人教版数学必修4练习题附答案.doc
新教材数学人教B版必修第四册练习：全册测试Word版含解析
必修四全册测试间：120分钟分数：150分、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)．已知复数z 1＝2－a i (a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在() ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是() ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝120°，sin C ＝217，c ＝2，则△ABC 的面积等于() .32B ．23C.34D.3 ．已知等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝22，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为22，此时三棱锥C ABD 的外接球的表面积为() ．5πB ．43πC ．3πD ．12π．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a cos B ＝(2c －b )cos A ，则角A 的大小为() .π6B.π4C.π3D.π2．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)．当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为() .⎝⎛⎦⎤0，3510πB.⎣⎡⎭⎫3S10π，＋∞ .⎝⎛⎦⎤S 5π， 3S 10πD.⎣⎡⎭⎫3S 10π，S 2π ．如图，在正四面体P ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论不成立的是()．BC ∥平面PDF．DF ⊥平面P AE ．平面PDF ⊥平面P AE ．平面PDE ⊥平面ABC．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为102米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(米/秒)() .3323B.5323 .7323D.8323、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) ．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的是() ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 0．下面给出的四个结论正确的为()．若复数z ∈R ，则z －∈R B ．若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R．对于复数z ，有|z |2＝z 2D ．对于复数z 1，z 2，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝01．已知锐角△ABC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，∠B ＝60°，则边b 的可能取值为() ．2B ．3C ．4D ．52．已知空间中两条直线a ，b 所成的角为50°，P 为空间中给定的一个定点，直线l 过点P 且与直线a 和直线b 所成的角都是θ(0°<θ≤90°)，则下列选项正确的是()．当θ＝15°时，满足题意的直线l 不存在B ．当θ＝25°时，满足题意的直线l 有且仅有1条 ．当θ＝40°时，满足题意的直线l 有且仅有2条D ．当θ＝60°时，满足题意的直线l 有且仅有3条、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________.4．公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈(10尺)，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸(池塘一边的中点)，则水深为________尺． 5．欧拉公式e ix ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，对2019i 4eπ表示的复数z ，则|z |＝__________.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π3，边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，直线AB 与平面α所成角为θ.若平面ABC 与平面α所成的二面角为π3，则sin θ＝________.、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)7．(10分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋1＝b sin A ＋2cos C . 1)求角C 的大小；2)若a ＝2，a 2＋b 2＝2c 2，求△ABC 的面积．8．(12分)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点． 1)求证：MN ∥平面A 1ACC 1；2)已知A 1A ＝AB ＝2，BC ＝5，∠CAB ＝90°，求三棱锥C 1ABA 1的体积． 9．(12分)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14(x ∈R )． 1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值和f (x )的最小正周期；2)设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f ⎝⎛⎭⎫A 2＝14，a ＝2，求b ＋c 的取值范围．0．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． 1)证明：PQ ∥平面ACD ；2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．1．(12分)法国数学家费马被称为“业余数学家之王”，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC 而言，若其内部的点P 满足∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°，则称P 为△ABC 的费马点．如图所示，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，设P 为△ABC 的费马点，且满足∠PBA ＝45°，P A ＝2.1)求△P AC 的面积； 2)求PB 的长度．2．(12分)如图1所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为CD 的中点，以AE 为折痕，把△DAE 折起到△D ′AE 的位置(如图2所示)，且平面D ′AE ⊥平面ABCE . 1)求证：AD ′⊥BE ；2)求四棱锥D ′ABCE 的体积；3)在棱ED ′上是否存在一点P ，使得D ′B ∥平面P AC ，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．1图2必修四全册测试．答案：B析：复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应点的点在第二象限，故选B. ．答案：C析：由于m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，m 与n 可能相交也可能异面，所以A 不正确；m ∥α，m ∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B 不正确；m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，所以C 正确．m ∥α，α⊥β，则m ⊥β，也可能m ∥β，也可能m ∩β＝A ，所以D 不正确． ．答案：A析：∵B ＝120°，sin C ＝217，c ＝2， 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得b ＝c ·sin Bsin C＝7，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得7＝a 2＋4－2×a ×2×(－12)，整理得a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或－3(舍去)，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×7×217＝32.．答案：D析：等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝22，解得AB ＝4.于CD ⊥AD ，CD ⊥BD ，易得CD ⊥平面ABD ， A 与点B 间的距离为22， 以AD 2＋BD 2＝AB 2，则AD ⊥BD ，以将三棱锥C ABD 放到棱长为2的正方体中， 以(2R )2＝22＋22＋22，解得R ＝3，S 表＝4πR 2＝12π. ．答案：C析：因为a cos B ＝(2c －b )cos A ，正弦定理得sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 以sin C (1－2cos A )＝0.为0＜C ＜π，所以sin C ＞0，所以cos A ＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.．答案：D析：设圆柱的高度与半球的半径分别为h ，R ，则S ＝2πR 2＋2πRh ，则πRh ＝S2－πR 2，以酒杯的容积V ＝23πR 3＋πR 2h ＝23πR 3＋⎝⎛⎭⎫S 2－πR 2R ＝－π3R 3＋S 2R ≤43πR 3. h ＞0，所以S2－πR 2>0，以πR 2＜S 2≤53πR 2，解得3S10π≤R ＜S 2π. ．答案：D析：设AE ∩DF ＝O ，由DF ∥BC ，可得BC ∥平面PDF ，故A 正确．若PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF ⊥PO ，又DF ⊥AE ，故DF ⊥平面P AE ，故B 正确．由DF ⊥平面P AE 可得，平面PDF ⊥平面P AE ，故C 正确．∵DF ⊥平面P AE ，DF ⊂平面ABC ，∴平面P AE ⊥平面ABC ，∵平面P AE ∩平面PDE ＝PE ，且PE 与平面ABC 不垂直，∴平面PDE 与平面ABC 不垂直，故D 错误． ．答案：B析：如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°， ∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°. 正弦定理知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠AEC ，AC ＝102sin30°×sin45°＝20(米)，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝20×32＝103(米)． 国歌长度约为46秒，升旗手升旗的速度应为10346＝5323(米/秒)．．答案：ACD析：A 中α，β也可相交，A 不正确；由垂直同一直线的两平面平行知，B 正确；C 中，α，β垂直，不正确；D 中l 与β也可平行或l ⊂β，不正确． 0．答案：AB析：若复数z ∈R ，则z 虚部为0，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，选项A 正确；设z ＝a ＋b i ，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R .由1z ∈R 得到b ＝0，所以z ∈R ，选项B 正确；对于复数z ，例如z ＝i ，则|z |2＝1，z 2＝－1，不满足|z |2＝z 2，选项C 不正确；对于复数z 1，z 2，例如z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21＋z 22＝0但是不满足z 1＝z 2＝0，选项D 不正确．1．答案：CD析：在△ABC 中，c ＝4，∠B ＝60°，b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝4×32sin C ＝23sin C .由于0＜C ＜π2，可得sin C ∈(0,1)，即有b ＞2 3. b ＝4，则b ＝c ，即B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形，成立； b ＝5，可得sin C ＝235∈⎝⎛⎭⎫12，32，且b ＞c ，即B ＞C ，为30°＜C ＜60°，即有60°＜A ＜90°，成立． 2．答案：ABC析：如图，过点P 作a 1∥a ，b 1∥b ，则相交直线a 1，b 1确定一平面α.a 1与b 1夹角为50°， 直线P A 即l 与a 1，b 1所成角均为θ角， 图l 绕P 转动保持与a 1，b 1夹角相等， l 在α内为a ，b 夹角平分线时，θ最小为25°，以AB 正确，当θ为40°和60°时直线l 都有2条，所以C 正确，D 错． 3．答案：612析：因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)．同理，ac cos B ＝12(a 2＋c 2－b 2)，ab cos C＝12(a 2＋b 2－c 2)．所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝612. 4．答案：12析：如图所示，OA ＝OB ，AC ＝1， C ⊥OA ，BC ＝12×10＝5.水深OC ＝x 尺，则葭长为x ＋1尺． Rt △OBC 中，x 2＋52＝(x ＋1)2， 得x ＝12. 水深OC ＝12尺． 5．答案：1 析：由题意，2019i 4e＝cos 20194π＋isin 20194π＝os 3π4＋isin 3π4＝－22＋22i ，以|z |＝12＋12＝1. 6．答案：34析：如图，过A 作AO ⊥α，垂足是O ，过O 作OD ⊥BC ，交BC 于D ，连接AD ， AD ⊥BC ，∴平面ABC 与平面α所成的二面角为∠ADO ＝π3，ABO 是直线AB 与平面α所成角，即∠ABO ＝π3，设AO ＝3，△ABC 中，∠ABC ＝π3，BD ＝12AB ，AD ＝32AB ，AO ＝32AD ＝34AB ，sin θ＝AO AB ＝34. 7．解析：(1)因为由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，以a sin B ＝b sin A ， 2cos C ＝1，cos C ＝12.0<C <π，∴C ＝π3.2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ， 4＋b 2＝2(4＋b 2－2b )，解得b ＝2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin π3＝ 3.8．解析：(1)证明：如图，设K 是B 1C 的中点，连接KN ，KM ，分别在△AB 1C ，△B 1C 1C 中利用三角形中位线定理可得： K ∥AC ，KN ∥CC 1，MK ∩NK ＝K ，∴平面MNK ∥平面AA 1C 1C ， MN ⊂平面MNK ，∴MN ∥平面A 1ACC 1. 2)∵∠CAB ＝90°，AB ＝2，BC ＝5，AC ＝BC 2－AB 2＝1，则S △ABC ＝1，ABC A 1B 1C 1是直棱柱，∴高为AA 1＝2， 棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为VABC A 1B 1C 1＝2. VC 1ABA 1＝13VABC A 1B 1C 1＝23.9．解析：(1)函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14(x ∈R )． 以f ⎝⎛⎭⎫π3＝32×32－14＝12.f (x )＝sin x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －141－cos2x 4＋34sin2x －14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期为π. 2)设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f ⎝⎛⎭⎫A 2＝14， 以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，解得A ＝π3. 