北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2017 2018北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题含答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4D.10 3. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)， 4.“sin α=cos 2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是正视图侧视图俯视图A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，AD .点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()0180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A . ① B. ①② C. ①③ D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位A同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.P 21BCbbcac a cbC BA16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FT MN ； （Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分 （Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分 （Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠= ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D = ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E = ，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．又因为11A B AC ⊥，1BC A B B = , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA = ，()2,2,0AB = ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ACB B 1C 1A 1DE设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =- ，()2,0,0CB = ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --…………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号， 则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n nn n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。
2017-2018学年北京市朝阳区陈经纶中学高二(上)期中数学试卷(文科)
2017-2018学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．（5分）在空间直角坐标系中，空间点A（1，3，1），B（﹣1，2，0），则|AB|等于（）A．B．C．D．2．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣4x+3=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．5．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E6．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．7．（5分）直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段9．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F 分别是BC1、BD的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．（5分）已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（）A．当x=1时，存在某个位置，使得AB⊥CDB．当x=时，存在某个位置，使得AB⊥CDC．当x=4时，存在某个位置，使得AB⊥CDD．∀x＞0时，都不存在某个位置，使得AB⊥CD二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分11．（5分）若方程x2+y2﹣2ax+4y=5a表示圆，则实数a的取值范围是．12．（5分）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为．13．（5分）如图把椭圆+=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=．14．（5分）一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则该四棱锥的体积为，侧视图的面积为．15．（5分）“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度．降水量以mm为单位．为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为mm．16．（5分）在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，其中有可能成立的是．三、解答题：本大题共3个小题，共40分17．（12分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．直线l被圆C截得的弦长为．（1）求a的值；（2）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．19．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC=90°，PB=AC=2PA=4，O为AC的中点．（Ⅰ）求证：BO⊥PA；（Ⅱ）判断在线段AC上是否存在点Q（与点O不重合），使得△PQB为直角三角形？若存在，试找出一个点Q，并求的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．（5分）在空间直角坐标系中，空间点A（1，3，1），B（﹣1，2，0），则|AB|等于（）A．B．C．D．【分析】利用空间两点间距离公式的计算即可得出结果．【解答】解：∵点A（1，3，1），B（﹣1，2，0），则|AB|==．故选：A．【点评】熟练掌握空间两点间距离公式是解题的关键，是基础题．2．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣4x+3=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【分析】把第二个圆化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出圆心距d，根据d与R、r的大小比较发现，d=R﹣r，可得出两圆内切．【解答】解：由圆x2+y2=9，得到圆心A（0，0），半径R=3，由x2+y2﹣4x+3=0变形得：（x﹣2）2+y2=1，可得圆心B（2，0），半径r=1，∵两圆心距d=|AB|==2，∴d=R﹣r，则两圆内切．故选：C．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，圆与圆位置关系可以由d，R及r三者的关系来判定，当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．4．（5分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，故选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的基本性质．属基础题．5．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选：C．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．6．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；若俯视图为D，则正视图中上图中间还有一条虚线，故该几何体的俯视图不可能是D故选：D．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，考查空间想象能力，作图能力．7．（5分）直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，比较d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：由题设知圆心到直线的距离，而（a+b）2≤2（a2+b2），得，圆的半径，所以直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为相交或相切．故选：D．【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判别方法，是一道基础题．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段【分析】如图，BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，故点P 的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．【解答】解：如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴故点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．故选：A．【点评】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征，对依据图象进行正确分析判断线面的位置关系的能力要求较高．其主要功能就是提高答题者对正方体特征的掌握与空间几何体的立体感．9．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F 分别是BC1、BD的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】由已知条件中E、F 分别是BC1、BD的中点，则我们易得EF∥C1D，则经过直线C1D不经过直线EF的平面均与EF平行，逐一分析其它各个顶点，即可得到答案．【解答】解：由已知中，E、F 分别是BC1、BD的中点∴EF∥C1D则过正方体3个顶点的截面中平面ABB1A1，平面CC1D1D，平面AC1D，平面A1C1D，平面AD1B1与EF平行故选：C．【点评】本题考查的知识眯是空间直线与平面之间的位置关系，根据线面平行的判定定理分析出经过直线C1D不经过直线EF的平面均与EF平行，是解答本题的关键．10．（5分）已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（）A．当x=1时，存在某个位置，使得AB⊥CDB．当x=时，存在某个位置，使得AB⊥CDC．当x=4时，存在某个位置，使得AB⊥CDD．∀x＞0时，都不存在某个位置，使得AB⊥CD【分析】设BC=x，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，则CD⊥AC，从而可得x＞2，结合选项即可判断【解答】解：设BC=x∵BC⊥CD若存在某个位置，使得直线AB⊥CD垂直，则CD⊥平面ABC则CD⊥ACRt△ACD中，CD=2，AD=x，则由直角边小于斜边可知，AD＞CD，即x＞2结合选项可知只要选项C中x=4时，有符合条件的位置故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判断及性质的简单应用，属于基础试题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分11．（5分）若方程x2+y2﹣2ax+4y=5a表示圆，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞）．【分析】把圆的一般方程化为标准方程，根据半径大于零，求得a的范围．【解答】解：方程x2+y2﹣2ax+4y=5a，即（x﹣a）2+（y+2）2 =a2+5a+4，它若表示圆，则a2+5a+4＞0，解得a＜﹣4，或a＞﹣1，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．12．（5分）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为或．【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形，当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=；当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=，综上所求圆柱的体积是：或．故答案为：或；【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，容易疏忽一种情况，导致错误．13．（5分）如图把椭圆+=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=28．【分析】分别连结点F2与P1，P2，…P7七个点，利用对称性计算即得结论．【解答】解：F是椭圆的一个焦点，不妨令F为左焦点F1，则右焦点为F2，分别连结点F2与P1，P2，…P7七个点，易知当i+j=8时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，7}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，7}，∴2（|P1F|+|P2F|+…+|P7F|）=7×8=56，即|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=28，故答案为：28．【点评】本题考查椭圆的定义，利用对称轴是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．14．（5分）一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则该四棱锥的体积为16，侧视图的面积为6．【分析】由几何体的三视图可知，棱锥的左侧面和后侧面都与底面垂直，可得棱锥的高；由俯视图可得底面面积，再由棱锥的体积公式即可求出该四棱锥的体积与侧视图的面积．【解答】解：由该四棱锥的正视图与俯视图可知，该四棱锥的高为6，底面面积为8，其侧视图是直角三角形且两直角边分别为2和6，由V=得到该四棱锥体积是，其侧视图的面积是．故答案为16 6．【点评】本题考查的是空间几何体与三视图的关系，以及空间几何体的表面积与体积公式，属于基础题．15．（5分）“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度．降水量以mm为单位．为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为4mm．【分析】圆锥形液面体积等于以圆锥容器的底面为底，以降水量为高的圆柱体体积，进而利用等积法，可得答案．【解答】解：设圆锥形液面的底面半径为r，则圆锥容器的底面半径为2R，圆锥形液面的体积V==4πr2，设降水量为x，则πr2x=4πr2，解得：x=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积公式与圆锥的体积公式，等积法是解答的关键．16．（5分）在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，其中有可能成立的是①②③④．【分析】由AA1⊥平面A1B1C1D1，得AA1⊥A1C1，再由MN∥A1C1，得AA1⊥MN；当M，N分别是线段AB1，BC1的中点时，MN∥A1C1；由MN∥A1C1，得MN∥平面A1B1C1D1；当M与A重合，N与B重合时，MN与A1B1异面．【解答】解：∵AA1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥A1C1，又MN∥A1C1，∴AA1⊥MN，故①有可能成立．当M，N分别是线段AB1，BC1的中点时，连结A1B，A1C，则M为A1B的中点，∵在△A1C1B中，M，N分别为A1B和BC1的中点，∴MN∥A1C1，故②有可能成立．∵MN∥A1C1，MN⊄平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴MN∥平面A1B1C1D1，故③有可能成立．当M与A重合，N与B重合时，MN与A1B1异面，故④有可能成立．综上所述，结论中有可能成立的是①②③④．故答案为：①②③④．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、函数与方程思想，是中档题．三、解答题：本大题共3个小题，共40分17．（12分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．直线l被圆C截得的弦长为．（1）求a的值；（2）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．【分析】（1）圆C的圆心为C（a，2），半径r=2，圆心C到直线l：x﹣y+3=0的距离，由直线l被圆C截得的弦长为，得，从而，由此能求出a．（2）由切线过点（3，5），设所求切线方程为kx﹣y+5﹣3k=0，由该直线与（x ﹣1）2+（y﹣2）2=4相切，求出，由点（3，5）在圆C外，切线应有两条，斜率不存在时x=3是另一条切线．由此能求出所求切线方程．【解答】解：（1）∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4的圆心为C（a，2），半径r=2，而圆心C到直线l：x﹣y+3=0的距离，依题，∴，解得a=﹣3或a=1，∵a＞0，∴所求a=1．（2）∵切线过点（3，5），设所求切线方程为y﹣5=k（x﹣3），即kx﹣y+5﹣3k=0，该直线与（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相切，∴，解得，又∵（3﹣1）2+（5﹣2）2＞4，∴点（3，5）在圆C外，切线应有两条，斜率不存在时x=3是另一条切线．∴所求切线方程为x=3或5x﹣12y+45=0．【点评】本题考查实数值的求法，考查切线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用V E=S△ABC•AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．﹣ABC【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E=S△ABC•AA1=×（××1）×2=．﹣ABC【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．19．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC=90°，PB=AC=2PA=4，O为AC的中点．（Ⅰ）求证：BO⊥PA；（Ⅱ）判断在线段AC上是否存在点Q（与点O不重合），使得△PQB为直角三角形？若存在，试找出一个点Q，并求的值；若不存在，说明理由．【分析】对（I），先通过证线线垂直，证线面垂直，再由线面垂直证线线垂直．对（II），在（I）基础上可知平面ABC与平面PAC的垂直性，所以只需过P作交线AC的垂线，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒线线垂直，证明直角三角形的存在性．在上述条件下求出的值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，连接PO，在等边△ABC中，∵O是AC的中点，且AC=4，∴BO⊥AC，BO=．在直角△PAC中，因为O是斜边AC的中点，且AC=4，∴PO=2，在△PBO中，由PB=4，得PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO又∵AC∩PO=O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BO⊥平面PAC，（5分）又∵PA⊂平面PAC，∴BO⊥PA．（7分）（Ⅱ）线段AC上存在点Q，使得△PQB为直角三角形．如图，过P作PM⊥AC于点M，连接BM，∵BO⊥平面PAC，∴BO⊥PM．又∵BO∩AC=O，BO⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PM⊥平面ABC，（10分）∴PM⊥BM，即△PMB为直角三角形．故当点Q与点M重合时，△PQB为直角三角形．（12分）在直角△PAC中，由∠APC=90°，AC=2PA=4，PO=2，得AM=1，（即AQ=1），MC=3（即QC=3），∴当时，△PQB为直角三角形．（14分）【点评】本题主要考查线面垂直的判定与线面垂直的性质．即线线垂直⇔线面垂直的相互转化．勾股定理是平面几何中证明线线垂直的重要方法．。
