6-4第四节基本不等式练习题(2015年高考总复习)

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基本不等式习题及答案

基本不等式习题及答案基本不等式习题及答案不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。

在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识时起着重要的作用。

在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相应的答案。

1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。

解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。

根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。

由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。

因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。

由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。

根据乘法的性质，正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。

所以，我们证明了(a+b)²≥ 4ab。

2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。

解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。

根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。

将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。

进一步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。

同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。

进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。

将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。

进一步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。

将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥ (√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。

2015届高考数学总复习第六章第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课时精练试题文(含解析)

第四节基本不等式: ab ≤a ＋b2(a ,b ∈R ＋)1．(2012·临沂一模)已知a >0，b >0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式可知，a ＋b ＝2⇒ab ≤1，但ab ≤1不能推出a ＋b ＝2.故选A. 答案：A2．(2013·常州质检)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：因为x <0，所以－x >0，所以x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2－x 1－x －2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．答案：C3．(2013·长沙质检)若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为 ( ) A.13 B.12 C.34 D.23解析：因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13×3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”，故选D.答案：D4．(2012·深圳调研)设a ，b ，c ，d ∈R ，若a,1，b 成等比数列，且c,1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是( )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b |≤2cdD ．|a ＋b |≥2cd解析：∵ab ＝1>0，∴a ，b 同号． ∴|a ＋b |＝|a |＋|b |≥2|a ||b |＝2.又c ＋d ＝2，∴(c ＋d )2＝4，即c 2＋d 2＋2cd ＝4.∴4－2cd ＝c 2＋d 2≥2cd ，得2cd ≤2， ∴|a ＋b |≥2cd .故选D. 答案：D5．(2012·福州质检)已知函数f (x )＝2x满足f (m )·f (n )＝2，则mn 的最大值为( ) A.12 B.14 C.16 D.18解析：由已知得2m·2n＝2m ＋n＝2，所以m ＋n ＝1，于是mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14.故选B.答案：B6．(2013·佛山一模)设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为( )A ．3 B.92C ．5D ．7解析：由题意知，a ＞0，△＝16－4ac ＝0，所以ac ＝4，c ＞0，则1c ＋9a ≥2×9ac＝3，当且仅当1c ＝9a 时取等号，所以1c ＋9a的最小值是 3.故选A.答案：A7．(2013·山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94解析：由题意知：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，则z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥1，当且仅当x＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2.所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2≤2.答案：C8．(2013·四川卷)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：由基本不等式性质，f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在4x ＝ax ，即x 2＝a4时取得最小值，由于x ＞0，a ＞0，再根据已知可得a4＝32，故a ＝36.答案：369．若对任意x ＞0，xx ＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵x ＞0，∴x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，∴x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞10．(2013·商丘模拟)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为__________．解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6.答案：611. (2012·衡阳八中月考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则log3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，可知当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取最大值，∴2a ＋4b ＝6，即1＝a ＋2b 3，所以1a ＋2b ＝a ＋2b 3a ＋a ＋2b 3b ＝53＋2b 3a ＋2a 3b ≥2×23＋53＝3.∴log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥log 33＝2.故log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为2. 答案：212．(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：2013．围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m ，新墙的造价为460元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：(1)因为利用的旧墙的长度为x 米，则以被利用的那部分旧墙为一边的矩形的另一边长为368xm ，于是y ＝180x ＋460(x －2)＋460×2×368x＝640x ＋232×82×10x－920＝640x ＋338 560x－920(x >0)．(2)∵x >0，∴640x ＋338 560x≥2640x ×338 560x＝29 440.∴y ＝640x ＋338 560x－920≥29 440－920＝28 520，当且仅当640x ＝338 560x，即x ＝23时，等号成立．∴当x ＝23 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是28 520元．14．(2013·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x x －2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)．(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g (x )＝f x 2 000x×10 000＝x 2＋790x ＋x＝50⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．。

