数列、函数极限
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
浅析数列极限与函数极限的异同
浅析数列极限与函数极限的异同1 数列极限关于数列极限，先举一个我国古代关于数列的例子。
《庄子—天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”其含义是：一根长为一尺的木棒，每天取下一半，这样的过程可以永远进行下去。
不难看出，其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。
在这一思想的指引下，教材给出了数列极限的精确定义：设{An} 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当nN 时，有∣An-a∣<ε ，则称数列{an} 收敛于a，定数a 称为数列{an} 的极限。
其中ε的作用在于衡量数列通项{an} 与定数a的大小，ε越小，说明{an} 与a 的接近度越好。
由于ε的任意性，可以小到任意小（但须大于0），故可以理解为数列通项{an} 无限地接近定数a；而n的作用在于不管给定多么小的正数ε，总能保证存在大于n后的每一项都和a无限接近，而不在乎前面有限项与a的接近程度，在于刻画n→+∞这一过程。
其中，由于n是正整数，不可能取负值，故其趋近方式只有一种，即趋于+∞，但是极限值可以取实数r，故极限值有a、∞、+∞、—∞这4种值，因此，总的来说，数列极限只有4种类型。
< p></ε>2 函数极限对于函数极限，先分析一下自变量x的趋近方式，由于x是取自全体实数，故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞，还可以是∞、—∞，相比数列极限，更特殊的是还可以趋于某一点x0，或者x0的左侧、右侧（即单侧极限）趋近。
故自变量x的趋近方式共有6种，而极限值和数列极限完全一样，有4种。
因此，函数极限共24种类型。
比如，拿x→+∞，f（x）→a为例，其精确定义如下：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数M ，使得当xM时有|f （x）-a|<ε ，那么常数a就叫做函数f（x）当x→+∞时的极限值。
该定义和数列极限的定义有相同之处，其中的ε也是和数列极限中的ε相同，用于衡量f（x）与a的接近程度；正数m的作用也与数列极限定义中的n相类似，说明x充分大的程度，但这里考虑的是比m 大的所有实数x，而不仅仅是数列极限中的正整数n，这是和数列极限定义中最本质的区别。
关于数列极限和函数极限解法的解析
关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。
在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。
上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。
ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。
公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。
极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。
1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12，第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。
只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。
“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。
下面把任意小量化： 对于12，如果要求1110222nn-=<，只需要1n >即可；对于212，如果要求21110222nn-=<， 只需要2n >即可；对于 312，如果要求31110222n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12，212，312...为此就出现了任意小的正数ε。
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。
表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数， 当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。
高中数学知识点总结数列极限与函数极限
高中数学知识点总结数列极限与函数极限高中数学知识点总结：数列极限与函数极限数学是一门基础性的学科，而数学中的数列极限与函数极限在高中阶段被广泛研究和应用。
本文将对高中数学中的数列极限与函数极限进行总结和解析。
以下是各章节的内容：一、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有着重要的应用。
数列极限的定义是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素也趋于某个确定的数。
数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛数列收敛数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于某个确定的数。
收敛数列的定义涉及到两个重要概念：极限和无穷大。
在对数列进行分析时，可以通过计算数列的通项公式或者观察数列的性质来确定数列的极限。
2. 发散数列发散数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于无穷大或者无穷小。
发散数列在数学中也有重要的研究价值，它们常常与函数极限或者无穷小量相联系。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的数。
函数极限也分为收敛和发散两种情况。
1. 左极限和右极限函数在一点的左极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从左边逼近的极限值。
同理，右极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从右边逼近的极限值。
左极限和右极限在研究函数的连续性和间断点时起着重要的作用。
2. 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限被称为无穷极限。
无穷极限有正无穷和负无穷两种情况。
通过研究函数的无穷极限，可以了解函数在无穷远处的行为特征。
三、数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限实际上是密切相关的。
当函数的自变量取数列中的元素，并且这个数列收敛时，函数的极限可以与数列的极限相联系。
这种联系在高等数学的各个领域中都有着重要的应用。
综上所述，数列极限与函数极限是高中数学中的重要知识点。
通过深入理解数列极限和函数极限的概念以及它们之间的关系，可以更好地应用于解决实际问题和推导更高级的数学理论。
1.2数列和函数的极限
n2 1
n2 n
n2 1
又 lim n 1, lim n 1
n n2 n
n n2 1
根据夹挤定理，原式极限为1
(5)
lim (1
n
1 22
)(1
1 32
) (1
1 n2
)
解：1
1 k2
(k 1)(k 1) k2
k 1 k 1 kk
1 2n
0.
证 0,
由1 2n
0
1 2n
2n 1 ,可得
n
log
2
(
1
)(限定0
1).
