几何图形中的综合探究问题

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立体几何综合问题探究PPT课件

认识到解答过程书写的重要性，关键步骤，重要
结果复查的必要性．
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2.利用向量方法解决空间平行、垂直关系等的探究性问题时，各种空间位置关系的向量表达。
.பைடு நூலகம்
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近5年高考考查：
14 年理 17 证线线平行，求线面成角，确定
（四棱锥）线面相交的交点位置
15 年理 17 证线线垂直，求二面角，当线面
（四棱锥）垂直时，求未知线段长度
16 年理 17 证线面垂直，求线面角，线面平
（四棱锥）行的探究性问题
17 年理 16 线面平行的性质应用，求二面角，
（四棱锥）求线面角
18 年理 16 证线面垂直，求二面角，证线面
. （三棱柱）相交
9
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课堂总结：
运用立体几何中的定理、结论，空间向量等解决了有关立体几何的综合问题，空间想象能力得到了提高；
体会到了数学符号表达的简洁性，严谨的逻辑推理过程，空间向量的应用；
立体几何综合问题例析
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小结：
线上一点、面内一点的向量表达:
点 M 是棱 PC 上一点：
设 PM PC ，再由其他条件求
点 M 是平面 AEF 内一点：
设点 M x, y, z，则 AM 与平面的法向量数量积
为. 0，再结合其他条件确定点 M
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小结：
1.探究性问题的解决过程中，几何方法与向量方法的合理恰当选用；

浙教版四年级数学几何图形探索题

浙教版四年级数学几何图形探索题在数学课程中，学习几何图形是一个重要的内容。

通过几何图形的学习，我们可以培养学生的观察力、逻辑思维和空间想象能力。

本文将针对浙教版四年级数学课本中的几何图形探索题进行分析和解答。

1.正方形与长方形的探究在四年级的数学课本中，我们首先学习了正方形和长方形这两种常见的几何图形。

请考虑以下问题：问题一：能否找到一种方法，将一个正方形切割成两个相等的长方形？为什么？答案：不能。

由于正方形的四条边相等，因此无法找到一条切割线，使得切割后的两个图形完全相等。

一个直观的推理是，如果切割一次，会产生一个长方形和一个不完整的长方形，无法满足两个图形完全相等的条件。

问题二：能否找到一种方法，将一个长方形切割成两个相等的正方形？为什么？答案：可以。

将长方形切割成两个相等的正方形是可能的。

我们可以在长方形的一条边上找到一个中点，然后从该点处作垂直于该边的切割线，将长方形分割成两个相等的正方形。

2.三角形的探究在数学课本中，我们还学习了三角形这一几何图形。

请思考以下问题：问题一：三角形的内角和是多少度？答案：三角形的内角和是180度。

这是由于三角形的三个内角相加等于一条直线上的直角，而一条直线上的角度为180度。

问题二：如何判断一个角是否是直角？答案：一个角是直角的判断方法是判断这个角的度数是否等于90度。

我们可以使用量角器或直尺等工具进行测量，也可以将该角与已知的直角进行比较。

3.圆形的探究圆形是数学中的一个重要几何图形。

请思考以下问题：问题一：如何计算圆的面积？答案：圆的面积可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积，π表示圆周率，r表示半径。

半径是从圆心到圆的任何一点的距离。

通过将圆的半径代入公式中，我们可以计算出圆的面积。

问题二：如何计算圆的周长？答案：圆的周长可以用公式C = 2πr来计算，其中C表示周长，π表示圆周率，r表示半径。

通过将圆的半径代入公式中，我们可以计算出圆的周长。

专题12 立体几何中探索性问题(解析版)

