复变函数与积分变换期末、考研重点复习试题

工程数学（数值计算）习题课

[例15-1] 求0122

=+-x x 的Newton 迭代法格式为： ，收敛阶为： 。

[解]（1）

2

21

221-+--=+k k k k k x x x x x ，（2）收敛阶为： 1（线性收敛） 。

[例15-2] 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。

（1）x =(co s x +sin x )/4； （2）x =4–2x

2

ln )

4ln(1n n x x -=

+

[例21] 设f (x )=(x 3a )2，

（1）写出解f (x )=0的Newton 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。 f (x )=(x 3-a )2f '(x )=6x 2(x 3-a )

1'

()

,0,1,2,()

k k k k f x x x k f x +=-

=L

321232()5,0,1,2,6()66k k k k k k k

x a a

x x x k x x a x +-=-=+=-L

25()66a x x x ϕ=

+'35()63

a x x ϕ-=- 3*a x ='*335511

()()163632

a x a ϕ-=

-=-=<0≠

[例22] 用牛顿法求f (x )=x 3–3x –1=0在x 0=2附近的根，要求有四位有效数字（准确解是x =1.）。

[解]：因为f (x )=x 3–3x –1=0，所以f '(x )=3x 2–3

由牛顿公式可得：

取初值x 0=2，计算结果见下表：

故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。

[例25] 用快速弦截法求x 3–3x –1=0在x 0=2附近的实根，设取x 1=，算到四位有效数字为止。 [解]：设f (x )=x 3–3x –1，由快速弦截公式：

即：3

)

(12

1

12111-++++=

----+k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x 0=2，x 1=计算结果见下表：

故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。

[例32] 给出数据点：0134

19156i i

x y =⎧⎨=⎩

（1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式L 2(x )，并计算x =的近似值2(1.5)L 。

[解]：（1）由Lagrange 插值得：2

220

()()-1.66679.6667 1i i i L x y l x x x ===++∑

于是：2(1.5)

11.75L =

[例33] 已知f (0)=1，f (1)=2，f (2)=4，求f (x )的二次插值多项式。

[解]：

[例38] 给定正弦函数表如下：

x sin x

[解]：用二次插值选取x 0=，x 1=，x 2=，按抛物线插值公式有：

计算得：≈，（准确值=……）

[例40] 已知函数e -x 的下列数据

用逐步插值方法求x =的值。

[解]：当x=，按逐步插值公式

计算结果见下表：

故≈，（准确值）

[例48-1] 计算积分

⎰

1

5

.0dx x ，取4位有效数字，用梯形公式求得的近似值为：（ ） ；梯

形公式的代数精度为：（ 1 ） 。

[例49] 证明求积公式))()((12

)())()((2)(''

2a f b f a b b f a f a b dx x f b

a

---+-≈⎰

的代数精度

是3。

[50] Find the constants 01,c c and 1x so that the quadrature formula （求积公式）

10110

()(0)()f x dx c f c f x ≈+⎰

has the highest possible degree of precision (代数精度).

Solution. Making 10110

()(0)()f x dx c f c f x =+⎰

hold for each 2()1,,f x x x =

gives

01112111,

1/2,1/3

c c c x c x +=== Solving the equations for 01,c c an

d 1x yields 011/4,3/4c c == and 12/3x =.

Since

1333

011

1/42/90x dx c c x =≠=•+⎰

, we see that the quadrature formula 10

132

()(0)()443

f x dx f f ≈

+⎰

has the degree of precision 2.

[例53] 分别用梯形公式和辛卜生公式计算积分

⎰+1

024dx x x

，

（n =8），并比较结果。 [解]：由复化梯形公式：)]()(2)([21

1

1

b f x f a f h T n k k n ++=∑-=

和复化辛卜生公式：)]()(2)(4)([61

112

12

b f x f x f a f h S n k k n k k n +++=∑∑-==-

则125.08011=-=

h ，25.04

12=-=h 所以1114.07822.18218≈⨯⨯=

T ，1116.06774.26

25

.04≈⨯=S 计算结果见下表：