Y 是相互独立的( Mutually independent )。
若二维随机变量( X , Y )的分布函数为 F (x，y) ，其边缘分
布函数分别为FX (x)和FY (y)，则上述独立性条件等价于对所有x 和y 有
fY
(
y)
e y，y
0，
0， 其他。
求X 和Y 的联合概率密
度 f (x，y) 。
解 由X 和Y 相互独立可知
f (x，y) fX (x) fY ( y)
e(xy)，x 0，y 0，
0，其他。
概率学与数理统计
F (x，y) FX (x)FY ( y) 。
(3.13)
1. 对于二维离散型随机变量，上述独立性条件等价于对于
( X , Y )的任何可能取的值 (xi，y j ) 有
P{X x，Y y} P{X xi}P{Y y j}。
(3.14)
2. 对于二维连续型随机变量，独立性条件的等价形式是对
一切x 和y 有
f (x，y) fX (x) fY ( y) ，
(3.15)
这里， f (x，y)为( X , Y )的概率密度函数，而 fX (x) 和 fY ( y)
分别是边缘概率密度函数。
如在例3.7中，(1)有放回摸球时，X 与Y 是相互独立的；而
(2)无放回摸球时，X 与Y 不是相互独立的。
π
1 y2，1 0，
y 1， 其他。
可见在圆域 x2 y2 1 上，f (x，y) fX (x) fY ( y) ，故X 和Y 不相
互独立。
随机变量的独立性和条件概率分布
随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。
独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。
首先来看独立性。
在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。
具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。
即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。
举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。
我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。
如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。
因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。
现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。
我们可以用独立性来计算。
因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。
接下来看条件概率分布。
条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。
具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。
条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。
它可以通过原始的概率分布计算得到。
具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。
3.2条件分布及其独立性
x
f (u, y)du
fY (y)
(329)
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y) 通过极限
运算我们得到
x
f (u, y)du
P{X x|Y y}
fY (y)
(329)
对给定的y 如果fY(y)0 则称P{Xx|Yy}为Yy的条件下 X的条件分布函数 记作FX|Y (x|y) 由(329)知
2π 1 1 2
例 39 设(X ,Y)~ N(1, 2;12, 22; ) 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x)
解 由§3 1 知 X ~ N(1, 12),Y ~ N(2, 22), 于是
fX|Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
e
212
1 (1
2
[ )
x
1
12
(
缘概率分布 但是由边缘概率分布一般不能确定联合概率分 布 比较表32中的两个不同联合概率分布 我们注意到它们具 有相同的边缘概率分布
表32 具有相同边缘概率分布的两个不同的联合概率分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
分析
设(X Y)是连续型随机向量 分布函数和密度函数分别为 F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
故先求 P{Xx X0.5}
例35 设X服从[0 1]上的均匀分布 求在已知X0.5的条 件下X的条件分布函数
解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{Xx X0.5}F(x)F(0.5)F(x)0.5
其中F(x)为X的分布函数 我们知道
《概率学》3.4二维随机变量的条件分布
第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求
fY X ( y x).
当 – r < x < r 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
2
1 ,
r2 x2
0,
r2 x2 y 其他
r2 x2
f
(x,
y)
1 / 0,
x,
0 x 1,0 y x;
其他.
1 5
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第4节 多维随机变量的条件分布
第三章 多维随机变量及其分布
练习对于随机向量(X,Y)已知
fY
X (y
x)
2y
1
x
2
,
0,
x y 1
4x(1 x2 ),
fX (x)
其他
0,
求Y在X=0和X在Y=1条件下的条件概率分布.
X
Y
1
2
3 P(X=xi)
0
0.1
0.2
0.3 0.6
1
0.1
0.2
0.1 0.4
解 再计算 (X, Y)关于Y的边缘概率分布
由公式
P{Y xi
X
yj}
pi j p j
i 1, 2,
得在Y=1条件下X的条件概率分布为：
X|Y=1 0
1
pi| j
1
2
求P{X+Y≥1}，
P{Y<0.5},
P Y
2 3
X
1 2
0 x 1 其他
二维随机变量相互独立的充要条件
二维随机变量相互独立的充要条件一、引言随机变量是概率论和数理统计中的基本概念，而二维随机变量则是指由两个随机变量组成的随机向量。
在实际问题中，常常需要研究二维随机变量之间的关系，其中一个重要的问题就是如何判断二维随机变量是否相互独立。
本文就二维随机变量相互独立的充要条件进行详细介绍。
二、定义设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的分布函数，$f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ 分别是$X$ 和 $Y$ 的概率密度函数。
若对于任意的 $x,y$，有$$F_{XY}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$$或者$$f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$$则称 $(X,Y)$ 是相互独立的。
三、充要条件二维随机变量相互独立的充要条件有两种形式，分别是基于分布函数和概率密度函数的充要条件。
1. 基于分布函数的充要条件设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的分布函数，则 $(X,Y)$ 相互独立的充要条件是$$F_{XY}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$$其中 $F_{XY}(x,y)$ 是 $(X,Y)$ 的联合分布函数。
2. 基于概率密度函数的充要条件设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，$f_{X}(x)$ 和 $f_{Y}(y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数，则 $(X,Y)$ 相互独立的充要条件是$$f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$$其中 $f_{XY}(x,y)$ 是 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数。
四、举例说明为了更好地理解二维随机变量相互独立的充要条件，下面举一个例子。
设 $(X,Y)$ 是一个二维随机变量，它的概率密度函数为$$f_{XY}(x,y)=\begin{cases}x+y,&0\leq x\leq 1,0\leq y\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}$$我们需要判断 $(X,Y)$ 是否相互独立。
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i=1,2, …
P(X xi |Y yj ) 1
i 1
例1 一射手进行射击，击中目标的概率为
p，(0<p<1)， 射击进行到击中目标两次为 止. 以X 表示首次击中目标所进行的射击次 数，以Y 表示总共进行的射击次数. 试求X 和Y的联合分布列及条件分布列.