用正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝43sin B ，c ＝43sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ， 以b ＋c ＝43⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6，由于⎩⎨⎧0<B <π20<C ＝2π3－B <π2，解得π6<B <π2，所以B＋π6∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，所以b ＋c ∈(23，4]． 0．解析：(1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD .2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . CQ ⊥平面ABE .(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， in ∠DAP ＝55， 此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 1．解析：(1)由已知得∠P AB ＝180°－120°－45°＝15°， ∠P AC ＝45°－15°＝30°.△P AC 中，∠PCA ＝180°－120°－30°＝30°， P A ＝PC ＝2，△P AC 的面积S ＝12P A ·PC ·sin ∠APC ＝12×2×2×32＝ 3.2)∵sin15°＝sin(45°－30°)＝22×32－22×12＝6－24，sin45°＝22，∴在△P AB 中，由正弦定理得PB sin15°＝P Asin45°，PB ＝2sin15°sin45°＝2×6－2422＝3－1. 2．解析：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD 中，△DAE 和△CBE 为等腰直角三角形，∴∠DEA ＝∠CEB ＝45°，∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE .平面D ′AE ⊥平面ABCE ，且平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ，BE ⊂平面ABCE ，BE ⊥平面D ′AE ，AD ′⊂平面D ′AE ，AD ′⊥BE .2)取AE 的中点F ，连接D ′F ，则D ′F ⊥AE ，且D ′F ＝22. 平面D ′AE ⊥平面ABCE ，平面D ′AE ∩平面ABCE ＝AE ，D ′F ⊂平面D ′AE ，D ′F ⊥平面ABCE ，V D ′ABCE ＝13S 四边形ABCE ·D ′F ＝13×12×(1＋2)×1×22＝24. 3)如图所示，连接AC 交BE 于Q ，假设在D ′E 上存在点P ，使得D ′B ∥平面P AC ，连接PQ . D ′B ⊂平面D ′BE ，平面D ′BE ∩平面P AC ＝PQ ，D ′B ∥PQ ，在△EBD ′中，EP PD ′＝EQ QB . △CEQ ∽△ABQ ，EQ QB ＝EC AB ＝12， EP PD ′＝EQ QB ＝12，即EP ＝13ED ′， 在棱ED ′上存在一点P ，且EP ＝13ED ′使得D ′B ∥平面P AC .。
人教版高中数学必修4课后习题答案.docx
练习(第5页)1.锐布是第象限仙.第-象限伯不一定是锐伽；K角不I4F任何-个象限.不M Fit何个象限的角不一定是I'ifd；钝伯是第二象限角.第二象限角不-定是钝角.说明认眼-锐伯二“宜漫二“钝角”和“象限角"的区别与联系.2.三.三.ft.说明本题的II的是将终边相同的角的符号表示应用到他篇期性何财匕魂11联系实际•把教科竹中的除数36<>换成每个械期的天数7.利川r •■同汆”(这里.余数是3)来确定7*犬后.7 k犬前也都/星期1.这样的练习不难.可以L1答.3.(1)第象Wff|: <2)第四象限ftl: (3)第二象限/(J. (4)第三象限角.说明俺作出给定的角.并判定以第儿象限角.图略.4.(1) 3O5F2'.第四象限/th (2) 35%'.第一象限ff|； (3) 249*30*.第•:象限角.说明能企给定范围内找出"指定的角终边相同的角・并判定是第儿象限而.5.(1) <仞夕I 30：ri8'+&・360°, A€Z), - 496—2', — 136,42*. 223*I8,|(2)伊I "= 225- I * • 360°. ACZ}. - 585°, — 225°, 135°.说明用乘。
表，K法和符时写出勺指定角终边相同的的的集合.并在给定范国内找出勺指定的角经边相同的仙.练习(第9页〉1.(1> ⑵一?: (3)亨.说明能进存度弧度的换算.2.(1> 15。
<2> 240七(3) 54*.说明fOir*度'j度的换卓.3.(I) {a| a M. A€Z};(2) ja | «=-|+*», A£z}.说明用弧度MA示绕边分别在.r轴和.V袖匕的角的集合.4.(I ) cos 0. 75'>«» 0. 75；(2> tan 1. 2*<ian I. 2.说明体会同数伉木同时位的角对成的三角函数ffi诃能不同•并进一步认识两种爪位制.注意在用计算器求-ffimSffrt之询.卷先对计算器中角的模式进行设??.如求co* 0.75°之询，要将角模式设置为I对;(伯度；M)；求CON。
人教版高中数学必修4课后习题答案详细讲解
练习(第5页》1. 锐角是第一象限你第•象限你不一定是锐角;直角不膩于任何一个象限•不属于任何•个象限的角不一・定丛亢如：饨介迢第二象Wfft.第二绘限角不一定址钝介.说阴认识•说升广、-直角”•“mr和係限角”的区别埒联系.2•三•三• it.说明本題的II的足将终边相同的仰的符',;哦示应川到找他周期件何題匕题||联系实臥把教科筋中的除数360换戍毎个凡期的夭数7.利川了-M余”(这里余数是3)來确定7怡无氐7 k JjiU 也祁見川期•.这样的练习不难.町以II答.3•⑴第一魏探伽(2)第阿糾W伽(3)第二録限角$⑷第三簽限如.说明能作出结定的仰.并判定是第儿feRlfft・用略.4. ⑴305°・挖・第冋象Oh <2) 35鴛・第一象限伽⑶24『30'・第垛限处•说明能住给定范鬧内找出勺指定的角终边相同的角•并判定圧笫儿象瞅也・5. (1) «0|0 1303m 360°. AW引.-496*42\ —136°42‘・ 223。
叭(2) 〃|0= 225°M • 360°. W \、585°. - 225\ 135：说明用集合花示法和符号指定和终边柜同的介的集令•并在给定范田内找;l「j描定的角终边HI同的介. 练习C第9页)1. (1)令. (2)孕⑶攀说明能进行度U加度的换贰2. (!) 15°；<2) 210°€Ci) 54°.说明能进行瓶度9度的换◎・3. (I) {a | o= kK. it^Z}: (Z) ”！a=专十阪点€紂・说明川弧废；《丧示终边分别轴和y轴I：的"啲集舍.4. (I) cos 0. 75°・cos (L 75; (Z) tan L 2°"<^nni L 2$说明体会1诃数値不同的位的角对应的三角函数値町能不同•并进-步认识两种尬位制.注盘先用计算器求Jh函数血之前.耍先对il•算器中和的模式进行设證.如求cox«.75^i%•變将仰模人设比为"EG(用处制)；求CON O.75之|條賞将巾校成设汽为RAIN丸懐制).r w5盲机说明通过分别込川佝加制和软度制下的孤氏公儿体会引人毎度制的必茨性・6. 如度数为1.2.说明进•少认沢弧直数的绝对備公式.匀題I. 1 (第9贡》A俎1. (I)95\第二彖服(2) «0\第一彖服(3) 236W.第三象Rh ⑷:iOO\第四象限.说明能任给定范附内找出习指定的角终边相同的角，并判定是第儿彖限角.2. S I cr A • |&)°・ itez}.说明将终边相I同的仰用集介表斥.3. ( I) {fl\p 60° + k - 360'• k^Z}.— 30O\ 60°；⑵ SI" -75+. 360°. «eZh 一75°. 285•:(3) SI” 一82十3()+・36(汽JtGZ). — 1(M'3()\ 255°30气⑷{p\p 475+• 3$(几翳幼-215% 115^⑸ }屮=90°+£・ 360°. &WZ). - 270°, 90°;<«)270° + 女• ：<6(代JteZ}. - 90\ 270%(7){P\P IKO Q I - 360°, XZ}・ 1«0\ 18(f|(«)出|陰*任(几圧2}・-360°. 0°.说明川集伶衣〃湫和符号诸护孑出与能定角终边郴何的角的集合•并住绻定范IR内找出号指崔的角终边柏胡的角.5. (1> (:.说明14 为 <^< aV9O°・所以0°V 2a< 180\(2> I).说明冈为◎ • 360°0<90°十& • 360\ Jt€Z.所以k• 180'V号<45°十点• 1«()\ k"、半k为奇数时•；址第垛限伽臥为偶数时.号是第一象限角.6. 不等『1知址这是因为等于半轻长的弧所对的阀心角为】孤度•而零干半径氏的弦所对的弧比半径长.说明了解瓠度的槪念.说明能逬行麼吋加度的换算.& （1）— 210°; （2）600°；（3） 80.21\ （4） 3& 2°.说明能进行加度勺度的换算.9. 61°.说明町以先运用麵度制下的如氏公式求岀関心介的弧度数•卩術弧度换算为度・也町以K接运川血度制下的就尺公式.10. 11 CDL说明町以先将度换笫为匏度•再运川弧度制下的如氏公式•也可以M接运川角皮制卜的颅辰公式.1. <1）〈略）<2）设m子的阀心巾为0•山-7—52--------- =0.618.討（2兀一4〉0=0・ 618（2 穴一0）.说明水題址一个数学实嘶动.Mil对“芙观的阳子"并没右给出标准.II的址止学生先占体验.然麻评运川所学知讲发现.大寥数血子之所以“芙观”是冈为射都満足舟Q・GI8（黄金分割比）的逍理.2. ⑴时针转了120\等于一竽弧喪）分针转了一14彳0°・筹于一&瓠度.（2）设经过八nin分针就9时针改合.川为两针31合的次数.因为分针旋转的如速朋为时什施转的如速度为矗5=盏（rad/min>-（計—希）用计算机或计算需作出函效戶誥的图象（如下页图）或汲格.从屮吋淸楚地介列时什'j分针每次1R 合所尙的吋间.因为HHI&E 转一夭所需的时何为24X60=1 440(min).所以等曲440. 川W22・故时fl 七分针一天内只会磴合22次.说明 通过时什与分针的旋转问題进…步地认识弧度的概念•并将何題引向深入•用南数思想进行 分析.在研究时针与分针一犬的亟合次数时.可利用计算器或计算机•从模拟的图形、衣格中的数 据.换数的解析式或图象等角度.不堆得到正确的结论.3・ 864\ 警• 15l ・27rna说明 通过W 轮的转动何题进一步地认识弧度的概念和弧长公式•当大垢轮转动•周时•小片轮转 动的加处器 X 360。
【人教A版】2020学年高中数学必修四全册习题(17份,含答案)
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC= ( B )A.150°B.-150°C.390°D.-390°2.经过一小时,时针转过了 ( B )A. radB.- radC. radD.- rad3.下列说法正确的个数是( A )①小于90°的角是锐角②钝角一定大于第一象限的角③第二象限的角一定大于第一象限的角④始边与终边重合的角为0°A.0B.1C.2D.34.下列各角中,与60°角终边相同的角是( A )A.-300°B.-60°C.600°D.1 380°5.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( C )A.1B.4C.1或4D.2或46.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( C )A.2B.sin 2C.D.2sin 17.已知两角的和是1弧度,两角的差是1°,则这两个角为8.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是9.已知α是第二象限角,且|α+2|≤4,则α的集合是(-1.5π,-π)∪(0.5π,2].10.已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},则A∩B=[-4,-π]∪[0,π].11.已知α=1,β=60°,γ=,δ=-,试比较这四个角的大小.【解析】因为β=60°=>1>-,所以β=γ>α>δ.12.在坐标系中画出下列各角:(1)-180°.(2)1070°.【解析】在坐标系中画出各角如图所示.B组提升练(建议用时20分钟)13.若角α和角β的终边关于x轴对称,则角α可以用角β表示为( B )A.k·360°+β(k∈Z)B.k·360°-β(k∈Z)C.k·180°+β(k∈Z)D.k·180°-β(k∈Z)14.如果角α与x+45°具有同一条终边,角β与x-45°具有同一条终边,则α与β的关系是( D )A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=k·360°(k∈Z)D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)15.如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的.16.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β= k·360°+60°,k∈Z.17.在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.(1)最大的负角.(2)最小的正角.(3)在360°～720°中的角.【解析】(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10 030°(k∈Z),由-360°<k·360°+10 030°<0°,得-10 390°<k·360°<-10 030°,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°.(2)由0°<k·360°+10 030°<360°,得-10 030°<k·360°<-9 670°,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°.(3)由360°≤k·360°+10 030°<720°,得-9 670°≤k·360°<-9 310°,解得k=-26,故所求的角为β=670°.18.在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中.(1)有几种终边不相同的角?(2)有几个落在-360°～360°之间的角?(3)写出其中是第二象限角的一般表示方法.【解析】(1)当k=4n(n∈Z)时,α=n·360°+45°与45°角终边相同.当k=4n+1(n∈Z)时,α=n·360°+135°与135°的终边相同.当k=4n+2(n∈Z)时,α=n·360°+225°与225°的终边相同.当k=4n+3(n∈Z)时,α=n·360°+315°与315°的终边相同.所以,在给定的角的集合中共有4种终边不相同的角.(2)由-360°≤k·90°+45°<360°,得-≤k<.又k∈Z.故k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以,在给定的角的集合中落在-360°～360°之间的角共有8个. (3)其中,第二象限的角可表示为α=k·360°+135°,k∈Z.C组培优练(建议用时15分钟)19.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于( C )A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}20.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ(0<θ<π),经过2 s达到第三象限,经过14 s后又回到了出发点A处,求θ.【解析】因为0<θ<π,且2kπ+π<2θ<2kπ+(k∈Z),则必有k=0,于是<θ<.又14θ=2nπ(n∈Z),所以θ=.从而<<,即<n<.所以n=4或5,故θ=或.分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.如果α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α的值等于( C )A. B.- C.- D.-2.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边( B )A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x或y=-x上3.若sin θ<cos θ,且sin θ·cos θ<0,则θ在( D )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.化简的结果是( C )A.sin 4+cos 4B.sin 4-cos 4C.cos 4-sin 4D.-sin 4-cos 45.已知cos θ=,且<θ<2π,则的值为 ( D )A. B.- C. D.-6.已知θ∈,在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a,b,c,则它们的大小关系是( B )A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a7.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则sin α的值为( A )A. B. C. D.