2018学年杭二中高一上学期期末数学试卷
2018-2019浙江杭州重点中学高一上数学期末试题(word 有答案)
2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2，3}，B ={2,3，6}，那么A ∩B =( )A. {1,6}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {1,2，3，6}【答案】B【解析】解：∵A ={1,2，3}，B ={2,3，6}； ∴A ∩B ={2,3}． 故选：B ．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2. 已知角α的终边经过点P(3,−4)，则tanα=( )A. −34B. −43 C. 43 D. 34【答案】B【解析】解：∵已知角α的终边经过点P(3,−4)， ∴x =3，y =−4，则 tanα=yx =−43=−43，故选：B ．根据角α的终边经过点P(3,−4)，可得x =3，y =−4，再根据tanα=yx 计算求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3. 在△ABC 中，点D 为边AB 的中点，则向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】解：如图， ∵点D 为边AB 的中点； ∴2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．根据向量加法的平行四边形法则即可得出2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算．4. 设a =log 25,b =(12)5,c =log 512，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <c <aB. c <b <aC. c <a <bD. a <b <c【答案】B【解析】解：∵a =log 25,b =(12)5,c =log 512， a =log 25>log 24=2， 0<b =(12)5<(12)0=1，log 512<log 51=0，∴a ，b ，c 的大小关系为c <b <a ． 故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x 3−1xB. y =tanxC. y =2xD. y =sinx【答案】A【解析】解：A.f(−x)=−x 3+1x =−f(x)，则函数f(x)是奇函数，∵y =x 3和y =−1x 在(0,+∞)上都是增函数，∴f(x)是增函数，满足条件． B .y =tanx 在(0,+∞)上不单调，不满足条件． C .y =2x 是增函数，但不是奇函数，不满足条件．D .y =sinx 是奇函数，在(0,+∞)上不是单调函数，不满足条件． 故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．6. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π)局部图象如图所示，则函数y =f(x)的解析式为( )A. y =32sin(2x +π6) B. y =32sin(2x −π6)C. y =32sin(2x +π3) D. y =32sin(2x −π3)【答案】D 【解析】解：∵12T =2π3−π6=π2，∴ω=2πT=2；又由图象可得：A =32，可得：f(x)=32sin(2x +φ)， f(2π3+π62)=32sin(2×5π12+φ)=32，∴5π6+φ=kπ+π2，k ∈Z ．∴φ=kπ−π3，(k ∈Z)， 又∵|φ|≤π，∴当k =0时，可得：φ=−π3，此时，可得：f(x)=32sin(2x −π3). 故选：D ．由y =Asin(ωx +φ)的部分图象可求得A ，T ，从而可得ω，再由f(2π3+π62)=32，结合φ的范围可求得φ，从而可得答案．本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定函数解析式，求得φ的值是难点，属于中档题．7. 已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且2x+1=f(x)+g(x)，则g(1)=( )A. 32B. 2C. 52D. 4【答案】C【解析】解：∵函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且2x+1=f(x)+g(x)， ∴f(1)+g(1)=21+1=4，① f(−1)+g(−1)=2−1+1=20=1， 即−f(1)+g(1)=1 ② 由①+②得2g(1)=5， 则g(1)=52， 故选：C ．根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．8.已知函数f(x)=√1+cosx+√3−3cosx，则y=f(x)的最大值为()A. √2+√3B. √6C. 2√2D. √2【答案】C【解析】解：∵cosx=2cos2x2−1=1−2sin2x2−1，∴f(x)=√1+cosx+√3−3cosx=√2|cos x2|+√6|sinx2|≥|√2cos x2+√6sin x2|=2√2|sin(x2+π6)|，当|sin(x2+π6)|=1时，有最大值，最大值为2√2，故选：C．根据二倍角公式和两角和正弦公式和正弦函数的性质即可求出．本题考查了函数的最值问题，考查了三角函数的化简和计算，属于中档题．9.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|a⃗⋅b⃗ |≥2，则|a⃗−b⃗ |的最小值是()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】解：不妨设如图所示的直角坐标系，a⃗=(1,0)，b⃗ =(x,y)，a⃗⋅b⃗ =x，因为|a⃗⋅b⃗ |≥2，所以x≤−2或x≥2，即b⃗ 所对应的点B在直线x=−2的左边区域(含边界)或在直线x=2的右边区域(含边界)，又|a⃗−b⃗ |的结合意义为a⃗与b⃗ 所对应的点A与B的距离，由图知：当B(2,0)时，|AB|最短，且为1，故|a⃗−b⃗ |的最小值是1，故选：D．由平面向量的坐标运算得：b⃗ 所对应的点B在直线x=−2的左边区域(含边界)或在直线x=2的右边区域(含边界)，由向量模的几何意义得：|a ⃗ −b ⃗ |的结合意义为a ⃗ 与b ⃗ 所对应的点A 与B 的距离，作图观察可得解．本题考查了平面向量的坐标运算及向量模的几何意义，属中档题．10. 若函数f(x)=x|x|+a|x|+3在区间[3,+∞)和(−∞,−1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A. [−3,1]B. [−6,1]C. [−3,2]D. [−6,2]【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=x|x|+a|x|+3={−x 2−ax +3,x <0x 2+ax+3,x≥0， 当x ≥0时，f(x)=x 2+ax +3，若f(x)在区间[3,+∞)上为增函数，则有−a2≤3，解可得a ≥−6；当x <0时，f(x)=−x 2−ax +3，若f(x)在区间(−∞,−1]上为增函数，则有−a 2≥−1，解可得a ≤2；综合可得：−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6,2]； 故选：D ．根据题意，写成函数f(x)的解析式，当x ≥0时，f(x)=x 2+ax +3，当x <0时，f(x)=−x 2−ax +3，结合二次函数的性质分析可得a 的取值范围，综合可得答案． 本题考查分段函数的单调性，涉及二次函数的性质，属于基础题．二、填空题（本大题共7小题，共28.0分） 11. 计算：cos 113π=______．【答案】12 【解析】解：由cos 113π=cos(4π−π3)=cos π3=12．故答案为：12．直接利用诱导公式化简求值即可． 本题考查诱导公式的应用，考查计算能力．12. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米． 【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)， 故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.求值：823−log32log227=______．【答案】1【解析】解：原式=4−3log32log23=4−3log32⋅1log32=1．故答案为：1．进行分数指数幂和对数的运算即可．考查分数指数幂的运算，对数的运算，对数的换底公式．14.已知幂函数f(x)=xα(0<α<1)满足f(α)=√α，则f(4)=______．【答案】2【解析】解：∵幂函数f(x)=xα(0<α<1)满足f(α)=√α，∴f(4)=√4=2．故答案为：2．由幂函数f(x)=xα(0<α<1)满足f(α)=√α，能求出f(4)的值．本题考查函数值的求法，考幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知平面向量a⃗,b⃗ ,|a⃗|=1,|a⃗+b⃗ |=√3，向量a⃗,b⃗ 夹角为2π3，则|b⃗ |=______．【答案】2【解析】解：由|a⃗+b⃗ |=√3，所以a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =3，又a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos2π3=−12|b⃗ |，所以b⃗ 2−|b⃗ |−2=0，所以|b⃗ |=2，故答案为：2．由平面向量的数量积及其运算得：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos2π3=−12|b⃗ |，即b⃗ 2−|b⃗ |−2=0，即|b⃗ |=2，得解．本题考查了平面向量的数量积及其运算，属简单题．16.已知0≤α≤π2,cos(α+π6)=√24，则sin(α+5π12)=______．【答案】1+√74【解析】解：已知0≤α≤π2,cos(α+π6)=√24，∴α+π6还是锐角，∴sin(α+π6)=√1−cos2(α+π6)=√144，则sin(α+5π12)=sin[(α+π6)+π4]=sin(α+π6)cosπ4+cos(α+π6)sinπ4=√144⋅√22+√24⋅√2 2=√7+14，故答案为：1+√74．由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin(α+π6)的值，再利用两角和的正弦公式sin(α+5π12)=sin[(α+π6)+π4]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．17.已知函数f(x)=|x2−t|+tx2的最小值为与t无关的常数，则t的范围是______．【答案】[1,+∞)【解析】解：f(x)=|x2−t|+tx2，设x2=m，则m>0，∴函数转化为f(m)=|m−t|+tm的最小值为与t无关的常数，m>0①当t≤0时，f(m)=m−t+tm，函数在(0,+∞)单调递增，无最小值，②当t>0时，m≤t时，f(m)=−m+t+tm，函数在(0,t]单调递减，f(m)min=−t+ t+1=1，当m>t时，f(m)=m−t+tm，∴f(m)=1−tm2=m2−tm2，令f(m)=0，解得m=√t，(i)若√t≥t，即0<t≤1时，当t<m<√t时，f′(m)<0，函数f(m)单调递递减，当m>√t时，f′(m)>0，函数f(m)单调递递增，∴f(m)min=f(√t)=√t−t√t=2√t−t，∵要使函数y=f(x)的最小值为与t无关的常数，∴2√t−t≥1，即(√t−1)2≤0解得t=1，(ii)若√t<t，即t>1时，f(m)在(t,+∞)单调递递增，∴f(m)min=−t+t+1=1，综上所述：t的范围是[1,+∞)先利用换元法，转化为函数转化为，当m>0，f(m)=|m−t|+tm的最小值为与t无关的常数，对t进行分类讨论，根据函数的单调性即可求出t的范围本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分） 18. 已知函数f(x)=(sinx +cosx)2+2sin 2x ；(1)求f(π4)的值；(2)求函数y =f(x)的周期及单调递增区间； 【答案】解：∵f(x)=(sinx +cosx)2+2sin 2x ，∴f(x)=1+2sinxcosx +2sin 2x =1+sin2x +1−cos2x =2+√2sin(2x −π4)， (1)f(π4)=2+√2sin π4=3； (2)函数f(x)的周期T =2π2=π，由−π2+2kπ≤2x −π4≤π2+2kπ(k ∈Z)， 可得−π8+kπ≤x ≤38+kπ,k ∈Z ．∴函数f(x)的周期T =π，单调递增区间为[−π8+kπ,38+kπ],k ∈Z ．【解析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为f(x)=2+√2sin(2x −π4)，由此求得f(π4)的值； (2)代入周期公式即可求出函数的最小正周期，利用正弦函数的单调性解关于x 的不等式，即可得到f(x)的单调递增区间．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角函数的周期性以及单调性的求法，属于中档题．19. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1) (1)若C 是AB 所在直线上一点，且OC ⊥AB ，求C 的坐标．(2)若OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，当OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10，求λ的值． 【答案】解：(1)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1)， 因为C 是AB 所在直线上一点， 设AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得C(1−3λ,2−λ)， 又因为OC ⊥AB ， 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 解得λ=12， 所以C(−12,32)， 故答案为：(−12,32)(2)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)且OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 显然λ≠0，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1,3)=(−λ,3λ)，又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10 所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10即−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10， 所以−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+1λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−10， 所以−20λ2+10λ=−10 即2λ2−λ−1=0， 解得：λ=−12或λ=1， 故答案为：−12或1．【解析】(1)由向量共线的坐标运算得：设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得C(1−3λ,2−λ)，又因为OC ⊥AB ，λ=12，即C(−12,32)，(2)由平面向量数量积的运算得：由OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10即−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10，所以−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+1λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−10，所以−20λ2+10λ=−10，运算可得解本题考查了向量共线的坐标运算及平面向量数量积的运算，属中档题．20. 已知函数f(x)=√2x −1+1(1)求函数f(x)的定义域及其值域．(2)若函数y =2x −mf(x)有两个零点，求m 的取值范围．【答案】解：(1)由题意可知2x −1≥0，∴x ≥0，函数f(x)的定义域为[0,+∞)， f(x)=√2x −1+1≥1，函数f(x)的值域为[1,+∞)； (2)∵f(x)=√2x −1+1，∴y =2x −m(√2x −1+1)， 令t =√2x −1+1(t ≥1)，可得2x =1+(t −1)2=t 2−2t +2，所以原函数转化为y =t 2−(m +2)t +2(t ≥1)，记ℎ(t)=t 2−(m +2)t +2(t ≥1)， 要使得函数y =2x −mf(x)有两个零点，即方程ℎ(t)=t 2−(m +2)t +2=0在[1,+∞)上有两个根，所以{ℎ(1)≥0m+22>1(m +2)2−8>0，解得2√2−2<m ≤1，所以当2√2−2<m ≤1时，函数y =2x −mf(x)有两个零点．【解析】(1)由偶次根式被开方数非负，以及指数函数的单调性和值域，可得所求； (2)由零点的定义和换元法，以及二次函数的图象和性质，可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围．本题考查函数的定义域和值域，以及函数零点的求法，考查换元法和指数函数的单调性、二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．21. 已知函数f(x)=ax 2−x +1−a ．(1)当a =1时，求函数y =f(x)在[−3,3]上的最大值与最小值．(2)当a >0时，记g(x)=f(x)x，若对任意x 1，x 2∈[−3,−1]，总有|g(x 1)−g(x 2)|≤a +13，求a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=x 2−x =(x −12)2−14， ∵12−(−3)>3−12， ∴当x =−3时，f(x)max =12， 当x =12时，f(x)min =−14 (2)由题意可知：g(x)=ax +1−a x−1(x ∈[−3,−1])要使得对任意x 1，x 2∈[−3,−1]，总有|g(x 1)−g(x 2)|≤a +13 只需当x ∈[−3,−1]时，g(x)max −g(x)min ≤a +13 ①当a ≥1时，g(x)在[−3,−1]上单调递增即：g(−1)−g(−3)≤a +13，所以−2−(−83a −43)≤a +13， 所以a ≤35，不合题意) ②当0<a <1时 (Ⅰ)当√1−a a ≤1即12≤a <1时，g(x)在[−3,−1]上单调递增，解得12≤a ≤35 (Ⅱ)1<√1−a a<3即110<a <12时，g(x)在[−3,−√1−a a]上单调递增，[−√1−a a,−1]上单调递减可得{g(−√1−a a )−g(−3)≤a +13g(−√1−a a )−g(−1)≤a +13，解得110<a <12 (Ⅲ)√1−a a ≥3即0<a ≤110时，g(x)在[−3,−1]上单调递减，所以g(−3)−g(−1)≤a +13，即−83a −43+2≤a +13,得111≤a <110综上111≤a ≤35【解析】(1)根据二次函数的性质即可求出函数的最值，(2)问题转化为只需当x ∈[−3,−1]时，g(x)max −g(x)min ≤a +13，分类讨论，根据函数的单调性即可求出． 】。
2018-2019学年浙江省杭州市第二中学(东河校区)高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市第二中学（东河校区）高一上学期期末数学试题一、单选题1．设OA a =，OB b =，则AB 为（ ） A ．a b + B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】C【解析】根据向量减法的运算，判断出正确选项. 【详解】依题意AB OB OA b a =-=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量减法运算，属于基础题.2．若A ＝{x |0＜x ，B ＝{x |1≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |0＜x ＜2}B ．{|1x x ≤C ．{|0x x ＜D ．{x |x ≥2}【答案】B【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素组成，故{|1A B x x ⋂=≤<.故选：B 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 3．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：分k 为偶数和k 为奇数讨论，即可得到答案. 详解：由集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，当k 为偶数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限； 当k 为奇数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限； 所以集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C ，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k 为偶数和k 为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 4．163sin π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B【解析】利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】依题意16π2π2πsin sin 6πsin 333⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 【点睛】本小题主要考查诱导公式化简求值，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（ ） A ．y ＝﹣x 2 B ．y ＝log 2xC ．12y x =D ．y ＝|x |【答案】D【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在[)0,+∞上的单调性，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，2y x =-为偶函数，在[)0,+∞上递减，不符合题意. 对于B 选项，2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意. 对于C 选项，12y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于D 选项，y x =为偶函数，且在[)0,+∞上递增，符合题意. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 6．