离散数学第十章基本图类及算法习题答案
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离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。
（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。
（3）请穿上外衣。
（4）2＋1＝0。
（5）任一个实数的平方都是正实数。
（6）不存在最大素数。
（7）明天我去看电影。
（8）9＋5≤12。
（9）实践出真知。
（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。
解：（1）、（2）、（3）不是命题。
（4）、（8）是假命题。
（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。
（7）是命题，只是现在无法确定真值。
2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。
（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。
（2）我将去书店，仅当我有时间。
（3）天不下雪。
（4）天下雪，我将不去书店。
解：（1）（┐P∧R）→Q。
（2）Q→R。
（3）┐P。
（4）P→┐Q。
3. 将下列命题符号化。
（1）王皓球打得好，歌也唱得好。
（2）我一边看书，一边听音乐。
（3）老张和老李都是球迷。
（4）只要努力学习，成绩会好的。
（5）只有休息好，才能工作好。
（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。
（7）我们不能既游泳又跑步。
（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。
（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。
反之亦然。
（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。
（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。
（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。
解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。
原命题可符号化：P∧Q。
（2）P：我看书，Q：我听音乐。
原命题可符号化：P∧Q。
（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。
原命题可符号化：P∧Q。
（4）P：努力学习，Q：成绩会好。
原命题可符号化：P→Q。
（5）P：休息好，Q：工作好。
原命题可符号化：Q→P。
（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。
离散数学及其应用集合论部分课后习题答案
作业答案：集合论部分P90:习题六5、确定下列命题是否为真。
（2）ÆÎÆ（4）{}ÆÎÆ（6）{,}{,,,{,}}a b a b c a b Î解答：（2）假（4）真（6）真8、求下列集合的幂集。
（5）{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}（6）{{,2},{2}}Æ解答：（5）集合的元素彼此互不相同，所以{2,1,1,2}{1,2}=，所以该题的结论应该为{,{{1,2}},{{2,1,2}},{{2,1,1,1}},{{1,2},{2,1,2},{2,1,1,1}}}Æ（6）{,{{,2}},2,{{,2},{2}}}ÆÆÆ9、设{1,2,3,4,5,6}E =，{1,4}A =，{1,2,5}B =,{2,4}C =,求下列集合。
（1）A B（2）()A B 解答：（1）{1,4}{3,4,6}{4}A B ==（2）(){1}{2,3,4,5,6}A B ==31、设A,B,C 为任意集合，证明()()()()A B B A A B A B --=-证明：()(){|}{|()()}{|()()()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()(A B B A x x A B x B A x x A x B x B x A x x A x B x B x B x A x A x B x A x x A x B x B x A x x A B x A x B x x A B x A x B x x A B x A B x x AB x A--=Î-ÚÎ-=ÎÙÏÚÎÙÏ=ÎÚÎÙÏÚÎÙÎÚÏÙÏÚÏ=ÎÚÎÙÏÚÏ=ÎÙÏÚÏ=ÎÙÎÚÎ=ÎÙÎ=ÎÙÎ)}B A B AB=-34、设A,B 为集合，证明：如果()()A B B A AB --=，则AB =Æ。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案,DOC
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
离散数学及应用课后习题答案
离散数学及应用课后习题答案【篇一：离散数学及其应用图论部分课后习题答案】p165:习题九1、给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）g1??v1,e1?，v1?{v1,v2,v3,v4,v5}，e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v3,v3),(v4,v5)} （2）g2??v2,e2?，v2?v1，e1?{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v5),(v5,v1)} （3）d1??v3,e3?,v3?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v3?,?v3,v2?,?v4,v5?,?v5,v 1?} （4）d2??v4,e4?,v4?v1,e3?{?v1,v2?,?v2,v5?,?v5,v2?,?v3,v4?,?v4,v 3?} 解答：（1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设g是n(n?2)阶无向简单图，g是它的补图，已知?(g)?k1,?(g)?k2，求?(g)，(g)。
