北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明》单元精品练习(有答案)
北师大版八年级下册数学第一章《三角形的证明》练习题精选汇编(含答案)
北师大版八年级下册数学第一章《三角形的证明》练习题精选汇编一、单选题1．若一个等腰三角形的两条边长分别为2和4，则该三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．8或102．在ABC 中，若3,5,AB BC AC === ）A ．ABC 是锐角三角形B ．ABC 是直角三角形且90C ∠=︒ C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC 是直角三角形且90B ∠=︒3．如图，用尺规作()Rt ABC AB AC >斜边BC 的垂直平分线，其中A Rt ∠=∠，现有以下结论： ①CD AD AB +=；①ADC EDC ≌；①ACD DBC ∠=∠；①290BCD ACD ∠+∠=︒．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①4．如图所示，O 为直线AB 上一点，OC 平分①AOE ，①DOE =90°，则①①AOD 与①BOE 互为余角；①OD 平分①COA ；①若①BOE =56°40'，则①COE =61°40'；①①BOE =2①COD ．结论正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，ABC 中4AB cm =，5AC cm =，6BC cm =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，//DE AB ，C （）．DF AC，则DEF//A．9cm B．6cm C．5cm D．4cm6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）．A．在AC、BC 两边高线的交点处B．在AC、BC 两边垂直平分线的交点处C．在AC、BC 两边中线的交点处D．在①A、①B两内角平分线的交点处7．如图，①ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，且①DAE＝20°，则①BAC＝（）A．100°B．120°C．150°D．160°8．如图，在①ABC中，AB=AC，①BAC=60°，BC=2，AD①BC于D，点F是AB的中点，点E在AD边上，则BE+EF的最小值是( )A ．1BC ．2D 9．如图，在等腰Rt①ABC ，90ABC ∠=︒，O 是ABC 内一点，10OA =，OB =6OC =，O '为ABC 外一点，且CBO ABO '≅△△，则四边形AO BO '的面积为（ ）A ．10B ．16C ．40D ．8010．如图，在①ABC 中，AC=BC ，①ACB=90°，AD 平分①BAC ，BE 平分①ABC ，且AD ，BE 交于点O ，延长AC 至点P ，使CP=CD ，连接BP ，OP ；延长AD 交BP 于点F ．则下列结论：①BP=AD ：①BF=CP ：①AC+CD=AB ：①PO①BE ；①BP=2PF ．其中正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①①C ．①①①①D ．①①①①①二、填空题 11．若一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则这个等腰三角形的周长是______cm ．12．如图，在①ABC中，①C＝90°，AD是①BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,则S①ABD=______．13．如图，等腰①ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BD的垂直平分线交AB于点F，并且恰好经过点C，则①A＝_____°．14．如图，在①ABC中，ED//BC，①ABC和①ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝5，DC＝7，DE＝16，则FG＝_____．15．如图，已知OC是①AOB的平分线，P是OC上一点，PD①OA于点D，PD＝2，则点P到OB 的距离为_____．16．如图，直线3y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点()0,1C 在y 轴上，点P 在x 轴上运动，PB +的最小值为_________．三、解答题17．如图：线段AD 与BC 相交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ．求证：OA=OB ．18．如图，①A ＝①B ，AE ＝BE ，点 D 在 AC 边上，①1＝①2，AE 和 BD 相交于点 O ．（1）求证：①AEC①①BED；（2）若①1＝36°，求①BDE 的度数．19．如图，为了丰富群众的娱乐活动，某镇准备新建一个文化娱乐站，要求娱乐站到三个村A、B、C的距离相等，请你用尺规作图的方法确定娱乐站的位置（不写作法，保留作图痕迹）20．如图，①ABC中，①ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF．求证：(1)DE=DF；(2)①EDF=90°．21．如图，在①ABC中，AB=AC，①B=40°，点D在线段BC(不含端点B、C上运动)，连接AD，作①ADE=40°，DE与线段AC相交于点E．(1)当①BDA=120°时，求①DEC的度数；(2)当CD=BA时，说明①ABD①①DCE；(3)在运动变化过程中，是否存在点D，使①ADE是等腰三角形，若存在，请求出①BDA的度数；若不存在，说明理由．22．如图1，平面直角坐标系中，直线34y x m =-+交x 轴于点(4,0)A ，交y 轴正半轴于点B ，直线AC 交y 轴负半轴于点C ，且BC AB =．（1）求ABC 的面积．（2）P 为线段．．AB （不含A ，B 两点）上一动点．①如图2，过点P 作y 轴的平行线交线段AC 于点Q ，记四边形APOQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，当152S =时，求t 的值． ①M 为线段BA 延长线上一点，且AM BP =，在直线AC 上是否存在点N ，使得PMN 是以PM 为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接．．写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知：直线//m n ，点A ，B 分别是直线m ，n 上任意两点，在直线m 上取一点C ，使AC AB =，连接BC ，在直线BC 上任取一点E ，作AEF BAC ∠=∠，EF 交直线n 于点F ．（1）如图，当点E 在线段BC 上，目20BFE ∠=︒时，求BAE ∠的度数．（2）若点E 是线段BC 上任意一点，求证：EF AE =．（3）如图，当点E 在线段BC 的延长线上时，若90BAC ∠=︒，请判断线段EF 与AE 的数量关系，并说明理由．参考答案1．B解：当腰为4时，周长＝4＋4＋2＝10；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； ①这个三角形的周长是 10．2．D①22223534AB BC +=+=，2234AC ==，①222AB BC AC +=，①①ABC 是直角三角形，且①B=90︒．3．D①MN 是BC 的垂直平分线，①BD=CD①BD+AD=AB①CD+AD=AB故①正确；①在三角形ADC 与三角形EDC 中，已知：CD=CD ，A EDC ∠=∠，条件不足，无法证明全等， 故①错误；①①中无法证明全等，①ACD DBC ∠≠∠故①错误，①90B ACB ∠+∠=︒，BD=CD①B DCB ∠=∠①290BCD ACD ∠+∠=︒故①正确，4．B解：90DOE ∠=︒，90COD COE ∴∠+∠=︒，90EOB DOA ∴∠+∠=︒，故①正确； OC 平分AOE ∠，22AOE COE AOC ∴∠=∠=∠；1801802BOE AOE COE ∴∠=︒-∠=︒-∠， 90COD COE ∠=︒-∠，2BOE COD ∴∠=∠，90AOD BOE ∠=︒-∠， 故①不正确，①正确；若5640BOE ∠=︒'，180AOE BOE ∠+∠=︒，11(180)(1805640)614022COE BOE ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'． 故①正确；∴①①①正确．5．B//DE AB ，//DF AC ，ABD BDE ∴∠=∠，ACD CDF ∠=∠，BD ∴平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，ABD DBE ∴∠=∠，ACD DCF ∠=∠，BDE DBE ∴∠=∠，CDF DCF ∠=∠，BE DE ∴=，CF DF =，DEF C DE EF DF =++BE EF CF =++BC =6cm =．6．B解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 可知超市应建在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处，故选：B ．7．A解：①DM 是线段AB 的垂直平分线，①DA ＝DB ，①①B ＝①DAB ，同理①C ＝①EAC ，①①B ＋①DAB ＋①C ＋①EAC ＋①DAE ＝180°，①①DAB ＋①EAC ＝80°，①①BAC ＝100°，故选：A．8．B解：连接CE，①在①ABC中，AB=AC，①BAC=60°，①①ABC为等边三角形，①AB=BC=2，①AD①BC，①AD垂直平分BC，①CE=BE，根据两点之间线段最短，BE+EF=CE+EF的最小值为CF，连接CF，①点F是AB的中点，①CF①AB，BF=AF=1，在Rt①CFB中，由勾股定理得：CF==即BE+EF，故选：B．．9．C解：如图，连结OO′．①①CBO①①ABO′， ①OB=O′B=42，OC=O′A=10，①OBC=①O′BA ，①①OBC+①OBA=①O′BA+①OBA ，①①O′BO=90°，①O′O 2=OB 2+O′B 2=32+32=64，①O′O=8．在①AOO′中，①OA=6，O′O=8，O′A=10，①OA 2+O′O 2=O′A 2，①①AOO′=90°，①S 四边形AO′BO =S ①AOO′+S ①OBO′=12×6×8+12×42×42=24+16=40． 10．C①AC=BC ，①ACB=①PCD=90°，CP=CD ，①()PBC DAC SAS ≅，则BP=AD ，故①正确；由PBC DAC ≅得①PBC=①DAC ，则90BFA BCP PFA ∠=∠=∠=︒， ①AD 平分①BAC ，①①BAF=①PAF ，BAF PBC ∠=∠∴，假设BF CP =，在BPC △和ABF 中，PBC BAFBCP AFB CP BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPC ABF AAS ∴≅，BC AF ∴=，AC BC =，AC AF ∴=，在Rt ACD △中，AD AC >，又AF AD DF AD =+>，AF AD AC ∴>>，与AC AF =相矛盾，则假设不成立，①错误；在APF 与ABF 中，PFA BFAAF AF PAF BAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()APF ABF ASA ≅，AB AP AC CP AC CD ∴==+=+，即AC CD AB +=，故①正确；由APF ABF ≅得BF=PF ，则2BP BF PF PF =+=，故①正确；BF PF =，AD 平分①BAC ，∴AF 为BP 的垂直平分线，∴OB=OP ，OBP ∴△为等腰三角形，,90AC BC ACB =∠=︒，45BAC ABC ∴∠=∠=︒， 又AD 平分①BAC ，BE 平分①ABC ，22.5OBC OAC ∴∠=∠=︒，22.5PBC OAC ∴∠=∠=︒，①45PBO PBC CBO ∠=∠+∠=︒，OBP ∴△为等腰直角三角形，且90POB ∠=︒，即PO BE ⊥，故①正确；综上，①①①①正确，11．22解：当4cm 为腰长时，三角形三边为4cm 、4cm 和9cm ， ①4+4＜9，所以不构成三角形，舍去；当9cm 为腰长时，三角形三边为9cm 、9cm 和4cm ， ①9+4＞9，所以可以构成三角形，周长为9+9+4=22cm，故答案为：22．12．15cm2解：过点D作DE①AB于E，①AD是①BAC的角平分线，①C＝90°，DE①AB ①DE=DC，①BC＝8cm，BD＝5cm，①DE=DC=3cm，①S①ABD=12·AB·DE=12×10×3=15(cm2)，故答案为：15cm2．13．36解：连接CD，①DE和CF分别是AC和BD的垂直平分线，①DA＝DC＝BC，①①DCA＝①A，①CDB＝①B，①①CDB＝①DCA+①A＝2①A，①①B＝2①A，①AB＝AC，①①ACB＝①B＝2①A，①①A+①B+①ACB＝180°，①①A+2①A+2①A＝180°①①A＝36°，故答案为：36．14．4解：①ED①BC，①①EGB＝①GBC，①DFC＝①FCB，①①GBC＝①GBE，①FCB＝①FCD，①①EGB＝①EBG，①DCF＝①DFC，①BE＝EG，CD＝DF，①BE＝5，DC＝7，DE＝16，①FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝16﹣5﹣7＝4，15．2解：作PE①OB于E，①OC 是①AOB 的平分线，PD ①OA ，PE ①OB ，①PE ＝PD ＝2，16．4解：过点P 作PD AB ⊥于D ，①直线3y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ， ①()0,3A -，()3,0B ，①3OA OB ==，90AOB ∠=︒AOB ∴是等腰直角三角形①45OAB OBA ∠=∠=︒，①PD AB ⊥，①45DPB ∠=︒，BDP ∴是等腰直角三角形①2DP DB PB ==，2PB PC PB ⎫+=+⎪⎪⎭)PC PD =+≥，当且仅当C ，P ，D PB +取得最小值，此时CD AB ⊥，PC PD +的值最小，最小值等于垂线段CD 的长，此时ACD △是等腰直角三角形， ①()0,1C ，①1OC =，①4AC OA OC =+=，在Rt ACD △中，=2CD AC ∴=①PC PD +的最小值为)PC PD +4=，PB +的最小值为4，故答案为：4．17解：在①ADC 和①BCD 中AC BDAD BC CD DC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，①①ADC①①BCD ，①①ADC=①BCD ，①CO=DO ，①AD=BC ，①AD －DO=BC －CO ，①OA=OB ．18．解：证明：（1）①AE 和BD 相交于点O ， ①①AOD=①BOE ．又在①AOD 和①BOE 中，①A=①B ， ①①BEO=①2．又①①1=①2，①①1=①BEO ，①①AEC=①BED ．在①AEC 和①BED 中，A BAE AE BEC BED∠=∠∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩①①AEC①①BED （ASA ）．（2）①①AEC①①BED ，①EC=ED，①C=①BDE．在①EDC中，①EC=ED，①1=36°，①①C=①EDC=72°，①①BDE=①C=72°．19．解：如图所示，点P为娱乐站所在的位置．【点睛】本题考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．20．证明：（1）①BC＝AC，①BCA＝90°，①①ABC是等腰直角三角形，①D为AB中点，①BD＝CD，CD平分①BCA，CD①AB．①①A＋①ACD＝①ACD＋①FCD＝90°，①①A＝①FCD，在①ADE和①CFD中，AE CF A FCD AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADE①①CFD （SAS ），①DE ＝DF（2）由（1）知，①ADE①①CFD （SAS ），①①ADE ＝①CDF ．①①ADE ＋①EDC ＝90°，①①CDF ＋①EDC ＝①EDF ＝90°，即①EDF=90°．21．