-8.sin 1,cos 1,tan 1的大小关系为( C )A.sin 1>cos 1>tan 1B.sin 1>tan 1>cos 1C.tan 1>sin 1>cos 1D.tan 1>cos 1>sin 19.已知α终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则a的取值范围为-2<a≤3.10.已知=2,则tan α= 1.11.求函数y=+的定义域.【解析】要使函数有意义,则需即所以2kπ+≤x≤2kπ+π(k∈Z),所以函数的定义域为.12.求下列各式的值.(1)cos+tanπ .(2)sin 630° +tan 1 125° +tan 765° +cos 540° .【解析】(1)原式=cos+tan=cos+tan=+1=.(2)原式=sin (360°+270°)+tan(3×360°+45°)+tan (2×360°+45°)+cos(360°+180°)=sin 270°+tan 45°+tan 45°+cos 180°=-1+1+1-1=0.B组提升练(建议用时20分钟)13.函数y=++的值域是( C )A.{-1,1,3}B.{1,3}C.{-1,3}D.R14.已知sin α,cos α是方程3x2-2x+a=0的两根,则实数a的值为( B )A. B.- C. D.15.已知sin θ-cos θ=,则sin 3θ-cos 3θ=.16.若α∈[0,2π),且cos α≥,则α的取值范围是17.求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2.【证明】右边=[(1-sin α)+cos α]2=(1-sin α)2+cos 2α+2cos α(1-sin α)=1-2sin α+sin 2α+cos 2α+2cos α(1-sin α)=2-2sin α+2cos α(1-sin α)=2(1-sin α)(1+cos α)=左边,所以原式成立.18.利用单位圆解不等式(组):(1)3tan α+>0. (2)【解析】(1)3tan α+>0,即tan α>-,如图(1),由正切线知kπ-<α<kπ+,k∈Z.故不等式的解集为.(2)不等式组即为如图(2),区域(横线)为sin α>,区域(斜线)为cos α≤.两区域的公共部分为不等式组的解,即不等式组的解集为.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( D )A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos βB.若α,β是第二象限角,则tan α>tan βC.若α,β是第三象限角,则cos α>cos βD.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β20.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦,求实数m的值.【解析】设直角三角形的一个锐角为β,因为方程4x2-2(m+1)x+m=0中,Δ=4(m+1)2-4×4m=4(m-1)2≥0,所以当m∈R时,方程恒有两实根.又因为sin β+cos β=,sin βcos β=,所以由以上两式及sin 2β+cos 2β=1,得1+2×=,解得m=±.当m=时,sin β+cos β=>0,sin β·cos β=>0,满足题意,当m=-时,sin β+cos β=<0,这与β是锐角矛盾,舍去.综上,m=.关闭Word文档返回原板块分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则sin(2π+α)等于( D )A. B.± C. D.-2.已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为( A )A.-B.C.-D.3.若sin(3π+α)=-,则cos等于( A )A.-B.C.D.-4.已知sin=,则cos的值等于( A )A.-B.C.-D.5.已知tan 5° =t,则tan (-365° )= ( C )A.tB.360° +tC.-tD.与t无关6.若tan(5π+α)=m,则的值为( A )A. B. C.-1 D.17.记cos(-80°)=k,那么tan 100°等于 ( B )A. B.-C. D.-8.已知cos=,则cos= -.9.若cos α=,且α是第四象限角,则cos= .10.计算sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°=.11.已知sin(π+α)=-.计算:(1)cos.(2)sin.(3)tan(5π-α).【解析】(1)因为sin(π+α)=-sin α=-,所以sin α=.cos=cos=-sin α=-.(2)sin=cos α,cos2α=1-sin2α=1-=.因为sin α=,所以α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时,sin=cos α=.②当α为第二象限角时,sin=cos α=-.(3)tan(5π-α)=tan(π-α)=-tan α,因为sin α=,所以α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时,cos α=,所以tan α=,所以tan(5π-α)=-tan α=-.②当α为第二象限角时,cos α=-,tan α=-,所以tan(5π-α)=-tan α=.12.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.【证明】因为sin(α+β)=1,所以α+β=2kπ+(k∈Z),所以α=2kπ+-β(k∈Z).故tan(2α+β)+tan β=tan+tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(4kπ+π-β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0,所以原式成立.B组提升练(建议用时20分钟)13.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为( B )A. B.- C.± D.以上都不对14.已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是( D )A. B. C.- D.-15.已知tan(3π+α)=2,则= 2.16.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中a,b,α,β为非零常数.若f(2 013)=1,则f(2 014)= 3.17.若cos(α-π)=-,求的值.【解析】原式====-tan α.因为cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-,所以cos α=.所以α为第一象限角或第四象限角.当α为第一象限角时,cos α=,sin α==,所以tan α==,所以原式=-.当α为第四象限角时,cos α=,sin α=-=-,所以tan α==-,所以原式=.综上,原式=±.18.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2对应三个内角的正弦值,那么(1)试判断△A1B1C1是锐角三角形吗?(2)试借助诱导公式证明△A2B2C2中必有一个角为钝角.【解析】(1)由已知条件△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,即cos A1>0,cos B1>0,cos C1>0,从而△A1B1C1一定是锐角三角形.(2)由题意可知若A2,B2,C2全为锐角,则A2+B2+C2=++=-(A1+B1+C1)=,不合题意.又A2,B2,C2不可能为直角,且满足A2+B2+C2=π,故必有一个角为钝角.C组培优练(建议用时15分钟)19.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.【解析】由条件得sin A=sin B,cos A=cos B,平方相加得2cos2A=1,cos A=±,又因为A∈(0,π),所以A=或π.当A=π时,cos B=-<0,所以B∈,所以A,B均为钝角,不合题意,舍去.所以A=,cos B=,所以B=,所以C=π.20.是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.【解析】由条件,得由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2, ③又因为sin2α+cos2α=1, ④由③④得sin2α=,即sin α=±,因为α∈,所以α=或α=-.当α=时,代入②得cos β=,又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合.当α=-时,代入②得cos β=,又β∈(0,π),所以β=,代入①可知不符合.综上所述,存在α=,β=满足条件.关闭Word文档返回原板块分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.函数y=sin的最小正周期为( C )A.πB.2πC.4πD.2.函数y=-cos x(x>0)的图象中距离y轴最近的最高点的坐标为( B )A. B.(π,1) C.(0,1) D.(2π,1)3.函数f(x)=的定义域为( A )A.B.C.D.4.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于( A )A.0B.1C.-1D.±15.下列函数中,同时满足:①在上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是 ( A )A.y=tan xB.y=cos xC.y=tanD.y=|sin x|6.下列关系式中正确的是( C )A.sin 11°<cos10°<sin168°B.sin 168°<sin11°<cos10°C.sin 11°<sin168°<cos10°D.sin 168°<cos10°<sin 11°7.函数y=3tan的对称中心的坐标为8.下列各组函数中,图象相同的是(4).(1)y=cos x与y=cos(π+x);(2)y=sin与y=sin;(3)y=sin x与y=sin(-x);(4)y=sin(2π+x)与y=sin x.9.函数y=cos的单调增区间是10.若函数y=2sin ωx(ω>0)的图象与直线y+2=0的两个相邻公共点之间的距离为,则ω的值为3.11.在[0,2π]内用五点法作出y=-sin x-1的简图.【解析】(1)按五个关键点列表(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象,如图所示.12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1,且对∀x∈R,f(x)≠0,求证:f(x)是周期函数.【证明】因为f(x+2)f(x)=1且f(x)≠0,所以f(x+2)=,所以f(x+4)=f[(x+2)+2]===f(x).所以函数f(x)是周期函数,4是一个周期.B组提升练(建议用时20分钟)13.如图所示,函数y=cos x|tan x|的图象是( C )14.在(0,2π)上使cos x>sin x成立的x的取值范围是( A )A.∪B.∪C. D.15.若tan≤1,则x的取值范围是16.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是.17.已知函数f(x)=试画出f(x)的图象.【解析】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线,再比较两个函数的图象,上方的画成实线,下方的画成虚线,则实线部分即为f(x)的图象.18.已知函数f(x)=2asin+a+b的定义域为,值域是[-5,1],求a,b的值.【解析】因为0≤x≤,所以≤2x+≤.所以-≤sin≤1.所以a>0时,解得a<0时,解得综上,a=2,b=-5或a=-2,b=1.C组培优练(建议用时15分钟)19.函数f(x)=-cos xln x2的部分图象大致是图中的( A )20.设函数y=-2cos,x∈,若该函数是单调函数,求实数a的最大值.【解析】由2kπ≤x+≤2kπ+π(k∈Z),得4kπ-π≤x≤4kπ+π(k∈Z).所以函数的单调递增区间是(k∈Z),同理函数的单调递减区间是(k∈Z).令π∈,即≤k≤,又k∈Z,所以k不存在.令π∈,得k=1.所以π∈,这表明y=-2cos在上是减函数,所以a的最大值是.关闭Word文档返回原板块分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点( A )A.向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动π个单位长度D.向右平行移动π个单位长度2.已知ω>0,函数f(x)=cos的一条对称轴为x=,一个对称中心为,则ω有( A )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值13.函数y=sin在区间上的简图是( A )4.若函数f(x)=sin的图象向右平移个单位后与原图象关于x轴对称,则ω的最小正值是( D )A. B.1 C.2 D.35.已知f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( A )A.T=6,φ=B.T=6,φ=C.T=6π,φ=D.T=6π,φ=6.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是( D )A. B.1 C. D.27.利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象时,其五点的坐标分别为,,,,,则A= ,周期T= π.8.函数y=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到的图象恰好关于x=对称,则φ的最小值是π.9.将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin(4x+φ)(0<φ<π)的图象,则φ的值为.10.在函数y=-2sin的图象与x轴的交点中,离原点最近的交点坐标是.11.用“五点法”画函数y=3sin,x∈的图象.【解析】①列表:2x+-y=3sin②描点:在坐标系中描出下列各点:,,,,.③连线:用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来,得函数y=3sin,x∈的简图,如图所示.12.已知曲线y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,若φ∈.(1)试求这条曲线的函数表达式.(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π ]上的图象.【解析】(1)由题意知A=,T=4×=π,则ω==2. 所以y=sin (2x+φ).又因为sin=1,所以+φ=2kπ+,k∈Z.所以φ=2kπ+,k∈Z.又因为φ∈,所以φ=.所以y=sin.(2)列出x、y的对应值表:πππ2x+π-描点,连线,如图所示:B组提升练(建议用时20分钟)13.要得到函数f(x)=cos的图象,只需将函数g(x)=sin的图象( C )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度14.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各解析式符合条件的是( D )A.y=4sin+2B.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+215.将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=.16.关于函数f(x)=2sin,以下说法:①其最小正周期为;②图象关于点对称;③直线x=-是其一条对称轴.其中正确的序号是①②③.17.已知函数f(x)=sin.(1)求函数f(x)的单调增区间.(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值. 【解析】(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间是,k∈Z.(2)因为x∈,所以2x-∈,所以sin∈,所以f(x)min=-,此时x=0;f(x)max=1,此时x=π.18.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式.(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?【解析】(1)由题意知A=3,T===5π,所以ω=.由f(x)=3sin的图象过点,得sin=0,又|φ|<,所以φ=-.所以f(x)=3sin.(2)由f(x+m)=3sin=3sin为偶函数(m>0),知-=kπ+(k∈Z),即m=kπ+(k∈Z).因为m>0,所以m min=.