复变函数与积分变换期末、考研重点复习试题
【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案
复习题2一．单项选择题1．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A）),(y x u 在),(00y x 处连续（B）),(y x v 在),(00y x 处连续（C）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A）3-（B）2-（C）1-（D）13．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4．下列命题中，正确的是()（A）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()（A）iπ2-（B）0（C）iπ2（D）iπ46．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ()（A）1sin -（B）1sin （C）1sin 2i π-（D）1sin 2i π7．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A）i +-43（B）i +43（C）i -43（D）i --4311.ii 的主值为()（A）0（B）1（C）2πe（D）2eπ-12．ze 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A）)(z f 在复平面上处处解析（B）)(z f 以π2为周期（C）2)(iziz e e z f --=（D）)(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i 6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i 6561+15．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()（A）2iπ（B）2i π-（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()（B）i π2-（B）0（C）iπ2（D）iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18．设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()（A）0（B）i π2（C）10（D）5i π20．积分21sin z z zdz ==⎰()（A）0（B）61-（C）3i π-（D）iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A ．一B ．二C ．三D ．四22.下列等式成立的是().A ．Lnz Lnz 77=；B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i；D ．)z z Re(z z =。
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
《复变函数与积分变换》期末、考研重点复习试题
工程数学（数值计算）习题课[例15-1] 求0122=+-x x 的Newton迭代法格式为： ，收敛阶为： 。
[解]（1）221221-+--=+k k k k k x x x x x ，（2）收敛阶为： 1（线性收敛） 。
[例15-2] 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。
（1）x =(cos x +sin x )/4； （2）x =4–2x2ln )4ln(1n n x x -=+[例21] 设f (x )=(x 3−a )2，（1）写出解f (x )=0的Newton 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。
f (x )=(x 3-a )2f '(x )=6x 2(x 3-a )1'(),0,1,2,()k k k k f x x x k f x +=-=321232()5,0,1,2,6()66k k k k k k kx a ax x x k x x a x +-=-=+=-25()66a x x x ϕ=+'35()63a x x ϕ-=- 3*a x ='*335511()()163632a x a ϕ-=-=-=<0≠[例22] 用牛顿法求f (x )=x 3–3x –1=0在x 0=2附近的根，要求有四位有效数字（准确解是x =1.）。
[解]：因为f (x )=x 3–3x –1=0，所以f '(x )=3x 2–3由牛顿公式可得：取初值x 0=2，计算结果见下表：故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。
[例25] 用快速弦截法求x 3–3x –1=0在x 0=2附近的实根，设取x 1=，算到四位有效数字为止。
[解]：设f (x )=x 3–3x –1，由快速弦截公式：即：3)(12112111-++++=----+k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x 0=2，x 1=计算结果见下表：故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。
复变函数与积分变换复习重点及 习题
双曲函数 shz ez ez , chz ez ez ；
2
2
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz 。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数
1）点可导：
f
z0
=
lim
z 0
f
z0
z
z
f
z0
；
2）区域可导： f z 在区域内点点可导。
c
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设 f z 在单连域 B 内解析， c 为 B 内任一闭曲线，则
f z dz 0
c
6
2．复合闭路定理： 设 f z 在多连域 D 内解析，c 为 D 内任意一条简单闭曲线，c1, c2, cn 是 c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 c1, c2, cn 为
复变函数与积分变换期末考试复习知识点
(一)复数的概念
1.复数的概念： z x iy ， x, y 是实数, x Re z , y Im z . i2 1.
注：两个复数不能比较大小.
2.复数的表示
1）模： z x2 y2 ；
2）幅角：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 ( , ] 中的幅角。
2 i n!
