等腰三角形全等三角形
全等三角形几种类型(总结)
全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形,记作:五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌"表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法:（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3）有公共边的,公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． （5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：（1) 边角边定理(SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． （3) 边边边定理（SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．（4） 角角边定理(AAS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理（HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，3．OA OB，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOP POBA ABO P三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．板块一、全等三角形的认识与性质【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，若12∠=∠,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．21E ODCBA【巩固】如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三角形?请一一找出来,并简述全等的理由．板块二、三角形全等的判定与应用【例2】 （2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证:AF BD =．FEDCBA【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，AD BC =,AC BD =，求证:C D ∠=∠．例题精讲FAE P DCBODCBA【巩固】如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证:OA OD =．ABCDO【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试）已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =,B C ∠=∠．求证：OA OD =．F E ODCB A【例5】 已知，如图,AB AC =，CE AB ⊥,BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例6】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBA【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥,GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEF【例7】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点．求证:AM CD ⊥．M EDC B A板块三、截长补短类【例1】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?NEB M A D【巩固】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【例2】 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB的长为 （ )A 。
专题10.等腰三角形有关的全等判定
---等腰（边）三角形有关的全等判定
复习与回顾
三角形全等的判定方法
SSS
SAS
AAS ASA
HL
1.三角形全等的判断定理 （1）三角形全等的判断定理
三边对应相等的两个三角形全等（SSS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） 两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的三角形全等（HL） （2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
BF＝CD; ∠CBF＝∠ACD＝90°
CB＝AC， ∴△CBF≌△ACD（SAS）． ∴∠BCF=∠CAD． 又∵∠BCF+∠GCA=90°， ∴∠CAD+∠GCA=90°． 即AD⊥CF．
应用举例3：利用等腰三角形的性质判定三角形全等
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点， DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连 接CF．
(1)求证：CD=BF； (2)求证：AD⊥CF；
(3)连接AF，试判断△ACF的形状.
（3）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示， 由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是 ∠DBF的平分线， ∴BE垂直平分DF， ∴AF=AD(等腰三角形的性质：三线合一) ∵CF=AD（全等三角形的对应边相等） ∴CF=AF（等量代换） ∴△ACF是等腰三角形．
思考探究二：与等腰（边）三角形有关的全等问题
A
E
D
G
BF
C
思考探究二：与等腰（边）三角形有关的全等问题
A
A
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.截长补短：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
三角形的全等和等腰三角形的性质 优秀课教案
1．1 等腰三角形第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质1．复习全等三角形的判定定理及相关性质；2．理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题．(重点，难点)一、情境导入探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC 有什么特点？二、合作探究探究点一：全等三角形的判定和性质 【类型一】 全等三角形的判定如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是()A ．BD ＝CDB ．AB ＝AC C ．∠B ＝∠CD ．∠BAD ＝∠CAD解析：利用全等三角形判定定理ASA ，SAS ，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若BD ＝CD ，则△ABD ≌△ACD (SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若AB ＝AC ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD ≌△ACD ；C.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若∠B ＝∠C ，则△ABD ≌△ACD (AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD 为公共边，若∠BAD ＝∠CAD ，则△ABD ≌△ACD (ASA)；故选B.方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.要注意AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】 全等三角形的性质如图，△ABC ≌△CDA ，并且AB＝CD ，那么下列结论错误的是( )A ．∠1＝∠2B ．AC ＝CA C ．∠D ＝∠B D ．AC ＝BC解析：由△ABC ≌△CDA ，并且AB ＝CD ，AC 和CA 是公共边，可知∠1和∠2，∠D 和∠B 是对应角．全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．AC 和BC 不是对应边，不一定相等．∵△ABC ≌△CDA ，AB ＝CD ，∴∠1和∠2，∠D 和∠B 是对应角，∴∠1＝∠2，∠D ＝∠B ，∴AC 和CA 是对应边，而不是BC ，∴A 、B 、C 正确，错误的结论是D.