2017-2018年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}2．（5分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B． C．4 D．103．（5分）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（）A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.84．（5分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（）①f（x）=﹣x3②③f（x）=﹣sinx④．A．①③B．①④C．②③D．③④6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．7．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262﹣190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为．10．（5分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是．11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则=．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小为．13．（5分）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积；（2）图1阴影区域面积用a，b，c，d表示为；（3）图2中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：．14．（5分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为m；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥0．16．（13分）已知由实数构成的等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=42．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a4+a6+…+a2n．17．（13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．选手乙的接发球技术统计表（Ⅰ）观察图，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣AB1D的体积．19．（14分）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行．20．（13分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：集合A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B． C．4 D．10【解答】解：由z+i=3，得z=3﹣i，∴|z|=．故选：B．3．（5分）某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为（）A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8【解答】解：由题意得：14×0.1+15×0.2+16×0.3+18×0.2+20×0.2=16.8，故选：D．4．（5分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=1﹣2×=1﹣1=0，即充分性成立，若cos2α=0，则cos2α=1﹣2sin2α=0，即sin2α=，即sinα=±，则sinα=，不一定成立，即“”是“cos2α=0”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（）①f（x）=﹣x3②③f（x）=﹣sinx④．A．①③B．①④C．②③D．③④【解答】解：①f（x）是奇函数在（0，1）递减，符合题意；②函数f（x）是偶函数，不合题意；③函数f（x）是奇函数，在（0，1）递减，符合题意；④f（x）是奇函数，x∈（0，1）时，f（x）=，f′（x）=＞0，f（x）在（0，1）递增，不合题意；故选：A．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．【解答】解：由四棱锥的三视图得该四棱锥是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=3，棱锥的高为h=2，故该四棱锥的体积：V===4．故选：A．7．（5分）阿波罗尼斯（约公元前262﹣190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：设A（1，0），B（﹣1，0），P（x，y）则，化简得（x+3）2+y2=8如图，当点P到AB（x轴）距离最大时，△PAB面积的最大值，∴△PAB面积的最大值是．故选：A．8．（5分）如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为（）A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段【解答】解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α平面α与平面ABCD有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为一条线段．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为48．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=2执行循环体，S=2，i=2不满足条件i＞4，执行循环体，S=4，i=3不满足条件i＞4，执行循环体，S=12，i=4不满足条件i＞4，执行循环体，S=48，i=5此时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为48．故答案为：48．10．（5分）已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线的焦点在x 轴上，且c=2，设双曲线的方程为﹣=1，又由双曲线的一条渐近线方程为x+y=0，则有=1，又由c=2，则有a2+b2=c2=4，解可得a2=b2=2，则双曲线的方程为；故答案为：．11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则=2．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，∴∠ABC=120°，∴=﹣•=﹣||•||•cos120°=﹣2×2×（﹣）=2，故答案为：2．12．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x2+y2的最小为8．【解答】解：根据变量x，y满足约束条件，画出可行域：z=x2+y2表示O（0，0）到可行域的距离的平方，由图形可知，原点到直线x+y﹣4=0的距离的平方最小，则z=x2+y2的最小值是：（）2=8．故答案为：8．13．（5分）高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）图1矩形中白色区域面积等于图2矩形中白色区域面积；（2）图1阴影区域面积用a，b，c，d表示为S1=bd+ac；（3）图2中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．【解答】解：图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．故答案为：S1=bd+ac；由图1中阴影部分的面积S1=bd+ac，图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；∵sin∠BAD≤1，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当=时，取等号．14．（5分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为lsinαm；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）【解答】解：由题意可知∠BP1C=α，∠AP1C=90°﹣α，P1P2=l，∠BP2C=，∴∠P2BP1=∠BP1C﹣∠BP2C=，∴P2B=P1P2=l，∴BC=P1Bsin∠BP1C=lsinα．P1C=P1Bcos∠BP1C=lcosα，在Rt△AP1C中，tan∠AP1C=，即tan（90°﹣α）=，∴=，∴AC=，∴BA=AC﹣BC=﹣lsinα=，故答案为：lsinα，．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，f（x）≥0．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x+cos2x+sin2x﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）+1；所以函数f（x）的最小正周期为T==π；…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=，当x∈时，，，；当，即x=0时，f（x）取得最小值0；所以当时，f（x）≥0．…（13分）16．（13分）已知由实数构成的等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=42．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a2+a4+a6+…+a2n．【解答】解：（Ⅰ）由可得2（1+q2+q4）=42．由数列{a n}各项为实数，解得q2=4，q=±．所以数列{a n}的通项公式为a n=2n或a n=（﹣1）n﹣12n．（Ⅱ）当a n=2n时，；当a n=（﹣1）n﹣12n 时，．17．（13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．选手乙的接发球技术统计表（Ⅰ）观察图，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术．…（2分）（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A，B，正手拉球4次，分别记为a，b，c，d．则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd．其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd．则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率．…（10分）（Ⅲ）正手技术更稳定．…（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC．已知D是BC的中点，AB=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣AB1D的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为△ABC为正三角形，且D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，所以BB1⊥底面ABC．又因为AD⊂底面ABC，所以BB1⊥AD．而B1B∩BC=B，所以AD⊥平面BB1C1C．因为AD⊂平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点．因为D是BC的中点，所以DE∥A1C．又因为DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A1C∥平面AB1D，所以A1与C到平面AB1D的距离相等，所以．由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且．所以，所以三棱锥A1﹣AB1D的体积为．19．（14分）已知椭圆的一个焦点坐标为（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的一个焦点坐标为（2，0），则有所以a2=5，b2=1．所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，此时MN⊥x轴．设D（1，0），直线x=5与x轴相交于点G，易得点E（3，0）是点D（1，0）和点G（5，0）的中点，又因为|MD|=|DN|，所以|FG|=|DN|．所以直线FN∥x轴．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．因为点E（3，0），所以直线ME的方程为．令x=5，所以．由消去y得（1+5k2）x2﹣10k2x+5（k2﹣1）=0．显然△＞0恒成立．所以，因为==，所以y2=y F．所以直线FN∥x轴．综上所述，所以直线FN∥x轴．20．（13分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xcosx+a，得f′（x）=cosx﹣xsinx．∴曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=cosx﹣xsinx，则g'（x）=﹣sinx﹣（sinx+xcosx）=﹣2sinx﹣xcosx．当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则函数g（x）为减函数．又∵g（0）=1＞0，g（1）=cos1﹣sin1＜0，∴有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立．∴函数g（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f′（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于F′（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号．∵当x∈（0，1）时，函数g（x）为减函数，∴在（0，x0）上，g（x）＞g（x0）=0，即f′（x）＞0成立，函数f（x）为增函数；在（x0，1）上，g（x）＜g（x0）=0，即f′（x）＜0成立，函数f（x）为减函数．则函数f（x）在x=x0处取得极大值f（x0）．当f（x0）=0时，虽然函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x0，但f （x）在x0两侧同号，不满足F′（x）在区间（0，1）内有且只有一个极值点的要求．由于f（1）=a+cos1，f（0）=a，显然f（1）＞f（0）．若函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号，则只需满足：，即，解得﹣cos1≤a＜0．第21页（共21页）。
2017-2018学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5.00分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＞0}D．{x|x＞2}2．（5.00分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B．4 C． D．103．（5.00分）在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式（x+2y﹣1）（x﹣y+3）＞0表示的平面区域内的是（）A．（0，0） B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，2）4．（5.00分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．6．（5.00分）已知圆（x﹣2）2+y2=9的圆心为C．直线l过点M（﹣2，0）且与x轴不重合，l交圆C于A，B两点，点A在点M，B之间．过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（）A．.椭圆的一部分B．.双曲线的一部分C．.抛物线的一部分D．.圆的一部分7．（5.00分）已知函数f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线y=﹣1的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．﹣2≤a＜0 D．a＞﹣28．（5.00分）如图1，矩形ABCD中，．点E在AB边上，CE⊥DE且AE=1．如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A﹣DE﹣A1的平面角为θ，当θ∈（0°，180°）时，①存在某个位置，使CE⊥DA1；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．以上三个结论中正确的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5.00分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为．10．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为．11．（5.00分）平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，若（x，y∈R），则x+y=．12．（5.00分）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=p，a2=q（p，q∈R）．设，则a10=；S2018=．（用含p，q的式子表示）13．（5.00分）伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）的一种“图形证明”．证明思路：（1）图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）图1中阴影区域的面积为ac+bd，图2中，设∠BAD=θ，图2阴影区域的面积可表示为（用含a，b，c，d，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当a，b，c，d满足条件时，等号成立．14．（5.00分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为m；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13.00分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A=bcosA﹣asinB，且，求f（B）的取值范围．16．（13.00分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等．如表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表．表1：2016年12月AQI指数表：单位（μg/m3）表2：2017年12月AQI指数表：单位（μg/m3）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级．从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？结合数据说明理由．17．（14.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，D是线段AC的中点，且A1D⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅲ）若A1B⊥AC1，AC=BC=2，求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．18．（13.00分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．19．（14.00分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过抛物线C上的动点P（除顶点O外）作C的切线l交x轴于点T．过点O作直线l的垂线OM（垂足为M）与直线PF交于点N．（Ⅰ）求焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：FT∥MN；（Ⅲ）求线段FN的长．20．（13.00分）已知集合P={a1，a2，…，a n}，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2）．M （P）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）若集合P={1，3，5，7，9}，求M（P）；（Ⅱ）若集合P={1，4，16，…，4n﹣1}，求证：a i+a j的值两两不同，并求M（P）；（Ⅲ）求M（P）的最小值．（用含n的代数式表示）2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5.00分）已知集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|lnx＞0}，则A∩B是（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＞0}D．{x|x＞2}【分析】解不等式求出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．（5.00分）已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）A．3 B．4 C． D．10【分析】由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由z+i=3，得z=3﹣i，∴|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3．（5.00分）在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式（x+2y﹣1）（x﹣y+3）＞0表示的平面区域内的是（）A．（0，0） B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，2）【分析】分别将点的坐标代入不等式左边的式子，验证一下不等式是否成立即可．【解答】解：A．当x=0，y=0时，（x+2y﹣1）（x﹣y+3）=﹣3＜0，不满足条件，B．当x=﹣2，y=0时，（x+2y﹣1）（x﹣y+3）=（﹣2﹣1）（﹣2+3）=﹣3＜0，不满足条件，C．