专题12 立体几何中探索性问题专题概述立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．典型例题【例1】（2018•全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=︒，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（2）设D 是11AC 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得//DE 平面1ABC ．若存在，求二面角1E AC B --的余弦值．【分析】（1）推导出1AA AB ⊥，1A A AC ⊥，从而1AC ⊥平面1ABC ，由此能证明平面1ABC ⊥平面11A ACC ．（2）当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面1ABC的距离为d ，由11E ABC C ABE V V --=，求出d A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1E AC B --的余弦值．【解答】证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，1AA AB ∴⊥，又1AA BC ⊥，ABBC B =，1AA ∴⊥平面ABC ，1A A AC ∴⊥．又1A A AC =，11AC AC ∴⊥．又11BC AC ⊥，111BC A C C =，1AC ∴⊥平面1ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ， ∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ．解：（2）当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ，//EF AB ，1//DF AC ，又EFDF F =，1ABA C A =，∴平面//EFD 平面1ABC ，则有//DE 平面1ABC ．设点E 到平面1ABC 的距离为d ，AB AC ⊥，且1AA AB ⊥，AB ∴⊥平面11A ACC ，1AB AC ∴⊥，∴1122BAC S=⨯= 1A A AC ⊥，AB AC ⊥，AC ∴⊥平面11A ABB ，11//AC AC ，11AC ∴⊥平面11ABB ，∴11111182243323C ABE ABE V S AC -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，由1183E ABC C ABE V V --==，解得188333ABC d S=⨯==以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， (0A ，0，0)，(2B ，0，0)，1(0C ，4，4)，(2E ，0，2)，1(0AC =，4，4)，(2AB =，0，0)，(2AE =，0，2)，设平面1AC E 的法向量(n x =，y ，)z ，则1440220n AC y z n AE x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1，1)-，设平面1AC B 的法向量(m x =，y ，)z ，则144020m AC y z m AB x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，取1y =，得(0m =，1，1)-，设二面角的平面角为θ，则6cos ||||32m n m n θ===．∴二面角1E AC B --【例2】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且1BC BB =1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求证：1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB ．【分析】（1）连接1A B ，1A D ，AC ，则△1A AB 和△1A AD 均为正三角形，设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1AO BD ⊥，由四边形ABCD 是正方形，得AC BD ⊥，从而BD ⊥平面1A AC ．进而1BD AA ⊥，由此能证明1BD CC ⊥．（2）推导出11A B A D ⊥，1AO AO ⊥，1AO BD ⊥，从而1AO ⊥底面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法能求出当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB ．【解答】解：（1）连接1A B ，1A D ，AC ，因为1AB AA AD ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以△1A AB 和△1A AD 均为正三角形，于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1AO BD ⊥，又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，而1AO A C O =，所以BD ⊥平面1A AC ．又1AA ⊂平面1A AC ，所以1BD AA ⊥，又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥．（2）由11A B A D ==2BD ==，知11A B A D ⊥，于是1112AO A O BD AA ===，从而1AO AO ⊥，结合1AO BD ⊥，1A A C O =，得1AO ⊥底面ABCD ，所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0D ，1-，0)，1(0A ，0，1)，(1C -，0，0)，(0,2,0)DB =，11(1,0,1)BB AA ==-，11(1,1,0)D C DC ==-，由11(1,0,1)DD AA ==-，得1(1D -，1-，1)．设111([0,1])D E D C λλ=∈，则(1E x +，1E y +，1)(1E z λ-=-，1，0)，即(1E λ--，1λ-，1)，所以(1,,1)DE λλ=--．设平面1B BD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由100n DB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得(1,0,1)n =，设直线DE 与平面1BDB 所成角为θ，则sin |cos ,|2DE n θ=<>=⨯，解得12λ=或13λ=-（舍去），所以当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB ．【变式训练】（2018•全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=︒，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥ （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC（2）设D 是11AC 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使//DE 平面1ABC ，若存在，求点E 到平面1ABC 的距离．【分析】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由侧面11ABB A 是矩形，可得1AA AB ⊥，又1AA BC ⊥，可得1AA ⊥平面ABC ，得到1AA AC ⊥，进一步有11AC AC ⊥，结合11BC AC ⊥，可得1AC ⊥平面1ABC ，由面面垂直的判定得平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（2）当E 为1BB 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，取1AA 的中点F ，连接EF ，FD ，由面面平行的判定和性质可得//DE 平面1ABC ，咋爱优等体积法可求点E 到平面1ABC 的距离为．【解答】（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形， 1AA AB ∴⊥，又1AA BC ⊥，AB BC B =，1AA ∴⊥平面ABC ，1AA AC ∴⊥，又1AA AC =，11AC AC ∴⊥，又11BC AC ⊥，111BC A C C =，1AC ∴⊥平面1ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ， ∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（2）解：当E 为1BB 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图，取1AA 的中点F ，连接EF ，FD ，//EF AB ，1//DF AC ，又EF DF F =，1ABA C A =，∴平面//EFD 平面1ABC ，又DE ⊂平面EFD ，//DE ∴平面1ABC ，又11E ABC C ABE V V --=，11C A ⊥平面ABE ，设点E 到平面1ABC 的距离为d ，∴111122243232d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，得d =∴点E 到平面1ABC专题强化1．（2020•3月份模拟）如图．在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面三角形ABC 是等边三角形）中，1BC CC =，M 、N 、P 分别是1CC ，AB ，1BB 的中点．（1）求证：平面//NPC 平面1AB M ；（2）在线段1BB 上是否存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由．【分析】（1）由M 、N 、P 分别是1CC ，AB ，1BB 的中点．利用平行四边形、三角形中位线定理即可得出1//NP AB ，1//CP MB ，再利用线面面面平行的判定定理即可得出结论．（2）假设在线段1BB 上存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ．四边形11ABB A 是正方形，因此点Q 为B 点．不妨取2BC =．判断10AB MQ =是否成立即可得出结论．【解答】（1）证明：M 、N 、P 分别是1CC ，AB ，1BB 的中点． 1//NP AB ∴，四边形1MCPB 为平行四边形，可得1//CP MB ，NP ⊂/平面1AB M ；1AB ⊂平面1AB M ；//NP ∴平面1AB M ；同理可得//CP 平面1AB M ；又CP NP P =，∴平面//NPC 平面1AB M ．（2）假设在线段1BB 上存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ．四边形11ABB A 是正方形，因此点Q 为线段1BB 的中点．不妨取2BC =．(0M ，1-，1)，(0Q ，1，0)，A 0，0)，1(0B ，1，2)，1(AB =-1，2)，(0MQ =，2，1)-， 10AB MQ =．∴在线段1BB 上存在一点Q ，使1AB ⊥平面1A MQ ，其中点Q 为线段1BB 的中点2．（2020•湖南模拟）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直．已知2AB =，1EF =．（Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅰ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；（Ⅰ）当AD 的长为何值时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60︒？【分析】()I 利用面面垂直的性质，可得CB ⊥平面ABEF ，再利用线面垂直的判定，证明AF ⊥平面CBF ，从而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；()II确定ABF∠为直线AB与平面CBF所成的角，过点F作FH AB⊥，交AB于H，计算出AF，即可求得直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面DCF的法向量1(0,2n t=，平面CBF的一个法向量21(,0)2n AF==-，利用向量的夹角公式，即可求得AD的长．【解答】()I证明：平面ABCD⊥平面ABEF，CB AB⊥，平面ABCD⋂平面ABEF AB=，CB∴⊥平面ABEF．AF ⊂平面ABEF，AF CB∴⊥，⋯（2分）又AB为圆O的直径，AF BF∴⊥，AF∴⊥平面CBF．⋯（3分）AF ⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．⋯（4分）()II解：根据（Ⅰ）的证明，有AF⊥平面CBF，FB∴为AB在平面CBF内的射影，因此，ABF∠为直线AB与平面CBF所成的角⋯（6分）//AB EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FH AB⊥，交AB于H．2AB=，1EF=，则122AB EFAH-==．在Rt AFB∆中，根据射影定理2AF AH AB=，得1AF=．⋯（8分）∴1sin2AFABFAB∠==，30ABF∴∠=︒．∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30︒．⋯（9分）（Ⅰ）解：设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t=>，则点D的坐标为(1，0，)t，则(1C-，0，)t，1(1,0,0),(1,0,0),(2A B F-∴1(2,0,0),(,)2CD FD t==⋯（10分）设平面DCF的法向量为1(,,)n x y z=，则1n CD =，1n FD =，即200.xy tz=⎧⎪⎨+=⎪⎩令z=，解得0x=，2y t=，∴1(0,2n t=⋯（12分）由()I 可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为21(,0)2n AF ==-，依题意1n 与2n 的夹角为60︒，∴1212cos60||||n n n n ︒=，即12=，解得t =因此，当AD DFC 平面FCB 所成的锐二面角的大小为60︒．⋯（14分）3．（2019•全国二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是棱11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//AC 平面1A BD ；（Ⅰ）若AB AC ==12BC BB ==，在棱AC 上是否存在点M ，使二面角1B A D M --的大小为45︒，若存在，求出AMAC的值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）先连接1AB ，交1A B 于点O ，再由线面平行的判定定理，即可证明1//AC 平面1A BD ；（Ⅰ）先由题意得AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设(0M ，a ，0)，(02)a ，求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出a ，进而可得出结果．【解答】证明：（Ⅰ）连接1AB ，交1A B 于点O ，则O 为1AB 中点，连接OD ，又D 是棱11B C 的中点，1//OD AC ∴，OD ⊂平面1A BD ，1AC ⊂/平面1A BD ，1//AC ∴平面1A BD ．解：（Ⅰ）由已知AB AC ⊥，则AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为原点，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则B ，1(0A ，0，2)，D ，2)，(0C0)，设(0M ，a ，0)，(02)a，则1(BA =-，12(A D =0)，1(0A M =，a ，2)-，设平面1BA D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则11220202n BA z n A D x y ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩，取1z =，得(2,n =-1)．设平面1A DM 的法向量为(m x =，y ，)z ，则1120202m A M ay z m A D y ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，2x =-，得(2m =-，2，)a ．二面角1BA D M --的大小为45︒， 2|||2222cos 45|cos ,|||||58m na m n m n a --+∴︒=<>===+，23240a ∴+-=，解得a =-a =， 02a a ∴=， ∴存在点M ，此时23AM AC =，使二面角1B A D M --的大小为45︒．4．（2019•3月份模拟）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 边上一点，BD =122AA AB AD ===．（1）证明：平面1ADB ⊥平面11BB C C ．（2）若BD CD =，试问：1A C 是否与平面1ADB 平行？若平行，求三棱锥11A A B D -的体积；若不平行，请说明理由．【分析】（1）先证AD 与BC ，1BB 垂直，进而得线面垂直，面面垂直；（2）连接1A B 得中点E ，利用中位线得线线平行，进而得线面平行，再利用等分三棱柱的方法求得三棱锥的体积．【解答】解：（1）证明：2AB =，1AD =，BD =AD BD ∴⊥，1AA ⊥平面ABC ，1BB ∴⊥平面ABC ， 1BB AD ∴⊥，AD ∴⊥平面11BB C C ，∴平面1ADB ⊥平面11BB C C ；（2）1A C 与平面1ADB 平行，证明如下：连接1A B 交1AB 于E ，连接DE ，则E 为1AB 中点，BD CD =，1//AC DE ∴，又1AC ⊂/平面1ADB ，DE ⊂平面1ADB ， 1//AC ∴平面1ADB ，利用三等分三棱柱的知识可知， 1111116A A B D A B C ABC V V --=116ABC S AA ∆=⨯ 11162BC AD AA =⨯⨯⨯ 111262=⨯⨯⨯=故三棱锥11A A B D - 5．（2018秋•全国期末）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1//C M 平面11AA B B ；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接1B A ，推导出四边形11AB C M 是平行四边形，从而11//C M B A ，由此能证明1//C M 平面11AA B B ．（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，推导出AQ BC ⊥，AQ AD ⊥，分别以AQ ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（1）连接1B A ，由已知得，11////B C BC AD ，且1112B C AM BC ==所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11//C M B A ⋯（2分）又1C M ⊂/平面11AA B B ，1B A ⊂平面11AA B B ，所以1//C M 平面11AA B B ⋯（4分）解：（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，因为ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，所以ABC ∆是正三角形，所以AQ BC ⊥，即AQ AD ⊥，由于1AA ⊥平面ABCD ⋯（6分）所以，分别以AQ ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图(0A ，0，0)，1(0A ，0，1)，1(0D ，1，1)，Q 假设点E 存在，设点E的坐标为,0)λ，11λ-，(3,0)AE λ=，1(0,1,1)AD =⋯（7分）设平面1AD E 的法向量(,,)n x y z =则100n AE n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y y z λ+=+=⎪⎩，可取(,3,n λ=-⋯（9分）平面1ADD 的法向量为(3,0,0)AQ =⋯（10分）所以，31|cos ,|33AQ n λ<>==，解得：λ=（11分）又由于二面角1E AD D --大小为锐角，由图可知，点E 在线段QC 上，所以λ=，即1CE =（12分）6．（2019•山东模拟）如图所示的矩形ABCD 中，122AB AD ==，点E 为AD 边上异于A ，D 两点的动点，且//EF AB ，G为线段ED 的中点，现沿EF 将四边形CDEF 折起，使得AE 与CF 的夹角为60︒，连接BD ，FD ．（1）探究：在线段EF 上是否存在一点M ，使得//GM 平面BDF ，若存在，说明点M 的位置，若不存在，请说明理由；（2）求三棱锥G BDF -的体积的最大值，并计算此时DE 的长度．【分析】（1）取线段EF 的中点M ，由G 为线段ED 的中点，M 为线段EF 的中点，可得//GM DF ，再由线面平行的判定可得//GM 平面BDF ；（2）由//CF DE ，且AE 与CF 的夹角为60︒，可得AE 与DE 的夹角为60︒，过D 作DP 垂直于AE 交AE 于P ，由已知可得DP 为点D 到平面ABFE 的距离，设DE x =，则4AE BF x ==-，然后利用等积法写出三棱锥G BDF -的体积，再由基本不等式求最值，并求出DE 的长度．【解答】（1）解：取线段EF 的中点M ，有//GM 平面BDF ．证明如下：如图所示，取线段EF 的中点M ，G 为线段ED 的中点，M 为线段EF 的中点， GM ∴为EDF ∆的中位线，故//GM DF ，又GM ⊂/平面BDF ，DF ⊂平面BDF ，故//GM 平面BDF ；（2）解：//CF DE ，且AE 与CF 的夹角为60︒，故AE 与DE 的夹角为60︒，过D 作DP 垂直于AE 交AE 于P ，由已知得DE EF ⊥，AE EF ⊥，EF ∴⊥平面AED ，则DP 为点D 到平面ABFE 的距离，设DE x =，则4AE BF x ==-，由（1）知//GM DF ，故111333[1(4)](4)332G BDF M BDF D MBF MBF V V V S DP x x x x ---∆====⨯⨯⨯-⨯=-，当且仅当4x x -=时等号成立，此时2x DE ==．故三棱锥G BDF-，此时DE的长度为2．7．（2018•全国模拟）如图，在四棱锥P ABCD-中，90ABC BAD∠=∠=︒，112AD AB BC===，PD⊥平面ABCD，PD=M为PC上的动点．（Ⅰ）当M为PC的中点时，在棱PB上是否存在点N，使得//MN平面PDA？说明理由；（Ⅰ）BDM∆的面积最小时，求三棱锥M BCD-的体积．【分析】（Ⅰ）当N为PB中点时，//MN平面PDA．取PB的中点N，连接MN，由M，N分别为PC，PB中点，可得//MN BC，又//BC AD，得//MN AD，再由直线与平面平行的判定对立即可证明//MN平面PDA；（Ⅰ）由PD⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD，知PD BD⊥，又BD CD⊥，CD PD D=，得BD⊥平面PCD，又M D⊂平面PDC，可得BD M D⊥，进一步得到DBM∆为直角三角形，当MD PC⊥时BDM∆的面积最小，然后利用等积法即可求出三棱锥M BCD-的体积．【解答】解：（Ⅰ）当N为PB中点时，//MN平面PDA．证明如下：取PB的中点N，连接MN，M，N分别为PC，PB中点，//MN BC∴，又//BC AD，//MN AD∴，又DA⊂平面PDA，MN⊂/平面PDA，//MN∴平面PDA；（Ⅰ）由PD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，知PD BD ⊥，又BD CD ⊥，CDPD D =，BD ∴⊥平面PCD ，又M D ⊂平面PDC ，BD M D ∴⊥，DBM ∴∆为直角三角形．当MD PC ⊥时BDM ∆的面积最小．在底面直角梯形ABCD 中，由90ABC BAD ∠=∠=︒，112AD AB BC ===，得CD =BD ∴=在Rt PDC ∆中，由PD =CD =可得PC =MD =则CM =12MCD S ∆∴==．∴1133M BCD B MCD MCD V V S BD --∆===⨯8．（2018•全国二模）直三棱柱111ABC A B C -中，14AC AA ==，AC BC ⊥．（Ⅰ）证明：11AC A B ⊥；（Ⅰ）当BC 的长为多少时，直线1A B 与平面1ABC 所成角的正弦值为13．【分析】（Ⅰ）由BC AC ⊥，1BC AA ⊥，得BC ⊥平面11AA C C ，从而1AC BC ⊥，连结1A C ，四边形11AA C C 是正方形，则11AC AC ⊥，由此能证明1AC ⊥平面1A BC ，从而11AC A B ⊥．（Ⅰ）以C 为原点，CA 、CB 、1CC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法能求出a ．【解答】证明：（Ⅰ）BC AC ⊥，1BC AA ⊥，1ACAA A =，BC ∴⊥平面11AA C C ，又1AC ⊂平面11AA C C ，1AC BC ∴⊥，连结1A C ，四边形11AA C C 是正方形，11AC AC ∴⊥，且1BCAC C =， 1AC ∴⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，11AC A B ∴⊥．解：（Ⅰ）以C 为原点，CA 、CB 、1CC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，设BC a =，则(0C ，0，0)，(4A ，0，0)，(0B ，a ，0)，1(0C ，0，4)，1(4A ，0，4)，1(4A B =-，a ，4)-，(4AB =-，a ，0)，1(4AC =-，0，4)，设平面1ABC 的法向量为(n x =，y ，)z ，则140440AB n x ay AC n x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取x a =，得(n a =，4，)a ，直线1A B 与平面1ABC 所成角的正弦值为13．1|cos A B ∴<，221|||332216n a ==++．解得4a =．9．（2018•新课标Ⅰ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD？说明理由．【分析】（1）通过证明CD AD⊥，证明CM⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC；⊥，CD DM（2）存在P是AM的中点，利用直线与平面平行的判断定理说明即可．【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦CD所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦CD所在平面，CM⊂半圆弦CD所在平面，∴⊥，CM ADM是CD上异于C，D的点．CM DM∴⊥，DM AD D∴⊥平面AMD，CM⊂平面CMB，=，CM∴平面AMD⊥平面BMC；（2）解：存在P是AM的中点，理由：连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得//MC OP，MC⊂/平面BDP，OP⊂平面BDP，所以//MC平面PBD．。

几何图形的关联性与科学探索与实验的拓展的综合题

几何图形的基本性质
定义：几何图形是点、线、面等基本元素的集合分类：分为平面图形和立体图形两大类性质：具有形状、大小、方向和位置等基本属性关联性：几何图形之间存在一定的关联性和相互转化关系
几何图形的关联性表现
相似性：几何图形之间存在形状、大小、方向等方面的相似特征，这些相似性可以用于描述和比较不同图形之间的关系。
几何图形的关联性与科学探索与实验的拓展的综合应用在各个领域的应用越来越广泛，如物理学、化学、生物学等。
未来，几何图形的关联性与科学探索与实验的拓展的综合应用将更加注重跨学科的交叉融合，以推动科学研究的进步。
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随着科技的发展，几何图形的关联性与科学探索与实验的拓展的综合应用将更加深入，能够解决更加复杂的问题。
几何图形的关联性与科学探索与实验的拓展的综合应用
几何图形在科学探索与实验中的应用
物理实验：几何图形在物理实验中常常被用来模拟和解释物理现象，例如光的干涉和衍射实验。
化学反应：在化学反应中，几何图形可以用来描述分子的结构和化学键的排列，对于理解化学反应的本质非常重要。
生物学研究：在生物学研究中，几何图形也被广泛用于描述细胞结构和组织排列，例如DNA的双螺旋结构。
天文学观测：在天文学中，几何图形被用来描述天体的运动轨迹和星系的形状，对于宇宙的探索和观测具有重要意义。
科学探索与实验在几何图形关联性中的应用
综合应用案例分析
几何图形在建筑设计中的应用
几何图形在物理学实验中的应用
几何图形在化学实验中的应用
几何图形在生物学实验中的应用
综合应用的发展趋势与展望
相交性：几何图形之间可能存在相交、相切、相离等关系，这些关系可以用于确定不同图形之间的空间位置和运动状态。

七年级数学几何图形探索题目

七年级数学几何图形探索题目【正文开始】在七年级的数学学习中，几何图形是一个重要的内容。

通过探索几何图形，不仅可以提高学生的观察和思维能力，还可以培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

下面，我们将一起来解答一些关于七年级数学几何图形的探索题目。

1. 问题一：给定一个直角三角形，已知斜边的长度为10cm，其中一个直角边的长度为6cm，求另一个直角边的长度。

解析：根据勾股定理，直角三角形中的斜边的平方等于两个直角边的平方和。

设另一个直角边的长度为x，则有：x² + 6² = 10²x² + 36 = 100x² = 64x = 8所以，另一个直角边的长度为8cm。

2. 问题二：画一个正方形ABCD，边长为5cm。

在边AB上找一点E，使得AE的长度为3cm。

连接DE，求角ADE的度数。

解析：正方形的每个内角都是90度，所以角ADE是一个直角。

根据正方形的性质，AE和DE相等，且均等于半边长。

因此，AE = DE = 2.5cm。

3. 问题三：在一个等边三角形ABC中，点D是AB边上的一点，角ACD的度数为30度。

连接DC和BC，求角BDC的度数。

解析：由等边三角形的性质可知，三个内角均为60度。

角ACD为30度，所以角BCD为60度。

因此，角BDC的度数为60度。

4. 问题四：画一个矩形EFGH，已知EF的长度为4cm，EH的长度为3cm。

连接FG和GH，求角GHE的度数。

解析：我们先计算矩形的两个对角线的长度。

根据勾股定理，对角线的长度为：FG = √(EF² + (2*EH)²) = √(4² + (2*3)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13 cm GH = √(((2*EF)²) + EH²) = √(((2*4)²) + 3²) = √(64+9) = √73 cm根据余弦定理，角GHE的度数可以通过以下公式求解：cos GHE = (FG² + GH² - FH²) / (2 * FG * GH)cos GHE = ((2√13)² + (√73)² - 3²) / (2 * 2√13 * √73)cos GHE = (52 + 73 - 9) / (4√13 * √73)cos GHE = 116 / (4√949)cos GHE = 29 / √949通过查表或计算器，我们可以得到cos GHE的值为 0.993536。

