余式定理因式定理

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余式定理

餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。

有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。

餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b 的餘式等於f (- b a)。

f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a 的函數值。

(2) 多項式f (x)除以x -a 的餘式。

範例：二次式ax 2+bx -4以x +1除之，得餘式3，以x -1除之，得餘式1，若以x -2除之，所得的餘式為。

解：f(x) = ax 2+bx -4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a 與b ，再求f(2)=18即為所得。

範例：試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為。

解： f(x) = x 5-4x 4-72x 3-56x 2+15x +7利用綜合除法求f(11) = 51範例：設二多項式f(x),g(x)以2x 2-3x -2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans ：192解：f(x) = (2x 2-3x -2)× p(x) + (3x+2)g(x) = (2x 2-3x -2)× q(x) + (-4x+7)f(x)+g(x) = (2x 2-3x -2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9) F(x) = f(x)+g(x) , F(12-) = -(12-) +9 = 192範例：求多項式(x 2+3x+2)3被x 2+2x+3除之餘式為何？解：x 2+3x+2 = (x 2+2x+3) + (x-1)(x 2+3x+2)3= ( (x 2+2x+3) + (x-1) )3= (x 2+2x+3)3 + 3(x 2+2x+3)2(x-1) + 3 (x 2+2x+3)(x-1)2 + (x-1)3 求多項式(x 2+3x+2)3被x 2+2x+3除之餘式 = 求多項式(x-1)3被x 2+2x+3除之餘式= 10x+14範例：多項式f(x)以x 2-3x -4，2x 2-3x+1除之餘式各為4x -1，2x+7，試求f(x)以2x 2-9x+4除之餘式為何？解： f(x) = (x 2-3x -4) × p(x) + 4x -1 = (x-4)(x+1) × p(x) + 4x -1f(x) = (2x 2-3x+1) × q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) × q(x) + 2x+7f(4) = 15 且f(12) =8f(x) = (2x 2-9x+4) × S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) × S(x) + ax +b利用f(4) = 15 = 4a +b 及 f(12) = 8 = 12a +b我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以 2x2-9x+4除之餘式為 2x + 7範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為-x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x) 除以x(x2-1)之餘式為何？解：f(x) = x(x-1) × p(x) + (-x+3)f(x) = x(x+1) × q(x) + (-3x+3)f(x) = x(x2-1) × S(x) + ax2+ bx + c我們有 f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入 f(x) = x(x2-1) × S(x) + ax2+ bx + c。

因式定理和余式定理

因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。

其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。

本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。

因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。

它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。

该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。

余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。

它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。

它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。

由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。

这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。

它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。

这就是因式定理和余式定理的重要性。

综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

余式定理

余式定理与因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。

(2)设1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

类1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为。

类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345。

类3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x的余式为。

类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322-+x x 之余式为25+x ，则)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的余式为。

类5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的余式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。

(2)多项式)(x f 除以2-x ，322++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之余式。

类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为。

类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为。

类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之余式。

余式定理因式定理

1.长除法：求多项式42(1)(1)x x x +++除以的余式.练习：(1)求多项式4322(352)(3)x x x x -+++除以的余式. (2)求多项式3(428)(21)x x x -+-除以的余式.2.综合除法：设多项式f (x )=1250x 6-2790x 5-3125x 4+707x 3+100x 2+45x -62，则f (3)=217练习：求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值为。

Ans ：51因式定理：设f(x)为一多项式，则x-α为f(x) 的因式⇔f(α)=0 .推广：ax-b为f(x)的因式⇔f( ba)=0一次因式检验定理：设f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)⋅g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x⋅5x2 来的，21是3⋅7来的，因此观察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，这个结果对于一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：定理：设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0为一个整系数n次多项式，若整系数一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互质，则a|a n且b|a0。