解答：?(g)?n?1?k2；?(g)?n?1?k1。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d）同构，同构函数为12f(x)345解答：（1）三条边一共提供6度；所以点度序列可能是x?ax?bx?c x?dx?e16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
①3，3，0，0，0，0；②3，2，1，0，0，0；③3，1，1，1，0，0；④2，2，2，0，0，0；⑤2，2，1，1，0，0；⑥2，1，1，1，1，0；⑦1，1，1，1，1，1；由于是简单图，①②两种情形不可能图形如下：（2）三条边一共提供6度，所以点度序列可能为①3，3，0；②3，2，1；③2，2，2 由于是简单图，①②两种情形不可能21、在图9.20中，下述顶点序列是否构成通路？哪些是简单通路？哪些是初级通路？哪些是回路？哪些是简单回路？哪些是初级回路？（1）a,b,c,d,b,e；（2）a,b,e,d,b,a；（3）a,d,c,e,b；（4）d,b,a,c,e;（5）a,b,c,d,e,b,d,c；（6）a,d,b,e,c,b,d；（7）c,d,a,b,c；（8）a,b,c,e,b 解答：（1）构成通路，且为初级通路，因为点不重复（2）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边(a,b) （3）构成了初级通路，因为点不重复；（4）不构成通路，因为边(a,c)不存在；（5）构成通路，但是不为简单通路和初级通路，因为有重复的边(d,c) （6）构成了回路，但是不为简单回路和初级回路，因为有重复的边(d,b) （7）构成了初级通路；（8）简单通路，但是不为初级通路，有重复边。
《离散数学》题库及标准答案
《离散数学》题库及标准答案《离散数学》题库及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：《离散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
离散数学课后习题答案第四章
离散数学课后习题答案第四章离散数学课后习题答案第四章第⼗章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的⼆元运算是否封闭：（1）整数集合Z 和普通的减法运算。
封闭,不满⾜交换律和结合律，⽆零元和单位元（2）⾮零整数集合普通的除法运算。
不封闭（3）全体n n ?实矩阵集合（R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。
封闭均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律；加法单位元是零矩阵，⽆零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。
不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：不封闭因为 +?-=--?=R 1111111ο（6）n关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律加法单位元是0，⽆零元；乘法⽆单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n运算定义如下：封闭不满⾜交换律，满⾜结合律，（8）S =关于普通的加法和乘法运算。
封闭均满⾜交换律，结合律，乘法对加法满⾜分配律（9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满⾜交换律，结合律（10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满⾜交换律，结合律10．令S={a ，b}，S 上有四个运算：*，分别有表10.8确定。
(a) (b) (c) (d)(1)这4个运算中哪些运算满⾜交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满⾜，零元为a,没有单位元； (b)满⾜交换律和结合律，不满⾜幂等律，单位元为a,没有零元b b a a ==--11,(c)满⾜交换律,不满⾜幂等律,不满⾜结合律 a b a b b a b a a b b a ====οοοοοο)(,)(b b a b b a οοοο)()(≠ 没有单位元, 没有零元(d) 不满⾜交换律，满⾜结合律和幂等律没有单位元, 没有零元 (1) 求每个运算的单位元，零元以及每⼀个可逆元素的逆元。
《离散数学》(左孝凌 李为鉴 刘永才编著)课后习题答案 上海科学技术文献出版社
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
《离散数学》刘任任版第十章
习题十1．证明：若G 是简单图，则()()q p p G 2/22-≥χ.分析：()G χ指G 的点色数，显然如果()G χ=k ，则G 的顶点集可以划分为k 个独立集。
设每个独立集的顶点数为p i ，则∑=ki i p 1=p ，由柯西－施瓦丝不等式有： 且由于每个独立集中的任意两个点不邻接，所以第i 个独立集中任何一点的度不会大于p-p i ，本题的关键是利用这两个结论。
2．()k G =χ的临界图G 称为k 临界图. 证明：唯一的1临界图是1K ，唯一的2临界图是2K ，仅有的3临界图是长度为奇数3≥k 的回路.分析：若G 的每个点都是临界点，则G 称为临界图。