当x=0，y=﹣1时，（x+2y﹣1）（x﹣y+3）=（﹣2﹣1）（1+3）=﹣12＜0，不满足条件，D．当x=0，y=2时，（x+2y﹣1）（x﹣y+3）=（4﹣1）（0﹣2+3）=3＞0，满足条件，故选：D．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用代入法是解决本题的关键．4．（5.00分）“”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当时，cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=1﹣2×=1﹣1=0，即充分性成立，若cos2α=0，则cos2α=1﹣2sin2α=0，即sin2α=，即sinα=±，则sinα=，不一定成立，即“”是“cos2α=0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的倍角公式是解决本题的关键．5．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（）A．4 B．C．D．【分析】由四棱锥的三视图得该四棱锥是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=3，棱锥的高为h=2，由此能求出该四棱锥的体积．【解答】解：由四棱锥的三视图得该四棱锥是倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=3，棱锥的高为h=2，故该四棱锥的体积：V===4．故选：A．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．6．（5.00分）已知圆（x﹣2）2+y2=9的圆心为C．直线l过点M（﹣2，0）且与x轴不重合，l交圆C于A，B两点，点A在点M，B之间．过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（）A．.椭圆的一部分B．.双曲线的一部分C．.抛物线的一部分D．.圆的一部分【分析】根据题意可得PM﹣PC=BC=3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．【解答】解：可得圆（x﹣2）2+y2=9的圆心为C（2，0），半径为R=3．如图，∵CB=CA=R=3，∴∠CBA=∠CAB，∵AC∥MP，∴，∴∠CBA=∠CAB=∠PMA，∴PM=PB=PC+BC⇒PM﹣PC=BC=3（定值），且3＜MC．∴点P的轨迹是双曲线的一部分，故选：B【点评】本题考查了动点根据的求解，考查了转化思想，属于中档题．7．（5.00分）已知函数f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线y=﹣1的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣2 B．a≤﹣2 C．﹣2≤a＜0 D．a＞﹣2【分析】分a＞0，a＜0，a=0画出图象即可．【解答】解：f（x）=x•|x﹣a|=，①当a＞0时，其图象如下：函数f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线y=﹣1的公共点只有1个，不符合题意．②当a＜0时，其图象如下：函数f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线y=﹣1的公共点不少于两个时，f（）=﹣，解得a≤﹣2③当a=0时，其图象如下：结合图象，不符合题意．综上所述：实数a的取值范围是：a≤﹣2．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象，数形结合思想，属于中档题．8．（5.00分）如图1，矩形ABCD中，．点E在AB边上，CE⊥DE且AE=1．如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A﹣DE﹣A1的平面角为θ，当θ∈（0°，180°）时，①存在某个位置，使CE⊥DA1；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．以上三个结论中正确的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③【分析】在①中，当二面角A﹣DE﹣A1的平面角θ=90°时，CE⊥DA1；在②中，A1D⊥A1E，CE⊥DE，从而∠DEA一定是锐角，从而不存在某个位置，使DE⊥A1C；在③中，DE是定直线，A1C是动直线，从而任意两个位置，直线DE和直线A1C 所成的角都不相等．【解答】解：在①中，当二面角A﹣DE﹣A1的平面角θ=90°时，CE⊥DA1，故①正确；在②中，∵如图1，矩形ABCD中，．点E在AB边上，CE⊥DE且AE=1，如图2，△ADE沿直线DE向上折起成△A1DE．记二面角A﹣DE﹣A1的平面角为θ∴A1D⊥A1E，CE⊥DE，∴∠DEA一定是锐角，∴当存在某个位置，使DE⊥A1C时，DE⊥平面A1EC，则∠DEA=90°，与∠DEA一定是锐角矛盾，故不存在某个位置，使DE⊥A1C，故②错误；在③中，DE是定直线，当二面角A﹣DE﹣A1的平面角θ变化时，A1C是动直线，∴任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等，故③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5.00分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为y=±x．【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得c=a，结合双曲线的几何性质可得a=b，进而分2种情况讨论双曲线焦点的位置，求出双曲线的渐近线方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的离心率为，即e==，则有c=a，又由c2=a2+b2，则有a=b，分2种情况讨论：①，若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为﹣=1，则渐近线方程为：y=±x；②，若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为﹣=1，则渐近线方程为：y=±x；综合可得：双曲线的渐近线方程为y=±x；故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式的应用，注意分类讨论双曲线的焦点位置．10．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为48．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=2执行循环体，S=2，i=2不满足条件i＞4，执行循环体，S=4，i=3不满足条件i＞4，执行循环体，S=12，i=4不满足条件i＞4，执行循环体，S=48，i=5此时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为48．故答案为：48．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11．（5.00分）平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，若（x，y∈R），则x+y=．【分析】可得=，=，得：．即可．【解答】解：=，…①=，…②由①②得：．∴，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题．12．（5.00分）已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=p，a2=q（p，q∈R）．设，则a10=﹣p；S2018=p+q．（用含p，q的式子表示）【分析】根据数列的递推公式，确定数列{a n}是以6为周期的周期数列，且6项的和为0，由此可得结论．=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=p，a2=q（p，q∈R），【解答】解：∵a n+1∴a3=q﹣p，a4=﹣p，a5=﹣q，a6=p﹣q，a7=p，a8=q，…，∴数列{a n}是以6为周期的周期数列，且6项的和为0，∴a10=a4=﹣p，∵2018=6×336+2，∴S2018=a1+a2=p+q，故答案为：﹣p，p+q【点评】本题考查了数列的递推公式，确定数列{a n}是以6为周期的周期数列是关键，属于中档题13．（5.00分）伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）的一种“图形证明”．证明思路：（1）图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）图1中阴影区域的面积为ac+bd，图2中，设∠BAD=θ，图2阴影区域的面积可表示为（用含a，b，c，d，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当a，b，c，d满足条件时，等号成立．【分析】利用矩形，平行四边形面积公式计算即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积S1=bd+ac；图2中的面积为S2=（a+d）（b+c）﹣dc﹣ab=ac+bd，∴两图中的阴影部分面积相等；（2）图2阴影区域的面积S=AD•ABsin∠DAB=．（3）∵sinθ≤1，（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．当且仅当时，取等号．答案为：，【点评】本题考查了不等式的性质，属于中档题，14．（5.00分）如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为α和90°﹣α．后退l（单位m）至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔CB的高为lsinαm；旗杆BA的高为m．（用含有l和α的式子表示）【分析】根据三角形的外角公式可得∠P2BP1=∠P2，可得P1B=l，于是可得BC，在△ACP1中求出AC，从而得出AB．【解答】解：由题意可知∠BP1C=α，∠AP1C=90°﹣α，P1P2=l，∠BP2C=，∴∠P2BP1=∠BP1C﹣∠BP2C=，∴P2B=P1P2=l，∴BC=P1Bsin∠BP1C=lsinα．P1C=P1Bcos∠BP1C=lcosα，在Rt△AP1C中，tan∠AP1C=，即tan（90°﹣α）=，∴=，∴AC=，∴BA=AC﹣BC=﹣lsinα=，故答案为：lsinα，．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13.00分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A=bcosA﹣asinB，且，求f（B）的取值范围．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．（Ⅱ）首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题知，=，=．由（k∈Z），解得．所以f（x）单调递增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sinBcos2A=sinBcosA﹣sinAsinB．因为在三角形中sinB≠0，所以cos2A=cosA﹣sinA．即（cosA﹣sinA）（cosA+sinA﹣1）=0当cosA=sinA时，；当cosA+sinA=1时，．由于，所以．则．则．又，所以．由，则f（B）的取值范围是．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用．16．（13.00分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等．如表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表．表1：2016年12月AQI指数表：单位（μg/m3）表2：2017年12月AQI指数表：单位（μg/m3）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级．从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？结合数据说明理由．【分析】（I）根据空气质量指数的最大值和最小值得出极差；（II）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（III）从空气质量为优的天数变化即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的最大值为221，最小值为27，∴2017年12月空气质量指数的极差，221﹣27=194．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，；；．∴ξ的分布列为：所以．（Ⅲ）2016年12月空气质量为优的天数为4天，而2016年空气质量为优的天数为17天，故该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是有效的．【点评】本题考查了数据统计，离散型随机变量的分布列，属于中档题．17．（14.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，D是线段AC的中点，且A1D⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅲ）若A1B⊥AC1，AC=BC=2，求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥AC，A1D⊥BC，从而BC⊥平面AA1C1C，由此能证明平面A1BC⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）连接AB1，设AB1∩A1B=E，连接DE．推导出DE∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1BD．（Ⅲ）取AB的中点F，则DF∥BC，从而DF，DC，DA1两两垂直．以D为原点，分别以DF，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣A1B﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC．根据题意，A1D⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1D⊥BC．因为A1D∩AC=D，所以BC⊥平面AA1C1C．又因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面AA1C1C．…（4分）（Ⅱ）连接AB1，设AB1∩A1B=E，连接DE．根据棱柱的性质可知，E为AB1的中点，因为D是AC的中点，所以DE∥B1C．又因为DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD．…（8分）解：（Ⅲ）如图，取AB的中点F，则DF∥BC，因为BC⊥AC，所以DF⊥AC，又因为A1D⊥平面ABC，所以DF，DC，DA1两两垂直．以D为原点，分别以DF，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系（如图）．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1．又因为A1B⊥AC1，BC∩A1B=B，所以AC1⊥平面A1BC，所以AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形．由已知AC=BC=2，则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），．设平面A1AB的一个法向量为n=（x，y，z），因为，，所以，即设z=1，则．再设平面A1BC的一个法向量为m=（x1，y1，z1），因为，，所以，即设z1=1，则．故．由图知，二面角A﹣A1B﹣C的平面角为锐角，所以二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为．…（14分）【点评】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（13.00分）已知函数f（x）=xcosx+a，a∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f'（x）=0（f'（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得在点处的导数值，则答案可求；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=cosx﹣xsinx，求其导函数，可得当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则函数g（x）为减函数．结合g（0）＞0，g（1）＜0，可得有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立．即方程f′（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根；（Ⅲ）把函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，转化为f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号．然后结合（Ⅱ）中的单调性可得，求解此不等式组得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xcosx+a，得f′（x）=cosx﹣xsinx．∴曲线y=f（x）在点处的切线的斜率；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=cosx﹣xsinx，则g'（x）=﹣sinx﹣（sinx+xcosx）=﹣2sinx﹣xcosx．当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则函数g（x）为减函数．又∵g（0）=1＞0，g（1）=cos1﹣sin1＜0，∴有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立．∴函数g（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f′（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根；（Ⅲ）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于F′（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号．∵当x∈（0，1）时，函数g（x）为减函数，∴在（0，x0）上，g（x）＞g（x0）=0，即f′（x）＞0成立，函数f（x）为增函数；在（x0，1）上，g（x）＜g（x0）=0，即f′（x）＜0成立，函数f（x）为减函数．则函数f（x）在x=x0处取得极大值f（x0）．当f（x0）=0时，虽然函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x0，但f （x）在x0两侧同号，不满足F′（x）在区间（0，1）内有且只有一个极值点的要求．由于f（1）=a+cos1，f（0）=a，显然f（1）＞f（0）．若函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号，则只需满足：，即，解得﹣cos1≤a＜0．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．19．（14.00分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过抛物线C上的动点P（除顶点O外）作C的切线l交x轴于点T．过点O作直线l的垂线OM（垂足为M）与直线PF交于点N．（Ⅰ）求焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：FT∥MN；（Ⅲ）求线段FN的长．【分析】（Ⅰ）根据题意，由抛物线的标准方程分析可得p的值，即可得答案；（Ⅱ）设P（x0，y0）．由导数的几何意义分析可得过点P的切线l方程，其中令y=0，可得T的坐标，分析MN的斜率，由此分析可得答案；（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，易得直线MN、PT的方程，设MN和PF交点N的坐标为N（x N，y N），分析可得，将其化简变形可得（x N≠0），即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，抛物线的方程为x2=4y，其中p=2，则其焦点坐标为F（0，1），（Ⅱ）设P（x0，y0），由x2=4y，得，则过点P的切线l的斜率为．则过点P的切线l方程为．令y=0，得，即．又点P为抛物线上除顶点O外的动点，x0≠0，则．而由已知得MN⊥l，则．又x0≠0，即FT与MN不重合，即FT∥MN．（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论，直线MN的方程为，x0≠0．直线PF的方程为，x0≠0．设MN和PF交点N的坐标为N（x N，y N）则由（1）式得，（由于N不与原点重合，故y N≠0）．代入（2），化简得（y N≠0）．又，化简得，（x N≠0）．即点N在以F为圆心，1为半径的圆上．（原点与（0，2）除外）即FN=1．【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，可以由导数的几何意义，求出切线的方程．20．（13.00分）已知集合P={a1，a2，…，a n}，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2）．M （P）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）若集合P={1，3，5，7，9}，求M（P）；（Ⅱ）若集合P={1，4，16，…，4n﹣1}，求证：a i+a j的值两两不同，并求M（P）；（Ⅲ）求M（P）的最小值．（用含n的代数式表示）【分析】（Ⅰ）根据新定义即可求出答案，（Ⅱ）根据新定义可得共有项，所以，即可证明a i+a j 的值两两不同，并求M（P）=，+a n．由（Ⅲ）设a1＜a2＜…＜a n，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1此能够推出M（P）的最小值2n﹣3．【解答】解：（Ⅰ）不同值为4，6，8，10，12，14，16，故M（P）=7；（Ⅱ）形如和式a i+a j（1≤i＜j≤n）共有项，所以．对于集合{1，4，16，…，4n﹣1}中的和式a i+a j，a p+a q（1≤i＜j≤n，1≤p＜q≤n）：当j=q时，i≠p时，a i+a j≠a p+a q；当j≠q时，不妨设j＜q，则．所以a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同．且．（Ⅲ）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣+a n．a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数．1即M（P）≥2n﹣3．设a1，a2，…，a n成等差数列，，则对于每个和式a i+a j（1≤i＜j≤n），其值等于a1+a p（2≤p≤n）或a q+a n（1≤q ≤n﹣1）中的一个．去掉重复的一个a1+a n，所以对于这样的集合P，M（P）=2n﹣3．则M（P）的最小值为2n﹣3．【点评】本题考查集合与元素的位置关系以及数列在实际生活的应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于难题。
