等比数列应用举例单复利
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结在数学的世界里，等比数列是一个重要且有趣的概念。
它在许多领域都有着广泛的应用，从金融到物理学，从计算机科学到日常生活中的各种现象。
下面咱们就来好好梳理一下等比数列的相关知识点。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，……就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
这个公式可以帮助我们快速求出等比数列中任意一项的值。
比如说，对于等比数列 3，6，12，24，……，首项 a1 ＝ 3 ，公比 q ＝ 2 ，那么第 5 项 a5 ＝ 3×2^（5 1) ＝ 48 。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
等比中项的公式为 G ＝±√（ab) 。
例如，2 和 8 的等比中项就是±√（2×8) ＝ ±4 。
四、等比数列的性质1、若 m、n、p、q∈N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am×an ＝ ap×aq 。
比如在等比数列 1，2，4，8，……中，a2×a5 ＝ 2×16 ＝ 32 ，a3×a4 ＝ 4×8 ＝ 32 ，两者相等。
2、等比数列的前 n 项和公式当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
这个公式在求解等比数列的和时非常有用。
3、若数列{an}是等比数列，公比为 q ，则数列{λan}（λ 为常数）也是等比数列，公比为 q 。
4、若数列{an}是等比数列，公比为 q ，则数列{an^m}（m 为常数）也是等比数列，公比为 q^m 。
高中数学等比数列的应用与解题技巧
高中数学等比数列的应用与解题技巧数列是数学中非常重要的概念，而等比数列是数列中的一种特殊形式。
在高中数学中，等比数列的应用非常广泛，涉及到各个领域的问题。
本文将重点介绍等比数列的应用以及解题技巧，并通过具体的例题进行说明。
一、等比数列的应用1. 财务问题：等比数列常常用于描述财务中的增长或衰减情况。
例如，某公司的年度利润以等比数列的方式增长，已知第一年的利润为100万元，公比为1.2，求第五年的利润。
解题时，可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，q表示公比。
代入已知条件，即可求得第五年的利润为100 * 1.2^(5-1) = 207.36万元。
2. 科学实验：在科学实验中，等比数列常用于描述物理量的变化规律。
例如，某实验中温度以等比数列的方式下降，已知初始温度为100℃，公比为0.8，求第五次测量时的温度。
同样地，利用等比数列的通项公式，可以求得第五次测量时的温度为100 * 0.8^(5-1) = 40℃。
3. 生活实际问题：等比数列还可以应用于解决一些生活实际问题。
例如，某人每天存钱的金额以等比数列的方式增加，已知第一天存1元，公比为2，求第十天的存款金额。
同样地，利用等比数列的通项公式，可以求得第十天的存款金额为1 * 2^(10-1) = 512元。
二、等比数列的解题技巧1. 求公比：在解题过程中，首先要确定等比数列的公比。
有时可以通过观察数列的前几项来确定公比，有时需要利用已知条件进行计算。
例如，已知等比数列的前两项是2和6，求公比。
解题时，可以利用等比数列的性质an / a(n-1) = q，即第n项与第n-1项的比值等于公比。
代入已知条件，得到6 / 2 = q，解得q = 3。
2. 求特定项：在解题过程中，有时需要求等比数列中的特定项。
可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)来计算。
其中an表示第n项，a1表示第一项，q表示公比。
浅析数列应用题中的递推关系
一、稀释溶液 化工厂的某容器的容积为装满了浓度为100%的纯酒精，现欲使其稀 释，从中倒 出后用清水兑满，再从中倒出，又用清水兑满，为此反复进行了次，所 得的溶液浓度为多少？欲使浓度不超过50%，至少要进行多少次操作？ 解：设操作次后的浓度为则操作次后的浓度为 即 故数列是首项为90%，公比为的等比数列，那么操作次后的浓度为 要使
t=s·10-1000n=40000(2-)-1000n 欲使Tn最大，则：，得，故n=5,此时s=7875。 即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，
能使获利最大。 三、an= C·an-1+B，其中B、C为非零常数且
C≠1 例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每
年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要 从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与 广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多 少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4 倍）的目标？（lg2=0.3）。
染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感 染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30， bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染 者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人数为：=8670，化简得：n261n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一 天感染者人数最多，为570人。
分析：设经过n年后，该项目的资金为an万元， 则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：an =an-1（1+25%）-200（n≥2），对于这类问题的具
数列应用题
由②得，a1+a2+…+an=24n,
a1 = 5a n 解之得， 解之得，a1=40，an=8. 联立① 联立①、③得 a1 + a n = 48.