由于1-色图是零图，因此1-临界图仅能是1K ，2-色图是2部图，因此2-临界图仅能是2K ，3-色图恒含奇圈，且奇圈至少是3-色才能正常着色，因此3-临界图仅能是长度为奇数3≥k 的回路.证明：（1）()11=K χ，且()01=-v K χ<1，故K1是1临界图；反之，G 是1-临界图，若|V(G)|>1，则G 是零图，()1=-v G χ，所以|V(G)|=1，从而G 是平凡图K1。
（2）()22=K χ，且()1),(22=-∈∀v K K V v χ，故K2是2临界图；反之，G 是2-临界图，即()2=G χ，于是G 的顶点可划分为两个极大独立集V1和V2，若|V1|>1，则())(2),(1G v G G V V v χχ==-⊆∈∀，与G 是临界图矛盾，因此|V1|=1，同理|V2|=1。
因此G=K2。
（3）因为不含奇回路的图是二分图)2)((=G χ。
故3-色图必含奇回路。
显然，奇回路必是3-临界图。
设G 是含奇回路的3-临界图。
若G 不是奇回路，则可分两种情况讨论：)2/()( 2 2 )()(2 ,,1,| | ,, ,)( 2222221222211112221121q p p G x q p p k k p q p k p p p p p p p p p p v d q p p V k p k p p k i p V V V k G k G x ki i p i k i k i k i i i i i i i i k i i k i i i i k -≥-≥≥--≤-=-=-≤=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥===∑∑∑∑∑∑∑=======故，即从而而个顶点相邻，每个顶点最多与其它且），（柯西－施瓦丝不等式因为。
离散数学第10章习题答案
第10章习题答案1.解 (1)设G 有m 条边，由握手定理得2m ＝∑∈Vv v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。
(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。
(3) 由握手定理得∑∈Vv v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中至多有9个结点。
2.证明 设1v 、2v 、…、n v 表示任给的n 个人，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G 。
由握手定理知∑=nk kv d 1)(＝3n 必为偶数，从而n 必为偶数。
3. 解 由于非负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=ni i d 1≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、(3)、(5)能构成无向图的度数列。
(1)、(2)、(3)是可简单图化的。
其对应的无向简单图如图所示。
(5)是不可简单图化的。
若不然，存在无向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。
而1v 只能与2v 、3v 、4v 之一相邻，设1v 与2v 相邻，于是d(3v )＝d(4v )＝3不成立，矛盾。
4.证明 因为两图中都有4个3度结点，左图中每个3度结点均与2个2度结点邻接，而右图中每个3度结点均只与1个2度结点邻接，所以这两个无向图是不同构的。
5. 解 具有三个结点的所有非同构的简单有向图共16个，如图所示，其中(8)~(16)为其生成子图。
6. 解 (1)G 的所有子图如图所示。
(1)(3)(5)(6)(9)(10)(13)(14)(2)图(8)~(18)是G 的所有生成子图。
离散数学练习题及答案
一、填空题1、集合的表示方法有两种： 法和 法。
请把“奇整数集合”表示出来{ }。
1、列举；描述；}12|{Z k k x x ∈+=，2、无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是不含有奇数度结点.2*、连通有向图D 含有欧拉回路的充分必要条件是D 中每个结点的入度＝出度. 3、设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是 、自反性、对称性、传递性.4、有限图G 是树的一个等价定义是：连通无回路（或任一等价定义）.5、设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“自然数都是整数，而有的整数不是自然数”符号化为∀x (N (x )→Z (x ))∧∃x (Z (x )∧⌝N (x ))6、在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和,第j 列元素之和分别为 、结点v i 的出度和结点v j 的入度． 7、设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧⇔∧，那么命题B A ↔是重言式的真值是 1 ．8、命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为P ∧⌝Q ．9、 设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若 ，则G '是G 的真子图，若V '=V ,E '⊆E ，则G '是G 的生成子图. E E V V E E V V ⊆'='⊂'⊂',;或 10、在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri ir 1)deg(＝2∣E ∣,其中r i(i =1,2,…,r )是G 的面．