P(X=xi|Y=yj)=
P
(
X xi,Y P(Y y
j)
yj )
pi j p• j
，i=1,2,
…
为在Y=yj条给件定下的作，随为在机条此变件条的量件那X下的个求条r另.v件一,认分r.为布v的取列值.是
概率分布.
条件分布列是一种概率分布列，它 具有概率分布列的一切性质. 正如条件概 率是一种概率，具有概率的一切性质.
第二讲 条件分布与随机变量的独立性
条件分布 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .
在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P(A | B) P(AB) P(B)
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取 某个或某些值的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其
以
f (x, y) f X|Y ( x | y) fY ( y)
为例
将上式左边乘以 dx , 右边乘以 (dx
dy)/dy即得
fX|Y ( x | y)dx
f ( x, y)dxdy fY ( y)dy
P{x X x dx, y Y y dy} P{y Y y dy}
P{x X x dx | y Y y dy}
0y
y
0
ey,
0 y
于是对y>0, f X|Y ( x | y)
f
( x,
y)
ex
y
,
fY ( y) y
故对y>0, P(X>1|Y=y) ex y dx
容易想象，这个分布与不加这个 条件时的分布会很不一样.
例如，在条件分布中体重取大值 的概率会显著增加 .
一、离散型r.v的条件分布
在列另一种实形际随式上类机下是似变的第定量重一义Y复章在的.讲X条=过x件i条的分件条布下件列概. 率概念
定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变
量，对于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称
f
( x,
y)
e
x
ye y y
,
0 ,
0 x , 0 y 其它
求 P(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ>1|Y=y)
解:
P(X>1|Y=y) 1
f X|Y ( x | y)dx
为此, 需求出 f X|Y ( x | y)
由于
fY ( y)
f (x, y)dx
ex ye y dx e y [ yex y ]
fX (x) 0 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件
密度函数为
f (x, y)
fY|X ( y | x) f X (x)
同样，对一切使 fY ( y) 0的 y, 定义
f X|Y ( x |
y)
f (x, y) fY ( y)
为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .
我们来解释一下定义的含义：
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P(X A | Y y) f X|Y (x | y)dx
特别，取 A (, u),A
定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
FX|Y (u | y) P(X u | Y y)
u
f X|Y ( x | y)dx
例2 设(X,Y)的概率密度是
P(X m,Y n) p2 (1 p)n2
由此得X和Y的联合分布列为
P(X m,Y n) p2 (1 p)n2
n=2,3, …; m=1,2, …, n-1
为求条件分布，先求边缘分布.
X的边缘分布列是：
P{X m} P(X m,Y n)
n m 1
p2 (1 p)n2 p2 (1 p)n2
n m 1
n m 1
p2
(1 p)m12 1 (1 p)
p(1
p)m1
m=1,2,
…
Y的边缘分布列是：
n1
P{Y n} P(X m,Y n) m 1 n1 p2 (1 p)n2 m 1
(n 1) p2 (1 p)n2
n=2,3,
…
于是可求得：
当n=2,3, …时，
P(X m | Y n) 联合分布列
fX|Y ( x | y)dx
P{x X x dx | y Y y dy}
换句话说，对很小的dx和 dy，fX|Y ( x | y)dx
表示已知 Y取值于y和y+dy之间的条件下， X取值于x和x+dx之间的条件概率.
运用条件概率密度，我们可以在已 知某一随机变量值的条件下，定义与另一随 机变量有关的事件的条件概率.
解：依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击
中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.
{X=m}表示首次击中目标时射击了m次
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
不论m(m<n)是多少， 每次击中目标的概率为 p P(X=m,Y=n)都应等于 P(X=m,Y=n)=？
P{X m,Y n} P{Y n}
边缘分布列
(n
p2 (1 p)n2 1) p2 (1 p)n2
1, n1
m=1,2, …,n-1
当m=1,2, …时，
P(Y n | X m) P{X m,Y n}
P{X m}
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1 p(1 p) , nm1 n=m+1,m+2, …
二、连续型r.v的条件分布
设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任 意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0 ，所以
不能直接用条件概率公式得到条件分布， 下面我们直接给出条件概率密度的定义.
定义2 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y),
边缘概率密度为 fX (x), fY ( y)，则对一切使
中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体
重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都
有一定的概率分布.
身高Y
体重X
的分布
体重X
身高Y 的分布
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个 条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该
校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些 人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的 分布.