基于椭圆曲线的一种高效率数字签名
基于椭圆曲线的数字签名
西安航 空技）（ ，） （ ｄ ；ｒ Ｓ 即为 Ａ 对 消息 ｍ 的签 名 ， Ａ将 （） ２ 签名 验证算 法 。 接 收到 Ａ 对 消息 ｍ 的 签 Ｂ
名 （ｌＳ， ） Ｂ。 Ｓ，２ｒ 给 （） ３ 签名 验证 。 Ｂ对 收到 的签名 （１Ｓ，）判 ① Ｓ，２ｒ ， 断 Ｓ，２是 否是 ［ ， 一１ ｌＳ， １ ］内的整数 ； 是 ， 不 则拒 绝
（ ）倍 点 规则 ） Ｘ ， ） Ｅ（ ０ 是一 个点 ， ５（ （１ １ ∈ Ｆ） ｌ ≠ ０ ２ ｘ１ ）＝ （ ３ Ｙ ） 则 （ ， １ Ｘ ，３ ，
ｌ 椭 圆曲线数 字签 名
１ １ 椭 圆 曲线数 字签 名方 案 ．
定义在有 限域 Ｆ 上的椭圆曲线 ： ｑ＞２ 是 ０ 令
穷远点。 Ｆ ） Ｅ（ 。 的点数用表示 ＃Ｅ（ 口 ， 表示单向 Ｆ ）ｈ
散列 函数 。
已有椭圆曲线数字签名方案 ： （） １ 签名算法 。 假设签名消息 ｍ 的 值为 ｅ ，
ｈｓ ａｈ函数是ｈ 则 ｅ：ｈ ） Ａ在区间［ ， 一１ ， （ ① １ ］ 内选择一个 随机 数 志 Ａ 计算 点 Ｒ ＝ （ ， ）＝ ； １ １ ｋ Ｇ；ｒ＝ １ｒ ｄ ； （ ｏ ）如果 ｒ＝０ 转 ① ； ｏ ， ②Ａ 计ｅ ＝ ｈ ｍ）③Ａ 利用私有密钥 ， （ ； 计算 ｓ＝ 走 ｅ＋ （
由参数 ａ和 ｂ定 义 在 上 的方 程 ： ０＋ａｃ＋ ， Ｔ ｂ ｍｏ ）的所 有解 （ Ｙ ， ∈ Ｆ 。 是 椭 圆 曲线 （ ｄｑ ｚ， ）Ｘ ０Ｇ Ｅ上 的基 点 ， 阶为 即 ｎ ＝０ Ｏ 椭 圆 曲线 的无 其 Ｇ ，是
则 称 曲线为 “ 光滑 ”的或 超奇 异 的 ， 则 称 曲线 为 非 否 “ 光滑 ”的或 非奇 异 的 。
一种基于椭圆曲线的代理签名方案
２ 椭 圆 曲线 密 码 体 制 与 代 理 签 名 技 术
椭 圆 曲线 密码 体制 使用 的是 离散 对数 问题 的一种
变形 ，９ ５年 由 Ｋ ｂｉ １８ ｏ ｌｚ和 Ｍｉｅ 分 别 独 立地 提 出 ， ｔ ｌｒ ｌ 它 是利 用有 限域 上 的椭 圆曲线有 限循 环群 代替 基于 离散
子 商务 和通讯 技术 等 领 域 有着 广 泛 的应用 ， 以后 势 必 会扩 展 到社会 生活 的更 多层 面． 因此 ， 圆 曲线密码 应 椭
协 议 、 字签名 、 子 密码 等 ． 码 技 术 除 了提 供 信 息 数 量 密 的加密解 密外 ， 还提 供对信 息来 源 的鉴别 、 保证 信 息 的 完 整性和 不可 否认性 等 功 能 ， 这 ３种功 能是 通 过 数 而 字 签名来 实现 的． 字 签名 是 基 于 公钥 密 码 体 制 的 以 数
１ 数字 签 名 在 信 息 化 社 会 中的 意 义
随着 网络通信 技术 的迅 速发展 和信 息技 术 的 日益 深入 ， 息 已成 为重要 的 资源 和 财 富 ， 透 到 了政 治 、 信 渗
名、 具有 消息恢 复 的签名 、 签名 、 盲 代理 签名 、 多重 签名 和 向前安 全 的数字 签 名 等 等． 比如商 业 领 域 利用 数 字
了一 种 高效 、 全 的基 于 椭 圆 曲线 的代 理 签 名 解 决 方 案 ． 时 ， 安 同 对该 方 案 作 了详 细 的介 绍 和 论证 ． 关 键 词 ： 圆 曲线 ； 理 签 名 ； 字 签 名 椭 代 数 中图 分 类 号 ： Ｐ ０ Ｔ ３９ 文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１７ ６ ３—１０ （０ ０ ０ ６ ３ ２ １ ）４—０ ６ ０ ３ ３— ３
一种改进的基于椭圆曲线的数字签名方案
＝
， （ Ｙ ） ｒ ｘ，， （ ｒ ７ ｒ Ｙ ） ， ｘ ，＇ ｒ
＝
（ ） 效 性 分 析 ５有
４ 由 ｒ ×ｍｏ ｎ可 知 ， ＝ ） ｄ ＝ ｒ
ｒｖ ｓ ｅ ｅｒｅ—ｍｏｄ ｏ ｒ ｔ ｌ ｉ ｓ ｏ ｉ ｏｖ ｄ ｅ ｐｅ ａ ｉ Ａｌ ｎｄ ｆ ｍｐｒ ｅ Ｅｌｐ ｉ Ｃｕｒｅ ｏｎ ｋ ｌｔ ｉ ｃ ｖ Ｄｉ ｔ ｌ ｇｎ ｕ ｅ Ｓｃｈ ｍ ｅ ｔ ｎ ｎ ｄ ｆ ｒ ｅ ｅ ｓ ｍ ｏ ｇｉ Ｓｉ ａｔｒ ａ ｅ ｗｉ ｈ ｏ ｅｅ ｏ ｒ ｖ ｒ ｅ－ ｄｅ ｏｐｅ — ｒ
案效 率 的 最 主 要 因素之 一是 模 逆 操 作 ， 内外 都提 出 了各 种 改进 的 无 需 进行 模 逆 操 作 的 椭 圆曲 线数 字签 名 方 案 。 然 高伟 国 虽 等提 出 Ｔ Ｅ Ｓ 是 无 需模 逆 操 作 的 ， 指 出 它是 不 安 全 的 ， 意 攻 击者 可 以成 功 地伪 造有 效 的数 字 签 名 。 随后 提 出了 一 — ＣＤ Ａ 将 恶 种新 的无 需进 行模 逆操 作 的基 于 Ｅ ＣＣ 的 签 名 方案 ， 高 了签名 速 度 ， 提 并验 证 了新 方 案 的安 全性 和 有 效 性 。
上 的 Ｅ Ｃ， ｑ的 长 度 为 １ ０ ｉ时 ， 安 全 性 相 当 于 Ｒ Ａ使 用 Ｃ 当 ６ ｂｔ 其 Ｓ １ ２ ｂ 模 数 ； ０４ｉ ｔ 当密 钥 对 ｂｔ 增 加 时 ，ＣＣ 密钥 对 的产 生速 度 ｉ 位 Ｅ 明显 高 于 Ｒ Ａ 密 钥 短 意 味着 小 的带 宽 ， Ｓ ｔ。 更少 的存储 空 间 ， 时 同
＝
（ ， ）
ｒ＝ ｍ ｏ ＇ Ｘ１ ｄｎ
ｒ ＋ ｒ ｒ Ｇ＋ Ｑ Ｓ ｎｒ ＋ １ ｒ —
基于椭圆曲线算法的数字签名技术研究
相同， 则说 明该密文确实是 Ａ发送 的， 如不 同， 则说
明该密 文 不是 Ａ发送 的。 验 证过 程 ， 图 ２所 示 。 如
信息
ｔ 殳 糍
收到密文 以后 ， 可以对密文进行解密 ， 解密算法 如下 ： 首先 ， 确定 参 数组 （ ， ， ， ） 私 钥 ｄ 密 文 ＰＥ Ｐｎ ， ， （ ｃ ） 然后 ， ｃ ，： ； 计算 Ｍ＝ ： ｄ 并从点 Ｍ中取 出 Ｃ 一 Ｃ，
