2017-2018年上海市七宝中学高一下开学考数学试卷及答案

2018年七宝中学高一下开学考试卷

2018.03

一. 填空题

1. 函数()lg(23)x

x

f x =-的定义域为 2. 已知集合{1,0,}A a =-，{||1|1}B x x =-<，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是

3. 函数2

1

46

y x x =

-+的值域为 4. 不等式33(1log )(log )0x a x +->的解集是1(,9)3

，则实数a 的值为 5. 若函数()f x 的图像过点(1,2)，则1

()1f

x --的图像经过点

6. 设m R ∈，若43

()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是 7. 关于x 的方程9(4)310x

x

a ++⋅+=有实数解，则实数a 的取值范围为

8. 已知函数1

()ln(1)

1

a x f x x x ⎧≥⎪

=⎨

-<⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是 9. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f kx f x +≤-在

1[,1]2

x ∈

上恒成立，则实数k 的取值范围是

10. 已知()x

f x a b =-（0a >且1a ≠，b R ∈），()1

g x x =+，若对任意实数x 均有

()()0f x g x ⋅≤，则有

13

a b

+的最小值为 11. 211

{|,1}k A y y kx x kx k

==+

≤≤，其中2,3,,2018k =⋅⋅⋅，则所有k A 的交集为 12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =的值域是

D ，

函数(())y p q x =的值域是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，

已知定义域为[,]a b 的函数2

()|3|

h x x =

-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是

()f x

的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=

二. 选择题

13. 设a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1

b a

<

”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 已知函数()2x x

e e

f x --=，1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>，230x x +>，

310x x +>，

则123()()()f x f x f x ++的值（ ）

A. 一定等于零

B. 一定大于零

C. 一定小于零

D. 正负都有可能 15. 函数||

2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,16]，a 变动时，点(,)a b 的集合所表示的图形可以是（ ）

A. B. C. D.

16. 设函数()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =++++⋅⋅⋅+++-+-+⋅⋅⋅+-（x R ∈），下列四个命题中真命题的序号是（ ）

（1）()f x 是偶函数； （2）当且仅当0x =时，()f x 有最小值； （3）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （4）方程2

(55)(2)f a a f a -+=-有无数个实根. A.（1）（4） B.（1）（2） C.（1）（2）（3） D.（2）（3）（4） 三. 解答题

17. 如果1a 、2a R ∈，且121a a +=，那么22

121

2

a a +≥，证明过程如下： 证明：构造函数22

12()()()f x x a x a =-+-，

则222222

121212()22()22f x x a a x a a x x a a =-+++=-++

因为对一切x R ∈，恒有()0f x ≥，所以221248()0a a ∆=-+≤，从而得22

1212

a a +≥

（1）用与上述不同的方法证明命题α；

（2）若1a 、2a 、⋅⋅⋅、n a R ∈，且121n a a a ++⋅⋅⋅+=，请写出命题α的推广结论.（无需证明）

a

b O

-4 4 a

b O

4

-4 a b O 4

-4

a

b O

-4 4

18. 某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往

水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释

放的浓度y （毫克/升）满足()y mf x =，其中2044

()642x

x f x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪-⎩

，当药剂在水中

释

放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/ 升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.

（1）如果投放的药剂质量为4m =，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天之内（从投放药剂算起包括7天）的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的值.

19. 已知函数11

()||||f x x x x x

=+

--. （1）判断()f x 的奇偶性，并作出函数()f x 的图像；

（2）关于x 的方程2

()()0f x mf x n ++=（,m n R ∈）恰有6个不同的实数解，求n 的取值范围.