收割完这片土地上的全部小麦需用40小时 小时. 答：收割完这片土地上的全部小麦需用 小时
90、100、110 90、100、
4、双变型 、
例4、某沙边城 、某沙边城2004年底全县的绿地面积占全县面积 年底全县的绿地面积占全县面积 年起， 的30%，从2005年起，该县每年将有 ， 年起 该县每年将有16%的原沙漠地 的原沙漠地 带变成绿地，但同时又有4%的原有绿地面积被侵蚀 带变成绿地，但同时又有 的原有绿地面积被侵蚀 变成沙漠.设全县面积为 设全县面积为1， 年底的绿地面积为a 变成沙漠 设全县面积为 ，记04年底的绿地面积为 1, 年底的绿地面积为 经过n年后的绿地面积为 年后的绿地面积为a 已知lg2取 经过 年后的绿地面积为 n+1.(已知 取0.301) 已知 (1)试用 n表示an+1 试用a 表示 试用 4 4 an +1 = an + (2)求证：数列 n-0.8}为等比数列 求证： 求证 数列{a 为等比数列 5 25 (3)哪一年底，该县的绿地面积超过全县面积的 哪一年底， 哪一年底 该县的绿地面积超过全县面积的60%？ ？
解：设从每一台工作起,这n台收割机工作的时间依 设从每一台工作起 这 台收割机工作的时间依 次为a 小时,依题意 是一个等差数列. 次为 1,a2, … ,an小时 依题意 {an}是一个等差数列 是一个等差数列 1 且 每台收 割机的工作 效 率为 ， 则有 24n a1 = 5 a n ①
探索等比数列等比数列的规律与求和公式
探索等比数列等比数列的规律与求和公式等比数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将探索等比数列的规律与求和公式，帮助读者更好地理解和应用等比数列。
一、等比数列的定义和特点等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都等于前一个数乘以同一个固定的常数。
可以用以下形式表示：a, ar, ar², ar³, ...其中a为首项，r为公比。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，即任意一项除以其前一项的商都相等。
这个比值叫做公比，通常用字母r表示。
等比数列的特点包括：1. 每一项与它的前一项的比值都相等；2. 公比r不为0；3. 首项a可以是任意实数。
二、等比数列的规律等比数列的规律主要包括：1. 第n项的求法：第n项可以通过以下公式来求得：an = a * r^(n-1)其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
2. 通项公式：通项公式用于求解等比数列中任意一项的值。
通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)3. 前n项和的求法：等比数列的前n项和可以通过以下公式来求得：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比。
三、等比数列求和公式的推导过程为了更好地理解等比数列求和公式的推导过程，这里我们给出一个简单的证明。
假设等比数列的首项为a，公比为r，共有n项。
那么我们可以得到以下等式：Sn = a + ar + ar² + ... + ar^(n-1) (1)两边同时乘以公比r，我们得到：rSn = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n (2)将公式(2)从公式(1)中减去，我们得到：Sn - rSn = a - ar^n化简上式，得到：Sn(1 - r) = a(1 - r^n)将式子两边同时除以(1-r)，我们可以得到等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)四、等比数列的应用举例等比数列在实际应用中有非常广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 财务管理：等比数列可以用于计算投资收益、复利计算等财务问题；2. 生物学：等比数列可以用于描述细胞分裂过程中细胞数量的变化；3. 物理学：等比数列可以用于描述辐射衰减、电阻串联等物理过程；4. 工程学：等比数列可以用于规划工程的进度安排、资源分配等。
等比数列知识点归纳总结讲解
