规律探索问题

1．数字类规律探索问题 解答数字类规律探索问题，应在读懂题意、领会 问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳， 得出的规律要具有一般性，而不是一些只适合于部分 数据的“规律”． 2．图形类规律探索问题 解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征 和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实际验证．
考点二 图形类规律探索问题 例 2 (2015·益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规 律摆成的一组图案，第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个 图案中有 11 根小棒，??，则第 n 个图案中有________ 根小棒．
【点拨】第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个图案
比第 1 个图案多一个
【解析】 在等腰 Rt △OAA 1 中， ∠OAA 1＝90°， OA＝1，∴OA1＝ 2.同理可求 OA2＝( 2)2，OA3＝( 2)3. 依此类推 OA6＝( 2)6＝8.
答案： 8
3．(2015·安顺)如图所示是一组有规律的图案，第 1 个图案是由 4 个基础图形组成，第 2 个图案是由 7 个基础图形组成，??，第 n(n 是正整数 )个图案中的 基础图形的个数为 (用含 n 的式子表示 )．
，在接下来的图案都依次
增加一个
，可知第 1 个图案有 6 根小棒，
第 2 个图案有(6＋5)根小棒，第 3 个图案有 (6＋5＋5) 根小棒，第 4 个图案有 (6＋5＋5＋5)根小棒，?? ，则 第 n 个图案中有 6＋5(n－1)＝6＋5n－5＝(5n＋1)根小 棒，故答案为 5n＋1.
【答案】 5n＋1
方法总结： 解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征 和图形变化规律，一要合理猜想，二要加以实际验证 .
专题训练
一、选择题 (每小题 4 分，共 32 分)
1．请你计算：(1－ x)(1＋ x )，(1－ x)(1＋ x＋ x 2)，?， 猜想(1－x)(1＋x＋x2＋?＋ xn)的结果是 ( )
A． 222
B． 280
C． 286
D． 292
【解析】设能连续搭建正三角形的个数是 n，则 正六边形的个数为 (n－6)，观察图形可知，搭建一个正 三角形用 3 根火柴棍，搭建 n 个正三角形用(2n＋1)根 火柴棍；搭建一个正六边形用 6 根火柴棍，搭建 (n－6)个正六边形用 [5(n－6)＋1]根火柴棍，正三角形 和正六边形共用了 2 016 根火柴棍，故可得 2n＋1＋ 5(n－6)＋1＝2 016，解得 n＝292.故选 D.
答案： D
3．根据下图中箭头的指向规律，从 2 014 到 2 015 再到 2 016，箭头的方向是下面图示中的 ( )
A
B
C
D
【解析】∵通过观察，每 4 个数为一个循环组，
又∵2 014÷4＝503?? 2，∴2 014 为第 504 循环组的第
三个数，因此箭头方向为
. 故选 B.
答案： B
考点一 数字类规律探索问题 例 1(2015·巴中)定义：a 是不为 1 的有理数，我们把 1－1 a称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数是1－1 2＝－1，－1 的差倒数是1－?1－1?＝12.已知 a1＝－12，a2 是 a1 的差倒数， a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，??，以此类推， 则 a2 015＝________.
D．171π
【解析】第 1 个圆和第 2 个圆之间的阴影部分的 面积为(22－12)π＝3π；第 3 个圆和第 4 个圆之间的阴 影部分的面积为 (42－32)π＝7π；第 5 个圆和第 6 个圆 之间的阴影部分的面积为 (62－52)π＝11π；? ，第 19 个圆和第 20 个圆之间的阴影部分的面积为 (202－192)π ＝39π；∴阴影部分的面积为 3π＋7π＋11π＋15π＋19π ＋23π＋27π＋31π＋35π＋39π＝210π.故选 B.
答案：B
二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分) 1 ． (2015·安 徽 ) 按 一 定 规 律 排 列 的 一 列 数 ： 21,22,23,25,28,213，?，若 x， y， z 表示这列数中的连续 三个数，猜测 x，y，z 满足的关系式是 xy＝z .
2．如图，在等腰 Rt△OAA1 中，∠OAA1＝90°， OA＝1，以 OA1 为直角边作等腰 Rt△OA1A2，以 OA2 为直角边作等腰 Rt△OA2A3，??， 则 Baidu NhomakorabeaA6 的长度为 .
专题二 规律探索型问题
规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是： 给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或是给 出与图形有关的操作变化过程；或是给出某一具体的 问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的 规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．规律探索型 问题包括两类问题：数字类规律探索问题、图形类规 律探索问题．
4．(2015·宜宾)如图，以点 O 为圆心的 20 个同心圆，
它们的半径从小到大依次是 1,2,3,4，?， 20，阴影部分
是由第 1 个圆和第 2 个圆，第 3 个圆和第 4 个圆，??，
第 19 个圆和第 20 个圆形成的所有圆环，则阴影部分的
面积为( )
A．231π
B．210π
C．190π
【点拨】a1＝－12，a2＝1－??1－12??＝23，a3＝1－1 23＝3，
a4＝1－1 3＝－12，观察发现，数的循环周期为 3,
2 015÷3＝671?? 2，∴a2 015＝a2＝23
【答案】
2 3
方法总结： 数字类规律一般分为两类：一类是每个数与序号 有关系，另一类是循环类，即几个数后就会出现循环 . 因此解决数字类问题，一般是计算前面几个简单的数 的结果，观察结果的变化是哪一类，若和序号有关， 则第 n 个数用含有 n 的式子表示；若是循环类，则找 出循环节，用 n 除以循环节，找出余数即可找到对应 的结果 .
A． 1－xn＋1 C． 1－xn
B．1＋ xn＋1 D． 1＋ x n
答案： A
2．(2015·十堰)如图，分别用火柴棍连续搭建正三 角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建 正三角形和正六边形共用了 2 016 根火柴棍，并且正三 角形的个数比正六边形的个数多 6 个，那么能连续搭 建正三角形的个数是( )