注意：①一次因式检验定理的逆叙述不成立。

例如：f(x)=3x3+5x2+4x-2，f(-13)≠0。

②由此定理，可知若一次式cx-d中c不为a n的因子或d不为a0的因子的话，则cx-d必不为f(x)的因式。

故只有满足a|a n且b|a0的一次式ax-b才有可能成为f(x)的因式，因此我们只要从满足a|a n且b|a0这些ax-b去找一次因式就可以了。

例如：求整系数f(x)=3x3+5x2+4x-2的整系数一次因式。

根据一次因式检验定理，假设ax-b为f(x)的一次因式，则a|3且b|2。

我们将所有可能的ax-b组合x+1,x-1,x+2,x-2,3x+1,3x-1,3x+2,3x-2，再利用综合除法检验看看那一个是f(x)的因式⇒3x-1是f(x)的因式。

§42余式定理,因式定理

§4−2 餘式定理、因式定理(甲)餘式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。

f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。

"多項式f(x)除以x−a的餘式。

[例題1] 求下列二小題：(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？Ans：(1)−1000 (2)217[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。

Ans：18(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。

Ans：51(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。

Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。

[例題3] 試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7−50x5+8x4−5x3−19x2+41x+6除以(x−1)(x−7)之餘式。

(2)設多項式f(x)不低於2次，以x−1除之餘2，以x+2除之餘−1，則以(x−1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x−1除之餘3，以x+1除之餘1，以x−2除之餘−2，則求以(x−1)(x+1)(x−2)除f(x)的餘式。

因式定理与余式定理

1.多项式f（x）除以x-1，x-2所得的余数分别为3和5，求f（x）除以（x-1）· （x-2）所得的余式.
• 练习:多项式f(x)除以x-1,x-2,x-3所得的余数分别为1,2,3,试求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)所得的余式.
因式定理如果x-a是f（x）的因式,即f（x）能够被(x-a) 整除,则f(a)=0 反之亦然.
f (x) a n x n an1 x n1 a2 x 2 a1 x a0
的有理根的方法.(这是个非常重要的方法,也是在因式分解中是寻找多项式一次因式的方法)
练习:求解 f x x3 6 x 2 11x 6 的时, 余式是2x-5;除以 x 2 4 时,余式是-3x+4, 求这个三次多项式.
证明: ∵f(x)÷(x-a)=p(x) ∴f(x)=(x-a)· p(x) ∴f(a)=(a-a)· p(a)=0
3 2 x 2 x x 4 0 的有理根. 例:求解
若x=a时f(x)=0,即f(a)=0,则称a为多项式f(x)的根.试通过整除分析法给出寻找关于x的整系数多项式
3 2 f x x 2 x 3x 2 除以整系数多项 • 已知
式g（x）所得商式及余式均为h（x），试求g（x）和h（x），其中h（x）不是常数。
因式定理与余式定理
f(x)的含义。 f（x）代表对括号内的自变量的某种运算法则的表达式。例：若f（x）=3x-2，则f（a）=3a-2， f（3）=3×3-2=7.
多项式除以多项式
2 x 例: 3 x 5 x 2
余式定理若f（x）是一个多项式，a是一个常数则f（x）除以x-a的余式为f（a）例：若f（x）÷（x-a）=p （x）……r 则r=f（a）证明：f（x）=（x-a）· p（x）+r 则f（a）=（a-a）· p（a）+r 即f（a）=r

余式定理

4-2 餘式定理與因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之餘式。

(2)設1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

類1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，餘式分別為45，-15求以1+x 除之，餘式為。

類2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345 。

類3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x 的餘式為。

類4. 設)(),(x g x f 均為多項式，)(x f 除以12-x 之餘式為23+x ，)(x g 除以322-+x x 之餘式為25+x ，則)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的餘式為。

類5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的餘式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多項式)(x f 除以1-x ，2-x 之餘式分別為5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之餘式。

(2)多項式)(x f 除以2-x ，322++x x 之餘式分別為5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之餘式。