11、设}2,1{},,{==B b a A ，则从A 到B 的所有映射是11、σ1={（a ，1），（b ，1）}；σ2={（a ，2），（b ，2）}；σ3={（a ，1），（b ，2）}；σ4={（a ，2），（b ，1）}12、表达式∀x ∃yL （x ，y ）中谓词的定义域是{a ，b ，c }，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 12、（L （a ，a ）∨L （a ，b ）∨L （a ，c ））∧（L （b ，a ）∨L （b ，b ）∨L （b ，c ））∧（L （c ，a ）∨L （c ，b ）∨L （c ，c ）） 12*、设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为 (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))13、含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 14、设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )= R ⋂S15、设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是2=-+e r v16、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和≥n ，则G 一定是哈密顿图. 17、一个有向树T 称为根树，若 ，其中 ，称为树根，称为树叶. 若有向图T 恰有一个结点的入度为0，其余结点入度为1；入度为0的结点；出度为0的结点.18、图的通路中边的数目称为 . 结点不重复的通路是 通路. 边不重复的通路是 通路. 通路长度；初级；简单. 19、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：、-a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q↔ (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P↔Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（d)）e)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）f)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
离散数学(第二版)最全课后习题答案详解
27.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,证明: 重言式.
是重言式当且仅当 A 和 B 都是
解：
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
由真值表可得，当且仅当 A 和 B 都是重言式时，
0 0 0 1 是重言式。
28. 设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,…,pn的公式,已知
，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如 果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。
真值为 1.
真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
（2）p: 是无理数.
（7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 π. （13）p:2008 年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
（1）5 是有理数.
答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式 q 的真值
5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 或 3 是偶数. （2）2 或 4 是偶数. （3）3 或 5 是偶数. （4）3 不是偶数或 4 不是偶数. （5）3 不是素数或 4 不是偶数.
答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数 (1)符号化: p q∨ ，其真值为 1. (2)符号化：p r∨ ，其真值为 1. (3)符号化：r t∨ ，其真值为 0. (4)符号化：¬ ∨¬q s，其真值为 1. (5)符号化：¬ ∨¬r s，其真值为 0.
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
《离散数学》课后习题答案
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
四川大学离散数学(冯伟森版)课后习题答案习题参考解答(图论部分)
习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)v 1v 5v 3v 4v 2将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学习题答案
P Q R QR PQR
00 0
0
1
00 1
1
1
01 0
1
1
01 1
1
1
（2）
10 0
0
0
10 1
1
1
11 0
1
1
11 1
1
1
P Q R Q R P (Q R)
0 00
1
1
0 01
1
1
0 10
0
0
0 11
1
1
1 00
1
1
1 01
1
1
1 10
0
1
1 11
1
1
（3）
P Q P P Q Q P Q (P Q) (P Q)
1.6 答案：
1（1） P P （2） (P Q) (P Q) （3） (P P) (Q Q) 2．（1） F （2） (P Q) （3） (P Q R)
1.7 答案：
1．（1） (P Q) F （2） (P Q) (P (Q R))
（3） (P T ) R （4） ((P Q) R) P
2（1） (P Q) R （2） P Q P Q 3．（1）析取范式 P Q ；合取范式 P (P Q)
（2）析取范式 (P Q R) (R P) (R Q) ； 合取范式 (P R) (Q R) (P Q R)