f
n z0
n
曲线 c 内有多于一个奇点： f z dz
f z dz （ ci 内只有一个奇点 zk ）
c
k 1 ck
n
或： f z dz 2i Re s[ f (z), zk] （留数基本定理）
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数与积分变换期末考试题
一、单项选择题（每小题3分，共21分，将选择答案填入下列表格）1．函数在区域内可导是在区域内解析的（）（A）充分不必要条件（B）充分必要条件（C）必要不充分条件（D）既非充分也非必要条件2．ln(-1的主值为（）（A）无定义的（B）0（C）πi （D）(2k+1πi(k为整数3．是直线段，为原点，为, 则（）（A）1+i （B）0（C）1 （D）以上答案都不对4. （）（A）i （B）2i（C）3i（D）4i5．下列级数中绝对收敛的级数为（）（A）（B）（C）（D）6．.以z=0为本性奇点的函数是（）（A）（B）（C）（D）7.δ函数的傅氏变换F 为：（）（A） -2（B） -1（C） 1 （D） 2二、填空题(每小题3 分，共21分，将答案填在空白处8．设函数，，，则的充要条件是_______________________。
9．若，则=__________________。
10．幂极数的收敛半径为__________________。
11．若，则__________________。
12．设f(z=，则Res[f(z,0]= __________________。
13．函数在z=0处的泰勒展开式为__________________。
14．设则 L[]=__________________。
三、计算题(15题12分，16题24分，17题12分，18题10分，共58分，要求写出详细过程15. 判定下列函数何处可导？何处解析？（1）; （2）。
16．计算积分 (1 , 其中为的任何复数, C为正向圆周|z|=1,(2 , C为正向圆周|z|=2,(3 , C为正向圆周|z|=2。
(第三小题要求用留数做17．求在圆环域和内的罗朗级数展开式。
18．求微分方程的解。
一、单项选择题（每小题3分，共21分，将选择答案填入下列表格）1．不等式所表示的区域为（）（A）角形区域（B）圆环内部（C）圆的内部（D）椭圆内部2．在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（）（A）sinz是周期函数（B）sinz是解析函数（C）|sinz|（D）3．设C为正向圆周，则积分为（）（A）（B）1（C）-1 （D）04．复数列的极限为（）（A）-1（B）0（C）1 （D）不存在5. δ函数的傅氏变换为（）（A）-2 （B）-1（C）1 （D）26．z=0不为可去奇点的函数是（）（A）（B）（C）（D）7．下列函数中，为解析函数的是（）（A）（B）（C）（D）二、填空题(每小题3 分，共21分，将答案填在空白处8．的指数表示式___________。
复变函数及积分变换期末考试卷及答案
一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
【复变函数与积分变换期末复习题】
试确定解析函数 f (z) u iv ，且 f (0) 0 .（8 分）
解：u v 3x y 且 f (z) u iv 解析
ux vy
则
u
y
ux
vx vx
3
uy vy 1
求出 u 2 x y c,v x 2 y c
F (s)
106 页积分性质
0
s
（3 分）
L [ f (t)] F (s)
（4 分）
lim L[
s0
t 0
f
(t
)dt
]
lim
s0
1
cos s2
4s
lim
s0
2sin 2 2s s2
lim
s0
22s2
s2
8
(8 分)
7.已知 u, v 均是以 x, y 为自变量的实二元函数，且 u v 3x y ，
为正向圆周：
z
7
。（6
分）
3. 计算积分 Im(z2 z)dz ，其中 C 为从原点到1 i 的直线段。（6 分） C
4. （1）求 Im(tani) 。（6 分）
4.（2）求（1 i）i 。 (6 分)
5.已知函数 F
(f
(t
2
))
e2 1
j
j
，求 F
(tf
(t
)) 1
cos i ch1
Im(tani) th1
4.（2）求（1 i）i 。 (6 分)
解：
（1 i）i = eLn(1i)i
e e = iLn(1i) = i[ln 1i iArg (1i)]
《复变函数与积分变换》试卷及答案
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换期末试题附有答案
复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换复习题汇总(答案)
复变函数与积分变换复习题汇总(答案) 复变函数与积分变换复习题汇总(答案)一、填空2(cosisin)2ei41、33，2、(2k12)i3、1212i，1212i4、6xyi(3x23y2)5、z0，二级极点6、437、x[(2)(2)]8、1ss，Re(ss0)009、110、011、tan1bax12、z1，本性，z，可去13、mn14、nzn1，1015、2ki16、(t)12[(t2)(t2)]二、证明题1、ux2vxyyx2xuy0vxyvyx当xy0时，f(z)才可导，即f(z)仅在z0可导f(z)处处不解析2、|sin2i||ei(2i)ei(2i)2i||e2e22|1|cos2i|同理可证。
三、判断正误1、×2、×3、×4、√5、×6、√7、√√10、×11、×四、计算题1、由Cauclcy-Rieman方法易知，f(z)在复平面上处处解析且f"(z)(3x23y2)i6xy或f(z)(xiy)3z3f"(z)3z22、左式11dz2i[231dz24)zi]0C(z4)ziC(z或：左式Res[f(z),zi]Res[f(z),zi]03、a在c处解析，左式=0a在c处解析，za是三级极点左式2i2!