大学物理平面简谐波波动方程

§4-2平面简谐波的波动方程

振动与波动

最简单而又最基本的波动是简谐波！ ￥

简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。

对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。

波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。

一、平面简谐波的波动方程

设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点

参考点原点的振动方程为

()00cos y A t ωϕ=+

任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动 A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢

沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π

|

现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相

区别

联系

振动研究一个质点的运动。

波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。

振动是波动的根源。 波动是振动的传播。

x

"

位比 O 点落后

22x

x π

πλ

λ

=

P 点的振动方程为

02cos P y A t x πωϕλ⎛

⎫=+-

⎪⎝

⎭

由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉

02cos y A t x πωϕλ⎛

⎫=+-

⎪⎝

⎭

就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。

如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x π

λ

沿 x 轴负向传播的波动方程为

02cos y A t x πωϕλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

利用 2ωπν=， u λν=

沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为 :

02cos y A t x πωϕλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 02cos A t x u πνωϕ⎛⎫

=-+ ⎪⎝⎭

0cos x A t u ωϕ⎡⎤

⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

即 0cos x y A t u ωϕ⎡⎤

⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 x

t u

∆=

x

—

P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

时刻的振动状态

波动方程也常写为

02cos y A t x πωϕλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

()0cos A t kx ωϕ=-+ 其中 2k π

λ

=

波数，物理意义为 2π 长度内所具有完整波的数目。

》

☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向

二、波动方程的物理意义

1、固定x ，如令0x x =

()002cos y t A t x πωϕλ⎛

⎫=+- ⎪⎝⎭ 振动方程 0x 处质点的振动方程

—

0x 处的振动曲线 该质点在 1t 和 2t 两时刻的相位差 ()21t t ϕω∆=- 2、固定t ，如令0t t =

()002cos y x A t x πωϕλ⎛

⎫

=+-

⎪⎝

⎭

波形方程 0t 时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即 0t 时刻的波形方程。

y

波形曲线 3、x 和 t 都在变化

()02,cos y t x A t x πωϕλ⎛

⎫=+-

⎪⎝

⎭

各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程 ⇒ 行波

t 时刻，x 处的某个振动状态经过 t ∆ 的时间，传播了 x u t ∆=∆ 的距离，传到了 x x +∆ 处，显然

()(),,y t t x x y t x +∆+∆= 行波必须满足此方程

其中 x u t ∆=∆

波是振动状态的传播！

— 习题类型

（1） 由某质元的振动方程（或振动曲线） ⇒ 求波动方程 （2） 由某时刻的波形曲线 ⇒ 求波动方程

例：一平面波在介质中以速度 20u =m/s 沿直线传播，已知在传播路径上某点A 的振动方程为 ()3cos 4A y t π=，如图所示。

（1）若以A 点为坐标原点，写出波动方程，并求出C ，D 两点的振动方程；

y

x

O

t 时刻

t t +∆ 时刻

}

u

x u t ∆=∆

y x

λ

…

（2）若以B 点为坐标原点，写出波动方程，并求出C ，D 两点的振动方程。

解：（1）振幅 3A =m ，圆频率4ωπ=rad/s ，频率 22ω

νπ

==Hz ，

波长 10u

λν

=

=m

#

波动方程为

23cos 43cos 45y t x t x ππππλ⎛

⎫⎛

⎫=-

=-

⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

m C 点坐标为 13C x =-m ，振动方程为

133cos 43cos 455C C y t x t ππππ⎛⎫⎛

⎫

=-=+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

m D 点坐标为 9D x =m ，振动方程为

93cos 43cos 455D D y t x t ππππ⎛⎫⎛

⎫

=-=-

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

m （2）A 点坐标为 5A x =m ，波动方程为

()23cos 43cos 45A y t x x t x πππππλ⎡⎤⎛⎫

=--=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

m C 点坐标为 8C x =-m ，振动方程为

133cos 43cos 455C C y t x t πππππ⎛⎫⎛

⎫

=-+=+

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

m \

D 点坐标为 14D x =m ，振动方程为

93cos 43cos 455D D y t x t πππππ⎛⎫⎛

⎫

=-+=-

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

m 例：一平面简谐横波以 400u =m/s 的波速在均匀介质中沿x +方向传播。位于坐标原点的质点的振动周期为秒，振幅为，取原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。

A

C

D