故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0.(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.【解析】(1)因为ω>0,根据题意有⇒0<ω≤.所以ω的取值范围是.(2)由f(x)=2sin 2x可得,g(x)=2sin+1=2sin+1,令g(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,即g(x)的零点相离间隔依次为和,故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=.20.已知函数f(x)=asin+1(a>0)的定义域为R,若当-≤x≤-时,f(x)的最大值为2.(1)求a的值.(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象.(3)写出该函数的对称中心的坐标.【解析】(1)当-≤x≤-时,则-≤2x+≤,所以当2x+=时,f(x)有最大值为+1.又因为f(x)的最大值为2,所以+1=2,解得a=2.(2)由(1)知f(x)=2sin+1.令2x+分别取0,,π,,2π,则求出对应的x与y的值,如表所示.2x+-1画出函数在区间上的图象如图.(3)f(x)=2sin+1,令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以函数f(x)=2sin+1的对称中心的横坐标为-,k∈Z.又因为函数f(x)=2sin+1的图象是函数f(x)=2sin的图象向上平移一个单位长度得到的,所以函数f(x)=2sin+1的对称中心的纵坐标为1,所以对称中心坐标为,k∈Z.关闭Word文档返回原板块分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( A )A. B.50 C. D.1002.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,劳动节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( C )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]3.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( C )A.5B.6C.7D.84.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( C )5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( A )A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)6.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( C )7.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为y=-6sin x.8.某摩天轮建筑,其旋转半径50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约为85米.9.一根长a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cos,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期为.10. (2018·福州高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P出发,绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圈周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N 运动的时间为37.5分钟.11.已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ).(1)如图是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式.(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωT+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?【解析】(1)由图知,A=300,=-=,所以T=,所以ω=,由·+φ=0,得φ=.所以I=300sin;(2)因为t在任意一段秒内I都能取到最大值和最小值,所以T≤,ω≥300π>942,所以ω最小取值为943.12.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差.(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?【解析】(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,此时最高温度为30 ℃,当x=6时函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃.(2)令10sin+20=15,得sin=-,而x∈[4,16],所以x=.令10sin+20=25,得sin=,而x∈[4,16],所以x=.故该细菌能存活的最长时间为-=(小时).B组提升练(建议用时20分钟)13.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( C )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元14.(2018·沈阳高一检测)有一块半径为R(R是正常数)的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心,A,B在圆的直径上,C,D,E在半圆周上,如图.设∠BOC=θ,征地面积为f(θ),当θ满足g(θ)=f(θ)+R2sin θ取得最大值时,开发效果最佳,开发效果最佳的角θ和g(θ)的最大值分别为( B )A.,R2B.,R2C.,R2(1+)D.,R2(1+)15.如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是y=2sin.16.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,若将A,B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数,则d= 10sin ,其中t∈[0,60].17.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.【解析】依题意,有A=2,=3,即T=12.又T=,所以ω=.所以y=2sin x,x∈[0,4].所以当x=4时,y=2sin=3.所以M(4,3).又P(8,0),所以MP===5(km).即M,P两点间的距离为5 km.18.如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示建立直角坐标系,设角φ是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=.OP在时间t(s)内所转过的角为t=t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sin φ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin+2.(2)令z=4sin+2=6,得sin=1,令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4 s.C组培优练(建议用时15分钟)19.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为20.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,=12,故ω=,且解得根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,故sin=-1,且sin=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.(2)由条件可知,200sin+300≥400,化简,得sin≥⇒2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.关闭Word文档返回原板块单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.扇形的周长是4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是( C )A. B.1 C.2 D.42.若120°角的终边上有一点(-4,a),则a的值为 ( C )A.-4B.±4C.4D.23.下列三角函数值的符号判断正确的是 ( C )A.sin 156°<0B.cos>0C.tan<0D.tan 556°<04.sin 300°+tan600°的值等于 ( B )A.-B.C.-+D.+5.已知函数f(x)=3sin x-4cos x(x∈R)的一个对称中心是(x0,0),则tan x0的值为 ( D )A.-B.C.-D.6.下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线x=对称的是( B )A.y=sinB.y=sinC.y=cosD.y=cos7.函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示,P,Q分别为图象的最高点和最低点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则A= ( B )A.3B.C.D.18.函数y=sin的图象可由函数y=cos x的图象至少向右平移m(m>0)个单位长度得到,则m= ( A )A.1B.C.D.9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是 ( B )A.2,-B.2,-C.4,D.4,10.函数y=cos2x+sin x-1的值域为 ( C )A. B.C. D.[-2,0]11.已知函数f(x)=tan ωx在内是减函数,则实数ω的取值范围是 ( B )A.(0,1]B.[-1,0)C.[-2,0)D.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点, x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为 ( B )A.11B.9C.7D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.若2sin α-cos α=0,则=-.14.函数f(x)=sin+cos的最大值为.15.设函数f(x)=cos x,先将f(x)纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移个单位长度后得g(x),则函数g(x)到原点距离最近的对称中心为.16.给出下列命题:①存在实数x,使sin x+cos x=;②函数y=sin是偶函数;③若α,β是第一象限角,且α>β,则cos α<cos β;④函数y=sin 2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.其中结论正确的序号是②.(把正确的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知tan α+=,求2sin2(3π-α)-3cos·sin+2的值.【解析】因为tan α+=,所以2tan2α-5tan α+2=0.解得tan α=或tan α=2.2sin2(3π-α)-3cos sin+2=2sin2α-3sin αcos α+2=+2=+2.当tan α=时,原式=+2=-+2=;当tan α=2时,原式=+2=+2=.18.(本小题满分12分)已知f(α)=. (1)化简f(α).(2)当α=-时,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)===-cos α.(2)当α=-时,f(α)=-cos=-cos=-.。
人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)
人教版高中数学必修4综合测试试题含答案(原创,难度适中)高中数学必修4综合测试满分：150分时间：120分钟注意事项：客观题请在答题卡上用2B铅笔填涂，主观题请用黑色水笔书写在答题卡上。
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。
）1.sin300°的值为A。
-31 B。
3 C。
22 D。
1/22.角α的终边过点P(4,-3)，则cosα的值为A。
4 B。
-3 C。
2/5 D。
-4/53.cos25°cos35°-sin25°sin35°的值等于A。
3/11 B。
3/4 C。
2/11 D。
-2/114.对于非零向量AB，BC，AC，下列等式中一定不成立的是A。
AB+BC=AC B。
AB-AC=BCC。
AB-BC=BC D。
AB+BC=AC5.下列区间中，使函数y=sinx为增函数的是A。
[0,π] B。
[π,2π] C。
[-π/2,π/2] D。
[-π,0]6.已知tan(α-π/3)=1/√3，则tanα的值为A。
4/3 B。
-3/5 C。
-5/3 D。
-3/47.将函数y=sinx图象上所有的点向左平移π/3个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为A。
y=sin(2x+π/3) B。
y=sin(2x+2π/3)C。
y=sin(2x-π/3) D。
y=sin(2x-2π/3)8.在函数y=sinx、y=sin(2x+π/2)、y=cos(2x+π)中，最小正周期为π的函数的个数为（）A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个9.下列命题中，正确的是A。
|a|=|b|→a=b B。
|a|>|b|→a>bC。
|a|=0→a=0 D。
a=b→a∥b10.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如右图所示，此函数的解析式为y=2sin(2x-π/3)11.方程sin(πx)=x的解的个数是()A。
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套
人教A版高中数学必修四测试题及答案全套人教A版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.在0°～360°的范围内，与-510°终边相同的角是()A。
330° B。
210° C。
150° D。
30°2.若sinα = 3/3，π/2 < α < π，则sin(α+π/2) = ()A。
-6/3 B。
-1/2 C。
16/2 D。
33.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A。
2 B。
2sin1 C。
2sin1 D。
sin24.函数f(x) = sin(x-π/4)的图象的一条对称轴是()A。
x = π/4 B。
x = π/2 C。
x = -π/4 D。
x = -π/25.化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)得()A。
sin2+cos2 B。
cos2-sin2 C。
sin2-cos2 D。
±cos2-sin26.函数f(x) = tan(x+π/4)的单调增区间为()A。
(kπ-π/2.kπ+π/2)，k∈Z B。
(kπ。
(k+1)π)，k∈ZC。
(kπ-4π/4.kπ+4π/4)，k∈Z D。
(kπ-3π/4.kπ+3π/4)，k∈Z7.已知sin(π/4+α) = 1/√2，则sin(π/4-α)的值为()A。
1/3 B。
-1/3 C。
1/2 D。
-1/28.设α是第三象限的角，且|cosα| = α/2，则α的终边所在的象限是()A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限9.函数y = cos2x+sinx在[-π/6.π/6]的最大值与最小值之和为()A。
3/4 B。
2 C。
1/3 D。
4/310.将函数y = sin(x-π/3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移一个单位，得到的图象对应的解析式为()A。
高中数学必修四各章节练习题(附带答案解析)