(sinz)""zaisina4、f(z)2i(3271)"z2i[6z7]f"(z)12if"(1i)12i15、f(z)z12(1nz1n11z1)()022、×9、121122n36、左式22z(z1)zz0z2z3(111)21|1zz2z31zz|12jt2jtF(2sincost)F(sin2t)F(ee)7、2jtj[(2)(2)]t1a8、L(1ate)L(1)aL(te)S(s1)219、f(t)21||jwteedwecostd01jt1jte(ee)d220t扩展阅读：复变函数与积分变换复习题+答案复变函数与积分变换复习题汇总一、填空题1、1i3的三角函数表示为_____________________；2i的指数函数表示为______________________；1i2、ln(1)___________________；3、i有两个根，他们分别是_________________和_______________；4、f(z)y3xyi(x3xy)，则3232f(z)___________________；5、ez1的孤立奇点为Z=______________，其类型为_________________；3z1e2z，0]________________；6、Res[4z7、g[1]2()，则g[cos2t]__________________；s0t[e]____________________;8、3nnz9、的收敛半径是_______________；n13ndz_____________，其中C：10、2z2z4c11、Zabi，a与b是实数，且a12、sin|z正向；0，b0，则argZ________;1有两个奇点，一个是Z=_______，是_________奇点；另一个是Z=________，是_________1z奇点；13、Z0是14、f(z)15、exp f1(z)与f2(z)的m级和n级极点，则Z0是f1(z)f2(z)的___________级极点；1展为Z的幂级数后的结果为________，其收敛半径为_____________;(1z)2z的周期是________________；216、2cos的Fourier逆变换为________________；二、证明题1、函数f(z)x2ixy在平面上处处不解析2、对于z2i,|sinz|1和|cosz|1均不成立三、判断正误（请在括号内划“√”或“×”）1、i2i；（）2、z是任意复数，则z2|z|2；（）3、f"(z0)存在，那么f(z)在z0处解析；（）4、u和v都是调和函数，v是u的共轭调和函数，则-u是v的共扼调和函数；（5、u、v都是调和函数，则u+iv必为解析函数；（）6、f(z)uiv解析，则uvuxy，yvx；（）7、f(z)解析，则下面的导数公式全部正确。
复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-高起本
《复变函数与积分变换》复习题一、判断题1、cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )2、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )3、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）.( )5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz .( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导，则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）.( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( )10、若0lim ()zz f z 存在且有限，则0z 是函数()f z 的可去奇点.( )二、选择题 1.arg13i ( )A.-3π B.3πC.32πD.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ，则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy7.0z 是3sin zz 的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.410.整数0k 则Res[cot ,]z =（ ）A.1kB.0C.1kD.k11、设复数1cossin33z i ，则arg z （ ）A.-3B.6C.3D.2312、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴13、下列说法正确的是（ ）。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]
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一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-专升本
《复变函数与积分变换》复习题一、填空题1、写出复数1i +的其他两种表示形式：______________________；______________；2、ln(3)-= __________________；3、221Re [3,]s z z z++∞=___________； 4、映射2w z =，在1z i =+处的旋转角是___________，伸缩率_____________；5、设2()cos f t t t =+，则()f t 的拉氏变换为______________。
6、3270z +=的根为__________；7、1i e -+ 的模__________；8、2213Re [2(1),1](1)1s z z z ++-=--__________； 9、3,02i z e θθπ=≤≤，表示何种曲线_________；10、映射21w z =-，在z i =处的旋转角是________，伸缩率_________。
二、计算题1、解方程 380z +=2、(1Re )Cz dz +⎰，其中C 为沿虚轴从i -到i 3、()21z zdz z =-⎰ 4、112cos z z dz z=⎰ 5、用留数定理计算积分22sin (1)z z dz z z =-⎰，6、()=w F ()()()11i w w πδδ-++的傅氏逆变换式。
7、求幂级数21nnz n ∞=∑的收敛半径，并指出在收敛圆周上的敛散性；8、C z dz ⎰，其中C 为沿虚轴从i -到i 。
9、5sin 2z zdz z π=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰10、74zz e dz z =⎰ 11、用留数定理计算积分21sin (1)z z zdz z e =-⎰，12、已知()2,t f t e cos t =求()f t 的拉普拉斯变换；13、()=w F ()()()22w w πδδ-++的傅氏逆变换式。