（1）①①B=40°，①ADB=120°，①①BAD=180°-①B -①ADB=180°-120°-40°=20°，①AB=AC ，①①C=①B=40°，①①EDC=180°-①ADB -①ADE=20°，①①DEC=180°-①EDC -①C=120°；（2）①①EDC+①EDA+①ADB=180°，①DAB+①B+①ADB=180°，①B=①EDA=40°， ①①EDC=①DAB ．①①B=①C ，DC=AB ，①①ABD①①DCE （ASA ）；（3）存在，当①BDA=110°或80°时，①ADE 是等腰三角形．①AB=AC ，①①B=①C=40°，①当AD=AE 时，①ADE=①AED=40°，①①AED ＞①C ，①此时不符合；①当DA=DE 时，即①DAE=①DEA=12（180°-40°）=70°， ①①BAC=180°-40°-40°=100°，①①BAD=100°-70°=30°；①①BDA=180°-30°-40°=110°；①当EA=ED 时，①ADE=①DAE=40°，①①BAD=100°-40°=60°，①①BDA=180°-60°-40°=80°；综合上述可得：当①BDA=110°或80°时，①ADE 是等腰三角形． 22．（1）把()4,0A 代入34y x m =-+得：3m =， 一次函数解析式为334y x =-+，令0x =，得3y =，①()0,3B ，在Rt AOB 中，222AB OA OB =+，①5AB =，①5BC AB ==，①(0,2)C -， ①11541022ABC S BC OA =⋅=⨯⨯=△． （2）①设3,34P t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ①P 在线段AB 上，①04t <<，设直线AC 的解析式为y kx b =+，代入()4,0A ，()0,2C -得 042k b b =+⎧⎨-=⎩， ①122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ①122y x =-， 又①PQ x 轴，则1,22Q t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ①315325424PQ t t t ⎛⎫=-+--=- ⎪⎝⎭， 1122AOP AOQ p Q APOQ S S S AO y AO y ∴=+=⋅+⋅△△四边形 12AO PQ =⋅ 154524t ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭5102t =-， 又①152S =， ①5151022t -=得1t =． ①如图所示，当N 点在x 轴下方时，①BP AM =，①BP AP AM AP AB +=+=，①5PM AB ==，①PMN 是以PM 为直角边的等腰直角三角形，当90NPM ∠=︒时，5PN PM ==，MN ==， 设1,22N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过P 点作直线M N ''∥x 轴，作MM M N '''⊥，NN M N '''⊥， ①MM OB '∥，①ABO PMM '∠=∠，在AOB 与PM M '△中90AOB PM M ABO PMM AB PM ''∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ① () AOB PM M AAS '△≌△，①3MM OB '==，4PM OA '==，①90NPN MPM ''∠+∠=︒，90NPN N NP ''∠+∠=︒， ①MPM N NP ''∠=∠，在PNN '△与MPM '△中，90N NP MPM PN N MM P PN PM '∠=∠'⎧⎪∠=∠==''︒⎨⎪⎩，①()PNN MPM AAS ''△≌△，①3PN MM ''==，4NN PM ''==，①7M N ''=，作MH NN '⊥，则1NH =， ①1,22N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ①17,12M a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ①M 在直线AB 上， ①131(7)324a a -=-++ 121313244a a -=--+ 5544a =- 1a =-， ①15222a -=-， ①51,2N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 当N 点在x 轴上方时，点N '与51,2N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭关于(4,0)A 对称， 则524(1),02N ⎛⎫⎛⎫'⨯---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即59,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭，综上：存在一点51,2N⎛⎫--⎪⎝⎭或59,2⎛⎫⎪⎝⎭使PMN是以MN为直角边的等腰直角三角形．．23．（1）设AB与EF交于点O．∵//m n，①BAC ABF∠=∠，①AEF BAC∠=∠，①AEF ABF∠=∠．①AOE BOF∠=∠，180180OAE AEF AOE BFE ABF BOF∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠，，①20BAE BFE∠=∠=︒．（2）以E为圆心，BE为半径画弧交直线n于点M，连接EM，①EM EB =，①EMB EBM ∠=∠， ①//m n ，①ACB EBM ∠=∠． ①AC AB =，①∠=∠ACB ABC ， ①EMF ABC ∠=∠， 由（1）可知，EAB EFM ∠=∠，在EMF △和EBA △中，EMF EBA EFM EAB EM EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①EMF EBA AAS ≌（）， ①EF AE =．（3）在BF 上截取BN AB =，连接EN ，①AB AC =，①∠=∠ACB ABC ，①//m n ，①ACB NBC ∠=∠， ①ABC NBC ∠=∠，在ABE △和NBE 中，AB NB ABE NBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ABE NBE SAS ≌（）， ①AE EN EAB ENB =∠=∠，， ①90AEF BAC ∠=∠=︒，90BAC ABF ∠=∠=︒， ①180EAB EFB ∠+∠=︒， ①180ENB ENF ∠+∠=︒， ①EFB ENF ∠=∠， ①EF EN =，①EF AE =．。
北师大版八下数学《三角形的证明》单元测试1(含答案)
第一章三角形的证明单元测试一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB 的距离是_________.图1 图24.如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.5.如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则△ACD的周长为_________.图3 图46.如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=___ cm.7.如图5，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.图5图68.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm. 9.如图6，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.二、选择题12.等边三角形的高为23，则它的边长为（ ） A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n °14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5 B.a =1，b =34，c =35 C.a =9，b =12，c =15D.a =3，b =2，c =515.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6B.7.5C.10D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如图7，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）图7A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ） A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cmB.1330cmC.1360cmD.9 cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ）A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.23a B.33 a C.63a D.21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4cm，则AD等于（）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm24.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如图8，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（）图8A.8B.5C.3D.3426.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下图9，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）图9A.4B.3C.2D.127.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）A.5B.2C.45D.1三、解答题29.已知：如图10，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.图1030.已知：如图11，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .图1131.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图12，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.图1233.如图13，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.图13*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小.②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20 cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.22或219.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.134.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题(答案及解析)
北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°2．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则它的周长为（）A．9 B．12 C．15 D．12或153．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．37．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm²，则S阴影等于（）A．2cm²B．1cm²C．cm²D．cm²二．填空题（共5小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有______条对称轴．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为______．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______.14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为______．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为______．三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．2．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3【解答】解：过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A．7．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，∴2∠1+∠C=180°，∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，∴3∠1﹣∠2=180°．故选B．8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC=∠DEB，∵∠A=50°，∴∠C=（180°﹣50°）÷2=65°，∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°，∴∠DEB+∠FEC=115°，∴∠DEF=180°﹣115°=65°．故选：C．10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（）A．2cm2 B．1cm2 C．cm2 D．cm2【解答】解：根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．即有：S阴影=S△BCE=S△ABC=1cm2．故选：B．二．填空题（共10小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有 3 条对称轴【解答】解：等边三角形是轴对称图像，它有三个顶点，所以对应3条对称轴故答案为：312．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【解答】解：在△ABC中，AB=AC，①当∠A=70°时，则∠ABC=∠C=55°，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣55°=35°；②当∠C=70°时，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣70°=20°；故答案为：35°或20°．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为32a ．【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝B1A2＝A1A2∵∠MON=30°∴∠OB1A1=30°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和∠OB1A1=∠B1A1A2－∠MON）∴OA1=A1B1（等边对等角）∴OA1=A1A2=a同理，根据∠MON=∠OB2A2，可得：A2A3=A2B2=OA1＋A1A2=2A1A2=2a同理，可推出：A3A4=2A2A3=4a同理，可推出：A4A5=2A3A4=8a同理，可推出：A5A6=2A4A5=16a同理，可推出：A6A7=2A5A6=32a 即题目所求另外我们不难发现，第n个（△A1B1A2为第一个）等边三角形的边长为AnAn+1=(2^n-1)a 注：2的n-1次方倍的a三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．另外一种证法：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）∴AD=BC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。