北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)
第 4 页 共 15 页
12．已知������(8,0),������(0,6),������(0,0) ,则������������������������的外接圆的方程是
.
【答案】(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
������������1、������������2为邻边作菱形，由������1������2与������������1 + ������������2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |������1������2| ≥ |������������1 + ������������2|,所以������������1、������������2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |������| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ ������ ≤ 2，则实数������的最大值是 2 2
向量中与������1������相等的向量是
A. ‒ ������ + ������ + ������
1 2
1 2
B. ������ + ������ + ����� ������ ‒ ������ + ������ 2 2
北京市朝阳区20172018学年高二上学期期末数学试卷理科Word版含解析
2017-2018 学年北京市旭日区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项）1．圆（ x ﹣2） 2+y 2=4 被直线 x=1 截得的弦长为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．2的点的横坐标是（）2．抛物线 y =2x 上与其焦点距离等于 3 A ． 1B ． 2C ．D ．3．已知 p ： “x ＞ 2”， q ：“x 2＞ 4”，则 p 是 q 的（）A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．即不充分也不用要条件 4．已知两条不一样的直线 a ， b ，三个不一样的平面 α，β， γ，以下说法正确的选项是（ ）A ．若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ αB ．若 a ∥ α， a ∥β，则 α∥ βC ．若 α⊥ β，a ⊥ α，则 a ∥ βD ．若 α⊥ γ，β∥ γ，则 α⊥ β5．在圆 x 2 +y 2=16 上任取一点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是（）A ．B ． x 2+y 2=4 C ．D ．6．如图， 在平行六面体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1 中，M 为 AC 与 BD 的交点， 若 = ，= ，= ．则以下向量中与相等的向量是（）A ．﹣++B ．C ．D ．﹣﹣+2﹣ y22y b27．若由方程 x=0 和 x +（ ﹣ ） =2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，则实数 b 的取值范围是（）A ．或B ． b ≥ 2 或 b ≤﹣ 2C ．﹣ 2≤ b ≤ 2D ．8．设 O 是坐标原点，若直线 l ： y=x +b （b ＞ 0）与圆 x 2+y 2、P ，且=4 交于不一样的两点P 1 2，则实数 b 的最大值是（ ） A ． B ． 2 C ． D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．10．已知动圆 C 位于抛物线 x 2=4y 的内部（ x 2≤ 4y ），且过该抛物线的极点，则动圆C 的周长的最大值是（ ）A ． πB ． 2πC ． 4πD ． 16π二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，请把正确答案填在答题卡上） 11 p ： ”任意两个等腰直角三角形都是相似的p ；判断 ? p ．写出 ”的否定 ? ： 是 ．（后一空中填 “真 ”或 “假 ”） 12．已知 A （ 8，0）， B （ 0 ， 6），O （ 0， 0），则△ AOB 的外接圆的方程是．13．中心在原点，焦点在 y 轴上，虚轴长为而且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为．14．过椭圆 C ： +=1 的右焦点 F 2 的直线与椭圆C 订交于 A ，B 两点．若 =，则点 A 与左焦点 F 1 的距离 | AF 1| =．15．如图为四棱锥 P ﹣ ABCD 的表面睁开图，四边形 ABCD 为矩形，，AD=1 ．已知极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点 A ，四棱锥的高为 ，则在四棱锥P ﹣ ABCD 中， PC与平面 ABCD 所成角的正切值为．16．如图，正方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D1的棱长为 1，N 为 CD1中点， M 为线段 BC 1上的动点，（M 不与 B， C1重合）有四个：①CD1⊥平面 BMN ；②MN ∥平面 AB 1D1；③平面 AA 1CC1⊥平面 BMN ；④三棱锥 D﹣ MNC 的体积有最大值．此中真的序号是．三、解答题（本大题共 3 小题，共40 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD ﹣ A 1B 1C1 D1中， AA 1=AB=1 ，AD=2 ， E 为 BC 的中点，点M ，N 分别为棱 DD 1， A 1D 1的中点．（Ⅰ）求证：平面CMN ∥平面 A 1DE ；（Ⅱ）求证：平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．18．如图，四棱锥 P﹣ ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， AD ‖BC ，且，BC⊥ DC，∠BAD=60 °，平面 PAD⊥底面 ABCD ，E 为 AD 的中点，△ PAD 为等边三角形，M 是棱 PC上的一点，设（M 与 C 不重合）．（Ⅰ）求证：CD ⊥ DP；（Ⅱ）若 PA∥平面 BME ，求 k 的值；（Ⅲ）若二面角M ﹣ BE﹣A 的平面角为150°，求k 的值．19．已知椭圆W ：，过原点O 作直线l1交椭圆W 于A， B 两点，P 为椭圆上异于 A ，B 的动点，连接 PA， PB，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1， k2（k1， k2≠ 0），过 O 作直线 PA， PB 的平行线 l2， l3，分别交椭圆 W 于 C， D 和 E， F．（Ⅰ）若 A ， B 分别为椭圆W 的左、右极点，能否存在点P，使∠ APB=90 °？说明原由．（Ⅱ）求k1?k2的值；22（Ⅲ）求 | CD | +| EF|的值．2015-2016 学年北京市旭日区高二 （上）期末数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项）1．圆（ x ﹣2） 2+y 2=4 被直线 x=1 截得的弦长为（ ）A ．1B ．C ． 2D ． 【考点】 直线与圆的地点关系．【分析】 算出已知圆的圆心为C （ 2，0），半径 r=2 ．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线 l 的距离 d=1，由垂径定理加以计算，可得直线 l 被圆截得的弦长．【解答】 解：圆（ x ﹣ 2） 2+y 2=4 的圆心为 C （ 3， 0），半径 r=2， ∵点 C 到直线直线 x=1 的距离 d=1 ，∴依据垂径定理，得圆（ x 2 2 y 22=2﹣ ） + =4 被直线 x=1 截得的弦长为 应选： D ．2．抛物线 y 2=2x 上与其焦点距离等于3 的点的横坐标是（）A ．1B ．2C ．D ．【考点】 抛物线的简单性质．【分析】 确立抛物线 y 2=2x 的焦点为（， 0），准线方程为 x= ﹣ ．设所求点 P 的坐标为x y 0），利用 PF =3，联合抛物线的定义即可得出．（0，| |【解答】 解：由抛物线方程2， 0），准线方程为 x= ﹣．y =2x 的焦点为（ 设所求点 P 的坐标为（ x 0， y 0），由抛物线的定义可得， | PF| =x 0+ =3 ．解得 x 0= ．应选： C ．3．已知 p ： “x ＞ 2”， q ：“x 2＞ 4”，则 p 是 q 的（ ）A ．充分而不用要条件B ．必需而不充分条件C ．充分必需条件D ．即不充分也不用要条件 【考点】 必需条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】 由 x 2＞ 4，解得 x ＞ 2 或 x ＜﹣ 2，即可判断出结论．【解答】 解：由 x 2＞ 4，解得 x ＞ 2 或 x ＜﹣ 2，∴ p 是 q 的充分不用要条件．应选： A ．4．已知两条不一样的直线 a ， b ，三个不一样的平面 α，β， γ，以下说法正确的选项是（）A ．若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ αB ．若 a ∥ α， a ∥β，则 α∥ βC ．若 α⊥ β，a ⊥ α，则 a ∥ βD ．若 α⊥ γ，β∥ γ，则 α⊥ β【考点】 空间中直线与平面之间的地点关系．【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】 解：对于 A ，若 a ∥ α， b ⊥ a ，则 b ∥ α， b 与 α订交或 b? α，不正确；对于 B ，若 a ∥ α，a ∥ β，则 α∥ β或 α，β订交，不正确；对于 C ，若 α⊥ β， a ⊥ α，则 a ∥ β或 a? β，不正确；对于 D ，若 α⊥ γ，β∥ γ，在 β内存在直线与 α垂直，依据平面与平面垂直的判断，可得α⊥β，正确．应选： D ．2y 2P ，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运5．在圆 x+ =16 上任取一点动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是（ ）A ．B ． x 2+y 2=4 C ．D ．【考点】 轨迹方程．x 2+y 2=16【分析】设出 M 点的坐标，由 M 为线段 PD 的中点获得 P 的坐标，把 P 的坐标代入圆 整理得线段 PD 的中点 M 的轨迹．【解答】 解：设 M （ x ， y ），由题意 D （ x ， 0），P （ x ，y 1） ∵M 为线段 PD 的中点，∴ y 1+0=2y ， y 1=2y ．P x y1）在圆 x 2y 2 2 y 2 又∵ （ ， + =16 上，∴ x + 1 =16 ，∴ x 2+4y 2=16，即=1．∴点 M 的轨迹方程为应选： C ．=1．6．如图， 在平行六面体ABCD﹣ A 1B 1C 1D 1 中，M为AC与BD的交点， 若= ，= ，= ．则以下向量中与相等的向量是（）A．﹣+ + B ．C D．﹣﹣+．【考点】 相等向量与相反向量．【分析】 由题意可得 =+ =+= + [ ﹣ ] ，化简获得结果．【解答】 解：由题意可得 =+=+=+= + （﹣）=+（﹣）=﹣ + + ，应选 A ．7．若由方程 x 2﹣ y 2=0 和 x 2+（ y ﹣ b ） 2=2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，则实数 b 的取值范围是（ ）A ．或B ． b ≥ 2 或b ≤﹣ 2C ．﹣ 2≤ b ≤ 2D ．【考点】 曲线与方程．【分析】 由方程 x 2﹣ y 2=0 和 x 2+（ y ﹣ b ）2=2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，直线与 x 2+（ y ﹣ b ） 2=2 相切或相离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】 解：由题意， x 2﹣ y 2=0 表示两条直线 x ± y=0．2222∵由方程 x ﹣y =0 和 x +（ y ﹣b ） =2 所构成的方程组至多有两组不一样的实数解，22∴直线与 x +（ y ﹣ b ） =2 相切或相离，∴≥ ，∴ b ≥ 2 或 b ≤﹣ 2，应选： B ．8．设 O 是坐标原点，若直线2y 2交于不一样的两点P 1、 Pl ： y=x +b （b ＞ 0）与圆 x + =4 2，且 ，则实数 b 的最大值是（ ）A ．B ． 2C ．D ．【考点】 直线与圆的地点关系．【分析】 设 P 1P 2 中点为 D ，则 OD ⊥P 1P 2，确立 | | 2≤ 2，即可求出实数b 的最大值．【解答】 解：设 P 1P 2 中点为 D ，则 OD ⊥ P 1P 2， ∵，∴| 2 | ，| ≥ | ∵||2+ || 2=4∴| | 2≤2∵直线 l ： y=x +b （ b ＞ 0）与圆 x 2+y 2、 P ，=4 交于不一样的两点 P 12∴| | 2＜4∴| | 2≤2∴（）2≤2∵ b ＞ 0 ∴ b ≤ 2．∴实数 b 的最大值是 2． 应选： B ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】 依据三视图作出三棱锥的直观图，依据三视图中的数据计算棱锥的体积． 【解答】 解：由三视图可知三棱锥是从边长为BC 的中点．4 的正方体中截出来的M ﹣ ADD ′，此中M为∴三棱锥的体积V===．应选：C ．10．已知动圆 C 位于抛物线 x 2=4y 的内部（ x 2≤ 4y ），且过该抛物线的极点，则动圆C 的周长的最大值是（ ）A ． πB ． 2πC ． 4πD ． 16π【考点】 抛物线的简单性质．【分析】设圆的方程为 x 2yb22x22 4 ﹣ 2b y=0 ，利用 4 ﹣ 2b=0 ， +（ ﹣ ） =b ，与 =4y 联立可得 y+（ ）求出 b ，即可求出动圆 C 的周长的最大值．【解答】 解：设圆的方程为 x 2 y b 2 2，+（ ﹣ ） =b22+（ 4﹣ 2b ） y=0，∴ 4﹣ 2b=0 ，与 x =4y 联立可得 y∴b=2 ，∴动圆 C 的周长的最大值是 2π× 2=4π．应选： C ．二、填空题（本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分，请把正确答案填在答题卡上）11．写出 p ：”任意两个等腰直角三角形都是相似的 ”的否定 ?p ： 存在两个等腰直角三角形，它们不相似 ；判断 ?p 是 假 ．（后一空中填 “真 ”或 “假”） 【考点】 的否定．【分析】 依据全称的否定是特称进行求解即可．【解答】 解：是全称，则的否定是：存在两个等腰直角三角形，它们不相似， ∵任意两个等腰直角三角形都是相似的为真． ，∴原为真，则的否定为假，故答案为：存在两个等腰直角三角形，它们不相似假12．已知 A （8， 0），B （ 0， 6），O （0， 0），则△ AOB 的外接圆的方程是 （x ﹣ 4）2+（ y﹣ 3） 2=25 ．【考点】 圆的标准方程．【分析】 依据题意，△ AOB 是以 AB 为斜边的直角三角形，因其他接圆是以 AB 为直径的圆．由此算出 AB 中点 C 的坐标和 AB 长度，联合圆的标准方程形式，即可求出△AOB 的外接圆的方程．【解答】 解：∵△ AOB 的极点坐标为 A （8， 0）， B （ 0， 6）， O （ 0， 0），∴OA ⊥ OB ，可得△ AOB 的外接圆是以 AB 为直径的圆∵ AB 中点为 C 4 3 AB =10（，），| |∴圆的圆心为 C （4， 3），半径为 r=5 22可得△ AOB 的外接圆的方程为（ x 4 y 3﹣ ） +（ ﹣ ） =25故答案为：（ x ﹣ 4）2 +（ y ﹣ 3）2=2513．中心在原点，焦点在y 轴上，虚轴长为 而且离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为y=± x ．【考点】 双曲线的简单性质．【分析】 设双曲线的方程为﹣ =1（a ，b ＞ 0），由题意可得 b ，运用离心率公式和 a ，b ，c 的关系，可得 a=1，可得双曲线的方程，即可获得渐近线方程． 【解答】 解：设双曲线的方程为 ﹣=1（ a ， b ＞ 0），由题意可得 2b=4，即 b=2，又 e= =3， c 2=a 2+b 2，解得 a=1，可得双曲线的方程为 y 2﹣=1，即有渐近线的方程为y= ± x ．故答案为： y=±x ．14．过椭圆 C ：+=1 的右焦点 F 2 的直线与椭圆 C 订交于 A ，B 两点．若= ，则点 A 与左焦点 F 1的距离 | AF 1| =．【考点】 椭圆的简单性质．【分析】 求得椭圆的 a b c=，可得 F2 为 AB的中点，即有AB， ， ，右焦点坐标，由⊥x 轴，令 x=1 ，可得 | AF 2| ，再由椭圆的定义，即可获得所求值．【解答】 解：椭圆 C ：+=1 的 a=2， b=， c=1，右焦点 F 2 为（ 1， 0），由=，可得 F 2 为 AB 的中点，即有AB ⊥ x 轴，令x=1，可得y=±?=±，由椭圆的定义可得，| AF 1|+| AF 2| =2a=4，可得 | AF 1| =4﹣ | AF 2| =4﹣ = ．故答案为：．15．如图为四棱锥 P ﹣ ABCD 的表面睁开图，四边形极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点A ，四棱锥的高为ABCD 为矩形，，则在四棱锥，AD=1 ．已知P ﹣ ABCD 中， PC与平面ABCD所成角的正切值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】作出四棱锥的直观图，依据 PA⊥平面 ABCD 即可得出∠ PCA 为所求角，利用勾股定理计算 AC ，即可得出线面角的正切值．【解答】解：作出四棱锥的直观图以以下图：∵极点 P 在底面 ABCD 上的射影为点 A ，∴ PA⊥平面 ABCD ，∴∠ PCA 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角， PA=．∵四边形ABCD为矩形，，AD=1 ，∴AC=，∴tan∠PCA=．故答案为：．16．如图，正方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D1的棱长为 1，N 为 CD1中点， M 为线段 BC 1上的动点，（M 不与 B， C1重合）有四个：①CD1⊥平面 BMN ；②MN ∥平面 AB 1D1；③平面 AA 1CC1⊥平面 BMN ；④三棱锥 D﹣ MNC 的体积有最大值．此中真的序号是②③．【考点】棱柱的结构特色．【分析】直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐个判断 4 个得答案．【解答】解：① ∵ CD1与 BM 成 60°角，∴ CD 1与平面 BMN 不垂直，①错误；② ∵平面 BMN ∥平面 AB 1D1，∴ MN ∥平面 AB 1D 1，②正确；③ ∵平面 BMN 与平面 BC 1D 重合，而平面AA 1CC1⊥平面 BC1D，③正确；④ ∵M 与 B 重合时，三棱锥D﹣ MNC 的体积最大，而M 不与 B ，C1重合，④错误．∴z正确的序号为②③ ．故答案为：②③ ．三、解答题（本大题共 3 小题，共 40 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．如图，长方体ABCD ﹣ A 1B 1C1D1中， AA 1=AB=1 ，AD=2 ， E 为 BC 的中点，点 M ，N 分别为棱 DD 1， A 1D 1的中点．（Ⅰ）求证：平面CMN ∥平面 A 1DE ；（Ⅱ）求证：平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．【考点】平面与平面垂直的判断；平面与平面平行的判断．【分析】（ I ）由中位 定理可得MN ∥ A 1D ，由 方体的 构特色可得四 形A 1ECN 是平行四 形，故CN ∥ A 1E ，从而平面 CMN ∥平面 A 1DE ；（II ）由 AA 1⊥平面 ABCD 可得 AA 1⊥ DE ，由 段的 度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE ，故 DE ⊥平面 A 1AE ，从而平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．【解答】 解：（Ⅰ）∵ M ， N 分 棱 DD 1， A 1D 1 的中点，∴ MN ∥A 1D ，∵A D ? 平面 A 1 DE ， MN ?平面 A DE ，∴ MN ∥平面 A CD．