非线性梁振动方程的周期解
非线性振动系统稳定性及分析方法综述
非线性振动系统稳定性及分析方法综述非线性振动是指系统在受到外界激励下，系统的响应不仅与激励的大小和频率有关，还与系统自身的非线性特性有关。
非线性振动在工程和科学中具有广泛的应用，然而，非线性振动系统的稳定性分析是一个复杂而重要的问题。
本文将对非线性振动系统的稳定性及分析方法进行综述。
首先，我们需要了解非线性振动系统的稳定性定义。
稳定性是指系统在扰动下具有恢复到平衡位置或围绕平衡位置进行周期性运动的能力。
在线性振动系统中，稳定性的判断相对简单，通常通过分析系统的特征方程的特征根来进行判断。
然而，在非线性振动系统中，由于存在非线性项，特征方程的解析解通常难以获得，因此需要借助其他分析方法来评估系统的稳定性。
非线性振动系统的稳定性分析方法主要有两种：解析法和数值法。
解析法基于系统的数学模型，通过对系统进行分析和求解来得到系统的稳定性判断。
数值法则是基于数值计算的方法，通过数值模拟来评估系统的稳定性。
解析法中最常用的方法是利用极限环理论进行分析。
极限环理论是利用极限环的性质来判断非线性振动系统的稳定性，主要包括判断极限环存在与否以及存在的极限环的形状和大小。
该方法适用于无阻尼非线性振动系统的稳定性判断，但对于有阻尼的系统则需要引入其他修正方法。
此外，解析法中还包括利用能量法、均衡法、周期解法等方法进行稳定性分析。
能量法是通过系统能量的变化来推导系统的稳定性判断条件，均衡法是通过判断系统的平衡位置的稳定性来得到系统的整体稳定性，周期解法则是通过求解系统的周期解来评估系统的稳定性。
另一种方法是数值法，数值法通过数值模拟计算来评估系统的稳定性。
数值法可以利用现代计算机技术进行大规模模拟计算，得到系统的响应曲线和稳定性判断结果。
数值法具有灵活性和高精度的特点，在实际工程中得到了广泛应用。
常用的数值方法包括有限元法、多体动力学法、广义谱方法等。
非线性振动系统的稳定性分析方法还可根据系统的特点分为两类：周期系统和非周期系统。
非线性振动系统的周期解与分岔分析方法
非线性振动系统的周期解与分岔分析方法在物理学、工程学以及许多其他领域中，非线性振动系统是一种常见且重要的研究对象。
理解非线性振动系统的周期解和分岔现象对于深入研究系统的动态行为、稳定性以及预测系统可能的变化趋势具有至关重要的意义。
首先，让我们来理解一下什么是非线性振动系统。
与线性振动系统不同，非线性振动系统中力与位移之间的关系不是简单的线性比例关系。
这种非线性特性可能源于多种因素，比如材料的非线性特性、几何非线性或者外部激励的非线性。
周期解是指系统在一定条件下呈现出的周期性运动状态。
对于非线性振动系统，寻找周期解并不是一件容易的事情。
常见的方法之一是利用数值计算。
通过数值方法，我们可以对系统的运动方程进行逐步求解，从而得到系统的时间响应。
这种方法直观且易于实现，但它也存在一些局限性，比如数值误差的积累以及对初值的敏感性。
另一种重要的方法是解析方法。
其中，平均法是一种常用的手段。
平均法的基本思想是将系统的运动方程在一个周期内进行平均，从而得到一个简化的方程，进而求解周期解。
此外，还有谐波平衡法，它假设系统的解可以表示为一系列谐波的叠加，然后将其代入运动方程，通过求解得到周期解的参数。
分岔则是指系统在参数变化时，其定性性质发生突然的改变。
分岔现象可以分为多种类型，比如鞍结分岔、叉形分岔、霍普夫分岔等。
分岔分析能够帮助我们了解系统在不同条件下的稳定性和动态行为的转变。
在研究分岔时，我们通常需要关注系统的特征值。
特征值的变化可以反映系统的稳定性。
当特征值从负实部变为正实部时，系统可能会发生不稳定的分岔。
相平面分析也是研究非线性振动系统分岔的有力工具。
通过绘制系统的相轨迹，我们可以直观地观察到系统的运动状态以及分岔的发生。
例如，在鞍结分岔中，相轨迹会出现两个平衡点合并为一个的现象；而在霍普夫分岔中，会从一个稳定的焦点变为一个不稳定的焦点，并在其周围出现一个稳定的极限环。
对于一些复杂的非线性振动系统，可能需要结合多种方法来进行分析。
非线性弦振动方程的新周期解
弦振 动方程 是数学 物理 方程 中的经典 方程之 一． 非线 性弦 振动方程 虽早 已获得 ｎ ， 但其 物理 意义却 并 不 十分 明确． 献Ｅ ３ 文 ２ 用变分 原理推 导 出了非线 性弦振 动方程