北师大版八年级数学下册 第1章 三角形的证明 单元测试卷(含答案)
北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝( )A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是( )A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是( )A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中( )A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是( )A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝( )A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是( )A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为km.18.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为.19.如图，已知△ABC的周长是22，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是.20.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF 折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5 cm，BD＝13 cm，AD＝12 cm，求△ABD的面积.22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA和OB交会于O点，在∠AOB的内部有蔬菜基地C和D，现要修建一个蔬菜转运站P，使转运站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两个蔬菜基地C，D的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)23.(本题10分)如图，点P为△ABC的BC边上一点，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，连接BD，求∠ABD的度数.24.(本题12分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.(1)判断△CED的形状，并说明理由；(2)若OC＝3，求CD的长.25.(本题12分)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长.26.(本题14分)如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10 cm，试求出△PAO的周长；(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.27.(本题16分)如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动.(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间.参考答案一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝(D)A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是(A)A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是(B)A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是(A)A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为(A)A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(C)A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是(B)A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为(C)A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中(D)A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B)A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是(A)A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是(C)A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝(B)A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是(D)A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是68__°.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为1__000km.18.如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连接OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M19.如图，已知△ABC 的周长是22，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝3，△ABC 的面积是33.20.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是108__°.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ，BD ＝13 cm ，AD ＝12 cm ，求△ABD 的面积.解：∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ， ∴AB ＝2BC ＝5 cm.∵52＋122＝132，即AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴△ABD 是直角三角形.∴S △ABD ＝12AB·AD ＝12×5×12＝30(cm 2).22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA 和OB 交会于O 点，在图中∠AOB 的内部有蔬菜基地C 和D ，现要修建一个蔬菜转运站P ，使转运站P 到两条公路OA ，OB 的距离相等，且到两个蔬菜基地C ，D 的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P 的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)解：如图所示.23.(本题10分)如图，点P 为△ABC 的BC 边上一点，且PC ＝2PB ，∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，CD ⊥AP ，连接BD ，求∠ABD 的度数.解：∵∠APC ＝60 °，CD ⊥AP ， ∴∠PCD ＝90 °－∠APC ＝90 °－60 °＝30 °. ∴PC ＝2PD.∵PC ＝2PB ，∴PB ＝PD. ∴∠PBD ＝∠PDB.又∵∠APC ＝∠PBD ＋∠PDB ，∴∠PBD ＝12∠APC ＝12×60 °＝30 °.∵∠ABC ＝45 °，∴∠ABD ＝∠ABC －∠PBD ＝45 °－30 °＝15 °.24.(本题12分)如图，∠AOB ＝60°，OC 平分∠AOB ，C 为角平分线上一点，过点C 作CD ⊥OC ，垂足为C ，交OB 于点D ，CE ∥OA 交OB 于点E.(1)判断△CED 的形状，并说明理由； (2)若OC ＝3，求CD 的长.解：(1)△CED 是等边三角形.理由如下： ∵OC 平分∠AOB ，∠AOB ＝60 °，∴∠AOC ＝∠COE ＝30 °. ∵CE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠COE ＝∠OCE ＝30 °，∠CED ＝60 °. ∵CD ⊥OC ，∴∠OCD ＝90 °. ∴∠EDC ＝60 °.∴△CED 是等边三角形.(2)∵△CED 是等边三角形，∴CD ＝CE ＝ED. 又∵∠COE ＝∠OCE ，∴OE ＝EC. ∴CD ＝ED ＝OE.设CD ＝x ，则OD ＝2x.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得：x 2＋9＝4x 2，解得x ＝ 3. 则CD ＝ 3.25.(本题12分)如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于点P ，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E. (1)求证：BD ＝CE ；(2)若AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，求AD 的长.解：(1)证明：连接BP ，CP.∵点P 在BC 的垂直平分线上，∴BP ＝CP. ∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝CP ，DP ＝EP ，∴Rt △BDP ≌Rt △CEP (HL )，∴BD ＝CE.(2)在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AP ，DP ＝EP ，∴Rt △ADP ≌Rt △AEP (HL )，∴AD ＝AE.∵AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，∴6＋AD ＝10－AE ， 即6＋AD ＝10－AD.解得AD ＝2 cm.26.(本题14分)如图，在△ABC 中，MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC.(1)若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长； (2)若AB ＝AC ，∠BAC ＝110°，试求∠PAO 的度数；(3)在(2)中，若无AB ＝AC 的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：(1)∵MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC ， ∴AP ＝BP ，AO ＝CO.∴△PAO 的周长为AP ＋PO ＋AO ＝BO ＋PO ＋OC ＝BC. ∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm.(2)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝110 °，∴∠B ＝∠C ＝12×(180 °－110 °)＝35 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO. ∴∠BAP ＝∠B ＝35 °，∠CAO ＝∠C ＝35 °. ∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝110 °－35 °－35 °＝40 °. (3)能.理由如下： ∵∠BAC ＝110 °，∴∠B ＋∠C ＝180 °－110 °＝70 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO.∴∠BAP ＝∠B ，∠CAO ＝∠C.∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝∠BAC －(∠B ＋∠C )＝110 °－70 °＝40 °.27.(本题16分)如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，现有两点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1 cm /s ，点N 的速度为2 cm /s .当点N 第一次到达点B 时，M ，N 同时停止运动.(1)点M ，N 运动几秒后，M ，N 两点重合？(2)点M ，N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在，请求出此时M ，N 运动的时间.解：(1)设点M ，N 运动x 秒后，M ，N 两点重合，x ×1＋12＝2x ，解得x ＝12.(2)设点M ，N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，如图1，AM ＝t ×1＝t ，AN ＝AB －BN ＝12－2t.∵三角形△AMN 是等边三角形，∴t ＝12－2t ，解得t ＝4.∴点M ，N 运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形.由(1)知，12秒时M ，N 两点重合，恰好在C 处.如图2，假设△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形，∴AN ＝AM.∴∠AMN ＝∠ANM.∴∠AMC ＝∠ANB.∵AB ＝BC ＝AC ，∴△ACB 是等边三角形.∴∠C ＝∠B.在△ACM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠AMC ＝∠ANB ，AC ＝AB ， ∴△ACM ≌△ABN (AAS ).∴CM ＝BN.设当点M ，N 在BC 边上运动时，M ，N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形.∴CM ＝y －12，NB ＝36－2y ，由CM ＝NB ，得y －12＝36－2y ，解得y ＝16.故假设成立.∴当点M ，N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M ，N 运动的时间为16秒.。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题(含详细解析)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．52．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= _________．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________度．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：几何图形问题．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
北师大版八年级数学下《第一章三角形的证明》单元测试题(有答案)