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数 A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x = 【答案】B【解析】依题意可得，函数sin(2)6y x π=+作相应平移后得到函数sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选B7．函数f （x ）=x –3+e x的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，3）C ．（3，4）D ．（4，+∞）【答案】A【解析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解. 【详解】()()020,120f f e =-<=->, ()330f e =>,()4410f e =+>,所以函数()f x 在区间()0,1上有零点. 故选A. 【点睛】本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.8．设a ，b 为两个非零向量，且a =（x 1，y 1）b =（x 2，y 2），则下列四个等式： （1）a •b =0； （2）x 1x 2+y 1y 2＝0；（3）|a b +|＝|a b -|； （4）()222a b a b-=-.其中与a b ⊥等价的等式个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据两个向量垂直的向量表示形式、向量模的运算、数量积的运算对四个等式逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】两个向量垂直121200a b x x y y ⇔⋅=⇔+=，故（1）（2）符合题意.对于（3），由a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，化简得0a b ⋅=，与a b ⊥等价，符合题意.对于（4），由()222a b a b -=-得22222a b a a b b -=-⋅+，()20b a b b b a -⋅=⋅-=，不能推出a b ⊥，不符合题意.综上所述，其中与a b ⊥等价的等式个数为3个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表现形式，属于基础题.9．如图，正方形ABP 7P 5的边长为2，P 1，P 4，P 6，P 2是四边的中点，AB 是正方形的其中一条边，P 1P 6与P 2P 4相交于点P 3，则i AB AP ⋅（i ＝1，2，…，7）的不同值的个数为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】求得所有i AB AP ⋅的值，由此取得不同值的个数. 【详解】1AB AP ⋅=212⨯=, 2AB AP ⋅=0,3AB AP ⋅=π2cos 24=, 4AB AP ⋅=()224224AP P P AB AB AB AP P P ⋅+=⋅+⋅0224=+⨯=,5AB AP ⋅=0, 6AB AP ⋅=()556556AP P P AB AB AB AP P P ⋅+=⋅+⋅0212=+⨯=, 7AB AP ⋅=π2cos44⨯=. 所以共有0,2,4三种不同的取值. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查平面向量加法运算，属于基础题.10．已知函数20,01()log ,()12,12x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x -=实根的个数为（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】对x 分类讨论：当01x <≤时，显然可知有一实根；当1x >时，方程可化为21log 22x x =-+或23log 22x x =--，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题即可． 【详解】当01x <≤时，()2log f x x =-，()0g x =，∴()()2log 1f x g x x -=-=有一实根12； 当1x >时，()2log f x x =，()122g x x =--，∴()()21log 212f xg x x x -=--+=， ∴21log 22x x =-+或23log 22x x =--|，分别画出函数()2log 1y x x =>以及122y x =-+，322y x =--的图象如图，由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，故选C ． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．二、填空题11．计算：329-=_____，log 69+log 64＝_____． 【答案】1272 【解析】利用指数运算化简329-，利用对数运算化简66log 9log 4+. 【详解】33219327--==， log 69+log 64＝log 636＝2． 故答案为：（1）127；（2）2 【点睛】本小题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题. 12．函数f （x ）()21ln x x -=-的定义域为_____．【答案】（﹣∞，1）∪（1，2）．【解析】根据对数真数大于零、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x的定义域. 【详解】 由函数f （x ）()21ln x x -=-，得2010x x -⎧⎨-≠⎩＞，解得x ＜2且x ≠1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）． 故答案为：()(),11,2-∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 13．已知单位向量12e e ，的夹角为3π，121223a e e b e me =+=+，，且//a b ，则a =_____，m ＝_____．6【解析】根据单位向量的模以及数量积的运算，求得2a ，进而求得a r.由于//a b ，所以存在实数λ，使得a b λ=，由此列方程组，解方程组求得,m λ的值. 【详解】12e e ⋅=1×1×cos132π=，∴221a e =+412e e ⋅+422e =7， ∴|a|=∵//a b ，∴存在实数λ，使得a b λ=， 即122e e +=λ（31e +m 2e ）， ∴132m λλ=⎧⎨=⎩，解得λ13=，m ＝6．故答案为：（1；（2）6 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查两个向量平行的表示，考查单位向量的概念，属于基础题.14．函数f （x ）＝a 2﹣x ﹣1（a ＞0，a ≠1）恒过定点_____，当a ＞1时，f （x 2）的单调递增区间为_____．【答案】（2，0） （﹣∞，0]．【解析】根据01a =求得()f x 恒过的定点坐标.求得()2f x 的表达式，根据复合函数单调性同增异减，求得()2f x 的单调递增区间.【详解】 函数f （x ）＝a2﹣x﹣1（a ＞0，a ≠1）中，令2﹣x ＝0，解得x ＝2， 所以y ＝f （2）＝1﹣1＝0， 所以函数f （x ）恒过定点（2，0），当a ＞1时，f （x 2）22x a -=-1的单调递增区间为（﹣∞，0]．故答案为：（1）()2,0；（2）(],0-∞ 【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点，考查复合函数单调区间的求法，属于基础题. 15．已知sin （x 6π+）13=，则sin （56π-x ）+sin 2（3x π-）的值是_____． 【答案】119【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式，将所求表达式转化为只含πsin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的形式，由此求得表达式的值.【详解】 ∵2156363sin x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ＝sin[6x ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭]+sin 2[126x ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭] ＝sin （x 6π+）26cos x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭2ππsin 1sin 66x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111399=+-=， 故答案为：119【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．关于函数，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④【解析】因为根据已知条件可知，，显然利用偶函数的性质可知命题1正确，同时对于真数部分分析可知最小值为2，因此命题3成立，利用复合函数的性质可知道命题4成立，而命题2，单调性不符合对勾函数的性质，因此错误，命题5中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④17．已知ABC ∆中，||1BC =，2BA BC ⋅=，点P 为线段BC 上的动点，动点Q 满足PQ PA PB PC =++，则PQ PB ⋅的最小值等于 ．【答案】34-．【解析】试题分析：如下图所示，令BA a =，BC b =，设BP BC λ=（01λ≤≤）， ∴(13)PQ PA PB PC BA BP BP BC BP a b λ=++=--+-=+-， ∴222133[(13)](13)333()244PQ PB a b b a b b λλλλλλλλ⋅=-+-⋅=-⋅--=-=--≥-，当且仅当12λ=时，等号成立，即PQ PB ⋅的最小值是34-，故填：34-． 【考点】1．平面向量的线性运算及数量积；2．二次函数的最值．三、解答题18．已知角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-， （1）求m 的值；（2）求()()()2sin sin cos sin παπααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值． 【答案】(1) m ＝﹣3；(2)-7． 【解析】（1）根据角α终边上一点的坐标以及余弦值的定义列方程，解方程求得m 的值.（2）由（1）中P 点坐标和正弦值的定义求得sin α的值，由此利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】（1）角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-，35=-解得m ＝﹣3；（2）由（1）可得sinα45=， ()()()342553455sin sin cos sin cos sin cos sin παπααααπααα⎛⎫-++--⎪-⎝⎭===--+-+-+7．【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 等腰梯形，()(60A C ，，，点M 满足12OM OA =，点P 在线段BC 上运动（包括端点）（1）求∠OCM 的余弦值； （2）若OP ⊥CM ，求CPCA的值． 【答案】(1)1 2．(2)【解析】（1）根据12OM OA =求得M 点坐标，由两点间的距离公式求得,CM OC ，有余弦定理求得OCM ∠的余弦值.（2）设出P 点坐标，利用OP CM ⊥，则0O P C M ⋅=，结合向量的坐标运算，求得P点的坐标.由此求得,CP CA 的长，进而求得CPCA的值. 【详解】（1）已知四边形OABC 等腰梯形，()(60A C ，，，点M 满足12OM OA =，所以()3,0M ，故OM ＝3．CM ==2OC ==，在△OCM 中222122OM OC CM cos OCM OM OC +-∠==⋅⋅．故∠OCM 的余弦值为12．（2）设P （x ，所以(2CM =，(OP x =， 由于OP ⊥CM ，所以230OP CM x ⋅=-=，解得x 32=，所以31122CP =-=，CA ==所以1CP CA ==． 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查余弦定理解三角形，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.20．已知函数()f x =()()sin ,A x x ωϕ+∈R (其中π0,0,02A ωϕ>><<)的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最高点为π,36Q ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()f x 的解析式和单调增区间; (2)当ππ[,122x ∈],求()f x 的值域. 【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[]1,2- 【解析】试题分析：(1)根据题中条件，利用函数性质，求得函数的解析式，并利用整体代换，计算函数的单调递增区间；(2)利用整体代换，求得π26x +的取值范围，由此确定函数的最值及取到最值时相应的x 的值. 试题解析：(1)由最高点为π,26Q ⎛⎫⎪⎝⎭得2A =，由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得2T =π2，即2π2ππ,2πT T ω====，由点π,26Q ⎛⎫⎪⎝⎭在图象上得π2sin 26ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=2,πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故π3ϕ+=π2π,2k k +∈Z ,π2π,6k k ϕ=+∈Z .又ππ0,,26ϕϕ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭，故()f x =π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+,解得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数()f x 在()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增.(2)ππ[,122x ∈],ππ7π2,636x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当π26x +=π2，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当π26x +=7π6，即π2x =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]. 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求三角函数解析式的应用问题，是基础题目；A 为振幅控制着函数的最大值和最小值，图象的最高点纵坐标即为A ，ω控制着函数周期，与x 轴相邻两个交点间的距离为半个周期，通过函数过特殊点求得ϕ，从而得到函数解析式.21．已知定义域为R 的函数f （x ）122x x ba+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：函数f （x ）在R 上是减函数； （3）若对任意的θ∈[0，2π]，f （cos 2θ+λsinθ+2）16+＜0恒成立，求实数λ的取值范围【答案】(1) b ＝1，a ＝2；(2)证明见解析 (3) (﹣1，+∞）．【解析】（1）利用()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f =，以及()()11f f -=-列方程，由此求得,a b 的值，进而求得()f x 解析式.（2）任取12x x <，通过计算求得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，由此证得()f x 在R 上是减函数.（3）根据()f x 的单调性和奇偶性化简不等式()21cos sin 206f θλθ+++<，得到220sin sin θλθ+>﹣，利用换元法，结合分离常数法，求得λ的取值范围.【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．得f （0）＝0，f （﹣1）＝﹣f （1）， ∴b ＝1，a ＝2，那么f （x ）11222x x +-=+，由f （﹣x ）11121121222222222x x xx x x x-+---====-+++f （x ），故得b ＝1，a ＝2符合题意；（2）由（1）可得f （x ）()()()121212121122221221221x x x x x x x+-++--====-+++++， 设x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）()()122112112221212121x x x x x x -=-=++++， ∵x 1＜x 2， ∴12220x x -＜则f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1）； ∴函数f （x ）在R 上是减函数；（3）由()21206f cos sin θλθ+++＜，即()2126f cos sin θλθ++-＜， ∵f （1）16=-，f （x ）在R 上是减函数； ∴cos 2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，2π]，即2﹣sin 2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，2π]恒成立，设sinθ＝t ，（0≤t ≤1）， ∴2﹣t 2+λt ＞0，当t ＝0时，2＞0恒成立，当0＜t≤1时，转化为2tt λ>-，∵函数y2tt=-在（0，1]递增，∴211λ>-，即λ>﹣1；故得实数λ的取值范围(﹣1，+∞）．【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数解析式，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2018届浙江省杭州市高三上学期期末数学试卷(解析版)
2018届浙江省杭州市高三上学期期末数学试卷（解析版）选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. ）B. D.【答案】C【解析】由集合解得.....................2. （）B. D.【答案】B3. ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A若数列为单调递增数列，则即可，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分不必要条件4. ，则（）A. 1个极大值，2个极小值B. 2个极大值，2个极小值C. 3个极大值，1个极小值D. 4个极大值，1个极小值【答案】B2个极大值，2个极小值，5. ）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C代入得，将6. ，则（）B. C. D.【答案】A【解析】如图：7. （）A. 与无关，且与无关B. 与有关，C. 与有关，D. 与无关，【答案】D为奇函数，当时函数为非奇非偶函数，8.，则（）B.D.【答案】A9. .（）A.C.【答案】C若，则，此时任意有点睛：本题是道函数综合题目，考查了含有绝对值的最值问题，借助条件计算得最值情况，这里需要注意取最值时的讨论以及在运算过程中对于绝对值不等式的放缩求结果，本题有一定难度10. ，，若则（）【答案】D故选点睛：本题是道向量综合题目，难度较大，主要在向量之间的转化上较为复杂，从一个结果出发，不断进行向量间的转化得到结果，的中点”需要计算出这样方便继续计算非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每题6分，15-17每小题4分，共36分）11. ，则复数的实部为__________，虚部为__________．【答案】(1). 2(2). 1所以复数的实部为，虚部为12. 在一次随机试验中，，，最大值为__________．【答案】(1). (2).发生的次数为可能的值为故期望，方差的最大值为13. ，所对的边分别为，__________．【答案】(1). (2). 2边上靠近点的三等分点，14. 如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为__________；表面积为__________．【答案】(1). (2).【解析】还原几何体如图：15. 在二项式的展开式中，若含-10，．【答案】-216. 有红，黄，蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法有__________种．【答案】36点睛：本题考查了排列组合，要满足题目中“字母各不相同且三种颜色齐备”先理清可能性，然后运用组合法求出数量后除去重复的可能，再进行全排列，即可计算出结果17. 的夹角为__________．【解析】不妨令三、解答题（本大题共5小题，共74分）18. ，（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ），求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：⑴利用两个向量的数量积公式，三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用周期公式即可得到函数；⑵由题意得无解故解析：，，所以或.19..【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析：(1)由余弦定理易得，由等腰三角形三线合一，⑵为，建立坐标系，的法向量为平面，根据余弦定理，得为，建立坐标系，的法向量为，所成的角正弦值为20.（Ⅰ）求证：（Ⅱ），，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】试题分析：(1)(2)要证明恒成立，分离参量得，计算出解析：所以；时.，.，21. 交于.（Ⅰ），求实数；（Ⅱ）.【答案】【解析】试题分析：(1)由直线与椭圆交于两点，联立直线与椭圆方程，解得(2)，计算得解析：（Ⅰ）联立方程得，.（Ⅱ）设，因为直线的斜率成等比数列，，化简，得即.到直线的距离时，直线或的斜率不存在，等号取不到，点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题意中直线与椭圆有两个交点，联立直线与椭圆方程，根据判别式求出参数范围，在计算三角形面积时，先确定三角形的底与高，然后给出其表达式，根据范围求得结果22.（Ⅰ）（Ⅱ）求证【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】试题分析：(1)根据题目中的表达式化简为由题目，(3)2和，即可证明解析：，（Ⅱ）又因为所以与同号，（Ⅲ），所以所以不等式三边同时求和，得.点睛：本题是道数列综合题目，主要考察了数列里的不等式，在第一问中利用了基本不等式证明结果，第二、三问中通过化简、变形，确定符号或是由结果得出了不等式成立，需要构造，题目有一定难度页11第。