Ｙ ＝ｘ ＋ａ ｂ ｍ ｄＰ ｘ＋ （ ｏ ） （） ３ 椭圆曲线离散对数问题 Ｅ Ｄ Ｐ Ｃ Ｌ 定义如下 ： 给定 素 数 Ｐ和椭 圆 曲线 Ｅ， Ｑ＝ｋ ， 已知 Ｐ Ｑ的情况 对 Ｐ在 ， 下求 出小 于 ｐ的正 整 数 ｋ 。可 以证 明 ， 已知 ｋ和 Ｐ
数据单元的接受者 ， 以确认数据单元 的来源和数 用 据单元 的完 整性 并 保护 数 据 ， 防止 被 伪 造 。数 字签
第２ ６卷 第 ４期 ２１ ０ ０年 ２月
甘肃科 技
Ｇ ｎ ｕ Ｓ ｉｎ ｅ ａ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ａ ｓ ｃ ｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ
２ ６
Ⅳ０ ４ ．
Ｆｂ ｅ． ２ １ ０Ｏ
基 于椭 圆 曲线 算 法 的数 字签 名 技 术研 究
朱利 民 ， 王明斐
（． １ 河南机 电高等专科学校 实验管理中心 ， 河南 新乡 ４ ３０ ； ５０ ２ ２ 河南机电高等专科学 校 计算机科学与技术系 ， ． 河南 新 乡 ４ ３０ ） ５ ０２
摘
要： 椭圆曲线密码体制是一种高安全性 、 高效率 的公钥密码体制 ， 已逐渐取代 Ｒ Ａ加密算法 ， 它 Ｓ 成为下 一代 公钥
基于椭圆曲线密码数字签名的研究与实现
３ ． ２系统的工作流程
（） １ 应用于本地信息的加密和签名时， 采用的步骤 ： ①设 置系统参 数， 配置算法； 生成一组 新的椭 圆曲线域参数； ② ③
摘要 ： 设计了 一个基于椭圆曲线密码体制的数字签名方案， 实现 了 该数字签名系统。 关键词： 椭圆曲线密码； 数字签名 ； 中图分类号： Ｐ ０ ． 文献标志码 ： 文章编号： ６ ３１３ ２ １） ３０ ０ －３ Ｔ ３９ ７ Ａ １７ —１１（０ １ ０ －０ ９０
Ｔｈｅ Ｒｅ ｅａ ｃ ａ ｄ Ｉ ｓ ｒ ｈ ｎ ｍｐｌ ｍｅ ｔ ｔｏ ｏ ｉ ｔ ｌ Ｓｉ ｎａ ｕｒ ｅ ｎ ａ ｉ ｎ ｆ Ｄ ｇｉａ ｇ ｔ ｅ Ｂａ ｅ ｏ Ｅｌｉ ｔｃ ｓｄ ｎ ｌｐ ｉ Ｃｕｒ ｅ ｖ Ｃｒ ｐ ｏ ａ ｈｙ ｙ ｔ ｇｒ ｐ
使用密钥完成签名等操作。 （） ２ 应用于网络通信系统的加密和签名时， 采用的步骤 ：
码实现 的认证、 数字签名和数字信封在运算速度、 密钥长度和 每 比特位强度上都 比其他 的公钥算法有着很大的优势。 基于椭
圆曲线 的密码系统具有广 阔的发展前景， 必将成为新一代信息 安全技术的主流。
２１ ０ １年第 ３期 （ 总第 １３期） １
信 息 通 信
Ｉ ＯＲＭ ＡＴＩ ＮＦ １
（ ｕ ． Ｎ １３ Ｓｍ ｏ １）
基于椭 圆曲线密码数字签名的研 究与实现
王艳红
（ 南通航运职业技术学院 管理信息系， 江苏 南通 ２ ６ １ ） ２ ００
表 示 ，曲线 上 点 的点加 、 点 以及 数 乘 运 算 。 别 是 ， 用 了一 倍 特 使
国密算法标准
国密算法标准
国密算法标准是指中国国家密码管理局（National Cryptography Administration，简称NCA）发布的密码算法标准，主要用于保障国家信息安全。
国密算法标准包括对称加密算法、非对称加密算法、数字签名算法等，其中的国密SM2、SM3、SM4等已成为中国密码领域的代表性算法。
以下是一些国密算法标准的主要内容：
1.SM2（椭圆曲线公钥密码算法）：SM2是一种基于椭圆曲线的
非对称加密算法，用于数字签名、密钥交换等场景。
SM2算法
已广泛用于中国的数字证书和身份认证领域。
2.SM3（密码杂凑算法）：SM3是一种密码杂凑算法，类似于SHA-
256。
它被用于数字签名、消息认证码（MAC）等场景，确保消
息的完整性和不可伪造性。
3.SM4（分组密码算法）：SM4是一种对称加密分组密码算法，
用于保护数据的机密性。
它可以用于加密和解密数据，适用于
各种安全通信和存储场景。
这些算法被认为是国家信息安全的基石，其设计和应用受到国家密码管理局的监管和推动。
在中国，特别是在政府、金融、电信等关键领域，对这些国密算法的使用有一定的规定和要求。
此外，国际上也关注和研究这些算法的性能和安全性。
需要注意的是，由于密码学领域的迅速发展，相关标准可能会随时更新。
因此，建议在使用这些算法时查阅最新的国密算法标准文档。
一种新的基于椭圆曲线的数字签名方案
潘晓君 （ 桂林 电子科技大 学计算机 与控制学 院 桂林 ５ １０ ） ４０ ４
摘 要 ：首先阐述 了有限域上的椭 圆曲线数字签名方案 。椭 圆曲线密码 体制 中影响数 字签名效率 的最主要 的 因
素 之 一 是 模 逆 操 作 ， 文提 出 了一 个 新 的 基 于 椭 圆 曲 线 的 数 字 签 名 方 案 ， 方 案 无 需进 行 模 逆 操 作 ， 本 该 大 大提 高 了签 名 效 率 ， 同时 也 增 强 了安 全 性 。
Ｒｓｍ ｈａｄＤ ｖｌ ｍ ｎ 研究开发 ｅ ￣ ｎ ｅｅｐ ｅｔ ｅ ｏ ３ ５
维普资讯
计 算 机 系 统 应 用
２０ 年 第 １ 期 ０８
椭圆 曲线域参 数与椭圆曲线数字签名算法 的密 钥 对特定集 相 互 关联 。确定 椭 圆 曲线 的主 域参 数 Ｔ＝ （ ，Ｒ ａ ｂ Ｇ， ， ） ， ｑ Ｔ ， ， ， ｎ ｈ 后 便可确 定密钥对。签 名实体 Ａ
（ ）且 Ｐ＞ 时 ， 方 程 为 Ｙ Ｘ ＋ａ Ｐ ， ３ 其 ＝ 。 ｘ＋ｂ 其 中 ａ ｂ （ ， ∈ Ｆ Ｐ 且 须 满 足 ４ 。 ２ ｂ （ ｄＰ ≠Ｏ以 确保 椭 圆 Ｏ （） ａ ＋ ７ ｍｏ ）
源有 限的终 端设备 ， 来越受到人们的关注 ， 越 逐渐成为
研究热 点。
维普资讯
２ ０ 年 第 １ 期 ０８
计 算 机 系 统 应 用
一
种 新 的基 于 椭 圆 曲线 的数 字 签 名 方案
Ａ ｗ ｇｉａｌｓ ｇｎａ ｕｒ ａ ｓ ｄ ｏｎ ｅ ｌ ｔｃ ｃｕｒ ｎｅ ｄｉ ｔ ｉ ｔ ｅ ｐｌ ｎ ｂａ ｅ ｌｉ ｉ ｐ ｖｅ