1．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．270°D ．－270°解析：分针旋转形成的角是负角，每60分钟转动一周，所以一节课45分钟分针旋转形成的角是－360°×4560＝－270°.答案：D2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；280°角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．答案：B3．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角． 解析：∵角α与角－α的终边关于x 轴对称， 又∵角α的终边在第四象限，∴角－α终边在第一象限，又角－α与180°－α的终边关于原点对称，∴角180°－α的终边在第三象限． 答案：三4．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是________，是第________象限角．解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角． 答案：80° 一5．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中， (1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72. 又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴满足条件的角共有8个．1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项． 答案：C2．2 100°化成弧度是( ) A.35π3 B ．10π C.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________． 解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z . ∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9， ∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立， ∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2， 其中不正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D2．若点P 的坐标是(sin2，cos2)，则点P 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3．sin420°＝________.答案：324．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角． 解析：要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案：一或二 5．求下列各式的值．(1)sin1 470°；(2)cos 9π4；(3)tan(－116π)． 解：(1)sin1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin30°＝12. (2)cos 9π4＝cos(2π＋π4)＝cos π4＝22. (3)tan(－11π6)＝tan(－2π＋π6)＝tan π6＝33.1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B2．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( ) A ．MP 与AT 的方向相同 B ．|MP |＝|AT | C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >0 解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0，AT ＝tan 11π6<0.答案：A3．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案：－124．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．解析：利用三角函数线，如下图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ，即MN ≥OM ，则π4≤x ≤54π，(在[0,2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }． 答案：{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }5．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合．解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于cos π3＝12，cos 5π3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z . 所以α组成的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D.213解析：因为α是第二象限角，所以cos α<0， 故cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213.答案：A2．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为( ) A.38 B ．±38 C.34D ．±34解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38，故选A.答案：A3．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－(－45)2＝－35. 答案：－354．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为________． 解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1 ＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.答案：21105．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.解：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α(－cos α)1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.1．cos(－20π3)等于( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：cos(－20π3)＝cos 20π3 ＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝－12. 答案：C2．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋3 解析：sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60° ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 答案：B3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.解析：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)] ＝sin(45°＋α)＝513. 答案：5134．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________. 解析：由于tan(π－α)＝－tan α＝－34， 则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0. 所以sin α＝35. 答案：355．化简tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)(－sin θ)＝(－tan θ)(－sin θ)cos θcos θsin θ＝tan θ.1．已知sin40°＝a ，则cos130°等于( ) A ．a B ．－a C.1－a 2D ．－1－a 2解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a .答案：B2．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( ) A.223 B ．－232 C.13D ．－13解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)] ＝－sin(α－π4)＝－13. 答案：D3．已知sin(π6－θ)＝13，则cos(π3＋θ)等于________． 解析：cos(π3＋θ)＝cos[π2－(π6－θ)] ＝sin(π6－θ)＝13. 答案：134．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos(α＋π2)等于________． 解析：∵α为第四象限角且cos α＝15， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－25 6. ∴cos(α＋π2)＝－sin α＝25 6. 答案：2655．化简1＋2sin (π2－2)·cos (π2＋2).解：原式＝1＋2cos2·(－sin2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|. 又∵sin2>cos2，∴原式＝sin2－cos2.1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除选项A ，C ；又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，排除选项B.答案：D2．方程x ＋sin x ＝0的根有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x ，在同一直角坐标系中画出 f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点，则方程x ＋sin x ＝0仅有一个根．答案：B3．用“五点法”画y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．答案：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)4．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：由2cos x －2≥0得cos x ≥22， 借助y ＝cos x 的图象可得cos x ≥22的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z 5．在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图． 解：(1)按五个关键点列表xπ2π3π22πy －1 －2 －1 0 －1(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：1．函数y ＝2cos(π3－ωx )的最小正周期是4π，则ω等于( ) A ．2 B.12 C ．±2D ．±12解析：4π＝2π|ω|，∴ω＝±12. 答案：D2．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2 011)＝( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f (3)D ．f (4) 解析：f (2 011)＝f (402×5＋1)＝f (1)． 答案：A3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝________. 解析：由于周期T ＝2πω，所以2πω＝π，解得ω＝2. 答案：24．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝________.解析：由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1. 答案：－15．若函数f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求 f (－176π)的值．证明：∵f (x )的周期为π2，且为奇函数， ∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6) ＝f (π6)．而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－1， ∴f (－17π6)＝－1.1．函数y ＝sin(2x ＋52π)的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8D ．x ＝54π解析：y ＝sin(2x ＋52 π)＝cos2x ，令2x ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k2 π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π2.答案：A2．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( ) A ．[3π8，7π8] B ．[－π8，3π8] C ．[3π4，5π4]D ．[－π4，π4]解析：令z ＝2x －π4，函数y ＝sin z 的单调递减区间是[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )．由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，3π8≤x ≤7π8. 答案：A3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：∵sin168°＝sin(180°－168°)＝sin12°，cos10°＝sin80°， ∴sin11°<sin12°<sin80°. ∴sin11°<sin168°<cos10°. 答案：C4．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上单调递增，则ω的取值范围是________．解析：令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω，则[－π2ω，π2ω]是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[－π3，π4]⊆[－π2ω，π2ω]，则⎩⎪⎨⎪⎧π4≤π2ω，－π3≥－π2ω.⇒ω≤32.答案：[0，32]5．求函数y ＝1－2cos 2x ＋5sin x 的最大值和最小值． 解：y ＝1－2cos 2x ＋5sin x ＝2sin 2x ＋5sin x －1 ＝2(sin x ＋54)2－338.∵sin x ∈[－1,1]，而y 在[－1,1]上是增函数， ∴当sin x ＝－1时，函数取得最小值－4； 当sin x ＝1时，函数取得最大值6.1．y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12 令k ＝－2得x ＝－π4.故选C. 答案：C3．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是________．解析：由π3－x 2≠k π＋π2，得x ≠－2k π－π3，k ∈Z ，故函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是________． 解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域．解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．1．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin[2(x －π8＋π8)]＝sin2x ，为奇函数，故选A.答案：A2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→x →x ＋φy＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．答案：B3．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是(－π6，0)，(π12，2)，(π3，0)，(712 π，－2)，(5π6，0)，则ω＝________.解析：周期T ＝5π6－(－π6)＝π. ∴2πω＝π，ω＝2. 答案：24．把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应的一个解析式为________．