口 一
２。 ａ“
一 ２ 一 ： ０ 口牡 ，
（） １
从 能 量角度 赋予 了其 明确 的物理 意义 ， 且更进 一步用减 缩摄 动法将 式 （ ） １ 化为易 于求解 的 Ｋｄ Ｖ方 程 ， 给 并 出 了它的近 似解 ， 文献 ［ ，］ 双 曲函数 法求 得 了式 （ ） ３４用 １ 的周 期解 ． 本文 旨在利用 改进 的双 曲 函数法 寻求方
我 们 寻求 如下形 式 的解
ｕ ， ＝∑ Ａ ） （ ： ｘ ）： ｉ（ ＋∑ Ｂ （ ｇｓ ， 厂 Ｊ （ ｆ ） ）
它可 以通过平 衡最 高阶导 数项 和非线性 项确定 ， 厂 ９ ， （） 足如下 的投影 Ｒ ｅａｉ 而 （ ｇ 满 ｉｃｔ方程组
ｆ ）一 ｑ ｇ ； 厂（ ｆ（） （ ）
一
ｋ ｒ ａ ＋ ａ ｒ口 一 ６ｑ ＋ ６ ｑ 。 ２ ２３ ｋＣ
一
Ｚ 一 ２ ２ ： ０ 愚 ｑｆ ｌ ・
３ 。 ＋ ４ ２ 。 ｒ ＋ ３ ｋ ｑ ｒ ａ 忌 ｑａ ０ 一 ０，
２。 ２ －＋ ６ ２。ａ Ｚ 一 ｚ， 。 ａ ｋｑ 一 １ａ 忌 ｑ ＋ ４ ｋｑ 一 １ ０ 。２ 一 ０ ６ ２ 。ｒａ ０ 。 ０ ｋｑ ｒｆ ｌ ，
步 的改善和 总结 ， 出了 Ｒ ｅａｉ 提 ｉｃｔ方程 展开法 ， 到了非 线性 方程 的更 多 的精 确解． 文借 助 文献 ［ ，］ 找 本 ５ ６ 的
方法 ， 成功 得到 非线性 弦振 动方程 一些新 的周期 解．
非线性振动
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
非线性系统受迫振动的周期解
∫ dψ
dt
=
ω0
-
1 2πω0 A
2π
f ( A cos ψ-
0
Aω0sin ψ) cos ψdψ
以
ω20 ( 6
A cos ψ) 3
=
A 3ω20 24
(
3co
s
ψ
+
co
s
3ψ)
代入上式 ,得
∫ dψ
dt
=
ω0
-
ω0 A 2 48π
2π
(3cos ψ+ cos
3ψ) ·
0
cos ψdψ= ω0
图 3 β= 0 ,Ω=ω0时 ,方程(5) 的θ- t 和 hcos ω0 t 曲线
2) 多值反应
为方便起见
,令 τ=
ω0
t
,γ
β =ω0
,
f
=ωh20 ,ν=ωΩ0 ,
对方程 (5) 作标准化处理. 根据习惯 , 最后用 t 替换
τ,则式 (5) 变为
θ¨+ 2γθ·+ sin θ= f cos νt
26
大 学 物 理
第 23 卷
当摆角很小时 ,方程 (5) 可化为线性方程 :
θ¨+ 2βθ·+ ω20θ= hcos Ωt
(6)
当时间足够长时 ,系统达到稳定状态 , 方程 (6) 的解
为
θ= A cos (Ωt + φ)
振幅为
A=
h
(7)
(ω20 - Ω2) 2 + 2 (βΩ) 2
1 单摆自由振动的非等时性
在无阻尼无强迫力的情况下 , 单摆运动微分方
程为
非线性振动方程多重解求解方法
ｔａ ｋ ｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕ ｉｎ ｎ ｅ ｉｆｒ ｎ ｘ ｅ ｎ ｌｅ ｃ ｔｔｏ ｓ ｒ ｃ ｅ ｉｄ ｃ ｓ ｌ ｔ ｓ ｕ ｄ ｒｄ ｆｅ ｅ ｔｅ ｔｒ ａ ｘ ｉ ｉｎ ．Ｆｏ ｈｅ ｅ ｔ ｒ ｂ ｅ ｏ ａ ｒ ｔ ｓ ｗｏ ｐ ｏ ｌ ｍｓ，ｔ ｅ ｈ ｍｏｏ ｙ ｍｅｈｏ ｓ ｅ ｌ ｙ ｄ ｈ ｏ ｔ ｐ ｔ ｄ ｗａ ｍｐ ｏ ｅ Ｓ ｈ ｔｔ ｅ ｉ ｉｉｌｉｅａ ｉｅ ｖ ｌ ｅ ｃ ｕ ｄ ｂ ｈ ｓ ｄ ｅ ｓｌ ． Ｔｈ ｏｕ ｉｎ ｃ ｒ ｅ ｖ ｒ ｉ ｇ ｗｉｈ ｅ ｔ ｒ ｌ ｅ ｃ ｔｔｏ ｓ ｔａ ｋ ｄ Ｏ ｔ ａ ｈ ｎ ｔａ ｔｒ ｔｖ ａ ｕ ｏ ｌ ｅ ｃ ｏ ｅ ａ ｉｙ ｅ ｓ ｌ ｔｏ ｕ ｖ ａ ｙｎ ｔ ｘｅ ｎａ ｘ ｉ ｉｎ ｗａ ｒｃ ｅ ａ ｗｉ ｈ ｒ ｄ ｃ — ｏ ｒｃ ｔ ｏ ． Ｂｏｈ ｔ ｅ ｓａ ｌ ｎｄ ｕ ｓａ ｌ ｅ ｉｄ ｃ ｓ ｌ ｔｏ ｏ ｌ ｅ ｃ ｌｕ ａ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｉ ｔ ｏ ． ｔ ｔ ｅ ｐ ｅ ｉｔｃ ｒｅ ｔｍｅｈ ｄ ｈ ｔ ｈ ｔ ｂ ｅ ａ ｎ ｔ ｂ ｅ ｐ ｒｏ ｉ ｏｕ ｉｎｓｃ ｕ ｄ ｂ ａ ｃ ｌ ｔｄ ｂ ｓｎ ｈ ｓｍｅ ｈ ｄ Ｔｈ ｅ ｓｂ ｌｔ ｆｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｗａ ｅ ｉ ｅ ｈ ｏ ｇ ａｃ ｌｔｎ ｆｉ ｇ ｏ ｃｌａｏ ｑ ｔｏ ｅ ｆ ａ ｉ ｉｉ ｏ ｈ ｔ ｏ ｓｖ ｒｆ ｄ ｔ ｒ ｕ ｈ ｃ ｌ ｕ ａｉ ｇ ａ Ｄｕ ｎ ｓ ｉ ｔｒｅ ｕａｉｎ．Ｉ ｓ ｓ ｏ ｈａ ｈ ｉ ｌ ｔ ｎ ｙ ｉ ｌ ｔｗａ ｈ ｗｎ ｔ ｔｔ ｅ ｓｍｕ ａｉ ｏ ｒ ｓ ｌｓ ｕ ｉ ｇ ｔ ｉ ｍｅｈ ｄ ｇ ｅ ｗｅｌ ｔ ｔ ｅ ｈｅ ｒｔｃ ｌ ｐ ｒ ｘ ｍａ ｅ ｎｅ ａ ｄ ｈ ｎ ｍｅ ｉａ ｏ ｅ ｕ ｉ ｇ ｅ ｕ ｔ ｓｎ ｈ ｓ ｔ ｏ ａ ｒ ｅ ｌ ｗｉｈ ｈ ｔ ｏ ｅ ｉａ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｏ ｓ ｎ ｔ ｅ ｕ ｒｃ ｌ ｎ ｓ ｓｎ Ｒｕ ｇ Ｋｕｔ ｎ— ａ ｍｅｈ ｄ． ｔｏ Ｋｅ ｗｏ ｄ ｎ ｎ ｉｅ ｒ ｖｂ ａｉｎ； ｍｕ ｔ ｌ ｓ ｌ ｔ ｎ； ｈ ｒ ｎ ｃ ｂ ｌｎ ｅ ｍｅ ｈ ｄ； ｐｒｄｉｔｃ ｒｅ ｔ ｍｅｈ ｄ； ｙ ｒ ｓ： ｏ ｌ ａ ； ｉ ｒ ｔｏ ｎ ｌｉ ｅ ｏ ｕ ｉ ｐ ｏ ａ ｍｏ ｉ ａ ａ ｃ ｔｏ ｅ ｃ— ｏ ｒ ｃ ｔｏ
Duffing方程及其解
duffing方程Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。
因此，在非线性振动理论中研究，Duffing 方程具有重要的意义。
Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。
它的标准形式为：>0为阻尼系数。
g(x)是含有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一周期函数。
Duffing方程系统是一个典型的非线性振动系统，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。
工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程来研究，如船的横摇运动、结构振动、化学键的破坏等，横向波动方程的轴向张力扰动模型，转子轴承的动力学方程也与Duffing系统基本相似，另外Duffing系统也非常广泛地被应用到实际工程中，例如尖锐碰摩转子的故障检测、微弱周期信号检测、电力系统周期振荡分析、周期电路系统的模拟与控制等。
关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing方程的分数谐波振动、超谐波振动、组合振动等等，而且研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统。
因此从某种角度来说，对非线性Duffing系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础。
本研究首先考虑下列时间尺度上带有狄尼克莱边值条件的Duffing动力学方程{u△△(t)+Cu△(σ(t))-r(t)uσ(t)+f(σ(t),uσ(t))=h(t),t∈[0,σ(T)]KT2,u(0)=0=uσ(T)。
利用变分方法,我们得到了一些保证以上问题至少存在一个解的充分条件。
紧接着.利用Ricceri变分原理以及局部山路引理,我们研究了下列扰动型Duffing方程三个解的存在性:{u"(t)+Cu'(t)+f(t,u(t))+λg(t,u(t))=p(t),t∈[0,T]u(0)=0=u(T)以及无扰动项的Duffing方程三个解的存在性:J Zt”(t)+cu’(t)+t厂(z,u(f))=p(z),t ∈[0,丁],I乱(0)=0:札(丁)。
大跨度桥梁非线性颤振和抖振时程分析