2018-2019学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|}1Ax x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð． 【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð．故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A ．1sin y x=B ．||2x y =C ．3cos y x x ＝D ．1ln||y x = 【答案】D【解析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意；对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1ln ln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3．下列计算正确的是（ ） A ．2()m n m n -=- B ．222log 3log 5log 15⨯= C ．1099222-= D ．2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误． 【详解】对于选项A ，2()m n m n -=-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r ，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=r r r ，又c r = a b r r λ+，所以2λ=.故选D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ）A ．(sin ,cos )θθ-B ．(cos ,sin )θθ-C ．(cos ,sin )θθ-D ．(sin ,cos )θθ-【答案】A【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．6．的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a⋅+⋅+⋅r r r r r r 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒， 由正三角形ABC 的边长为2和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r111=22222221212222⎛⎫⎪⎝⎭⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯-=+-=．故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题． 7．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C ．7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间 D ．()f x 向左移12π可变为偶函数【答案】D【解析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题．8．已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ）A ．BC D【答案】B【解析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解． 【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ，|m ﹣n |3…. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．二、填空题9．若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 【答案】12-【解析】根据任意角三角函数的定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==1cos 5α==，所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭． 故答案为：12- ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10．已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.3(0,)2【解析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出 ()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标． 【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C点坐标是3 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算．11．已知函数2,0()3(),0xxf xg x x⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f-=_____；若()f a=则a=_____.【答案】29-12-【解析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f-=-=-，计算可得答案；对于()3f a=-，分0a>与0a<两种情况讨论，求出a的值．【详解】根据题意，函数2,0()3(),0xxf xg x x⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()()2222239f f-=-=-=-；若()3f a=-，当0a>时，()233af a==-，无解；当0a<时，()()233af a f a-=--=-=-，解可得12a=-，故若()f a＝，则12a=-.故答案为：(1).29-；(2).12-．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．12．若827712186x xx x+=+，则x=_____.【答案】±1【解析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果．【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =.故答案为：±1． 【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13．在平面上，正方形ABCD 的边长为2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____. 【答案】4【解析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC⋅u u u r u u u r 最大时， AP u u u r 与AC u u u r的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果． 【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r 与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题．三、解答题14．已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α.【答案】（1）[1,1]-（2）4或4-【解析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x 的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-． （2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos α==tan 4α=-；所以tan α=或. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题．15．某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-.当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】 本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题.16．已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-.（1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦【解析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果．【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦， 设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆，当30a -=，即3a =时，不满足题意，当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥.（3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程()化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=， ①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x +=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<， 综上，a 的取值范围是{},1,2123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．17．设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性； （2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p -=最大值是2，求p q +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性；（2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围．【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()662f g p q ππ--=-+，1()()()662f g p q ππ=+， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠. 故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数.（2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增. 理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，又14p qp+-在112p≤≤时递增，所以151,44p q q qp⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max1()24H x p qp=+-=，可得1224p q pp+=+-，在112p≤≤递增，可得11,24p q⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p-<-，即12p<<时，max()max{(1),(1)}12H x H H q=-=-=，即1q=-，可得11(1,)2p q p+=-∈--，综上可得，11,4p q⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。
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（B）2
（ C） 1
（D）0
5．函数 y 21 x 3(x R) 的反函数为（
）
（A） y （ C） y
2 log 2
x3 log 2 3 x
2
（ B） y （ D） y
x3 log 2
2 log 2 2
3x
6．在各项均为正数的等比数列 { an} 中，首项 a1 3，前三项和为 21，则 a3 a4 a5 的
（Ⅰ）求数列 { an} 和 { bn } 的通项公式；
（Ⅱ）若存在 cn an bn (n N* ) ，试求数列 { cn} 的前 n 项和；
（Ⅲ）是否存在数列 { dn} ，使得 d1 a2 , d n
bn 4
2d n 1 对一切大于 1 的正整数 n 都成立，
若存在，求出 { dn} ；若不存在，请说明理由．
问经过多少年， 该项目的资金 （扣
除最后一年的技术改造与广告投入资金）可以达到或超过翻两番的目的？（
lg 2 0.3 ）
〖 解 答 〗 设 第 n 年 终 资 金 为 an 万 元 ， 由 题 意 可 得
an an 1(1 25%) 200( n 2)
an 5 an 1 200 ， 变 形 整 理 可 得 ： 4
lg 2 0.3 ）
19．（本小题满分 12 分） 已知 f ( x) ( x 1)2，数列 { an} 是首项为 a1，公差为 d 的等差 数列； { bn} 是首项为 b1，公比为 q(q R且q 1)的等比数列，且满足 a1 f ( d 1), a3 f (d 1), b1 f (q 1), b3 f ( q 1) ． （Ⅰ）求数列 { an} 和 { bn } 的通项公式； （Ⅱ）若存在 cn an bn (n N* ) ，试求数列 { cn} 的前 n 项和； （Ⅲ）是否存在数列 { dn} ，使得 d1 a2 , d n bn 2d n 1 对一切大于 1 的正整数 n 都成立，
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2018学年第一学期高一年级期末考试数学问卷一．选择题：（共15题，每小题3分，共45分）1．设集合Q P R x x x Q P 则},,2||{},4,3,2,1{∈≤==等于 （ ）A ．{}2,1B ．{}4,3C ．{}1D ．{}2,1,0,1,2--2． 不等式01≤+xx 的解集为 ( ) A.)0,1[- B.]0,1[- C.)0,1(- D.),0(]1,(∞+--∞ 3. 若命题p 的逆命题是q ，若命题p 的否命题是r ，则q 是r 的 （ ）A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．以上都不对4. 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-5.ac b =2是实数c b a 、、成等比数列的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．函数xx y --=2)1(log 2的定义域是 （ ）A. ]2,1(B. ()2,1C. ()+∞,2D.)2,(-∞7．已知等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，若5418a a -=，则8S 等于 （ ）A ．18B ．36C ．54D ．728．等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为 （ ）A ．81B ．120C ．168D ． 1929．函数y=342-+-x x 的单调增区间是 （ ） A ．[]3,1 B. []3,2 C. []2,1 D. (]2,∞-10．函数)176(log 22+-=x x y 的值域是（ ） A. RB. [)+∞,8C. (]3,-∞-D.),3[+∞11．已知函数)(1x fy -=的图像过点()0,1，则)1(-=x f y 的反函数的图像一定过点（ ）A.()1,1B. ()1,2C.()1,0D.()0,112．直角三角形的三条边长成等差数列，则其最小内角的正弦值为 （ ） A ．53 B ．54 C ．215- D ．415+ 13．已知32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上有最小值为2，最大值为3，则m 的取值范围是 （ ） A. [)+∞,1B. []2,0C. (]2,∞-D.[]2,114.某储蓄所计划从2018年起，力争做到每年的吸储量比前一年增长%8，到2018年底该储蓄所的吸储量将比2001年的吸储量增加（ ） A ．%124B ．%32C ．()%100108.13⨯- D ．()%100108.14⨯-15．将正奇数按下表排成5列那么2018应该在第 行，第 列. A ．250，3 B ．250，4 C ．251，4 D ．251，5二．填空题：（共4题，每小题3分，共12分）16. 在正项等比数列}{n a 中，18,242==a a ，那么数列}{n a 的通项公式为。
浙江省杭州第二中学(东河校区)2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
2018学年第一学期杭州二中(东河校区)高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设，，则为（）A．B．C．D．2．若A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2} B．＜C．＜＜D．{x|x≥2}3．集合{α|kπα≤kπ，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）4．的值等于（）A．B．C．D．5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（）A．y＝﹣x2B．y＝log2x C．D．y＝|x|6．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x）B．y＝sin（2x）C．y＝sin2x D．y＝cos2x7．函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）8．设，为两个非零向量，且（x1，y1）（x2，y2），则下列四个等式：（1）•0；（2）x1x2+y1y2＝0；（3）||＝||；（4）22＝（）2其中与等价的等式个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．110．已知函数f（x）＝|log2x|，g（x），＜，＞，则方程|f（x）﹣g（x）|＝1的实根个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题有7小题，每空3分，共30分，请将答案填写在答题卷中的横线上）11．计算：，log69+log64＝．12．函数f（x）的定义域为．13．已知单位向量，的夹角为，，，且，则，m＝．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）恒过定点，当a＞1时，f（x2）的单调递增区间为．15．已知sin（x），则sin（x）+sin2（）的值是．16．关于函数，有下列命题①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）的最小值是lg2；④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是．17．已知△ABC中，||＝1，•2，点P为线段BC的动点，动点Q满足，则•的最小值等于．三、解答题（本大题共4小题满分40分，解答应写出文字说明成演算步骤18．已知角α的终边经过点P（m，4），且，（1）求m的值；（2）求的值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点）（1）求∠OCM的余弦值；（2）若OP⊥CM，求的值．20．已知函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为，．（1）求f（x）的解析式和单调递增区间；（2）当，，求f（x）的值域．21．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的θ∈[0，]，f（cos2θ+λsinθ+2）＜0恒成立，求实数λ的取值范围一、1．2．B3．C4．5．D6．B7．A8．9．C10．C二、11．，log69+log64＝log636＝2．12．由函数f（x），＞，得解得x＜2且x≠1，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．13．1×1×cos，∴447，∴||．∵，∴存在实数λ，使得，即λ（3m），∴，解得λ，m＝6．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）中，令2﹣x＝0，解得x＝2，所以y＝f（2）＝1﹣1＝0，所以函数f（x）恒过定点（2，0），当a＞1时，f（x2）1的单调递增区间为（﹣∞，0]．15．∵，则＝sin[]+sin2[]＝sin（x），16．①定义域为R，又满足f（﹣x）＝f（x），所以函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，正确．②令t（x＞0），f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．③t2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．⑤由③知，不正确．17．以BC所在直线为x轴，以BC边的高为y轴建立平面直角坐标系，如图．∵，∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），设P（a，0），A（0，b），则﹣2≤a≤﹣1．∴（﹣a，b），（﹣2﹣a，0），（﹣1﹣a，0）．∴（﹣3﹣3a，b），∴（﹣2﹣a）（﹣3﹣3a）＝3a2+9a+6＝3（a）2．∴当a时，取得最小值．三、18．（1）角α的终边经过点P（m，4），且，可得解得m＝﹣3；（2）由（1）可得sinα，7．19．（1）已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，所以M（3，0），故OM＝3．CM进一步整理得，在△OCM中．故∠OCM的余弦值为．（2）设P（x，），所以，，，，由于OP⊥CM，所以，解得x，所以，，所以．20．（1）函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，所以，所以ω＝2．图象上一个最高点为，．即当x时，函数取最大值3，φ）＝3，由于＜＜，所以φ．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的单调递增区间为[，]（k∈Z）．（2）由于，，所以，，，，故，．21．（1）由题意，定义域为R的函数是奇函数．得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1），∴b＝1，a＝2，那么f（x），由f（﹣x）f（x），故得b＝1，a＝2；（2）由（1）可得f（x），设x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1），∵x1＜x2，∴＜则f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）；∴函数f（x）在R上是减函数；（3）由＜，即＜，∵f（1），f（x）在R上是减函数；∴cos2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，]，即2﹣sin2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，]恒成立，设sinθ＝t，（0≤t≤1），∴2﹣t2+λt＞0，当t＝0时，2＞0恒成立，当0＜t≤1时，转化为，∵函数y在（0，1]递增，∴，即λ≥﹣1；故得实数λ的取值范围[﹣1，+∞）．。