等比数列知识点归纳总结讲解等比数列是数学中重要的一种数列，具有很广泛的应用。
本文将对等比数列的定义与性质、求和公式、通项公式等进行归纳总结与讲解。
一、定义与性质等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比相等。
设等比数列的首项为 a，公比为 r，则第 n 项的公式为 an = a * r^(n-1)。
其中，n 为项数，a_1 为首项。
1. 公比 r 的取值：- 当 r > 1 时，等比数列是递增的；- 当 0 < r < 1 时，等比数列是递减的；- 当 r = 1 时，等比数列的所有项都相等，即为常数数列。
2. 等比数列的性质：- 等比数列中任意两项的比值相等，即 a(n+1) / an = r；- 等比数列中的任意项与它之后的项的比值相同；- 等比数列的任意项可以表示为它前一项乘以公比的 n 次方。
二、求和公式求等比数列的前 n 项和是解决等比数列问题中常用的方法之一。
根据数列的性质和推导，可以得到等比数列的求和公式如下：等比数列的前 n 项和 Sn = a(1-r^n) / (1-r)，其中 a 为首项，r 为公比。
三、通项公式通项公式是指通过等比数列给出的某一项与它的位置之间的关系，可以求解该等比数列的各项的值。
根据等比数列的定义，可以得到等比数列的通项公式如下：等比数列的第 n 项 an = a * r^(n-1)，其中 a 为首项，r 为公比。
四、应用举例等比数列在实际问题中具有广泛的应用。
以下举两个例子加以说明：例1：一个微生物培养基中的细胞数量，每天增加一倍。
已知初始时刻有 1000 个细胞，求第 6 天的细胞数量。
解：根据已知条件，我们可以得知初始时刻（第 1 天）的细胞数量a = 1000，公比 r = 2。
根据通项公式 an = a * r^(n-1)，我们可以求得第6 天的细胞数量为 a6 = 1000 * 2^(6-1) = 32000。
例2：某公司每年的销售额都是前一年的 80%，已知第一年销售额为 500 万元，求五年后的销售额。
等比数列及其性质
等比数列及其性质等比数列是数学中经常出现的一种数列，它具有一些独特的性质和规律。
在本文中，我将介绍等比数列的概念、常见性质以及它在数学问题中的应用。
一、等比数列的定义及表示方法等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
这个比值称为等比数列的公比，常用字母q表示。
用数学符号表示，一个等比数列可以写成：a，aq，aq^2，aq^3，...，其中a是首项，q是公比。
二、等比数列的性质1. 通项公式等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系，在求解等比数列问题时非常有用。
设等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n 项和可以通过以下公式得到：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和。
3. 公比的范围公比q的范围决定了等比数列的性质。
当-1 < q < 1时，等比数列的绝对值趋于0，这样的数列被称为收敛的。
当q大于1或小于-1时，等比数列的绝对值呈指数增长或指数衰减，这样的数列被称为发散的。
4. 等比数列的倍数关系在等比数列中，任意一项与其前一项的比值都等于公比q。
这意味着，一个等比数列中的任意一项都是它前一项乘以公比得到的。
这种倍数关系在数学问题中经常被应用到。
三、等比数列的应用等比数列的概念和性质在数学问题中有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 货币利率问题假设我们有一笔存款，年利率为r，每年我们都将本金和利息再次存入银行，形成一个复利等比数列。
我们可以利用等比数列的公式和性质来计算多年后的本利和。
2. 音乐音调问题音乐中的音调通常是以等比数列的形式排列的，每个音调的频率与前一个音调的频率之比就是公比。
通过分析等比数列的性质，我们可以得出音调之间的倍数关系，帮助我们理解音乐的构成和演奏。
等比数列应用举例(单复利)
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。农业银行在近期内规定的这种储 蓄的年利率如下.
