大学物理质点运动学2

y
dy
t12t 3dt
0
0
y 3t 4
所以质点的运动方程为：
x t 2
y

3t 4
r t 2 i 3t 4 j
(2)上式中消去t,得y=3x2即为轨道方程。可知是抛物线。
(3) vx 2t vy 12t 3
v
vx2

v
2 y

4t 2 144t 6

24t 2 1 36t 4
例7 已知质点作半径为R=0.1m的圆周运动, 其相对于圆心
的角坐标为θ=2+t3 rad, 求t=2s时的切向加速度at 和法向加
速度an 。
22tt33
2t3
解:
aaanaatntn2ddddddRddddtRtdd22tt2RddtttdR2d3Rtt36366tt39t6t692tR3tt2t9Rt24t4tR3tR64Rtt1211.aa21.4tn21m4.m44.4sd.dmRdd4smtt2ms22sR2s23662tt9R2tt4

103
(
s
)
t lv r1l 1 4.30 103 ( s )
v r11
1-4 相 对 运 动
一、运动描述具有相对性
车上的人观察
地面上的人观察
研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物理事件
ay

dv y dt
dvx 2dt
vx 0
dvx

t
2dt
0
vx 2t
dvy 36t 2dt
vy 0
dvy

t 36t 2dt
0
vy 12t 3
v 2ti 12t 3 j
dx vx dt
dx 2tdt
x
t
0 dx 0 2tdt
x t2
dy vy dt dy 12t 3dt
aana为 ann为n为为法法法法向向向加加加加速速速速度度度度， ，，，大大大小小小小为：为为 ：：为：aaannannllititmlmit0l m0itm0v0vtntnvtvntnvv22RvRv2R2R
aat为 aatn为t为t为为切切法 切切向向向加加加加加速速速速度度度度度，，，，大大大大小小小小小为：为为 ：：为为：：aaattaattnllititmlmit0l ml0ititm 0mv0tv0tttvtvtvtttlnlititmm0l0itlv mvvitBmB020vRtvtBvvBAAtvtvAddddAvtvt ddddvtvt
dv 1 8t 864t 6
2 216t 2
a dt 2
4t 2 144t 6
1 36t 4
注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
3
3
1 y2 2 (1 36x2 ) 2
y
6
an

v2


4t 2 (1 36t 4 ) 6
3
(1 36x2 ) 2

g cos

v02

v0 cos
g
v02 g cos
例9 碟盘是一张表面覆盖一层信息纪录物质的塑性圆片，若碟盘可读 部分的内外半径分别为2.50cm 和5.80cm，在回放时，喋盘被以恒定的 线速度由内向外沿螺旋扫描线（阿基米德螺线）进行扫描。(1)若开始 时读写碟盘的角速度为50.0 rad·s-1，则读完时的角速度为多少？(2)若 螺旋线的间距为1.60μm，求扫描线的总长度和回放时间。
三、圆周运动的角量描述：
1.角坐标 角位移 角速度 角加速度
B 角坐标
描述质点转动的位置
A 角位移 描述质点转动位置的变化

O
角速度 描述质点转动的快慢
lim d
t
t0 t
dt
单位：
rad s1
角加速度
描述质点转动角速度r变ad化的s快1 慢rad s2
ddvdtdvt
d2v2 d t
2
aann

vv22 RR
----- 速度方向的变化率
ty an
at
at
an
at
a
a
t
a a
•a t
tya
an

at
a 的方向不在指向
aat t

ddvv ddtt
-----
速度大小的变化率
a的方向不再指向圆心
t时刻：P点 S（t）
t+t时刻：P′点 S′（t+ t） t时间内经过弧长S,
S对应角度。
S , v dS
R
dt
其中 dS＝v(t )为速度的大小。 dt
而a d v d v(t) dt dt
为单位矢量， 大小不变，但方向改变
V’
R P’

R R
2
3. 匀变速率圆周运动
d C
dt
d dt

t
d dt
0
0
0 t
0 t 0 0t v12vt02 at

0

0 t2

102 t2
2
2
x x00
at为方切向：向指加向速圆心度 ， 大 小 为: at

li方m向：vt沿切li线m方v向B vA dv t0 t t0 t an aandn t
aa aannnaaatt t
aa
aaan2n2n2aaat2t2t2
vRvR2 2vR2222
R
A
d