＝
பைடு நூலகம்
的非超奇异性 ； 对于 二元域 Ｇ （ ） 其 方程为 Ｙ ｘ Ｆ２ ， ＋ ｙ
椭圆曲线在密码学中的应用
椭圆曲线在密码学中的应用
椭圆曲线在密码学中被广泛应用，主要是因为它们具有一些非常重要的数学特性，如离散对数问题的困难性和数字签名的可靠性。
以下是一些椭圆曲线在密码学中的应用：
1. 椭圆曲线密码（ECC）：ECC是基于椭圆曲线的密码体系，它比传统的RSA 或DSA等公钥密码体系更加高效和安全。
ECC不仅可以用于加密和解密，还可以用于数字签名和身份验证等应用。
2. 数字签名：椭圆曲线数字签名（ECDSA）是用于数字签名的一种算法，它比传统的数字签名算法更加高效和安全。
ECDSA可以用于身份验证、保护数据完整性和防止重放攻击等应用。
3. 密钥交换：椭圆曲线密钥交换（ECDH）是一种安全的密钥交换协议，用于在两个通信方之间安全地协商共享密钥。
ECDH不仅比传统的密钥交换协议更加高效和安全，还可以用于保护通信的机密性和完整性。
总的来说，椭圆曲线在密码学中的应用非常广泛，它们已经成为现代密码学中不可或缺的一部分。
安全的两方协作SM2签名算法
安全的两方协作SM2签名算法SM2是一种基于椭圆曲线密码体制的数字签名算法，适用于安全的两方协作签名方案。
在SM2算法中，有两个主要参与者：密钥生成中心（KGC）和签名者。
KGC负责生成密钥对，并将公钥广播给所有签名者。
签名者使用自己的私钥和KGC的公钥来生成签名，而验证者则使用KGC的公钥和签名者的公钥来验证签名的有效性。
SM2算法的安全性主要基于椭圆曲线密码学的难解性和随机性。
在椭圆曲线密码体制中，找到一个合法的密钥对是计算上困难的，因此攻击者很难伪造签名者的私钥。
SM2算法还使用了随机数来增加签名的随机性和不可预测性，使得攻击者更难预测签名的结果。
与其他数字签名算法相比，SM2算法具有较高的安全性和效率。
SM2算法的签名长度固定，因此比RSA等算法更适合用于网络传输等场景。
SM2算法还具有良好的抗量子计算攻击能力，因此在未来量子计算环境下也具有较好的应用前景。
SM2是一种高效安全的两方协作数字签名算法，适用于需要数字签名的各种场景，特别是在需要保证数据完整性和安全性的网络传输中具有广泛的应用前景。
随着移动互联网的飞速发展，人们对于安全、便捷的数据传输和数字签名需求日益增长。
在这篇文章中，我们将探讨轻量级SM2两方协同签名的概念、特点、优点及应用场景，以此应对移动互联网环境下的安全挑战。
轻量级SM2两方协同签名是一种基于椭圆曲线密码学的数字签名技术，其安全性高、计算量小、部署方便等特点使其在移动互联网环境中备受。
轻量级SM2两方协同签名的优点主要表现在以下几个方面。
它采用了非对称加密算法，确保了消息的机密性和完整性。
由于其算法优化，计算量相对较小，能够在移动设备上快速处理，使得用户体验更加流畅。
该技术部署方便，对设备资源要求较低，适合在各种类型的移动设备上运行。
在移动互联网环境下，轻量级SM2两方协同签名有着广泛的应用场景。
例如，在安全电子邮件中，可以利用该技术确保邮件的来源和内容不被篡改，保护用户的隐私和安全。
一种基于椭圆曲线的有序多重数字签名方案
１ 引 言
椭 圆 曲线 的密 码 体 制 相 对 于 传 统 密码 体 制 具 有 密钥 小 、 参 数 规 模 小 、 算 速 度 快 及 安 全 性 高 的 特 点 ， 此 在 公 钥 体 制 和 运 因
数 字 签名 中得 到 了广 泛 的关 注 和 应 用 。 文 提 出 了一 种 基 于椭 本
Ａ ｅ ｕ ｎ ｉ ｌ Ｄｉ ｉａ ｕ ｔ ｓｇ ａ ｕ ｅ Ｓ ｈ ｍ ｅ Ｂａ ｅ ｎ Ｅｌｉ ｔ Ｓ ｑ ｅ ｔ ｇ ｔ ｌ Ｍ ｌｉ ｉ ｎ ｔ ｒ ｃ ｅ ｓ ｄ ｏ ｌ ｉ Ｃｕ ｖ ｓ ａ － ｐ ｃ ｒ ｅ
Ｓ ｎ — ｕ ＨＵ ｎ ＨＩ Ｒｏ ｇ ｈ ａ Ｆａ ｇ
ｏ ｏ ｆｃ ｍｍｕ ｉａｉ ｎ ａ ｄ ｉ ｒ ｖ ｈ ｅ ｕ ｉ ｆ ｎ ｔ ｒ ． ｎ ｃ ｔ ｎ ｍｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｓ ｃ ｒｔ ｏ ｅｗｏ ｋ ｏ ｙ Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ｓ ｑ ｅ ｔ ｌ ｍｕ ｔ ｓｇ ａ ｕ ｅ ｅｌ ｔ ｕ ｅ，ｅ ｕ ｔ ｙ ｒ ｓ ｅ ｕ ｎｉ ｌｉ ｉ ｔ ｒ ， ｌ ｐ ｉ ｃ ｒ ｓ ｃ ｒ ｙ ａ — ｎ ｉ ｃ ｖ ｉ
ｍｅ ｓ ｇ ｓ ｓ ｎ ｏ ｈ ｓｇ ａｏ ｙ ｓ ｃ ｔ ； ｈ ｉｎ ｔ ｒ ａ ａｉ ａｅ ｔ ｅ ｌ ｓ ｓｇ ａｕ ｅ ｔ ｉｃ ｖ ｒ ｆｋ ｉｎ ｔ ｒ ａ ｈ ｓ ａ ｅ ｉ ｅ ｔ ｔ ｔ ｅ ｉ ｔ ｒ ｅ ｒ ｌ Ｔ ｅ ｓｇ ａｏ ｃ ｎ ｖ ｌ ｔ ｈ ａ ｔ ｉ ｔ ｒ ｏ ｄ ｓ ｏ ｅ ａ ｅ ｓｇ ａ ｕ ｅ， ｔ ｔ ｅ ｎ ｅ ｙ ｙ ｄ ｎ ｓ ｍｅ ｔｍｅ ｔ ｅ ｓｇ ａｕ ｅ ｃ ｎ ｅ ａ ｅ ｌ ｗ ｔ ｈ ｍｅ ｇ ｎ ｙ ａ ｃ ｒ ｉ ｇ ｔ ｈ ｒｏ ｓ ａ ｅ ｎ ｔ ａ ｉ ｈ ｉｎ ｔ ｒ ｅ ｔ ｒ ｃ ｎ ｄ ａ ｉ ｔ ｅ ｅ ｒ ｅ ｃ ｃ ｏ ｄ ｎ ｏ ｔ ｅ ｅ ｒ ｒ ｍｅ ｓ ｇ ｉ ｉ ，ｔ ａｓ ａ ａ ｉ ａ ｅ ｈ ｍｅ ｉ ｌ ｏ ｃ ｎ ｖ ｌｄ ｔ ｔ ｅ ｖ ｌ ｉ ｏ ｉ ａ ｏ ’ ｐ ｂ ｉ ｋ ｙ Ｏ ｓ ｏ ｖ ｉ ｈ ｈ ａｉ ｇ ｂ ｉｎ ｒ ｕ ｅ ｓ ｅ ｃ ｅ ａ ｅ ｕｌ ｄ ａ ｔｇ ｏ ｈ ａ ｉ ｔ ｆ ｓｇ ｔ ｒ Ｓ ｕ ｌ ｄ ｙ ｎ ｙ ｃ ｅ Ｓ ａ ｔ ａ ｏｄ ｔ ｅ ｃ ｅ ｔ ｙ ｎ ｅ ｓ ｒ ． ｓ ｈ ｍｅ ｔ ｋ ｓ ｆ ｌ ｎ ｈ Ｔ ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｆ ｅｌ ｔ ｃ ｒｅ ｒ ｐ ｏ ｙ ｔ ｍ ，ｕ ｈ ａ ｈ ｒｅ ｒ ａ ｅ ｋ ｙ ｈ ｇ ｅ ｉｎ ｔ ｒ ｅ ｃｅ ｃ ａ ｄ Ｏ ｎ，ｏ ｔ ａ ｅ ｕ ｅ ｔ ｅ ｏ ｔ ｌ ｐ ｉ ｕ ｃ ｔｓ ｓｅ ｓ ｃ ｓ ｓ ｏｔ ｒ ｐ ｖ ｔ ｅ ， ｉｈ ｒ ｓ ａｕ ｅ ｆ ｉｎ ｙ ｎ Ｓ ｏ ｓ ｉ ｉ ｃ ｖ ｙ ｉ ｇ ｉ ｃ ｎ ｒ ｄ ｃ ｈ ｃ ｓ