故选D.方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．探究点二：等边对等角【类型一】 运用“等边对等角”求角的度数如图，AB ＝AC ＝AD ，若∠BAD＝80°，则∠BCD ＝( )A ．80°B ．100°C ．140°D ．160° 解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B ＋∠BCD ＋∠D 的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠D ，从而得到∠BCD 的值．∵∠BAD ＝80°，∴∠B ＋∠BCD ＋∠D ＝280°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠D ，∴∠BCD ＝280°÷2＝140°，故选C.方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.【类型二】 分类讨论思想在等腰三角形求角度中的运用等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数．解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°；②顶角即为30°.因此等腰三角形的顶角的度数为30°或120°.方法总结：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．探究点三：三线合一【类型一】 利用等腰三角形“三线合一”进行计算如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC ＝125°.求∠ACB 和∠BAC 的度数．解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AE ⊥BC ，再求出∠CDE ，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE ，根据角平分线的定义求出∠ACB ，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC .解：∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，∴AE ⊥BC .∵∠ADC ＝125°，∴∠CDE ＝55°，∴∠DCE ＝90°－∠CDE ＝35°.又∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠DCE ＝70°.又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝70°，∴∠BAC ＝180－(∠B ＋∠ACB )＝40°.方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．【类型二】 利用等腰三角形“三线合一”进行证明如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E 使得AE ＝AD ，连接DE ，求证：DE ⊥BC .解析：作AF ∥DE ，交BC 于点F .利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF ＝∠F AC .在△ABC 中由“三线合一”得AF ⊥BC .再结合AF ∥DE 可得出结论．证明：过点A 作AF ∥DE ，交BC 于点F .∵AE ＝AD ，∴∠E ＝∠ADE .∵AF ∥DE ，∴∠E ＝∠BAF ，∠F AC ＝∠ADE .∴∠BAF ＝∠F AC .又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC . ∵AF ∥DE ，∴DE ⊥BC .方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合．三、板书设计1．全等三角形的判定和性质2．等腰三角形的性质：等边对等角3．三线合一：在等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其中一个条件，就能得出另外的两个结论．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.第2课时 平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)一、情境导入小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？二、合作探究 探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形【类型一】 利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ； (2)四边形AFBE 是平行四边形． 解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 就可以了．证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝OB ，∠AOC ＝∠BOD ，∠C ＝∠D ，∴△AOC ≌△BOD (AAS)；(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝12OC ，∴EO ＝FO ，又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．【类型二】 利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等如图，在平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段BE，DF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA ＝OC ，OB ＝OD ，利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE 是平行四边形，从而得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，OB ＝OD .因为E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以OE ＝OF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE ＝DF ，BE ∥DF .方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．探究点二：平行线间的距离如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 的面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴S △EGO ＝S △FHO .方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．探究点三：平行四边形判定和性质的综合如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD的中点，连接DE 、FG .(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形； (2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，DC ＝10，求四边形AGCD 的面积．解析：(1)求出平行四边形AGCD ，推出CD ＝AG ，推出EG ＝DF ，EG ∥DF ，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G 是BC 的中点，BC ＝12，得到BG ＝CG ＝12BC＝6，根据四边形AGCD 是平行四边形可知AG ＝DC ＝10，根据勾股定理得AB ＝8，求出四边形AGCD 的面积为6×8＝48.解：(1)∵AG ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形AGCD 是平行四边形，∴AG ＝DC .∵E 、F 分别为AG 、DC 的中点，∴GE ＝12AG ，DF ＝12DC ，即GE ＝DF ，GE ∥DF ，∴四边形DEGF 是平行四边形；(2)∵点G 是BC 的中点，BC ＝12，∴BG ＝CG ＝12BC ＝6.∵四边形AGCD 是平行四边形，DC ＝10，AG ＝DC ＝10，在Rt △ABG 中，根据勾股定理得AB ＝8，∴四边形AGCD 的面积为6×8＝48.方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．三、板书设计 1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．3．平行四边形判定和性质的综合．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.。