O
aaaaaatntntnaatnddvddRdvdvtv22tvdv2tdRvR2tRRRRRddRRddRdttRddR2td2tRRR2RRR2RRR2R2R2
2
an at

v2 R dv dt
v r r 解： (1)近似的将螺线视为同心圆
11
v r 1r1 2r2
r r 完时r的角速度 故 故2磁磁 盘1r读1完 盘 r12时 r1的读 2角r速 22完 度 1.6时 (2 ra的 dr12rs角 11)速 21.度 6( ra2d s1 )
R
14.4m 1.2m s2
s
2
atan
R

62 RRt

19.2tm4 Rs
2

14.4ms

2
例8 已知抛体运动速度为 (如图v0 ),求最高点处的曲率半
径。

解:
v0
v 2 v0 cos 2
an
g
g
曲率半径 最 大出现在何处?
起 点 或 终 点 ，an
v0t

1 2
at 2
2


2 0

2

0
v 2 v02 2ax
与匀变速直线运动类比
四、用自然坐标系表示平面曲线运动中的速度和 加速度
1、自然坐标系：
(v)
切向：质点前进的方向
法向：与切向垂直，指向 曲线凹的一面。
n
2、用自然坐标系分析变速圆周运动
v v(t),a a(t)
1-3 圆 周 运 动
一、匀速圆周运动
vOv AOBvA∽ RBl BlA加OB速'A加度' B速的 ' 度大的v小 AA大为B小 v为
B
vB
vR
B ΔO'A当'B't 0时 l s
vA
l O
Δl R
加速度的大小为
R A
lim lim a aa的 alit方 ml0it m 向 vtt0 沿0半li径tv mt指0vt 向tl圆 心lRvit, m t称 l0i向t0 m心 0加tltlst速度RvvrR 。vvaR2 vR n 2vR vR22
t 0 时 0 a v A
二、变速圆周运动
vA
在三角形CDE中,取CE上一点F,使
v B CF = CD = vA,则FE = vB - vA
vA
v vvBvvvBAvB vAv A
v
C
A
aDvvDliton mFlitF0v mB0vtFavvvttvEnDlvtivmFAl令 ti0BvEmaB0vFvvvDlvtttitEnntvmFlitaA0v令mB0DlitaaFmvvFlvvtit0nnvtEtnmvtDl0aitA令 mFFlvaitDlta0vEt nmvittnmvFvlt0令it0tnmFvvta0tE改vnvtF改tvtnat变vEtn令 v变nt了令了a速vvva速ntttntv度v度ttna方大t向a小vanvtnt aatt
11 2
(2)单位长度的圈数: n 1
dr
d
在盘上任取一同心圆环带 ,带宽dr ,
含圈数: 1 dr d
扫描的总长度：
l
Baidu Nhomakorabea l
r2
22 rr12
r r
1 d
dnr
5.38 103 ( m ) dr 5.38 103 (
m
)
回放时间:
sr1
t
sr2

r41 .30
y
x

a
g
v
vx2

v
2 y

v02 g 2t 2


tan 1
gt v0

at

dv dt

g 2t v02 g 2t 2
an
g 2 at2
v0 g v02 g 2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
例5.质点M在水平面内运动轨
道如图所示：OA段为直线,AB、
lim

t 0
t

d
dt

d 2
dt 2
单位： rad s2
2. 线量和角量的关系
vd vdvdsssvdsddddddRsRtstRsdtdddRstdRRdRddddRdttddtdtRRR R
B ds
v P
a dv v d d 0 d n d d n
dt dt
d
d
dt
n d
dt


n R

Rd
dt



n ds R dt

nv R
a dv v2 n
dt R
10m / s2
an

v2


50 2 30
83.3m / s2
例6、一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速度是
时间的函数。已知ax=2, ay=36t2。
设质点t＝0时r0=0,v0=0。求：(1)此质点的运动方程； (2)此质点的轨道方程，(3)此质点的切向加速度。
解：
(1)a x

dv x dt
a an n
d
a a 切向加速度、反映速度大小变化，一般不为常量；
an an n 法向加速度、反映速度方向变化，v变时不是常量。
a a2 an2
arc tan an
a
为a与的夹角
3、一般曲线运动（多个圆弧运动的连接）
an

v2 r
n

v2

n
例4、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，
取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并
取发射时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速 度。
解：(1)
o
v0
x v0t
1 x2g
y 1 gt2 2
y 2
v02
an
(2) vx v0 , vy gt
BC段分别为不同半径的两个1/4
圆周。
30 15
设t=0时M在O点，已知运动方程为S=30t+5t2(SI),求 t=2秒时刻，质点M的切向加速度和法向加速度。
解：t=2s S=80m 可知此时M在大圆上。 质点的 瞬时速率 v=30+10t(m/s) t=2s v=50m/s
at

dv dt

d 2s dt 2