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配. A . ① B . ② C .③ D . ①和②2．下列说法中，正确的是（）.A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE =3cm ，那么AC长为（）.A ．4cmB ．5cmC ．8cmD ．34cm4．如图3，在等边ABC ∆中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（）.A ．045B ．055C ．060D ．0755．如图4，在ABC ∆中，AB=AC ，036A ∠=，BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）. A ．9个 B ．8个 C ．7个 D ．6个6．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.A．1处B．2处C．3处D．4处7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN. 其中，正确结论的个数是（）.A．3个B．2个C．1个D．0个8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC∆≌EDC∆，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定ABC∆的条件是( ).∆≌EDCA．ASA B．SAS C．SSS D．HL9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.求证：重叠部分（即BDF∆）是等腰三角形.证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC又∵BDE ∆与BDC ∆关于BD 对称，∴23∠=∠. ∴BDF ∆是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）. ①12∠=∠；②13∠=∠；③34∠=∠；④BDC BDE ∠=∠ A ．①③ B ．②③ C ．②① D ．③④10.如图9，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h . 张红的作法是：（1）作线段BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ，AC ，则△ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.A . （1）B . （2）C . （3）D . （4）二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）1．如图10，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是____________.2．如图11，在Rt ABC ∆中，090,BAC AB AC ∠==，分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ，CE ，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE 的长为_______.3．如图12，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 等于_________度.4．如图13，在等腰ABC ∆中，AB=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若B C E ∆的周长为50，则底边BC 的长为_________.5．在ABC ∆中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为050，则底角B 的大小为________.6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________.8．如图15，在ABC ∆中，AB=AC ，0120A ∠=，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么DE+DF= _______cm.9．如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC于点E ，若4BE =，则AC =_______ .10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）1．（7分）如图18，在∆ABC 中，090ACB ∠=，CD 是AB 边上的高，030A ∠=. 求证：AB= 4BD.2．（7分）如图19，在∆ABC 中，090C ∠=，AC=BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm. 你能否求出BDE ∆的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3．（10分）如图20，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点， BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD .(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．的命题： 命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号). (2)证明你写出的命题. 已知： 求证： 证明：4．（8分）如图21，在ABC ∆中，090A ∠=，AB=AC ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E.求证：12CE BD =.5．（8分）如图22，在∆ABC 中，090C ∠=.（1）用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等. （保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠A 的度数.6．（8分）如图23，090AOB ∠=，OM 平分AOB ∠，将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问 PC 与PD 相等吗？试说明理由.四、拓广探索（本大题12分）如图24，在∆ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ， 交BC 的延长线于点M ，若040A ∠=. （1）求NMB ∠的度数；（2）如果将（1）中A ∠的度数改为070，其余条件不变，再求NMB ∠的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？答案：一、精心选一选，慧眼识金 1．C ； 2．B ；3．D ．点拨：BC=BE=3cm ，AB=BD=5cm ； 4．C ．点拨：利用ABD ∆≌BCE ∆； 5．B ；6．D ．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件； 7．B ．点拨：①②正确； 8．A ； 9．C ；10．C ．点拨：在直线MN 上截取线段h ，带有随意性，与作图语言的准确性不相符. 二、细心填一填，一锤定音1．答案不惟一.如ACB DBC ∠=∠； 2．7厘米. 点拨：利用ABD ∆≌CAE ∆； 3．030；4．23．点拨：由27BE CE AC AB +===，可得502723BC =-=；5．070或020.点拨；当ABC ∆为锐角三角形时，070B ∠=；当ABC ∆为钝角三角形时，020B ∠=； 6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理； 7．154cm . 点拨：设CD x =，则易证得10BD AD x ==-.在Rt ACD ∆中，222(10)5x x -=+，解得154x =. 8．10．点拨：利用含030角的直角三角形的性质得，()1122DE DF BD CD BC +=+=. 9．2. 点拨：在Rt AEC ∆中，030AEC ∠=，由AE=BE= 4，则得AC=2； 10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步. 三、耐心做一做，马到成功1．∵090ACB ∠=，030A ∠=，∴AB=2BC ，060B ∠=.又∵CD ⊥AB ，∴030DCB ∠=，∴BC=2BD.∴AB= 2BC= 4BD. 2．根据题意能求出BDE ∆的周长.∵090C ∠=，090DEA ∠=，又∵AD 平分CAB ∠，∴DE=DC.在Rt ADC ∆和Rt ADE ∆中，DE=DC ，AD=AD ，∴Rt ADC ∆≌Rt ADE ∆（HL ）. ∴AC=AE ，又∵AC=BC ，∴AE=BC.∴BDE ∆的周长DE DB EB BC EB AE EB AB =++=+=+=. ∵AB=6cm ，∴BDE ∆的周长=6cm . 3．（1）①，③；②，④.（2）已知：D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD. 求证：OB ＝OC ，BE ＝CD .证明：∵AB=AC ，∠ABE ＝∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）.∴BE=CD. 又∵ABC ACB ∠=∠，∴BCD ACB ACD ABC ABE CBE ∠=∠-∠=∠-∠=∠ ∴BOC ∆是等腰三角形，∴OB ＝OC. 4．延长CE 、BA 相交于点F.. ∵0090,90EBF F ACF F ∠+∠=∠+∠=，∴EBF ACF ∠=∠. 在Rt ABD ∆和Rt ACF ∆中，∵DBA ACF ∠=∠，AB=AC ， ∴Rt ABD ∆≌Rt ACF ∆（ASA ）. ∴BD CF =.在Rt BCE ∆和Rt BFE ∆中，∵BE=BE ，EBC EBF ∠=∠， ∴Rt BCE ∆≌Rt BFE ∆（ASA ）.∴CE EF =. ∴1122CE CF BD ==. 5．（1）图略. 点拨：作线段AB 的垂直平分线.（2）连结BP.∵点P 到AB 、BC 的距离相等，∴BP 是ABC ∠的平分线，∴ABP PBC ∠=∠.又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴PA=PB ，∴A ABP ∠=∠. ∴00190303A ABP PBC ∠=∠=∠=⨯=. 6．过点P 作P E ⊥OA 于点E ，P F ⊥OB 于点F.∵OM 平分AOB ∠，点P 在OM 上，∴PE=PF.又∵090AOB ∠=，∴090EPF ∠=. ∴EPF CPD ∠=∠，∴EPC FPD ∠=∠.∴Rt PCE ∆≌Rt PDF ∆（ASA ），∴PC=PD.四、拓广探索（1）∵AB=AC ，∴B ACB ∠=∠.∴()()000011180180407022B A ∠=-∠=-=. ∴000090907020NMB B ∠=-∠=-=.（2）解法同（1）.同理可得，035NMB ∠=.（3）规律：NMB ∠的度数等于顶角A ∠度数的一半.证明：设A α∠=.∵AB=AC ，∴B C ∠=∠，∴()011802B α∠=-.. ∵090BNM ∠=，∴()00011909018022NMB B αα∠=-∠=--=. 即NMB ∠的度数等于顶角A ∠度数的一半. （4）将（1）中的A ∠改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.。
北师大版八年级数学下册《三角形的证明》单元测试1(含答案)
第一章 三角形的证明单元测试一、选择题(每题3分,共30分)1、△ABC 中，AB = AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC = 75°，则∠A 的度数为（ ）A 35°B 40°C 70°D 110°2、适合条件∠A =∠B =31∠C 的三角形一定是（ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 任意三角形3、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ）A ①②④B ②④C ①④D ②③④4、已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰和底边长分别为 ( ) A 24 cm 和12 cm B 16 cm 和22 cm C 20 cm 和16 cm D 22 cm 和16 cm5、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，直线l 经过点C ，则 ( ) A l 垂直AB B l 平分AB C l 垂直平分AB D 不能确定6、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是 ( ) A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等腰三角形7、已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( ) A 9㎝B 12㎝C 12㎝或者15㎝D 15㎝8、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点，ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（ ）Ａ 90°－∠Ａ Ｂ 90°－21∠Ａ Ｃ 45°－21∠Ａ Ｄ 180°－∠Ａ9、一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，已知等腰三角形有两边长分别为5.6 cm和13.2 cm，则这个正方形的面积为（）Ａ 64 cm２Ｂ 48 cm２Ｃ 36 cm２Ｄ 24 cm２10、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A 45°B 55°C 60°D 75°二、填空题（每小题3分，共30分）1、“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平”的方逆定理是2、等腰三角形的腰长为2cm，面积等于1cm2，则它的顶角的度数为 .3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是 .4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是 .5、正三角形的边长为a，则它的面积为．6、在△ABC中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC = .7、在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为．8、已知：如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．9、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC上一点，作DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF= ．10、如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A与B重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE等于．三、解答题(本题共8个小题，共60分)1、（7分）已知：如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，直线l 经过点C(点A 、B 都在直线l 的同侧)，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．求证：△ADC ≌△CEB.2、（7分）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．3、（8分）如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE 于G ．求证：①G 是CE 的中点． ②∠B=2∠BCE ．4、（7分）在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数．ABCDEGABCED5、（7分）如图，△ABC 中，E 是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交∠BAC 的平分线AD 于D ，过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，试证明：BM ＝CN ．6、（7分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为点E ，BF//AC 交CE 的延长线于点F ． 求证：AC=2BF ．7、（7分）在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ． 求证：DM ＝EM ．ABC DMNEBFABCDE8、（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．参考答案一、选择题1、B2、B3、A4、D5、D6、B7、D8、B9、A 10、C二、填空题1、如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形2、30°或150°3、10°4、32a 5、234a 6、3°7、 6 8、55° 9、24510、1三、解答题(本题共8个小题，共60分) 1、略 2、略3、提示：连结DE ，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半易证．4、提示：过C 点作AD 的延长线的垂线，垂足为F ．利用角平分线的性质和AE=21（AB+AD ）可知BE=DF ，CF=CE ，再由△CDF ≌CBE 即得． 5、提示：连结BD 、CD 利用角平分线和中垂线的性质证△BDM ≌CDN ． 6、提示：证△ACD ≌CBF ．7、提示：过D 点作AC 的平行线（或者过E 点作AB 的平行线）利用三角形全等可证．8、（1）∠A = 30°；证明略（2）△ABC。