1 1 1∵E 是 BC 中点， N 是 A 1D 1 的中点，∴ A 1N=CE ， A 1N ∥CE ， ∴四 形 A 1ECN 是平行四 形，∴ CN ∥A 1E ，∵A E 平面 A DE ， CN ?平面 A DE ，∴ CN ∥平面 A CD，1 ? 1 11又∵ MN CN=N ， MN ? 平面 MCN ， CN ? 平面 MCN ， ∩∴平面 CMN ∥平面 A 1DE ．（Ⅱ）∵ AA 1⊥平面 ABCD ， DE ? 平面 ABCD ，∴AA 1⊥ DE ． ∵ A B=1 ， AD=2 ， E BC 的中点， ∴，∴EA 2+ED 2=AD 2，即 AE ⊥ DE ．∵AA 1? 平面 AA 1E ， AE ? 平面 AA 1E ， AE ∩AA 1=A ，∴DE ⊥平面 A 1AE ．又 DE? 平面 A 1DE ，因此平面 A 1DE ⊥平面 A 1AE ．18P ABCD的底面 ABCD直角梯形， AD BCBC DC ， ．如 ，四棱‖ ，且 ， ⊥ ∠BAD=60 °，平面 PAD ⊥底面 ABCD ，E AD 的中点，△ PAD 等 三角形，M 是棱PC上的一点，（M 与 C 不重合）．（Ⅰ）求 ： CD ⊥ DP ；（Ⅱ）若 PA ∥平面 BME ，求 k 的 ； （Ⅲ）若二面角MBE A 的平面角150°，求 k 的 ．【考点】 二面角的平面角及求法；直 与平面平行的判断．【分析】（Ⅰ）推 出 PE ⊥ AD ，从而 PE ⊥平面 ABCD ， 而 PE ⊥CD ，再由 CD ⊥ DA ，得CD ⊥平面PAD ，由此能 明 CD ⊥ DP ． ⋯.. （Ⅱ） 接 AC 交 BE 于 N ， 接 MN ，推 出 PA ∥ MN ，从而∠ CBN= ∠AEN=90 °， 而 △CNB ≌△ ANE ．由此能求出 k=1． （Ⅲ）法一： 接CE ， 点 M 作 MF ∥ PE 交 CE 于 F ， A （ 0，1， 0）作接 MG ， ∠ MGF 二面角MBE C 的平面角，由此能示出k ．FG ⊥ BE于G ，法二：以 E 原点，射EB ，EA ，EP 分 x 正半， y 正半， z 正半建立空直角坐系，利用和量法能求出k．【解答】（本分14 分）明：（Ⅰ）因△ PAD 等三角形，E AD 的中点，因此PE⊥ AD ．因平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD=AD ，PE? 平面 PAD ，因此PE⊥平面 ABCD ．又 CD? 平面 ABCD ，因此 PE⊥CD ．由已知得 CD ⊥ DA ， PE∩AD=E ，因此 CD⊥平面 PAD．双 DP? 平面 PAD，因此 CD⊥ DP．⋯..解：（Ⅱ）接AC 交 BE 于 N，接 MN ．因 PA∥平面 BME ， PA? 平面 PAC，平面 PAC∩平面 BME=MN ，因此 PA∥ MN ．因AD ∥BC ，BC⊥ DC ，因此∠ CBN= ∠ AEN=90 °．又 CB=AE ，∠ CNB= ∠ ANE ，因此△ CNB ≌△ ANE ．因此 CN=NA ， M PC 的中点， k=1 ．⋯..（Ⅲ）方法一：依意，若二面角M BE A 的大小 150°，二面角M BE C 的大小30°．接 CE，点 M 作 MF ∥ PE 交 CE 于 F， A （ 0，1， 0）作 FG⊥ BE 于 G，接 MG ．因 PE⊥平面 ABCD ，因此 MF⊥平面 ABCD ．又 BE? 平面 ABCD ，因此 MF⊥ BE．又 MF ∩FG=F ，MF ? 平面 MFG ， FG? 平面 MFG ，因此 BE⊥平面 MFG ，从而 BE ⊥ MG ．∠ MGF 二面角 M BE C 的平面角，即∠ MGF=30 °．在等△PAD中，．因为，因此．又，因此．在△ MFG 中，解得 k=3 ．⋯..方法二：因为EP⊥EA ， EP⊥ EB ， EA ⊥ EB ，以 E 原点，射 EB， EA ， EP 分 x 正半， y 正半， z 正半建立空直角坐系，如．∵，∠ BAD=60 °，A010，D0 10 E000∴ （，，），，（，，），（，，），平面 ABE 即 xoy 平面的一个法向量=（ 0， 0， 1）．M （ x， y， z），由条件可知：（ k＞ 0），即，∴，解得：即，．平面MBE的一个法向量=（ x'， y'， z'），，x'=0 ，令， z'=k ．即=（ 0，）．因二面角 M BE A 的平面角150°，因此 | cos＜＞ | =| cos150°|，即==，解得 k= ± 3．因 k＞ 0，因此 k=3．⋯..19．已知 W ：，原点 O 作直 l1交 W于 A， B 两点， P 上异于 A ，B 的点，接PA， PB，直 PA，PB 的斜率分k1， k2（k1， k2≠ 0）， O作直 PA， PB 的平行 l2， l3，分交 W 于 C， D 和 E， F．（Ⅰ）若 A ， B 分 W 的左、右点，能否存在点P，使∠ APB=90 °？明原由．（Ⅱ）求 k1?k2的；（Ⅲ）求 | CD | 2+| EF|2的．【考点】的性．【分析】（Ⅰ）不存在点 P，使∠ APB=90 °．原由以下： P（x P， y P），运用向量垂直的条件和数目的坐表示，合方程，即可判断；（Ⅱ） P（ x P，y P），A（ x A，y A），运用直的斜率公式和点差法，化整理可得所求；（Ⅲ）方法一：因为 l 2， l3分平行于直 PA， PB，求得直方程，立方程，求得弦，化整理，即可获得所求；方法二、 C（ x C，y C），E（ x E，y E），由直 l2，l 3都原点， D（ x C， y C），F（x E， y E）．因为 l2， l3分平行于直 PA， PB，由平行的条件，求得直方程，代入方程，化整理，即可获得所求．【解答】解：（Ⅰ）不存在点P，使∠ APB=90 °．明以下：P（ x P， y P）．依意，此 A （ 2， 0）， B（2， 0），，．若∠ APB=90 °，需使，即．⋯（ 1）又点P 在W 上，因此，把代入（ 1）式中解得， x =2y =0．P± ，且P然与 P 上异于 A ， B 的点矛盾，因此不存在；（Ⅱ） P（ x P，y P），A （ x A， y A），依意直l 1原点， B （ x A， y A）．因为 P 上异于 A ，B 的点，直 PA 的斜率，直 PB 的斜率．即．W的方程化x24y2P 和点 A 都 W 上的点，+=4 ，因为点，两式相减得，因点 P 和点 A 不重合，因此，即；（Ⅲ）方法一：因为l 2， l3分平行于直PA， PB，直 l2的斜率 k CD =k 1，直 l3的斜率 k EF=k 2．设直线 l2的方程为y=k 1x，代入到椭圆方程中，得，解得．设 C（ x C， y C），由直线l2过原点，则D（﹣ x C，﹣ y C）．则=．因为 y C=k 1x C，因此 | CD| 2=，即| CD|2=．直线 l3的方程为y=k 2x，代入到椭圆方程中，得，解得．同理可得．则|CD2+|EF2．|| =由（Ⅱ）问，且 k1≠ 0，则．即| CD | 2+| EF|2=16化简得|CD|2+|EF2．|=16即|CD2EF2| +||=20 ．方法二：设 C（ x C， y C）， E（ x E， y E），由直线 l2， l3都过原点，则D（﹣ x C，﹣ y C）， F（﹣ x E，﹣ y E）．因为 l2， l3分别平行于直线PA， PB，则直线 l2的斜率 k CD =k 1，直线 l3的斜率 k EF=k 2，由（Ⅱ）得，可得．因为 k CD =k1≠ 0，则．因为点 C 不行能在 x 轴上，即 y C≠ 0，因此，过原点的直线l 3的方程为，代入椭圆W 的方程中，得，化简得．因为点 C（ x C， y C）在椭圆 W 上，因此，因此，没关系设x E=2y C，代入到直线中，得．即，则．| CD| 2+| EF|2===．又，因此 | CD | 2+| EF|2=20．2016年8月1日。
北京市昌平区2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i+i2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A． B． C．D．3．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．64．小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是（）A．23分钟B．24分钟C．26分钟D．31分钟5．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣4y+3=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定7．“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β9．设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k=（）A．±1B．C． D．10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是 ．12．复数= ．13．已知（5，0）是双曲线=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ，该双曲线的渐近线方程为 ．14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为 ．15．设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的点．若PF 1⊥F 1F 2，∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ．16．已知曲线C 的方程是，且m≠0）．给出下列三个命题：①若m ＞0，则曲线C 表示椭圆；②若m ＜0，则曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的值越大，椭圆的离心率越大．其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知直线l 过点A （1，﹣3），且与直线2x ﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．18．已知圆C的圆心为点C（﹣2，1），且经过点A（0，2）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，求k的值．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．过AB的平面与侧棱CC1，DD1分别交于点E，F．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求证：A1C1⊥平面DBB1D1．20．已知椭圆C：x2+4y2=4，直线与椭圆C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标；（Ⅱ）求实数b的取值范围；（Ⅲ）若b=1，求弦AB的长．21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PM⊥平面MDC；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MDC的体积．22．椭圆C： =1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x焦点相同，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i+i2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由i+i2=﹣1+i，知i+i2在复平面内对应的点（﹣1，1），由此能得到结果．【解答】解：∵i+i2=﹣1+i，∴i+i2在复平面内对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选B．2．抛物线y2=2x的准线方程是（）A． B． C．D．【考点】抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线y2=2px的准线方程为即可得出．【解答】解：由抛物线y2=2x，可得准线方程x=﹣，即．故选：C．3．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．故选：D．4．小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是（）A．23分钟B．24分钟C．26分钟D．31分钟【考点】流程图的作用．【分析】根据题干，起床穿衣﹣煮粥﹣吃早餐，同时完成其他事情共需26分钟，由此即可解答问题．【解答】解：根据题干分析，要使所用的时间最少，可设计如下：起床穿衣﹣煮粥﹣吃早饭．所用时间为：5+13+8=26（分钟），故选：C．5．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣4y+3=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣4y+3=0化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=1，圆心坐标为（0，2），半径为R=1，圆x2+y2=4，圆心坐标为（0，0），半径为r=2∵圆心之间的距离d=2，R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：B．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连结CD1，则直线A1B与直线EF均在平面A1BCD1上，由A1B∥CD1，EF与CD1相交可判断结论．【解答】解：连结CD1，∵BC A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∵A1B⊂平面A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，∴A1B与EF共面，∵A1B∥CD1，EF与CD1相交，∴直线A1B与直线EF相交．故选：A．7．“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数⇒b≠0，a=0，反之不成立．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数⇒b≠0，a=0，反之不成立．∴“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的必要不充分条件．故选：B．8．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；若l⊥α，l⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故选：D．9．设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k=（）A．±1B．C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将直线方程与椭圆方程联立，得（1+2k2）x2=2．分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，说明A，B的横坐标是±1，即方程（1+2k2）x2=2的两个根为±1，代入求出k的值．【解答】解：将直线与椭圆方程联立，，化简整理得（1+2k2）x2=2（*）因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1．代入方程（*），得k=±．故选：B．10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】如图所示，连接BE，由于SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，可得：CE⊥BE．设E（0，t）（0≤t≤3），由=0，解出即可判断出结论．【解答】解：如图所示，连接BE，∵SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，∴CE⊥BE．设E（0，t）（0≤t≤3），B（﹣1，3），C（﹣2，0），则=（2，t）•（1，t﹣3）=2+t（t﹣3）=0，解得t=1或2．∴E（0，1），或（0，2）．∴满足∠SEC=90°的点E的个数是2．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是∃x∈R，e x≤0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是：∃x∈R，e x≤0．故答案为：∃x∈R，e x≤0．12．复数= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =．故答案为：．13．已知（5，0）是双曲线=1（b＞0）的一个焦点，则b= 3 ，该双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．【解答】解：由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b=3，即有双曲线的方程为﹣=1，可得渐近线方程为y=±x ．故答案为：3，y=±x ．14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】四棱锥的底面为正方形，一条侧棱与底面垂直，求出四条侧棱的长比较大小即可．【解答】解：由三视图可知三棱锥的底面ABCD 是正方形，对角线AC=2，侧棱PA⊥平面ABCD ，PA=1，∴四棱锥的底面边长AB=，PB=PD==，PC==．∴三棱锥最长棱为．故答案为：．15．设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的点．若PF 1⊥F 1F 2，∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可得x P =﹣c ，代入椭圆方程求得P 的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），由题意可得x P =﹣c ，代入椭圆方程，解得y P =±b =±， 在直角三角形F 1PF 2中，tan60°==，即有b 2=2ac ，即为a 2﹣2ac ﹣c 2=0，由e=，可得e 2+2e ﹣=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．已知曲线C 的方程是，且m≠0）．给出下列三个命题：①若m ＞0，则曲线C 表示椭圆；②若m ＜0，则曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的值越大，椭圆的离心率越大．其中，所有正确命题的序号是 ②③ ．【考点】曲线与方程．【分析】据椭圆、双曲线方程的特点，列出等式求出离心率e ，判断正误．【解答】解：①若m ＞0，且m≠1，则曲线C 表示椭圆，不正确；②若m ＜0，则曲线C 表示双曲线正确，；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则当m ＞1时，椭圆的离心率e==，m 的值越大，椭圆的离心率越大，正确．故答案为：②③．三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知直线l 过点A （1，﹣3），且与直线2x ﹣y+4=0平行．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线m 与直线l 垂直，且在y 轴上的截距为3，求直线m 的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的截距式方程．【分析】（I ）利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；（II ）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直线l 与直线2x ﹣y+4=0平行可知l 的斜率为2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线l 过点A （1，﹣3），则直线l 的方程为y+3=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣5=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由直线m 与直线l 垂直可知m 的斜率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直线m 在y 轴上的截距为3，则直线m 的方程为即x+2y ﹣6=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知圆C 的圆心为点C （﹣2，1），且经过点A （0，2）．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C 相交于M ，N 两点，且，求k 的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C 相交于M ，N 两点，且，可得圆心C 到直线y=kx+1的距离为，利用点到直线的距离公式求k 的值．【解答】解：（Ⅰ）圆C 的半径﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由圆心为点C （﹣2，1），所以圆C 的方程为（x+2）2+（y ﹣1）2=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）圆心为点C （﹣2，1），半径为，，所以圆心C 到直线y=kx+1的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k 2=1，k=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．过AB 的平面与侧棱CC 1，DD 1分别交于点E ，F ．（Ⅰ）求证：EF∥AB；（Ⅱ）求证：A 1C 1⊥平面DBB 1D 1．【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD 为菱形，可得AB∥CD，易证AB∥平面D 1DCC 1，结合AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF∩平面D 1DCC 1=EF ，可得EF∥AB．