人教A版高中数学高三一轮第六章不等式 6-4 基本不等式练习教师版精品

高三一轮复习 6.4 基本不等式（检测教师版）时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4【答案】C【解析】∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．2．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】∵x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A (－2，－1)，∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，∵m >0，n >0，1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4mn ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C.3．下列函数中，最小值为4的个数为( )①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝log 3x ＋4log x 3.A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】 ①中，由于x 的符号不确定，故不满足条件；②中，0<sin x ≤1，而应用不等式时等号成立的条件为sin x ＝2，故不满足条件；③正确；④中log 3x ，log x 3的符号不确定，故不满足条件，综上只有③满足条件．4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( ) A ．50 B ．25 3C ．50 3D ．100【答案】A【解析】设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100.于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x＝y 时等号成立．5．设x ∈R, 对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界. 若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－5B ．－4C.92D. －92【答案】D【解析】因为12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b (a ＋b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2＝92，所以－12a －2b ≤－92，选D. 6．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1，22－1) D ．(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．【答案】 27【解析】∵ab －4a －b ＋1＝0，∴b ＝4a －1a －1.∵a >1，∴b >0.∵ab ＝4a ＋b －1，∴(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋2·4a －1a －1＋1＝6a ＋[4（a －1）＋3]×2a －1＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.∵a －1>0，∴6(a －1)＋6a －1＋15≥26×6＋15＝27，当且仅当(a －1)2＝1(a >1)，即a ＝2时等号成立．∴所求最小值为27.8．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd 的最小值是________．【答案】4【解析】∵x 、a 、b 、y 成等差数列，∴a ＋b ＝x ＋y .∵x 、c 、d 、y 成等比数列，∴cd ＝xy ，则（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝y x ＋x y ＋2≥4(x >0，y >0)，当且仅当y x ＝x y 时，取等号．故为4.9．已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)，m ＞0，n ＞0，若a ∥b ，则1m ＋2n的最小值是________．【答案】 3＋2 2【解析】向量a ∥b 的充要条件是m ×1＝1×(1－n )，即m ＋n ＝1，故1m ＋2n＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝3＋n m ＋2m n ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ＝2－2时等号成立，故1m ＋2n 的最小值是3＋2 2.10．已知x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，1x ＋4y 的最小值为16，则n 的值为________．【答案】 4【解析】 ∵x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，∴1x ＋4y＝(nx ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ≥n ＋4＋2y x ·4ny＝n ＋4＋4n ，当且仅当y ＝2nx 时取等号．∴n ＋4＋4n ＝16，解得n ＝4.故答案为：4. 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分） 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．【答案】见解析【解析】 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．【答案】见解析【解析】 (1)设污水处理池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x)＋100×200x ＋60×200＝800×(x ＋225x)＋12 000≥1 600x ·225x＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低． (2)记g (x )＝x ＋225x(0<x ≤14.5)，显然是减函数，∴x ＝14.5时，g (x )有最小值，相应造价f (x )有最小值，此时宽也不超过14.5米．。

基本不等式练习题(带答案)

《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。

2015高考数学配套课件：6-4 基本不等式

山东
(2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值．
金太
阳
书
业
有
限
公
司
菜单隐藏
第十九页，编辑于星期五：十五点八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干考点
基本不等式的实际应用
解密
研考向
【例3】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促
要点
探究销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促
训练
则函数的解析式可化为y＝(t＋1)＋t＋1t2＋1＝2t＋2t ＋3.
山东
因为t>0，所以2t＋2t ≥2
金
2t×2t
＝4，当且仅当2t＝
2 t
，即t＝1，
太阳
书
也就是x＝2时取等号．
业
有
所以2t＋2t ＋3≥4＋3＝7，即函数f(x)的最小值为f(2)＝7.故选D.
限公
答案：D
司
菜单隐藏
10＋ xy＋1x6y ，因为x，y均为正数，所以由基本不等式得10＋ xy＋1x6y
山东金
≥10＋2 16＝18，
太阳
当且仅当x＝12，y＝3时等号成立．
书
业
答案：18
有
限
公
司
菜单隐藏
第六页，编辑于星期五：十五点八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干考点解密
研考向要点探究
悟典题能力提升
要点
探究
____________________[通关方略]____________________
悟典题
能力提升