第27课时 全等三角形 ,等腰、等边三角形
九年级数学第一轮复习教、学案（共47课时）第27课时全等三角形，等腰、等边三角形一.知识要点：(一) 全等三角形及其性质：1.全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形.2.全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.“全等”用≌表示，读作:“全等于”.3.全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边 .（2）全等三角形的对应角 .注意：全等三角形对应边上的高.中线相等，对应角的平分线相等，全等三角形的周长.面积也都相等.(二) 三角形全等的判定：1.一般三角形全等的判定（1）对应相等的两个三角形全等（＂边边边＂或＂SSS＂）.（2）两边和它们的对应相等的两个三角形全等（＂边角边＂或＂SAS＂）.（3）两角和它们的对应相等的两个三角形全等（＂角边角＂或＂ASA＂）.（4）有两个角和其中的对边对应相等的两个三角形全等（＂角角边＂或＂AAS＂）.2.直角三角形全等的判定（1）利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等.（2）和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（＂斜边.直角边＂或＂HL＂）.(三) 等腰三角形的判定和性质：1.性质（1）等腰三角形的相等（简称等边对等角）.（2）等腰三角形的互相重合（三线合一）.（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是____________________.2.判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角行.（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称等角对等边）.(四) 等边三角形边的性质和判定：1性质：等边三角形每个角都等于________，同样具有“三线合一”的性质.2判定：①三个角相等的三角形是__________；②三边相等的三角形是_________；③一个角等于60°的_________三角形是等边三角形.二.典型例题[例1]已知等腰三角形的两条边长分别为7和3，那么第三条边的长是 .[例2]如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF[例3]如图，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3B．2C．3D．1[例4] 如图，点D 、是等边△ABC外的一点，且DB=DC，∠BDC=120°，将一个三角尺60° 的顶点放在点D上，三角尺的两边DP、DQ分别与射线 AB、CA相较交于E、F两点。
中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。
初中数学 等腰三角形有哪些全等性质
初中数学等腰三角形有哪些全等性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两条边被称为腰，而第三条边被称为底边。
等腰三角形的顶角和底角也是相等的。
等腰三角形的全等性质是指两个等腰三角形在边长和角度上完全相等，即它们的对应边长和对应角度都相等。
下面我们将详细解释等腰三角形的全等性质：1. 全等边性质：如果两个等腰三角形的两条腰的边长相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B' 且AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
2. 全等角性质：如果两个等腰三角形的顶角和底角相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，∠B = ∠B' 且∠C = ∠C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
3. 全等边角边性质：如果两个等腰三角形的一对腰的边长和对应的顶角相等，且底边长度也相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，∠B = ∠B'，AC = A'C'，那么三角形ABC和三角形A'B'C'是全等的。
4. 全等边边边性质：如果两个等腰三角形的三条边的边长都相等，那么这两个等腰三角形是全等的。
即如果在两个等腰三角形中，AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C'，那么三角形ABC 和三角形A'B'C'是全等的。
通过这些全等性质，我们可以判断两个等腰三角形是否全等，以及在已知一些边长和角度的情况下，计算出其他未知的边长和角度。
这些全等性质也为解决与等腰三角形相关的几何问题提供了依据。
在应用中，我们可以利用等腰三角形的全等性质来证明几何定理、解决几何问题，或者进行构造等腰三角形的操作。
全等三角形难题
全等三角形难题引言在初中数学中，学习了许多有关三角形的性质和定理。
其中，全等三角形是一个重要的概念。
全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等的情况。
在解决全等三角形难题时，我们需要利用已知条件和全等三角形的性质来推导出未知信息。
本文将探讨一些全等三角形的难题，并提供相应的解题思路和方法。
难题一：求等腰三角形的底边长度已知一个等腰三角形的顶角度数为60°，求其底边的长度。
解题思路1.假设等腰三角形的底边长度为x。
2.根据等腰三角形的性质，顶角的度数等于底角的度数，所以底角的度数也为60°。
3.由三角形的内角和为180°可得，两个底角的度数之和为180°-60°=120°。
4.由于等腰三角形的两条底边相等，可推导出底角为等边三角形，其两个底角的度数相等，即每个底角的度数为120°/2=60°。
5.由三角形的内角和为180°可得，三个底角的度数之和为180°。
6.将三角形的底边长度记为x，则根据正弦定理可得：(x/2)/sin60° = x/sin180°。
7.化简等式可得：1/2 = x/1。
8.通过求解等式可得：x = 2。
解答和验证根据上述解题思路可得，等腰三角形的底边长度为2。
我们可以通过验证来确保解答的正确性。
1. 等腰三角形的顶角度数为60°，底角的度数也为60°。
2. 底边的长度为2。
3. 三角形的两条底边相等，满足等腰三角形的性质。
4. 三个底角的度数之和为180°。
综上所述，等腰三角形的底边长度为2。
Markdown代码# 全等三角形难题## 引言在初中数学中，学习了许多有关三角形的性质和定理。
其中，全等三角形是一个重要的概念。
全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等的情况。
在解决全等三角形难题时，我们需要利用已知条件和全等三角形的性质来推导出未知信息。
三角形等角知识点总结
三角形等角知识点总结一、等角三角形的定义在开始讨论等角三角形的知识前，首先需要了解等角三角形的定义。
所谓等角三角形，是指三角形的三条内角分别相等的三角形。
即三角形ABC的三个内角∠A、∠B、∠C分别等于三角形XYZ的三个内角∠X、∠Y和∠Z，这时可以表示为△ABC ≌ △XYZ，其中的≌表示“全等”。
当且仅当两个三角形的对应角相等时，这两个三角形就是全等三角形。
二、等角三角形的性质1. 对应边相等对于全等三角形来说，它们的对应边必定相等。
也就是说，如果三角形ABC ≌ 三角形XYZ，那么AB = XY、AC = XZ、BC = YZ。
2. 其他边与角相对应除了对应边相等外，全等三角形的其他边和角也是一一对应的。
也就是说，如果三角形ABC ≌ 三角形XYZ，那么∠A = ∠X、∠B = ∠Y、∠C = ∠Z，而且BC = YZ、AB = XY、AC = XZ。
3. 全等三角形的性质对于全等三角形来说，它们的边、角和面积都是相等的。
也就是说，如果三角形ABC ≌ 三角形XYZ，那么AB = XY、AC = XZ、BC = YZ，∠A = ∠X、∠B = ∠Y、∠C = ∠Z，并且△ABC的面积等于△XYZ的面积。
三、等角三角形的判定方法在数学的教学和研究中，我们经常要通过给定的条件来判定两个或多个三角形是否全等。
具体来说，我们可以通过以下几种方法来判定两个三角形是否全等。
1. SSS判定法如果两个三角形的对应边的长度相等，则这两个三角形是全等的。
也就是说，如果三角形ABC的三条边AB、AC和BC分别等于三角形XYZ的三条边XY、XZ和YZ，则△ABC ≌△XYZ。
2. SAS判定法如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
也就是说，如果三角形ABC的一条边AB等于三角形XYZ的一条边XY，另一条边BC等于另一条边YZ，并且它们的夹角∠B等于∠Y，则△ABC ≌ △XYZ。