存 期 1年 2.25 2年 2.75 3年 3.25 5年 3.35
年利率(%)
计息公式：利息=本金×存期×年利率
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率．
解 货款第一年后的本利和为
20 20 5.76% 20(1 0.0576) 1.0576 20,
第二年后的本利和为
1.0576 20 1.0576 20 5.76% 1.05762 20,
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576 20,1.05762 20,1.05763 20,
利息一般分为单利和复利两种 复利：（等比数列）
指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入到本 金中，作为新的本金。
(我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄)
例如：某种储蓄规定按月以复利计息，月利率是1%， 若某人存入1000元作为本金， 一个月后 本息和 两个月后 1000 (1+1%) 本息和
第2月存款利息：100×11×0.1425%，
„ 第11月存款利息：100×2×0.1425%，
第12月存款利息：100×1×0.1425%. 于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和： S12＝100×12×0.1425%＋100×11×0.1425%＋…＋ 100×2×0.1425%＋100×1×0.1425% ＝100×0.1425%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.1425%×78＝11.115. 实际取出：100×12＋11.115＝1 211.115(元)．
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见的数列类型之一，它的概念与性质对于我们理解数列和解决相关问题非常重要。
本文将详细介绍等比数列的定义、性质和应用，帮助读者全面了解和掌握等比数列。
一、等比数列的定义在了解等比数列的性质之前，我们首先需要明确什么是等比数列。
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比等于一个常数。
这个常数叫作公比，通常用字母q表示。
如果一个等比数列的首项为a₁，公比为q，那么它的第n项可以表示为：an = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
例如，数列1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中首项为1，公比为2，第5项为16。
二、等比数列的性质等比数列有很多有趣的性质，它们有助于我们进一步理解和运用等比数列。
1. 公比与项的关系：在等比数列中，如果公比大于1，那么随着项数的增加，数列的值也会越来越大；如果公比小于1，那么数列的值则会越来越小。
2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn表示前n项和。
3. 最值性质：若公比0<q<1，则等比数列的值随着项数的增加而趋近于0；若公比q>1，则等比数列的值随着项数的增加而趋向正无穷。
4. 无穷性质：当公比的绝对值小于1时，等比数列的项数趋向无穷大时的极限值为0；当公比的绝对值大于1时，等比数列的项数趋向无穷大时的极限值不存在。
三、等比数列的应用等比数列在各种实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常被用于计算复利问题，例如计算银行定期存款的本息和。
2. 自然科学：等比数列可用于表示一些自然现象，例如细胞分裂、病毒传播等。
3. 计算机科学：在计算机科学中，等比数列常用于算法的时间复杂度分析中。
4. 经济学和市场分析：等比数列可以用于描述市场的增长或衰退趋势，对于经济预测和决策非常有帮助。
总结：通过本文对等比数列的概念、性质和应用的介绍，我们对等比数列有了更深入的理解。
等比数列的概念
等比数列的概念等比数列（Geometric Progression，简称GP）是数学中常见的数列类型之一，由一个初始项和一个公比确定。
在等比数列中，每一项与前一项的比值保持恒定，即公比。
等比数列的概念在数学和实际应用中都有广泛的应用，本文将介绍等比数列的定义和性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、等比数列的定义等比数列是一种数学数列，其中每一项与前一项的比值保持恒定。
具体地说，如果一个数列 (a₁, a₂, a₃, ...) 的任意两项 aₖ 和 aₖ₊₁（k≥1）的比值等于一个常数 r（称为公比），那么这个数列就是等比数列。
数列中的每一项都可以根据前一项和公比来计算。
如果我们用 a₁表示等比数列的首项，r 表示等比数列的公比，那么这个等比数列可以表示为 (a₁, a₁r, a₁r², ...)。
在这个等比数列中，第 n 项可以通过公式 aₖ = a₁r^(n-1) 来计算，其中 n 是项数。
二、等比数列的性质1. 公比的绝对值小于 1 时，数列逐项减小，称为单调减小的等比数列；公比的绝对值大于 1 时，数列逐项增大，称为单调增大的等比数列；2. 等比数列的前 n 项和可以通过公式 Sₖ = a₁(r^n - 1)/(r-1) 来计算；3. 等比数列的无穷项和存在的充要条件是公比的绝对值小于 1，即 -1 < r < 1 时，数列的和收敛于一个有限的数值；4. 等比数列的前 n 项和随着 n 的增大而趋近于一个有限的数值或无穷大；5. 等比数列的通项公式是数列的一个重要性质，通过通项公式可以计算数列的任意一项。