類1. 設多項式)(x f 以2-x 除之餘3，以4+x 除之餘-9，則以)4)(2(+-x x 除之餘式為。

類2. 設)(x f 為一多項式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分別除之，餘式為3，7，13，則)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之餘式為。

類3. 多項式)(x f 除以2-x ，12++x x 之餘式分別為10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之餘式。

余式定理

高中统考练习（余式定理，因式定理）高中高级数学1•除法原理：f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0•余式定理：多项式f(x)除以x-a的余式等于f(a)。

•因式定理：設f(x)為一多項式，則x-a 為f(x) 的因式⇔f(a)=0（选择题）1. 若x-4 为 2x3 + k x2– 41x + 20 之一因式，则k = ? [1988 No.1]A 3B 2C 1D -1E -22. 若 4x3– 3x2 + x -1 除以 (x-2) (x-1) , 求其余式。

[1990 No.8]A 20x– 19B 20x + 19C 23 – 4xD -2E 23. 当多项式x3 + (k-4)x2 + (k-9)x– 4 除以 (x-2) 时，其余数为12，试求k的值。

[1991 No.11]A -7B -3C 0D 3E 74. 若x20 + p x11 + 3x2– 10 除以x + 1得余数 -18 , 求p 之值。

[1993 No.6]A -23B 2C 4D 12E 135. 若x-2 是f (x) = x3– 7x + k 的一个因式，问下列何式也是f (x) 的因式 ? [1998 No.1]A x + 1B x+2C x+3D x-3E x-66. 若f (x) = 3x3– 4x2 + k x + 5 能被x -1 所整除，求 k 的值。

[1999 No.1]A 4B 3C 1D 0E -47. 若x+1 是 2x3 + 3x2– 2k – 1 的因式，求k的值。

[2000 No.1]A -2B -1/2C 0D 1/2E 28. 若多项式x3– (m-1)x2 + 2x -1 除以 (x-1) 得余数 -1 ，则m的值是______。

[2001 No.1]A 4B 2C -2D -3E -49. 若f (x) = a x3– 5x2 + 4x– 4 能被x-2 所整除，求 a 的值。

(完整版)初中代数八大定理

(完整版)初中代数八大定理初中代数八大定理引言初中代数是数学学科中的一个重要分支，涉及到代数运算、代数方程、代数不等式等概念和方法。

掌握初中代数的基本定理对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍初中代数中的八大定理，帮助读者更好地理解和应用这些定理。

定理一：一元一次方程的解一元一次方程是形如 ax + b = 0 的方程，其中 a 和 b 是已知数，x 是未知数。

一元一次方程有唯一解，解的公式为 x = -b/a。

该定理的证明过程较为简单，可以通过代入法或消元法得到。

定理二：一元二次方程的解一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c是已知数，x 是未知数。

一元二次方程可以有零个、一个或两个实数解，解的公式为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

根据方程的判别式b^2 - 4ac 的值可以判断方程的解的情况。

定理三：因式定理因式定理是指如果把一个多项式的一个因式 x - a 除去，得到的商多项式为 q(x)，则原多项式可以表示为 p(x) = (x - a)q(x) + r，其中 r 是一个常数。