3. ASA判定法如果两个三角形的一条角和两条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
等腰三角形和全等三角形
等腰三角形和全等三角形在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
它由三条边和三个内角组成。
在三角形的各种类型中，等腰三角形和全等三角形是比较常见的。
一、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
它的定义可以表示为：若三角形的两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
在等腰三角形中，还有一些特殊的性质和定理。
1. 等腰三角形的底角相等定理：在一个等腰三角形中，两个底角一定相等。
这是等腰三角形的基本性质之一。
2. 等腰三角形的高线定理：等腰三角形的高线也就是通过顶角所在定点，垂直于底边的直线。
根据等腰三角形的性质，高线还被平分为两段相等的线段。
3. 等腰三角形的内切圆和外切圆：等腰三角形的底边上的高线和底边的中点连线，会相交于等腰三角形的内切圆的圆心。
同时，等腰三角形的底边上的中线也是内切圆的切线。
此外，内切圆的半径等于等腰三角形的高线和底边中点连线的长度。
二、全等三角形全等三角形是指具有完全相等的三个角和三个边的三角形。
两个三角形完全相等时，它们的对应边、对应角都相等。
全等三角形有以下的特点和定理：1. 角对应定理：两个三角形中，如果三个角两两相等，那么这两个三角形就是全等的。
2. 边对应定理：两个三角形中，如果其中两条边和夹角完全相等，那么这两个三角形就是全等的。
3. 全等三角形的性质：(1) 两个全等三角形的各边对应相等。
(2) 两个全等三角形的面积相等。
(3) 两个全等三角形的高线、中线相等。
结论：等腰三角形是指有两条边相等的三角形，全等三角形是指具有完全相等的三个角和三个边的三角形。
等腰三角形和全等三角形具有各自的特点和性质，通过理解和应用这些性质，我们可以更好地解题和推导其他几何图形的性质。
在实际应用中，等腰三角形和全等三角形常常在建筑、工程测量、设计和解决实际问题时发挥作用。
对于学习者而言，了解这些基本概念和原理能够帮助加深对几何学的理解和应用。
总之，等腰三角形和全等三角形是几何学中重要的概念和形状，它们的特点和性质在数学学科中具有广泛的应用。
巧用等腰(边)三角形证全等
MB = MA, /. HBFMsbAEM, .-.ME=MF^MF=ZAMEO
Z-BMF+AAMF=90°, .\AAME+Z-AMF=90°, :.Z-EMF=90°o ••• AMEF是等腰直角三角形。 【点评】等腰三角形“三线合一”的性质既 涉及角相等,又涉及线段相等或垂直,为证明 线段和角的关系提供了又一个理论根据。同 时，同学们还应熟练掌握“三线合一”性质的 转化。
ABD0+ZJ)B0=AADB+AABD= 120°o /. Z-B0C=ABD0+ADB0= 120% 【点评】等边三角形3条边相等、3个角相
等，是判定三角形全等的条件，因此当图形中 出现两个等边三角形时,一般会出现全等三 角形。
(作者单位:江苏省海安市紫石中学)
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是什么三角形，并证明你的结论。
AEMF=90。，即可证明△ MEF为等腰直角三 角形。
证明:连接AM。
-.■AB=AC,^BAC=90°, 山=45°。 为BC的中点， AM±BC, Z-BAM=£.CAM= | z!C4B=45°。
.-.MMB为等腰直角三角形，
图1 【解析】由于4B=AC, M是BC的中点，可联 想到“三线合一”定理，考虑连接AM,则可证 明△ BFMM AEM,然后证明MF=ME和
腰三角形
例2 如图 2,在 RtAABC 中，ZL4CB=9O°, AC=BC, D为BC的中点,CE1AD,垂足为E, BF//AC,交CE的延长线于点Fo求证:DB=BFO
厶 CBF=MCB=90°, .-.AACE+ADCE=90°o •/ CE1AD, :丄 CAD+AACE=90°, :.ACAD=ADCE=ABCFO
1.1 等腰三角形2 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
A
已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC
证明: 作∠BAC的平分线AD 则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中 ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD （公共边）
12
B
DC
你还有其 他证法吗?
∴ △BAD ≌ △CAD （AAS）
∴ AB= AC （全等三角形的对应边相等）
等腰三角形的判定定理：
1、等腰三角形是怎样定义的？
A
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形是轴对称图形。
B DC
②等腰三角形的两个底角相等（简写
成“等边对等角”） 。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合（也称为“三线合一”）.
探究新知
1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反 过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边也相等吗？
3、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ A ） A.3条 B.6条 C.9条 D.7条
课堂小结
等边三角形的性质:
名 称
图形
性质
等
A
三条边都相等
边
三个角都相等，且都为60°
三
角B
C 三线合一
形
轴对称图形，有三条对称轴
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师大版 八年级下册
复习旧知
既是性质又
是判定
注意：在同 一个三角形 中应用哟！
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
A
几何语言：
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
全等三角形几种类型总结
全等三角形几种类型总结全等三角形是高中几何学中重要的概念之一，它在理论研究和实际应用中都有着广泛的运用。
全等三角形指的是两个三角形的所有对应角度相等且对应边长相等。
在几何学中，全等三角形的性质和判定方法是学生必须掌握的基本知识之一。
本文将从角度和边长两个方面进行总结和归纳，介绍全等三角形的各种类型。
一、角度相等的全等三角形1. 直角全等三角形直角全等三角形是指两个直角三角形的对应角度相等，且对应边长相等。
根据勾股定理，直角全等三角形的两直角边长度相等，斜边长度也相等。
这种三角形常见于解决直角三角形的题目，具有重要的应用价值。
2. 等腰全等三角形等腰全等三角形是指两个等腰三角形的对应角度相等，且对应边长相等。
等腰全等三角形的底边长度相等，顶角也相等。
这种三角形在解决等腰三角形相关问题时经常出现，具有一定的特殊性。
3. 等边全等三角形等边全等三角形是指两个等边三角形的对应角度相等，且对应边长相等。
等边全等三角形的三个边长均相等，三个内角均为60度。
它是最特殊的全等三角形，具有对称性和稳定性，常用于解决等边三角形相关问题。
二、边长相等的全等三角形1. 边边边（SSS）全等三角形SSS全等三角形是指两个三角形的对应边长相等。
当两个三角形的三条边长度各个对应相等时，可判定这两个三角形全等。
这是最基本的全等三角形判定方法，在实际运用中非常常见。
2. 边角边（SAS）全等三角形SAS全等三角形是指两个三角形的一个对应边长和两个对应角度相等。
当两个三角形的一条边和两个夹角各个对应相等时，可判定这两个三角形全等。
这种判定方法在实际应用中较为常见。
3. 角边角（ASA）全等三角形ASA全等三角形是指两个三角形的两个对应角度和一个对应边长相等。
当两个三角形的两个角度及一边对应相等时，可判定这两个三角形全等。
ASA判定方法在解决三角形全等问题时也是常用的一种方法。
三、其他全等三角形的特殊情况1. 等腰直角全等三角形等腰直角全等三角形是指一个直角三角形的斜边与一个等腰三角形的两个等边分别相等。
三角形全等(等腰直角三角形)
全等三角形—等腰直角三角形1.如图，在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB⑴图中等于45°的角有⑵图中相等的线段有 ，及2. 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C=90°.⑴若AC=BC=2，则AB= ；若AC=BC=3，则AB= ；⑵若AB=22，则AC=BC= ；若AB=2，则AC=BC= ；若AB=6，则AC=BC= ；3.两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．请证明△EMC 为等腰直角三角形。