专题六几何图形综合问题

类型一
类比、迁移与拓展类几何综合问题
(1)该类问题常常是先根据特殊的条件结合图形猜想出结论,然后在一般条件下论证结论,最后运用
结论解决问题;或者是在特殊条件下得出结论,改变条件的特殊性(如点的位置发生改变,图形的形状
发生改变等)判断结论是否仍然成立.
(2)解答该类问题注意类比,几问之间层层递进,但是原理相同,图形结构类似或方法类似,或在此基
∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,∴∠DAB=∠AFG=90°,AE=AF,AD=AB=FH,∠EAG=∠AGF,
∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH,
∴△EAD≌△AFH(SAS),∴DE=AH.
又∵AM=MH,∴DE=AM+MH=2AM.
∵△EAD≌△AFH,∴∠ADE=∠FHA.
边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合,先作∠CDF=
∠ABC,再过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的数量
关系是
.
(1)解:∠DCA′
(2)解:AD2+DE2=AE2
①
②
方法运用
(3)如图③所示,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD两边垂直平
∵△AMB≌△HMF,∴∠FHA=∠BAM,∴∠ADE=∠BAM.
又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°,∴∠ADE+∠DAM=90°,
∴∠AND=180°-(∠ADE+∠DAM)=90°,即DE⊥AM.
故DE=2AM,DE⊥AM.
类型三几何多结论判断问题
几何多结论判断问题考查的知识点较多,主要以圆和四边形为核心,解决问题的主要手段是利用三

几何综合探究

图1
解答题突破
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(2)类比探究
如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝
∠OCD＝30°，连接 AC 交 BD 的延长线于点 M．请判断
AC BD
的值及
∠AMB 的度数，并说明理由．
图2
备用图
解答题突破
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(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝ 7 ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
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解答题突破
返回目录
(3)①证明：∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF， ∴△AMN∽△DFN．∴DANN＝MFNN，即MANN＝DFNN．又∠AND＝∠MNF，∴△ADN∽△MFN． ∴∠MFN＝∠ADN＝45°．∵∠MAF＝∠MFA＝45°， ∴△AMF为等腰直角三角形．
几何作图
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解答题突破
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1．如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°， AB＝AC，AD＝AE，△ADE绕点A在平面内旋转，连接BD，CE．
(1)在△ADE旋转过程中，当AD⊥BD时，请画出相应的图形；
(2)若AB＝13，AD＝5，直线BD，CE交于点O，则在(1)的条件下， OB的长为__1_7_或__7___．
1．条件：如图9、图10，∠AOB＝60°，∠DCE＝120°，OC平分 ∠AOB．
图9
图10
解答题突破
结论：如图9，①CD＝CE；②OE＋OD＝ 3OC； ③S△COE＋S△CDO＝ 43OC2．如图10，①CD＝CE；②OE－OD＝ 3OC； ③S△COE－S△CDO＝ 43OC2．

立体几何中的探索性问题

立体几何中的探索性问题一、探索平行关系1．[2016·枣强中学模拟]如图所示，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况)答案：M位于线段FH上(答案不唯一)[解析]连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，故只要M∈FH，则MN?平面FHN，且MN∥平面B1BDD1.2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解：(1)如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.(2分)，ABB1A1上的射影，∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角．(4分(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.事实上，如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面．所以BG?平面A1BE.(8分)因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG，(10分)而B1F?平面A1BE，BG?平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.(12分)3．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A-PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得P A∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD.又∵ABCD是矩形，又AD＝2，∴V A－PDE＝AD·S△PDE＝×2×4＝.(2)取AC中点M，连接EM，DM，∵E为PC又∵EM?平面EDM，P A?平面EDM，∴P A∥平面EDM.∴AM＝AC＝.即在AC边上存在一点M，使得P A∥平面EDM，AM的长为.4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为PB，BC的中点．在线段AC上是否存在点F，使得AD∥平面PEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：假设在AC上存在点F，使得AD∥平面PEF，连接DC交PE于G，连接FG，如图所示．∵AD∥平面PEF，平面ADC∩平面PEF＝FG，∴AD∥FG.又∵点D，E分别为PB，BC的中点，∴G为△PBC的重心，∴＝＝.故在线段AC上存在点F，使得AD∥平面PEF，且＝.5．[2016·北京卷]如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC.(2)求证：平面P AB⊥平面P AC.(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由．解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，所以DC⊥平面P AC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB，所以AB⊥平面P AC，所以平面P AB⊥平面P AC.(3)棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.证明如下：取6(1)(2)所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB?平面P AB，CM?平面P AB，所以CM∥平面P AB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线(2)证明：由已知，P A⊥AB，P A⊥CD.因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD，从而P A⊥BD.因为AD∥BC，BC＝AD，所以BC∥MD，且BC＝MD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面P AB.又BD?平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.7.[2016·阳泉模拟]如图7-41-10，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD.(1)求证：AC⊥PD.(2)在线段P A上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，∴AC⊥PD.(2)在线段P A上存在点E，使BE∥平面PCD，且＝.下面给出证明：∵AD＝3，BC＝1，∴在△P AD中，分别取P A，PD靠近点P的三等分点E，F，连接EF，BE，CF.∵＝＝，∴EF∥AD，且EF＝AD＝1.又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC＝EF，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，又∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD.8．(10分)[2016·河南中原名校联考]如图所示，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△SAD 是等边三角形，且SD＝2，BD＝2，AB＝2CD＝4.(1)证明：平面SBD⊥平面SAD.(2)若E是SC上的一点，当E点位于线段SC上什么位置时，SA∥平面EBD？请证明你的结论．(3)求四棱锥S-ABCD的体积．解：(1)证明：∵△SAD是等边三角形，∴AD＝SD＝2，又BD＝2，AB＝4，＝AD.∴V四棱锥S-ABCD＝S梯形ABCD·SO.∵S梯形ABCD＝×(2＋4)×＝3，∴V四棱锥S-ABCD＝3.二、探索垂直关系1．如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知P A⊥底面列说法错误的是()A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形答案：B[解析]已知P A⊥底面ABC，则P A⊥BC，又AB⊥BC，P A∩AB＝A，则BC⊥平面P AB，BC⊥AE.当AE⊥PB时，又PB∩BC＝B，则AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，A正确．当EF∥平面ABC时，又EF?平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，则EF∥BC，故EF⊥平面P AB，则AE⊥EF，故C正确．当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，PC∩BC＝C，则AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，故D正确．用排除法可知选B.2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案：a或2a[解析]由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF 即可．当CF⊥DF时，设AF＝x，则A1F＝3a－x.由Rt△CAF∽Rt△F A1D，得＝，即＝，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.3．如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案：①②③[解析]由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．4.如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点.(1)求证：EF∥平面ABCD；(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF⊥平面D1MB？并说明理由．解析：(1)证明：∵E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，∴EF∥AB.∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)当＝时，DF⊥平面D1MB.∴FM∥AC.∴DF⊥FM.∵D1D＝AD，∴D1D＝BD.∴矩形D1DBB1为正方形．∵F为BD1的中点，∴DF⊥BD1.∵FM∩BD1＝F，∴DF⊥平面D1MB.5.如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)(2)(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.(2分)又∵DE?平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(4分)(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD.如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，∴A1C⊥平面DEP.(12分)从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.(14分)6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．解析：(1)证明：连接A1B，则AB1⊥A1B，又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，∴AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.7．如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC 于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1-BCD，如图(2)所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．解：(1)证明：在题图(1)中，因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM是△ACF的中位线，所以DM∥EF，则在题图(2)中，DM∥EF，又EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD，且A1E∩EF＝E，所以BD⊥平面A1EF.又A1F?平面A1EF，所以BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF?平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.因为A1B?平面A1BD，所以A1B⊥EF，又EF∥DM，所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，因为A1B⊥DM，CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾，所以假设不成立，所以直线A1B与直线CD不能垂直．。