N
1
[log 2( )]
1.
n N ,
有
1 2n
0
.
lim n
1 2n
0.
三、收敛数列的性质
性质1（唯一性） 若数列 {xn} 收敛，则其极限必唯一 . 性质2（有界性） 若数列 {xn} 收敛，则 {xn} 必有界 .
x : 0 x x0 , A f (x) A .
是任意小
当 x 在 U O (x0 , ) 时, y
y f (x)的图形完全 落在以直线 y A 为
A
A
A
y f (x)
中心线, 宽为 2 的带
形区域内.
o
x0 x0 x0
16 8
4
2
1
一、数 列
自变量为正整数的函数xn f (n) , n Z , 函数值按自变量n从小到大排成一列，表示为：
第四节数列的极限与函数的极限
lim f ( x ) A.
定义4 如果当 | x | 无限增大时， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于无穷 大时的极限，记作
lim f ( x) A.
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x x
x
定义5 如果当 x 无限接近 于 x0 时（x0 除外），恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时 的极限，记作
x x0
lim f ( x) A.
定义6 如果当 x 从 x0 的右 侧无限接近于 x0 时（x0 除外）， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时
例2
Байду номын сангаас
解 当 x 1 时， x 2 3.从而 3
x 1
lim(3x 2 x 1) 3.
§4 数列与函数的极限 一 数列的极限 数列定义 按照某一规则，
n N ，对应一个确 对于每一个
定的实数 un ，这些实数 un 按照 下标 n 从小到大排列得到的一 个序列 u1, u2 ,, un , 称为数列， 记为 {un } 。
下面我们观察两个数列： 1 1 2 3 1 u n 1 : 0, , , , ,1 , n 2 3 4 n
的右极限，记作
x x0
lim f ( x) A.
定义7 如果当 x 从 x0 的左 侧无限接近于 x0 时（x0 除外）， 恒有 | f ( x) A | . （ 是任意小的正数），则称常 数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋于 x0 时 的左极限，记作
数列极限与函数极限
数列极限与函数极限数列极限与函数极限一、数列极限在数学分析中，数列是一组按照一定规律排列的数。
当数列中的数随着下标的增加趋近于某个确定的值，这个确定的值就叫做该数列的极限。
例如，数列{1, 1/2, 1/3, ... , 1/n}当n趋近于正无穷时，其极限为0。
数列极限的概念具有广泛的应用。
在微积分、实分析和复分析等领域，数列极限是基础性的概念。
我们可以通过研究数列极限性质，研究数学中最基本的概念和问题，如无穷级数、函数极限等。
二、函数极限与数列极限类似，函数极限也是数学分析中的重要概念。
当自变量x趋近于某个确定的值时，函数f(x)的值也随之趋近于某个确定的值，这个确定的值就叫做该函数的极限。
例如，当x趋近于0时，f(x) = 2x的极限为0。
函数极限的研究能使我们更好地理解和准确描述各种自然现象和科学实验。
高等数学中的导数和积分等概念都与函数极限密切相关。
三、函数极限和数列极限的联系函数极限和数列极限是大量数学理论的基础，这两者之间也存在着联系。
我们知道，当自变量x取无穷大或无穷小时，函数的极限可能存在，也可能不存在。
在这些无穷大或无穷小的情况下，函数极限可以用数列极限来表示。
具体来说，当x趋近于正无穷时，我们可以通过构造数列{f(x1), f(x2), f(x3), ...}，其中x1<x2<x3<...，使得该数列趋近于函数的极限L。
同理，当x趋近于负无穷时，我们也可以通过类似的方法得到函数极限。
此外，函数的导数和积分等重要概念也可以通过数列极限的思想表示和求解。
四、结语数列极限和函数极限是数学中极其重要的概念，无论在实际应用还是理论研究中都起着举足轻重的作用。
熟练掌握数列极限和函数极限的概念和性质，对于学习高等数学以及其他数学分支学科都有很大的帮助。
数列极限与函数极限
例 5 计算 lim sin 2 x . x→0 → 解 令 u = 2x , 则函数 y = sin 2 x 可视为由
如果一个数列没有极限, 就称该数列是发散 发散的 如果一个数列没有极限 就称该数列是发散的. 常读作: 趋于无穷大时, 注: 记号xn → a( n → ∞ ) 常读作 当 n 趋于无穷大时
xn 趋于 a .