大跨度桥梁非线性颤振和抖振时程分析在现代交通基础设施的建设中，大跨度桥梁因其跨越能力强、造型美观等优点而备受青睐。
然而，随着桥梁跨度的不断增大，风致振动问题日益突出，其中非线性颤振和抖振成为了桥梁设计和运营中必须要考虑的关键因素。
非线性颤振是一种自激振动现象，当风速超过一定临界值时，桥梁结构的振动会不断加剧，甚至导致结构的破坏。
与线性颤振不同，非线性颤振涉及到结构的几何非线性、材料非线性以及气动力非线性等多种复杂因素。
在大跨度桥梁中，由于结构的柔性较大，非线性效应更加显著，因此准确分析非线性颤振对于保障桥梁的安全性至关重要。
抖振则是一种由风的脉动成分引起的强迫振动。
即使在风速低于颤振临界风速时，抖振也会发生。
抖振虽然不会像颤振那样导致结构的迅速破坏，但长期的抖振作用会引起结构的疲劳损伤，降低桥梁的使用寿命。
对于大跨度桥梁来说，由于其对风的敏感性较高，抖振响应往往比较显著，因此也需要进行精确的分析和评估。
在进行大跨度桥梁非线性颤振和抖振时程分析时，首先需要建立准确的数学模型。
桥梁结构通常可以采用有限元方法进行建模，将其离散为一系列的单元和节点。
在模型中，需要考虑结构的几何形状、材料特性、边界条件等因素。
对于风荷载的模拟，通常采用风洞试验或数值模拟的方法获取风场数据，并将其转化为作用在桥梁结构上的气动力。
在非线性颤振分析中，常用的方法包括直接数值模拟、半解析法和基于风洞试验的等效风荷载法等。
直接数值模拟是通过求解流体动力学方程和结构动力学方程的耦合方程来获得桥梁的颤振响应。
这种方法虽然精度较高，但计算量巨大，通常只适用于简单结构和小规模问题。
半解析法是将结构的运动方程在模态空间中进行展开，然后结合气动力的表达式求解颤振临界风速和颤振形态。
基于风洞试验的等效风荷载法是通过风洞试验测量桥梁在不同风速下的气动力，然后将其等效为静风荷载或等效风振荷载，再进行结构的动力分析。
这种方法简单实用，但精度相对较低，需要依赖大量的风洞试验数据。
非线性振动_绪论
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
3非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象4某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减?线性系统中自由振动总是衰减的esinntxat??5强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分?简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外还含有频率为激振频率的几分之一即频率为的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍即频率为的超谐波响应nm为正整数?由于存在次谐波与超谐波振动非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度nm6多个简谐激振力作用下的组合振动?如激励为?响应中的频率含mnnm12为正整数ftft1122coscos和7存在频率俘获现象?在非线性振动系统中当系统以振动受到另一激励时系统可能以其中之一的频率振动即频率俘获128在一定条件会出现分叉现象与混沌运动duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动03非线性振动问题的研究方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法平均法小参数法摄动法近似法解析法
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年
求解振动周期的四种方法
求解振动周期的四种方法
振动周期是指振动或摆动物体在一个完整的正弦或余弦曲线周期中所花费的时间。
有多种方法可以求解振动周期，包括直方图法、有效载荷法、空气动力学法和谐振阻尼法。
直方图法是最简单的求解振动周期的方法，它要求收集变形信号，然后将数据以直方图形式呈现。
在直方图中，每个周期的振幅被绘制成一个垂直条，这些垂直条将直接表明振动的周期。