三、等比数列的应用等比数列的概念在数学问题和实际应用中都有重要的机会。
下面是一些等比数列的应用场景：1. 财务问题：等比数列常常用于复利计算中。
如果一笔资金每年按照一定的利率复利增长，那么每一年的资金金额构成了一个等比数列。
2. 几何问题：几何图形中的边长、面积、体积等参数常常构成等比数列。
等比数列的概念与应用
等比数列的概念与应用等比数列是数学中经常出现的一种数列形式，它的每一项与前一项的比例都相等。
本文将介绍等比数列的概念及其应用，并探讨其在实际生活和数学问题中的意义和应用。
一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与前一项的比例相等的数列。
数列中的比例称为公比，通常用字母q表示。
以首项a1开始的等比数列可以表示为：a1, a1*q, a1*q^2, a1*q^3, ...其中，a1为首项，q为公比。
需要注意的是，公比不能为0，否则数列中的每一项都将为0。
二、等比数列的性质1. 公比的取值范围公比q的取值范围决定了等比数列的性质。
当q大于1时，数列递增；当0<q<1时，数列递减；当q小于-1时，数列交替变号；当-1<q<0时，数列的绝对值递减。
2. 通项公式等比数列可以通过通项公式来求解任意一项的值。
对于以首项a1开始的等比数列，第n项的通项公式为：an = a1*q^(n-1)。
3. 前n项和等比数列的前n项和可以通过公式S_n = (a1*(q^n - 1))/(q - 1)来求得。
三、等比数列的应用等比数列在数学中有着广泛的应用，以下将介绍其在几个典型问题中的具体应用。
1. 财务投资在财务投资领域，等比数列可以描述投资本金按照一定的利率复利计算的情况。
如果某笔投资的年利率为r，则每年的投资金额可以构成一个等比数列。
利用等比数列的通项公式，可以方便地计算出每年的投资金额。
2. 科学实验在科学实验中，等比数列可以用来描述一些物理量的变化规律。
例如，在放射性衰变实验中，放射性物质的衰变量可以构成一个等比数列。
通过研究衰变规律，可以预测未来的衰变情况。
3. 几何图形构造等比数列在几何图形构造中也有重要应用。
例如，金字塔的层数、植物的分枝数、螺旋线的半径等都可以构成等比数列。
利用等比数列的性质，可以更好地研究和分析这些几何图形的特点。
四、等比数列的意义和价值等比数列作为数学中重要的概念，具有广泛的实际意义和应用价值。
等比数列应用举例 PPT课件
合作探究
（1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱? （精确到0.000001万元）
解 货款第一年后的本利和为
20 20 5.76% 20(1 0.0576) 1.0576 20,
L/O/G/O
等比数列应用举例
创设情境 兴趣导入
设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后 的厚度是多少？能否对折50次，为什么？
探究新知
例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷 款期限为5年，年利率为5.76%。 （1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万 元） （2）如果每年一期，分5期等额本息还款（每期以相等的额度平均偿还本息）。 那么小王每年偿还银行多少钱？
合作探究
这类问题为等额本息分期付款模型。计算每期偿还本息的公式为
a= Agi g(1i )n （1+i）n -1
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率。
可以看到，本例中一次性付款数为26.462886万元， 而采用分5期付款的方式总共付款数为4.716971×5=23.584855（万元）， 分期付款比到期一次性付款节省了约2.878031万元。
第3次还款a万元，已还款数为a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2 万元；
第4次还款a万元，已还款数为a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2+a(1+5.76%)3 万元；
第5次还款a万元，已还款数为 a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2+a(1+5.76%)3 +a(1+5.76%)4万元；
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定顺序排列的数所组成的。
在数列中，等差数列和等比数列是最常见的两种形式。
它们有着独特的性质和广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的性质进行介绍，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻的两项之间的差值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减；当公差为零时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等差数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1+(n-1)d中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