这个定理告诉我们如何判断一个多项式是否是另一个多项式的因式。

定理四：余式定理余式定理是因式定理的一种特殊情况，当把一个多项式的一个因式 x - a 除去时，得到的余式为 0。

余式定理和因式定理密切相关，可以帮助我们判断一个数是否是多项式的根。

定理五：二次根式乘除定理二次根式乘除定理是指两个二次根式之间可以进行乘法和除法运算，乘法运算可以通过平方差公式进行展开，除法运算可以通过有理化的方法进行求解。

定理六：二次根式的加减定理二次根式的加减定理是指两个二次根式之间可以进行加法和减法运算，运算过程中需要对二次根式进行合并和简化。

定理七：分式的加减定理分式的加减定理是指两个分式之间可以进行加法和减法运算，运算过程中需要对分式进行通分、合并和简化。

因式定理与余式定理

总结词
余式定理的证明
03
因式定理与余式定理的关系
01
02
因式定理与余式定理的联系
余式定理是因式定理的一种特殊情况，即当多项式在某点取值为零时，其导数在该点的值等于余式。
两者都是多项式理论中的重要定理，用于研究多项式的因式分解和余数性质。
因式定理主要关注多项式的因式分解，即通过多项式的根来寻找多项式的因式；而余式定理则关注多项式在某点的余数性质，即通过多项式在该点的值和导数来计算余数。
针对特定问题，开发基于因式定理与余式定理的算法和工具，以简化数学计算和证明过程。
因式定理与余式定理的推广和改进
因式定理与余式定理在其他学科中的应用
探讨因式定理与余式定理在其他学科领域中的应用，例如物理学、工程学、经济学等。
研究因式定理与余式定理在其他学科中应用的案例，分析其解决问题的有效性和实用性。
详细描述
总结词：因式定理的证明通常基于代数的基本性质和定理，如零因子定理和整除定理等。
因式定理的证明
02
余式定理
总结词
余式定理描述了多项式在某点的泰勒展开中的余项。
详细描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余式定理指出，对于一个在点$x_0$处具有$n+1$阶导数的函数$f(x)$，其泰勒展开中的余项可以表示为$R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(x_0) cdot frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$，其中$f^{(n+1)}(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的$(n+1)$阶导数。
余式定理的定义
总结词
余式定理在解决多项式方程、求函数的极值和判断函数的单调性等方面有应用。
详细描述

余式定理,因式定理

余式定理1公式整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。

如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。

反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。

2概念当一个多项式f(x) 除以(x – a) 时，所得的余数等于 f(a)。

例如：当 f(x)=x^2+x+2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。

3推论当一个多项式 f(x) 除以 (mx – n) 时，所得的余数等于 f(n/m)。

例如：求当 9x^2+6x–7 除以 (3x + 1) 时所得的余数。

设 f(x) = 9x^2 + 6x – 7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。

4例题（全国港澳台华侨联合招生考试题型）设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x²+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少?解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。

因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8所以f(1)=3a+7+16=8所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11因式定理1定义为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。

反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

2例题如图，此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。

仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。

根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到）然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可3意义熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±½），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。

因式定理

實數具有下列性質：
a、b、c為相異實數
(1)a>b a–b> 0
(2)a2≧0
(3)ab= 0 a= 0或b= 0
(4)a2+b2= 0 a= 0且b= 0
(5)若a>b且c> 0，則ac>bc；
若a>b且c< 0，則ac<bc。
例題3
解方程式5 ( 5-x) =x–11
解：25–5x=x–11
25 + 11 =x+ 5x
6x= 36
x= 6
例題4
解方程式(x+ 3) (x-7) = 0
解：(x+ 3) (x-7) = 0
x+ 3= 0或x-7 = 0
x=-3或x= 7
例題5
若x為實數且(x-5)2≦0，求x值
解：x為實數，則(x-5)≧0
但已知(x-5)2≦0，根據三一律得
(x-5)2= 0
所以x= 5
例題6
若(x+4)2+ (y-7)2= 0，求x與y值
解：根據實數的性質，得
x+4 = 0且y-7= 0
x= 4且y=7
1-1-3 絕對值
絕對值其幾何意義為在數線上表示x的點到原點的距離，一個實數x的絕對值記作|x|，且
當x> 0時，|x| =x
當x= 0時，|x| = 0
當x< 0時，|x| =-x
或
若|x| =a
例題7
|x+ 2| = 6，求x值
解：去掉絕對值符號後，可得
5.實數(R)
有理數與無理數兩者統稱為實數。
以上所討論數系間的包含關係，可以表示如下：
正整數(N)