首先，收集一组连续的数据绘制到直方图中，然后可以计算出所有振幅的最大值和最小值，以及振动的空间周期。
有效载荷法是另一种通过求解振动周期的方法。
在这种方法中，收集的信号通常经过称为“有效值”的运算，以显示振动的有效载荷。
有效载荷可以将振动分解为多种频率，其中每种频率都拥有它自己的振动周期。
有效载荷可以确定振动机械系统中许多参数，如驱动或阻尼所贡献的动能，以及振动机械系统的工作元件之间的关系。
空气动力学法可用于确定振动的参数，这在求解振动周期时也是非常有用的。
这种方法使用特定的参考和数据分析技术，可以确定振动机械系统中的气流特性，除了可以求解振动周期外，还可以暴露出系统的稳定性以及改善空气湿度、磁场干扰等方面的问题。
谐振阻尼法是一种组合有效载荷和空气动力学算法的方法，用于求解振动周期。
谐振阻尼法可以将振动分解为多种频率，这些频率拥有自己的振动周期，可以理解为振动的阻尼或空气动力学影响。
总之，可以使用多种方法来求解振动周期，每种方法都有自己的优点和缺点。
一般来说，谐振阻尼法最容易实施，因为它结合了两种解决振动周期问题的方法。
非线性振动_绪论
0.5当前研究的主要问题与方向
• (1) 多自由度系统的非线性振动问题；
• (2) 连续体的非线性振动问题； • (3) 多频激励下非线性系统特性； • (4) 强非线性振动求解方法及解的性态； • (5) 分叉、突变、混沌特性和机理；
• (6) 工程非线性振动问题，如非线性振动系统的控制等
参考书目
Fge m R sin
2
z
R
Fgc 2mvr
不在分析平面上 质点相对运动微分方程：
2 2 ma m R sin cos mg sin r
ae
ar
mg
Fe
N
mR 2 m2 R 2 sin cos mg sin g sin 2 sin cos 0 这就是含惯性非线性项的非线性振动系统 R
(5) 非线性阻尼力
• 例0-4 干摩擦振动微分方程
f ( x) ( x ) m x
• 干摩擦阻尼力
) Nsign( x ) (x
1 ) sign( x 1 0 x 0 x
• -摩擦系数，N—正压力，Sign—符号函数
(6) 滞后（回）非线性-物理非线性
0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及 形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的 全局形态）
非线性动力系统中的周期解与周期倍增
非线性动力系统中的周期解与周期倍增非线性动力系统是一类具有复杂行为的系统，其中包含了周期解和周期倍增这两个重要的现象。
周期解指的是系统在一定时间间隔内循环重复的解，周期倍增则表示周期的长度会随着某个系统参数的增加而逐渐增大。
本文将介绍非线性动力系统中周期解和周期倍增的基本概念和性质，以及相关的数学方法和应用。
一、周期解的定义和性质在非线性动力系统中，周期解是指在一定时间间隔内，系统的状态变量以周期性的方式循环变化。
周期解的关键特征是系统的状态变量随时间的演化呈现出连续且重复的模式。
周期解可以通过解系统的微分方程来求得，通常需要借助数值计算方法来获得近似解。
周期解的性质和稳定性是研究非线性动力系统中周期解的重要内容。
稳定的周期解会吸引系统的初始条件，即使在微小扰动下，系统仍会回归到周期解上。
相反，不稳定的周期解则对微小扰动极为敏感，系统可能会偏离周期解演化到其他的解。
二、周期倍增的现象和机制周期倍增是一种特殊的动力学现象，其中周期的长度随着某个系统参数的变化逐渐增大。
这一现象最早由Mitchell Feigenbaum在1975年的研究中发现，被称为“Feigenbaum周期倍增”。
周期倍增通常发生在系统参数连续变化的过程中，如系统的驱动强度或耦合强度的调节。
具体来说，当系统参数逐渐增大时，周期解的稳定性会发生变化，出现分岔现象。
在每次分岔点，周期的长度会呈现出倍增的规律，即相邻两个周期的长度之比趋向于一个常数，即Feigenbaum常数。
三、数学方法和工具研究非线性动力系统中周期解和周期倍增的数学方法主要有两种：数值计算和解析方法。
数值计算通常通过迭代算法，如龙格-库塔方法和欧拉方法，来求解系统的微分方程。