以解析几何内容为主的综合问题

以解析几何内容为主的综合问题解析几何内容综合问题————————————解析几何学是一门重要的数学学科，是数学的基础，也是许多科学问题的理论基础。

解析几何学主要涉及几何图形的分析、几何图形的构造以及其他解析几何学的问题。

它主要包括平面几何、立体几何以及空间几何等内容。

一、平面几何1、直线：直线是一种无限长的线段，它有无穷多条，可以通过两点来唯一确定，也可以通过一点加斜率来唯一确定。

另外，直线也可以通过一般式表示。

2、圆：圆是一种特殊的曲线，它具有独特的几何性质。

它的定义是由一个圆心和一个半径来唯一确定的。

圆上的任意一点距离圆心的距离都是半径相同的。

3、三角形：三角形是一种特殊的多边形，它由三条直线连接而成，有锐角三角形和钝角三角形之分，其中锐角三角形又有直角三角形、钝角三角形以及钝角三角形。

二、立体几何1、立方体：立方体是一种特殊的三维图形，它由六个正方形构成，正方形的边长相等，且正方形的正面和背面相对应。

此外，立方体还可以用立方体的表面积、体积、表面对角线以及其他参数来表示。

2、球：球是一种特殊的三维图形，它由无数条相交的圆构成，球的半径是所有圆半径的最大值。

球还可以用表面积、体积、球心到球表面距离以及其他参数来表示。

三、空间几何1、平面：平面是一个无限大的二维平面，它可以由三个不共线的直线唯一地决定，也可以由一个直线加上一个垂直于此直线的平行直线唯一地决定。

此外，平面还可以用平面上的三个不共线点来表示。

2、曲面：曲面是一个无限大的三维平面，它可以由四个不共面的平面唯一地决定，也可以由一个平面加上一个垂直于此平面的平行曲面唯一地决定。

此外，曲面还可以用曲面上的四个不共面的曲线来表示。

四、几何问题的解法1、图形分析法：通过分析图形特征来找出问题所要求的数值。

这是最常用的方法之一，例如，通过分析图形特征可以得出三角形或者多边形的内角和或者周长。

2、代数法：通过代数方法来找出问题所要求的数值。

例如，通过利用代数方法可以找出圆或者曲线的方程式或者圆上某一点的坐标值。

《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；（3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

几何综合题(题型概述)

几何综合题【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.类型一以三角形为背景的综合题典例1(2014·江苏泰州)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,EF∥AC.(1)求证:BE=AF;(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.【技法梳理】(1)由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论;(2)首先过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,易求得DG与DE的长,继而求得答案.【解析】(1)∵DE∥AB,EF∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE.∴AF=DE.∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBE.∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.∴BE=AF.(2)过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠EBD=30°.∴DE=BE=2.∴四边形ADEF的面积为DE·DG=6.举一反三1.(2014·湖北武汉)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm 的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.(1)(2)(第1题)【小结】此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.类型二以四边形为背景的综合题典例2(2014·安徽)如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM ∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN=;②求证:PM+PN=3a;(2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;(3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由.(1)(2)(3)【全解】(1)①∵四边形ABCDEF是正六边形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.∵PM∥AB,PN∥CD,∴∠BPM=60°,∠NPC=60°.∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°.故答案为60°.②如图(1),作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,(1)(2)如图(2),连接OE.(2)∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC, ∴AM=BP=EN.又∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE,在△ONE和△OMA中,∴△OMA≌△ONE(SAS).∴OM=ON.(3)如图(3),连接OE.(3)由(2)得,△OMA≌△ONE,∴∠MOA=∠EON.∵EF∥AO,AF∥OE,∴四边形AOEF是平行四边形.∴∠AFE=∠AOE=120°.∴∠MON=120°.∴∠GON=60°.∵∠GON=60°-∠EON,∠DON=60°-∠EON,∴∠GOE=∠DON.∵OD=OE,∠ODN=∠OEG,在△GOE和∠DON中,∴△GOE≌△NOD(ASA).∴ON=OG.又∠GON=60°,∴△ONG是等边三角形.∴ON=NG.∵OM=ON,∠MOG=60°,∴△MOG是等边三角形.∴MG=GO=MO.∴MO=ON=NG=MG.∴四边形MONG是菱形.【技法梳理】(1)①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解,②作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN 求解;(2)连接OE,由△OMA≌△ONE证明;(3)连接OE,由△OMA≌△ONE,再证出△GOE≌△NOD,由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形.举一反三2.(2014·山东烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图(1),当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由.(2)如图(2),当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)(3)如图(3),当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(4)如图(4),当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.(1)(2)(3)(4)(第2题)【小结】主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段.类型三以圆为背景的综合题典例3(2014·江苏苏州)如图,已知l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,☉O的半径为2cm,矩形ABCD 的边AD,AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若☉O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,☉O 的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s),(1)如图,连接OA,AC,则∠OAC的度数为°;(2)如图,两个图形移动一段时间后,☉O到达☉O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).【全解】(1)∵l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,∴∠OAD=45°.∵AB=4cm,AD=4cm,∴CD=4cm,AD=4cm.∴∠DAC=60°.∴∠OAC的度数为∠OAD+∠DAC=105°.(2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设☉O1与l1的切点为点E, 连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,在Rt△A1D1C1中,∵A 1D1=4,C1D1=4,∴tan∠C 1A1D1=.∴∠C1A1D1=60°.∴OO1=3t=2+6.(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,如图,此时☉O移动到☉O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,设☉O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2,∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2.由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°.∴∠O2A2F=60°.在Rt△A2O2F中,O2F=2,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时为位置二,第二次相切时为位置三,由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,【提醒】本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识,利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键.【技法梳理】(1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°,∠DAC=60°,进而得出答案;(2)首先得出,∠C1A1D1=60°,再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2,求出t的值,进而得出OO1=3t得出答案即可;(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,分别求出即可.举一反三3. (2014·浙江宁波)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:方案一:直接锯一个半径最大的圆;方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.(1)写出方案一中圆的半径.(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?(3)在方案四中,设CE=x(0<x<1),圆的半径为y.①求y关于x的函数表达式;②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大.方案一方案二方案三方案四方案备用图方案备用图(第3题)【小结】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容,题目虽看似新颖不易找到思路,但仔细观察每一小问都是常规的基础考点,所以总体来说是一道质量很高的题目,值得认真练习.类型一2. (2014·浙江嘉兴)如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:①CE=CF;②线段EF的最小值为2;③当AD=2时,EF与半圆相切;④若点F恰好落在上,则AD=2;⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是16.其中正确结论的序号是.(第2题)类型二3. (2014·广东珠海)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;.(第3题)4. (2014·浙江温州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O 出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标.(2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形.(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中▱PCOD的面积为S.①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.(第4题)类型三5. (2014·湖南怀化)如图,E是长方形ABCD的边AB上的点,EF⊥DE交BC于点F.(1)求证:△ADE∽△BEF;(2)设H是ED上一点,以EH为直径作☉O,DF与☉O相切于点G,若DH=OH=3,求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,≈1.73,π≈3.14).(第5题)6.(2014·黑龙江大庆)如图(1),已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.(1)用x表示AD和CD;(2)用x表示S,并求S的最大值;(3)如图(2),当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E和点F分别是AB 和CD的中点,求☉O的半径R的值.(1)(2)(第6题)参考答案【真题精讲】(2)如图(1),过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,(第1题(1))∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.∴△ACQ∽△CMP.(3)如图(2),仍有PM⊥BC于点M,PQ的中点设为点D,再作PE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,(第1题(2))∵∠ACB=90°,∴DF为梯形PECQ的中位线.∵BC=8,过BC的中点R作直线平行于AC,∴RC=DF=4成立.∴D在过R的中位线上.∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上.2. (1)AE=DF,AE⊥DF.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF.∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.由于∠CDF+∠ADF=90°.∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF;(2)是.(3)成立.理由如下:由(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF,如图(1),延长FD交AE于点G,(第2题(1))则∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°.∴AE⊥DF;(4)如图(2):(第2题(2))由于点P在运动中保持∠APD=90°,∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△ODC中,OC===,∴CP=OC-OP=-1.3. (1)方案一中的最大半径为1.分析如下:因为长方形的长宽分别为3,2,那么直接取圆直径最大为2,则半径最大为1.(2)如图(1),方案二中连接O1,O2,过O1作O1E⊥AB于E,方案三中,过点O分别作AB,BF的垂线,交于M,N,此时M,N恰为☉O与AB,BF的切点.方案二方案三(第3题)方案二:设半径为r.在Rt△O1O2E中,∵O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=AB-AO1-CO2=3-2r,∴(2r)2=22+(3-2r)2,比较知,方案三半径较大.(3)①∵EC=x,∴新拼图形水平方向跨度为3-x,竖直方向跨度为2+x.类似题(1),所截出圆的直径最大为3-x或2+x较小的.∴方案四时可取的圆桌面积最大.【课后精练】1.①②③④解析:①∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C.∴△ADE∽△ACD.故①结论正确.故③正确.④易证得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16,设BD=y,CE=x,整理,得y2-16y+64=64-10x,即(y-8)2=64-10x,∴0<y<8,0<x<6.4.故④正确.2.①③⑤解析:①连接CD,如图(1)所示.(第2题(1))∵点E与点D关于AC对称,∴CE=CD.∴∠E=∠CDE.∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°.∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.∴∠F=∠CDF.∴CD=CF.∴CE=CD=CF.∴结论“CE=CF”正确.②当CD⊥AB时,如图(2)所示.(第2题(2))∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=8,∠CBA=30°,∴∠CAB=60°,AC=4,BC=4.∵CD⊥AB,∠CBA=30°,根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:点D在线段AB上运动时,CD的最小值为2.∵CE=CD=CF,∴EF=2CD.∴线段EF的最小值为4.∴结论“线段EF的最小值为2”错误.③当AD=2时,连接OC,如图(3)所示.(第2题(3))∵OA=OC,∠CAB=60°,∴△OAC是等边三角形.∴CA=CO,∠ACO=60°.∵AO=4,AD=2,∴DO=2.∴AD=DO.∴∠ACD=∠OCD=30°.∵点E与点D关于AC对称,∴∠ECA=∠DCA.∴∠ECA=30°.∴∠ECO=90°.∴OC⊥EF.∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,∴EF与半圆相切.∴结论“EF与半圆相切”正确.④当点F恰好落在上时,连接FB,AF,如图(4)所示.(第2题(4))∵点E与点D关于AC对称,∴ED⊥AC.∴∠AGD=90°.∴∠AGD=∠ACB.∴ED∥BC.∴△FHC∽△FDE.∴DB=4.∴AD=AB-DB=4.∴结论“AD=2”错误.⑤∵点D与点E关于AC对称,点D与点F关于BC对称,∴当点D从点A运动到点B时,点E的运动路径AM与AB关于AC对称,点F的运动路径NB与AB关于BC对称.∴EF扫过的图形就是图(5)中阴影部分.(第2题(5))∴EF扫过的面积为16.∴结论“EF扫过的面积为16”正确.3. (1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BF.∵AE=CF,∴四边形ACFE是平行四边形.∴EF∥AC.(2)连接BG,(第3题)∵EF∥AC,∴∠F=∠ACB=45°.∵∠GCF=90°,∴∠CGF=∠F=45°.∴CG=CF.∵AE=CF,∴AE=CG.在△BAE与△BCG中,∴△BAE≌△BCG(SAS).∴BE=BG.∵BE=EG,∴△BEG是等边三角形.∴∠BEF=60°.(3)∵△BAE≌△BCG,∴∠ABE=∠CBG.∵∠BAC=∠F=45°,∴△AHB∽△FGB.(2)如图(1),连接CD交OP于点G,(第4题(1))在▱PCOD中,CG=DG,OG=PG,∵AO=PO,∴AG=EG.∴四边形ADEC是平行四边形.(3)①(Ⅰ)当点C在BO上时,第一种情况:如图(2),当点M在CE边上时,(第4题(2))∵MF∥OC,∴△EMF∽△ECO.∴t=1.第二种情况:如图(3),当点N在DE边(第4题(3))∵NF∥PD,∴△EFN∽△EPD.(Ⅱ)当点C在BO的延长线上时,第一种情况:如图(4),当点M在DE边上时,(第4题(4))∵MF∥PD,∴EMF∽△EDP.第二种情况:如图(5),当点N在CE边上时,(第4题(5))∵NF∥OC,∴△EFN∽△EOC.5. (1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠AED=90°-∠BEF=∠EFB.∵∠A=∠B,∠AED=∠EFB,∴△ADE∽△BEF.(2)∵DF与☉O相切于点G,∴OG⊥DG.∵DH=OH=OG,∴∴图中阴影部分的面积约为6.2.6. (1)作AH⊥CD于点H,BG⊥CD于点G,如图(1),(第6题(1))则四边形AHGB为矩形,∴HG=AB=3x.∵四边形ABCD为等腰梯形,∴AD=BC,DH=CG.在Rt△ADH中,设DH=t,∵∠ADC=60°,∴AD=2t,AH=t.∴BC=2t,CG=t.∵等腰梯形ABCD的周长为48,∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x.∴AD=2(8-x)=16-2x,CD=8-x+3x+8-x=16+x.(3)连接OA,OD,如图(2),(第6题(2))当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为×(8-2)=6,则AE=3,DF=9,∵点E和点F分别是AB和CD的中点,∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴.∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6.∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上.设OE=a,则OF=6-a.在Rt△AOE中,∵OE2+AE2=OA2,∴a2+32=R2.在Rt△ODF中,∵OF2+DF2=OD2,∴(6-a)2+92=R2.∴a2+32=(6-a)2+92,解得a=5.∴R2=(5)2+32=84.∴R=2.。