解析：把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π4.答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π45．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图．(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：2x ＋π4 0 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin(2x ＋π4)＋1的整个图象．1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2D ．π，－2解析：在y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，T ＝2πω，A 叫振幅(A >0)，故y ＝2sin(x 2＋π5)的周期T ＝2π12＝4π，振幅为2，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝2 sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3. ∴f (x )＝2sin(13x ＋π3)．由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是[6k π－52π，6k π＋π2](k ∈Z )． 取k ＝0，得[－52π，π2]是f (x )的一个增区间． ∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 答案：A3．函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为________． 解析：∵y ＝5sin(2x ＋π3)的最小正周期为π， ∴函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为π2. 答案：π24．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析：∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)． ∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)．∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )．即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )． 答案：θ＝k π5＋π10，k ∈Z5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图，试求这个函数的解析式．解：方法一：易知A ＝22，T4＝6－2＝4. ∴T ＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8. 又∵图象过点(2,22)． ∴22sin(π8×2＋φ)＝2 2. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4. 于是y ＝22sin(π8x ＋π4)．方法二：易知A ＝22，由图可知，第二、第三两关键点的横坐标分别为2和6.∵⎩⎨⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8，φ＝π4.∴y ＝22sin(π8x ＋π4)．1．已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.答案：C2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin(100πt －π3)解析：由图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT ＝100π，A ＝300，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin(100π×1150＋φ)． ∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)． 答案：C 3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．答案：0.84．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋65.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m? 解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3(k ∈Z )，∴3k ＋1<t <3k ＋2(k ∈Z )．令k ＝0得1<t <2. 因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.单元综合测试一时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．－4 3 B ．±43 C. 3D ．43解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60° ＝3，故a ＝－4 3. 答案：A2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3D.3 解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6) B ．y ＝sin(x 2＋π6) C ．y ＝sin(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x ＝π3对称， ∴f (π3)＝±1，故只有C 符合． 答案：C4．若2k π＋π<θ<2k π＋5π4(k ∈Z )，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．sin θ<cos θ<tan θB ．cos θ<tan θ<sin θC ．cos θ<sin θ<tan θD ．sin θ<tan θ<cos θ解析：设π<α<54π，则有sin θ＝sin α， cos θ＝cos α，tan θ＝tan α， ∵tan α>0，而sin α<0，cos α<0，∴B 、D 排除，又∵cos α<－22<sin α，即cos α<sin α，排除A.选C. 答案：C5．已知A 是三角形的内角，且sin A ＋cos A ＝52，则tan A 等于( )A ．4＋15B ．4－15C ．4±15D ．以上均不正确解析：因为sin A ＋cos A ＝52，所以2sin A cos A ＝14>0.所以A 为锐角．又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1－14＝34，所以sin A －cos A ＝±32.从而可求出sin A ，cos A 的值，从而求出tan A ＝4±15.答案：C6．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A ．[0，π3] B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]解析：由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π 可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )．∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]． 答案：C7．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度 解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6， ∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度． 答案：C8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12 解析：由图形可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )， 取k ＝1，即得选项D. 答案：D9．设a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为( )A ．2a ＋1B ．2a －1C ．－2a －1D ．a 2解析：f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1 ＝1－sin 2x ＋2a sin x －1 ＝－(sin x －a )2＋a 2，∵0≤x ≤2π，∴－1≤sin x ≤1，又a >1，∴f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案：B 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π B ．x ＝π2 C ．x ＝1D ．x ＝2解析：函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T ＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．答案：C11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：摩天轮转轴离地面高160－⎝ ⎛⎭⎪⎫1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．答案：B12．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3解析：方法一：函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2的图象．∵两图象重合，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝1时，ω的最小值是32.方法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，ω＝32k ，ω的最小值为32. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：圆心角α＝l r ＝128＝32， 扇形面积S ＝12lr ＝12×12×8＝48.答案：32 4814．方程sin x ＝lg x 的解的个数为________．解析：画出函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．答案：315．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 013)＝－1，则f (2 014)＝________.解析：f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝－1，f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：116．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1有以下结论：①函数f (x )的值域是[0,2]；②点⎝⎛⎭⎪⎫－512π，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；③直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．解析：①∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤2；②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π3＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1≠0，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0不是函数f (x )图象的一个对称中心；③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＋1＝cosπ＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＋1＝cos2x ＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知sin θ＝45，π2<θ<π， (1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；(2)已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值． 解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)． ∵α为第三象限角，∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0， ∴75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13. (2)由已知得cos(θ－9π)＝－35， ∴cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35， ∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π，∴sin θ＝－45， ∴tan θ＝－43，∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos(2x －π4)，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.20．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)把f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图象，求f 2(x )取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6] ＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时， y max ＝2.此时x 的取值为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)－1.(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α2－π12)的值； (2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α2－π12)＝2sin[2×(α2－π12)＋π6]－1 ＝2sin α－1＝2×(－32)－1＝－3－1. (2)令t ＝2x ＋π6，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，而y ＝sin t 在[－π6，π2]上单调递增， 在[π2，5π6]上单调递减， 且sin(－π6)＝－12，sin 5π6＝12，所以函数y ＝sin t 在[－π6，5π6]上的最大值为1， 最小值为－12，即－12≤sin(2x ＋π6)≤1， 所以f (x )的值域是[－2,1]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3， 又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3， ∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，若sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解， 则s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心， ∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|. 答案：OA →与BO →，AC →与BD →4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形． (1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________． 解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 答案：(1)AB →、DC →(2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →，BC →，CA →. (2)求|CA →|. 