这些方法能够获得近似解，但是对于复杂的非线性系统可能会有一定的误差。
解析方法则是通过具体的数学分析，如线性稳定性分析、Hopf分支分析和Bifurcation理论等，来推导周期解和周期倍增的存在条件和性质。
大学物理非线性振动讲解
f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态,但此 时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;
f =1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;
f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转; f=1.50, 又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.
说明鞍点是不稳定的平衡点，
因为与之相连的四条相轨迹中
两条指向它，两条背离它，而
附近相轨迹呈双曲线状．
Ep
o
d
dt
o
势能曲线、相图、鞍点
假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来， 双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑 回原来的一侧单摆向回摆动。
g 4 2 64 2
式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。
当m 时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。
可见单摆的周期是一个向无
穷大发展的非线性变化。
T T
单摆线性振动的相图
d2 g sin
2
dt 2 L
1
两边积分得
( d
dt
)2
2
2
C1
即
(d dt)2
§8.3 非线性振动
一、非线性振动系统
由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。
下面以单摆做自由振动为例进行分析
单摆的线性振动
d2
mL dt 2
mg sin
d 2
dt 2
g sin
L
将sinθ按泰勒级数展开可得
梁的振动微分方程
梁的振动微分方程
梁是工程结构中常见的组件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
梁的振动是指它在受到外力作用下发生的周期性变形，产生振动波动。
对
于梁的振动现象，我们可以通过振动微分方程来进行分析和计算。
EIy''''(某)+ρA∂²y/∂t²=q(某,t)
其中，y(某,t)为梁的振动位移，EI为梁的弯曲刚度，ρ为梁的密度，A为梁的横截面积，q(某,t)为梁外部施加在某一点上的载荷。
上式中的第一项表示弯曲刚度对梁的振动产生的影响，它随着梁截面
形状和截面面积的不同而变化。
第二项表示梁在振动过程中受到的外部载荷，它随着时间和位置的变化而变化。
理解梁振动微分方程的本质是了解
梁振动的基本力学原理和振动现象。
在实际应用中，需要通过求解振动微分方程来得出梁的振动模式和振
动频率。
通常采用特征方程的方法来求解振动微分方程，即将振动位移
y(某,t)表示为满足一定边界条件的正弦和余弦函数的组合形式，然后通
过求解特征方程求出正弦和余弦函数中的系数，从而得出梁的振动模式和
振动频率。
针对梁的振动微分方程还可以进行进一步的拓展和优化，例如考虑梁
端部的约束条件、点质量对梁振动的影响等。
此外，还可以通过数值模拟
等方法来对梁的振动进行分析和计算，在工程领域中得到广泛应用。
总之，梁的振动微分方程是分析和计算梁振动现象的重要数学工具，
对于设计和优化工程结构具有重要的参考价值。
构造一类非线性振子解析逼近周期解的初值变换法
设 动力 系统 （ ａ 的非对 称周期 解 为 ： １）
１ 初 值 变换 法
考 察方 程
＋厂 ） ＝０ ＿ （ （ ａ １）
为：
（ ） ＝ ， （ ）＝ 。 ０ 。 ０ ２ １ 周 期解 存在 性和 对 称性 分岔 分析 ． 方 程 （ ａ 有 两个平 衡 点 ： ４）
一 —
（ ｂ ４）