4.如图，在△ABC 中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE=CF ，连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，⑴求证△DFE 是等腰直角三角形；⑶请问四边形CEDF 的面积是否是定值，若是请求出定值，若不是，请说明理由；D C B A 43215.已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．⑴当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△D E F+S△C E F= S△A B C；⑵当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，请写6.如图1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为AB中点，以P为顶点作直角∠DPE，分别交边BC、AC于点D、E．⑵如图2，过B作BM∥AC，再将直角∠DPE绕顶点P旋转，交CB的延长线于D，交BM于E，线段PD与PE仍然相等吗？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由．8.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．⑴求证：BG2﹣GE2=EA2；⑵求证线段DH与DA相等；⑶连接DE，若DE=6，求四边型ADHE的面积9.如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．⑴如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：③请证明你的上述两个猜想；⑵如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．10.在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．⑴如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①易知DG=DG；②判断FH与FC的数量关系并加以证明．⑵若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，⑴中的其他条件不变，借助图2画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在⑴中得出的结论是否发生改变。
第九讲 全等,等腰三角形综合
第九讲全等三角形，等腰三角形综合【例题讲解】1.如图，△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF ②CE=AB+AE ③∠BDC=∠BAC ④∠DAF+∠CBD=90°其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB．3.如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．求证：（1）∠BAC=2∠BEC；（2）∠CAE+∠BEC=90°．4.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB=AC，点P是ABC内一点，且∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数．5.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：．（不需证明）（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．6.如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=90°，点B、E、F 按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF．（1）如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为相等，位置关系为垂直（不需要证明）．（2）如图（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0＜α＜45），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明．（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？直接写出你的结论，不需要证明．7.平面直角坐标系内，直线AB过一，二，三象限，分别交x，y轴于A，B两点，直线CD ⊥AB于D，分别交x，y轴于C，E．已知AB=AC=10，S△ACD=24，且B（0，6），（1）①求证：△AOB≌△ADC；②求A点的坐标；（2）连接OD，AE，求证：OD⊥AE；（3）点M为线段OA上的动点，作∠NME=∠OME，且MN交AD于点N，当点M运动时，求的值．8.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD 为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．9.如图，平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0），C（6，0），D为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°，延长DB至E，使BE=BD．P为x轴正半轴上一动点（P在C点右边），M在EP上，且∠EMA=60°，AM交BE于N．（1）求证：BE=BC；（2）求证：∠ANB=∠EPC；（3）当P点运动时，求BP﹣BN的值．10.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A 点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4.0）．（1）求C点的坐标；（2）D为△ABC内﹣点（AD＞2），连AD．并以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．连CD、BE，试判断线段CD、BE的位置及数量关系，并给出你的证明；（3）旋转△ADE，使D点刚好落在x轴的负半轴，连CE交y轴于M．求证：①EM=CM；②BD=2AM．11.已知，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，3）．点Q为x轴正半轴上一动点，过点A作AC⊥BQ交y轴于点D．（1）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变．（2）有一等腰直角三角形AMN绕A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连BN，点P为BN 的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明．【作业】1.已知一个等腰三角形腰上的高与底边的夹角为37°，则这个等腰三角形的顶角等于．2.如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：①S△EBD：S△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；④BH﹣GF=HG，其中正确结论的个数有（）3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明．4.如图1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：（1）BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到如图2位置时（BD＜CE），其他条件不变，判断BD与DE，CE的关系并说明理由．（3）若直线AE绕A点旋转到如图3位置时（BD＞CE），其他条件不变，则BD与DE，CE的关系又怎样？请写出结果，不必证明．5.已知B（﹣2，0），C（2，0），点A是y轴正半轴上一点，CD⊥AC交y轴于D，M为AC上一动点．N为AB延长线一动点，且满足AM+AN=2AC，MN交BC于E，连DE．（1）求证：CM=BN；（2）过M作MK⊥BC于K，求证：①ME=NE，②DE⊥MN；（3）在（2）的条件下问的值是否发生变化？若不变，求其值．6.如图，直线BE交x轴正半轴于点B（a，0），交y轴正半轴于点E（0，b），且a、b满足，点A为BE的中点，（1）写出A点坐标为；（2）如图，若C为线段OB上一点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连BD，求证：OA∥BD；（3）如图，P为x轴上B点右侧任意一点，以EP为边作等腰Rt△EPM，其中PE=PM，直线MB交y轴点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变；求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．