下列各数列是否收敛, 若收敛, 例1 下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出 其收敛于何值. 其收敛于何值
数列的极限 按 一定次序排列的无穷多个数
x1 , x2 ,L, xn ,L
称为无穷数列, 简称数列 数列. 称为无穷数列 简称数列 可简记为{xn }. 其中的每 个数称为数列的项, xn 称为通项 一般项 称为通项 一般项). 通项(一般项 个数称为数列的项 数列可看作数轴上一个动点, 注: (1) 数列可看作数轴上一个动点 它在数轴上 依次取值
lim f ( x ) = A 或 f ( x ) → A)( x → x0 ). x→ x
0
试根据定义说明下列结论: 例5 试根据定义说明下列结论:
(1) x→ x x = x0 ; lim
0
( 2) x→ x C = C (C为常数 ). lim
0
显然, 解 (1) 当自变量 x 趋于 x0 时, 显然, 函数 y = x 也趋于 x0 , 故
n +1
} 无休止地反复
取1、 1 两个数, 而不会无限接近于任何一个确 − 两个数,
定的常数, 故该数列是发散的; 定的常数, 故该数列是发散的; (4) 数列 n − 1 即为
n 1 , 2 , 3 ,L , n − 1 ,L 0, 2 3 4 n 易见, 易见, 当 n 无限增大时, n − 1 无限接近于 1 , 无限增大时, n 故该数列收敛于 1 .
函数的24种极限总结
函数的24种极限总结极限是微积分的核心概念之一，它在数学和物理等学科中具有重要的应用价值。
本文将对24种极限进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、极限的基本概念极限是指当自变量趋于某一特定值时，取值逐渐接近于一个确定的值。
可以用数列逼近的思想进行理解。
极限常用的符号表示是“lim”。
二、一元极限1.常数函数极限常数极限是其本身的值，即 lim(a) = a。
2.幂函数极限幂极限取决于指数的大小关系。
当指数小于1时，函数趋于无穷大；当指数等于1时，函数趋于1；当指数大于1时，函数趋于有限值或无穷大。
3.指数函数极限指数极限是通过不同的底数和指数，对数值进行无穷逼近得到的。
例如，底数为e时，指数极限是e；底数为2时，指数极限是2。
4.对数函数极限对数极限是自然对数的极限。
当自变量趋于无穷大时，对数极限趋近于无穷大。
5.三角函数极限三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。
对于正弦函数和余弦函数，它们的极限是区间[-1,1]内的一系列值。
6.反三角函数极限反三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。
对于正切函数和余切函数，它们的极限不存在；而对于正割函数和余割函数，它们的极限是一系列值。
7.指数对数函数极限指数对数极限取决于底数和自变量之间的关系。
当自变量趋于无穷大时，指数对数极限趋近于无穷大。
8.复合函数极限复合极限是通过两个或多个极限运算得到的。
根据复合特性，可以通过分解成多个简单函数，再对每个极限进行计算。
三、多元极限9.二元函数极限二元极限是自变量趋于某个点时，取值逐渐接近于一个确定的值。
常用的符号表示是“lim(f(x,y))”。
10.多元函数序列极限多元函数序列的极限是对每个变量的极限进行运算得到的。
可以通过求极限的方法，得到多元极限。
11.多元孤立点多元孤立点是指在某个点上极限值不存在或无法确定的情况。
针对这种情况，需要进行特殊处理或进行极限的推导。
四、变限积分的极限12.定积分极限定积分的极限是指当积分区间的长度趋于无穷大时，函数在区间上的取值逐渐接近于极限值。
数列函数极限和函数连续性
数列、函数极限和函数连续性数列极限定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞=，或()n a a n →→+∞.这时，也称{}n a 的极限存在.定义2（A N -语言）：若0A >,∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞，记作lim n n a →+∞=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限，对于,-∞∞的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有()()lim lim lim ,lim lim lim .n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列，且有lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（∞Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且lim n n x →+∞=+∞（注意：不必lim n n y →+∞=+∞）.如果11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），则 11limlim.n n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-定理1.2.3'（00Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=.若11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞）， 则 11limlimn n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-.定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞=，则（1）12 (i)nn a a a a n→∞+++=，（2）若()01,2,...n a n >=，则12lim ...n n n a a a a →∞=.定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时，有 n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.定理1.2.6（归结原则）设f 在()0;U x δ' 内有定义.()0lim x xf x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U x δ' 且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等.数列极限的求法2.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子. 例2.1.1 求lim n n a →∞，其中0a >.解：lim 1n n a →∞=.事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11n a α=-，则0α>. 由()11111nn a n n a αα⎛⎫=+≥+=+- ⎪⎝⎭,得 111n a a n--≤. （5）任给0ε>，由（5）式可见，当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<.