人教课标版九年级数学(下册)专题六《几何综合探究题》PPT课件

有的解题经验综合应用到新的问题情境下）
7、(2017·安徽)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.
（1）如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分
别与边BC,CD交于点E,F. ① 证明:BE=CF; ② 求证:BE2=BC·CE. （2）如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于
数学专题六几何综合探究题
几何综合探究题是指以几何知识为主
或以几何变换为主的一类综合题，涉及知识主要包括几何的定义、公理、定理以及几何变换等内容．
解题策略：解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
几何综合探究题型连续5年作为安徽中考压轴题.主要涉及利用三角形相似或全等的判定及性质进行相关的探究与证明、三角形和四边形的综合探究与证明(常涉及线段的数量和位置关系、求线段长、特殊图形的判定等),这是安徽中考对几何推理与证明能力考查的必然体现.把观察、操作、证明融于一体,展示了数学探究的过程和方法,体现了对数学活动经验的关注,也体现了对培养学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的关注.预计2018年仍会考查与全等或相似三角形有关的探究.（命题预测）
例题、如图示，已；知CD是RtΔABC的斜边AB上的高．
求证：（1）AC2 AD AB
变式一：变换结论（挖掘或推广结论）
1、如图示，已知CD是RtΔABC的斜边AB上的高．求证：（2）CD2 AD BD
（3）BC2 BD BA
变式二：弱化条件；（减少条件，一般化条件，部分开放条件）
1．（08安徽中招20T，本题12分）如图四边形ABCD 和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点， BR分别交AC、CD于点P、Q。（1）请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；（2）求BP∶PQ∶QR

专题4.5 立体几何中探索性问题(解析版)

一．方法综述立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。

考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。

对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。

现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。

二．解题策略类型一空间平行关系的探索【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积可能等于36；④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S【答案】①②③④ 【解析】【分析】根据正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及三角形的面积公式和投影的定义，即可求解，得到答案.【详解】①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NO B C C =，所以平面1A DM平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：13A M ==，根据对称性可知：1A M DM ==，又AD =1A DM 是等腰三角形，则1126A DMS==，故正确；④如图所示，设1AM aAC=，1A DM∆在平面1111DCBA内的正投影为111A D M∆，1A DM∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM∆，所以11111222A D MaS S∆==⨯=，12211222B CMaS S∆-===，当12S S时，解得：13a=，故正确.故答案为①②③④【点评】.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论。

2021年中考数学复习专题五几何综合探究题(精讲课件)

典重例点题精型讲
题组训练
拓展应用 (3)如图 4，在五边形 ABCDE 中，∠A＝∠E＝∠C＝105°， ∠ABC＝90°，AB＝2 3 ，DE＝2，点 P 在 AE 上，∠ABP
＝30°，PE＝ 2 ，求五边形 ABCDE 的面积．
典重例点题精型讲
题组训练
解：类比探究 (1)∵∠1＝∠3，∠D＝∠F＝90°，∴△ADB∽△BFC，
∴xy＝12 ×BD× 3 ×12 ×CE×2 3 ＝12；
典重例点题精型讲
题组训练
③ab＝48，理由如下：过点 O 作 OM⊥AB，交 AB 的延长线于 M，ON⊥AC 于 N，可证△BDO∽△COE，∴BEOC ＝BODC ， ∴BD·EC＝OB·OC＝16，∵∠OBM＝∠ABC＝60°，OB＝2， ∴∠BOM＝30°，∴OM＝ 3 ，∵∠ACB＝60°，OC＝8，
∴AD＝AH＝GE，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，∴BC＝GE，∵∠DAE＝∠EAB＝30°，
∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB＝AN＝NE，
∴GE＝3AB，∴
BC AB
＝3.
典重例点题精型讲
题组训练
类型2 变换型问题例2.(2020·江西一模) (1)方法导引：问题：如图1，等边三角形ABC的边长为6，点O是∠ABC和∠ACB 的角平分线交点，∠FOG＝120°，绕点O任意旋转∠FOG，分别交△ABC的两边于D，E两点，求四边形ODBE的面积．
AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD＝12 BC.
典重例点题精型讲
题组训练
(3)存在．理由：如图 4 中，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BE⊥AD 于 E，作线段 BC 的垂直平分线交 BE 于 P，交 BC 于 F，连接 PA，PD，PC，作△PCD 的中线 PN，连接 DF 交 PC 于 O.∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，在 Rt△ DCM 中，∵CD＝2 3 ，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM ＝2，DM＝4，∠M＝60°，在 Rt△BEM 中，∵∠BEM＝90°， BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝12 BM＝7，∴DE＝EM－ DM＝3，∵AD＝6，∴AE＝DE，∵BE⊥AD，∴PA＝PD， PB＝PC，