基于椭圆曲线的Schnorr型高效多重群签名方案
基于椭 圆曲线 的 Ｓ ｃ ｈ ｎ ｏ ｒ ｒ 型高效 多重群签名方案
王国才． 刘 美 兰
（ 中南 大 学 信 息科 学 与 工程 学 院 ， 湖 南 长沙 ４ １ ０ ０ ８ ３ ）
摘 要 ： 多 重 群 签 名 是 既 具 有 群 签 名 的 性 质 ， 又 具 有 多重 数 字 签 名性 质 的特 殊 的 群 签 名 。 在 基 于
ｐｒ ｅ ｖ ｅ ｎ ｔ ｍｅ ｓ ｓ ａ ｇ ｅ ｒ ｅ ｐｌ ａ ｙ ． Ｂｅ ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｏ ｆ ｅ ｌ ｌ ｉ ｐ ｔ ｉ ｃ ｃ ｕｒ ｖ ｅ ａ ｎｄ Ｓｅ ｈ ｎ ｏ ｒ ｒ ｄｉ ｇ ｉ ｔ ａ ｌ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｓ ｋ ｅ ｙ ｓ ｈ ｏ ｒ ｔ ａ ｎｄ ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ ａ ｄ ｖ ａ ｎｔ ａ ｇ ｅ． ｔ ｈ ｅ ｓ ａ ｆ ｅ ｔ ｙ ａ ｕ ｄ
Ｓ ｃ ｈ ｎｏ ｒ ｒ ｔ ｙ ｐｅ ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｔ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｐ ｌ ｅ ｇ ｒ ｏ ｕ ｐ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｓ ｃ ｈｅ ｍｅ
ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈｅ ｅ ｌ ｌ ｉ ｐｔ ｉ ｃ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ
Ｗａ ｎ ｇ Ｇｕ ｏ ｃ ａ ｉ ． Ｌ ｉ ｕ Ｍｅ ｉ ｌ ａ ｎ （ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｆ ｍ￣ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓｇ， Ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ４ １ ０ ０ ８ ３， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ）
ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｃ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｒ ｅ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｂ ｅ ｔ ｔ ｅ ｒ ．Ｉ ｔ ｉ ｓ ｓ ｕ ｉ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｆ ｏ ｒ ｉ ｎ ｔ ｅ ｌ ｌ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ａ ｌ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ａ ｎ ｄ ｍｏ ｒ ｅ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ １ ．
ecc签名算法数学计算举例
ecc签名算法数学计算举例
ECC（椭圆曲线密码学）签名算法是一种基于椭圆曲线离散对数
问题的加密算法。
它使用椭圆曲线上的点来进行数字签名。
下面我
将从数学角度给出一个简单的例子来说明ECC签名算法的数学计算
过程。
首先，我们需要选择一个椭圆曲线以及一个基点。
假设我们选
择的椭圆曲线方程为 y^2 = x^3 + ax + b （这里的a和b是椭圆
曲线的参数），基点为G。
接下来，选择一个私钥d作为签名者的
私钥，然后计算公钥Q = dG。
这个公钥Q将用于验证签名的有效性。
假设我们要对消息m进行签名。
首先，选择一个随机数k，然
后计算椭圆曲线上的点(kG)的x坐标的模n的值，其中n是椭圆曲
线上点的数量。
这个x坐标的模n的值将作为签名中的一部分。
接下来，计算消息m的哈希值h。
然后使用私钥d和哈希值h
计算签名s，s = (k^-1 (h + dr)) mod n，其中r是(kG)点的x
坐标的模n的值。
最后，签名(s, r)将作为消息m的签名。
在验证阶段，接收者
可以使用公钥Q、消息m、签名(s, r)以及椭圆曲线的参数来验证签
名的有效性。
这个例子涉及到了椭圆曲线上的点的加法、乘法运算，模运算，哈希函数等数学计算。
这些计算是ECC签名算法的核心。
通过这些
数学计算，ECC签名算法能够提供高效且安全的数字签名机制。
ecdsa算法原理
ecdsa算法原理
ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm，椭圆曲线数字签名算法) 是一种基于椭圆曲线密码学的数字签名算法，它相比 RSA 和 DSA 等传统的数字签名算法，具有更高的安全性和效率。
ECDSA算法基于椭圆曲线上的数学运算，其原理可以简单概括为以下几个步骤：