即11n a ε-<.所以lim 1n n a →∞=.对于01a <<的情况，因11a>，由上述结论知1lim1nn a→∞=，故11lim lim111/n nn n a a→∞→∞===.综合得0a >时，lim 1n n a →∞=.例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.证明：由lim n n a a →∞=，则0ε∀>，存在10N >，使当1n N >时，有/2n a a ε-<, 则()111211...1......nN N n a a a a aa a a a a a ann++++-≤-++-+-++-.令11...N c a a a a =-++-，那么121 (2)na a a n N c a nnn ε+++--≤+⋅.由lim0n c n→∞=，知存在20N >，使当2n N >时，有2c n ε<.再令{}12max ,N N N =,故当n N >时，由上述不等式知121 (2)222na a a n N a nn εεεεε+++--≤+⋅<+=.所以 12 (i)nn a a a a n→∞+++=.例 2.1.3 求7lim!nn n →∞.解：7lim0!nn n →∞=.事实上，7777777777771......!127817!6!n n n n n n=⋅⋅⋅≤⋅=⋅-.即77710!6!nn n-≤⋅.对0ε∀>，存在7716!N ε⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，便有77710!6!nn nε-≤⋅<，所以7lim0!nn n →∞=. 注：上述例题中的7可用c 替换，即()lim00!nn cc n →∞=>.2.2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法. 例2.2.1 求11101110 (i)...mm m m k k n k k a n a n a n a b n b nb n b ---→∞-++++++++,其中00m k m k a b ≤≠≠，，.解：分子分母同乘k n -，所求极限式化为1111011110 (i)...m km kkkm m kkn k k a na na na nb b nb n b n---------→∞-++++++++.由()lim 00n n αα-→∞=>，知，当m k =时，所求极限等于m ma b ；当m k <时，由于()00m k n n -→→，故此时所求极限等于0.综上所述，得到 11101110, (i)....0,mm m m m m kk n k k a k m a n a n a n a b b n b nb n b k m ---→∞-⎧=++++⎪=⎨++++⎪>⎩例2.2.2 求lim1nnn aa →∞+，其中1a ≠-.解: 若1a =，则显然有1lim12nn n aa →∞=+；若1a <，则由lim 0n n a →∞=得()lim lim /lim 101nnnnn n n aa a a →∞→∞→∞=+=+；若1a >，则11limlim111101nnn n naa a→∞→∞===+++.2.3 夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.解：因为()()()()2224412121212121n n n n n n n n =>-=+--=-⋅-，， 所以()()13211332121102421335212121n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅-<<⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅++.因 1lim021n n →∞=+，再由迫敛性知()()1321lim242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅.例2.3.2 求数列{}n n 的极限.解： 记1n n n a n h ==+，这里()01n h n >>，则 ()()2112n nn n n n h h -=+>,由上式得 ()2011n h n n <<>-，从而有21111n n a h n ≤=+≤+- , （2）数列211n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是收敛于1的，因对任给的0ε>，取221N ε=+，则当n N >时有2111n ε+-<-.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得lim 1n n n →∞=.例2.3.3 设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：lim0k nn n a→∞=.事实上，先令1k =，把a 写作1η+，其中0η>.我们有 ()()()22201111...2nnn nn n n an n ηηηη<==<--++++.由于()()22lim021n n n η→∞=≥-，可见n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小.据等式()1/kk nnk n n aa ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，注意到1/1ka>，由方才所述的结果()1/nk na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是无穷小.最后的等式表明，k n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可表为有限个（k 个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 lim0k nn n a→∞=.2.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子. 例2.4.1 求例2.1.3注解中的()lim00!nn cc n →∞=>.解：()lim00!nn cc n →∞=>.事实上，令*!nn cx n N n =∈，.当n c ≥时，()11n nn cx x x n +=≤+.因此{}n x 从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限lim n n x x →∞=存在，在等式()11n ncx x n +=+的等号两边令n →∞，得到00x x =⋅=,所以{}n x 为无穷小.从而()lim00!nn cc n →∞=>.例2.4.2 求极限lim 333n →∞⋅⋅⋅（n 个根号）.解：设3331n a =⋅⋅⋅>，又由133a =<，设3n a <，则13333n n a a +=<⨯=. 因13n n n a a a +=>，故{}n a 单调递增. 综上知{}n a 单增有上界，所以{}n a 收敛. 令lim 13n n a a a →∞=≤≤，，由13n n a a +=， 对两边求极限得3a a =，故3a =. 2.