周期三角波的傅里叶级数-推荐下载
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例题：求下图所示周期性三角波()x t 的三角函数形式傅里叶级数，其中周期为0
T ，幅值为A
。
解：在()x t 的一个周期中，()x t 可表示为
0000(0)22()(0)
22T A A t t T x t T A A t t T ⎧
+-⎪⎪⎪=⎨
⎪⎪-⎪⎩
≤≤≤≤ 由于()x t 为偶函数，故正弦分量幅值0=n b 。常值分量
00/2
00/20
0111()22
T T A a x t dt T A T T -=
=⨯⨯⨯=⎰
而余弦分量幅值为
000/2
/2
00/20
222222222
2()cos d 2()cos d 41,3,5,24(cos 1)sin 20
2,4,6,T T n T A
a x t n t t A t n t t
T T T A n n A A n n n n n ωωπ-=
=-⎧=⎪ππ⎪=--==⎨
ππ⎪
⎪=⎩⎰
⎰
L L
展开式为
000222411
()(cos cos3cos5)
235A A x t t t t ωωω=++++πL
(a) 幅值频谱图
(b) 相位频谱图
例题：求下图所示周期性三角波()x t的复指数函数形式傅里叶级数，其中
周期为0T，幅值为A。
解：方法一：
在()x t 的一个周期中，()x t 可表示为
0000(0)22()(0)
22T A A t t T x t T A A t t T ⎧
+-⎪⎪⎪
=⎨
⎪⎪-⎪⎩
≤≤
≤≤ 0()0,1,2,jn t
n
n x t C e
n ω∞
=-∞
=
=±±∑
方法二：
在()x t 的一个周期中，()x t 可表示为
0000(0)22()(0)
22T A A t t T x t T A A t t T ⎧
+-⎪⎪⎪
=⎨
⎪⎪-⎪⎩
≤≤
≤≤ ()
000/2
/2
1()0,1,2,.......
T jn t
n T C x t e
dt
n T ω--=
=±±=⎰
0()0,1,2,jn t n
n x t C e n ω∞
=-∞
=
=±±∑
下面考虑n 取不等于0的整数：
00
/2/2
00/2000
2222222222()cos d 2()cos d 41,3,5,24(cos 1)sin 20
2,4,6,T T n T A a x t n t t A t n t t
T T T A n n A A n n n n n ωωπ-==
-⎧=⎪ππ⎪=--==⎨
ππ⎪
⎪=⎩⎰⎰
L
L
由于()x t 为偶函数，故正弦分量幅值0=n b 。
从而，
1
()
2n n n C a jb =-2222
1421,3,5,....
1
1
A
A n ⎧==±±±⎪00/20000/20111()/22
T T C a x t dt T A T A
T -====⎰
从而其复指数形式是
从而幅频谱图是：
n C ω-22
21,3,5,....02,4,6,....
/2000,1,3,5,....
n n A
n n C n A n n πϕ⎧=±±±⎪⎪==±±±⎨⎪=⎪⎩
==±±±0222();1,3,5,2jn t
A A x t e n n ωπ
=+=±±±⋅⋅⋅
∑
相频谱图是：
n ϕω-
注：
其中积分计算：
000000
0000
1
cos sin 1[sin sin ]11[sin cos ]t n tdt td n t
n t n t n tdt n t n t n t C n n ωωωωωωωωωω==-=++⎰⎰⎰P22 例1-1 图1-6 把x(t)轴平移到T 0/2处后，求
其傅里叶级数的三角函数展开式，并画出其幅频谱及相频谱图。
解：在x （t ）的一个周期中，可表示为
00
00/2/2()/20
/2
A
t t T T x t A t T t T ⎧<<⎪⎪=⎨
⎪--<<⎪⎩由于()x t 为偶函数，故正弦分量幅值0=n b 。
常值分量
而余弦分量幅值为
00/2
00/20
0111()22
T T A
a x t dt T A T T -=
=⨯⨯⨯=⎰
00000/2/200/2000/2
/200020
000000222224()cos ()cos cos 4281cos sin 41,3,5,....2(cos 1)02,4,6,....T T n T T T a x t n tdt x t n tdt T T n t A A t n tdt t n t T T T n n A n A n n n n ωωωωωωωπππ-==⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦-⎧=⎪=-=⎨⎪=⎩⎰⎰⎰展开式为000222411()(cos cos3cos5....)235A A x t t t t ωωωπ=-+++ 幅频谱 0224()1,3,5,....A A n n n ωπ==相频谱 0()01,3,5,....n n ϕω==