3~~4 微分方程方法建模
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草地积水量的改变量＝ Q(t ) A
rAt aQ(t ) At , 0t c 流入量－流出量 ＝ aQ(t ) At bQ(t ) At , t c
t 0
dQ(t ) r aQ(t ) , 0t c aQ(t ) bQ(t ) , t c dt Q(0) 0
0.0015t
Q(t ) 0.124e
t 1800
(3)
（3）式能预测雨停后草 地中水是如何随时间变化 减少的
Department of Mathematics HUST
3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
模型求解
本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为何值时使得 Q(t1)=0。而由(3)式可知,当 t 趋于无穷大时,Q(t)趋于 零，所以这样的t1是不存在的。 但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％ 就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10% Q (1800)即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令t1 满足(3)式，得
Department of Mathematics
HUST
3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
问题分析
开始时 下雨时 若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度 持续c小时
草地积了h厘米高的水量 草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变
导数意义的陈述 体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
Department of Mathematics HUST
3.1.1 人的体重
Mathematical Modeling
2012
模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
w(t t ) w(t ) 体重的变化/天＝ (公斤/天) t
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2012
3.2 草地水量模型
问题陈述
草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水; 雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。 由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
2012
3.1 微分方程建模 3.1.1 人的体重
3.1.2 常微分方程建模基本准则
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2012
3.1.1 人的体重
问题
研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤· 天）乘以他的体重(公斤)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
)
0 t 1800
Q(1800 0.00835 )
Department of Mathematics
HUST
3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
模型求解
t 1800 时
dQ (103 5 104 )Q(t ) dt Q(1800 0.00835 )
3.1.1 人的体重
Mathematical Modeling
2012
进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出 输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天) ＝5429(焦/天) 输出＝进行健身训练时的消耗 运动消耗/天＝69焦(/公斤· 天)×w(t)(公 斤)
两边的物理单位量纲一致，令
t 0
t 0
dw 1300 16 w dt 10000
lim
w(0) w0
HUST
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3.1.1 人的体重
Mathematical Modeling
2012
模型求解
dw(t ) dt 1300 16w(t ) 10000
1300 1300 16w0 w(t ) ( ) exp(16t /10000) 16 16
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3.1.1 人的体重
Mathematical Modeling
2012
模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终 趋于一种平稳的值 1300 (公斤)
0.0835 10% 0.124e
0.0015t1
t1 3334秒
雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水 量降到最大值5%, 需要大约33分钟可以恢复比赛。
Department of Mathematics HUST
Mathematical Modeling
2012
3.3 传染病模型 模型1 (简单模型) 模型2 (SI模型) 模型3（SIS模型）
r h / c 105 米/秒
为方便直接给出a=0.001/秒, b=0.0005/秒,将所取数 值代入(2)式整理方程，得
dQ 105 103 Q(t ) , 0 t 1800 3 10 Q(t ) 5 104 Q(t ) , t 1800 dt
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨 后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
Department of Mathematics HUST
3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
模型假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。 2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度； 3．降雨速度为常数。
分离变量法
16 ln t 1300 16 w(0) 10000 1300 16 w(t )
d(16w(t )) 16dt 1300 16w(t ) 10000
0到t 1300 16w(t ) 1300 16w(0) exp(16t /10000) 积分
) 1300 16w(t ) (1300 16w0 ) exp(16t / 10000
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3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012ຫໍສະໝຸດ Baidu
模型求解
dQ 0 t 1800 时 105 103 Q(t ) dt Q(0) 0
Q(t ) 0.01(1 e
0.001t
Department of Mathematics
HUST
3.1.2 常微分方程建模基本准则
Mathematical Modeling
2012
常微分方程建模应符合下面基本准则：
建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x 表达式
Department of Mathematics
HUST
3.1.1 人的体重
Mathematical Modeling