7.如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，DM⊥AC于M．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE；（3）当A点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．第九讲全等三角形，等腰三角形综合参考答案1.解：过点D作DG⊥BC∵DG垂直平分BC，∴BD=CD角平分线到角两边的距离相等，∴DE=DF，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠BDF=∠CDE，CE=BF，∠FBD=∠DCE，∵DE=DF，且DE⊥AC，DF⊥AB∵AD=AD，∴Rt△AFD≌Rt△AED，∴AE=AF，∴CE=BF=AB+AF=AB+AE∴∠BDC=∠180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠DBC+∠ACB+∠DCA）=180°﹣（∠FBD+∠DBC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=∠BAC∴①②③正确，故选A．2.证明：作EF⊥AC于F，∵EA=EC，∴AF=FC=AC，∵AC=2AB，∴AF=AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD=∠CAD，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE=∠AFE=90°．∴EB⊥AB．3.解：（1）∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ECD=∠ACD=（∠BAC+∠ABC），∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ECD=∠BEC+∠EBC=∠BEC+∠ABC，∴∠BEC+∠ABC=（∠BAC+∠ABC）∴∠BEC=∠BAC，即∠BAC=2∠BEC；（2）过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BA的延长线于N，EG⊥AC于G，∵CE平分∠ACD，EM⊥BD，EG⊥AC，∴EG=EM∵BE平分∠ABC，EM⊥BD，EN⊥BA∴EN=EM∴EG=EN∴AE平分∠CAN∴∠CAE=∠CAN=（180°﹣∠BAC），∴∠CAE+∠BEC=（180°﹣∠BAC）+∠BAC=90°．4.解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD=AB=AC，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=20°，∴∠ACD=∠ADC=80°，∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∴∠CDB=140°=∠BPC，又∵∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∵∠PCD=60°，∴△DPC是等边三角形，∴△APD≌△APC，∴∠DAP=∠CAP=10°，∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．故答案为：70°．5.解：（1）如图1，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠CBF=∠EBA，BE=BF，∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形，CF=，AE=，∴EF=BE=BF=AE+CF；（2）如图2，延长FC至G，使AE=CG，连接BG，∴△BAE≌△BCG（SAS），∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，∴∠GBF=∠EBF，∴△GBF≌△EBF（SAS），∴EF=GF=CF+CG=CF+AE；（3）不成立，但满足新的数量关系．如图3，在AE上截取AH=CF，连接BH，∴△BAH≌△BCF（SAS），∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，∵∠EBF=60°=∠FBC+∠CBE∴∠ABH+∠CBE=60°，∵∠ABC=120°，∴∠HBE=60°=∠EBF，∴△EBF≌△EBH（SAS），∴EF=EH，∴AE=EH+AE=EF+CF．6.解：（1）∵∠BFE=90°，点P为DE的中点∴PF=PD=PE，同理可得PC=PD=PE，∴PC=PF，又∵∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，∴∠FPC=2∠FDC=90°，所以PC=PF，PC⊥PF．故答案为：相等、垂直；（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：延长FP至G使PG=PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，如图，∵点P为DE的中点，∴△PDG≌△PEF，∴DG=EF=BF．∴∠PEF=∠PDG，∴EN∥DG，∴∠BNE=∠BDG=45°+∠CDG=90°﹣∠NBF=90°﹣（45°﹣∠FBC）∴∠FBC=∠GDC，∴△BFC≌△DGC，∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．∴∠FCG=∠BCD=90°．∴△FCG为等腰Rt△，∴PC⊥PF，PF=PC；（3）画图：线段PC、PF有何数量关系：相等，位置关系：垂直．7.解：（1）①证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠AOB=90°，∴△AOB≌△ADC（AAS）；②∵△AOB≌△ADC，B（0，6），∴S△AOB=S△ACD=24=OA×6÷2=3OA，解得：OA=8，即A点坐标为（﹣8，0）；（2）∵△AOB≌△ADC，∴AD=AO，又∵AD⊥EC，AO⊥EO，∴点A在∠OED的角平分线上，∴OD⊥AE；（3）过点E作EF⊥MN于点F，连接NE，∵∠NME=∠OME，EF⊥MN，EO⊥MO，∴EF=EO，MF=MO，由（2）知，点E在∠OAD平分线上，ED⊥AD，EO⊥AO，∴EO=ED，∴EF=ED，∴RT△EDN≌RT△EFN（HL），∴ND=NF，∴===1．8.解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．∴△ABD≌△ACE （SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．（2）BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．∴△ABD≌△ACE （SAS）．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD．9.（1）证明：∵A（﹣2，0），B（2，0），∴AD=BD，AB=4，∵∠ODB=30°，∴∠ABD=90°﹣30°=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=4，∵B（2，0），C（6，0），∴BC=6﹣2=4，∴BC=BD，又∵BE=BD，∴BE=BC；（2）证明：由三角形的外角性质得，∠BAN+∠ANB=∠ABD=60°，∠BAN+∠EPC=∠EMA=60°，所以，∠ANB=∠EPC；（3）解：∵BE=BD=BC，∠CBE=∠ABD=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BC=CE，∵AB=BC=4，∴AB=CE，∵∠ABD=∠BCE=60°，∴∠ABN=∠ECP=120°，∴△ABN≌△ECP（AAS），∴BN=CP，∵BP﹣CP=BC，∴BP﹣BN=BC=4，故BP﹣BN的值为4，与点P的位置无关．10.解：（1）如图1，过C作CD⊥y轴于D，∴∠CDA=∠AOB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠OAB=90°，∴∠ACD=∠OAB，∴△ACD≌△ABO，∴CD=AO，AD=OB，∵A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4.0），∴OA=2，OB=4，∴CD=2，OD=6，∴C（2，6）；（2）CD⊥BE，CD=BE，如图2，延长CD交AB于F，交BE于G，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，∴△ABE≌△CAD，∴∠ACD=∠ABE，CD=BE，∵∠ACD+∠AFC=90°，∴∠ABE+∠AFC=90°，∵∠AFC=∠BFG，∴∠ABE=∠BFG=90°，∴∠BGF=90°，∴CD⊥BE；（3）①如图3，过C作CP⊥y轴于P，过E作EQ⊥y轴于Q，∴∠APC=∠AQE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠ACP，∴△ABO≌△ACP，∴AO=CP，同理△ADO≌△AEQ，∴AO=EQ，∴CP=EQ，∴△EQM ≌△CPM，∴CM=EM，②如图4，在y轴上截取MK=AM，连接CK，∴△AME≌△CMK，∴CK=AE，∠MKC=∠MAE，∵AE=AD，∠ACK=180°﹣∠CKM﹣∠CAK，∠BAD=180﹣∠EAM﹣∠CAK，∴CK=AD，∠ACK=∠BAD，∴△ABD≌△ACK，∴BD=AK，∵AK=2AM，∴BD=2AM．