（Ⅱ）由AA 1⊥平面ABCD ，可得BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，可证BB 1⊥A 1C 1，又底面A 1B 1C 1D 1为菱形，可得B 1D 1⊥A 1C 1，可得A 1C 1⊥平面DBB 1D 1，【解答】（本小题12分）解：（Ⅰ）∵底面ABCD 为菱形，∴AB∥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又AB ⊄平面D 1DCC 1，CD ⊂平面D 1DCC 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴AB∥平面D 1DCC 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF∩平面D 1DCC 1=EF ，﹣﹣﹣﹣﹣∴EF∥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵AA 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵底面A 1B 1C 1D 1为菱形，∴B 1D 1⊥A 1C 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵B 1D 1∩BB 1=B 1，BB 1⊂平面DBB 1D 1，B 1D 1⊂平面DBB 1D 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴A 1C 1⊥平面DBB 1D 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C ：x 2+4y 2=4，直线与椭圆C 交于不同的两点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标；（Ⅱ）求实数b 的取值范围；（Ⅲ）若b=1，求弦AB 的长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求得a ，b ，c ，即可得到所求焦点；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，再由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围； （Ⅲ）若b=1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程x 2+4y 2=4得， 可知 a 2=4，b 2=1，c 2=3，所以椭圆C 的焦点坐标；（Ⅱ）直线方程与椭圆C 的方程联立，得方程组，消y ，整理得x 2+2bx+2b 2﹣2=0，①，由直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，则有△=4b 2﹣4（2b 2﹣2）＞0，解得；（Ⅲ）若b=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅱ）中的①式得x1+x2=﹣2，x1x2=0，且k=，可得弦长．21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PM⊥平面MDC；（Ⅲ）求三棱锥P﹣MDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由AB∥CD，MA∥PD可得平面MAB∥平面PDC，故MB∥平面PDC；（II）由平面ABCD⊥平面AMPD可得CD⊥平面AMPD，故CD⊥PM，由勾股定理计算MP，MD，可得MP2+MD2=PD2，即PM⊥MD，于是MP⊥平面MDC；（III）以△MDC为棱锥的底面，则PM为棱锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，又∵MA∥PD，AB∩MA=A，CD∩PD=D，AB⊂平面ABM，MA⊂平面ABMCD⊂平面PDC，PD⊂平面PDC，∴平面ABM∥平面PDC，∵MB⊂平面ABM，∴MB∥平面PDC．（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面AMPD，平面ABCD∩平面AMPD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面AMPD，∵PM⊂平面AMPD，∴CD⊥PM．∵在直角梯形AMPD中，由，得，∴PM2+MD2=PD2，∴MD⊥PM，又CD∩MD=D，CD⊂平面MDC，MD⊂平面MDC，∴PM⊥平面MDC．（Ⅲ）由（Ⅱ）知PM是三棱锥P﹣MDC的高，．∴三棱锥P﹣MDC的体积．22．椭圆C： =1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x焦点相同，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，由离心率公式可得a=4，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，求得向量MP的坐标，再由模的公式，及二次函数的最值的求法，可得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2=8x焦点为（2，0），得c=2，由，得a=4，则b2=a2﹣c2=12，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．因为，所以=因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，取得最小值，而﹣4≤x≤4，故有4m≥4，解得m≥1，又点M在椭圆C的长轴上，即﹣4≤m≤4，故实数m的取值范围为1≤m≤4．。
北京朝阳2017-2018学年上学期高二期中试卷数学(理科)试题
…○…………装………学校:___________姓名：________…○…………装………绝密★启用前北京朝阳2017-2018学年上学期高二期中试卷数学（理科）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为−1且倾斜角为3π4的直线方程为（）． A ．x +y +1=0 B ．x +y −1=0 C ．x −y +1=0 D ．x −y −1=0 2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为（）．A ．B ．C ．D ．3．下列命题中，正确的是（）．①若一平面内有两条直线都与另一平面平行，则这两个平面平行； ②若一平面内有无数条直线与另一平面平行，则这两个平面平行； ③若一平面内任何一条直线都平行于另一平面，则这两个平面平行； ④若一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，则这两个平面平行． A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④4．已知三点A (1,0)，B (0, 3)，C (2, 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）．○…………外…………………○…………订………在※※装※※订※※线※※内※※答※※题○…………内…………………○…………订………5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面： ①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ②若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ③若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β． 上述四个命题中，正确命题的序号是（）． A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④6．向量a =(1,1,0)，b =(0,1,1)，c =(1,0,1)，d =(1,0,−1)中，共面的三个向量是（）． A ．a ，b ，c B ．b ，c ，d C ．c ，d ，a D ．d ，a ，b7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）．A ．2 5B ．2 6C ．2 7D ．4 28．己知k ∈R ，点P (a ,b )是直线x +y =2k 与圆x 2+y 2=k 2−2k +3的公共点，则ab 的最大值为（）．A ．15B ．9C ．4D ．19．如图，四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD = BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面A ′−BCD ．使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（）．A ．∠BA ′C =90°B ．AC ′⊥BD○…………线……___○…………线……C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′−BCD 的体积为13 10．如图，正方体中，，分别为棱，上的点. 已知下列判断：①平面；②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关. 其中正确判断的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个1111ABCD A BC D -E F 1DD AB 1AC ^1B EF 1B EF D 11BCC B1111A B C D 1B EF 1B EF ABCD E F○…………外……装…………○………订…………○……※不※※要※※在※※装※※订※※内※※答※※题※※○…………内……装…………○………订…………○……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．若方程x 2+y 2−2ax +4y =5a 表示圆，则实数a 的取值范围是__________． 12．如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1和B 1D 1所成角的大小为___________，直线BC 1和平面B 1D 1DB 所成角的大小为___________．13．如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =2，AA 1=3，∠BAD =90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，则AC 1=___________．14．己知圆x 2−2ax +y 2=0与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点．O 是坐标原点，且∠AOB ≥120°，则实数a 的取值范围是___________．15．“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而水平面上积聚的深度，降水量以m m 为单位．为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为__________m m ．○…………外…………○………○…………线………：___________○…………内…………○………○…………线………16．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱长均为2．点M 是侧棱AA 1的中点，点P 、Q 分别是侧面BCC 1B 1，底面ABC 的动点，且A 1P ∥平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ．则点Q 的轨迹的长度为___________．三、解答题17．已知圆C :(x −a )2+(y −2)2=4(a >0)及直线l :x −y +3=0，直线l 被圆C 截得的弦长为2 2． （1）求实数a 的值．（2）求过点P (3,5)并与圆C 相切的切线方程．18．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为2的正方形．D 为线段AC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面ACC 1A 1． （2）求证：直线AB 1∥平面BC 1D ．（3）设M 为线段BC 1上任意一点，在△BC 1D 内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ?请说明理由．………○…………线※※题※※………○…………线19．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ⊥AD ，AD =CD =2AB =2，E 、F 分为PC 、CD 的中点，DE =EC ． （1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ． （2）若PA =1，求四面体BDEF 的体积．（3）设PA =a ，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角θ∈ π4，π3 ，求a 的取值范围．参考答案1．A【解析】由题意可得，直线的斜率k=−1，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y=−x−1，即x+y+1=0，故选A．2．D【解析】【分析】根据三视图的特点，画出几何体的正视图，即可得到答案．【详解】该几何体的正视图如下所示：故选：D．【点睛】本题考查空间图形的三视图的做法，属于基础题，易错点：对角线的方向可能出错．3．C【解析】【分析】分别根据面面平行的定义和面面平行的判定定理进行判定．【详解】①根据面面平行的判定定理可知，平面内的两条直线必须是相交直线，否则面面不平行．②根据面面平行的定义可知，必须是平面内的所有直线都与另外一个平面平行，否则面面不平行．③根据面面平行的定义可知，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，正确．④根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了面面平行的定义和面面平行的判定定理的应用，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．4．C【解析】【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【详解】因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=1+(p−3)2，得p=233圆心坐标为P（1，233），所以圆心到原点的距离|OP|=(233)=1+129=213，故选：C．【点睛】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，理解外接圆的性质并灵活运用是解决本题的关键．5．C【解析】【分析】根据线面平行（或垂直）的判定定理与性质定理逐一进行判断即可.【详解】若m⊂β，α⊥β，则m⊥α或者m∥α或者m与α相交，所以①错误．②若n⊥α，n⊥β则α∥β，又因为m⊥α，所以根据线面垂直的定义可得m⊥β，所以②正确．③若α∥β，m⊂α，则m∥β，由线面平行的定义可得③是正确的．④若α⊥γ，β⊥γ则α与β可能平行也可能相交，只有当α∥β，且m⊥α时有m⊥β，当α与β相交时不满足m ⊥β，所以④错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，主要考查了线面垂直的判定与线面平行及面面垂直的性质定理．需要答题者有一定的空间想像能力及根据条件做出正确联想的能力． 6．D 【解析】 【分析】假设三向量共面，根据共面定理，得出向量的线性表示，列出方程组，求出方程组的解，即可判断这组向量是否共面． 【详解】对于A ，设a →、b →、c →三向量共面，则a →=x b →+y c →，∴（1，1，0）=x （0，1，1）+y （1，0，1）=（y ，x ，x +y ）； ∴ x =1y =1x +y =0 ，此方程组无解， ∴a →、b →、c →三向量不共面； 同理，C 、D 中三向量也不共面；对于B ，设a →、b →、d →三向量共面，则a →=x b →+y d →，∴（1、1、0）=x （0、1、1）+y （1、0、﹣1）=（y 、x 、x ﹣y ）； ∴ x =1y =1x −y =0 ，此方程组有唯一的解， ∴a →、b →、d →三向量共面． 故选：D ． 【点睛】本题考查了判断空间向量是否共面的问题，属于基础题． 7．C 【解析】试题分析：画出该四面体D −ABC 的直观图如下图所示由三视图及直观图可知，CD⊥CB,CD⊥AC,CD=CB=CE=2,AE=2AC= 22+(23)2=4AD= AC2+CD2=25,BD= CD2+CB2=22,AB=42+(23)2=27，故选C．考点：三视图．视频8．B【解析】【分析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．【详解】由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=2≤2−2k+3解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+13）2﹣103，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选：B．【点睛】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．9．A【解析】【分析】根据题意，依次分析命题：对于A可利用反证法说明真假；对于B△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于C由CA'与平面A'BD 所成的角为∠CA'D=45°知C的真假；，对于D利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．【详解】由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，故A正确；若B成立可得BD⊥A'D，产生矛盾，故B不正确；由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知C不正确；，D不正确．V A′﹣BCD=V C﹣A′BD=16故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是折叠前后那些垂直关系保持不变．10．B【解析】分析：由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可解答：解：如图对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定值，故正确；对于③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E 与D重合时的二面角与F与B重合，E与D重合时的情况就不一样．故此命题不正确综上，②③是正确的故选B11．(−∞,−4)∪(−1,+∞)【解析】方程x2+y2−2ax+4y=5a表示圆，则4a2+16=20a>0，即a2+5a+4>0，解得a<−4或a>−1，实数a的取值范围是(−∞,−4)∪(−1,+∞),故答案为(−∞,−4)∪(−1,+∞)．12．60°30°【解析】【分析】连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，由B1D1∥BD，得∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，由此能求出直线BC1和B1D1所成角的大小；推导出C1O⊥平面B1D1DB，从而∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，由此能求出直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小．【详解】连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，∵B1D1∥BD，∴∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，∵BD=BC1=DC1，∴∠DBC1=60°，∴直线BC1和B1D1所成角的大小为60°；正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1D1⊥A1C1，BB1⊥A1C1，B1D1∩BB1=B1，∴C1O⊥平面B1D1DB，∴∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，∵OC1=12BC1，∴sin∠OBC1=OC1BC1=12，∴∠OBC1=30°．∴直线BC1和平面B1D1DB所成角为30°．故答案为：60°，30°．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．13． 23【解析】【分析】首先，画出图形，然后，结合AC 1→=AC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．【详解】平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1，如图所示：∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上，∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，∵AB=1，AD=2，AA 1=3，∵AC 1→=AC →+CC 1→=AB →+AD →+AA 1→∴|AC 1→|2=（AB →+AD →+AA 1→）2=|AB →|2+|AD →|2+|AA 1→|2+2AB →⋅AD →+2AB →⋅AA 1→+2AD →⋅AA 1→=1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12=23， ∴|AC 1→|= 23，∴AC 1等于 23．故答案为： 23．【点睛】本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．14．(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】【分析】由题意可知，若∠AOB ≥120°，则 AB ≥2 3，即O 到直线AB 的距离小于等于1.