3. 总和公式：等差数列的前n项和可以通过总和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]来计算。
这个公式是通过求前n项和的巧妙方法，可以避免逐项相加的麻烦。
等差数列的应用非常广泛。
例如，在数学中，等差数列可以用来描述等分数列、算术平均数等概念。
在物理学中，通过等差数列可以描述匀速直线运动的位移、速度等参数。
在经济学中，等差数列可以用来描述递增或递减的趋势，分析经济指标的变化规律。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻的两项之间的比值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列中相邻两项之间的比值称为公比。
公比可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公比大于1时，数列递增；当公比小于1时，数列递减；当公比等于1时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等比数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1*r^(n-1)中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
等比数列的计算与应用
等比数列的计算与应用等比数列是数学中的一种常见数列，它的特点是每一项与前一项之比都相等。
在数学和实际生活中，等比数列有着广泛的应用。
本文将介绍等比数列的计算方法和应用场景。
一、等比数列的计算方法等比数列的计算方法主要包括求首项、公比和通项公式。
首项是数列的第一项，通常表示为a₁；公比是相邻两项的比值，通常表示为r；通项公式可以用来计算数列中任意一项的值。
1. 求首项首项表示数列的第一项，它的计算公式是：a₁ = a / r^(n-1)其中a表示任意一项的值，r表示公比，n表示项数。
举个例子，如果我们知道等比数列的第5项为64，公比为2，那么我们可以使用首项的计算公式求解。
首先，根据通项公式得到等式：64 = a₁ * 2^(5-1)。
接下来，我们整理得到a₁ = 64 / 2^4 = 4。
2. 求公比公比表示相邻两项的比值，它的计算公式是：r = (a₂ / a₁)其中a₁和a₂分别表示数列中的两项。
例如，如果一个等比数列的第2项为3，第3项为9，我们可以使用公比的计算公式进行求解。
根据公式，可以得到等式：r = 9 / 3 = 3。
3. 通项公式通项公式（或第n项公式）可以用来计算等比数列中任意一项的值，它的计算公式是：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值，a₁表示首项，r表示公比。
例子：对于一个等比数列，首项为2，公比为3，我们可以使用通项公式求第4项的值。
通项公式为aₙ = 2 * 3^(4-1) = 54。
二、等比数列的应用场景等比数列在数学和实际生活中具有广泛的应用，下面将介绍其中几个常见的应用场景。
1. 财务投资在财务投资中，等比数列常用于描述利息的计算。
例如，某人将一笔资金存入银行，每年的利率为5%，那么直到第n年，他所得到的资金就可以通过等比数列来计算。
设首项为初始投资金额，公比为1加上利率，第n项即为第n年的资金。
2. 科学实验在科学实验中，等比数列常用于描述一种物质的浓度变化。
等比数列的复利支付模型及其应用
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【 摘
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甚 至 还 有 人认为人 口 是 呈指 数 曲线 增 长 为此各抒 己 见 争论不休 后来 马 尔 萨 斯提 出 了 生 物 种 群 增 长 模 型 也 即 用 复 利 模 型 来解决人 口 增 长 问
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等 比 数 列 的定 义 通 项 公 式 和 求 和 公 式 是数 列 中 的 基础 知识 这 些 公 式 的 形 式很 容易 与一 些 金 融 学 中 的数 学 模 型 联 系 起来 下 面我 们给 出不 同形 式 的 复 利支 付模 型
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(l ) 该 式 子 表 明 人 口 呈 指数级数 增 长 其次 当时 间 不连续 时 可 得 2 0 年 后 的人 口 数量为 = + 0 2 P l k 0 v P ( ) (2 ) 该 式 表 明 人 口 呈 几何级数 增 长 从 数 学 计 算 上 我 们 可 以 证 明 一 般情 况下 ( l )式 和 ( z 式 得 出 的结果 很 不 同 但 当人 口 增 长率 很 小 的 时候 ( ) l )式 和 z 式 得 出 的 结果 相 差不 大 而 实 际 上 人 口 增 长 速度 很 小 所 以 计 算 时 可 ) ( 用 (2 )式 替换 (1 )式 另 外 通 过 复 利 运 算 能够 很 好地预 测 人 口 增 长 情 况 对 计 划 生 育 工作 有很 大 的 帮助 当然 人 口 数量 还 受技术进步 资源 环 境保 护 社 会 生 产力发 展 水平 等 的影 响 