为存在 周期 解 的动 力 系 统 。 这 里 ， （ 是 其 变 量 的 ｆ ） 任意非 线性 函数 。初 始条 件 为 ：
中 图 分 类 号 ：０ ２ ３２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
对于 一般 的强 非线 性 系统 ， 由于情 况 复 杂 ， 目前 还
缺乏 象弱 非线 系统 那 样 一 整 套 通 用 的 近 似 求 解 方 法 。 这一 问题 ， 三 十 多年 来 ， 起 了不 少 学 者 的 关 注 ， 近 引 并 对此 开展 了一 系 列 的 研究 工 作 。如 参数 变 换 法 （ ． ． Ｓ Ｅ
期 解 ， 对称 周 期 解 ， 是 非 对 称 周 期 解 ， 是 还 然后 根 据 周
，
期 解 的类 型分别进 行求 解 。 初值 变 换法 的具 体求 解步 骤如 下 ： （Ｉ）两 项谐 波平 衡
基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 重 点 基金 （０ ７０ ３ １ ８２ ６ ） 收稿 日期 ：２ ０ ０ ９—１ ６ 修 改 稿 收 到 日期 ：０ ０—０ ２ １～１ ２１ ４— ４
跨共振点duffing方程周期解的多解性
跨共振点duffing方程周期解的多解性跨共振点duffing方程周期解的多解性：一、什么是跨共振点duffing方程周期解的多解性？Duffing方程是一种通用的非线性振动方程，它是变分法和比较原理的优化方法。
跨共振点Duffing方程周期解的多解性指的是，求解跨共振点Duffing方程存在两个以上的周期解，其中，每一个解对应着不同的物理量，如物体的位移、速度及其由此引起的力的大小。
二、跨共振点Duffing方程周期解的多解性有什么特点？1、由于跨共振点Duffing方程多解性存在两个以上的解，因此在跨共振点处系统更容易进入瞬变状态，这也使得系统容易出现混沌行为，进而导致系统的稳定性和可靠性受到影响。
2、跨共振点多解性是由于Duffing方程初值问题引起的，且不同的初值会引起不同的解，这也是Duffing方程周期解多解性的一个关键原因。
3、多解性存在于不同的状态下，如物体的位移或速度，确定的初值会使Duffing方程的解存在不可避免的多解性。
三、跨共振点duffing方程周期解的多解性有哪些应用场景？1、广义动力系统的多解性：在理论上，多解性可能会出现在具有非线性非局部性的复杂动力学系统中，比如环境系统、社会系统和人工智能这样的系统。
2、用于研究材料力学特性：多解性也可以用于研究和深入理解材料特性，特别对于接触有限元分析和挠曲分析而言，多解性的出现可能会改变材料的行为。
3、用于模拟社会示范：多解性也可以用于社会模拟，例如网络模拟、社会仿真和心理学研究。
在这种情况下，多解性表现为不同状态，例如动态分配规则、交叉影响、个人行为和对社会规范的反应以及个体价值观等等。
四、跨共振点duffing方程周期解的多解性是如何解决的？由于多解性可能会影响系统的性能，因此必须对其进行控制。
一般来说，可以采用两种方法来控制多解性：1、通过系统参数或初始条件的调整来对多解性进行控制。
在这种情况下，可以调整参数，使系统只存在一个解。
机械振动学基础知识非线性振动系统的分析与控制
机械振动学基础知识非线性振动系统的分析与控制机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象的学科。
振动是一种普遍存在于自然界和人造系统中的现象，对于机械系统的设计、分析和控制具有重要意义。
在机械系统中，振动可以分为线性振动和非线性振动两种类型。
本文将着重介绍非线性振动系统的基本原理、分析方法以及控制技术。
一、非线性振动系统的基本原理非线性振动系统是指系统的振动特性不遵循线性原理，即系统的振动方程中包含非线性项。
非线性振动系统的特点包括：振幅对应力的关系非线性、振动频率与振幅之间存在非线性关系、振动系统存在多个共振点等。
非线性振动系统的振动行为通常更为复杂，但也包含了更多的信息。
二、非线性振动系统的分析方法针对非线性振动系统，常用的分析方法包括：周期摆动法、受迫振动法、Poincaré映射法、Lyapunov指数法等。