2015届高考数学总复习第六章第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )精讲课件文

第六章
第四节基本不等式： (a，b∈R＋)
利用基本不等式比较数(或式)的大小
【例1】若a>b>1，P＝
ln ，试比较P，Q，R的大小．
，Q＝ (ln a ＋ln b)，R＝
自主解答：解析：∵a>b>1，∴ln a>ln b>0，
点评：如果两个数(式)的关系符合基本不等式的结构形式，
则可以用基本不等式比较大小，如果两个数(式)的关系通过变形可以变成基本不等式的结构形式，则可以用基本不等
和．
(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝因此C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× (2)由(1)知f(x)＝＋6x(0≤x≤10)，－10＝80－10＝70，
C．9
B．3
D．不存在
(2)(2012· 佛山一中期中)下列结论正确的是(
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋ B．当x＞0时， C．当x≥2时，x＋ ≥2 的最小值为2 无最大值 ≥2
)
D．当0＜x≤2时，x－
思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出m，n的
关系m＋n＝3，将所找的关系与
则t∈(0,1]，y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取最小值5，∴③错误．故选B. 答案：B
点评：利用基本不等式判断一个不等式的正误，主要看该
不等式是否满足基本不等式成立的条件．
变式探究

历年高三数学高考考点之基本不等式必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<基本不等式>必会题型及答案体验高考1．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时，∵f (x )在[12，2]上单调递减， ∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 据题意得，当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， ∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.当m ＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18， ∵2n ·m ≤2n ＋m 2≤9， ∴mn ≤812，由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去．要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8)．∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.3．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案 8解析在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1. ∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C .则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ，∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22，∴tan A tan B tan C ≥8.5．(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析由已知，ab ＝1，且a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋bx －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x >a )．(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________．答案 509解析由1a ＋2b ＝3，得b ＋2a ＝3ab ， ∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2，又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)， ∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值．解设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)，∴y ＝t －12＋7t －1＋10t＝t ＋4t＋5≥2 t ·4t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.点评求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20，(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10 10－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B 解析平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x ＝800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120 S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．答案 92 解析圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5，由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1,2)，∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)，故ab 的最大值为92. (2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． ①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 ①当0＜x ＜80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)． ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －2500＜x ＜80，1 200－x ＋10 000x x ≥80.②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( ) A ．有最大值e B ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6答案 C解析方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x5y ＋12y5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋2 3625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1B ．6C ．9D ．16 答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴最小值为6.故选B.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案 B解析因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立．因为3b a ＋3a b ≥23b a ·3a b＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m ＞0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D解析由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m )(当且仅当y x ＝mx y时取等号) ∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4，故选D. 6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2答案 A解析圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)，因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c)＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c ＞0，所以4c b ＋b c ≥24cb ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析由已知得x ＝9－3y 1＋y.方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6 ≥2121＋y ·3y ＋1－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.方法二 ∵x ＞0，y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋cb ＋b a ＋c 的最小值为________．答案 52解析由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2ac b ＝2，令a ＋c b ＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52. 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)，又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)，综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.10．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x 恒成立，则m 的最大值为________．答案 9解析方法一 (函数法)由已知不等式可得 m ≤1x ＋41－x，设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x ，x ∈(0,1)．令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)，则函数f (x )可转化为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－t ＋4t＋5，因为t ∈(1,4)，所以5＞t ＋4t≥4， 0＜－(t ＋4t )＋5≤1，9－t ＋4t ＋5≥9，即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，因为x ∈(0,1)，则1－x ∈(0,1)，设y ＝1－x ∈(0,1)，显然x ＋y ＝1.故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4x ＋y y＝5＋(y x ＋4x y )≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立．所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9. 11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝13x 18，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解， ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。