因此在预 测 上 会 存在误 差 还 需 改进 (二 )折 旧 问题 解决该 问 题 所 用 的 方法 即偿 还 基 金 法 此 法 主 要 用 于 借 贷款 情况 且 偿 还 时 分期 复 利计 算 当偿 还 年 限与 设备 折 旧 年 限 相 同 时 借贷 款及其 利 息 将 通 过 设备 折 旧 费 用逐 年 还 清 具 体计 算方 法 即 在设备最佳 使 用 年 限 内 每 年 按 定额 折 旧 法 提取 折 旧 基 金 并 按 一 定 的利 率 计 算 利 息 在达 到设备 的 预计 使 用 年 限 时 将 逐 年 的折 旧 费 用 及 利 息 累 积起来 正好 等 于 设备 的 原 值 减 残 值 如果每 年 计 提 折 旧 费 用 为 A 利 率为 i 设备预计使 用 年 限 为 T 则到设备报废 时 每 年 提取 的 折 旧 费用 与 利 息 之 和 分别为 第 一 年计 提 折 旧 费在第 T 年 末 的价 值 为 A (+ 1 1户 ; 界 第二 年计 提 折 旧 费在第 T 年 末 的价 值 为 A (+ 1 1 ) ;
(201907)等比数列4
特点：后一顶与前一项的比是同一个常数
2
二、学习新课 1.什么是等比数列？
请问 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等
于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常
a ＝？ 数叫做公比q
n 例如：3，6，12，24，48，…；
q=6/3=12/6=24/12=48/24=2 3，3×2，3×22，3×23，3×2４
特点：每一项与前一项的差是同一个常数 1
2.等比数列：银行利息按复利计算（利滚利） 本金和=本金×（1+利率）存期
例如：存入10000元，利率为1.98%
存期 第一年 第二年 第三年 第四年
年初本金
10000 10000×1.0198 10000×1.01982 10000×1.01983
年末本利和（元） 10000×（1+1.98%）1 10000×（1+1.98%）2 10000×（1+1.98%）3 10000×（1+1.98%）4
右金吾卫将军庞同善 营州都督高侃为行军总管 李世民亲率四千步 骑兵 原书已佚 与贼将宋金刚相持 他所得的赏物 活到一百多岁 凌烟阁二十四功臣之一 希望借此得到长生药 暗中向李渊泄漏刘武周方面的情报 不及避让 曹州离狐（今山东省菏泽市东明县）人 郭正一 ▪ 96.李 勣在俘获五万多人后顺利回师 29. 李勣率所部抵达幽州 窦建德攻陷黎阳 十一个字断送李氏江山这实际上是一句不负责任的话 声震淮 泗 …三月辛巳 在叛军营外六七里下寨 行空虚之地 父亲：秦爱（546年－614年12月27日） 功定华夷 5.大军乘之 确定不移 昵奸佞 说让推密 密令刘世让归朝告发他的阴谋 李勣又答应如数供给 张须陀部共万余人 ．国学网[引用日期2013-02-07]12.永徽六年（655年） 秦琼又被赏
常用的等比数列
常用的等比数列常用的等比数列是指的是等比数列中的一些特殊情况，这些情况在数学中经常被使用并且具有重要的意义。
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列，这个比值被称为公比，通常用字母q表示。
我们来看一个最简单的等比数列，即公比为2的等比数列。
这个数列的前几项依次为1，2，4，8，16...，可以发现每一项都是前一项乘以2得到的。
这个数列在计算机科学中经常被使用，比如在计算机内存的分配中，内存大小往往以2的幂次方的形式出现。
接下来，我们来看一个常用的等比数列，即公比为10的等比数列。
这个数列的前几项依次为1，10，100，1000，10000...，可以发现每一项都是前一项乘以10得到的。
这个数列在科学计数法中经常被使用，比如表示非常大或非常小的数时，往往使用科学计数法来简化表示。
再来看一个常用的等比数列，即公比为0.5的等比数列。
这个数列的前几项依次为2，1，0.5，0.25，0.125...，可以发现每一项都是前一项乘以0.5得到的。
这个数列在概率和统计学中经常被使用，比如在计算指数衰减的过程中，往往使用0.5作为衰减因子。
接下来，我们来看一个常用的等比数列，即公比为1的等比数列。
这个数列的前几项依次为1，1，1，1，1...，可以发现每一项都等于1，即每一项都与前一项相等。
这个数列在数学中经常被使用，比如在计算复利的过程中，每一期的利息都与前一期的利息相等。
我们来看一个常用的等比数列，即公比为负数的等比数列。
这个数列的前几项依次为-1，1，-1，1，-1...，可以发现每一项都交替出现正负号。
这个数列在电工电子学中经常被使用，比如在交流电路中，交流电的正负半周交替出现。
通过以上几个常用的等比数列的例子，我们可以看到等比数列在数学和其他领域中的广泛应用。
无论是计算机科学、科学计数法、概率统计学、复利计算，还是电工电子学，等比数列都扮演着重要的角色。
熟练掌握等比数列的特性和应用，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
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复利计息 a（1+ 0.2%)16 =1.03248a ＞ 1.03216a
故存入按复利计息的银行更合算。
等额本金还款法是一种计算非常简便，实用性很强的一种 还款方式。基本算法原理是在还款期内按期等额归还贷款 本金，并同时还清当期未归还的本金所产生的利息。
本息和
两个月后
1000 (1+1%) 本息和 三个月后
1000 (1+1%)2