2020中考数学二轮复习课件：专题八几何综合探究题

2.
填空:①线段DE与AC的位置关系是
;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系
是
.
21
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解题知识解读
题型分类突破
素养训练提高
(2)当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小智猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试作DM⊥BC,AN⊥CE,垂足分别为M,N,请
∵△ABC,△DEF都为等腰直角三角形,D是BC中点,∴AD=BD,DF=DE,∠ADB+∠ADF=∠FDE+∠ADF,即
∠BDF=∠ADE,
∴△ADE≌△BDF, ∴AE=BF,
19
解题知识解读
题型分类突破
素养训练提高
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(3)当BC=2,在(2)的条件下,当α°=90°时,AE值最大,如图所示:
∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM 中,∠ACN=∠DCM,∠CMD=∠N,AC=DC,∴△ACN≌△DCM(AAS ),∴AN=DM,∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三
角形的面积相等),即S1=S2.
23
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解题知识解读
题型分类突破
素养训练提高
∵BD∠=AB∠C12=A6B0C°=,F310D°∥,∠BFE2,D∴B∠=9F02°F,∴1D∠=∠F1ADBFC2==∠60A°,B∵CB=F610=°,DF1,∠F1 ∴△DF1F2是等边三角形,∴DF1=DF2,
BF,AE的数量关系,并说明理由.
(3)若BC=2,在(2)的条件下,当α°=
°时,AE值最大?并求此时
点A到EF三等分点的距离(画出示意图,并写出求算过程).

中考数学新中考热点问题32图形与几何的综合与实践问题(含答案)

【精彩三年】中考数学新中考热点问题32图形与几何的综合与实践问题1．例【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌的两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A'D'C，∠ADB=∠A'D'C=90°，∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A'D'C的边AD，A'D'重合，再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（o°≤a≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连结BC．（1）当α=60°时，BC= ﹔当BC=22时，α= （2）当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积．（3）如图2，取BC的中点F，将△A'D'C 绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 2．综合实践课上﹐嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图1~图3是其作图过程．（1）作BD的垂真平分线交BD于点O；（2）连结AO，在O的延长线上截取OC=AO；（3）连结DC，BC，则四边形ABCD即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．对角线互相平分﹒D．一组对边平行且相等3．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠” 为主题开展数学活动，有一位同学的操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连结PM，BM，延长PM交CD于点Q，连结BQ．（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB= 度．（2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．4．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF的中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．答案解析部分1．【答案】（1）2；；30或210；（2）解：如图所示：∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，∴AD＝1，∵α＝90°，∴∠BAC＝60°＋60°−90°＝30°，∴∠QAD＝∠BAD−∠BAC＝30°，∴DQ＝AD3=33，∴S△ADQ＝12×1×33=36，∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，∴四边形ADPD'是正方形，∴DP＝AD＝1，∴S△APD＝12×1×1＝12，∴S△APQ＝12−36，同理S△AD'R＝12−36，∴两块三角板重叠部分图形的面积为1−33；（3）2π【知识点】旋转的性质；三角形的综合；圆-动点问题【解析】【解答】解：（1）如图所示：∵∠ADB＝∠A'D'C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，∴∠BAD＝∠D'AC＝60°，∴当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝2；当BC＝22时，过A作AH⊥BC于H，如图所示：∵AB＝AC，∴BH＝CH＝12BC＝2，∴sin∠BAH＝BHAB=22，∴∠BAH＝45°，∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，∴α＝120°−90°＝30°；如图所示：同理可得∠BAC＝90°，∴α＝60°＋90°＋60°＝210°，∴当BC＝22时，α＝30°或210°；故答案为：2，30或210；（3）连接AF，如图所示：∵AB ＝AC ，F 为BC 中点，∴∠AFB ＝90°，∴F 的运动轨迹是以AB 为直径的圆，∴点F 的运动路径长为2π×AB 2＝2π．故答案为：2π．【分析】（1）先证出△ABC 是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得BC 的长；分类讨论，先分别画出图形并利用角的运算求出 α 的度数即可；（2）先利用三角形的面积公式求出S △APQ ＝12−36，S △AD'R ＝12−36，再计算出阴影部分的面积即可；（3）连接AF ，先证出F 的运动轨迹是以AB 为直径的圆，再利用弧长公式求解即可.2．【答案】C【知识点】平行四边形的判定【解析】【解答】解：根据作图步骤及痕迹，可得：DO=BO ，AO=CO ，∴利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判断方法可得答案；故答案为：C.【分析】先根据作出痕迹和步骤证出DO=BO ，AO=CO ，再利用平行四边形的判定方法分析求解即可.3．【答案】（1）30（2）解：∠MBQ ＝∠CBQ ，理由如下：∵在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，∴AB ＝BM ，∠A ＝∠BMP ＝90°，∴BC ＝AB ＝BM ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，∵BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ （HL ）；∴∠MBQ ＝∠CBQ ．【知识点】直角三角形全等的判定-HL ；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：（1）由折叠可得：AE ＝BE ＝12AB ，∠AEM ＝∠BEM ＝90°，AB ＝BM ，∴BE ＝12BM ，∴∠EMB ＝30°；故答案为：30；【分析】（1）利用折叠的性质可得AE ＝BE ＝12AB ，AB ＝BM ，利用等量代换可得BE ＝12BM ，再证出∠EMB ＝30°即可；（2）先利用“HL”证出Rt △BMQ ≌Rt △BCQ ，再利用全等三角形的性质可得∠MBQ ＝∠CBQ ．4．【答案】（1）证明：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，∴∠FAB 与∠EBA 互余，∴四边形ABEF 是邻余四边形；（2）解：如图所示. (答案不唯一)（3）解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴BD ＝CD ，∵DE ＝4BE ，∴BD ＝CD ＝5BE ，∴CE ＝CD ＋DE ＝9BE ，∵∠EDF ＝90°，点M 是EF 的中点，∴DM ＝ME ，∴∠MDE ＝∠MED ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴△DBQ ∽△ECN ，∴QB NC =BD CE =59，∵QB ＝6，∴NC ＝545，∵AN ＝CN ，∴AC ＝2CN ＝1085，∴AB ＝AC ＝1085．【知识点】相似三角形的判定-AA ；相似三角形的性质-对应边。