易错汇总2017-2018年浙江省杭州二中高一上学期期末数学试卷与答案版
2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．（3分）集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数的范围是（）A．4＜a＜5B．4≤a＜5C C．4＜a≤5D．a＞42．（3分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 3．（3分）已知函数则f（﹣2）=（）A．B．3C．D．94．（3分）下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是（）A．B．y=1﹣2cos22xC．y=|ln|x||D．y=|sin（π+x）|等于（）5．（3分）已知锐角α满足，则sinαcosαA．B．C．D．6．（3分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，1），则向量在另一组基底下的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）7．（3分）函数的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=﹣4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．9．（3分）P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB，△PAC，△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为（）A．k：n：m B．（k+1）：（n﹣1）：mC．D．k2：n2：m210．（3分）已知函数f（x）=若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式x12+x22+x32+x42≥8（x1+x2+x3+x4）+k（x3x4﹣17x1x2）恒成立，则实数k的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11．（4分）设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．12．（4分）若=2，则sin（θ﹣5π）?sin=．13．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f （﹣4）=1，则f（2018）=．14．（4分）若f（sin2x）=13sinx+13cosx+16，则=．15．（4分）设单位向量对任意实数λ都有，则向量的夹角为．16．（4分）在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则||的最小值为17．（4分）函数f（x）=|2x﹣+t|﹣t，x∈[0，1]，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为．三、解答题：本大题共4小题，共42分.18．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），的部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（Ⅱ）把函数y=f（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．19．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且为锐角，，求cosC的值．20．（10分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（﹣2，﹣1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且．（Ⅰ）求点P与点Q的坐标；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）﹣x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．（3分）集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数的范围是（）A．4＜a＜5B．4≤a＜5C C．4＜a≤5D．a＞4【解答】解：由集合A={1，2，3，4}，B={x|1＜x＜a}或B={x|a＜x＜1}∵集合A∩B={2，3，4}，∴a＞4．故选：D．2．（3分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：，0＜a＜1，则c＞a＞b，故选：B．3．（3分）已知函数则f（﹣2）=（）A．B．3C．D．9【解答】解：当x≤0时，，则=．故选：D．4．（3分）下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是（）A．B．y=1﹣2cos22xC．y=|ln|x||D．y=|sin（π+x）|【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数，此函数为偶函数，且在区间[0，1]上单调递减，A选项错误；对于B，对于函数y=1﹣2cos22x=﹣cos4x，此函数为偶函数，且当0≤x≤1时，0≤4x≤4，故函数y=1﹣2cos22x在区间[0，1]上不单调，B选项错误；对于C，对于函数y=|ln|x||，该函数为偶函数，且函数y=|ln|x||在区间[0，1]上单调递减，C选项错误；对于D，对于函数y=|sin（π+x）|=|﹣sinx|=|sinx|，定义域为R，且|sin（﹣x）|=|﹣sinx|=|sinx|，故该函数为偶函数，且当0≤x≤1时，y=sinx，结合图象可知，函数y=|sin（π+x）|在区间[0，1]上单调递增，符合题意，故选：D．等于（）5．（3分）已知锐角α满足，则sinαcosαA．B．C．D．【解答】解：由，得，，∵，∴sinα+cosα＞0，则，两边平方得：，∴．故选：A．6．（3分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，1），则向量在另一组基底下的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【解答】解：由题意，得；设，即（0，3）=x（﹣2，1）+y（﹣4，﹣1）=（﹣2x﹣4y，x﹣y），则，解得，故选：A．7．（3分）函数的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：令函数，即log4x=﹣cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g（x）=﹣cosx，观察可得，在（0，1）内有一交点，由h（π）=log5π＜1，g（π）=1可知，在内有两个交点，由，可知，当时，两个函数无交点．故共有3个交点．故选：C．8．（3分）将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=﹣4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意将函数的图象向左平移个单位，可得，所以g（x）max=2，又g（x1）g（x2）=﹣4，所以g（x1）=2，g（x2）=﹣2；或g（x1）=﹣2，g（x2）=2．则有得，；由得，，因为x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以，，故选：C．9．（3分）P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB，△PAC，△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为（）A．k：n：m B．（k+1）：（n﹣1）：mC．D．k2：n2：m2【解答】解：由，可得，，，，所以S△PAB：S△PAC：S△PBC=（k+1）：（n﹣1）：m．故选：B．10．（3分）已知函数f（x）=若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式x12+x22+x32+x42≥8（x1+x2+x3+x4）+k（x3x4﹣17x1x2）恒成立，则实数k的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：当2＜x＜4时，0＜4﹣x＜2，所以f（x）=f（4﹣x）=|ln（4﹣x）|，由此画出函数f（x）的图象由题意知，f（2）=ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4﹣x3）（4﹣x4）=1，，由，可知，，得，，设t=x1+x2，得，当t=2时，趋近，故，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11．（4分）设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．【解答】解：扇形的半径长为r=4cm，面积为S=4cm2，设扇形的弧长为l，圆心角为α，，…①则l=αr=4αS=lr=2l=4，…②，由①②解得α＝，∴扇形的圆心角弧度数是．故答案为：．12．（4分）若=2，则sin（θ﹣5π）?sin=．﹣2cosθ化简得tanθ=3；【解答】解：由=2，得到sinθ+cosθ=2sinθ则sin（θ﹣5π）?sin=（﹣sinθ）（﹣cosθ）=sinθcosθ＝sin2θ＝×==．故答案为：13．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f （﹣4）=1，则f（2018）=﹣1．【解答】解：根据题意，f（x+1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（﹣x）=﹣f（2+x），又由f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），则有f（x）=﹣f（2+x），则f（x+4）=﹣f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）=f（﹣2）=﹣f（﹣4）=﹣1；故答案为：﹣1．14．（4分）若f（sin2x）=13sinx+13cosx+16，则=﹣1或33．【解答】解：令sinx+cosx=t，则sin2x=t2﹣1，f（t2﹣1）=13t+16，令所以．故答案为：﹣1或3315．（4分）设单位向量对任意实数λ都有，则向量的夹角为．【解答】解：设单位向量的夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即，即，即恒成立，∴，整理可得，再由，得，∵θ∈[0，π]，∴．∴向量的夹角为．故答案为：．16．（4分）在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则||的最小值为（﹣）【解答】解：在三角形ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则|﹣x|2=x2||2﹣2x.+||2=9x2﹣12xcosA+4=9（x﹣cosA）2+4﹣4cos2A，当x=cosA时，|﹣x|min=1=4﹣4cos2A．即得4cos2A=3，所以cosA=±，又A为钝角，所以cosA=﹣．所以A=．又因为AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，所以||2=|λ+μ|2=λ2||2+2λμ.+μ2||2=4λ2+12μλcosA+9μ2=4λ2﹣6μλ+9μ2=（2λ+3μ）2﹣（6+12）μλ=1﹣（6+12）μλ．又由2λ+3μ=1得（2λ+3μ）2=14λ2+9μ2=1﹣12λμ，所以24λμ≤1，则λμ≤，所以||2=1﹣（6+12）μλ≥1﹣====所以||的最小值为．故答案为：或写作（﹣）．17．（4分）函数f（x）=|2x﹣+t|﹣t，x∈[0，1]，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为[）．【解答】解：设m=2x﹣．当x∈[0，1]，，①当t≥1时，，符合题意；②当时，，③当时，若，即，；若即，；所以：时，最大值为．故得t的取值范围为[）三、解答题：本大题共4小题，共42分.18．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），的部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（Ⅱ）把函数y=f（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设图象知，，可得：周期T=π，∴．∵点在函数图象上，∴，即，又∵，从而．A=2．故函数f（x）的解析式为．令，解得，即为函数f（x）图象的对称轴方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=2sin[2（x﹣）+）=2sin（2x），然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin （2υｘ），要使得y=g（x）在[0，5]内有5个函数值为2的点，只需满足：（4+）T≤5≤（5+）T，即：（4+）≤5≤（5+），解得：．19．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且为锐角，，求cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=cos2x+sin2x+sin2x﹣cos2x=cos2x+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令；得，所以函数f（x）在区间上的增区间为；令；得，所以函数f（x）在区间上的减区间为和；（Ⅱ）因为，，由得，所以，因为，，所以，所以，又C为钝角，所以．20．（10分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（﹣2，﹣1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且．（Ⅰ）求点P与点Q的坐标；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设点P（x0，2），则，由可知，﹣3x0=2（﹣2﹣x0），解得x0=4；又点Q是边AB上一点，可设，∴Q的坐标为（﹣4k+2，﹣4k+3）；由，得（﹣4k+2，﹣4k+3）?（2，﹣1）=0，解得，所以Q的坐标为（1，2）；（Ⅱ）设，则0≤λ≤1，∴?=（+）?（+）=（+λ）?[+（1﹣λ）]=?+λ（1﹣λ）?+（1﹣λ）+λ=﹣8λ2﹣7λ+28，（0≤λ≤1），得?的取值范围是[13，28]．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）﹣x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣x|x﹣2|+1=x，当x≥2时，方程化简为：x2﹣x﹣1=0，解得：x=或x=（舍去），当x＜2时，方程化简为：x2﹣3x+1=0，解得：x=（舍去），或x=，∴或．（Ⅱ）当，作出示意图，注意到几个关键点的值：，最值在f（1），f（2），f（a）中取．当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上递增，[a，3]上递减，故f（x）max=f（a）=1；当，而，故若a＜4，f（x）max=f（3）=10﹣3a若a≥4，f（x）max=f（1）=2﹣a综上：（Ⅲ）∵当x∈（0，+∞）时，f（x）max=1，故问题只需在给定的区间内（x）≥﹣2恒成立，由，分两种情况讨论：当时，即时，M（a）是方程x2﹣ax+1=﹣2的较小根当时，即时，M（a）是方程﹣x2+ax+1=﹣2的较大根综上，．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x 1x 2y=f(X)x y f(x )1f(x )2o （1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)y x o x x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x ，令()ug x ，若()y f u 为增，()u g x 为增，则[()]y f g x 为增；若()y f u 为减，()u g x 为减，则[()]yf g x 为增；若()y f u 为增，()ug x 为减，则[()]y f g x 为减；若()y f u 为减，()u g x 为增，则[()]yf g x 为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x 的图象与性质y xo()f x 分别在(,]a 、[,)a 上为增函数，分别在[,0)a 、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()yf x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ，都有()f x M ；（2）存在0x I ，使得0()f x M ．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M ．②一般地，设函数()yf x 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ，都有()f x m ；（2）存在0x I ，使得0()f x m ．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x 处有定义，则(0)0f ．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
浙江省杭州市高级中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题(解析版)word版
杭高2018学年第一学期期末考试高一数学试题卷一.选择题1.已知集合{|}1A x x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. (,1)-∞-C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. (1,)+∞2.下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A. 1sin y x=B. ||2x y =C. 3cos y x x ＝D. 1ln||y x = 3.下列计算正确的是（ ） A.2()m n m n -=-B. 222log 3log 5log 15⨯=C. 1099222-=D. 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4.向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 25.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ） A. (sin ,cos )θθ-B. (cos ,sin )θθ-C. (cos ,sin )θθ-D. (sin ,cos )θθ-6.2的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a ⋅+⋅+⋅rr r r r r 等于（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 47.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A. 23ϕπ= B. x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C. 7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间D. ()f x 向左移12π可变为偶函数8.已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ） A .2339323二､填空题9.若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 10.已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.11.已知函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f -=_____；若23()3f a =-，则a =_____. 12.若()sin3f x x π=，则()2f -=_____；(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=_____.13.若827712186x x x x+=+，则x =_____. 14.在平面上，正方形ABCD 2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r ，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____.15.若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.三､解答题16.已知集合{}|23Ax a x a ≤≤+＝，1{}1|B x x x =<->或 （1）若0a =，求A B I ；（2）若A B R ⋃＝，求a 的取值范围.17.已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +r r与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f kα=+且(0,)απ∈，求tan α. 18.某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.19.已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+- （1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 20.设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性；（2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p-=最大值是2，求p q +的取值范围.杭高2018学年第一学期期末考试高一数学试题卷一.选择题1.已知集合{|}1A x x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. (,1)-∞-C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. (1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð．【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð． 故选：B ．