2012
问题分析
体重w
时间t 函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率” “导数”
微元法
Department of Mathematics HUST
t 0 即得到
dx 的表达式 dt
单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。
Department of Mathematics
根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
Department of Mathematics HUST Department of Mathematics HUST
Mathematical Modeling
16
即t
,
w平稳 1300 (公斤) 81.25(公斤) 16
Department of Mathematics
HUST
3.1.2 常微分方程建模基本准则
Mathematical Modeling
2012
常微分方程建模应符合下面基本准则：
翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数； 转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变 率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等； 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入率－输出率
＝ w / t（公斤/天） 将两单位换算成统一形式：
公斤/天＝
焦/天
41868焦/公斤
Department of Mathematics
HUST
3.1.1 人的体重
Mathematical Modeling
2012
模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w 5429 （焦 / 天） 69 w （焦 / 天） (公斤 / 天） t 41868焦 / 公斤
Mathematical Modeling Mathematical Modeling
2012 2008
3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 分析所研究对象特征的变化规律 预报所研究对象特征的未来性态
研究控制所研究对象特征的手段
微分方程建模方法
流出量(渗透、蒸发过程)
由此本模型应遵循下面的模式： 草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
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3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
模型建立
A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 b 单位时间内单位水量的蒸发量 t, t t 时间内(1)式各量的描述:
HUST
(2)
Department of Mathematics
3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
模型求解
注
若给出有关草地进水足够信息，就可由(2)式求出Q(t)； 参数a, b可以通过参数辨识方法得到。
数值计算：不妨假设降雨半小时, 即c=1800秒, 此时草 地积水深h=0.018米, 降雨速度在半小时
模型4（SIR模型）
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling Mathematical Modeling
2012 2008
3.3 传染病模型
问题
描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
Mathematical Modeling Mathematical Modeling
2012 2008
第三章
微分方程方法建模
3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型
Department of Mathematics HUST Department of Mathematics HUST
HUST
Mathematical Modeling
2012
3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪 的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停 之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空 气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程， 但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干， 能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.
rAt aQ(t ) At , 0t c 流入量－流出量 ＝ aQ(t ) At bQ(t ) At , t c
t 0
dQ(t ) r aQ(t ) , 0t c aQ(t ) bQ(t ) , t c dt Q(0) 0
0.0015t
Q(t ) 0.124e
t 1800
(3)
（3）式能预测雨停后草 地中水是如何随时间变化 减少的
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3.2 草地水量模型
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模型求解
本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为何值时使得 Q(t1)=0。而由(3)式可知,当 t 趋于无穷大时,Q(t)趋于 零，所以这样的t1是不存在的。 但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％ 就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10% Q (1800)即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令t1 满足(3)式，得
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3.2 草地水量模型
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问题分析
开始时 下雨时 若草地是干的，即Q(0)=0。
r米/秒降雨速度 持续c小时
草地积了h厘米高的水量 草地水量的改变
水的流入量（降雨过程） 流出量（渗透过程）
停雨后 草地水量的改变
导数意义的陈述 体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天
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模型建立
连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式
w(t t ) w(t ) 体重的变化/天＝ (公斤/天) t
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3.2 草地水量模型
问题陈述
草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续c小时, 雨在草地中聚积了h厘米高的水; 雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。 由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量Q, 它是时间t 的函数.