1.选择一个椭圆曲线E和基点G，将E和G公开；
2.选择一个随机数k，并根据私钥d计算点P=kG；
3.根据P的x坐标的哈希值和私钥d计算出数字签名s；
4.将签名和消息一起发送给接收者；
5.接收者通过公钥Q和接收到的签名s，计算出点P=sG-H(x)Q，其中H(x)是消息的哈希值；
6.点P的x坐标的哈希值与接收到的签名s是否相等，如果相等，则认为签名有效。
在以上过程中，私钥d不应该公开，公钥Q可以公开。
数字签名s是由私钥d和消息的哈希值计算而得，可以用来验证消息的来源和完整性。
使用ECDSA算法可以保证签名的安全性和可靠性，同时具有高效性和可扩展性。
secp256k1椭圆曲线算法
secp256k1椭圆曲线算法
secp256k1椭圆曲线算法是一种用于加密和数字签名的高效算法，它基于椭圆曲线上的数学问题。
在这种算法中，椭圆曲线上的点具有一个特殊的性质，即给定两个点P和Q，可以找到一个唯一的第三个点R，使得P、Q、R共线。
这个性质被称为椭圆曲线群的加法。
secp256k1是一种特定的椭圆曲线，其参数满足某种特性。
在这个曲线上，点的表示采用x和y坐标，且满足以下方程：
y^2 = x^3 + ax + b
其中，a、b为常数，x为实数。
secp256k1椭圆曲线算法的主要步骤如下：
1. 生成私钥：随机选择一个点P作为私钥。
由于椭圆曲线上的点具有唯一的加法性质，可以通过计算两个已知点的和来得到新的私钥。
2. 生成公钥：将私钥P与其他已知点进行加法运算，得到一个新点。
这个新点就是公钥。
3. 数字签名：要为一段消息生成数字签名，首先需要对消息进行哈希运算，得到一个固定长度的哈希值。
然后，使用私钥对哈希值进行加密，得到签名。
4. 验证签名：接收方收到签名后，使用公钥对签名进行解密。
解密后的哈希值与原始消息的哈希值进行比较，如果相等，则签名有效。
secp256k1椭圆曲线算法的安全性依赖于椭圆曲线上的数学难题，即给定一个点，找到一个有效的算法来计算其逆元。
目前，尚未找到有效的方法在合理的时间内解决这个问题。
因此，secp256k1椭圆曲线算法被广泛应用于加密货币、数字签名等安全领域。
椭圆曲线签名算法
椭圆曲线签名算法椭圆曲线签名算法(Elliptic Curve Signatures, ECS)是公共密钥加密系统中一种基于椭圆曲线离散对数问题的数字签名算法。
它的安全性和效率都很高，在现代密码学中具有重要意义。
下面将详细讲解其基本概念、算法流程和应用场景。
一、基本概念1.椭圆曲线椭圆曲线是一种在平面上定义的曲线，其数学性质由Weierstrass方程描述：y² = x³ + ax + b。
其中a、b为常数，满足4a³ + 27b² ≠ 0。
这样的椭圆曲线形成了一个群结构，可以被应用于密码学中。
2.离散对数问题在椭圆曲线上，离散对数问题是指对于一个给定的点P和整数k，在群中求解kP的过程。
这个过程比较困难，需要耗费大量计算时间，因此可以用于构建加密和数字签名算法。
3.数字签名数字签名是数字通信中用于保证消息完整性和身份认证的技术手段。
发送方使用自己的私钥对消息进行签名，接收方使用发送方的公钥进行验证。
只有私钥持有人才能够生成合法的数字签名，其他人无法伪造。
二、算法流程椭圆曲线签名算法的流程如下：1.密钥生成选择一个椭圆曲线，并取一个基点G作为生成元。
然后选择一个随机数d作为私钥，计算公钥Q = dG。
d作为私钥需要被保密，而Q作为公钥可以向其他人公开。
2.签名假设要对消息M进行签名，首先计算消息的哈希值h = H(M)，然后选择一个随机数k，计算点R = kG和s = k⁻¹(h + dR) mod n，其中n为椭圆曲线的阶。
经过这一步操作得到的(s, R)即为对消息M的数字签名。
3.验证接收方收到消息和数字签名后，计算消息的哈希值h = H(M)。
然后计算点U₁ = s⁻¹hG + s⁻¹R，如果U₁ = O，则数字签名无效。
否则，计算点U₂ = Q⁻¹sR，如果U₂的x坐标与R的x坐标相等，则数字签名有效。
三、应用场景椭圆曲线签名算法广泛应用于数字证书、支付系统、智能卡等领域，具有以下优势：1.安全性高椭圆曲线签名算法利用椭圆曲线的离散对数问题保证安全性，破解难度大。
ecc签名验签原理
ecc签名验签原理【原创版】目录1.ECC 签名验签原理概述2.ECC 算法简介3.ECC 签名过程4.ECC 验签过程5.ECC 签名验签的安全性分析正文【1.ECC 签名验签原理概述】ECC（Elliptic Curve Cryptography）签名验签原理是一种基于椭圆曲线密码学的数字签名技术。
与传统的 RSA 数字签名相比，ECC 签名具有更高的安全性和较小的密钥长度。
ECC 签名验签原理主要包括签名过程和验签过程，下面我们将详细介绍这两个过程。
【2.ECC 算法简介】椭圆曲线密码学是一种公钥密码体系，其安全性建立在椭圆曲线离散对数问题的困难性上。
椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）是指在给定椭圆曲线上的一个点 P 和基点 G，找到一个非负整数 k，使得 P = kG。
目前，ECDLP 问题被认为是一个困难的问题，因此，基于椭圆曲线密码体制的数字签名具有较高的安全性。
【3.ECC 签名过程】ECC 签名过程主要包括以下步骤：（1）选择一个椭圆曲线 E 和基点 G。
（2）生成一个私钥 k（k 为非负整数，范围在 1 到 n-1 之间，n 为椭圆曲线 E 的点数）。
（3）计算公钥 K = kG。
（4）将要签名的消息 m 转换为在椭圆曲线 E 上的点 M。
（5）计算 M 的坐标，将其转换为数值形式，记为 r 和 s。
（6）计算签名 s = r + k(s - r)，其中 s 为 M 的纵坐标，r 为 M 的横坐标。
（7）将签名 s 作为签名结果。
【4.ECC 验签过程】ECC 验签过程主要包括以下步骤：（1）获取签名 s 和公钥 K。
