余式定理 因式定理

余式定理

1公式

整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。

如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。

2概念

当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。

例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。

3推论

当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。

例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。

设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。

4例题

（全国港澳台华侨联合招生考试题型）

设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少?

解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。

因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8

所以f(1)=3a+7+16=8

所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11

因式定理

1定义

为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

2例题

如图，

此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。

仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。

根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，

可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式

为对称多项式直接得到）

然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系

数即可

3意义

熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±?），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法

直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。

同时，将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解，也可以用来判断能否进行因式分解。

4多项式的因式分解

因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：

先设法找出多项式的一个零点。

利用因式定理确认是多项式的因式。

利用长除法计算多项式。

中，所有满足条件的根都是方程式的根。因为的多项式阶数较要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简单。

另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式[1]

推论：（一）若多项式各项系数为0，则一定有（x-1）因式

（二）若多项式奇，偶次项系数和相等，则一定有（X+1）项

更多内容参考《竞赛自招（一）》8页