（3）析取范式 P∨(Q∧┐R) ；合取范式(P∨Q)∧(┐R∨P ) （4）析取范式（P┐Q）（Q┐P）；合取范式(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)
(5) C
T(3,4) I
(10) C C （矛盾） T(5,9)
8．证明 P Q ， Q R ， P S ， S R (P Q) 。
离散数学及其应用(课后习题)
离散数学及其应用（课后习题）习题1.12. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若224+>，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2. 令P ：天气好。
Q ：我去公园。
请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2）P Q →。
（3）Q P →。
（6）P Q ↔。
习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。
（3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。
（6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。
（10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。
解：（1）P Q →。
（3）P Q →。
（6）Q P ⌝→。
（10）()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。
习题1.41. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。
解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。
证明：()(()()) ()()) ()() ()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧（4）()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。
证明：()()()() () ()P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。
离散数学习题答案-ch10-ch13-2015
习题十1、设G是一个（n,m）简单图；证明：m≤C(n,2)等号成立，当且仅当G是完全图证明：此题有两个内容，第一方面证明简单图满足 m≤C(n,2)，第二证明，m=C(n,2)当且仅当G是完全图(1): 因为在简单无向图中，每个结点的最大度数为n-1，所以图的总度数的上限为n(n-1),所以边的上限为n(n-1)/2，因此任意一个简单无像图G，其边数满足：m≤n(n-1)/2= C(n,2) (2)：m=C(n,2) ⇒ G是完全图因为，当m=C(n,2)时，全图的总度数为n(n-1),因此其平均点度为(n-1)，因为n阶简单无向图中点度的最大值为（n-1）,所以此时每个点的度数都相同并为（n-1）,根据完全图的定义，此图为完全图G是完全图⇒ m=C(n,2)当G为完全图时，既每个结点都和其他结点相邻，所以全图的总边数 m = n(n-1)/2 = C(n,2)4、证明：在（n,m）图中δ≤2m/n≤Δ证明：因为2m/n 代表简单无向图的平均点度值，所以平均值大于等于最小值，小于等于最大值，结论成立6、设G是（n,m）简单二部图，证明：m≤n2/4证明：设G的两个顶点集合中顶点个数分别为n1,n2，并有 n = n1 + n2 (1式)；同时，在简单二部图中，当其为完全二部图是，其边数最大，及max(m) = n1 ×n2 (2式)；联立（1）（2）式，通过高等数学的知识，当n1=n2=1/2n时，max(m)取得最大值 n2/4 ，所以一般（n,m）简单二部图，其边数小于等于此最大值既 m≤n2/49、如果G ≌ G’，称G是自补图；确定一个图为自补图的最低条件：画出一个自补图解：因为G和自己的补图同构，那么G和G’应该有相等条数的边，所以 m = m’，又因为m + m’= n(n-1)/2，所以G的边的条数必须满足m = n(n-1)/4.因此图G的阶数或阶数减一必需是4的倍数，这就是最低条件。
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
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习题十三
2
设G=（V，E）是一个具有2k(k>0)个奇数度结点的连通图。证 明：G中必存在k条边不相重的简单道路P1,P2,…,Pk, 使得 E=E(P1) E(P2) … E(Pk). 证明：把2k个奇数度结点分成两两一组的k组，然后每组结点新 加一条边，所得图为欧拉图，故存在欧拉回路。 再去掉欧拉回路中的k条新加入的边，得到k条互无重复边的道 路P1,P2,…,Pk, 即为所求。
习题十三
5
2 4 v10 6 5 3 2 v5
v1
3 v6 1 v11 1 5 1 v4 v9 2 1 v7 1 3 v2
求图中，中国邮递员问题的解。
v8 4
v3
解：图中有4个奇数度结点v1,v6,v9,v3, 求两两之间最短长度： Pv1v6=3 (v1v6), Pv1v9=7 (v1v2v3v4v9),
可得n10，与已知矛盾。所以原题得证。
习题十二
5
n 12
证明：少于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度不大于4。 证明：假设 5，可Байду номын сангаас 5n 2m 由平面性，2m 6n-12
再将n 12 代入5n 2m ，得m 30，与已知矛盾。所以 原题得证。
习题十二
9
若一平面图与其对偶图同构，则称这个平面图为自对偶图。推 导自对偶图必须满足的结点数n与边数m的关系，并找出一个 自对偶图。 解：如果G是自对偶图，在欧拉公式中必有n=f, 于是m=2(n-1).