（2）根据公钥 K 计算 K 的逆元 K_inv。
（3）计算 s 在椭圆曲线 E 上的点 S，即 S = K_inv * s。
（4）计算点 M" = S + M。
（5）计算 M"的横坐标 x"，并判断 x"是否在范围内（即 1 到 n-1 之间）。
一种基于椭圆曲线的数字签名方案
第ｌ ９卷 第 ２期 ２０ ０ ６年 ６月
湖 南理工 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ａ ｏ Ｈ ｎｎＩｓｉ ｔ ｏ Ｓ ｉ ｃ ｄ ｅ ｈ ｏｏ ｙ（ ｔｒ ｃ ｎｅ ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｕ ａ ｔ ｕｅ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ ｃ ｎ ｌ ｎ ｎ ｔ ｅ ａ Ｔ ｇ Ｎａ ａ Ｓ ｉ ｃ ｓ ｕｌ ｅ
Ａ ｉ ｉａ ｉ ｎ ｔ ｒ ｃ ｅ ｅｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｌ ｐ ｉ ｕ ｖ ｄ ｇ ｔ ｌ ｇ ａ ｕ ｅｓ ｈ ｍ ａ ｅ ｎ ｔ ｅｅｌ ｔｃｃ ｒ ｅ ｓ ｉ
Ｐ Ｎ ｉｇ ｕ Ｅ ＧＱｎ－ ｎ ｊ
（ ｐ． ｆ ｔｓＨｕａ ｓｔｔ ｏ Ｓ ｉ ｃ Ｔ ｃｎ ｌｇ， ｕｙ ｎ １０ ０ ｈｎ ） Ｄｅｔｏ Ｍａｈ， ｎｎＩ ｔｕｅ ｆ ｃｅ ｅ＆ ｅｈ ｏ ｙＹ ｅ ａｇ４ ４ ０ ， ｉａ ｎｉ ｎ ｏ Ｃ
Ｖｂ ． ９Ｎｏ ２ Ｉ ． １ Ｊ ｎ２ Ｏ ｕ ．Ｏ ６
一
种基 于椭 圆 曲线 的数字签 名方 案
彭庆 军
（ 湖南理工学 院 数学与应用数学系 。湖南 岳阳 ４ ４ ０ ） １０ ０
摘 要：基于椭 圆曲线离 散对数问题的敷字签名系统使用的签名协议主要来 自 于签名等式的不同变形，方案所使用
在带宽、计算能力或存储能力等受限的各种特殊应用场合 。鉴于Ｅ Ｃ Ｃ 的上述优越性 。基于椭 圆曲线的数 字签名 已成为 目前数字签名技术的研究热点 。本文提出了一种基于椭圆曲线的数字签名方案，方案所使 用的协议来 自于签名等式的变形。
１ 椭圆曲线公钥 密码系统简介
定义 １在域 ，上的椭圆曲线 Ｅ是满足 Ｗ ｉｓ ａｓ ｅ ｒｒ 方程 （ ）的平滑 曲线。 ｅ ｔｓ １
Ｙ ＋ａ ｘ ＋ａ ｙ ＝ ｘ ＋ 口 ｘ ￣ｙ ｓ ２ ＋ ａ ｘ＋ ａ ４ ６
pythonsecp256r1 签名
一、介绍Python是一种强大的编程语言，广泛应用于各个领域。
而secp256r1是一种椭圆曲线加密算法，常用于数字签名和密钥交换等领域。
本文将介绍如何在Python中使用secp256r1进行签名操作，并通过具体示例来演示。
二、secp256r1椭圆曲线算法简介secp256r1椭圆曲线算法是一种非对称加密算法，其基于一个椭圆曲线方程来进行运算。
secp256r1算法使用256位的素数来构建椭圆曲线，具有较高的安全性和效率。
在数字签名中，secp256r1算法可以用来生成公钥和私钥，并通过私钥进行签名，再通过公钥进行验证，实现数字签名的安全性和可靠性。
三、Python中的secp256r1签名操作在Python中，我们可以使用第三方库来实现secp256r1的签名操作，其中最常用的是pycryptodome库。
下面将以pycryptodome库为例，介绍如何在Python中进行secp256r1签名操作。
1. 安装pycryptodome库首先需要安装pycryptodome库，可以通过pip命令来进行安装： ```pip install pycryptodome```2. 生成公钥和私钥在使用secp256r1算法进行签名之前，首先需要生成公钥和私钥。
使用pycryptodome库提供的模块，可以轻松地生成公钥和私钥： ```pythonfrom Crypto.PublicKey import ECCprivate_key = ECC.generate(curve='P-256')public_key = private_key.public_key()```3. 进行签名生成公钥和私钥之后，就可以使用私钥对数据进行签名操作。
下面是一个示例代码：```pythondata = b"example data to be signed"signature = private_key.sign(data, hashfunc='sha256')```4. 验证签名对于已签名的数据，可以使用公钥进行验证操作，确保签名的可靠性：```pythonif public_key.verify(data, signature, hashfunc='sha256'):print("Signature is valid")else:print("Signature is invalid")```四、示例演示为了更好地理解Python中secp256r1签名操作，这里给出一个完整的示例代码，演示整个签名过程的流程：```pythonfrom Crypto.PublicKey import ECCprivate_key = ECC.generate(curve='P-256')public_key = private_key.public_key()data = b"example data to be signed"signature = private_key.sign(data, hashfunc='sha256')if public_key.verify(data, signature, hashfunc='sha256'):print("Signature is valid")else:print("Signature is invalid")```五、总结通过本文的介绍和示例演示，我们了解了如何在Python中使用secp256r1算法进行签名操作。
eddas 秘钥原理