2015高考数学(理)一轮复习配套课件6-4基本不等式

取等号)．
3 项必须注意——基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
答案：18
1 2. 若 a>b>0，则 a ＋的最小值为( ba－b
2
)
A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
1 1 2 解析：依题意得 a－b>0，所以 a ＋ ≥a ＋ ba－b b＋a－b 2 [ ] 2
[归纳拓展]
常用的几个重要不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． a＋b 2 (2)ab≤( 2 ) (a，b∈R)． a＋b 2 a2＋b2 (3)( )≤ (a，b∈R)． 2 2
b a (4) ＋ ≥2(a· b>0)． a b a＋b (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ a＋b 2 a2＋b2 2 (a>0，b>0)．
1 (3)已知 x，y>0，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值是 16
1 ，x ＋
1 y的最小值是
9
.
02突破3个热点考向
考向一利用基本不等式求最值例 1 值为( A. 9 C. 3 ) 9 B. 2 3 2 D. 2 (1)[2013· 重庆高考 ] 3－aa＋6 (－6≤a≤3)的最大
就是
a＋b 2 ab≤ 2 (a，b>0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式
等号成立的条件等．
2 个重要变形——基本不等式的变形 a＋b 2 a2＋b2 (1)ab≤( )≤ (当且仅当 a＝b 时取等号)，这个不等式链 2 2 用处很大． (2) a2＋b2 a＋b 2 2 ≥ 2 ≥ ab≥1 1(a>0，b>0，当且仅当 a＝b 时 a＋b

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ），∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ）＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

高考数学知识点基本不等式(附习题)

高考数学知识点:基本不等式(附习题)最近很多同学给老师留言说，分享关于高中数学知识点的习题，今天老师给同学们提供了高中数学知识点基础不等式的习题。

先看第一个知识点：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．接下来是关于高考的试题：(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4(2)(2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末)已知a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋4b的最小值是________．(3)(2015·高考重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．规律方法：利用基本不等式求最值需满足的三个条件(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．角度一知和求积的最值设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )A．80 B．77C．81 D．82角度二知积求和的最值设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12角度三求参数的值或范围(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12 B.32 C ．1 D ．2利用不等式解决实际问题，这个是同学关心的问题，下面继续给大家分享某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？这道题两个方面进行解答，在解答过程中有什么不懂，都可以留言老师。

2015届高考数学(文)一轮复习备选练习6-4《基本不等式》(人教A版)word版含详析

[B 组因材施教·备选练习]1．(2013年高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0B.98 C ．2 D.94解析：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)， ∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2 x y ·4y x－3＝1. 当且仅当x y ＝4y x，即x ＝2y 时“＝”成立，此时 z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2.∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2.答案：C2．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n >0)，则1m ＋1n的最小值为( ) A ．16B ．12C ．9D ．8解析：令x ＋3＝1，得x ＝－2，此时y ＝－1，所以函数图象过定点A (－2，－1)，点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥ 4＋24＝8，当且仅当n m ＝4m n ，即n ＝2m 时取等号，此时m ＝14，n ＝12，选D. 答案：D3．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y >M 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数M 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)解析：因为(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要M <4即可，正确选项为D.答案：D。

高中数学基本不等式练习题(含答案)

基本不等式【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是．【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是，yx y x 2422++的最小值是．【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______.【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______.【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是．【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是．【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为．【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x的取值范围是_______. 【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 .【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为，xy y x ++224 的最小值为．【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______．【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b+++的最大值是 . 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________.【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______.【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是；221ab a +的最大值是 .【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是（） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 .【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a+的取值范围是．【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为．【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 .【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是．【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________.【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________.【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______.【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______. 【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（） A. 47 B. 2233 C. 2 D.32【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______. 【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________.【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22b a ba +-的最大值为___________.【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( )A ．1B ．6C ．9D ．16【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为．【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa，则ba 32+的取值范围为__________________．【习题50】设+∈Rb a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 .基本不等式（答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是，yx y x 2422++的最小值是．【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 .【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是．【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是．【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________ 【答案】8【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为．【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 . 【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为，xy y x ++224 的最小值为．【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 . 【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______．【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______. 【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是；221ab a +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是（） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a+的取值范围是．【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________.【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 .【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是．【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51 【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________．【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x 【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______. 【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________.【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________.【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______. 【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（） A. 47 B. 2233 C. 2 D.32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______. 【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________. 【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22ba ba +-的最大值为___________. 【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯babbaa，则ba32+的取值范围为__________________．【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是【答案】24。