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求lim n n a →∞.解：先求lim xx a →∞，因ln ln lim1/0lim lim lim 1x aa xxxxx x x a aee e →∞→∞→∞→∞=====,再由归结原则知lim 1n n a →∞=.例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求lim n n n →∞.解：先求limxx x →∞.因ln ln limlimlim 1x xx xxxx x x ee e →∞→∞→∞====，再由归结原则知lim 1n n n →∞=.例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：先求limk xx x a→∞.因()1!limlim (i)ln ln kk kxxxx x x xkxk a a aaa -→∞→∞→∞====（由洛比达法则），再由归结原则知lim0k nn n a→∞=.2.6 定积分定义法通项中含有!n 的数列极限，由于!n 的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.例2.6.1 求!limnn n n→∞.解：令!nn y n=，则11ln lnni i y nn==∑.而()++110011lim ln limlnln lim ln lim1ln 1nn n i i y xdx xdx nnεεεεεε→∞→∞→→=====---=-⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰,也即ln lim 1n y →∞=-，所以1!lim limnn n n y en-→∞→∞==.例2.6.2 求极限2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解：因为22sinsin...sin sinsinsin (111)12nnn n n n n n nππππππ+++<+++++++2sinsin...sin 1nnn nπππ+++<+，2sin sin...sin 12limlimsin sin ...sin 1112lim sin sin ...sin n n n nnn n n n n n n n n πππππππππππππ→∞→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sin xdx πππ==⎰，类似地2sinsin...sin lim 1n nnn nπππ→∞++++22122limsin sin ...sin 1n nn nn n ππππππ→∞⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++=⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由夹逼准则知2sin sin sin 2lim ...1112n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝⎭ .注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz 公式法Stoltz 公式，11limlim.n n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-在求某些极限时非常方便，尤其是当1nn kk y a ==∑时特别有效.例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.证明：前面用N ε-定义法证明，现用Stoltz 公式证明. 令12...,n n n y a a a x n =+++=，则由Stoltz 公式得到()()()1212121 (i)......lim 1nn n n n a a a na a a a a a n n →∞-→∞++++++-+++=--limlim 1n n n n a a a →∞→∞===.例2.7.2 求112...lim kk kk n nn+→+∞+++.解： ()11112 (i)lim1kkkkk k k n n nn nnn +++→+∞→+∞+++=-- （Stoltz 公式）＝()112111lim...1kk kk n k k nCn Cn+-→+∞++-+-- （二项式定理）＝11111k C k +=+.2.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz 公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多**nn，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. 例2.8.1 同例2.1.1一样求lim n n a →∞，其中0a >. 解：令123,...1n a a a a a =====,由定理1.2.4（2）知lim lim 1n n n n a a →∞→∞==.例2.8.2 同例2.3.2一样求lim n n n →∞.解：令()112,3, (1)n n a a n n ===-，,由定理1.2.4（2）知lim lim lim11n n n n n n n a n →∞→∞→∞===-.例2.8.3 同例2.6.1相似求lim!nn n n →∞.解：令()111nnn nn a n n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则()12312231234123nn nn a a a n+⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝()()11!!nnnnn n nn n n++=⋅.所以121!n n nnn a a a nn +⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，也即121!nn nnn a a a n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，而由定理1.2.4（2）知121lim lim lim 1nnn n n n n a a a a e n →∞→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅==+= ⎪⎝⎭.故12limlimlim11!nn nn n n n n n a a a e e n n n →∞→∞→∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=++.例2.8.3 求3123 (i)nn nn→∞++++.解：令(),1,2,3...n n a n n ==，则由定理1.2.4（1）知 3123 (i)lim lim1nnn n n n na n n→∞→∞→∞++++===.2.9 级数法若一个级数收敛，其通项趋于0（0n →）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想. 