eddas 秘钥原理
Eddsa（Edwards-curve Digital Signature Algorithm）是一种基于 Edwards 曲线的数字签名算法，它使用了哈希函数和非对称加密算法来实现数字签名和验证。
Eddsa 的秘钥原理涉及到生成公钥和私钥、签名和验证过程等几个方面。
首先，生成公钥和私钥。
Eddsa 使用椭圆曲线上的点来生成密钥对，私钥是一个随机选择的标量，而公钥是私钥乘以基点得到的结果。
基点是椭圆曲线上的一个固定点，它被事先选定并公开。
其次，签名过程。
在签名过程中，需要使用私钥和消息的哈希值来生成数字签名。
首先，对消息进行哈希运算得到消息的摘要，然后使用私钥对摘要进行加密操作，得到签名值。
最后，验证过程。
验证者使用签名者的公钥、消息的哈希值和签名值来验证签名的有效性。
具体操作是，使用公钥对签名值进行解密得到摘要的估计值，然后再与消息的哈希值进行比较，如果两者相等，则签名有效，否则无效。
总的来说，Eddsa 的秘钥原理涉及到基于椭圆曲线的密钥对生
成、数字签名的生成和验证等过程。
它利用了椭圆曲线的离散对数
难题来保证签名的安全性，同时也具有较高的效率和安全性，因此
在密码学领域得到了广泛的应用。
希望这个回答能够满足你的需求。
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第26卷第2期 计算机应用与软件Vol 126No .22009年2月 Computer App licati ons and Soft w are Feb .2009基于椭圆曲线的一种高效率数字签名侯爱琴 高宝建 张万绪 强 媛(西北大学信息科学与技术学院 陕西西安710069)收稿日期:2007-07-09。
陕西省自然科学基金项目(2004A11)。
侯爱琴,讲师,主研领域:信息安全,电子信息技术。
摘 要 为给出一种基于椭圆曲线密码的高效率的数字签名方案。
不仅在算法设计时完全避免了费时的求逆运算,而且利用消息HASH 值的汉明重量作为消息摘要进行签名与验证。
结果在同等安全性下,该方案比通用的ECDS A 等方案运行时间更短。
新方案可适用于网络等对签名实时性要求较高的场合。
关键词 椭圆曲线密码 哈希函数 汉明重量 椭圆曲线数字签名A H I GH EFF IC I ENCY D IG ITAL S IGNATURE BASED O N ELL I PT IC CURVEHou A iqin Gao Baojian Zhang W anxu Q iang Yuan(School of Infor m ation Science and Technology,N orthw est U niversity,X i ’an 710069,Shaanxi,China )Abstract T o offer a high efficiency digital signature based on elli p tic curve cryp t ography .The design of the algorith m not only avoids ti m e 2costing inverse operati on comp letely but als o uses the hamm ing weight of HASH code of a message instead of HASH code itself as the message digest t o partici pate in the signature and verifying calculati on .The ne w scheme cost less ti m e than the popular EC DS A.The ne w sche me is a 2dap ted t o higher real 2ti m e needs f or signature such as internet .Keywords Elli p tic curve cryp t ography (ECC ) Hash Ha mm ing weight Elli p tic curve digital signature (EC DS A )0 引 言数字签名是电子商务和网络安全认证的核心技术。
基于公钥密码的数字签名体制一般有三类:基于大整数分解问题(I FP )的,如RS A;基于离散对数问题(DLP )的,如著名的E I Ga 2mal,DS A 等;基于椭圆曲线离散对数问题(EC DLP )的,如I EEE P1363标准中的EC DS A 等椭圆曲线数字签名。
其中ECDLP 最难解,除几类特殊椭圆曲线外迄今没有找到有效的求解算法。
椭圆曲线密码(ECC )是迄今为止每比特具有最高安全强度的密码系统,160位ECC 密钥的安全性能与1024位RS A 或ElGa mals 的密钥相当。
本文研究了以椭圆曲线密码理论为基础的一种高效率数字签名系统。
1 基于ECC 的数字签名方案分析现有的椭圆曲线数字签名方案,典型的如ECDS A 是美国国家标准技术研究所(N I ST )出台的ANSI X9.62标准,其详细描述可参见文献[1-3];EC 2KC DS A 方案是韩国基于证书数字签名算法(KC DS A )的椭圆曲线版本,具体方案可参见文献[1]描述。
还有E I Ga mal 方案等都是将有限域F p 上离散对数签名方案移植到椭圆曲线群上。
据文献[4]把一个传统的离散对数体制转变为椭圆曲线体制需要进行以下转换:①把模乘运算转变为椭圆曲线上的点加运算;②把模幂运算转换为椭圆曲线上的点乘运算。
而有限域F p 上离散对数签名方案一般是基于签名方程u=dv +kw (mod p -1),详见文献[5,6]。
它由五个元素(d,k,u,v,w )组成,其中d 是签名者的密钥,k 是每次签名时生成的随机整数(即消息密钥),u,v,w 可以分别取e,r ,s,其中,e =h (m )为被签名消息的Hash 值,r 是一个与k 有关的量,s 是消息m 的签名。