2019-2020学年北师大版八年级下学期数学第一章 三角形的证明 单元同步试题(含答案)
北师大版八年级下册第一章 三角形的证明单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm 和8 cm ，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 24 cm2.如图1，已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA +PC ＝BC ，则下列选项正确的是（ ）3.如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E .若∠E ＝35°，则∠BAC 的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°4.如图3，在△ABC 中，AC ＝4 cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7 cm ，则BC 的长为（ ）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm5.如图4，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 m 6下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 若a ＝b ，则a 2＝b 2 B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等;D. 等腰三角形两底角不相等7.如图5，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为（ ）图4DCB A E 图2A B C D图1CB ACBAP C BAP CBAPP CBAN CBAM图3DCBAEP 图8B. 1D. 28.如图6，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积为（ ）A. 10B. 7C. 5D. 49.如图7，△ABC 和△DCE 都是边长为2的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）A. 18C. 12D.10.如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则PD +PE 的长是（ ） A. 4.8 B. 4.8或3.8 C. 3.8 D. 5二、填空题（每小题4分，共32分）11.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.12.若一个三角形的三边长分别为3 m ，4 m ，5 m ，那么这个三角形的面积为＿＿＿. 13.如图9，点D ，C ，A 在同一条直线上，在△ABC 中，∠A ∶∠ABC ∶∠ACB ＝3∶5∶10，若△EDC ≌△ABC ，则∠BCE 的度数为＿＿＿.14.如图10，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，若CD ＝1，则BD ＝＿＿＿.15.如图11，在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB ＝AD ；②∠ABC ＝∠ADC ＝90°；③BC ＝DC ．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿＿＿＿个真命题．ECB AD 图5DCBAE图6 图7EBC D A 图9D CBA图10图12图1116.图12是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝ 4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为＿＿＿米.（结果精确到0.1≈1.73）17.如图13，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是＿＿＿.18.如图14，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……依次画下去，直到得到第n 条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n ＝＿＿.三、解答题（共58分）19.（6分）如图15，AD 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，那么△ACE 是等腰三角形吗？请证明你的结论.20.（8分）如图16，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，试求CD 的长.21.（8分）如图17，在△ABC 中，AB =AC =10 cm ，∠B =15°，CD 是OA 1 AA 3A 2 A 4 BC图14图13DCBA图17图15E C BAD 图16AB 边上的高，求CD 的长．22.（10分）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .图18所示四边形ABCD 是一个筝形，其中AB ＝CB ，AD ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，垂足分别是E ，F .求证：OE ＝OF .23.（12分）如图19，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，BD 是△ABC 的角平分线，点O 在BD 上，分别过点O 作OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，垂足为E ，F ，且OE =OF .（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上； （2）若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长.24.（14分）按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.DCBA OEF 图18D C BAEF O 图19如图20，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝A C.思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是＿＿＿三角形.同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝＿＿＿，且CE＝CD，可知＿＿＿；（2）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＿＿＝＿＿＿；（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿＿＿.请写出完整的证明过程.附加题（15分，不计入总分）25.如图21，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.参考答案1086图21DECBA图20一、1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. C 7. B 8. C 9. D 10. A二、11. 面积相等的三角形全等 12. 6 m 2 13. 20° 14. 2 15. 2 16. 2.9 17. 4∶3 18. 9 三、19. 解：△ACE 是等腰三角形．证明：因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠BAD =∠CAD ． 因为CE ∥AD ，所以∠BAD =∠E ，∠CAD =∠ACE .所以∠E =∠ACE . 所以AE =AC ，即△ACE 是等腰三角形．20. 解：因为DE 是AC 的垂直平分线，所以CD ＝A D.所以AB ＝BD +AD ＝BD +C D. 设CD ＝x ，则BD ＝5－x.在Rt △BCD 中，由勾股定理，得 CD 2＝BC 2+BD 2，即x 2＝32+(5－x ) 2，解得x ＝3.4.故CD 的长为3.4.21. 解：在△ABC 中，因为AB =AC =10 cm ，∠B =15°，所以∠B =∠ACB =15°. 所以∠DAC =∠B +∠ACB =30°． 因为CD 是AB 边上的高，所以∠D =90°.所以CD =12AC =12×10=5（cm ），即CD 的长是5 cm ．22. 证明：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，所以△ABD ≌△CB D. 所以∠ABD ＝∠CB D.所以BD 平分∠AB C. 又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，所以OE ＝OF . 23. 证明：（1）过点O 作OM ⊥AB 于点M .因为BD 平分∠ABC ，OM ⊥AB 于M ，OE ⊥BC 于E ，所以OM ＝OE . 又OE =OF ，所以OM =OF .所以点O 在∠BAC 的平分线上.（2）连接O C.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，根据勾股定理，得AB ＝13. 因为S △ABO +S △BCO +S △ACO =S △ABC ，所以12×13·OM +12×12·OE +12×5·OF =12×5×12. 由（1）知OM =OE =OF ，所以15OE =30，解得OE ＝2. 24. 解：（1）等边 60° △DCE 是等边三角形 （2）AC BE （3）△BED ≌△ACD 证明过程如下：连接AC ，B D.因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 是等边三角形.所以AD ＝BD ，∠ADB ＝60°. 因为∠BCD ＝120°，所以∠DCE ＝180°－∠BCD ＝180°－120°＝60°. 因为CE ＝CD ，所以△DCE 是等边三角形.所以CD ＝DE ，∠CDE ＝60°. 所以∠ADB +∠BDC ＝∠CDE +∠BDC ，即∠ADC ＝∠BDE .在△ADC 和△BDE 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDE ，DC ＝DE ，所以△ADC ≌△BDE .所以AC ＝BE ＝BC +CE=BC+D C.25. 解：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.（2）如图1-①：拼成的等腰三角形的周长为；如图1-②：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12＝32；如图1-③：根据图示知，64+x 2＝(x +6)2，解得x ＝73，所以拼成的等腰三角形的周长为2×763⎛⎫+ ⎪⎝⎭+10＝803；如图1-④：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8＝36.① 4108②1010 8 6③ x +6 x108④ 10 81086 图1。
北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元综合训练(附答案)
北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合训练（附答案）1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定2．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．63．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFD的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．150°5．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（）A．9个B．8个C．7个D．6个6．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为（）A．6B．8C．9D．108．如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（）A．12B．13C．15D．179．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a10．一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．511．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AE⊥BC于点E，AB的垂直平分线交BC 于点D，交AB于点F，若BD＝6，则CE的长为（）A．2B．2C．3D．312．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，BE和CE分别为△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D 和E，那么∠DBC＝度．15．已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为．16．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为时，△ABC是等腰三角形．17．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，则∠BAC ＝．18．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为．19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长等于cm．21．∠α＝24°24'＝°，若∠α是一个直角三角形的其中一个锐角，则另一个锐角是°．22．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．23．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：（1）证明：ED＝FD；（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；（3）求EF的长．24．如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若BC＝10，求△ADE的周长．（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．25．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．26．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B，求证：△CDE是等腰三角形．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．28．如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．29．