余式定理

§4-2 餘式定理、因式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x-a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a-a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(-b a)。

f(a)的雙重意義：①多項函數f(x)在x=a的函數值。

②多項式f(x)除以x-a的餘式。

[例題1]求下列二小題：(1)求(x3+2x2-x-4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5-3125x4+707x3+100x2+45x-62，則f(3)=？Ans：(1)-1000 (2)217[例題2]二次式ax2+bx-4以x+1除之，得餘式3，以x-1除之，得餘式1，若以x-2除之，所得的餘式為。

Ans：18(練習1)試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為。

Ans：51(練習2)設二多項式f(x),g(x)以2x2-3x-2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？Ans：19 2(練習3)f(x)=2x4+3x3+5x2-6，求2x-1除f(x-3)的餘式。

Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x-3)，再利用餘式定理。

[例題3]試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以(x-1)(x-7)之餘式。

(2)設多項式f(x)不低於2次，以x-1除之餘2，以x+2除之餘-1，則以(x-1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x-1除之餘3，以x+1除之餘1，以x-2除之餘-2，則求以(x-1)(x+1)(x-2)除f(x)的餘式。

余式与因式定理知识点总结及练习

余式与因式定理知识点总结及练习概念余式定理：多项式 f(x)除以一次式 axb 的余式等于 f b 。
a
因式定理：设 f(x)为多项式﹐axb 为一次多项式 (1)若 f b =0﹐则 axb 是 f(x)的因式。
a
(2)若 axb 是 f(x)的因式﹐则 f b =0。 a
例 1：设 f(x)=x3+2x2+5x3﹐分别求 f(x)除以 x+2 与 2x1 的余式
若小明没有计算错误，求 a+b+c+d 的值﹒
一次因式？
【练习题】已知 a 为常数，且 x3 是 f(x)=x3+ax9 的因式，求 f(x)除以 x+1 的余式。
例 5：已知三次多项式 f(x)满足 f(1)=f(2)=0，f(3)=16 与 f(4)=66，求 f(x)。
【练习题】已知 f(x)是三次多项式，满足 f(0)=f(1)=f(2)=0 且 f(3)=24，求 f(x)=？
3. 已知 a、b 为常数，设多项式 f(x)=x3+3ax2+bx2 可被 x1
整除，且
以 x2 除 f(x)得余式为 2ห้องสมุดไป่ตู้求 a、b 的值﹒
4. 计算 1257．12458．123+16．122465．12+100 的值。
5. 设 f(x)为三次多项式
(1)已知 f(1)=f(2)=0，f(1)=6，f(2)=48，求 f(x)=？
11.设 a 为正整数，且多项式 f(x)=x3ax2+x2 有整系数一次因式，求 a=？
12. 下式是小明利用综合除法计算三次多项式 f(x)除以 x1 的算式﹐因不小心将饮料翻倒在计算纸上，所以只能辨识部分数字：（无法辨识的数字以英文字母代替）

补充教材：余式定理与因式定理

余式定理与因式定理【1】f(x)＝3x 4－2x 3－10x 2＋3x ＋2，下列何者为f(x)的因式(A) x －2 (B) x ＋3 (C) 2x －1(D) 3x ＋1 (E) 3x ＋2。

[解答]：(A)(D)【详解】：利用综合除法(A) f(2)＝0 ∴x －2f(x) (B) 32 ∴x ＋3f(x) (C) 23 ∴2x －1f(x)(D) f(－31)＝0 ∴3x ＋1|f(x)(E) f(－32)≠0，∴3x ＋2f(x)【2】设x －5与x －7都是b ax x ++-50)6(的因式，其中a ，b 为常数，则a ＋b 之值为。

[解答]：－1【详解】：令f(x)＝b ax x ++-50)6(，由因式定理x －5|f(x)⇒f(5)＝0⇒b a ++-5)65(50 ⇒5a ＋b ＝－1…(1) x －7|f(x)⇒f(7)＝0⇒b a ++-7)67(50⇒7a ＋b ＝－1…(2) (1)－(2) 2a ＝0 ∴a ＝0代入(1)，b ＝－1，故a ＋b ＝－1【3】设f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，满足f(1)＝f(2)＝3且f(－1)＝－3，则 (A) a ＋b ＋c ＝3(B) a －b ＋c ＝－2 (C) a ＝3 (D) b ＝2 (E) c ＝3。