例2.9.1 用级数法求例2.1.3注()lim0!nn cc n →∞>.解：考虑级数!ncn ∑，由正项级数的比式判别法，因()1lim/lim011!!1n nn n ccc n n n +→∞→∞==<++，故级数!ncn ∑收敛，从而()lim00!nn cc n →∞=>.例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：考虑正项级数k nn a∑，由正项级数的比式判别法，因()11111lim/lim 1kkkn n n n n nn aa a n a+→∞→∞++⎛⎫=⋅=< ⎪⎝⎭， 故正项级数knn a∑收敛，所以lim0k nn n a→∞=.例2.9.3 求极限()()222111lim ...12n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.解： 因级数211n n∞=∑收敛，由级数收敛的柯西准则知，对0ε∀>，存在0N >, 使得当n N >时，21221111nn k k kkε-==-<∑∑，此即()()222111...12nn n ε+++<+，所以()()222111lim ...012n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 例2.9.4 求极限()212lim ...1n n n a aaa →∞⎛⎫+++>⎪⎝⎭. 解：令1x a=，所以1x <.考虑级数 1n n nx ∞=∑，因为()111limlim1n n nn n nn x a x a nx++→∞→∞+==<，所以此级数收敛.令 ()1nn s x nx ∞==∑，则()11n n s x x nx∞-==⋅∑.再令()11n n f x nx∞-==∑，()1111x x n nn n x f t dt ntdt xx∞∞-=====-∑∑⎰⎰.所以()()2111xf x xx '⎛⎫==⎪-⎝⎭-. 而 ()()()()122111xas x x f x x a --=⋅==--,所以()()122112lim ...1n n n a s x a a a a -→∞-⎛⎫+++== ⎪⎝⎭-.2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子.例2.10.1 求()22lim sin n n n π→∞+.解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性. ()()2222lim sin lim sin n n n n n n n πππ→∞→∞+=+-＝222lim sin lim sin111n n n n n nn ππ→∞→∞=++++＝2sin 12π=.例2.10.2 设21101222n n a cc c a a +<<==+，，,证明：{}n a 收敛，并求其极限.解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 ()0,1,2...n a c n <<=. 事实上,102c a c <=<.假设01n a c <<<，则2210222222n n a c c cc c a c +<=+<+<+=.令()222c xf x =+，则()f x x '=.()()()111n n n n n n a a f a f a f a a ξ+--'-=-=⋅-＝11n n n n a a c a a ξ--⋅-<-， （1）其中ξ介于n a 和1n a -之间.由于01c <<,再由（1）式知{}n a 为压缩数列，故收敛.设lim n n a l →∞=,则2c l c ≤≤.由于2122n n a c a +=+，所以 22,2022c ll l l c =+-+=.解得11l c =+-（舍去），11l c =--. 综上知lim 11n n a c →∞=--.注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.函数极限一、函数极限的定义定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作+∞→x lim f(x)=a 或f(x)→a(x→+∞)。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系数列其实是一种特殊的函数，所以，在定义上，数列的极限和函数的极限极为相似，因而他们具有相类似的性质。
要想完美解答两者所涉及的问题，必须深刻理解两者的定义，不妨对比一下二者的定义，列举一下两者的性质以及两者的判别法则~这有助于加深记忆~ 数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。
1、例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。
2、数列可以看作是定义在正整数集上的函数，即看作是函数的特例，这样数列的极限也就可以归入函数的极限。
例如函数arctan(1/x)当x趋向于1时的极限是π/4，那么对于任何一个以1为极限的数列a(n)，当n趋向于∞时，arctan[1/a(n)]的极限一定都是π/4;但是反过来则不然，例如还是这个函数，数列{1/n}的极限为0，当n趋向于∞时，arctan[1/(1/n)]=arctan(n)极限是π/2，我们不能说当x趋向于0时，这个函数的极限是π/2，事实上数列{-1/n}的极限也是0，但当n趋向于∞时，arctan[1/(-1/n)]=arctan(-n)极限是-π/2，即函数arctan(1/x)当x趋向于0时，极限是不存在的。
函数极限与数列极限的关系
函数极限与数列极限的关系
函数的极限可以是自变量从左右趋向于某一值时的函数值极限，或者自变量趋向于无穷时的极限。
但数列的极限不同。
可以将数列看做特殊的函数，定义域为全体正整数集合（N+），是一个在零到正无穷上不连续的函数，设数列的项为an=f(n)，因此，可以将数列的极限看做当自变量趋向于正无穷时的函数的极限，数列的极限也可以用函数的极限来运算得到。
lim n→∞an=lim n→∞f(n)
所以，用来计算函数极限的方法也可以用来计算数列的极限，如洛必达法则，等价无穷小的替换，间接计算等等。
a n=f(a n-1)形式计算方法：
设数列的极限为A .则lim n
→∞a n=A，此时A=f(A),带入计算求得极限。
数列极限的性质：1.若数列{an}的极限值存在，则极限值唯一
2.改变数列有限项，不改变数列的收敛与极限值
数列极限的本质：设数列的极限为a，当n>N时an∈（a-ε，a+ε），即|an-a|<ε.。
函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
e
1 z
说明: 此极限也可写为 lim (1 z ) e
z 0
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例6. 求 解: 令 t x , 则
t t lim (1 1 ) t
lim
1
t
说明 ：若利用 lim (1 (1x ) ) ( x ) e , 则
( x )
) lim f ( xn ) lim f ( xn
n