可以用不同的(e,r ,s )组合代替(u,v,w ),并且e,r,s 可分别换成其加法或乘法逆元,由此可以衍生出不同的签名方程,即可得到不同的数字签名方案。
但不是所有的数学组合都能产生安全的数字签名方案,Harn 和Xu 给出了安全的离散对数签名方案的设计规则,并列出所有符合这种设计规则的数字签名方案[7]。
基于ECC 的E I Ga mal 方案和EC DS A 是其中的第(4)种方案,取u =e,v =r ,w =s,即为通用方程u =vd +kw (mod p )的变体:e =dr +ks,等价于s =k -1(e +dr ),该方程为EC DS A 签名方程;相应的验证方程s -1(eG +r Q )=kG 。
ECDS A 方案中的公钥产生算法是Q =dG,在签名的生成和验证时分别计算k -1mod n 和s -1mod n ,需要模逆运算。
EC 2KC DS A 方案最大的特点是公钥产生算法是Q =d -1P ,采用了逆的预运算,这使得签名的生成和验证过程不需要进行模逆运算;EC 2KC DS A 方案的另一个特点是在计算消息的Hash 值前,将签名者的证书数据加入消息(计算e =H (hcert,m )),能够抵抗基于参数组数据的攻击。
在现有的椭圆曲线加密或者签名过程中,求逆是最费时的操作,一次求逆的时间大约相当于80次点乘运算,因而求逆是第2期 侯爱琴等:基于椭圆曲线的一种高效率数字签名59主要的运算负担。
EC2KCDS A方案采用了逆的预运算,使签名和验证速度得到提高。
2 基于ECC的高效签名方案的提出2.1 方案论证经过以上对各种签名方案的分析,若在整个签名和验证过程中(包括参数产生过程)能够完全避免求逆运算则可更好地提高运算效率。
根据通用签名方程u=dv+kw(mod p),当取u=e,v=r,w=s时方程为e=dr+ks(mod p)。
将此签名方程做适当的变形,只要s和k分别为单独的两项,d,e,r三个元素组成一项,就可避免求逆运算。
因为,s为一单独项可保证计算签名s时不必求逆,k为一单独项可保证验证签名时计算kG不必求逆,d,e,r组合可以是乘或加。
故可设计签名方程形式为s=k+(e+r)d,它等价于Harn和Xu给出的安全数字签名规则(13),相应的验证方程为sG-(e+r)Q=kG。
可见,两个方程中均不含模逆运算。
为进一步提高运算速度,本文以Hash值的Ha mm ing重量代替Hash值参与签名过程。
取当前仍然普遍使用Hash函数MD5,因其用32bit软件易于高速实现。
MD5输入消息长度任意,输出压缩值为128bit。
研究发现该Hash码的Ha mm ing重量对消息的变化很敏感,若消息变化,Ha mm ing重量发生变化的概率为92%以上[8],作者对此用MAT LAB进行大量的实验验证,Hamm ing重量发生变化的概率为90%以上,结果基本一致。
故本文提出以Hash值的Ha mm ing重量做签名,对于128位二进制序列,其Hash值不超过128,可使运算量大为减小。
基于上述论证,提出论文的方案。
2.2 方案描述(1)参数选择①Hash函数取MD5,输入消息长度任意,输出压缩值为128bit。
②选择一个大素数域Fp 上的安全椭圆曲线Ε(Fp):y2=x3+ax+b(mod p)。
用SEC1规定的六元组参数T=(p,a,b,G,n, h)描述,其中p为大于3的素数,确定了有限域F p;元素a,b∈Fp,确定了椭圆曲线;G为椭圆曲线上的一个基点,该基点的阶为素数n;设椭圆曲线群Ε(Fp)的阶为N,则h=N/n称为余因子。
其中Ε(Fp ),Fp,G,n公开。
③签名者A的私钥是dA,d A∈[1,n-1],A的公钥是Q A=d A G。
d A保密,Q A公开。
(2)签名生成①A随机产生一个整数κ为消息密钥,κ∈[1,n-1],计算点R=(x,y)=κG,令r=x(mod n),若r为0重新选择κ;②计算信息m的Hash值,e=h(m),并求此Hash值的Hamm ing重量w;③计算签名s=(κ+(w+r)dA)(mod n);④A发送信息m及其签名(s,r)给B。
(3)验证签名①对签名(s,r),若r,s不是[1,n-1]区间内的整数,则拒绝接受;是,则继续验证;②对消息m,计算e=h(m),并计算Ha mm ing重量w;③计算u=(w+r)(mod n),及(x′,y′)=sG-uQA ;④令r′=x′(mod n),如果r′=r,则(s,r)为A对m的正确签名。
因为:(x′,y′)=sG-uQA=[κ+(w+r)d A]G-(w+r)Q A=κG+(w+r)dAG-(w+r)Q A=κG2.3 方案的算法分析本文方案的安全性为求解椭圆曲线离散对数问题(EC2 DLP)困难性。
签名方程是基于椭圆曲线的通用签名方程的一种变形,算法改进着重考虑了运算效率的提高。
通过选择签名方程,使整个计算过程从密钥产生、签名过程到验证过程均不需要求逆运算,比EC2KCDS A和ECDS A方案在效率上更高;对Hash值的Ha mm ing重量进行签名而非对Hash值本身签名,比EC2KCDS A和ECDS A进一步提高了运算效率。
除椭圆曲线上的数乘运算和取模运算外,其余均为有限域代数运算,运算复杂度较低,大大提高了运算速度,使其运算负担减少、速度提高。
当然,实际运算速度不仅取决于方案的算法设计,还与椭圆曲线参数的选择密切相关。
3 基于ECC签名方案的M ATLAB实验3.1 实验方法下面采用MAT LAB编程对签名方案做实验仿真,进一步验证提出方案的效率。
由于MAT LAB本身不能处理大数,其能正确表示的最大数字为15位有效数字。
因此,下面的实验中取较小有限域上的椭圆曲线,取同样的椭圆曲线参数组,即相同安全性条件下,通过MAT LAB实验去分析比较本文方案、EC DS A及EC2KCDS A这三个方案的执行时间。