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．30．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．说明：△ADE是等边三角形．31．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO ＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．参考答案1．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．故选：A．2．解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．3．解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．4．解：∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠ABC是△BEF的外角，∴∠BFE＝∠ABC﹣∠E＝65°﹣25°＝40°，∴∠BFD＝180°﹣40°＝140°，故选：C．5．解：分三种情况说明：①以点O为圆心，OA长为半径画圆，与x轴、y轴有4个交点，这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．故选：B．6．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；故选：D．7．解：如图所示，连接BF，∵等边△BDE中，F是DE的中点，∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，又∵∠ABC＝30°，∴∠CBF＝60°，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝6，∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝×＝9，故选：C．8．解：如图所示，边长为1的正三角形共有1+3+5＝9个，边长为2的正三角形共有3个，边长为3的正三角形共有1个，边长为的正三角形有2个，红颜色和蓝颜色的两个三角形，综上可知：共有9+3+1+2＝15个，故选：C．9．解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．10．解：①连接CF，∵F为AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，∴∠AFM+∠CFM＝90°．∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，∴∠AFM＝∠CFN．同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，∴∠A＝∠FCN，在△AMF与△CNF中，∵，∴△AMF≌△CNF（ASA），∴MF＝NF．故①正确；②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA＝MF＝MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；③连接MN，当M为AC的中点时，CM＝CN，根据边长为4知CM＝CN＝2，此时MN最小，最小值为2，故③错误；④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△AMF∴S四边形CDFE＝S△AFC．故④正确；⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN＝BC＝2．∴DN＝DN＝2 ；当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．此时S△CMN＝S四边形CFMN﹣S△FMN＝S△AFC﹣S△DEF＝4﹣2＝2，故⑤正确．故选：C．11．解：连接AD，如图：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD＝6，∵在△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°．∵AE⊥BC于点E，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝3，∴AE＝＝3，∵∠C＝45°，∴△AEC为等腰直角三角形，∴EC＝AE＝3，故选：D．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠ECF＝∠ACF+∠ACE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，故①正确；∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BHA＝∠BHC＝90°，∴∠BAH+∠ABE＝90°，∠ACB+∠EBC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∵BE⊥AC，∴AH＝CH，∴EA＝EC，故②正确；∵∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，故③正确；设∠ACE＝∠ECD＝x，∠ABE＝∠EBC＝y，则有，可得∠BAC＝2∠BEC，故④正确，∵EA＝EC，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC，∵∠FCH+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BEC＝90°，∴∠FCH＝∠BEC＝∠AEB，∵∠ACF＝∠BCF，∴∠AEH＝∠BCF，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．14．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．故答案为：15．15．解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，∴x＝3，y＝1．当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．故答案为：7．16．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．17．解：∵BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，∴∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，在△ABP和△CAQ中，∴△ABP≌△ACQ，∴∠QAC＝∠B＝∠APQ＝30°，同理：∠BAP＝30°，∠BAC＝∠BAP+∠P AQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°．故答案为：120°18．解：如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，∵直线l∥m，∴l∥m∥n，∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠2+∠3＝60°，∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，∴∠1＝40°．故答案为：40°．19．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣c＝0即a＝b，b＝c∴a＝b＝c故答案为等边三角形．20．解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，∴GH＝3+3+2＝8（cm），F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；故答案为：17．21．解：∠α＝24°24'＝24.4°，90°﹣24.4°＝65.6°，故答案为24.4°，65.6°．22．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB＝∠DCB∴OB＝OC∴△OBC是等腰三角形23．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，∴∠EKD＝∠FHD＝90°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴DK＝DG＝DH，在△EKD和△FHD中，，∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE，∴△EKD≌△FHD（AAS），∴ED＝FD；（2）解：∠BDC＝90°+∠A．理由如下：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，∴∠BDC＝90°+∠A；（3）解：如图，∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠1+∠5＝∠3+∠6，∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，∴△BED∽△CED，∴ED：CF＝BE：DF，∵DE＝DF，则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，则ED＝，∴EF＝2ED＝．24．解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，∴AD＝BD，AE＝CE，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10．（2）∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，∴∠BAD+∠CAE＝80°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°．25．解：∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝150°÷2＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝75°﹣30°＝45°．∴∠BCD的度数为45°．26．证明：∵∠ADE+∠CDE+∠BDC＝180°，∠BCD+∠B+∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B，∴∠ADE＝∠BCD，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，在△ADE和△BCD中，，∴△ADE≌△BCD（ASA），∴DE＝CD，∴△CDE是等腰三角形．27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠F AD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．28．证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，∴∠AQN＝∠ACB，∵∠BQM＝∠AQN，∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°．29．解：（1）∵∠AOB＝60°，∠PNO＝60°，∴∠OPN＝60°，∴∠PON＝∠PNO＝∠OPN，∴△PON是等边三角形；（2）作PH⊥MN于H，如图，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝×12＝6，∴OM＝OH﹣MH＝6﹣1＝5．30．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，即∠ACD＝120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，又∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形．31．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°。
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元过关测试卷(含答案)
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》单元过关测试卷一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）A．4B．30C．18D．122．已知实数a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0，则以a，b的值为两边的等腰三角形的周长是（）A．10B．8或10C．8D．以上都不对3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝2，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，那么AE的为（）A．6B．4C．3D．24．如图，OP平分∠MON，P A⊥ON，PB⊥OM，垂足分别为A、B，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．1.5D．2.55．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN＝（）A．58°B．32°C．36°D．34°6．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：，则△ABC是直角三角形7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设（）A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠B≠∠C8．如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（）A．7根B．8根C．9根D．10根二．填空题（共8小题，满分24分）9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AB＝3，则AC＝．10．如图，已知△ABC中，BC＝4，AB的垂直平分线交AC于点D，若AC＝6，则△BCD 的周长＝．11．如图，小艾同学坐在秋千上，秋千旋转了80°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则S△ABD＝．13．如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点O作EF∥BC，分别与边AB、AC相交于点E、F，AB＝8，AC＝7，那么△AEF的周长等于．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE ⊥AB，垂足为E．若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是．15．如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，则图中共有个等边三角形．16．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，DF⊥BC于点F，求线段BF的长，BF＝．三．解答题（共7小题，满分52分）17．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．18．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．19．如图：△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CE是斜边AB上的高，且AC＝AD．（1）若∠DCE＝15°，求∠B的度数；（2）若∠B﹣∠A＝20°，求∠DCB的度数．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于点E．（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求△BCE的周长21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．