(2) 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 2. lim x sin ____ ; 1 x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
1 1 n e ; 4. lim (1 ) ____ n n
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x 0
2 x 2 2
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例2. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
例3. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
法2 找两个趋于
n
, 使 的不同数列 xn 及 xn
n
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) lim f ( xn ) lim f ( xn
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n 2n 2
数列极限 函数极限
数列极限函数极限介绍如下：
1.数列极限
1.定义：对于数列{an}，如果当n→∞时，an趋于某个常数a，则称数列{an}收敛于a。
2.性质：
1.唯一性：如果数列{an}收敛，则其极限值是唯一的。
2.有界性：如果数列{an}收敛，则它是有界的。
3.收敛数列的子序列也收敛到相同的极限。
2.函数极限
1.定义：对于函数f(x)在x→a的过程中，如果f(x)趋于某个常数L，则称函数f(x)在x→a时有极限L。
2.性质：
1.唯一性：与数列类似，函数极限也是唯一的。
2.有界性：如果函数f(x)在x→a时有极限，则存在一个正数δ使得当0<∣x−a∣<δ时，f(x)是有界的。
3.局部保号性：如果f(x)在x→a时有极限L，且L>0，则存在δ>0使得当0<∣x−a∣<δ时，f(x)>0。
3.关系
1.数列是离散的函数，而函数可以是离散的或连续的。
因此，数列极限和函数极限有一些共通之处，但也有其独特之处。
数列函数的极限
contents
目录
• 数列函数极限的定义 • 数列函数极限的性质 • 数列函数极限的计算方法 • 数列函数极限的应用 • 数列函数极限的注意事项
01
数列函数极限的定义
定义
极限的定义
对于任意给定的正数$varepsilon$， 存在一个正整数$N$，使得当$n>N$ 时，有$|f(n) - L| < varepsilon$，其 中$L$是常数，称为数列函数的极限。
详细描述
极限的连续性是数列函数极限的一个重要性质。它表明，当n趋于无穷大时，数列函数 的极限值等于该函数在某一点的极限值。这一性质在研究函数的极限行为和性质时非常
重要，是函数连续性的基础。
03
数列函数极限的计算方 法
代数法
代数法是计算数列函数极限的一种基 本方法，通过将数列函数进行化简， 将其转化为更易于计算的形式，从而 求得极限。
极限的运算顺序
极限的运算顺序
在计算数列函数的极限时，需要注意运算的顺序。有些 复杂的数列函数包含多个变量和运算符，需要按照一定 的顺序进行运算，以确保结果的准确性。
举例
考虑数列函数$f(x,y) = frac{xy}{x+y}$，在计算该函数的 极限时，需要先对$x$和$y$分别取极限，然后再进行运算。 如果先进行除法运算，会导致结果不准确。因此，在计算 数列函数的极限时，需要遵循正确的运算顺序。
等。
05
数列函数极限的注意事 项
初始值问题
初始值问题
举例
在计算数列函数的极限时，需要注意初始值 的影响。有些数列函数在初始阶段呈现出较 大的波动，随着项数的增加会逐渐趋于稳定。 因此，在计算极限时，需要充分考虑初始值 对结果的影响。
数列函数的极限
4
【解题回想】常见的不定型尚有“0/0”，“０·∞”，“∞-∞” 等. 对这些状况都应根据具体条件先进行转化.
5. 一动点由坐标平面的原点出发，向右移动1个单位到 A1(1,0)，然后向上移动1/2个单位到A2(1，1/2)，后来 按左、下、右、上…方向移动，每次移动的长度为前 一次移动长度的二分之一，求动点的极限位置与原点 的距离
③ lim x x0
f x
f x0
7. 无穷递缩等比数列的各 项和为
lim
n
Sn
a1 1-q
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课前热身
1. (1) lnim
n2 3 n1
n
____-_1______
- 1 n1 3n
(2) lim n
- 2 n2 3n-1
_____3______
2.
lim
x -2
x3 3x2 2x x2 - x -6
x x0
lim f x gx a b
x x0
lim f x gx a b
x x0
lim
x x0
f x gx
a b
b
0. 这些法则对于x
时的情况
仍然成立.
2. 如果
lim
n
an
a，lim n
bn
b，那么
lim
n
an
bn
a
b
lim
n
an
bn
a
b
lim an a b 0
b n n
事实上：lim n
qn
0 q
1 q
1
1就是该极限的结果.
当然
在这儿还有另一种错误也容易出现，那就是有的同学 认为可以取-1，希望这些不全面的认识都能避免
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称此常数为数列的极限。
1
极限的定义
如果对于任意给定的正数 0 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,
不等式
xn a
都成立 ,则称 数列 xn 收敛于 a ,常数 a 称为数列 xn
的极限 ,
记为lim n
xn
a,或xn
a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
0
说明 (1) 给定后， 的选择并不唯一， 依赖于 x0 与 。
(2) 此极限的定义中，0 | x x0 | ，指出 x x0，有两层含义：
I. x0 可以不在 f ( x) 的定义域内； II. x0 可以属于 f ( x) 的定义域，但此时极限值与 f ( x) 在 x0
处的函数值无关。
第二 章 极限与连续
§2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 §2.3 极限的运算法则和存在准则 §2.4 无穷小与无穷大 §2.5 函数的连续性 §2.6 闭区间上连续函数的性质
一. 数列
§2.1 数列的极限
定义 按照一定顺序排成的一 列实数
x1, x2 , x3 , , xn ,
称为数列，记为 { xn}．其中 xn 称为第 n 项或通项， 通项 xn 的表达式称为通项公式．
例如 (1) 2, 4, 8, ,2n, 表示为{2n}； 通项 xn 2n；
(2)
1,
1 2
,
1 3
,
,
1 n
,
(3) 0, 1, 0, 2,,0, n,
{ 1 }； n
xn
1； n
{ xn}； xx22kk1k，0，k 1, 2,
整标函数 数列是定义在正整数集 N 上的一个函数， 若记此函数为 f (n)，并记 xn f (n), 则数列即为 x1 f (1), x2 f (2), , xn f (n),. 记为 { xn}．
注. (i) 具有任意性； (ii) 正整数 N 依赖于 .