本息和
… n个月后
本息和
1000 (1+1%)3 1000 (1+1%)n
（整存整取）
五一节期间，高二同学杨磊从他回国探亲的舅舅处得到一 笔钱a元，这笔钱是给他明年读大学时用的，距今还有16 个月.于是他决定立刻把这笔钱存入银行，直到明年9月初 全部取出。现在有两家银行供他选择，一家银行是按月息 0.201 %单利计息，另一家银行是按月息0.2 %复利计息， 请大家帮助杨磊同学计算一下，存入哪家银行更合算？
三个月后 本息和
…
1000+10 1000+102 1000+10 3
=1010 = 1020
= 1030
n个月后 本息和
1000+10n
活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时, 按日利率算存期为天数（一年按360天，一个月按30天
计算）。 若活期年利率：0.36 % 则日利率：0.36% 0.001%
知
20 205.76% 20(1 0.0576) 1.0576 20,
识
第二年后的本利和为
1.0576 20 1.0576 20 5.76% 1.05762 20,
典
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
型 例 题
1.0576 20, 1.05762 20, 1.05763 20, 通项公式为 an 1.0576 20 1.0576n1 1.0576n 20
360
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金
及其利息的一种储蓄。农业银行在近期内规定的这种储 蓄的年利率如下.
存期
1年
2年
3年
5年
年利率(%)
2.25
2.75
3.25
3.35
计息公式：利息=本金×存期×年利率
整存整取
年利率
பைடு நூலகம்
零存整取定期储蓄
解析： 实际取出的钱等于本金＋利息，这里关键是求利 息．由于每期存入的钱到最后取钱时的存期是不一样的，因此 每期存入的钱到最后取钱时，利息是不一样的．
第1月存款利息：100×12×0.1425%，
第2月存款利息：100×11×0.1425%，
…
第11月存款利息：100×2×0.1425%，
第12月存款利息：100×1×0.1425%.
a5 1.05765 20 26.462886
答 小王应偿还银行26.462886万元．
例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行货款20万元，
巩 贷款期限为5年,年利率为5.76%． （2）如果每年一期，分5期等额还款（每期以相等的额度平均偿还本息），那
固 么小王每年偿还银行多少钱．
于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和：
S12＝100×12×0.1425%＋100×11×0.1425%＋…＋ 100×2×0.1425%＋100×1×0.1425%
＝100×0.1425%×(1＋2＋3＋…＋12)
＝100×0.1425%×78＝11.115.
实际取出：100×12＋11.115＝1 211.115(元)．
6.3.4 等比数列应 用举例
在日常生活中那些事情与等比数列有关？
利息一般分为单利和复利两种
单利： （等差数列）
指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，利息不计入到本金中。
例如：某种储蓄规定按月以单利计息，月利率是1%，若 某人存入1000元作为本金，
一个月后 两个月后 本息和 本息和
每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到
约定日期，取出全部本利和，这是整取，规定每次存入 的钱不计复利
存期 年利率(%)
1年 1.85
3年 2.05
5年 2.15
零存整取 年利率
某人从1月起，每月1日存入银行100元，到12月31日取出全部本 金及其利息，已知月利率为0.1425%，若不计复利，那么他实际 取出多少钱？(不计利息税)
利息一般分为单利和复利两种 复利：（等比数列）
指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入到本 金中，作为新的本金。
(我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄)
例如：某种储蓄规定按月以复利计息，月利率是1%，
若某人存入1000元作为本金，
一个月后
等额本息是指一种购房贷款的还款方式，是在还款期内，
每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。
例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行货款20万元，贷 款期限为5年,年利率为5.76%． （1）如果5年后一次性还款，小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）；
巩
固
解 货款第一年后的本利和为
知
由于第5次将款还清，所以
识
a((1 5.76%)5 1) 26.482886
5.76%
典 型
因此
a
26.482886 5.76% (1 5.76%)5 1
4.716971（万元）．
例
题
这类问题为等额分期付款模型．计算每期偿还本息的公式为
a A i (1 i)n (1 i)n 1
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率．