【详解】∵圆x 2−2ax +y 2=0与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点，∴直线AB ： x 2−2ax +y 2 − x 2+y 2 =−4，即ax =2若若∠AOB ≥120°，则 AB ≥2 3，即O 到直线AB 的距离小于等于1.∴ 2a ≤1∴实数a 的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)故答案为：(−∞,−2]∪[2,+∞)【点睛】本题考查了两圆间的位置关系，解题关键是把两圆间的关系转化为直线与圆间的关系，进而转化为垂径定理问题即可.15．1 【解析】设圆锥形液面的底面半径为r ，则圆锥容器的底面半径为2r ，圆锥形液面的体积，设降水量为x ，则()224ππ2r r x =⋅，解得1x =,故答案为1. 16．43 【解析】【分析】根据已知可得点Q 的轨迹是过△MBC 的重心，且与BC 平行的线段，进而根据正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中棱长均为2，可得答案．【详解】∵点P 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1P ∥平面BCM ，则P 点的轨迹是过A 1点与平面MBC 平行的平面与侧面BCC 1B 1的交线，则P 点的轨迹是连接侧棱BB 1，CC 1中点的线段l ，∵Q 是底面ABC 内的动点，且PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹是过l 与平面MBC 垂直的平面与平面ABC 的线段m ，故线段m 过△ABC 的重心，且与BC 平行，由正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中棱长均为2，故线段m 的长为：23×2=43，故答案为：43【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．17．（1）a=1；（2）5x−12y+45=0或x=3【解析】试题分析：（1）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（2）把（1）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x=3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由3,5和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.试题解析：（1）根据题意可得圆心C(a,2)，半径r=2，则圆心到直线l:x−y+3=0的距离d=22=2，由勾股定理可以知道d2+2222=r2，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=−3，又a>0，所以a=1．（2）由（1）知圆C:(x−1)2+(y−2)2=4，圆心为(1,2)，半径r=2，点(3,5)到圆心的距离为4+9=13>r=2，故点(3,5)在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为y−5=k(x−3)，则圆心到切线的距离d=k2+1= r=2，化简得：12k=5，故k=512．∴切线方程为y−5=512(x−3)，即5x−12y+45=0，当切线方程斜率不存在时，直线方程为x=3与圆相切，综上，过点P(3,5)并与圆相切的切线方程为5x−12y+45=0或x=3．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可；（2）连接B1C交BC1于O，连接OD，D为AC 中点，得到AB1∥OD，利用线面平行的判定定理可得；（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明．【详解】（1）证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥平面ABC，又∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1．（2）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥AB1，又OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上，证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（1）可知，BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D=D，得CE⊥平面BC1D，∵DM⊂平面BC1D，∴CE⊥DM．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．（1）见解析；（2）16；（3）255,2155【解析】【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）明确锥体的高为DF，即可得到几何体的体积；（3）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，∴ABFD为矩形，AB⊥BF，又∵DE=EC，F是CD中点，∴CD⊥EF，∵AB∥CD，∴AB⊥EF，∵BF∩EF=F，∴AB⊥平面BEF，又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）∵AB⊥平面BEF，AB∥DF，∴DF⊥平面BEF，∵AB=CD=2AB=2，∴△BEF中，BF=2，EF=12PD=52，BE=12PD=52，∴△BEF的面积S=12×2×54−1=12×2×12=12，∴四面体BDEF的体积V=13S⋅DF=13×12×1=16．（3）∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD，又AB⊥PD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,a)，C(2,2,0)，E1,1,a2，∴BD=(−1,2,0)，BE=0,1,a2，平面BCD的法向量n1=(0,0,1)，设平面EBD的法向量为n2=(x,y,z)，则n2⋅BD=0n2⋅BE=0，即−x+2y=0y+az2=0，取y=1，得x=2，z=−2a，则n2=2,1,−2a，∴cosθ=2a4+1+42=5a2+4，∵平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈π4,π3，∴cosθ∈12,22，即2∈12,22，由5a2+4≥12，得：−2155≤a≤2155，由5a2+4≤22得：a≤−255或a≥255，∴a的取值范围是255,2155．【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.。
北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学文试题
北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测 高二年级数学文科试卷 2018.1（考试时间100分钟 满分 120分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 命题“x ∀∈R ，sin 0x x +>”的否定是A. x ∀∈R ，sin 0x x +≤B. 0x ∃∈R ，00sin 0x x +≤C. 0x ∃∈R ，00sin 0x x +>D. x ∀∈R ，sin 0x x +≥2.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为假命题．．．的是 A. 若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥ B. 若αβ⊥，αγ⊥，则//βγC. 若//αβ，m α⊂，则//m βD. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ 3．“3a =”是“直线40x y -+=与圆()()2238x a y -+-=相切”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别是侧棱PA ，PB ，PC 的中点. 给出下列三个结论：①//BC 平面DEF ；②平面//DEF 平面ABC ；③三棱锥P DEF -与三棱锥P ABC -的体积比为1:4．其中正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 5.若函数()1sin 2f x x x =-，03a b π<<<，则下列说法一定正确的是 A. ()()3f a f π< B. ()()f a f b = C. ()()f a f b < D. ()()f a f b > 6.已知如图为某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为A. 1B.C. 3D. 37. 设F 是抛物线C ：28y x =的焦点，P 是抛物线C 上一点，点M 在抛物线C 的准线上，若4FM FP =，则直线FP 的方程为A. 2)y x =±-B. 2)y x =±-C. 2)y x =-D. 2)y x =-8. 已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A.B. 1C. 1D.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.9. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为 ． 10.若函数()3223(1)68()f x x a x ax a =-+++∈R 在3x =处取得极值，则a 的值为 ． 11. 如图，若三棱柱ABC A B C '''-的底面面积为S ，高为h ， 则三棱锥A BB C ''-的体积为 ．（用S ，h 表示）12. 若直线3450x y -+=与圆222(1)(0)x y r r +-=>相交于A ，心，且120ACB ︒∠=，则r 的值为 ．13. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，①如果B 为短轴的一个端点，且1290F BF ∠=，则椭圆C 的离心率为 ；②若椭圆C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．14．已知平面内圆心为M 的圆的方程为22(3)16x y -+=，点P 是圆上的动点，点A 是平面内任意一点，若线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是 ．（请将下列符合条件的序号都填入横线上）①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）A已知圆C ：222210(x y x ay a +--+=∈R 且0)a ≠的圆心在直线1l ：10x y -+=上，过点(2,0)P 的直线2l 与直线1l 垂直，2l 交圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求a 的值及直线2l 的方程； （Ⅱ）求弦AB 的长．16. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，PA ⊥底面ABCD ， T 为直线BC 上一动点． （Ⅰ）求证：CP BD ⊥；（Ⅱ）若E ，T 分别为线段PA ，BC 的中点，求证：//BE 平面PDT ； （Ⅲ）直线BC 上是否存在点T ，使得平面PAD ⊥平面PDT ？若存在，求出BTBC的值；若不存在，请说明理由．17. （本小题满分13分）已知函数2()ln f x ax x =-(a 为正实数)．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间,[1e]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．18. （本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)P -，且离心率为（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，在y 轴上存在点Q 满足QA QB =， 求QAB △面积的最大值．北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测DB高二年级数学学科（文科）参考答案 2018.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为圆C 的圆心坐标为(1,)a 且在直线1l 上，所以112a =+=．因为12ll ⊥，所以2l的斜率1k =-．因为2l 过点)0,2(P ，故所求2l ：20x y +-=． ………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知圆C 的标准方程为22(1)(2)4x y -+-=．因为圆心C (1,2)到直线2l 的距离d =又圆C 的半径2r =．所以2AB === 12分 （16） （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结AC ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为ACPA A =，所以BD ⊥平面PAC ．故CP BD ⊥． ………………… 4分（Ⅱ）证明：取PD 中点F ,连结EF ，TF ．DT P B又因为E 为线段PA 中点，所以//EF AD ，1=2EF AD ．因为四边形ABCD 为菱形，T 为线段BC 的中点，所以//BT AD ，1=2BT AD ． 所以//EF BT ，=EF BT ．故四边形BEFT 为平行四边形，所以//BE FT ． 又因为BE ⊄平面PDT ，FT ⊂平面PDT ，所以//BE 平面PDT ． ………………… 8分（Ⅲ）解： 直线BC 上存在点T ，使得平面PAD ⊥平面PDT ，且32BT BC =．理由如下： 如图，过D 作DT BC ⊥的延长线于T ，连结PT ．因为菱形ABCD 中//BT AD ，所以D T AD ⊥． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA DT ⊥．又因为ADPA A =，所以DT ⊥平面PAD ． 又因为D T ⊂平面PDT ， 故平面PAD ⊥平面PDT ．因为在DCT △中，90DTC ∠=，60DCT ∠=，所以1122CT CD BC ==． 故直线BC 上存在点T ，使得平面PAD ⊥平面PDT ，且32BT BC =．…… 12分 （17）（本小题满分13分）解： （Ⅰ）当2a =时，2()2ln .f x x x =-由(1)2f =，知(1,2)P . 因为1'()4f x x x=-，所以'(1)3f =. 所以()f x 在点P 处的切线方程为310x y --=. ………………… 4分 （Ⅱ）因为2()ln (0)f x ax x a =->，所以2121'()2(0,0).ax f x ax x a x x -=-=>> 令221'()0ax f x x-==，即2210ax -=，得10x =>，20x =<（舍）.DB当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因此，需同时满足1e (1)0(e)00f f f ⎧<<⎪⎪⎪⎨⎪⎪<⎪⎩≥≥，解得211e 2e a <≤．故a 的取值范围是211[,)e 2e． ………………… 13分 （18） （本小题满分13分）解： （Ⅰ）因为22222234c a b e a a -===，所以224a b =. 因为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)P -，所以22411a b+=，解得28a =，22b =. 故椭圆C ：22182x y +=. ………………… 4分 （Ⅱ）设直线的l 的方程为12y x m =-+，11(,)A x y ，12(,)B x y ，AB 中点为00(,)M x y . 因为y 轴上存在点Q 满足QA QB =， 所以Q 是线段AB 的垂直平分线与y 轴交点.联立221,21,82y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得，222240x mx m -+-=. 令2248160m m ∆=-+>，解得， 22m -<<，根据韦达定理得：122x x m +=，21224x x m ⋅=-. 则12121()22y y x x m m +=-++=，所以1202x x x m +==，12022y y m y +==，即(,)2m M m . 则线段AB 的垂直平分线的方程为2()2m y x m -=-，即322my x =-. 易得3(0,)2mQ -.QAB △的高MQ m =，弦长AB ====所以1122QAB S MQ AB m ==△2254522m m +-=⋅=.当且仅当224m m =-，即m =时，QAB S △取得最大值为5.………………… 13分。
数学-北京市朝阳区2017届高三(上)期末试卷(文)(解析版)
北京市朝阳区2017届高三（上）期末试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤2} 2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜0 4．（5分）已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B．C．D．5．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．10．（5分）圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=．13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．（5分）甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n项和．17．（13分）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．18．（14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．19．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥P A，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=ln x+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．参考答案一、选择题1．C【解析】∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴∁U A={x|x≥1}，则（∁U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C2．D【解析】==1﹣i，故选：D．3．D【解析】对于A：∵a＜b，则a﹣b＜0，b﹣a＞0，∴A不对．对于B：∵a＜b，当a＜0＜b，则，∴B不对．对于C：∵a＜b，当a＜b＜0，则ab＞b2，∴C不对．对于D：∵a＜b，则a3＜b3，即a3﹣b3＜0，∴D对．故选D．4．B【解析】∵向量=（1，0），=（﹣，），∴+=（，），•（+）=（1，0）•（，）=，设与+的夹角为θ，则由cosθ===，可得θ=，故选：B．5．A【解析】若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．6．D【解析】∵M是双曲线上的一点，|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，由正弦定理可得，=，即=，解得sin∠MF2F1=，∴∠MF2F1=60°或120°，当∠MF2F1=60°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=2．即c=1，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=∴e==+1，当∠MF2F1=120°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=|MF1|=1．即c=，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=，∴e===，故选：D．7．C【解析】由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2×=，高h=，故体积V==，故选：C8．B【解析】设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B二、填空题9．4110【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．10． 3【解析】把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣1）2=4，可得圆心坐标为（﹣1，1），则圆心到直线3x+4y+14=0的距离d==3．故答案为：311．30【解析】第一次，i=1，满足条件，i＜6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件i＜6，程序终止，输出S=30，故答案为：3012．105°【解析】由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sin A=，∵0°＜A＜135°，∴A=30°，则C=180°﹣30°﹣45°=105°，故答案为：105°13．[﹣，0]【解析】先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0）．故答案为：．[﹣，0）．14．甲【解析】若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意．若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意．故答案为：甲三、解答题15．解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，依题意q＞0．