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专题四几何图形综合探究问题命题规律：纵观青海近五年中考，每年必考，而且此类题总是出现在试卷第27题，中考常与函数结合在一起考出现在压轴题，从考查的类型看主要包括从实际操作中探究、从特殊到一般的探究，存在性探究、动态探究，难度中偏上．命题预测：预计2017年青海(西宁)中考仍会考查此类内容，复习时应加强各种类型的强化训练．从特殊到一般的探究性问题【例1】(2015临沂中考)如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.(1)请判断：AF与BE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD ＝FC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，第(1)问中的结论能成立吗？请直接写出你的判断．【解析】根据正方形和等边三角形的性质，可以判定AF、BE所在的两个钝角三角形全等，利用全等三角形的性质可得AF和BE的数量关系和位置关系；(2)问的思路同(1)相似，只是增加了证明向外做的这两个等腰三角形全等的过程；(3)问思路同(2)问一样．【学生解答】解：(1)AF＝BE，AF⊥BE；(2)第(1)问中的判断仍然成立，证明：由EA＝ED＝FD＝FC和AD ＝CD，可知△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝∠DAE＋90°，∠ADF＝∠ADC＋∠CDF＝∠CDF＋90°，∴∠BAE＝∠ADF.在△BAE和△ADF中，AB＝AD，AE＝DF，∠BAE＝∠ADF，∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE，由于△BAE≌△ADF，∴∠FAD＝∠EBA，又∵∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠EBA＋∠BAF＝90°，∴AF⊥BE；(3)第(1)问中结论都成立．如图所示，∵AE＝DF，ED＝FC，AD＝CD.∴△ADE≌△DCF，其余证明和(2)一样．【点拨】这类稍微改变条件，问同一结论是否仍然成立的问题，几个问题之间的思路往往一脉相承，其中体现了从特殊到一般的思维方法．1．(2016青海中考)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，完成所提出的问题．,) ,图1),图2) ,图3)(1)探究1：小强看到图后，很快发现AE ＝EF ，这需要证明AE 和EF 所在的两个三角形全等，但△ABE 和△ECF 显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E 是边BC 的中点，因此可以选取AB 的中点M ，连接EM 后尝试着去证△AEM ≌△EFC 就行了，随着小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB 的中点M ，连接EM.∵∠AEF ＝90°，∴∠FEC ＋∠AEB ＝90°，又∵∠EAM ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAM ＝∠FEC ，点E 、M 分别是正方形BC 和AB 的中点，∴AM ＝EC ，又∵△BME 为等腰Rt △，∴∠AME ＝135°，又∵CF 是正方形外角的平分线，∴∠ECF ＝135°，∴△AEM ≌△EFC(ASA )，∴AE ＝EF.(2)探究2：小强继续探索：如图2，若把条件“点E 是BC 的中点”改为“点E 是BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE ＝EF 仍然成立，请你证明这一结论．(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 的延长线上的一点”其余条件仍不变，那么结论AE ＝EF 是否成立吗？若成立，请你完成证明过程给小强看，若不成立，请你说明理由．证明：(2)在AB 上截取AM ＝EC ，连接ME ，∵AB ＝BC ，∴BM ＝BE ，∴∠BME ＝45°，∴∠AME ＝∠ECF ＝135°，∵∠AEF ＝90°，∴∠FEC ＋∠AEB ＝90°，又∵∠EAM ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAM ＝∠FEC ，∴△AEM ≌EFC(ASA )，∴AE ＝EF ；(3)成立．证明：延长BA 到M ，使AM ＝CE ，连接ME.∴BM ＝BE ，∴∠BME ＝45°，∴∠BME ＝∠ECF ，又∵AD ∥BE ，∴∠DAE ＝∠BEA ，又∵∠MAD ＝∠AEF ＝90°，∴∠DAE ＋∠MAD ＝∠BEA ＋∠AEF ，即∠MAE ＝∠CEF ，∴△MAE ≌△CEF(ASA )，∴AE ＝EF.实践操作型综合探究问题【例2】在图①至图③中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1＝∠2＝45°.(1)如图①，若AO ＝OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；(2)将图①中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图②，其中AO ＝OB.求证：AC ＝BD ，AC ⊥BD ；(3)将图②中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图③，求BD AC的值．【学生解答】解：(1)AO ＝BD ，AO ⊥BD ；(2)如解图①，过点B 作BE ∥CA 交DO 于点E ，∴∠ACO ＝∠BEO.又∵AO ＝OB ，∠AOC ＝∠BOE ，∴△AOC ≌△BOE ，∴AC ＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO ＝∠BEO ＝135°.∴∠DEB ＝45°，∵∠2＝45°，∴BE ＝BD ，∠EBD ＝90°.∴AC ＝BD.延长AC 交BD 的延长线于点F ，如解图①，∵BE ∥AC ，∴∠AFD ＝90°，∴AC ⊥BD ；(3)如解图②，过点B 作BE ∥CA 交DO 于点E ，∴∠BEO ＝∠ACO.又∵∠BOE ＝∠AOC ，∴△BOE ∽△AOC.∴BE AC ＝BO AO .又∵OB ＝kAO ，由(2)的方法易得BE ＝BD ，∴BD AC＝k. 【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解．(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．2．(2015河南中考)如图1，在Rt △ABC 中，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现： ①当α＝0°时，AE BD＝________； ②当α＝180°时，AE BD＝________； (2)拓展探究：试判断：当0≤α＜360°时，AE BD的大小有无变化，请仅就图2的情况给出证明； (3)问题解决：当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直线写出线段BD 的长．解：(1)52；52；(2)无变化．∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴△EDC ∽△ABC.∴CE CA ＝CD CB.又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α，∴△CEA ∽△CDB.∴AE BD ＝AC BC .在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋82＝45，∴AC BC ＝458＝52.∴AE BD ＝52，即AE BD 的大小不变；(3)45或1255.几何图形的动态问题【例3】(2015青岛中考)已知：如图1，在▱ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，AC ⊥AB.△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速动，速度为1 cm /s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止运动．如图2，设运动时间为t(s )(0＜t ＜4)，解答下列问题：(1)当t 为何值时，PQ ∥MN?(2)设△QMC 的面积为y cm 2，求y 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)当PQ ∥MN 时，PQ ∥AB ，利用平行线分线段成比例表示线段CP 、AC 、CQ 、CB 的比例关系，进而得出t 值；(2)分别过点A ，P 作AE ⊥BC ，PD ⊥BC 分别于点E ，D ，利用相似三角形的性质得到PD 的长，从而表示出S △QPC ，再根据平行线间的距离处处相等得S △QMC ＝S △QPC ，从而求出的函数关系式；(3)在(2)的基础上，用含t 的式子表示S △QMC 和S四边形ABQP 的式子，假设题中关系式成立，可得关于t 的方程，t 有解则存在；若t 无解，则不存在； (4)假设PQ ⊥MQ ，则易证△MQP ∽△PDQ ，利用相似三角形的对应线段成比例，进而计算得出t 的存在性．【学生解答】(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝BC 2－AB 2＝4.由平移性质可得MN ∥AB.∵PQ ∥MN ，∴PQ ∥AB.∴CP CA ＝CQ CB ，即4－t 4＝t 5，解得t ＝209；(2)作PD ⊥BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E.由S △ABC ＝12AB ×AC ＝12AE ×BC 可得AE ＝125.则由勾股定理易求CE ＝165.∵PD ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥PD.∴△CPD ∽△CAE.∴CP CA＝CD CE ＝PD AE ，即4－t 4＝CD 165＝PD 125.∴PD ＝12－3t 5，CD ＝16－4t 5.∵PM ∥BC ，∴M 到BC 的距离h ＝PD ＝12－3t 5.∴△QCM 是面积y ＝12CQ ×h ＝12×t ×12－3t 5＝－310t 2＋65t ；(3)∵PM ∥BC ，∴S △PQC ＝S △MQC .若S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4，则S △QMC ∶S △ABC ＝1∶5，∴－310t 2＋65t ＝15×6，整理得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2.即当t ＝2时，S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4；(4)若PQ ⊥MQ ，则∠MQP ＝∠PDQ ＝90°.∵MP ∥BC ，∴∠MPQ ＝∠PQD.∴△MQP ∽△PDQ.∴PM PQ ＝PQ DQ .∴PQ 2＝PM·DQ.即PD 2＋DQ 2＝PM·DQ ，由CD ＝16－4t 5，∴DQ ＝CD －CQ ＝16－9t 5.∴(12－3t 5)2＋(16－9t 5)2＝5×16－9t 5，整理得2t 2－3t ＝0.解得t 1＝0(舍)，t 2＝32.即当t ＝32时，PQ ⊥MQ. 【点拨】图形的运动变换主要是图形的平移、旋转和翻折这几种基本变换，每一种变换都涉及三角形的全等，而在平移问题中，由平行也可以得到的相似三角形，而全等和相似的性质就是解决这些问题的关键所在．3．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD ＝4 cm ，DC ＝5 cm ，AB ＝8 cm .如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1 cm /s .当P 点到达C 点时，两点同时停止运动．连接PQ ，设运动时间为t s ．解答下列问题：(1)当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？(2)设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；(3)当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．解：(1)过C 作CE ⊥AB 于点E ，易得：BC ＝5，当t ＝5时，P 、Q 同时停止运动；(2)作PF ⊥AB 于点F ，根据题意，得AQ ＝t ，BQ ＝8－t ，BP ＝t.∵△BPF ∽△BCE ，∴PF CE ＝BP BC ，∴PF ＝45t.∴S △PQB ＝12BQ ·PF ＝－25(t －4)2＋325.∴当t ＝4时，△PQB 的面积最大，且S △max ＝325cm 2；(3)①若BP ＝BQ ，则t ＝8－t ，∴t ＝4 s ；②若QP ＝QB ，则12t 8－t ＝35，t ＝4811 s ；③若PQ ＝PB ，则12（8－t ）t ＝35，t ＝4011 s ．综上，当t 等于4 s ，4811 s ，4011 s 时，△PQB 为等腰三角形．4．已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点Q 是线段AC 上一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB(如图1)或线段AB 的延长线(如图2)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△APQ ∽△ACB ；(2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．解：(1)在△APQ 与△ACB 中，∵∠ABC ＝90°，PQ ⊥AC ，∴∠AQP ＝∠ABC ，∵∠PAQ ＝∠CAB ，∴△APQ ∽△ACB ；(2)AP ＝53或6.。