14、判断级数112n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的收敛性，绝对收敛性；三、解答题1、讨论函数()3223f z x y i =+的连续性、可导性及解析性；2、3cos 1(1)z z z --的奇点？各属何类型？如是极点，指出它的阶数。
复变函数与积分变换期末试题及答案
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题3分）1.i 31--的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤⎰z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++的和函数的解析域是 。
5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 二、解答题（每题8分）1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？2．已知f （z ）的虚部为222121),(y x y x v +-=，求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。
4.求sin d (1)Czz z z -⎰，其中C 为||2z =。
5.求e d cos zCz z⎰，其中C 为||2z =。
6．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
7．指出 6sin )(z zz z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。
8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足0)21(=f ，2)21(arg π='f 的分式线性映照。
四、利用拉氏变换求解微分方程（6分）⎩⎨⎧='==+'+''-1)0()0(34y y e y y y t （提示：1[]1t L e s -=+）试题答案一、填空题：（每题3分） 1.i 31--的三角表达形式：222[cos(2)sin(2)]33k i k ππππ-++-+; 指数表达形式：2(2)32k i eππ-+ ；几何表达形式：|12,-=2(1(2)3Arg k ππ-=-+. 2．=-i 2)3(222ln3k ieππ--+；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则()d Cf z z ML ≤⎰.4．级数21n z z z +++++的和函数的解析域是||1z <。
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工程数学（数值计算）习题课
[例15-1] 求0122
=+-x x 的Newton 迭代法格式为： ，收敛阶为： 。
[解]（1）
2
21
221-+--=+k k k k k x x x x x ，（2）收敛阶为： 1（线性收敛） 。
[例15-2] 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。
（1）x =(co s x +sin x )/4； （2）x =4–2x
2
ln )
4ln(1n n x x -=
+
[例21] 设f (x )=(x 3a )2，
（1）写出解f (x )=0的Newton 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。
f (x )=(x 3-a )2f '(x )=6x 2(x 3-a )
1'
()
,0,1,2,()
k k k k f x x x k f x +=-
=L
321232()5,0,1,2,6()66k k k k k k k
x a a
x x x k x x a x +-=-=+=-L
25()66a x x x ϕ=
+'35()63
a x x ϕ-=- 3*a x ='*335511
()()163632
a x a ϕ-=
-=-=<0≠
[例22] 用牛顿法求f (x )=x 3–3x –1=0在x 0=2附近的根，要求有四位有效数字（准确解是x =1.）。
[解]：因为f (x )=x 3–3x –1=0，所以f '(x )=3x 2–3
由牛顿公式可得：
取初值x 0=2，计算结果见下表：
故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。
[例25] 用快速弦截法求x 3–3x –1=0在x 0=2附近的实根，设取x 1=，算到四位有效数字为止。
[解]：设f (x )=x 3–3x –1，由快速弦截公式：
即：3
)
(12
1
12111-++++=
----+k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取x 0=2，x 1=计算结果见下表：
故f (x )=x 3–3x –1=0的根近似值为x ≈。
[例32] 给出数据点：0134
19156i i
x y =⎧⎨=⎩
（1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式L 2(x )，并计算x =的近似值2(1.5)L 。
[解]：（1）由Lagrange 插值得：2
220
()()-1.66679.6667 1i i i L x y l x x x ===++∑
于是：2(1.5)
11.75L =
[例33] 已知f (0)=1，f (1)=2，f (2)=4，求f (x )的二次插值多项式。
[解]：
[例38] 给定正弦函数表如下：
x sin x
[解]：用二次插值选取x 0=，x 1=，x 2=，按抛物线插值公式有：
计算得：≈，（准确值=……）
[例40] 已知函数e -x 的下列数据
用逐步插值方法求x =的值。
[解]：当x=，按逐步插值公式
计算结果见下表：
故≈，（准确值）
[例48-1] 计算积分
⎰
1
5
.0dx x ，取4位有效数字，用梯形公式求得的近似值为：（ ） ；梯
形公式的代数精度为：（ 1 ） 。
[例49] 证明求积公式))()((12
)())()((2)(''
2a f b f a b b f a f a b dx x f b
a
---+-≈⎰
的代数精度
是3。
[50] Find the constants 01,c c and 1x so that the quadrature formula （求积公式）
10110
()(0)()f x dx c f c f x ≈+⎰
has the highest possible degree of precision (代数精度).
