集合的概念及基本运算

P={x|y= log 1 x ,y∈M},则( UM)∩( UP)= _{_x_| _x__0_或__1_2 _2 _x___1_} __. 解析 ∵M是y= x 1 的定义域,即M={x|x≥1},
∴ UM={x|x<1}. ∵P是值域为M时,
∴y= log 1 x 的定义域为
2
P={x|0<x≤
[6分]
4 则 a
1 a
1 2, 2
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时，若B A，如图,
则4
1 a
2
1
2
,
a a
22. 0
a
2.
a 综上知，当B
A时，
1
a
2.
[12分]
2
（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
由（1）、（2）知，a=2.
[14分]
跟踪练习3 已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},
2.(2009·广东改编)已知全集U=R， 集合M={x|-2≤x-1≤2}和集合 N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的 韦恩图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素 的个数为__2__. 解析 由题意知M={x|-1≤x≤3},则M∩N={1,3}, 有两个元素,故答案为2.
3.(2009·山东改编)集合A={0,2,a}，B={1,a2}，若
跟踪练习2 (2010·盐城调研)给定集合A,B,定义
A B={x|x=m-n，m∈A,n∈B}.若A={4,5,6}， B={1,2,3},则集合A B中所有元素之和为__1_5__. 解析 由新的集合运算定义知A B={1,2,3,4,5},
故元素之和为15.
【例3】(14分)已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B= {x | 1 x 2}. 2
又由A=B,
即aab2
1b或aab2
b， 1
解得a
1, b
0.
【例2】定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈ B}.设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元 素之和为__1_8__. 分析 注意元素的互异性,并利用分类讨论使问题 得以解决. 解析 (1)当x=0时,无论y为何值,都有z=0; (2)当x=1,y=2时,由题意得z=6; (3)当x=1,y=3时,由题意得z=12. 故集合A⊙B={0,6,12},故元素之和为0+6+12=18.
若B A,求实数a.
解 A={3,5},当a=0时, B A;
当a 0时, B {1}.要使B A,则 1 3或 1 5,
a
a
a
即a 1 或a 1 , 综上a 0或 1 或 1 .
3
5
35
思想方法 感悟提高
高考动态展望
1.高考中会以填空题的形式考查元素与集合,集合与 集合的关系及集合中的元素个数等知识，属容易题, 送分题.
xm
所以-n=1,-m=-1,
因此m=1,n=-1,所以m2+n2=2.
二、解答题 10.(2010·盐城模拟)已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=
{x|2<x+1≤4}，设集合C={x|x2+bx+c>0}，且满足 (A∪B)∩C= ,(A∪B)∪C=R,求实数b,c的值. 解 因为A={x|-2≤x≤1},B={x|1<x≤3}, 所以A∪B={x|-2≤x≤3}, 又因为(A∪B)∩C= ,(A∪B)∪C=R, 所以C={x|x>3或x<-2}, 则不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x>3或x<-2}, 即方程x2+bx+c=0的两根分别为-2和3, 则b=-(3-2)=-1,c=3×(-2)=-6.
则M∩N={x|x>2},
所以 U(M∩N)={x|x≤2}.
6.(2009·珠海模拟)已知集合A中有10个元素，集 合B中有6个元素,全集U中有18个元素，且有A∩B
≠ ,设集合 U(A∪B)中有x个元素,则x的取值范
围是__3_≤__x≤__8_且__x_为__整__数___. 解析 因为当集合A∩B中仅有一个元素时, 集合 U(A∪B)中有3个元素, 当A∩B中有6个元素时,
2.(2010·南京模拟)已知集合M={x|y2=x+1}，P=
{x|y2=-2(x-3)},那么M∩P=_{_x|_-_1_≤__x_≤__3_}_.
解析 由M:x=y2-1≥-1,即M={x|x≥-1}, 由P:x= 1 y2+3≤3,即P={x|x≤3},
2 所以M∩P={x|-1≤x≤3}.
（1）若A B，求实数a的取值范围；
（2）若B A，求实数a的取值范围；
（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，
试说明理由.
解题示范
解 A中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若a=0，则A=R；
②若a<0，则 A { x | 4 x 1 };
a
a
③若a>0,则 A { x | 1 x 4}.
a
Fra Baidu bibliotek
a
(1)当a=0时，若A B，此种情况不存在.
当a<0时，若A B，如图,
4 则 a
1 a
1 2 2
,
a a
8 1
2
,
a
8.
[2分]
当a>0时，若A B，如图,
则4
1 a
2
1 2
,
a a
22.
a
2.
a
综上知，当A B时,a<-8或a≥2.
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
典型例题 深度剖析
【例1】已知集合A={x|x=a+ 1 ,a∈Z},B={x|x= b 1 ,
6
23
b∈Z},C={x|x= c 1 , c∈Z},则A___B___C(用符
26
号“∈”、“∩”、“∪”、“=”填空).
分析 用列举法表示各集合中的元素或用实数的
性质分析.
解析 方法一 列举集合中的元素
3.(2009·陕西改编)若不等式x2-x≤0的解集为M,函 数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N,则M∩N为［__0_,_1_)_. 解析 不等式x2-x≤0的解集M={x|0≤x≤1}, f(x)=ln(1-|x|)的定义域N={x|-1<x<1}, 则M∩N={x|0≤x<1}.
4.(2010·苏州模拟)已知全集U=R,M={x|y= x 1},
U且x A}，U为全集， UA表示A相对于全集U的
补集.