因为，两式相除得：q2+q﹣6=0，解得q=2，q=﹣3（舍去）．所以．所以数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）解：由已知可得b1﹣a1=3﹣2=1，b2﹣a2=6﹣4=2，因为{b n﹣a n}为等差数列，所以数列{b n﹣a n}是首项为1，公差为d=1的等差数列．所以b n﹣a n=1+（n﹣1）=n．则．因此数列{b n}的前n项和：=（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=．17．解：（1）茎叶图如图，（2）设甲被抽到的成绩鞥即为x，乙被抽到的成绩为y，则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为；（3）派甲参赛比较合理．理由是．．==31.6．因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定．18．证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD．因为AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC．又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BD∩BE=B，所以AC⊥平面BDE．（Ⅱ）设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，则AF∥OG，且AF=OG．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，因为AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD．又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AD⊥平面ABEF．由（Ⅱ）可知，AC∥平面DEF，所以，点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，所以V C﹣DEF=V A﹣DEF．因为AB=AD=2AF=2．所以=．故三棱锥C﹣DEF的体积为．19．解：（Ⅰ）设P（x，y），则，整理得（x≠±2）．（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m．由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）＞0，解得4k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，；所以=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥P A，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得2k2+1=m2…②．由①②，得．20．解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x e x+x2，因为f'（x）=x e x+2x，所以f'（1）=e+2．又f（1）=1，则所求的切线方程为y﹣1=（e+2）（x﹣1）．化简得：y=（e+2）x﹣e﹣1．（Ⅱ）因为f'（x）=x（e x+2a）①当a=0时，函数f（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，函数当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；函数当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=﹣1，f（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x﹣1取，显然x0＜0且g（x0）＞0所以f（0）f（1）＜0，f（x0）f（0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由f'（x）=x（e x+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．若，则ln（﹣2a）≤0．故当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）在单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）至多有一个零点．又当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上没有零点．所以函数f（x）不存在两个零点．若，则ln（﹣2a）＞0．当（ln（﹣2a），+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）至多有一个零点．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0；当x∈（0，ln（﹣2a））时，f'（x）＜0；所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单增，（0，ln（﹣2a））上单调递减，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上的最大值为f（0）=﹣1＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上没有零点．所以f（x）不存在两个零点．综上，a的取值范围是（0，+∞）．（III）证明：当a=0时，f（x）﹣g（x）=（x﹣1）e x+e x﹣ln x﹣x﹣1．设h（x）=x e x﹣ln x﹣x﹣1，其定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可．因为，所以h'（0.1）＜0，h'（1）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（0，1），且．当0＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）﹣g（x）≥0．。
北京市朝阳区高二数学上学期期末考试(文) 新人教版
北京市朝阳区2009-2010学年高二年级上学期期末考试数学学科试卷（文科）（考试时间100分钟； 卷面总分100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．倾斜角为45︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x =-- C ．1y x =-+ D ．1y x =-2．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为 （ ） A .13 B . 23 C . 43 D . 833．已知p ：“03x <<”,q ：“33x -<<”,则p 是q （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 命题“0x ∃∈R ，20010x x ++≤”的否定是 （ ）A ．x ∀∈R ，210x x ++≤B ．x ∀∈R ，210x x ++> C ．0x ∃∈R ，20010x x ++> D ．x ∀∈R ，210x x ++≥5．直线10ax y ++=与圆()2211x y -+=相切，则a 的值为（ ）A. 0B. 1C.2D. 1-6．已知椭圆两个焦点的坐标分别是()1,0-，()1,0，并且经过点()2,0，则它的标准方程是 （ ）A ．22123x y +=B ．22132x y +=C ．22134x y +=D ．22143x y += 7．抛物线28x y =-的准线方程是 （ ） A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y8．函数()sin xf x x=的导数是 （ ） A ．2sin cos x x x x + B ．2cos sin x x x x + C ．2sin cos x x x x - D ．2cos sin x x x x -9．函数()3262f x x x =-+的单调递减区间是 （ ）A ．()2,2-B ．()0,4C ．()4,4-D ． ()(),4,4,-∞-+∞ 10．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ② //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭，其中为真命题的是 （ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.若直线1:10l mx y +-=与2:250l x y -+=垂直，则m 的值是 ． 12．若双曲线方程为221x y -=，则双曲线的焦点坐标是_________． 13．曲线1x y e =+在点(0，2)处的切线方程是_________________．14．已知,a b 是两条异面直线，直线//c a ，那么c 与b 的位置关系是_________________． 15．若一个正方体的所有顶点都在同一个球的球面上，且这个球的半径为1，则该正方体的棱长为 ．16.直线20x y +=与圆2262150x y x y +---=相交于A 、B 两点，则线段AB 的长等于 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）-中，M为DH的中点．如图，在棱长为2的正方体ABCD EFGH（1）求证：FC平面ADHE;（2）求FM的长;（3）求证：平面BDHF⊥平面AMC．A18. （本题满分12分）已知椭圆G 的中心在坐标原点, 焦点1F 、2F 在x 轴上,椭圆G 上一点N 到1F 和2F 的距离之和为6．(1)求椭圆G 的方程；（2）若1290F NF ∠=，求∆12NF F 的面积； (3)若过点M )1,2(-的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．19. （本题满分12分）已知函数3213()32f x x x bx c =-++，且()f x 在1x =处取得极值． （1）求b 的值；（2）若当x ∈［－1,94］时，27()6f x c <-恒成立，求c 的取值范围； （3）对任意的1x ，2x ∈［－1, 94］，1214()()3f x f x -≤是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由．北京市朝阳区高二年级上学期期末考试数学学科试卷答案（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．D . 2．C . 3．A ． 4. B ． 5．A. 6．D. 7．B ． 8．D ． 9．B ． 10．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2． 12．()．（写出一个焦点坐标给两分） 13．20x y -+=．14．相交或异面．（写出一个答案给两分） 15．16.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本题满分12分）(1)连结ED ，因为 EF CD =,并且EFCD ， 所以FC ED …….2分因为ED ⊂平面ADHE ，FC ⊄平面ADHE ， 所以FC平面ADHE …….4分（2）因为1HM =,FH =…….6分在直角三角形FMH 中，222FM FH HM =+,所以3FM =…….8分(3)因为HD ⊥平面ABCD ，所以AC HD ⊥,又因为AC BD ⊥,BD DH D =,所以AC ⊥平面BDHF …….10分又AC ⊂平面AMC ，则平面BDHF ⊥平面AMC …….12分18. （本题满分12分）解：（1）设椭圆G 的方程为：22221x y a b+= （0a b >>）半焦距为c .则263a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩ , …………………2分解得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩, 222954b a c ∴=-=-=所以椭圆G 的方程为22194x y +=．…………………4分（2）若1290F NF ∠=，则在Rt ∆12NF F 中，222121220NF NF F F +==.…… 5分又因为126NF NF +=. …… 6分 解得128NF NF =，所以12NF F S ∆=12142NF NF =………8分(3)设A 、B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，M 的坐标为)1,2(-， 当k 不存在时，A 、B 关于点M 对称显然不可能. ……9分 从而可设直线l 的方程为1)2(++=x k y ，代入椭圆G 的方程得0273636)1836()94(2222=-+++++k k x k k x k ， 2222(3618)4(49)(363627)k k k k k ∆=+-++-=2169(543)k k ⨯-+=22111645()0525k ⎡⎤⨯-+>⎢⎥⎣⎦……………10分 因为A ，B 关于点M 对称，所以21221892249x x k k k ++=-=-+，解得98=k ， 所以直线l 的方程为,1)2(98++=x y即02598=+-y x （经检验，符合题意）．………………………12分19. （本题满分12分） 解：（1）因为3213()32f x x x bx c =-++， 所以'2()3f x x x b =-+．……………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以'(1)130f b =-+=．解得2b =．……………………………………………………4分 （2）因为3213()232f x x x x c =-++． 所以'2()32f x x x =-+(1)(2)x x =--， 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此当1x =时，()f x 有极大值56c +．…………………………………6分 又945()464f c =+<56c +，23(1)6f c -=-+<56c +， ∴x ∈［－1, 94］时，()f x 最大值为5(1)6f c =+ ．………………7分∴27566c c ->+．∴1c <-或2c > ．…………………………………………………………8分（3）对任意的1x ，2x ∈［－1,94］，1214()()3f x f x -≤恒成立． 由（2）可知，当x =2时，()f x 有极小值23c +．又23(1)6f c -=-+23c <+，523(1)66f c c =+>-+． ∴x ∈［－1, 94］时，()f x 的最小值为－236＋c ．………………………10分∴12max min 14()()()()3f x f x f x f x --=≤，故结论成立．………………12分。
2017_2018学年北京朝阳区北京市朝阳外国语学校高二上学期理科期末数学试卷解析
答案 （1）
．
（2） 当 当 当
时， 时，
时，
， ，
．
解析 （1）
，
，
，
，
∴
，即
，
．
（2）
，
令
，
，
，
①
， ， 在 单调递增，
∴
，
②
Байду номын сангаас
，
，
在
单调递减，
单调递增，
，
③
，
，
在 单调递减，
，
综上：① ，
，
②
，
，
③
，
．
考点
函数与导数 导数及其应用 导数概念及其几何意义
导数的运算
利用导数研究函数的单调性
利用导数求函数的极值与最值
2017~2018学年北京朝阳区北京市朝阳外国语学校 高二上学期理科期末数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1 已知 ：
，
，则 是（ ）．
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案 D
解析 已知 ：
，
，则 是
，
．
故选： ．
考点
集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 简单的逻辑联结词
全称量词与存在量词
2“
”是“方程
，
，
，∴
，
，
∴椭圆方程为：
．
（2） 设
，
，
∵线段 的垂直平分线经过点 ，
∴
，
∴
，
，
∴直线 的方程为： （3） 点 在椭圆 上，设
∵
，
∴
2018北京朝阳区高二(上)期末数学(理)
2018北京朝阳区高二（上）期末数 学（理） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.命题“,sin 0x R x x ∀∈+”的否定是A. ,sin 0x R x x ∀∈+≤B. 000,sin 0x R x x ∃∈+≤C. 000,sin 0x R x x ∃∈+D. ,sin 0x R x x ∀∈+≥2.设,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题为假命题．．．的是 A. 若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥ B. 若αβ⊥，αγ⊥，则//βγC. 若//αβ，m α⊂，则//m βD. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥3.“3a =”是“直线40x y -+=与圆22()(3)8x a y -+-=相切”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，在三棱锥P ABC -中，,,D E F 分别是侧棱 ,,PA PB PC 的中点，给出下列三个结论：①//BC 平面DEF ；②平面//DEF 平面ABC ；③三棱锥P DEF -与三棱锥P ABC -的体积比为1:4.其中正确的个数是A. 0B. 2C. 2D.35.已知圆221:4241O x y x y +-++=，圆222:(1)4O x y -+=，则两圆的位置关系为A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切6.已知如图为某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为 A. 137++ B.236+ C. 37+ D. 36+7.设F 是抛物线2:8C y x =的焦点，P 是抛物线C 上一点，点M 在抛物线C 准线上，若4FM FP =，则直线FP的方程为 A. 22(2)y x =±- B. 23(2)y x =±- C. 3(2)y x =±- D. 15(2)y x =±-8.已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=（,a b 不同时为0）的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为 A. 5 B. 51- C. 1 D. 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试
数学（文）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 命题“，”的否定是
A．，B．，
C．，D．，
2. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为
假命题的是
A．若，，，则B．若，，则
D．若，，，则C．若，，则
3. “”是“直线与圆相切”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4. 如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点. 给出下列三个结论：①平面；②平面平面；③三棱锥与三棱锥的体积比为．其中正确的个数是
A．B．
C．D．
5. 若函数，，则下列说法一定正确的是
B．C．D．
A．
6. 已知如图为某三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为
A．
B．
C．
D．
7. 设是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，点在抛物线的准线上，若，则直线的方程为
A．B．
C．D．
8. 已知点，过点作直线，不同时为的垂线，垂足为，则的最小值为
A．B．C．D．
二、填空题
9. 双曲线的渐近线方程为________________.
10. 若函数在处取得极值，则的值为_________．
11. 如图，若三棱柱的底面面积为，高为，则三棱锥
的体积为_________．（用，表示）
12. 若直线与圆相交于，两点，为圆心，且，则的值为_________．
三、双空题
13. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，①如果为短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为_________；②若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为_________．
四、填空题
14. 已知平面内圆心为的圆的方程为，点是圆上的动点，
点是平面内任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹可能是_________．（请将下列符合条件的序号都填入横线上）
①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.
五、解答题
15. 已知圆：且的圆心在直线：
上，过点的直线与直线垂直，交圆于，两点．
（Ⅰ）求的值及直线的方程；
（Ⅱ）求弦的长．
16. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，
底面，为直线上一动点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，分别为线段，的中点，求证：平面；（Ⅲ）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
17. 已知函数为正实数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围．
18. 已知椭圆：过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上存在点满足，求面积的最大值.。