[解答]：(B)(D)(E)【详解】：由f(1)＝f(2)＝f(3)知，x －1与x －2为f(x)－3之因式，又x 3之系数为1 ∴f(x)－3＝(x ＋k)(x －1)(x －2)x ＝－1代入，得f(－1)－3＝(－1＋k)(－2)(－3)且f(－1)＝－3 ∴－3－3＝6(k －1) ∴k ＝0故f(x)＝x(x －1)(x －2)＋3＝x 3－3x 2＋2x ＋3⇒a ＝－3，b ＝2，c ＝3【4】设x 3＋2x 2－1＝a(x ＋1)(x －1)(x －2)＋b(x －1)(x －2)＋c(x －1)＋d ，则(A) a ，b ，c ，d 皆为整数 (B) a ＋b ＝5 (C) c ＝4 (D) b ＋d ＝6 (E) c ＋d ＝15[解答]：(A)(B)(D)(E)【详解】：x 3＋2x 2－1＝a(x ＋1)(x －1)(x －2)＋b(x －1)(x －2)＋c(x －1)＋d 令x ＝1，得1＋2－1＝d ⇒d ＝2令x ＝2，得8＋8－1＝c ＋d ＝c ＋2⇒c ＝13令x ＝－1，得－1＋2－1＝b(－2)(－3)＋(－2)c ＋d ⇒0＝6b －26＋2⇒b ＝4 令x ＝0，得－1＝1·(－1)(－2)a ＋(－1)(－2)b ＋(－1)c ＋d ⇒－1＝2a ＋8－13＋2 ⇒a ＝1【5】设f(x)＝x 5＋6x 4－4x 3＋25x 2＋30x ＋20，则f(－7)＝。

因式定理怎么理解

因式定理怎么理解因式定理：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。

反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

因式定理的定义是什么推广：“ax-b为f(x)的因式”等价于f（b/a）=0。

余式定理：当一个多项式f(x)除以(x–a)时，所得的余数等于f(a)。

例1：当除以(x–1)时，则余数等于。

整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则。

如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。

反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。

余式定理的推论当一个多项式f(x)除以(mx–n)时，所得的余数等于f(n/m)。

例2：求当除以(3x+1)时所得的余数。

设f(x)=9x^2+6x–7，则余数f（-1/3）=1-2-7=-8。

多项式的因式分解因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。

从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式中已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部分，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。

方法如下：（1）先设法找出多项式$f$的一个零点$a$。

（2）利用因式定理确认$(x-a)$是多项式$f(x)$的因式。

（3）计算多项式$g(x)=frac{f(x)}{x-a}$。

（4）$f(x)=0$中，所有满足$x≠a$的根$x$都是方程式$g(x)=0$的根。

因为$g(x)$的多项式阶数较$f(x)$要小。

因此要找出多项式$g$的零点可能会比较简单。

（5）欲使$A=BQ+R$成立，就令除式$BQ=0$，则被除式$A=R$能使此方程式成立则被除式=（商式）（除式）+余式。

馀式定理

１§餘式定理與因式定理1.餘式定理：多項式)(x f 除以α-x 之餘式為)(αf ，推論：多項式)(x f 除以b ax -之餘式)(ab f 。

2.因式、倍式：設)(),(x g x f 為兩多項式，且0)(≠x g ，若存在)(x q 使得)()()(x q x g x f ⋅=，則稱)(x f 為)(x g 的倍式，)(x g 為)(x f 的因式。

3.因式定理：設R b a ∈,，0≠a ，)(x f 為一多項式，則b ax -為)(x f 的因式⇔0(=ab f 。

4.恆等式：0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ；若有相異的121,,,,+n n αααα 使得 0)()()()(121=====+n n f f f f αααα ，則0)(=x f1.設deg f (x) = 3，f (2) =f (-1) =f (4) = 3，f (1) =- 9，則f (0) =。