解：(1)如图所示． (2)|AB →|＝100 m ， |BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， 则△ABC 为正三角形． 故|CA →|＝100 m.1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形解析：由AC →＝AB →＋AD →知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．答案：D2．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA →D.AB →＋BC →＝AC →解析：对于C ，∵AB →与BA →是相反向量， ∴AB →＋BA →＝0. 答案：C3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO → )＋(OM →＋MB → )＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →4．若a ＝“向北走8 km ”，b ＝“向东走8 km ”，则|a ＋b |＝________；a ＋b 的方向是________．解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．答案：8 2 km 东北方向5．在水流速度为4 3 km/h 的河中，要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速度的大小和方向．解：设AB →表示水流的速度，AC →表示船的实际航行速度，如图，作出AB →，AC →，连接BC ，作AD 綊BC ，连接DC ，则AD →为所求船的静水航速，且AD →＋AB →＝AC →.∵|AB →|＝43，|AC →|＝12， tan ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠ACB ＝30°＝∠CAD ， |AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.∴船在静水中的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流速度成120°角．1．下列等式： ①0－a ＝－a ②－(－a )＝a ③a ＋(－a )＝0 ④a ＋0＝a ⑤a －b ＝a ＋(－b ) ⑥a ＋(－a )＝0正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确． 答案：C2．设AB →，BC →，AC →是三个非零向量，且AB →＋BC →＝AC →，则( ) A ．线段AB ，BC ，AC 一定构成一个三角形 B ．线段AB ，BC 一定共线 C ．线段AB ，BC 一定平行D ．线段AB ，BC ，AC 构成三角形或共线解析：由于三角形法则对于共线时也成立，因此线段AB ，BC ，AC 可以构成三角形，也可以共线，但线段AB ，BC 不可能平行．答案：D3．若向量a 与b 共线，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________. 解析：∵a 与b 共线， ∴两向量同向或反向． 又|a |＝|b |＝1，∴|a －b |＝0或2. 答案：0或24．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________. (2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________. 答案：(1)AD → (2)PQ →5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BE →，CE →.解：∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a . ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b .1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．梯形D ．矩形解析：由AB →＝－12CD →可得，在四边形ABCD 中有AB ∥CD ，但|AB |≠|CD |，故为梯形．答案：C2．已知非零向量a ，b 满足a ＝λb ，b ＝λa (λ∈R )，则λ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．0D ．0解析：∵a ＝λb ，b ＝λa ，∴a ＝λ2a ，∴λ±1.答案：B3．化简：2(a －2b )＋3(13a ＋b )＝________. 答案：3a －b4．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：∵b 与a 方向相反，∴设a ＝λb (λ<0) ∴|a |＝|λ||b |，∴5＝|λ|×7，∴|λ|＝57， ∴λ＝±57，又λ<0，∴λ＝－57. 答案：－57 5.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：在四边形ANMD 中，有 MN →＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－AD →－12(12AB →)＋12AB →＝－AD →＋14AB →＝14a －b . 在四边形ABCD 中，有BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB → ＝AD →－12AB →＝b －12a .1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，以b 与c 作为基底，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b . 答案：A。
(完整word版)人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)
练习(第5页〉1.悦你是妬一象限你第•象限角不一定是1V0不赋『任何一•个欽触.不属y任何个叢限的角恭•定丛钝如足第•彖PM用.第二彖限角不一定址饨角.说期认识•悅角”• -H角“「钝的”和像限角”的区别号耽系.2.三.£•亿说列木斃的II的出将终边和同的"I的符右&示应川他周期性何题匕IMII取系实际•把教科书中的除« 360换成每个尽期的大数7・利Hir十滋"(这电命数肚3》来确足7冷尤爪7&犬啊也林足川期三.这禅的练习不难・BT以□答.3.(1)第一狡RH触<2)第丙獄限角：(3)第二線限*几(4)第滋限角.说朔能作出冷崔的角•并判眾址第儿彖附用.图略.4.(1) 305*12*. WkW^Wffh <2)35*R\ 第一盘欧角s (3) 2巾9°30‘・第^HUffl ・说明能任缢疋范眉内找出勺折定的用终边相同的加・并那£肚邹儿細"•5.(1> {filfi I ；如：门& M • 360\ 冷€却・一496*42* - 一136°4 沢223°1«#«(2)(010 225p I k• 360°. i-€Zh 585°. - 225\ 135°.说阴用集介农示法和符号ifh「仙9描定和终血机同的也的集合.并佑给定范国内挖I； 9指定的角终边HI同的也・练习(第9页)1.(1) JI (2):訂⑶说期能进廿度9弧度的换弄.2.(I) 15°8 (2> 210、(X) 51\说明能进行颅戍坤度的换？)•3< (I) {a\a kK. 46Z}：(2) {a |a=Y^JC> >€Z).说明川加阪JH&不终边分别碇#轴和，轴匕的血的妲介.4.(I) <w 0. 75*?><x» <>. 751 (2) tan I. 2*<^tan 1. 2.说明体会鬧数値何曲位的加对应的三角帧数値町能不同.并进「步认4R曲种/位期•注盘A：用计畑R iftirtittfrtZiW.愛先对汁厲器中用的模式进H^K・如求g”o・75•之個，雙将ffiWJXW 氏力DEGS度划卄求心0.75之讯娶将角模式设置为RAIX員度制).说明通过分圳运川如哎：W和弧贋制代的弧K公戌•体知;I人弧反制的必翌性.6・为1.2.说明迓•步认沢弧度数的绝对値公式."I. 1 (第9 贡〉A/11.(I)惦・・第二钦限:(2) «0\第一您鼬(3) 236*50'.窮三象职⑷300*.第闪象肚说用傩任给定他IH内找出対指定的加终边相同的角，并判定业第儿象腋角.2.S (a | a k• I8O\ k^Z}.说朋桁终边相同的仰用集介A斥.3.< I) {fllfi 60° + 4 •360J• — 30O\ 60°,⑵75・M・36(T・k^Z}.一75S 285•:(3){fl I ft -Kzrso^ + jt • a«0°t Jtez>. — l(M ft3o\ 255*30*1⑷\p\fl 475#>* • 360\ 心” -245% Il5e j⑸(0屮=90°+八360S tezn - 27O\ 90°：(<i)/I" 270，+及・3(XA jtGZJt - 90S 270*#⑺ S10= IM)•十点• 36(几A6Z}«一1SO\ Wj⑻ 少|" > 3G0\ A-GZH - 360\ 0\说啊川集合我〃讹和符u谄护础与猫定角终边徇同的仰的集合・幷任价疋他II*内找岀号折建的饬终边柚恫的角.5.<i> a临明IM 为<)•< a<90\ 所以 0°V 2aV 1«0\(2> I).说朗冈为360*<a<90a4-A • 360* •所以k• 1800<~<45#+> • 1W)\ y斗为命如|・号見笫•:彖限伽臥为偶数时.号是第i録限角.6.不I I ・这址丙为零于半花K的弧所対的閱心角为1风哎.浙等十半检K的效所对的弧比半枪长.说朗rw«度的槪念.7. ( I)害$ (2) 一皆$ (3)器& (4) 8昆说朋備逬行度y弧度的换祥・& (1) 21(>\ (2) 一600] (3> 8O.2fi <4) 3& 2：说明能进行处晦勺度的换算.9.6T・说明町以先运川如度制下的如氏公式求岀圈心仰的弧度数.I'ltt*度换n为度.也町以血按运川角度制卞的只长公式.10.I I cm说明町以先卷度换0为弧皮•再运川弧度制下的如氏公式.电町以“接运川血QIM卜的佩氏公式.B俎1. (1)(略)<2)ijtMr的阀心你为伏山可阳0=0・618(2兀一0).W0=0. 764x ~140：说明本1»址-•个数学实践活动.谢II对“荚观的囁子”并没冇给;|;标假II的址止学生先虫体仏然血运川所沖讥发现.大多数以子之所以“英观”硼为川本蹄足舟(>.«!«<«金分割比邢丿逍理. 押卜2. (I)时针转r 120\等于一簣瓠鲂分针转了一1440・・等于一板知亿⑵ 设经过J min分针针恥合•"为陶针乘合的次数.凶为分针縱转的如建度为lo = io Z/min）・时什統转的如速度为i^6d=^o <rad/min>-所以（30 36o）/aE2xw・Ml720f=TT n-■箒的图象(如下页图)或衣格.从屮吋谢魁地斤判时针9分针niiiwn或H算器作出甬效八甸次朮合所需的IIJK闪为UHItt 转的时何为24X60-1 4IO<min ）•所以440.底22・故分fl -天內只会®:介22次.说明 通过时什9分针的靛转何题进•步地认帜弧度的槪念・并将何闿;I 向探人•用甬敎思想进行 分析.在研究时£17分针一犬的乖合次数时.町利川iinaj 或il •件机・从模妝的图形、農格中的数 据.换效的解析式或图条等角度・不堆側到正确的结论.3. 86矿.151.2K cm5说明 通过比轮的软动何題进■步地认UI 弧度的槪念和孤长公式・十大齿轮转动 卅时•小齿轮转 动的力说帶 X 360*=864° =rad.山于大说轮的转逢为3r/s.所以小火轮周卜•一点毎1 N 转过的加长是 ^X3X2irX 10.5= 151. 2^(cm).塚习（療15 35）说明104定义求東个待殊角的三角新数lft ・sin 0 j ；・宀公 0 一;f • Ijm 0j ；.说明 eWfH 终边I ： 一点的坐标•山定义求和a 的 沟韻数肚说明4.半a 为饨*1时.<-os a 和tan 取负血・说明 认収9二角彤山角有关的""歯数伉的符号・5. (I) 1E1 (2)致i (3)零) (4)处 (5> lEi <6)iE.说明认位用的角对应的三角两数值的符U ・1440227x7n• mg6.(I)①③或(D(5)或QX5h (2)①④颯恤或④®,«3)②®必0◎戒(JXTM (O②③戍②©或GXSX说刖认讥不时象腋的饰村股的订"甬效備的符号，7.(!) 0.871 Gi (2> V3i (3) 0.5< <4) I.说囲求:曲数饥•丿剛•步地认训加闽数的定义及公式・・紡习(第175)1.终辺任杯同位懂的加对W的匚和卤散Vi的悄况・包祈三倫歯败值的符wa况.终边郴斓的fftlKJH •的値41雪・说明利川m位卿I啲•加用敎红认此加西数的性庞对来少件质的认倶不作址段求.2.(1)如图所品那2 <l> tt(2). (3). (I)略.说明作CU血的三你殖数线.3. 2257(1的il%・余歿.il沏线的氏分别为3.5 cm, 3. 5 cm- 5 cm： 330•角的il嫩.余找.il沏蜒的K分剧为2.5cm. 4.3 cm. 2.9 cm.施中5. 2.5楚祁"数・其余祁尼近似数《图略).sm 225B -：'f 0.7. <5 225・=一警=一0・7・ tan 225*- I；sin 33()9 T).5・ cos 330°*^二().86. inn 330°= ■警=—0・ 58.说明进•步认识哝位IMI屮的三角顒数线.I.5甬数线楚"0两数的儿何人示•它“观地刻滴厂三你圈数的慨念.f J •:的定义结合恳来.町以从ttfiUKW方面认识询函效的定义.并便咼对的怎义域.rtftfftwy的变化规卅.公式Y的理解容易匚说明反思小位时屮的Jdrntt线对认识三角隕数慨念的作用.练习(M20页)说明12知也。
高中数学必修四练习册(后含答案)
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
6．射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 120°到达 OB 位置，由
OB 位置顺时针旋转 270°到达 OC 位置，则∠AOC＝
()
A．150°
B．－150°
C．390°
D．－390°
7．若集合 M＝{α|α＝±30°＋k·180°，k∈Z}，N＝{α|α＝(－
D.α|α＝2kπ＋53π，k∈Z
3．已知集合 A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－
4≤α≤4}，则 A∩B＝( )
A．
B．{α|0≤α≤π|
C．{α|－4≤α≤4|
D．{α|－4≤α≤－π 或 0≤α≤π}
4．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是____
弧度 ( )
1.1.1 任意角
一、选择题
1．下列各命题正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．第一象限角都是锐角
C．锐角都是第一象限角
D．小于 90°的角都是锐角
2．若 α 是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的
是( )
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
3．在“①160°，②480°，③－960°，④－1600°”这四个角
A．sinα＋cosα<0
B．tanα－sinα<0
π
π
π
A.π
B.2
C.3
D.4
5．如图中，圆的半径为 5，圆内阴影部分的面积是( )
175π A. 36
125π B. 18
75π C. 18
人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)