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3.1 微分方程建模 3.1.1 人的体重
3.1.2 常微分方程建模基本准则
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3.1.1 人的体重
问题
研究此人的体重随时间变化的规律
某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/ 公斤· 天）乘以他的体重(公斤)。 假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效， 而1公斤脂肪含热量41868焦。
)
0 t 1800
Q(1800 0.00835 )
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模型求解
t 1800 时
dQ (103 5 104 )Q(t ) dt Q(1800 0.00835 )
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进一步分析
由题意可知, “每天”体重变化应满足下面描述 体重的变化＝输入－输出 输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收
净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天) ＝5429(焦/天) 输出＝进行健身训练时的消耗 运动消耗/天＝69焦(/公斤· 天)×w(t)(公 斤)
两边的物理单位量纲一致，令
t 0
t 0
dw 1300 16 w dt 10000
lim
w(0) w0
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模型求解
dw(t ) dt 1300 16w(t ) 10000
1300 1300 16w0 w(t ) ( ) exp(16t /10000) 16 16
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模型解释
由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终 趋于一种平稳的值 1300 (公斤)
0.0835 10% 0.124e
0.0015t1
t1 3334秒
雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水 量降到最大值5%, 需要大约33分钟可以恢复比赛。
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3.3 传染病模型 模型1 (简单模型) 模型2 (SI模型) 模型3（SIS模型）
r h / c 105 米/秒
为方便直接给出a=0.001/秒, b=0.0005/秒,将所取数 值代入(2)式整理方程，得
dQ 105 103 Q(t ) , 0 t 1800 3 10 Q(t ) 5 104 Q(t ) , t 1800 dt
需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨 后多长时间t1 ，使Q(t1)=0。
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3.2 草地水量模型
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2012
模型假设
1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停 后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。 2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度； 3．降雨速度为常数。
分离变量法
16 ln t 1300 16 w(0) 10000 1300 16 w(t )
d(16w(t )) 16dt 1300 16w(t ) 10000
0到t 1300 16w(t ) 1300 16w(0) exp(16t /10000) 积分
) 1300 16w(t ) (1300 16w0 ) exp(16t / 10000
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3.2 草地水量模型
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模型求解
dQ 0 t 1800 时 105 103 Q(t ) dt Q(0) 0
Q(t ) 0.01(1 e
0.001t
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3.1.2 常微分方程建模基本准则
Mathematical Modeling
2012
常微分方程建模应符合下面基本准则：
建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式， 建立起在自变量时段 t上的函数x(t)的增长量 x 表达式
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3.1.1 人的体重
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2012
问题分析
体重w
时间t 函数w(t) , 连续可微
找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)
“变化率” “导数”
微元法
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t 0 即得到
dx 的表达式 dt
单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；
确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。
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根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程
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16
即t
,
w平稳 1300 (公斤) 81.25(公斤) 16
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2012
常微分方程建模应符合下面基本准则：
翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数； 转化：在实际问题中, 有许多表示导数的常用词，如“速 率”, “增长率”(在生物学、人口学问题研究中), “衰变 率”(在 放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等； 模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法： 1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 对某些实际问题直接列出微分方程； 2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式 改变率＝净变化率＝输入率－输出率
＝ w / t（公斤/天） 将两单位换算成统一形式：
公斤/天＝
焦/天
41868焦/公斤
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模型建立
由上述分析，体重w(t)满足下面关系式
w 5429 （焦 / 天） 69 w （焦 / 天） (公斤 / 天） t 41868焦 / 公斤
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3.1 微分方程建模
微分方程模型属于动态模型
描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程 分析所研究对象特征的变化规律 预报所研究对象特征的未来性态
研究控制所研究对象特征的手段
微分方程建模方法
流出量(渗透、蒸发过程)
由此本模型应遵循下面的模式： 草地积水量的改变量＝流入量－流出量 （1）
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3.2 草地水量模型
Mathematical Modeling
2012
模型建立
A （平方米）: 草地的面积 a 单位时间内单位水量的渗透量 b 单位时间内单位水量的蒸发量 t, t t 时间内(1)式各量的描述:
HUST
(2)
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3.2 草地水量模型
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2012
模型求解
注
若给出有关草地进水足够信息，就可由(2)式求出Q(t)； 参数a, b可以通过参数辨识方法得到。
数值计算：不妨假设降雨半小时, 即c=1800秒, 此时草 地积水深h=0.018米, 降雨速度在半小时
模型4（SIR模型）
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3.3 传染病模型
问题
描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
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2012 2008
第三章
微分方程方法建模
3.1 微分方程建模 3.2 草地水量模型 3.3 传染病模型 3.4 食饵-捕食者模型
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2012
3.2 草地水量模型
问题
草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪 的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停 之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空 气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程， 但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干， 能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.