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ）A. 1sin y x=B. ||2x y =C. 3cos y x x ＝D. 1ln||y x =【解析】 【分析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意；对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1lnln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 3.下列计算正确的是（ ） m n =- B. 222log 3log 5log 15⨯= C. 1099222-= D. 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误．【详解】对于选项A m n =-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=r r r ，又c r = a b r r λ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型. 5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ） A. (sin ,cos )θθ- B. (cos ,sin )θθ- C. (cos ,sin )θθ- D. (sin ,cos )θθ-【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．6.边长为2的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a ⋅+⋅+⋅rr r r r r 等于（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒， 由正三角形ABC 2和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r11122222221212222⎛⎫⎪⎝⎭++-=+-=．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题．7.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A. 23ϕπ=B. x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C. 7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间 D. ()f x 向左移12π可变为偶函数【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题．8.已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ）A.B.3【答案】B 【解析】 【分析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解．【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ，|m ﹣n |＝. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．二､填空题9.若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____.【答案】12- 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==， 1cos 5α==，所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭．故答案为：12-． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10.已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.【答案】(1). (2). 3(0,)2【解析】 【分析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出 ()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标．【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C 点坐标是30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算．11.已知函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f -=_____；若()f a =a =_____. 【答案】 (1). 29- (2). 12- 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f -=-=-，计算可得答案；对于()3f a =-，分0a >与0a <两种情况讨论，求出a 的值． 【详解】根据题意，函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数， 则()()2222239f f -=-=-=- ；若()f a = 当0a >时，()23a f a ==当0a <时，()()233af a f a -=--=-=-，解可得12a =-， 故若()3f a -＝，则12a =-. 故答案为：(1). 29-； (2). 12-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 12.若()sin3f x x π=，则()2f -=_____；(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=_____.【答案】(1).(2). 【解析】 【分析】由特殊角的三角函数值即可求出()2f -的值；再根据三角函数的周期性结合特殊角的三角函数值，即可求出(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+的值．【详解】由()sin3f x x π=，得()22sin 3f π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭函数()sin3f x x π=的周期为2 63ππ=，()()()()()()245123456sinsinsin sin sin sin 203333f f f f f f ππππππ+++++=+++++=Q ()()()()()()()12320193360123f f f f f f f ∴+++⋯+=⨯+++=故答案为：(1). ；(2). ．【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查函数周期性的应用，是基础题．13.若827712186x x x x+=+，则x =_____. 【答案】±1【解析】 【分析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果．【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =.故答案为：±1．【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.在平面上，正方形ABCD 的边长为2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r ，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____.【答案】4 【解析】 【分析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC ⋅u u u r u u u r 最大时， AP u u u r 与AC u u ur 的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果．【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题． 15.若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.【答案】6c ≤-或2c ≥ 【解析】 【分析】 令4cos 3cos 3ct a a =+++，利用整体代换，原不等式等价于：存在实数t 使得{}max ,410t t +≥，易得10t ≤-，或6t ≥，令[]cos 324m a =+∈,，则4ct m m=+，问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立，利用分离参数法，易得c 的范围．【详解】令4cos 3cos 3ct a a =+++，存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立， 转化为：存在实数t 使得max ,}1{40t t +≥成立，易得10t ≤-，或6t ≥，因为a 实数，[]cos 32,4a +∈，令[]cos 324m a =+∈,， 则4ct m m=+， 问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立； 当10t ≤-时，可得410cm m+≤-，可得[]2410,2,4c m m m ≤--∈ ，可得6c ≤-； 当6t ≥时，可得46cm m+≥，即246,24[,]c m m m ≥-∈，可得2c ≥； 所以c 的范围为6c ≤-或2c ≥． 故答案为：6c ≤-或2c ≥．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数能成立问题的转化，考查分析问题解决问题以及分类讨论思想的应用．三､解答题16.已知集合{}|23Ax a x a ≤≤+＝，1{}1|B x x x =<->或 （1）若0a =，求A B I ；（2）若A B R ⋃＝，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|13A B x x ⋂=<≤（2）12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）若0a =，化简A ，即可求A B I ；（2）由已知条件，可得213123a a a a ≤-⎧⎪+≥⎨⎪<+⎩，由此求出a 的取值范围．【详解】（1）若0a =，则{}03|A x x =≤≤，–1{|}1B x x x =<>或，故{}|13A B x x ⋂=<≤.（2）因为集合{|23}A x a x a =≤≤+，–1{|}1B x x x =<>或，A B R =U ，所以213123a a a a ≤-⎧⎪+≥⎨⎪<+⎩，解得12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查集合的运算，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．17.已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α.【答案】（1）[1,1]-（2）4或4- 【解析】 【分析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-．（2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos 3α==-，tan 4α=-；所以tan 4α=或4-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题． 18.某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】 【分析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式；（2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-. 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题.19.已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-. （1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤⋃⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果．【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦，设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆， 当30a -=，即3a =时，不满足题意，当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥. （3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程(*)化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=， ①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x+=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<，综上，a 的取值范围是{},1,2123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．20.设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =.（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性；（2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p-=最大值是2，求p q +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性； （2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围．【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()6622f g p q ππ--=-+⋅，1()()()6622f g p q ππ=+⋅， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠.故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数. （2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增.理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 又14p q p +-在112p ≤≤时递增， 所以151,44p q q q p ⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max 1()24H x p q p =+-=， 可得1224p q p p +=+-，在112p ≤≤递增，可得11,24p q ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p -<-，即102p <<时， max ()max{(1),(1)}12H x H H q =-=-=，即1q =-， 可得11(1,)2p q p +=-∈--，综上可得，11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。
杭高2018学年第一学期期末考试高一【数学】
杭高2018学年第一学期期末考试高一（数学）试题卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U R =，集合{}{}1,2,3,4,5,3A B x R x ==∈≥，图中阴影部分所表示的集合为（ ） A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,22．已知α的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．3-D ．33．在ABC ∆中，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ） A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 延长线上C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上4．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()lg f x x =，设()()13,,22a f b f c f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>5．函数cos tan y x x =（22x ππ-<<）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知点()()()2,3,5,4,7,10A B C ，有()AP AB AC R λλ=+∈，若点P 在第三象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．3,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞7．已知实数,a b 满足23,32a b ==，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28．若函数()()sin 20,0f x A x A ωω=>>在1x =处取得最大值，则函数()1f x +为（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是（ ）A ．1B ．2425-C ．725D ．725-10．函数()y f x =在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如y x =是[]2,2-上的“平均值函数”，0就是它的均值点，若函数()21f x x mx =--是[]1,1-上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．()2,0-C ．()0,2D ．(二、填空题：（本大题共7个小题，每小题4分，共28分．）11．计算：(22lg5+_________________．12．已知tan 4θ=，则2sin cos sin 17sin 4θθθθ++的值为_________________．13．平面向量()()1,1,1,2AB n =-=，且3n AC ⋅=，则n BC ⋅=_________________．14．平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ-=_________________．15．已知()()[]3sin 3,0,f x x x φπ=+∈，则()y f x =与2y =的交点个数最多有_________________个．16．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则下列结论中正确的是_________________．（1）a 为单位向量；（2）b 单位向量；（3）a b ⊥；（4）//b BC ；（5）()4a b BC +⊥．17．若函数()22f x x a x =+-在()0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是_________________．三、解答题：（本大题共个5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本大题10分）设全集是实数集R ，{}{}22430,0A x x x B x x a =-+≤=-≤． （1）当4a =时，求AB 和A B ；（2）若R B C A ⊆，求a 的取值范围．19．（本大题10分）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心．20．（本大题10分）已知ABC ∆中，点()()()0,3,0,1,1,1A B C -．（1）以AC 为对角线作正方形AMCN （点,,,A M C N 依次逆时针排列），求出MN 的坐标，并求出点M 的坐标；（2）若E 为BC 的中点，AD BC ⊥于D ，求AD AE ⋅．21．（本大题12分）已知二次函数()216,f x x x k k R =-+∈． （1）若函数()f x 在[],2m m +上单调，求实数m 的取值范围；（2）是否存在常数()010t t ≤<，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间[],a b 且12b a t -=-？ （3）若()f x 在[](),m n n g ≤上的值域为[],m n ，求实数k 的取值范围．。