11.（1）证明：∵A（﹣3，0），点B（0，3），∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵AC⊥BQ，∴∠ACB=90°，又∵∠AOB=90°，∴点O、C、B、A四点共圆，∴∠OCQ=∠BAO=45°，故：∠OCQ的度数不变，是45°；（2）解：如图，分别以AN、AB为直角边构造出等腰直角△AND和△ABC，连接BD、CN，∵∠BAD+∠BAN=∠CAN+∠BAN=90°，∴∠BAD=∠CAN，∴△ABD≌△ACN（SAS），∴BD=CN，∠ABD=∠ACN，∴∠DBO+∠NCO=∠ABO+∠ACO=90°，∴BD⊥CN，∵点P为BN的中点，∴MP、OP分别是△BDN和△BCN的中位线，∴MP∥BD且MP=BD，OP∥CN且OP=CN，∴MP=OP且MP⊥OP．【作业】1. 74．2.解：①正确．因为S△EBD=BD•BE•sin∠EBD，S△FBD=BD•BF•sin∠DBF，所以S△EBD：S△FBD=BD•BE•sin∠EBD：BD•BF•sin∠DBF，因为BD是∠EBC的平分线，所以sin∠EBD=sin∠DBF，所以S△EBD：S△FBD=BE：BF；②正确．过D作DM⊥AB，DN⊥CB，DO⊥EF，∵DE是∠AEF的平分线，∴AD﹣DO，∵DB是∠ABC的平分线，∴DA=DN，∴DO=DN，∴DF是∠EFC的平分线，∴∠EFD=∠CFD；③错误．因为HD∥BF，所以∠HDB=∠FBD，又因为BD平分∠ABC，所以∠HBD=∠CBD，于是∠HBD=∠HDB，故HB=HD．但没有条件说明HF与HB必然相等；④正确．由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点，故D为△BEF的旁心，于是FD为∠EFC的平分线，故∠CFD=∠EFD，又因为DH∥BC，所以∠HDF=∠CFD，故∠GDF=∠DFE，于是GF=GD，又因为HB=HD，所以HD﹣GD=HG，即BH﹣GF=HG．故①②④正确．故选B．3.证明：（1）∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB，又∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，又∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，∴BD=AD，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=60°，∵∠CDE=∠BDE=60°，∴DE平分∠BDC；（2）ME=BD，连接MC，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD为等边三角形，∴CM=CD，∵EC=CA，∠EMC=120°，∴∠ECM=∠BCD=45°∴△BDC≌△EMC（SAS），∴ME=BD．4.解：证明如下：（1）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE；（2）DE=BD+CE．∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE；∵DE=AE+AD，∴DE=BD+CE；（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，BD=DE﹣CEDE=BD+CE．5.（1）证明：过N作NF⊥x轴于F，如图1所示：∵NF⊥x轴，MK⊥BC，∴∠NFC=∠MKF=90°，∵B（﹣2，0），C（2，0），点A是y轴正半轴上一点，∴AB=AC，∴∠ABC=∠MCK，∵∠NBF=∠ABC，∴∠NBF=∠MCK，∵AM+AN=2AC，∴CM=BN；（2）证明：①∴△BFN≌△MCK（AAS），∴NF=MK，∴△EFN≌△MEK（AAS），∴ME=NE；②连接BD、MD、DN，如图2所示：∵CD⊥AC，∴∠DCA=90°，∵BD⊥AN，∴∠DBN=90°，∵B（﹣2，0），C（2，0），点D在y轴上，∴BD=CD，∴△BND≌△MCD（SAS），∴DN=DM，∵NE=ME，∴DE⊥MN；（3）解：的值不变，理由如下：∵△ENF≌△MEK，∴EF=EK，∵△BFN≌△MKC，∴BF=CK，∴EK=EF=FK=（BF+OB+OC﹣CK）=（OB+OC）=BC，∴=．6.解：（1）∵∴a=4，b=4，∴△EOB为等腰直角三角形．∴点A的坐标为（2，2），故答案为（2，2）；（2）∵以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，∴∠CAB+∠BAD=45°，又∵∠CDB+∠BAD+∠ADC=90°，∴∠CAB=∠CDB，∴∠ABD=90°=∠OAB，∴OA∥BD；（3）过M作MD⊥x轴，垂足为D．∵∠EPM=90°，∴∠EPO+MPD=90°．∵∠QOB=∠MDP=90°，∴∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．∴△PEO≌△MPD，MD=OP，PD=BO，OP=OB+BP=PD+BP=BD，∴MD=BD，∠MBD=45°．∵∠QBO=45°，∴△BOQ是等腰直角三角形．∴OB=OQ=4．∴无论P点怎么动OQ的长不变．7.证明：（1）在△ABC中，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=180°﹣∠BAC，∵∠BAC=2∠BDO，∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣2∠BDO，①在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°﹣∠ADC，∵BO=CO=1，∴∠BDC=2∠BDO，∴∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°﹣2∠BDO，②①﹣②得，∠ABD﹣∠ACD=0，∴∠ABD=∠ACD；（2）过D作DN⊥BE于N，由于BD=CD，∠ABD=∠ACD；∴△BDN≌△CDM，∴DM=DN，∴AD是∠CAE的角平分线；（3）的值不发生变化，理由：∵△BDN≌△CDM，∴BN=CM，∵AD是∠CAE的角平分线，∴AN=AM，∵BN=AN+AB=AM+AB，CM=AC﹣AM，∴AM+AB=AC﹣AM，∴AC﹣AB=2AM，∴=2是定值．第11页。
全等三角形与等腰三角形-解题技巧
第一讲：全等三角形与等腰三角形-解题技巧知识点总结全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形．1. 全等三角形有如下性质：(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等；(3)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高相等；(4)全等三角形的面积相等，周长相等．2. 判定两个三角形全等的依据：(1)边角边公理(SAS)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(2)角边角公理(ASA)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(3)角边角公理的推论(AAS)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(4)边边边公理(SSS)：三条边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边公理(HL)：斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等．. 等腰三角形1．两边相等的三角形叫等腰三角形．2．等腰三角形性质：(除一般三角形的边角关系之外的)(1)等边对等角；(2)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(3)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(4)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(5)顶角等于180°减去底角的两倍；(6)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．3．等腰三角形可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形．等边三角形的三边相等，三个角都是60°，它具备等腰三角形的一切性质。