Pv1v3=4 (v1v2v3), Pv6v9=7 (v6v7v8v9), Pv3v6=6 (v3v8v7v6), Pv3v9=3 (v3v4v9),
Pv1v6和Pv3v9满足最小性要求，
复制v1v6和v3v4v9的边，图中欧拉回路即为所求解。
证明：连通图G是平面欧拉图当且仅当其对偶图是平面二 部图。 证明： “”：当G是平面欧拉图时，G的点度是偶数，对应G* 的面度应是偶数，说明G*的回路都是偶长回路，从而G* 是二部图。 “”：当G*是平面二部图时，它的面度都是偶数，因而 G的各点度均为偶数，故G是平面欧拉图。
习题十一
1
设一个树中度为k的结点数是nk(2k)，求它的叶的数目。 解：设n个结点的树有t个叶， 由已知 n=t+∑ni
i=2
2(n-1)=t+ ∑ini 消去式中的n: 2= t+ ∑(2-i)ni
i=2 i=3 i=2
即： t= ∑(i-2)ni + 2
习题十一
10
设e是连通图Ｇ的一条边，证明: e是割边当且仅当e含于G的每 个生成树中. 证明: ()如果割边e不在G的某个生成树中,则G- e仍有生成树, 即仍连通,与割边的定义相矛盾.
()如果e是每个生成树的公共边,则去掉e后G- e不再连通,即e 为G 的割边.
习题十一
2
树T中最长道路的起点和终点必都是T的叶. 证明: 设u到v的道路是树中最长道路，如果u或v不是叶，由道 路唯一性，必有u或v的邻接结点不在该道路上，因此这条 道路可延长至w，与最长条件矛盾。
习题十一
12
用Kruskal算法求图的一个最小生成树。 解：边按序排列：ab,gc,eg,ed,af,fd,fe,dc,fb,bd,ag,bc 按算法构造生成树边集为：{ab,gc,eg,ed,af,fd}, W(T)=8.
n个人定期围圆桌而坐，商讨事务，他们希望每人每次两旁的人都和以前 的不同，这样的安排最多有多少种？
解：将人看作图的结点，邻座关系作为图的边。每次安排方式对应一个 Hamilton回路。因为每人每次两旁的人都和以前不同，所以每2种 安排方式对应2个无公共边的Hamilton回路。 因每个人都可与其余人邻座，所以本问题转化为在Kn中找出所有无公共 边的Hamilton回路的个数。
f6(1)+f6(2)=1
无合理解。
a 2 f 3 e 1 d 3 4 1 2 4 g 1 6 c 5 1 b
用Kruskal定理证明Peterson图不是平面图。 证明：下面是Peterson图的一个子图， 它与k3,3的细分图同构，所以Peterson图不是平面图。
习题十二
3
设G是阶数不小于11的图，证明：G或G中至少有一个是非平 面图。 证明：假设G和G都是平面图，可得n(n-1)/2 6n-12， 所以 n2-13n+24 0
Kn共有n(n-1)/2条边，每条Hamilton回路的长度为n，因此Kn中最多有 (n-1)/2条无公共边的Hamilton回路。因此，最多有(n-1)/2种安排。
例如n=7时，共有3种就座方式，分别是： ① 1 2 3 4 5 6 7 1
②
③
1 3 5 7 2 4 6 1
1 4 7 3 6 2 5 1
习题十三
解：
15
用2种以上办法判别下图不是Hamilton图。
①用必要条件，选7个结点，去掉后剩9支。
②注意观察，发现是平面二部图，因为所有回路都是偶长，那就可对结 点进行二部划分：一部是7个，另一部是9个结点。但二部图要成为 Hamilton图必须2部结点数相同。 ③ 2(f4(1)-f4(2))+4(f6(1)-f6(2))=0 f4(1)+f4(2)=12