2018-2019学年浙江省杭州市第二中学(东河校区)高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市第二中学（东河校区）高一上学期期末数学试题一、单选题1．设OA a =，OB b =，则AB 为（ ） A ．a b + B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】C【解析】根据向量减法的运算，判断出正确选项. 【详解】依题意AB OB OA b a =-=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量减法运算，属于基础题.2．若A ＝{x |0＜x ，B ＝{x |1≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |0＜x ＜2}B ．{|1x x ≤C ．{|0x x ＜D ．{x |x ≥2}【答案】B【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素组成，故{|1A B x x ⋂=≤<.故选：B 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 3．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：分k 为偶数和k 为奇数讨论，即可得到答案. 详解：由集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，当k 为偶数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限； 当k 为奇数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限； 所以集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C ，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k 为偶数和k 为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 4．163sin π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B【解析】利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】依题意16π2π2πsin sin 6πsin 333⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 【点睛】本小题主要考查诱导公式化简求值，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（ ） A ．y ＝﹣x 2 B ．y ＝log 2xC ．12y x =D ．y ＝|x |【答案】D【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在[)0,+∞上的单调性，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，2y x =-为偶函数，在[)0,+∞上递减，不符合题意. 对于B 选项，2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意. 对于C 选项，12y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于D 选项，y x =为偶函数，且在[)0,+∞上递增，符合题意. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 6．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数 A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x = 【答案】B【解析】依题意可得，函数sin(2)6y x π=+作相应平移后得到函数sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选B7．函数f （x ）=x –3+e x的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，3）C ．（3，4）D ．（4，+∞）【答案】A【解析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解. 【详解】()()020,120f f e =-<=->, ()330f e =>,()4410f e =+>,所以函数()f x 在区间()0,1上有零点. 故选A. 【点睛】本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.8．设a ，b 为两个非零向量，且a =（x 1，y 1）b =（x 2，y 2），则下列四个等式： （1）a •b =0； （2）x 1x 2+y 1y 2＝0；（3）|a b +|＝|a b -|； （4）()222a b a b-=-.其中与a b ⊥等价的等式个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据两个向量垂直的向量表示形式、向量模的运算、数量积的运算对四个等式逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】两个向量垂直121200a b x x y y ⇔⋅=⇔+=，故（1）（2）符合题意.对于（3），由a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，化简得0a b ⋅=，与a b ⊥等价，符合题意.对于（4），由()222a b a b -=-得22222a b a a b b -=-⋅+，()20b a b b b a -⋅=⋅-=，不能推出a b ⊥，不符合题意.综上所述，其中与a b ⊥等价的等式个数为3个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表现形式，属于基础题.9．如图，正方形ABP 7P 5的边长为2，P 1，P 4，P 6，P 2是四边的中点，AB 是正方形的其中一条边，P 1P 6与P 2P 4相交于点P 3，则i AB AP ⋅（i ＝1，2，…，7）的不同值的个数为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】求得所有i AB AP ⋅的值，由此取得不同值的个数. 【详解】1AB AP ⋅=212⨯=, 2AB AP ⋅=0,3AB AP ⋅=π2cos 24=, 4AB AP ⋅=()224224AP P P AB AB AB AP P P ⋅+=⋅+⋅0224=+⨯=,5AB AP ⋅=0, 6AB AP ⋅=()556556AP P P AB AB AB AP P P ⋅+=⋅+⋅0212=+⨯=, 7AB AP ⋅=π2cos44⨯=. 所以共有0,2,4三种不同的取值. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查平面向量加法运算，属于基础题.10．已知函数20,01()log ,()12,12x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x -=实根的个数为（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】对x 分类讨论：当01x <≤时，显然可知有一实根；当1x >时，方程可化为21log 22x x =-+或23log 22x x =--，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题即可． 【详解】当01x <≤时，()2log f x x =-，()0g x =，∴()()2log 1f x g x x -=-=有一实根12； 当1x >时，()2log f x x =，()122g x x =--，∴()()21log 212f xg x x x -=--+=， ∴21log 22x x =-+或23log 22x x =--|，分别画出函数()2log 1y x x =>以及122y x =-+，322y x =--的图象如图，由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，故选C ． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．二、填空题11．计算：329-=_____，log 69+log 64＝_____． 【答案】1272 【解析】利用指数运算化简329-，利用对数运算化简66log 9log 4+. 【详解】33219327--==， log 69+log 64＝log 636＝2． 故答案为：（1）127；（2）2 【点睛】本小题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题. 12．函数f （x ）()21ln x x -=-的定义域为_____．【答案】（﹣∞，1）∪（1，2）．【解析】根据对数真数大于零、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x的定义域. 【详解】 由函数f （x ）()21ln x x -=-，得2010x x -⎧⎨-≠⎩＞，解得x ＜2且x ≠1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）． 故答案为：()(),11,2-∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 13．已知单位向量12e e ，的夹角为3π，121223a e e b e me =+=+，，且//a b ，则a =_____，m ＝_____．6【解析】根据单位向量的模以及数量积的运算，求得2a ，进而求得a r.由于//a b ，所以存在实数λ，使得a b λ=，由此列方程组，解方程组求得,m λ的值. 【详解】12e e ⋅=1×1×cos132π=，∴221a e =+412e e ⋅+422e =7， ∴|a|=∵//a b ，∴存在实数λ，使得a b λ=， 即122e e +=λ（31e +m 2e ）， ∴132m λλ=⎧⎨=⎩，解得λ13=，m ＝6．故答案为：（1；（2）6 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查两个向量平行的表示，考查单位向量的概念，属于基础题.14．函数f （x ）＝a 2﹣x ﹣1（a ＞0，a ≠1）恒过定点_____，当a ＞1时，f （x 2）的单调递增区间为_____．【答案】（2，0） （﹣∞，0]．【解析】根据01a =求得()f x 恒过的定点坐标.求得()2f x 的表达式，根据复合函数单调性同增异减，求得()2f x 的单调递增区间.【详解】 函数f （x ）＝a2﹣x﹣1（a ＞0，a ≠1）中，令2﹣x ＝0，解得x ＝2， 所以y ＝f （2）＝1﹣1＝0， 所以函数f （x ）恒过定点（2，0），当a ＞1时，f （x 2）22x a -=-1的单调递增区间为（﹣∞，0]．故答案为：（1）()2,0；（2）(],0-∞ 【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点，考查复合函数单调区间的求法，属于基础题. 15．已知sin （x 6π+）13=，则sin （56π-x ）+sin 2（3x π-）的值是_____． 【答案】119【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式，将所求表达式转化为只含πsin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的形式，由此求得表达式的值.【详解】 ∵2156363sin x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ＝sin[6x ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭]+sin 2[126x ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭] ＝sin （x 6π+）26cos x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭2ππsin 1sin 66x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111399=+-=， 故答案为：119【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．关于函数，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④【解析】因为根据已知条件可知，，显然利用偶函数的性质可知命题1正确，同时对于真数部分分析可知最小值为2，因此命题3成立，利用复合函数的性质可知道命题4成立，而命题2，单调性不符合对勾函数的性质，因此错误，命题5中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④17．已知ABC ∆中，||1BC =，2BA BC ⋅=，点P 为线段BC 上的动点，动点Q 满足PQ PA PB PC =++，则PQ PB ⋅的最小值等于 ．【答案】34-．【解析】试题分析：如下图所示，令BA a =，BC b =，设BP BC λ=（01λ≤≤）， ∴(13)PQ PA PB PC BA BP BP BC BP a b λ=++=--+-=+-， ∴222133[(13)](13)333()244PQ PB a b b a b b λλλλλλλλ⋅=-+-⋅=-⋅--=-=--≥-，当且仅当12λ=时，等号成立，即PQ PB ⋅的最小值是34-，故填：34-． 【考点】1．平面向量的线性运算及数量积；2．二次函数的最值．三、解答题18．已知角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-， （1）求m 的值；（2）求()()()2sin sin cos sin παπααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值． 【答案】(1) m ＝﹣3；(2)-7． 【解析】（1）根据角α终边上一点的坐标以及余弦值的定义列方程，解方程求得m 的值.（2）由（1）中P 点坐标和正弦值的定义求得sin α的值，由此利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】（1）角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-，35=-解得m ＝﹣3；（2）由（1）可得sinα45=， ()()()342553455sin sin cos sin cos sin cos sin παπααααπααα⎛⎫-++--⎪-⎝⎭===--+-+-+7．【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 等腰梯形，()(60A C ，，，点M 满足12OM OA =，点P 在线段BC 上运动（包括端点）（1）求∠OCM 的余弦值； （2）若OP ⊥CM ，求CPCA的值． 【答案】(1)1 2．(2)【解析】（1）根据12OM OA =求得M 点坐标，由两点间的距离公式求得,CM OC ，有余弦定理求得OCM ∠的余弦值.（2）设出P 点坐标，利用OP CM ⊥，则0O P C M ⋅=，结合向量的坐标运算，求得P点的坐标.由此求得,CP CA 的长，进而求得CPCA的值. 【详解】（1）已知四边形OABC 等腰梯形，()(60A C ，，，点M 满足12OM OA =，所以()3,0M ，故OM ＝3．CM ==2OC ==，在△OCM 中222122OM OC CM cos OCM OM OC +-∠==⋅⋅．故∠OCM 的余弦值为12．（2）设P （x ，所以(2CM =，(OP x =， 由于OP ⊥CM ，所以230OP CM x ⋅=-=，解得x 32=，所以31122CP =-=，CA ==所以1CP CA ==． 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查余弦定理解三角形，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.20．已知函数()f x =()()sin ,A x x ωϕ+∈R (其中π0,0,02A ωϕ>><<)的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最高点为π,36Q ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()f x 的解析式和单调增区间; (2)当ππ[,122x ∈],求()f x 的值域. 【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[]1,2- 【解析】试题分析：(1)根据题中条件，利用函数性质，求得函数的解析式，并利用整体代换，计算函数的单调递增区间；(2)利用整体代换，求得π26x +的取值范围，由此确定函数的最值及取到最值时相应的x 的值. 试题解析：(1)由最高点为π,26Q ⎛⎫⎪⎝⎭得2A =，由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得2T =π2，即2π2ππ,2πT T ω====，由点π,26Q ⎛⎫⎪⎝⎭在图象上得π2sin 26ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=2,πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故π3ϕ+=π2π,2k k +∈Z ,π2π,6k k ϕ=+∈Z .又ππ0,,26ϕϕ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭，故()f x =π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+,解得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数()f x 在()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增.(2)ππ[,122x ∈],ππ7π2,636x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当π26x +=π2，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当π26x +=7π6，即π2x =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]. 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求三角函数解析式的应用问题，是基础题目；A 为振幅控制着函数的最大值和最小值，图象的最高点纵坐标即为A ，ω控制着函数周期，与x 轴相邻两个交点间的距离为半个周期，通过函数过特殊点求得ϕ，从而得到函数解析式.21．已知定义域为R 的函数f （x ）122x x ba+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：函数f （x ）在R 上是减函数； （3）若对任意的θ∈[0，2π]，f （cos 2θ+λsinθ+2）16+＜0恒成立，求实数λ的取值范围【答案】(1) b ＝1，a ＝2；(2)证明见解析 (3) (﹣1，+∞）．【解析】（1）利用()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f =，以及()()11f f -=-列方程，由此求得,a b 的值，进而求得()f x 解析式.（2）任取12x x <，通过计算求得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，由此证得()f x 在R 上是减函数.（3）根据()f x 的单调性和奇偶性化简不等式()21cos sin 206f θλθ+++<，得到220sin sin θλθ+>﹣，利用换元法，结合分离常数法，求得λ的取值范围.【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．得f （0）＝0，f （﹣1）＝﹣f （1）， ∴b ＝1，a ＝2，那么f （x ）11222x x +-=+，由f （﹣x ）11121121222222222x x xx x x x-+---====-+++f （x ），故得b ＝1，a ＝2符合题意；（2）由（1）可得f （x ）()()()121212121122221221221x x x x x x x+-++--====-+++++， 设x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）()()122112112221212121x x x x x x -=-=++++， ∵x 1＜x 2， ∴12220x x -＜则f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1）； ∴函数f （x ）在R 上是减函数；（3）由()21206f cos sin θλθ+++＜，即()2126f cos sin θλθ++-＜， ∵f （1）16=-，f （x ）在R 上是减函数； ∴cos 2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，2π]，即2﹣sin 2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，2π]恒成立，设sinθ＝t ，（0≤t ≤1）， ∴2﹣t 2+λt ＞0，当t ＝0时，2＞0恒成立，当0＜t≤1时，转化为2tt λ>-，∵函数y2tt=-在（0，1]递增，∴211λ>-，即λ>﹣1；故得实数λ的取值范围(﹣1，+∞）．【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数解析式，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。
2017-2018学年浙江省杭州二中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.集合A={1，2，3，4}，B={x|（x-1）（x-a）＜0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数的范围是（）A. B. C. D.2.P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB，△PAC，△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为（）A. k：n：mB. ：：mC. ：：D. ：：3.已知锐角α满足，则sinαcosα等于（）A. B. C. D.4.若，是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底，下的坐标，现已知向量在基底，，，下的坐标为（-2，1），则向量在另一组基底，，，下的坐标为（）A. B. C. D.5.下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是（）A. B. C. D.6.函数的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.已知函数f（x）=若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式x12+x22+x32+x42≥8（x1+x2+x3+x4）+k（x3x4-17x1x2）恒成立，则实数k的最大值为（）A. B. C. D.8.将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=-4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-x2的最大值为（）A. B. C. D.9.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.10.已知函数，＞，则f（-2）=（）A. B. 3 C. D. 9二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.设单位向量，对任意实数λ都有，则向量，的夹角为______．12.函数f（x）=|2x-+t|-t，x∈[0，1]，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为______．13.设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是______．14.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f（-4）=1，则f（2018）=______．15.在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，若|-x|（其中x为实数）的最小值为1，则||的最小值为______16.若f（sin2x）=13sin x+13cos x+16，则=______．三、解答题（本大题共4小题，共46.0分）17.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ），＞，＞，＜的部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（Ⅱ）把函数y=f（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．18.