23．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．参考答案一．选择题（共8小题）1．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，∴△ADE的周长为12．故选：D．2．【解答】解：根据题意得a﹣2＝0，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4，①a＝2是底长时，三角形的三边分别为4、4、2，∵4、4、2能组成三角形，∴三角形的周长为10，②a＝2是腰边时，三角形的三边分别为4、2、2，2+2＝4，不能组成三角形．综上所述，三角形的周长是10．故选：A．3．【解答】解：连接BE，∵DE是边AB的垂直平分线，∴BE＝AE，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣30°﹣30°＝30°，∴BE＝2CE＝4，∴AE＝BE＝4，故选：B．4．【解答】解：∵OP平分∠MON，P A⊥ON，PB⊥OM，∴PB＝P A＝3，故选：B．5．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣106°＝74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B+∠C＝∠BAE+∠CAN＝74°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝106°﹣74°＝32°．故选：B．6．【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：，，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．7．【解答】解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立．故选：B．8．【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝10°，∴∠EDF＝∠EFD＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个，∴添加这样的钢管的根数最多是8根．故选：B．二．填空题（共8小题）9．【解答】解：如图，∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∵AB＝3，∴x2+32＝（2x）2解得：x＝或﹣（舍去），∴AC＝2x＝2，故答案为：2．10．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝10，故答案为：10．11．【解答】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′＝80°，OA＝OA′，∴∠OAA'＝（180°﹣80°）＝50°．故答案为50°．12．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×10×4＝20，故答案为20．13．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴EO＝EB，FO＝FC，∵AB＝8cm，AC＝7cm，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+EO+FO+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+7＝15（cm）．故△AEF的周长为15，故答案为：15．14．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．15．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，∵DF∥BC，∴∠F AC＝∠ACB＝60°，∠DAB＝∠ABC＝60°，同理：∠ACF＝∠BAC＝60°在△AFC中，∠F AC＝∠ACF＝60°∴△AFC是等边三角形，同理可证：△ABD△BCE都是等边三角形，因此∠E＝∠F＝∠D＝60°，△DEF是等边三角形，故有5个等边三角形，故答案为：5．16．【解答】解：连接BD，∵△ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点，∴AC＝BC＝8，AD＝DC＝4，∠DBF＝ABC＝＝30°，由勾股定理得：BD＝＝4，∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∴DF＝BD＝＝2，在Rt△DFB中，由勾股定理得：BF＝＝＝6，故答案为：6．三．解答题（共7小题）17．【解答】证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C＝180°，而∠A+∠B+∠C＝180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角18．【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．19．【解答】解：（1）∵CE⊥AB，∴∠CED＝90°，∵∠ECD＝15°，∴∠ADC＝75°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCB＝15°，∵∠ADC＝∠B+∠DCB，∴∠B＝75°﹣15°＝60°．（2）设∠DCB＝x，则∠ADC＝∠ACD＝∠B+x＝90°﹣x，∴2x＝90°﹣∠B，∵∠A+∠B＝90°，∠B﹣∠A＝20°，∴∠B＝55°，∴2x＝35°，∴x＝17.5°，∴∠DCB＝17.5°20．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB∴∠A＝∠ABE＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°；（2）∵△ABC的周长为43cm，BC＝11cm∴AB＝AC＝16cm，又∵DE垂直平分AB∴EA＝EB，∴△BCE的周长为：BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝16+11＝27cm．21．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，过D作DH⊥CE于H，∵BD＝2，∠DBH＝60°，∴BH＝BD＝1，DH＝＝，DH＝EH＝，∴BE＝EH﹣BH＝﹣1．22．【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC，理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x∴∠DAE＝∠BAC．23．【解答】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12＝2x，解得：x＝12；（2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝12﹣2t，解得t＝4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB，y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N 运动的时间为16秒．。
北师大版八年级下册《第一章三角形的证明》单元练习(含答案)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元练习一、单选题1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( )A. 8B. 9C. 10D. 113.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 34.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC 的（）A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心5.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（）．A. B. C. D.9.如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A. 9B. 10C. 11D. 1210.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB=DC11.如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（）A. 9B. 6C. 5D. 412.在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的( )A. 三边中线的交点B. 三边中垂线的交点C. 三边上高的交点D. 三条角平分线的交点13.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°二、填空题14.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为________ .15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠CBD=∠ABD，DE⊥BC，BC=10，则△DEC的周长=________ ．16.如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是 ________17.一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是________．18.下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 ________个．三、解答题19.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数？20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．四、综合题21.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，________求证：________．请你补全已知和求证（2）并写出证明过程．22.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点．（1）若，，求的周长；（2）若，求的度数．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故答案为：D．【分析】点P到角的两边的距离相等知点P在∠AOB平分线上，由点P在CD上，故点P 在CD与∠AOB的平分线的交点。
【完整版】北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明含答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=3，DE=5，则线段EC的长为（）A.3B.4C.2D.2.52、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，∠B的度数为（）A.20°或70°B.30°或60°C.25°或65°D.35°或65°3、下列命题中错误的有（）个（ 1 ）等腰三角形的两个底角相等（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形（4）圆的切线垂直于半径（5）平分弦的直径垂直于弦A.1B.2C.3D.44、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A.55°B.40°C.35°D.20°5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是( )A. B. C. D.AC=AB7、如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D 点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.22cm8、等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（）A.50°，80°B.65°，65°C.50°，80°或65°，65° D.无法确定9、如图，在中，，则的度数为（）A. B. C. D.10、下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A.2B.8C.2D.1012、等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A.9cmB.12 cmC.12 cm或15 cmD.15 cm13、如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为( )A. B. C.8 D.914、已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为A.13 cmB.17cmC.13cm或17cmD.10cm或13cm15、△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）A.50°B.60°C.150°D.50°或130°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，若正方形ABCD的边长为1，且∠BFC＝90°，则AE的长为________17、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为________．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长度是________cm.19、如图，于，于，且.若，，则的大小为________度.20、如图，在中，点在上，，点在的延长线上，，连接，则的度数为________ ．21、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若∠B=30°，CD=1，则BD的长为________．22、如图，等腰△ABC的周长为27cm，底边BC=7cm，AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为________cm ．cm23、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O恰好是AC的中点，则CD的长为________．24、如图， AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点D，若∠A=38°，则∠BDM=________度.25、如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处。
北师大版数学八年级下 第1章《三角形的证明》单元测试试卷及答案