4. 等腰三角形的判定：①利用定义；②等角对等边；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．解题技巧1利用角平分线构造全等三角形解题. 2 利用中线构造全等三角形解题在等腰三角形的题目中常添加的辅助线是顶角的平分线，由此可以得到线段相等和垂直关系．另外，在未指明边(角)的名称时，应分类讨论．在解题时常会遇到与中线有关的问题，由中线可以提供的常见思路有：①线段相等构造全等；②在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；③中线倍长：即延长中线，使延长的部分等于中线构造全等．用“截长补短”的方法解题截长补短"的方法."截长",在较长线段上截取一段等于较小线段;"补短",延长较短线段,使延长后线段等于较长线段."截长补短"是一种解题方法,在后继学习。
等腰三角形全等的判定
等腰三角形全等的判定等腰三角形全等的判定，听起来有点复杂，但其实它就像是我们生活中的小秘密，揭开后会让你恍若醍醐灌顶。
想象一下，你在公园里，看到两个小朋友在画三角形，边长都是一样的，他们还会拿出尺子来比一比，真是萌趣横生！等腰三角形就像那两个小朋友的好朋友，它的两条边是一样长的，而另一个边可以说是“随意发挥”，这就让我们的三角形变得有趣无比。
什么叫全等呢？简单说，全等就像是双胞胎一样，虽然长得不完全一模一样，但却是完全相同的。
想想看，如果你看到两个等腰三角形，它们的两条相等的边也相等，夹着的角也一样，那这俩小家伙可就是“孪生兄弟”了！这一点在数学里可是个大宝藏，特别是在我们解决问题的时候，能让很多看似复杂的事情瞬间变简单。
我们就不得不提到那些经典的判定方法了。
有一个判定方法叫“边边角”，这就像是拼图游戏。
只要你知道两条边一样，夹着的角也相同，那这俩三角形就可以说是“亲兄弟”了！这就像是生活中，朋友之间总有那么几道共同的回忆，让人一想起来就笑得合不拢嘴。
我们还有“角边边”的判定。
想象一下，你在和朋友打篮球，双方都有那么几招看似不同，但实际上都是源于同一个原理。
这就像是两个等腰三角形的两个底角如果也相等，那它们绝对是好兄弟！这个时候，等腰三角形就像是一位耐心的老师，把道理教得清清楚楚，简单易懂。
然后，有个“边角边”的判定，也就是如果你知道一条边和相应的两个角，嘿，这样也能证明它们是全等的。
就像是吃饭的时候，你知道你的好朋友喜欢什么口味，你也能推测出他下次吃饭会点什么，这种直觉可是很有用的哦！在数学的世界里，等腰三角形全等的判定就像是一道丰盛的盛宴，让我们在解题的过程中享受其中的乐趣。
生活中，很多事情其实也有类似的道理。
比如说，朋友之间的关系，很多时候，真正的友谊就像是那两条等长的边，永远不会改变，无论外面的世界如何变化，心与心的距离却是始终如一。
所以说，等腰三角形全等的判定不仅仅是个抽象的数学概念，它更像是一种哲学思考，让我们在日常生活中也能领悟到其中的真谛。
三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明
儒洋教育学科教师辅导讲义1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。
4. S S ABE CDE ∆∆⋅三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。
三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。
实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。
因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B分析：因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B又∵∠A 为锐角，()∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
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等腰三角形、直角三角形与全等三角形
知识要点：
一．等腰三角形的性质与判定：
1. 等腰三角形的两底角__________；
2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；
3. 有两个角相等的三角形是_________．
二．等边三角形的性质与判定：
1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
三．直角三角形的性质与判定：
1. 直角三角形两锐角________．
2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．
3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
4. 勾股定理：_________________________________________．
5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
四、全等三角形：
1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定
除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.
二、例例精析：
例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AB=10cm，D为AB的中点，则CD=cm.
P
D B
A
例3已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
⑴若∠BAC=30°，求证：AD=BD；
⑵若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．
三、练习：
1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．
2. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_____°．3．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．•则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°
（第2题）（第3题）（第4题）
4．（07南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
5．(08湖州)已知等腰三角形的一个底角为70 ，则它的顶角为____________．度．6．（08白银）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____．7．(08武汉) 如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前
有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中
点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔
所在的位置到公路的距离AB是____________．
8.（08遵义）如图，O A O B
=，O C O D
=，50
O
∠=
，
35
D
∠= ，则A E C
∠等于（）
A．60 B．50 C．45 D．30
A
O B
东
北
O
E
A
B
D C
9. ( 08双柏) 如图，点P 在A O B ∠的平分线上，A O P B O P △≌△，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：
10. ( 08郴州) 如图，D 是AB 边上的中点，将A B C ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC
上F 处，若50B ∠=︒，则BD F ∠= __________度．
11. （08荆州）如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结
DE ，求证：DF ＝DC ．
12. (08东莞)如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小.
9题
A
B
P O
C
B
A
10题
D C
B
O D
A
E
13. 如图9，已知在ABC
∆中，AC
AB=,E
D、两点分别在AC
AB、上，且AE
AD=.设BE
CD、相交于点F，连接AF.
求证：(1)FC
FB=；
(2)BC
AF垂直平分.
14. 已知，如图，四边形A B C D中，1
AB BC
==
，C D=，1
D A=，且0
90
B
∠=，
试求：（1）B A D
∠的度数；
（2）四边形A B C D的面积（结果保留根号）；
C
图9
A
B C
D。