已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（-2，-1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且．（Ⅰ）求点P与点Q的坐标；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围．19.已知函数f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间，上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且， 为锐角，，求cos C的值．20.已知函数f（x）=-x|x-a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）-x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由集合A={1，2，3，4}，B={x|1＜x＜a}或B={x|a＜x＜1}∵集合A∩B={2，3，4}，∴a＞4．故选：D．根据集合A={1，2，3，4}，B={x|1＜x＜a}，集合A∩B={2，3，4}，那么B的范围a要大于4．即可得结论．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：由，可得，，，，所以S△PAB：S△PAC：S△PBC=（k+1）：（n-1）：m．故选：B．利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力．3.【答案】A【解析】解：由，得，，∵，∴sinα+cosα＞0，则，两边平方得：，∴．故选：A．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．本题考查两角和与差的三角函数二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．4.【答案】A【解析】解：由题意，得；设，即（0，3）=x（-2，1）+y（-4，-1）=（-2x-4y，x-y），则，解得，故选：A．通过向量的变换，求出向量，结合平面向量的基本定理转化求解即可．本题考查平面向量的基本定理的应用，是基本知识的考查．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数，此函数为偶函数，且在区间[0，1]上单调递减，A选项错误；对于B，对于函数y=1-2cos22x=-cos4x，此函数为偶函数，且当0≤x≤1时，0≤4x≤4，故函数y=1-2cos22x在区间[0，1]上不单调，B选项错误；对于C，对于函数y=|ln|x||，该函数为偶函数，且函数y=|ln|x||在区间[0，1]上单调递减，C选项错误；对于D，对于函数y=|sin（π+x）|=|-sinx|=|sinx|，定义域为R，且|sin（-x）|=|-sinx|=|sinx|，故该函数为偶函数，且当0≤x≤1时，y=sinx，结合图象可知，函数y=|sin（π+x）|在区间[0，1]上单调递增，符合题意，故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及在区间[0，1]上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数奇偶性的判断方法．6.【答案】C【解析】解：令函数，即log4x=-cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g（x）=-cosx，观察可得，在（0，1）内有一交点，由h（π）=log5π＜1，g（π）=1可知，在内有两个交点，由，可知，当时，两个函数无交点．故共有3个交点．故选：C．令函数，即log4x=-cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g （x）=-cosx的图象，通过数形结合判断方程解的个数．本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力．7.【答案】A【解析】解：当2＜x＜4时，0＜4-x＜2，所以f（x）=f（4-x）=|ln（4-x）|，由此画出函数f（x）的图象由题意知，f（2）=ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4-x3）（4-x4）=1，，由，可知，，得，，设t=x1+x2，得，当t=2时，趋近，故，故选：A．求得2＜x＜4时f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象，求得0＜m＜ln2，x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4-x3）（4-x4）=1，，运用数形结合思想和参数分离，以及换元法，可得k的范围．本题考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和参数分离，考查运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由题意将函数的图象向左平移个单位，可得，所以g（x）max=2，又g（x1）g（x2）=-4，所以g（x1）=2，g（x2）=-2；或g（x1）=-2，g（x2）=2．则有得，；由得，，因为x1，x2∈[-2π，2π]，所以，，故选：C．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的对称中心，再利用正弦函数的图象和性质，求得x1-x2的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：，0＜a＜1，则c＞a＞b，故选：B．根据指数幂，对数的性质分别估算，a，b，c的大小即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据对数，指数幂的性质进行估算是解决本题的关键．10.【答案】D【解析】解：当x≤0时，，则=．故选：D．当x≤0时，，则=f（），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】【解析】解：设单位向量的夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即，即，即恒成立，∴，整理可得，再由，得，∵θ∈[0，π]，∴．∴向量的夹角为．故答案为：．设单位向量的夹角为θ，对于任意实数λ都有成立，从而恒成立，进而，推导出，由此能求出向量的夹角．本题考查两个向量的夹角的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12.【答案】[，）【解析】解：设m=2x-．当x∈[0，1]，，①当t≥1时，，符合题意；②当时，，③当时，若，即，；若即，；所以：时，最大值为．故得t的取值范围为[）利用换元法，求解m=2x-的范围，对t进行讨论，求解最大值，可得其范围．本题主要考查函数最值的求解，换元法去绝对值，分类讨论是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：扇形的半径长为r=4cm，面积为S=4cm2，设扇形的弧长为l，圆心角为α，则l=αr=4α，…①S=lr=2l=4，…②，由①②解得α=，∴扇形的圆心角弧度数是．故答案为：．根据扇形的弧长与面积公式，列方程组求得圆心角α的值．本题考查了扇形的弧长与面积公式的应用问题，是基础题．14.【答案】-1【解析】解：根据题意，f（x+1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（-x）=-f（2+x），又由f（x）是定义在R上的偶函数，f（-x）=f（x），则有f（x）=-f（2+x），则f（x+4）=-f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）=f（-2）=-f（-4）=-1；故答案为：-1．根据题意，分析可得f（-x）=-f（2+x），结合函数的奇偶性可得f（x）=-f（2+x），进而可得f（x+4）=-f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，据此分析可得f（2018）=f（-2）=-f（-4）=-1；即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键是分析求出函数的周期．15.【答案】（-）【解析】解：在三角形ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，若|-x|（其中x为实数）的最小值为1，则|-x|2=x2||2-2x.+||2=9x2-12xcosA+4=9（x-cosA）2+4-4cos2A，当x=cosA时，|-x|min=1=4-4cos2A．即得4cos2A=3，所以cosA=±，又A为钝角，所以cosA=-．所以A=．又因为AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，所以||2=|λ+μ|2=λ2||2+2λμ.+μ2||2=4λ2+12μλcosA+9μ2=4λ2-6μλ+9μ2=（2λ+3μ）2-（6+12）μλ=1-（6+12）μλ．又由2λ+3μ=1得（2λ+3μ）2=14λ2+9μ2=1-12λμ，所以24λμ≤1，则λμ≤，所以||2=1-（6+12）μλ≥1-====所以||的最小值为．故答案为：或写作（-）．先由|-x|（其中x为实数）的最小值为1，可|-x|2=9x2-12xcosA+4=9+4-4 co s2A，所以当x═cosA时，得4-4cos2A=1，解得A=，又由2λ+3μ=1得（2λ+3μ）2=1再由||2=（λ+μ）2=4λ2-6μλ+9μ2=1-（6+12）λμ，且2λ+3μ=1，得λμ≤，所以||2=1-（6+12）λμ≥1-=，则得||的最小值为．本题考查平面向量的线性运算法则的灵活性，准确性，同时也考查了基本不等式的应用，该题目难度比较大，属于难题．16.【答案】-1或33【解析】解：令sinx+cosx=t，则sin2x=t2-1，f（t2-1）=13t+16，令所以．故答案为：-1或33令sinx+cosx=t，根据完全平方公式，可得sin2x=t2-1，令，解得答案．本题考查的知识点是函数求值，三角函数化简求值，换元法，难度中档．17.【答案】解：（Ⅰ）由题设图象知，△ ，可得：周期T=π，∴．∵点，在函数图象上，∴ ，即，∈，从而．A=2．故函数f（x）的解析式为．令，∈，解得，∈，即为函数f（x）图象的对称轴方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=2sin[2（x-）+）=2sin（2x），然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（2υx），要使得y=g（x）在[0，5]内有5个函数值为2的点，只需满足：（4+）T≤5≤（5+）T，即：（4+）≤5≤（5+），解得：＜．【解析】（Ⅰ）利用三角形面积公式结合函数图象可求周期，利用周期公式可求ω，由点在函数图象上，结合范围，可求，可得函数f（x）的解析式为，令，即可解得函数f（x）图象的对称轴方程．（Ⅱ）利用三角函数的变换，求出g（x）函数的解析式，然后结合正弦函数的图象和性质，可求v的值的范围．本题考查三角函数的变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，设点P（x0，2），则，，由可知，-3x0=2（-2-x0），解得x0=4；又点Q是边AB上一点，可设，，∴Q的坐标为（-4k+2，-4k+3）；由，得（-4k+2，-4k+3）•（2，-1）=0，所以Q的坐标为（1，2）；（Ⅱ）设，则0≤λ≤1，∴•=（+）•（+）=（+λ）•[+（1-λ）]=•+λ（1-λ）•+（1-λ）+λ=-8λ2-7λ+28，（0≤λ≤1），得•的取值范围是[13，28]．【解析】（Ⅰ）由题意设点P的坐标，利用向量的坐标表示与共线定理求得点P；利用向量垂直时的数量积为0列方程求得Q的坐标；（Ⅱ）根据平面向量的数量积运算与函数的性质，求得•的取值范围．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）=cos2x+sin2x+（sin x-cos x）（sin x+cos x）=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin（2x-），令，∈；得，∈，所以函数f（x）在区间，上的增区间为，；令，∈；得，∈，所以函数f（x）在区间，上的减区间为，和，；（Ⅱ）因为＜＜，，由得＜，＜＜，＜＜，所以，因为，，，所以，所以，又C为钝角，所以．【解析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性，即可求出f（x）在区间上的增区间和减区间；（Ⅱ）根据题意，利用三角恒等变换，即可求得cosC的值．本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=-x|x-2|+1=x，当x≥2时，方程化简为：x2-x-1=0，解得：x=或x=（舍去），当x＜2时，方程化简为：x2-3x+1=0，解得：x=（舍去），或x=，∴或．（Ⅱ）当，作出示意图，注意到几个关键点的值：，，最值在f（1），f（2），f（a）中取．当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上递增，[a，3]上递减，故f（x）max=f（a）=1；当＞时，在，上递减，，上递增，而，故若a＜4，f（x）max=f（3）=10-3a 若a≥4，f（x）max=f（1）=2-a综上：＜＜＞（Ⅲ）∵当x∈（0，+∞）时，f（x）max=1，故问题只需在给定的区间内（x）≥-2恒成立，由，分两种情况讨论：当＜时，即＞时，M（a）是方程x2-ax+1=-2的较小根∈，当时，即＜时，M（a）是方程-x2+ax+1=-2的较大根∈，综上＞＜，且∈，，．【解析】（Ⅰ）f（x）=-x|x-2|+1=x，通过x与2的大小讨论，求解函数的零点即可．（Ⅱ）当，作出示意图，注意到几个关键点的值求解函数的最值的表达式即可．（Ⅲ）∵当x∈（0，+∞）时，f（x）max=1，故问题只需在给定的区间内（x）≥-2恒成立，由，分两种情况讨论：当时，当时，转化求解即可．本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于中档题．当x≥2时，方程化简为，。
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杭州二中第一学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知：}0tan {},02{2≥=≤--=ααB x x x A ，则AB =( )(A)[]2,1- (B) []1,0 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,1π 2. 某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有( )人.（A ）2700 (B)3000 (C)3700 (D)4000 3. 方程lg 82x x =-的根(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k =( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. 下列说法中，正确的个数是（ ）(1)在频率分布直方图中，中位数为最高的直方图的中点. (2)平均数是频率分布直方图的“重心”.(3)如果将一组数据的平均数加入这组数据，则这一组数据的平均数不变.(A)3 (B)2 (C)1 (D) 05. 有两个质地均匀、大小相同的正方体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．把两个玩具各抛掷一次，向上的面写有的数字之积能被4整除的概率为（ ） (A)41 (B) 31 (C) 187 (D)1256. 设()xf x a =，13()g x x =，()log a h x x =，且a 满足2log (1)0a a ->，那么当1x >时必有（ ）(A)()()()h x g x f x << (B)()()()h x f x g x << (C)()()()f x g x h x <<(D)()()()f x h x g x <<7.若函数)0(||)(2≠++=a c x b ax x f 有四个单调区间，则实数c b a ,,满足( )（A ）0,042>>-a ac b （B ）042>-ac b （C ）02>-a b （D ）02<-ab 8.周长相等的扇形与圆形面积分别为21,s s ，则21s s 的范围是（ ）(A) )21,0((B) ]4,0(π (C) ]2,0(π(D) ]1,0(9. 若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是( )(A)[0,]4π (B)[,]4ππ (C)5[,]44ππ (D)3[,)42ππ10.已知函数2()()f x ax bx c x R =++∈)0(>a 的零点为)(,2121x x x x <，函数)(x f 的最小值为0y ，且),[210x x y ∈，则函数))((x f f y =的零点个数是（ ） (A)2或3 (B)3或4 (C)3 (D)4二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 已知[]3,1,log )(3∈=x x x f ，则函数[])(2)(2x f x f y +=的值域为_________．12. 已知一组数据：2012,2011,,2009,2008a 的方差为2，则=a __________． 13. 已知sin cos θθ+=51,(2π＜θ＜π),则θtan =__________． 14.出6,4,2,猴子就往上跳一级；若掷出5,1,15.若此程序恰好运算3次，则x 16.函数b ax x x f +++=1)(,)1(≠b 若存在三个互不相等的实数,,,321x x x 使f 则=a ．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12.13.14. 15. 16. 三、解答题：本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本题满分10分） 在生产过程中，测得某产品的直径（单位mm ） 共有100个数据，将数据分组如右表： (1)画出频率分布直方图；(2)若原始数据不慎丢失，试从频率分布直方图估计出直径的众数与中位数．18. （本题满分12分）已知,,(,),(0,)22ππαβαβπ∈-∈，且等式：sin(3))2ππαβ-=-))απβ-=+同时成立．(1) 求,αβ；(2) 若γ满足:βγαγγγγsin tan tan sin 1sin 1sin 1sin 1=+---+，求γ的范围．19. （本题满分10分）将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个．(1)求有偶数号球放入奇数号盒子的概率；(2)记)(i f 为放入i 号盒子内的小球编号与盒子编号之差的绝对值（4,3,2,1=i ），求4)4()3()2()1(≤+++f f f f 的概率．（本题满分14分） 已知函数：123)(2--=mx x x f ,47)(-=x x g ． (1)求证:一定存在)2,1(0-∈x ，使0)(0≥x f ；(2)若对任意的)2,1(-∈x ,)()(x g x f ≥，求m 的取值范围；(3))(x h 为奇函数,当0≥x 时,12)()(++=mx x f x h ,若)sin (2)(3α+≤x h x h 对R ∈α恒成立,求x 的取值范围．杭州二中第一学期高一年级期末考数学答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. []3,0 12. 2010 13. 2-14.8515. ]28,10( 16. 1± 三、解答题：本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本题满分10分） 在生产过程中，测得某产品的直径（单位mm ） 共有100个数据，将数据分组如右表： (1)画出频率分布直方图；(2)若原始数据不慎丢失，试从频率分布直方图估计出直径的平均数与中位数． 16. 解（1）（2）．众数为:140,中位数为:8.14043021138=⨯+ 10分17.（本题满分12分）已知,,(,),(0,)22ππαβαβπ∈-∈，且等式： sin(3)cos(),2ππαβ-=-))απβ-=+同时成立．(1)求,αβ；(2)若γ满足:βγαγγγγsin tan tan sin 1sin 1sin 1sin 1=+-+-+,求γ的范围. 解:(1)由题意:⎩⎨⎧==)2(,cos 2cos 3)1(,sin 2sin βαβα 2分:)2()1(22+1cos 22=α所以:22cos =α,代入(1)(2),22sin .21sin ,23cos ===αββ,所以6,4πβπα==6分(2)化简得:γγγγcos sin 2cos sin 2= 8分 故:0sin =γ或0cos >γ 10分 所以Z k k k k ∈+++-∈},2{)22,22(ππππππγU 12分19. （本题满分10分）将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个,(1)求有偶数号球放入奇数号盒子的概率；(2)记)(i f 为放入i 号盒子内的小球编号与盒子编号之差的绝对值（4,3,2,1=i ），求4)4()3()2()1(≤+++f f f f 的概率．解: (1)因为:偶数号球放入偶数号盒子的概率为:61244= 所以有偶数号球放入奇数号盒子的概率为:65611=- 4分(2) 0)4()3()2()1(=+++f f f f 1种 5分1)4()3()2()1(=+++f f f f 0种 6分 2)4()3()2()1(=+++f f f f 3种 7分3)4()3()2()1(=+++f f f f 0种 8分 4)4()3()2()1(=+++f f f f 6种 9分所以4)4()3()2()1(≤+++f f f f 的概率为1252410=10分 （本题满分14分）已知函数：123)(2--=mx x x f ,47)(-=x x g ，(1)求证:一定存在)2,1(0-∈x ，使0)(0≥x f ；(2)若对任意的)2,1(-∈x ,)()(x g x f ≥，求m 的取值范围．(3) )(x h 为奇函数,当0≥x 时,12)()(++=mx x f x h ,若)sin (2)(3α+≤x h x h 对R ∈α恒成立,求x 的取值范围.解:(1) 若存在)2,1(0-∈x ，使0)(0≥x f只需022)1(>+=-m f 或0114)2(>+-=m f即:R m ∈ ,证毕. 4分（2）47||1232-≥--x mx x ，对任意的)2,1(-∈x 恒成立, ①当20<<x 时，043)12(32≥++-x m x ，即12433+≥+m x x 在20<<x 时恒成立因为3433≥+x x ，当21=x 时等号成立．所以123+≥m ，即1≤m②当01<<-x 时，043||)12(||32≥+-+x m x ，即m x x 21||43||3-≥+在01<<-x 时恒成立，因为3433≥+x x ，当21-=x 时等号成立． 所以m 213-≥，即1-≥m③当0=x 时，R m ∈．综上所述，实数m 的取值范围是]1,1[-． 9分(3)x x x h 3)(=,在R 上单调递增 )sin (2)(3α+≤x h x h 可以化为)sin 22()3(α+≤x h x h即:αsin 223+≤x x 对R ∈α恒成立αsin 232-≤x 对R ∈α恒成立所以]26,(---∞∈x 14分。
杭州市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题