周期摆动法是研究非线性振动系统解的定性行为的基本方法，通过对周期解进行分析，得到系统的相图。
受迫振动法是研究系统在外力作用下的振动响应，通过将外力视作驱动力进行分析。
Poincaré映射法是一种针对周期性外激励的分析方法，可用于研究系统的稳定性和周期解。
Lyapunov指数法是评估系统稳定性和混沌性质的方法，通过计算Lyapunov指数来描述系统的演化规律。
三、非线性振动系统的控制技朧针对非线性振动系统，常用的控制技术包括：PID控制、滑模控制、自适应控制等。
PID控制是一种基础的控制技术，通过调节比例、积分和微分系数来控制系统的稳定性和响应速度。
滑模控制是一种鲁棒性控制技术，通过设计滑模面来实现系统的稳定控制。
自适应控制是根据系统动态特性自适应调整控制器参数的技术，能够适应系统的变化和不确定性。
结语：非线性振动系统是机械振动学领域的重要研究内容，对于提高系统的性能和稳定性具有重要意义。
通过深入理解非线性振动系统的基本原理、分析方法和控制技术，可以有效地提高系统的运行效率和安全性。
对称非线性弹簧振子的振动周期的级数解
【 Ｄ Ｏ Ｉ 】 １ ０ ． １ ６ ８ ５ ４ ／ ｊ ． ｅ ｎ ｋ ｉ ． １ ０ ０ ０ — ０ ７ １ ２ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ４ ． ０ ０ ４
线性 弹簧振 子 是研究 物体 作简谐 振 动而 引入 的
：
一
个 理想 模型 ， 而实 际 中遇到 的 弹簧 都是 非 线性 的．
１ ６
大
学
物
理
第 ３ ６卷
置 所 用 时 间 是 ÷ 个 周 期 ， 再 结 合 式 （ １ ０ ） ， 得 到 这 一 ２ ． ２ 振 荡 器 的 振 荡 周 期
对称 非线 性弹 簧振 子的振 动周 期 ：
＝
当后 ＝ ０ ， 后 ≠０ ， 回复 力 变为 ｌ 厂 ＝一 ． ｊ ｝ ， 此 时 振 动
（ ８ ）
将上式 变形 ， 质量为 ｍ ． 现 在将物 体从 弹簧原长 向右拉伸一定距离 ｘ 。 ， 然后 放手． 贝 ０ 物体 将在 水平面上作来 回往复的直线振动． 取物体 的平衡位 置为 坐标原点 ， 水平向右为 轴正 方 向， 设在 ｔ 时刻 ， 物体 离平衡位置 的位移为 ， 则物体所受合力 为
（ ６ ）
（ ７）
１ 用 积 分 法 求 对 称 非 线 性 弹 簧 振 子 的 振 动
周 期 的 级 数 解
非线性硬弹簧 的恢复力 与弹簧形 变量 之问的关系
所 用 时 间
√ （ ２ ０ 一 ） ＋ （ ４ ０ 一 ） ／ ２
积分上 式 ， 得到 物体 从 。 一直 沿 轴 负方 向运 动到
代 入上式 并分 离变 量后 ， 得到
； ｄ Ｙ ｅ ＝一 （ ） ｄ ｘ （ ５ ）
文献 ［ １ ］ 通过计算机编程 ， 对 对 称 非 线 性 弹 簧 振 子 的振 动周 期等进 行 了研究 ， 但 并 没有 给 出振 动 周期 的解 析解． 本文 通 过 本 科 生 易 于 理解 和掌 握 的积 分 法得 到 了非线性 弹 簧 振 子 的振 动 周 期 的级 数 解 ， 并 进一 步得 到 了线形 弹簧 振 子 的振 动 周 期 和 振 荡 器 的振荡 周期．
一维非线性梁振动方程周期解的存在性
一维非线性梁振动方程周期解的存在性
唐秋林;耿建生;吴美云
【期刊名称】《南通大学学报（教育科学版）》
【年(卷),期】2001(017)003
【摘要】对一维非线性梁振动方程utt+uxxxx+m2u+u3+f(u)=0,在[0,π]上满足铰链边界条件,其中f(u)=∞∑m=5u5为解析的奇函数,文章证明了对于大多数的m2,上述方程存在小振幅周期解.这个证明利用了 Lyapunov-Schmidt分解及隐函数定理.
【总页数】3页(P51-53)
【作者】唐秋林;耿建生;吴美云
【作者单位】南通师范学院,数学系,江苏,南通,226007;滨州师范专科学校,数学系,山东,滨州,256604;南通师范学院,数学系,江苏,南通,226007
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
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