数列极限的几何 意义
y
a a
a
lim
n
xn
a，
12345 N n
x
现象：数列{ xn}最多只有有限项不在 a的 邻域内。
§2.2 函数的极限 2.2.1 自变量趋向无穷大时函数的极限
自变量趋向无穷大的方式有三种 （1）x + 表示 x 沿 x 轴正向趋向无穷远； （2）x 表示 x 沿 x 轴负向趋向无穷远处； （3）x 表示 | x |→ + .
数列的几何表示 xOy坐标面上一列以正整数为横坐标的点： (1, x1 ), (2, x2 ), , (n, xn ),
y
1234
n
x
定义 (1) 如果数列 { xn } 满足 x1 x2 xn ,
则称数列 { xn } 是单调增加数列；
（2）如果数列 { xn } 满足 x1 x2 xn ,
则称数列 { xn } 是单调减少数列．
单调增加数列与单减少数列统列统称为单调数列。
注：如果 xn xn1 ( Байду номын сангаасn xn1 )，则称数列为严格单调增加 (减少)数列。
定义 对于数列 { xn}，若能找到一个数 M 0， 使对一切 n 恒成立 | xn | M，称 { xn} 为有界数列， 数 M 即为其一个界．
问题:如何描述 函数 y f ( x)在 x 的过程中, 对应的函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
y sin x x
通过上面演示实验的观察: 当 x 无限增大时 , f ( x) sin x 无限接近于 0. x
问题 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
定理1 lim f ( x) A x
水平渐近线
lim f ( x) A 且 lim f ( x) A.
x
x
若有 lim f ( x) A，或 lim f ( x) A，或 lim f ( x) A,
x
x
x
则称直线 y A 为曲线 y f ( x) 的水平渐近线.
2
2.2.2 自变量趋向有限值时函数的极限 自变量 x 趋向于 x0 的方式有三种：
（1）x →x0：表示 x 以任意方式趋向于x0，即 x x0 0
（2）x →x0+：表示 x 以 x > x0 的方式趋向于x0. （3）x →x0：表示 x 以 x < x0 的方式趋向于x0.
问题 :如何描述 在 x x0 的过程中 ,对应函数 值 f ( x)无限 趋近于 确定值 A.
1. 函数极限定义
设 f ( x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义 ，A 为实数，
若 0， 0，当 0 | x x0 | 时，有 | f ( x) A | ，
则称 A 为 f ( x) 当 x x0 时的极限，记为
lim f ( x) A 或
xx
f ( x) A ( x x0 )
x
几何解释 0， X 0，当 | x | X 时，
对应的函数值落在 y A 与 y A 之间。
A
X
y f (x)
y
0
Xx
另两种情形: 10. x 情形 : lim f ( x) A
x
0, X 0, 使当 x X 时, 恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x 0, X 0, 使当 x X 时, 恒有 f ( x) A .
不是有界的数列称为 无界数列．
例如 {(1)n} 是有界数列.
例1
证明 ：数列
xn
n (1)n1 n
是有界数列.
解
由于
xn
n (1)n1 n
1 (1)n1 n
2
M
所以数列 { xn } 是有界数列.
二. 数列极限
观察：
{1 1} n
n
1
sin n { 2}
n
0
n
结论：当n ，数列的项趋近于一个常数。
定义 设 f ( x) 在 (, a) (a, ) (a 0) 内有定义， 若存在常数 A， 0， 正数 X a， 当| x | X 时, 成立 | f ( x) A | ，则称 A 为 f ( x) 当 x 时的极限， 记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x )。
2. 单侧极限 例如 考虑 f ( x) | x | 当 x 0 时的极限。 x 当 x 0 时，f ( x) 1，此时 x 0 时极限为 1；
当 x 0 时，f ( x) 1，此时 x 0 时极限为 1。