杭州市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(),0-∞或()1+∞，B ．()(),01-∞⋃+∞，C ．()1+∞，D ．()0,12．设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．03．命题“01x ＞，∃使得2010x -≥”的否定是（ ） A.0x 1,∃>使得20x 10-<B.x 1∀>，使得2x 10-<C.0x 1,∃≤使得20x 10-<D.x 1∀≤，使得2x 10-<4．已知0a b >>，0c d <<，则下列结论一定成立的是( ) A ．a c b d +>+B ．a c b d ->-C ．ac bd >D ．cd ab >5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A.32-B.12C.16D.326．在△ABC 中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形7．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是( )A.420B.210C.70D.358．8张卡片上分别写有数字12345678、、、、、、、，从中随机取出2张，记事件A =“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B =“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则()|=P B A （ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 9．在ABC ∆中，2AB AC =,AD 是A ∠的平分线，且AC tAD =,则t 的取值范围是( ) A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫⎪⎝⎭10．若圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x ﹣y+m ＝0的距离为，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[﹣2，2]D ．（﹣2，2）11．已知圆2221:C x y r +=，圆222:()()C x a y b -+-(0)r >交于不同的11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，给出下列结论：①1212()()0a x x b y y -+-=；②221122ax by a b +=+；③12x x a +=，12y y b +=.其中正确结论的个数是 A.0B.1C.2D.312．某学校在数学联赛的成绩中抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的分布直方图，这100名学生成绩的中位数估值为（ ）A.80B.82C.82.5D.84二、填空题13．双曲线22154x y-=的焦距为__________，渐近线方程为________．14．设函数，则__________．15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以的Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。
浙江省杭州二中高一上学期期末试题数学.pdf
一、课程标准 通过读图分析，使学生了解中东地区水资源贫乏这一特征，以有造成这一特征的根本原因 气候干旱 使学生了解中东地区文化的多样性，以及由于多种文化的汇聚而产生的冲击，从而进一步了解中东地区成为世界焦点的原因 通过了解阿拉伯国家的一些风俗习惯，使学生认识到人类对生活环境的适应性；通过了解以色列的干旱农业，使学生认识到人类对生活环境的主观能动性。
二、教学重点1、 中东地区干旱的气候2、 中东地区的文化差异 三、讲授方法和教学前准备 教学课件 查找一些资料和照片，内容包括以色列的干旱农业以及中东地区的各宗教和民族 查找中东地区的新闻资料，分析其中的原因 四、教学过程 师 生 活 动教学提示与建议[导入]上节课我们已经了解中东地区发展经济的优势条件；现在请大家看看这幅图 图 展示课件：中东的河流图 学生：沙漠面积广大 讲述：阿拉伯半岛上竟然一条河流也没有。
想一想，为什么这里沙漠广布，河流稀少？ 活动：“麦地那年内各月气温和降水图”，请学生描叙热带沙漠气候的气候特征。
展示课件：中东的河流图 提问：上面的说明这里常出现很多国家争夺一条河流的情况，你能解释一下为什么会这样？ 提示：由于干旱气候，才使水资源在这里显得尤为珍贵 讲述： 这样的气候特征对当地人们的生活造成了哪些影响呢？（阅读材料课本56页） 转接： 既然这里水资源如此缺乏，那么这里能不能发展农业？ （可以发展节水农业） 展示图片：（以色列的节水农业、喷灌、滴灌） 解释： 以色列国土三分之二都是沙漠，全年7个月无雨。
然而，正是在这块贫瘠缺水的土地上，以色列人靠科学用水，建成了现代农业，令世界惊叹。
滴灌使水、肥利用率高达90％，同时防止了土壤盐碱化。
小结： 我们中国西部也有与以色列相类似的情况，在农业生产上，也应该向他们学习。
转接： 我们已经了解了中东地区战争频繁的自然原因，有没有人文原因？你们已经查找了中东地区冲突的相关资料，谁能为大家分析一下？ （民族、种族、宗教、领土、历史等方面） 总结： 学习了这一节内容，你们应该对中东地区有一个全面的认识。
浙江省杭州市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题
浙江省杭州市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题 1．已知，，若，则的值是（ ）A.-1B.1C.-4D.42．集合,A B 的关系如图所示，则 “x B ∈”是“x A ∈”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命。
据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（ ） A ．67B ．2125C ．4950D ．不确定4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A.12.5；12.5B.13；13C.13；12.5D.12.5；135340y ++=的倾斜角大小是（ ） A ．6π-B ．3π C ．65π D ．23π 6．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,2,3B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）．A ．{}4B ．{}2,4C ．{}4,5D ．{}1,3,47．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．238．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A ．63B ．64C ．65D ．669．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =ð（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-10．在平面上，四边形ABCD 满足AB DC =，0AC BD ∙=，则四边形ABCD 为（ ） A ．梯形 B ．正方形C ．菱形D ．矩形11．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A.045,1B.0135,1-C.090，不存在D.0180，不存在12．已知函数32()2f x ax x x c =-++在上有极值点，则a 的取值范围是（ ） A.4(0,)3B.(,0)-∞C.4[0,)3D.4(,)3-∞二、填空题13．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是 ．14．函数21()ln 2f x x x =-的单调减区间为____．15．已知直线a ，b 和平面α，若//a b ，且直线b 在平面α上，则a 与α的位置关系是______． 16．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.80.9y x =+$，那么表中t 的值为________.17．随着经济的发展，某地最近几年某商品的需求量逐年上升.下表为部分统计数据： 年份需求量为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令，.（1）填写下列表格并求出关于的线性回归方程： 时间代号 （万件））根据所求的线性回归方程，预测到年年底，某地对该商品的需求量是多少？（附：线性回归方程，其中，）18．现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量表示，数据如下表： （Ⅰ）求关于的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；（Ⅱ）利用（I ）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；（Ⅲ）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为19．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点.（1）求椭圆方程； （2）设不过原点O 的直线，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为，满足，求的值.20．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：，）参考数据：，.21．已知集合P＝，函数的定义域为Q.（Ⅰ）若P Q，求实数的范围；（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.22．某百货公司1～6月份的销售量与利润的统计数据如下表：销售量利润（1）根据2至5月份的数据，画出散点图求出关于的回归直线方程.（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？请说明理由..【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．262n n -+14．1(0,)215．//a α或a α⊂ 16．4. 三、解答题17．（1）见解析（2）万件.【解析】分析：（1）根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（2）当时，，所以，则，从而可得结果.详解：（1）列表如下： 时间代号 （万件） ∵，，，，∴，，∴.（2）解法一：将，，代入得到：，即，∴当时，， ∴预测到年年底，该商品的需求量是万件.解法二：当时，，所以， 则.所以预测到年年底，该某商品的需求量是万件.点睛：本题主要考查线性回归方程，属于中档题. 求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 18．(1).(2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高.(3) .【解析】分析：（1）根据表中数据计算、，求出回归系数，写出回归方程；（2）根据（Ⅰ）中的线性回归方程知x与y是正相关，计算x=95时y的值即可；（3）从中任选连个的所有情况有共六种，至少有一个分数在90分以下的情况有3种，根据古典概型的计算公式进行计算即可.详解：（Ⅰ）由题得，所以所以线性回归方程为（Ⅱ）由于.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高当时，（Ⅲ）由于95分以下的分数有88,90,90,92，共4个，则从中任选连个的所有情况有，，，，，，共六种.两人中至少有一个分数在90分以下的情况有，，，共3种.故选派的这两个人中至少有一人考核分数在90分以下的概率 .点睛：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题. 对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.19．（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意列出方程组：解出即可；（2）联立直线和椭圆得到方程：(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，4k＝k1＋k2＝，由韦达定理得到表达式，进而得到结果.【详解】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则由题意得解得a＝2，b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，令Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，得m2<4k2＋1(*)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴k1＝，k2＝，则4k＝k1＋k2＝＋＝＝＝2k－，∴m2＝，满足(*)式，故m2＝.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．20．(1) (2) 该小组所得线性回归方程是理想的【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．试题解析：（1）由数据求得由公式求得再由所以关于的线性回归方程为（2）当时，，；同样，当时，，所以，该小组所得线性回归方程是理想的.点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21． (1) （2）【解析】【分析】（Ⅰ）由题得不等式在上有解，即有解，求出即得解. （Ⅱ）由题得在有解，即求的值域得解.【详解】（Ⅰ）P＝，P Q，不等式在上有解，由得，而，（Ⅱ）在有解，即求的值域，设【点睛】（1）本题主要考查集合的运算，考查不等式的有解问题和方程的有解问题，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2),22．(1) ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求出，，由公式，得的值，从而求出的值，从而得到关于的线性回归方程；（2）由（1）能求出该小组所得线性回归方程是理想的.试题解析：(1)计算得，，，，则，.故关于的回归直线方程为．(2)当时，，此时；当时，，此时．故所得的回归直线方程是理想的．。
杭州二中2018学年第一学期高一年级期末考数学试
杭州二中2018学年第一学期高一年级期末考数学试卷时间：100分钟 命题：孙惠华 核对：谢丽丽一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1.cos 600=（ ）A.12B.12- C. - 2.集合{}1,0,1A =-，{}sin ,B y y x x R ==∈，则（ ）A.A B B ⋂=B.A B B ⋃=C. A B =D.R C A B =3.下列函数在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.32()f x x x =-B.()tan f x x =C. ()ln f x x x =-D.()1x f x x =+ 4.将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位后，横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则所得到的函数解析式为（ ）A.2cos 2y x =B.2sin(2)6y x π=+C. 1sin 22y x = D.2sin 2y x = 5.向量,a b 满足1,2a b ==，且,a b 的夹角为150，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）B. C. D.6.已知函数()11f x x x =++-，若()()f a f b =，则下列结论一定不正确的是（ ）A.1()ab a b >≠B.0a b +=C. ()(1)10a b -->D.a b =7.已知0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若θ满足不等式33cos sin cos ln sin θθθθ-≥，则θ的取值范围是（ ） A.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.函数()ln 12sin 23f x x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递减区间是（ ）A.5,,1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B.711,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C.,,124k k k Z ππππ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭ D.511,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9.如图，四边形ABCD 满足2,1AB DC ==，,M N 分别是,BC AD 的中点，,BA CD 的延长线分别与MN 的延长线相交于,P Q 两点，若3PQ AB PQ DC =+，PQ MN λ=，则实数λ的值是（ ）A.2B.1C. -2D.-110.定义1M 是函数()xf x e e =-的零点，2481625log 27log 25log 8M =，223sin M x x =(0)x ≠，则有（ ）A.213M M M <<B.123M M M <<C. 321M M M <<D.231M M M <<二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）11.已知向量()1,3OA =-，()1,2OB =，()2,5OC =-，若G 是ABC ∆的重心，则OG 的坐标是 。
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杭州二中 2018 学年第一学期高一年级期末考
数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. cos 600︒ = （ ）
A. 12
B. -12
C.
D.
2.集合 A = {- 1，0，1}，B = {y y = sin x , x ∈ R }，则
A. A ⋂ B = B
B. A ⋃ B = B
C. A = B
D. C R A = B
3.下列函数在 (0，+ ∞)上单调递增的是（
） A. f ( x ) = x 3 - x 2 B. f ( x ) = tan x C. f ( x ) = ln x - x D. f ( x ) =
1x x +
4.将函数 y = sin(2 x +3π
) 的图像向右平移6π
个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的 2
倍，则所得函数的解析式为（ ）
A. y = 2 cos 2 x
B. y = 2 s in(2 x +
6
π) C. y = 12sin 2 x D. y = 2 s in 2 x 5.已知向量a , b 满足1,2a b == ，且a , b 的夹角为150 ，则向量 a 在向量 b
的投影为（）
B.
D. 6.已知函数 f ( x ) =1x ++1x -, 若 f (a ) = f (b ) ，则下列一定不正确的是（）
A. ab > 1(a ≠ b )
B. a + b = 0
C. (1 - a ) (1 - b ) > 0
D. a = b
7.已知[0,]2
πθ∈，若θ满足不等式33cos sin cos ln
sin θθθθ-≥，则θ的取值范围是（） A. [,)42ππ B. (0,]4π C. [,]43ππ D. [,]42ππ
8.函数 f ( x) = ln(1- 2 sin(
3π-2 x )的单调递减区间是（ ） A 5(,)1212k k ππππ-+
, k ∈ Z B. 711(,)1212
k k ππππ++, k ∈ Z C. [,)124k k ππππ-+, k ∈ Z D. 511(,)1212k k ππππ++, k ∈ Z 9.如图，四边形 ABCD 满足2,1AB CD ==，M , N 分别是 BC , AD 的中点， BA , C D 的 延长线与 MN 的延长线相交于 P , Q 两点，PQ AB = PQ DC + 3, PQ = λMN ,则实数λ的值是（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
10.定义M1 是函数f (x) =e x -e的零点，M2 =log4 27·log81 25·log625 8 ，M 3= | sin x2 |(x≠
0) ，则有（）
A. M2 <M1 <M3
B. M1 <M2 <M3
C. M3 <M2 <M1
D. M2 <M3 <M1
二、填空题(本大题有7 小题，每小题4 分，共28 分)
11.已知向量OA=(-1,3) ，OB=(1,2) ，OC=(2,-5) ，若G 是∆ABC 的重心，则OG的坐标是
12.函数y =sin1
2sin
x
x
-
-的值域是.
13.设平面向量a ，b 满足2a +b =(3,3) ，a - 2b =(-1,4) ，若a ，b 的夹角为θ，则cosθ=
14.函数
tan,0
()2
sin,0
x x
f x
a x x
π
π
⎧
--<<
⎪
=⎨
⎪≤≤
⎩
，若函数g (x)=f (f (x))恰有3 个不同的零点，则
实数a的取值集合为
15.边长为2 的等边三角形ABC 所在的平面上有点O，若0
OA OB =，则OA OC的取值范围是
16.定义函数f (x )=1
3sin4x +
1
4 cos4x ，若f
(θ)=
1
7，则tanθ=
17. 关于x 的不等式x2 -a x+ 4 < 0 的解集中仅含有4 个不同的整数，则实数a 的取值范围是.
三、解答题
18. (本题满分 10 分)已知向量a , b 的夹角为 60︒ ，且1,2a b ==
（1）在指定的位置用尺规作出向量 2a -12b （2）求a -b 与 2a +b 的夹角的余弦值；
（3）求b a λ- (λ∈ R ) 的最小值.
19. (本题满分 10 分) 定义函数 f ( x ) = 3 s in(2 x -
3π)
（1）求函数 y =()f x 的最小正周期；
（2）将函数 y = f ( x ) 的图像向左平移ϕ(ϕ> 0) 个单位得到 y = g ( x ) 的图像关于 y 轴对 称，求ϕ的最小值；
（3）判断方程()f x = log 2x 的根的个数（不需要写出解答过程）
20. 定义在 R 上的单调函数 f ( x ) 满足： f ⎣⎡ f ( x ) - x x ⎦⎤ = 0 .
（1）求证： f ( x ) = x x ；
（2）若 f (sin θ) + f θ)
< 0 ，求θ的取值范围； （3）对任意的 x ≥ 1有不等式 f ( x + m ) + mf ( x ) < 0 恒成立，求实数 m 的取值范围.
21. 定义函数f (x)=ax2 +bx +a .
（1）若方程f (x)=x 有唯一的根，求a,b 满足的关系式；
（2）若a =1,b=-3，求函数g (x)=x
（3）若对任意的x∈不等式0 ≤ f (x)≤4x恒成立，求实数a +b 的取值范围.。