高一数学试题（必修4）（特别适合按14523顺序的省份）必修4 第一章三角函数(1)一、选择题：1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C2 等于（）A B C D3.已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A.y=sin2xB.y=cos C .sin2x+cos2x D. y=5 若角的终边上有一点，则的值是（）A B C D6．要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象（）A．向左平移个单位 B.同右平移个单位C．向左平移个单位 D.向右平移个单位7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx的图象则y=f(x)是（）A．y= B.y=C.y=D.8. 函数y=sin(2x+)的图像的一条对轴方程是（）A.x=-B. x=- C .x=D.x=9．若，则下列结论中一定成立的是（）A. B． C． D．10.函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称11.函数是（）A．上是增函数 B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数12.函数的定义域是（）A．B．C． D．二、填空题：13. 函数的最小值是 .14 与终边相同的最小正角是_______________15. 已知则 .16 若集合，，则=_______________________________________三、解答题：17．已知，且．a)求sinx、cosx、tanx的值．b)求sin3x – cos3x的值．18 已知，（1）求的值（2）求的值19. 已知α是第三角限的角，化简20．已知曲线上最高点为（2，），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间必修4 第一章三角函数(2)一、选择题：1．已知，则化简的结果为（）A． B. C． D. 以上都不对2．若角的终边过点(-3，-2)，则( )A．sin tan＞0 B．cos tan＞0C．sin cos＞0 D．sin cot＞03 已知，，那么的值是（）A B C D4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A． B. C. D.5．已知，,则tan2x= ( ) A． B. C. D.6．已知，则的值为（）A． B. 1 C. D. 2 7．函数的最小正周期为（）A．1 B. C. D.8．函数的单调递增区间是（）A． B.C． D.9．函数，的最大值为（）A．1 B. 2 C. D.10．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位11．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A. B. — C. D. —12．若，则（）A. B. C. D.二、填空题13．函数的定义域是14．的振幅为初相为15．求值：=_______________16．把函数先向右平移个单位，然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为________________________________三、解答题17 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值18．已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间19．已知是方程的两根，且，求的值20．如下图为函数图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线对称的函数解析式必修4 第三章三角恒等变换(1)一、选择题:1.的值为 ( ）A 0BC D2.，，，是第三象限角，则（）A B C D3.设则的值是( )A B C D4. 已知，则的值为（）A B C D5.都是锐角，且，，则的值是（）A B C D6. 且则cos2x的值是（）A B C D7.在中，的取值域范围是 ( )A B C D8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（）A B C D9.要得到函数的图像，只需将的图像（）A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位10. 函数的图像的一条对称轴方程是（）A、 B、 C、 D、11.若是一个三角形的最小内角，则函数的值域是( )A B C D12.在中，，则等于 ( )A B C D二、填空题:13.若是方程的两根，且则等于14. .在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则15. 已知，则的值为16. 关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像；④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简18. 求的值．19. 已知α为第二象限角，且sinα=求的值.20.已知函数，求（1）函数的最小值及此时的的集合。
(人教版B版2019课标)高中数学必修第四册 第十一章综合测试(含答案)
第十一章综合测试基础练习一、单选题1.如图，四棱锥P ABCD -，AC BD O =，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD 于点N ，则下列结论正确的是（ ）A.O ，N ，P ，M 四点不共面B.O ，N ，M ，D 四点共面C.O ，N ，M 三点共线D.P ，N ，D 三点共线2.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC BC ===，则异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值为（ ）A.12-B.12C.14-D.143.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A.AC BD ⊥B.AC ∥截面PQMNC.AC BD =D.异面直线PM 与BD 所成的角为45︒4.设E ，F 分别是正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且2AB =，1EF =，给出下列四个命题：①三棱锥11D B EF -的体积为定值； ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒； ③11D B ⊥平面1B EF ；④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60︒。
其中正确的命题为（ ） A.①②B.②③C.②④D.①④5.在如图的正方体ABCD A B C D ''''-中，3AB =，点M 是侧面BCC B ''内的动点，满足'AM BD ⊥，设AM 与平面BCC B ''所成角为θ，则tan θ的最大值为（ ）C.43D.34二、填空题6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，过E ，F ，H 的平面交棱CD 于点G ，则四边形EFGH 面积为________。
7.如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的是________。
高中数学必修4(人教A版)第一章三角函数1.6知识点总结含同步练习及答案
21 24 7.9 11.1
经长期观察，函数 y = f (t) 的图象可以近似地看成函数 y = k + A sin (ωt + φ) 的图象．下面的函数 中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A．y = 11 + 3 sin (
)
π π t + ) , t ∈ [0, 24] 12 2 π B．y = 11 + 3 sin ( t + π) , t ∈ [0, 24] 6 π C．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 12 π D．y = 11 + 3 sin t , t ∈ [0, 24] 6
π π t + ) ， t ∈ [0, 24] 12 2 π B． y = 11 + 3 sin ( t + π) ， t ∈ [0, 24] 6 π C． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 6 π D． y = 11 + 3 sin t ， t ∈ [0, 24] 12
3. 某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + A cos
π (x − 6) ( 6
x = 1, 2, 3, ⋯ , 12 ) 来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28∘ C ， 12 月份的月平均气温最
低，为 18∘ C ，则 10 月份的平均气温值为
B．[1, 7]
D．[0, 1] 和 [7, 12]
2π π π 弧度，从而经过 t 秒转了 = t 弧度． 12 6 6 1 √3 π 而 t = 0 时， 点 A ( , ．经过 t 秒后点 A 的纵坐标为 ) ，则 ∠xOA = 2 2 3
高中数学必修4解答题专项练习(附答案)
13.已知函数 傀ኅ) sinኅcosኅ
cos ኅ
．
（1）求函数 f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 a=7，若锐角 A 满足 傀 )
，
且 sinB sin
，求△ABC 的面积．
14.已知 （1）求 （2）求
， 与 的夹角
.
，傀 ；
7.已知曲线 在 ኅ 的上方，且曲线 上的任意一点到点 傀木木 ) 的距离比到直线
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设 木 木 ，过点 傀木木 ) 的直线与曲线 相交于 木 两点.
①若
是等边三角形，求实数 的值；
②若
木 ，求实数 的取值范围.
的距离都小 1.
8.已知 tanx=2． （1）求 sin2x+ cos2x 的值； （2）求 2sin2x﹣sinxcosx+cos2x 的值．
，其中 木
.
（1）若
，且函数
傀ኅ) 在 木木 上的最大值为 2，求
的值；
（2）若
，且 ኅ 木ኅ 是函数
傀ኅ) 在 木木 上的两个零点，求 cos傀ኅ ኅ ) 的值.
6.已知函数 f（x）=Asin（ωx+θ）（ A＞0，ω＞0，|θ|＜ ）的最小正周期为π，且图象上有一个最低点为
M（ ，﹣3）． （1）求 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在[0，π]的单调递增区间．
) 的部分图象如图所示，将函数 傀ኅ) 的图
象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，得到函数 傀ኅ) 的图象．
（1）求函数 傀ኅ) 的解析式；
（2）求函数 傀ኅ) 在
木 上的值域；
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人教版数学必修4练习题附答案
高一数学下学期期中练习题
时间：120分钟 满分：150分
第I 卷（选择题, 共60分）
一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.tan 600..1
2.cos(),sin()221
1
.22A A οπ
π+=-+-的值（ ）
B C Ｄ如果那么的值是（ ）
A. - B ． C
3．下列函数中，最小正周期为2π
的是( )
A ．sin y x =
B ．sin cos y x x =
C ．tan 2x
y = D ．cos 4y x =
4.cos 0,sin 20,θθθ><若且则角的终边所在象限是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限Ｄ.第四象限
5．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( )
A ．－1
B ．－9
C ．9
D ．1
6．已知1
sin cos 3αα+=，则sin 2α=( )
A ．21
B ．21-
C ．8
9 D ．8
9-
7．要得到2sin(2)3y x π
=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )
A ．向左平移23π
个单位 B ．向右平移23π
个单位
C ．向左平移3π
个单位 D ．向右平移3π
个单位
ABC OA OB OB OC OC OA O ABC ∆⋅=⋅=⋅∆8.在中，若，那么点在什么位置（ ）
A 重心
B 垂心
C 内心
D 外心
,1,1,3,a b c a b c a b c ===++9.若向量，两两所成角相等，且则等于（ ）
A.2
B.5
C.2或5Ｄ
10．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =, 则点P 的坐标为 ( )
A ．(2,7)-
B ．4(,3)3
C ．2(,3)3
D ．(2,11)- 11．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4
πα+的值为 ( ) A ．16 B ．2213 C ．322 D ．1318 12．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（ ）
A. ,24ππωϕ==
B. ,36ππωϕ==
C. ,44
ππωϕ== D. 5,44
ππωϕ==
第II 卷（非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是
12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，C(1,7)，则D 点坐标为
213.cos 2sin 12,,___,___.
y x x AB AC AD mAB nAC m n -∆∠===+===函数的值域是___________
14.在
ABC 中，AD 为A 的角平分线，交BC 于D ，，
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题满分10分）
(1)οο（1）化简sin50 (2)已知3tan =α，计算
α
αααsin 3cos 5
cos 2sin 4+- 的值
18（本题满分12分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()
f ππααπαααπαπ-+-=----． （1）化简()f α
（2）若31cos()25
πα-
=，求()f α的值
19（本小题满分12分）
已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，
(1) ka b +与3a b -垂直？
(2) ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？
1sin cos ,(0,).5
βββπββ+=∈20.已知（1）求tan 的值
（2）求cos2的值
21．（本题12分）如图,某大风车的半径为2米,每12秒沿逆时针方向旋转一周,它的最底点O 离地面1米,风车圆周上一点A 从最底点O 开始,运动t 秒后与地面距离为h 米，
(1)求函数h=f(t)的关系式, 并在给出的方格纸上用五点作图法作出h=f(t)在一个周期内的图象(要列表,描点)；
(2) A 从最底点O 开始, 沿逆时针方向旋转第一周内,有多长时间离地面的高度超过4米? C
O
A
22（本小题满分12分）
已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b =
(1) 求函数()f x 的解析式;
(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.
参考答案
一、1-5 DBDDA 6-10 DDBCD 11-12 CC
[]2113.314.(0,9)15.2,216.,33π-二， 三、17.解：（1）1
（2）显然cos 0α≠
∴ 4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337
cos αα
αααααααααα
---⨯-====++++⨯ 18.解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()
f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )
(tan )sin cos ααααα
α--=
-=- （2）∵31cos()25
πα-
= ∴ 1sin 5α-= 从而1sin 5α=- 又α为第三象限角
∴cos 5α==-
即()f α
的值为-
19.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+
3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-
（1）()ka b +⊥(3)a b -，
得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==
（2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3
k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333
ka b +=-=--，所以方向相反。
4
720.tan cos 2325ββ=-=-
21（1）32cos 6h t π
=- 图象（略）
（2）令4,(012)h t ≥≤≤得48t ≤≤，故有4秒钟时间离地面高度超过4米
22.解: (1) ()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x a b x m x x m x ==+-+
即22()cos cos f x x x x m =+- (2) 23sin 21cos 2()2
x f x m +=+- 21sin(2)62x m π=++- 由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
, 52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 211422
m ∴-+-=-, 2m ∴=± max 11()1222
f x ∴=+-=-, 此时262x ππ+=, 6x π=.。