Solution. Making 10110
()(0)()f x dx c f c f x =+⎰
hold for each 2()1,,f x x x =
gives
01112111,
1/2,1/3
c c c x c x +=== Solving the equations for 01,c c an
d 1x yields 011/4,3/4c c == and 12/3x =.
Since
1333
011
1/42/90x dx c c x =≠=•+⎰
, we see that the quadrature formula 10
132
()(0)()443
f x dx f f ≈
+⎰
has the degree of precision 2.
[例53] 分别用梯形公式和辛卜生公式计算积分
⎰+1
024dx x x
，
（n =8），并比较结果。
[解]：由复化梯形公式：)]()(2)([21
1
1
b f x f a f h T n k k n ++=∑-=
和复化辛卜生公式：)]()(2)(4)([61
112
12
b f x f x f a f h S n k k n k k n +++=∑∑-==-
则125.08011=-=
h ，25.04
12=-=h 所以1114.07822.18218≈⨯⨯=
T ，1116.06774.26
25
.04≈⨯=S 计算结果见下表：
注释：⎰+1
02
4dx x x 的精确解为111572.04
5
ln 21=。
[例57]
用龙贝方法求积分
要求误差ε<10-5。
[解]：按公式
再按公式
计算，结果见下表：
即：
故：
（准确值为0842701）
[例62] 取步长h =用改进的欧拉格式解初值问题
⎩⎨
⎧=≤≤+=1
)0(1
0'y x y x y
试将计算结果与准确解相比较。
[解]：改进的欧拉格式是：⎪
⎩⎪
⎨⎧+=++=++=++)
(5.0)(1.0)(1.011c p i p i i c
i i i p y y y y x y y y x y y
计算结果见下表：
本问题有解析解：y =2e x -x -1，按此解析式子算出的值列在上表的第
6列，以便和改进欧拉计算结果作比较。
此题也可按整理后的格式（只有3次乘法）y i +1=++1+计算。
[例63]
Use Euler ’s method to approximate the solution for the initial-value problem ：
21(),23,(2)1,dy
t y t y dt
=+-≤≤=with 0.5h =.
[Solution ] The Euler ’s scheme is given by
021(2)1,
[1()].
i i i i w y w w h t w +===++-
Using 0100.5,2, 2.5h t t t h ===+= gives
221000[1()]10.5[1(21)]2w w h t w =++-=++-=
222111[1()]20.5[1(2.52)] 2.625w w h t w =++-=++-=
[例65] 取步长h =用四阶龙格-库塔格式求解
⎩⎨
⎧=≤≤+=1
)0(1
0)1/(3'y x x y y
[解]：四阶龙格-库塔格式是：
y i +1=y i +(K 1+2K 2+2K 3+K 4)/6
其中：K 1=3y i /(1+x i )，K 2=3(y i +/+x i )，K 3=3(y i +/+x i )，K 4=3(y i +/+x i )。
计算结果见下表：
[例71] 用塞德尔迭代法（迭代五次）解方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+---=-+--=--+--=---34
1085121045432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 并与准确解x 1=1，x 2=2，x 3=3，x 4=4相比较。
[解]：收敛的塞德尔迭代格式为：
取初始值：
0)0(1=x ，0)0(2=x ，0)0(3=x ，0)
0(4=x
计算结果见下表：
[例75] 用Gauss 消去法解方程组：⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++96.05.696.00.502.036.05.40.20.61.31.150.0z y x z y x z y x
[解]：用Gauss 消去法求解如下表：
故方程组的解为：x =，y =1，z =2。