第1章《三角形的证明》单元测试试卷一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）w W w . K b 1.c o M和39，则△EDF的面积为（）C D则CH的长是（）则折痕CE的长为（）C D123123112△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）二．填空题（共8小题）10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_________．11．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为_________．12．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为_________．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_________度．15．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________cm．16．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是_________．17．如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_________．三．解答题（共5小题）18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．19．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．20．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．21．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．22．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是_________；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）和39，则△EDF的面积为（）B C D=15AC AB==，的距离是7．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）则折痕CE的长为（）AB=3﹣﹣AE=EC=3=29．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=4．CBDB=DC==4则△ABE的周长为7．==412．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为．BE=BMBD=AD=，BM==BE=13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．w W w . K b 1.c o M14．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15度．15．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是5cm．16．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是S2=S1+S3．17．如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为．2=2=×．三．解答题（共5小题）18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．19．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．，，=2AD=AF+DF=2+规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．（1）如图1，DE与BC的数量关系是DE=BC；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．BC BF+BP=DEBP=BF+BP=BF+BP=BP=证：BD=CE．。
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北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元练习一、单选题1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( )A. 8B. 9C. 10D. 113.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 34.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN 上，则点O是△ABC的（）A. 垂心B. 重心C. 内心 D. 外心5.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（）．A. B. C.D.9.如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC 于点E，则△BEC的周长为（）A. 9B. 10C. 11D. 1210.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB=DC11.如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（）A. 9B. 6C. 5D. 412.在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的( )A. 三边中线的交点B. 三边中垂线的交点C. 三边上高的交点D. 三条角平分线的交点13.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°二、填空题14.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为________ .15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠CBD=∠ABD，DE⊥BC，BC=10，则△DEC的周长=________ ．16.如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是 ________17.一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是________．18.下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 ________个．三、解答题19.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数？20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．四、综合题21.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，________求证：________．请你补全已知和求证（2）并写出证明过程．22.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点．（1）若，，求的周长；（2）若，求的度数．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故答案为：D．【分析】点P到角的两边的距离相等知点P在∠AOB平分线上，由点P在CD上，故点P 在CD与∠AOB的平分线的交点。
2.【答案】C【解析】【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故应选：C【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，根据三角形的周长计算方法、等量代换及线段的和差得出：△BDC的周长=DB+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC，从而得出答案。
3.【答案】C【解析】【解答】如下图：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=8，∴CD=AB=8=4.故答案为：C.【分析】根据定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，进行计算即可.4.【答案】C【解析】【解答】如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F∵MN∥AB，OD=OE=OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，由裁剪知，OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ABC的内心，故答案为：C．【分析】由平行线间的距离处处相等可得到点O到三角形三边的距离相等，最后，依据角平分线的性质定理的逆定理进行判断即可.5.【答案】B【解析】【解答】解：如图，∠AMB=110°．故选B．【分析】根据题意作出图形，然后利用量角器测量即可．6.【答案】B【解析】【解答】解：如图，∠AMB=110°．故选B．【分析】根据题意作出图形，然后利用量角器测量即可．7.【答案】C【解析】【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm∴AB==AC∵AB的垂直平分线EM，∴BE=AB=cm∴BM==2cm同理CF=cm，CN=2cm∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm.故选C.8.【答案】A【解析】【解答】过作于，∵ 平分，CD⊥AB，∴EF= ，∴ ，故答案为：．【分析】过E 作EF⊥BC 于F ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EF=DE=2 ，再根据三角形的面积计算公式即可算出答案。
9.【答案】D【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=5，AB+AC+BC=19，∴AC=7，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴BE+CE+BC=12，即△BEC的周长为12；故选D.【分析】本题主要考查等腰形的性质、线段垂直平分线的性质，能正确地识图是解题的关键.10.【答案】D【解析】【解答】解：条件是AB=CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD=∠AEB=90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选D．【分析】根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．11.【答案】A【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，∴BD=DF=5，FE=CE=4，∴DE=DF+CE=5+4=4．故选A．【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，即BD=DF，FE=CE，然后利用等量代换即可求出线段DE的长．12.【答案】B【解析】【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点处，故答案为：B【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此要放在三边中垂线的交点上。
13.【答案】D【解析】【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数是90°﹣60°=30°．故选D．【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解．二、填空题14.【答案】4【解析】【解答】∵BC=10，BD=6∴CD=4∵∠C=90°，∠1=∠2∴点D到边AB的距离=CD=4。
故填4。
【分析】由已知条件首先求出线段CD的大小，接着利用角平分线的性质得点D到边AB的距离等于CD的大小，问题可解。
15.【答案】10【解析】【解答】解：∵∠CBD=∠ABD，DE⊥BC，∠A=90°，∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE，AD=DE．又∵AB=AC，∴CD+DE=CD+AD=AC=AB=BE，∴△DEC的周长=CD+DE+CE=BE+CE=BC=10．∴△DEC的周长=10．故填10．【分析】从已知条件开始思考，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行相等线段的转移，可得答案．16.【答案】HL【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，CA=CA∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．故填HL．【分析】因为∠ABC=∠ADC=90°，所以△ABC和△ADC为直角三角形，又因为CB=CD，CA=CA，故可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC．17.【答案】80°或20°【解析】【解答】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；（2）当80°为底角时，顶角=180°﹣2×80°=20°．故答案为：80°或20°．【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．18.【答案】2【解析】【解答】解：①直角三角形两直角对应相等，有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等，所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等，那么这两个直角三角形不全等，所以有两边相等的两直角三角形不一定全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，根据HL可得这两个直角三角形必全等．所以正确的结论是②④．故答案为2．【分析】根据直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理HL、SSS、SAS、ASA、AAS等作出判定即可．三、解答题19.【答案】解：∵∠BAD=20°，AB=AD=DC，∴∠ABD=∠ADB=80°，由三角形外角与外角性质可得∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，又∵AD=DC，∴∠C=∠ADB=40°，∴∠C=40°．【解析】【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．20.【答案】解：如图，连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，∴∠BAD=60°，AD⊥BC，∴∠B=90°﹣60°=30°，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°﹣60°=30°，设EA=x，在Rt△ADE中，AD=2EA=2x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2•2x=4x，∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，∴EB：EA=3x：x=3．【解析】【分析】连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质求出∠BAD=60°，AD⊥BC，再求出∠B=∠ADE=30°，设EA=x，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半表示出AD、AB，然后表示出EB，然后求出比值即可．四、综合题21.【答案】（1）PD⊥OA，PE⊥OB；PD=PE（2）解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E；求证：PD=PE．∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△PDO和△PEO中，，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE．故答案为：PD=PE．【解析】【解答】解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△PDO和△PEO中，，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE．【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO≌△PEO，由全等三角形的性质可得结论．22.【答案】（1）解：中，，垂直平分，又，的周长为：（2）解：又【解析】【分析】（1）注意使用等量代换；（2）另一种方法可以用方程思想，设∠C=X° 则∠CBA ＝∠A ＝2∠C=2X°∵ ∠ C＋∠A＋∠CBA ＝180°∴X+2X+2X=180则X=36∴∠C=36°。