9.集合的运算性质:并集的性质A∪ =A,A∪A=A,A∪ B=B∪A,A∪B=A B A;交集的性质A∩ = , A∩A=A,A∩B=B∩A,A∩B=A A B;补集的性质
基础自测
1.（2009·天津改编）设全集U=A∪B={x∈N*|lg x <1},若A∩ UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B=_{_2_,_4_,_6_,_8_}_. 解析 U=A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A∩ UB={1,3,5,7,9},故B={2,4,6,8}.
(x-3m)2+(y-2n)2=9相切,此时 (3m)2 (n 2n)2 3 2
或 (3m)2 (n 2n)2 3 2,即m2 n2 25 或m2 n2 1 .
9
9
9.(2010·盐城模拟)设全集U=R,A={x| x 1 >0},
xm
UA=［-1,-n］,则m2+n2=___2___. 解析 由 UA=［-1,-n］, 知A=(-∞,-1)∪(-n,+∞), 即不等式 x 1 >0的解集为(-∞,-1)∪(-n,+∞),
U(A∪B)中有8个元素, 即3≤x≤8且x为整数.
7.(2010·淮安模拟)对于任意两个集合M,N,定义： M-N={x|x∈M,x N},M*N=(M-N)∪(N-M),设 M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},则M*N= _[_-_3_,_0_)_∪__(_3_,_+_∞__). 解析 因为M=［0,+∞),N=［-3,3］, 所以M-N=(3,+∞),N-M=［-3,0), 所以M*N=［-3,0)∪(3,+∞).
一个元素x∈B但x A,则_______（或______）;
A; A A; A B, B C A C; 若A含有n个 元素，则A的子集有_2_n_个，非空子集有_2_n_-_1_个， 非空真子集有__2_n-_2__个. 7.集合相等：若A B且B A，则A B.
8.集合的交、并、补运算：并集A∪B={x|x∈A或x∈ B}；交集A∩B={x|x∈A且x∈B}；补集 UA={x|x∈
A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为__4___.
解析 ∵A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16}
∴
a a
2 16, 4
∴a=4,故答案为4.
4.（2009·江西改编）已知全集U=A∪B中有m个元
素,( UA)∪( UB)中有n个元素.若A∩B非空，则 A∩B的元素个数为_m__-_n_. 解析 因为A∩B= U[( UA)∪( UB)]，所以A∩B 共有m-n个元素,故答案为m-n.
6
6
C { x | x 3c 1 , c Z}. 6
∴A B,
∵3b-2=3(b-1)+1,∴B=C.
∴A∪B=C.
答案 ∪ =
跟踪练习1 (2010·无锡模拟)设集合A={1,a,b},
B={a,a2,ab},且A=B, 则实数a=_-_1_,b=_0__.
解析 由元素的互异性知:a≠1,b≠1,a≠0,
4.常用数集:自然数集_N__;正整数集__N_*_(或_N_+_);整 数集_Z__;有理数集_Q__；实数集_R__.
5.集合的分类:按集合中元素个数划分，集合可分为
_有__限__集_、_无__限_集__、_空__集__. 6.子集、真子集及其性质:对任意的x∈A,都有x∈B,
则__A___B__（或_B____A_）；若A B,且在B中至少有
第一编 集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念及其基本运算
基础知识 自主学习
要点梳理
1.集合元素的三个特征:互__异__性__、_确_定__性__、_无__序__性__. 2.元素与集合的关系是_属__于__或_不__属__于__关系，用符号
_∈__或____表示.
3.集合的表示法:列__举__法__、描__述__法__、图__示__法__及_区__间__法__.
A {, 1 , 7 ,13 ,19 ,}, 66 6 6
B {, 1 , 1 , 2 , 7 ,}, 3636
C {, 1 , 2 , 7 , 5 ,}, 6363
∴A B,B=C,即A∪B=C.
方法二 判断集合中元素的共性和差异
A { x | x 6a 1 , a Z}， B { x | x 3b 2 , b Z},
1 2
},
∴
UP={x|x≤0或x>
1},
2
∴(
UM)∩(
UP)={x|x≤0或
1 2
<x<1}.
5.(2010·常州模拟)已知全集U=R,集合M={x|x≥
1},N={x| x 1≥0},则 x2
U(M∩N)=__{_x_|_x_≤__2_}_.
解析 因为M={x|x≥1},N={x|x>2或x≤-1},
3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属 关系;二是集合与集合的包含关系.
4.解答集合题目,认清集合中元素的属性(是点集、数集 或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
定时检测
一、填空题 1.(2009·海南)已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,
9,12},则A∩ NB=_{_1_,_5_,_7_}_. 解析 ∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}, ∴ NB={1,2,4,5,7,8,…}. ∴A∩ NB={1,5,7}.
8.(2010·南通模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2+2ny+ n2-4=0,x,y∈R},B={(x,y)|x2+y2-6mx-4ny+9m2+4n2 -9=0,x,y∈R},若A∩B为单元素集,则点P(m,n)构 成的集合为_{_(m__, n_)_|_m__2 __n_2___29_5_或__m_2__n__2 __91_}. 解析 因为A∩B为单元素集,即圆x2+(y+n)2=4与圆
2.高考中以考查集合的交、并、补等运算为主,同时 考察集合特性及集合、元素间的关系，注意利用 Venn图、数轴求集合的交、并、补运算.
方法规律总结
1.解题时要特别关注集合中元素的三个特性,特别是 互异性,要进行解题后的检验,注意将数学语言与集 合语言进行相互转化.
2.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨 论,防止漏掉.