数学必修五知识点

高中数学必修5知识点第一章、数列一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb += 4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。

（2）d m n a a m n )(-=- （3）m n m n n a a a +-+=25、等差数列的前n 项和的公式 公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+． 公式特征：21()22n d dS n a n =+-是一个关于n 且没有常数项的二次函数形式 等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶． ②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． ③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列三、等比数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示：1n na q a +=（常数） 2、通项公式（1）、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． （2）、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②n mnma qa -=． 3、等比中项：在a 与b 中插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是G ±。

4、等比数列性质若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅．5、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：（1）公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．（2）公式特点：()11(1)1n n n n a q k q A Aq qs =-=-=-- （3）等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇．②nn m n m S S q S +=+⋅．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（0n S ≠）．6、等比数列判定方法： ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列。

四、求通项公式方法①观察、归纳、猜想法求数列通项 ②应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项 注意：一分为二或合二为一③累加法：若递推关系式形式为1()n n a a f n +=+用累加法 ④累乘法：若递推关系式形式为1()n n a a f n +=用累乘法 ⑤转化为等差法：若递推关系式形式为1nn n m a p ma a +=+ （m 、p 为常数）⑥转化为等比法：若递推关系式形式为q pa a n n +=+1。

五、求前n 项和公式方法①公式法：若数列为等差或等比数列直接应用求和公式 ②倒序相加法：若数列首尾两项和有规律③乘比错位相加法：通项公式为n n n c a b =（其中n a 为等差数列，n b 为等比数列） ④裂相求和法：通项公式为1111()n n n n n k k b a a d a a ++==-（n a 为等差数列）⑤分组求和第二章、解三角形一、正弦定理1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin abcR C ===A B ．2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A=，sin 2b R B=，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．3、定理应用范围：（1）已知两边及一边对角 （2）已知两角及一边已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA5、三角形面积公式：111sin sin sin222CS bc ab C ac∆AB=A==B．二、余弦定理1、余弦定理：在C∆AB中，有2222cosa b c bc=+-A，2222cosb ac ac=+-B，2222cosc a b ab C=+-．2、、余弦定理的推论：222cos2b c abc+-A=，222cos2a c bac+-B=，222cos2a b cCab+-=．3、余弦定理应用范围：（1）已知三边（2）已知两边及其夹角（两边及一角）4、射影定理：cos cos,cos cos,cos cosa b C c B b a C c A c a B b A=+=+=+三、常用公式及结论1、设a、b、c是C∆AB的角A、B、C的对边，则：①若222a b c+=，则90C=；②若222a b c+>，则90C<；③若222a b c+<，则90C>．2、大边对大角A>B<=>a>b<=>sinA>sinB3、三角形内角和定理, , -22222A B C A B CA B Cπππ+++++===Cos22A B CSin⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()Cos Cos C Cos22A B CSin A B Sin C A B Sin⎛⎫⎛⎫++=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、二倍角公式：2tan22tan221tan222222112Sin Sin CosCos Cos Sin Cos Sinααααααααααα==-=-=-=-；5、两角的和与差公式：()()()()() , S () , S () , C(), C()tan tan tan , T1tan tan ()tan Sin Sin Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos Sin Sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++-=--+=-+-=+-++=-+()tan tan , T1tan tan ()αβαβαβαβ--=+-6、辅助角公式() ,tan by aSin bCos a αααϕϕ=+=+=（其中）第三章、不等式一、比较大小及不等式性质1、比较大小依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、比较大小方法：作差法：步骤①作差 ②变形（常用方法：通分、配方、分子、分母有理化、因式分解等）③定号 作商法：0,01,1,1a a aa b a b a b a b b b b >>>⇔>=⇔=<⇔<当时3、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>； ③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<； ⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >．二、一元二次不等式解法：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 解法步骤：⑴确定对应一元二次方程的判别式及根⑵作出对应一元二次函数的图像 ⑶由函数图象写出相应不等式的解集2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程2ax bx +0c +=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x < 有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅3、一元二次不等式恒成立问题20ax bx c ++>()0a ≠恒成立条件0240a b ac >∆=-<20axbx c ++<()0a ≠恒成立条件240a ac b <∆=-< 4、含参一元二次不等式解法分类讨论：①二次项系数②相应方程是否有根③两根的大小 5、一元二次方程实根分布 分析思路：求根公式法：224412b ac b acb b x x -+----==韦达定理法：①判别式②两根之和③两根之积函数图象法：①判别式②对称轴位置③区间端点函数值基本类型与相应方法： 设 )0()(2≠++=a c bx ax x f ，则方程0)(=x f 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：根的情况 a>0时图 a<0时图 充要条件两个根均小于m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥∆m abm af 20)(0⇔⎪⎩⎪⎨⎧>--<-+-≥∆0))((002121m x m x m x m x 两个根都大于n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥∆n ab n af 20)(0⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0))((002121n x n x n x n x 一个大于m ，另一个小于m 的根(x 1-m)(x 2-m)<0⇔af(m)<0在区间(m,n)内有且仅有一个根f(m)f(n)<0在区间(m,n)之外有两个根⎩⎨⎧<<0)(0)(n af m af 在区间(m,n)内有两个实根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)(0)(20n af m af n a b m 三、基本不等式1、a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b ab a 、b 的几何平均数．2、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a bab +≥3、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．4、基本不等式求最值：设x 、y 都为正数，则有（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．（2）若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 注意：利用基本不等式求最值条件：① 正 ② 定 ③ 相等 5、对号函数图像性质(,0)by ax a b x=+>的图像与性质：（1）定义域：{|0}x x ≠；（2）值域：{|y y y ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,+)-∞∞和上是增函数，在区间[和上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；（6）图象：如右图所示五、简单线性规划 1、基本概念①、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． ②、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．③、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合． 2、二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般,二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面区域中，表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．3、二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：①可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正(或负)来判断Ax ＋By ＋C ＞0(或Ax ＋By ＋C ＜0)所表示的区域．当C ≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．②也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：（ⅰ）y ＞kx ＋b 表示直线上方的半平面区域；y ＜kx ＋b 表示直线下方的半平面区域． （ⅱ）B ＞0时，Ax ＋By ＋C ＞0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＜0表示直线下方区域； B ＜0时，Ax ＋By ＋C ＜0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＞0表示直线下方区域. 4．简单线性规划(1)基本概念：目标函数：关于x ，y 的要求最大值或最小值的函数，如z ＝x ＋y ，z ＝x 2＋y 2等． 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组． 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解． 可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )称为可行解． 可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域． (2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①分析并将已知数据列出表格； ②确定线性约束条件； ③确定线性目标函数； ④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．。