【解答】- 13 【詳解】deg f (x) = 3，f (2) =f (-1) =f (4) = 3則f (x) - 3 =a (x - 2)(x + 1)(x - 4)，即f (x) =a (x - 2)(x + 1)(x - 4) + 3x = 1代入⇒f (1) =a ⨯ (-1) ⨯ 2 ⨯ (- 3) + 3 =- 9⇒ a =- 2得f (x) =- 2(x + 2)(x + 1)(x - 4) + 3故f (0) =- 2 ⨯ (- 2) ⨯ 1 ⨯ (- 4) + 3 =- 13隨堂練習.若三次多項式g (x)的g (- 1) =g (0) =g (2) = 0，g (1) = 4，試問(1) g (x) =。

(2)若多項式h (x) =x4-x2+ 1，則3 g(x) - 4h (x)被x - 1除的餘式為。

【解答】(1) - 2x (x + 1)(x - 2)(2) 8【詳解】(1)由g (- 1) =g (0) =g (2) = 0，deg g (x) = 3，可設g (x) =ax(x + 1)(x - 2)又g (1) =a ⨯ 2 ⨯ (-1) = 4⇒ a =- 2，故g (x) =- 2x (x + 1)(x - 2)(2)令F (x) = 3g (x) - 4h (x)則所求餘式為F (1) = 3g (1) - 4h(1) = 3 ⨯ 4 - 4 ⨯ (1 - 1 + 1) = 12 - 4 = 82.deg f (x) = 2且f (1998) = 1，f (1999) = 2，f (2000) = 7，則f (2002) =。

余式定理及因式定理的应用

初二数学竞赛培训专题:余式定理及因式定理的应用初二( )班姓名：______________________________ 学号：_一、知识要点：1、f X的意义：已知多项式f x，若把x用c带入所得到的值，即称为f x在x = c的多项式值，用f C表示。

2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式 f X除以g x所得的商式为q x，余式为r x，则：f x =g x x q x +r x3、余式定理：多项式f(x)除以x-b之余式为f(b)；多项式f(x)除以ax-b之余式f(b)。

a4、因式定理：设a, b R , a=0 , f (x)为关于x的多项式，则x「b为f (x)的因式=f(b)=0;bax -b 为f(x)的因式=f ( )=0。

a二、余式定理应用：1、( 1)已知f(x) =2x33x -1 ,求f (x)除以(x -1)、2x 1 所得的余式；(2)设f (x)=2 x2+kx+10 除以2x - 1 余5，求k 的值；(3)以x2- 3x - 4除多项式f(x)与g(x)，分别得余式3x+2与-4x+7,求以x - 4除f(x)+g(x) 所得的余式。

2、设f (x) = x5- 6x4- 4x3- 25x230x - 6，求f ⑺。

3、计算：(1)125 -7 124-58 12316 122-460 12 -200 ；(2)115 - 4 114- 72 113-56 11215 11-L 5，则以 2x+1 除 f (x ).g (x ) 2 2 之余式是什么？2 2(2) f (X )除以x -1之余式为3x 2，且g(x)除以x ，2x-3之余式为5x 2，则x-1 除(x 3) f (x) (5x 2 1) g(x)的余式是什么？三、因式定理应用：1、设x - 2为f (x )=3x 3+x 2 - kx +5的因式，试求 k 的值。

2、已知x +1与x - 2都是x 4「3ax 2 • bx • 4的因式，试求a 与b 的值。

余式定理 因式定理

余式定理

因式定理和余式定理

余式定理

余式定理因式定理

§42余式定理,因式定理

因式定理与余式定理

余式定理

余式定理

(完整版)初中代数八大定理

因式定理与余式定理

余式定理,因式定理

因式定理

余式定理

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因式定理怎么理解

馀式定理

余式定理及因式定理的应用

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