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ ) 文 (2)

第四节基本不等式：ab≤a＋b2(a，b∈R＋)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理一、算术平均数与几何平均数的概念若a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数是a ＋b2，几何平均数是ab .二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a ∈R ，则a 2≥0，||a ≥0(当且仅当a ＝0时取等号)． 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．若a ，b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)． 4．若a ，b ∈R ＋，则a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．变式： ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ＋)．四、最值定理设x >0，y >0，由x ＋y ≥2xy ，有：(1)若积xy ＝P (定值)，则和x ＋y 最小值为2P . (2)若和x ＋y ＝S (定值)，则积xy 最大值为⎝⎛⎭⎫S 22. 即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”．五、比较法的两种形式一是作差，二是作商．基础自测1．(2012·深圳松岗中学模拟)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝n 处有最小值，则n ＝( )A ．1＋2B ．1＋ 3C ．4D ．3解析：f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x －2＝1，x ＝3时，f (x )有最小值．故选D.答案：D2．(2013·广州二模)已知0＜a ＜1，0＜x ≤y ＜1，且log a x ·log a y ＝1，那么xy 的取值范围为( )A ．(0，a 2]B ．(0，a ]C ．(0，1a ]D ．(01a2]解析：因为0＜a ＜1,0＜x ≤y ＜1，所以log a x ＞0，log a y ＞0，所以log a x ＋log a y ＝log a (xy )≥2log a x ·log a y ＝2，当且仅当log a x ＝log ay ＝1时取等号．所以0＜xy ≤a 2.故选A.答案：A3．(2012·合肥重点中学联考)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b >0)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y＋1＝0的周长，则1a ＋1b的最小值是________．答案：44．当x >2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ＋1x －2≥a 恒成立，所以a 必须小于或等于x ＋1x －2的最小值．因为x >2，所以x －2>0.所以x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4.所以a ≤4. 答案：(－∞，4]1．(2013·福建卷)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：因为1＝2x ＋2y ≥22x ×2y ，即2x ＋y ≤2－2，又因为2x ＋y 是增函数，所以x ＋y ≤－2，当且仅当2x ＝2y ，即x ＝y 时取等号．答案：D2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x＝800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8(x ＞0)，即x ＝80时，取得最小值．故选B.答案：B1．(2012·高州三中模拟)已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．5解析：1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ，ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，表达式取得最小值为4.故选C.答案：C2．(2013·东莞二模)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则2x ＋3y 的最小值为________．解析：由题意可得，2x ＋3y ＝(2x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝3y x ＋18x y＋29≥23y x ·18xy＋29＝29＋66，当且仅当3y x ＝18x y ，结合1x ＋9y ＝1，解得x ＝2＋362，y ＝6＋9时取等号，故2x ＋3y 的最小值为29＋6 6.答案：29＋6 6。

基本不等式练习题带答案

• a. 假设 a > b，则 ab > b^2（反面结论）； • b. 根据已知条件，推导出 ab - b^2 = b(a - b) < 0（矛盾）； • c. 否定反面结论，得出 a ≤ b，从而证明原命题成立。
06
基本不等式的扩展知识
基本不等式的推广形式
单击此处添加标题
平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，用于解决最优化问题、估计值域和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式等。
基本不等式的证明方法：可以通过代数、几何和概率统计等方法证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab

6-4第四节基本不等式(2015年高考总复习)

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第四节
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1 1 变式思考 2 (1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最 x y 小值为__________． 2x (2)当x＞0时，f(x)＝ 2 的最大值为__________． x ＋1
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பைடு நூலகம்
题型一【例1】＋b＋c＝1.
利用基本不等式证明不等式
(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a
1 证明：(1)ab＋bc＋ac≤3； a2 b2 c2 (2) ＋＋ ≥1. b c a 【思维启迪】
答案 B
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5 1 3．若x＞，则f(x)＝4x＋的最小值为( 4 4x－5 A．－3 C．5 B．2 D．7
)
1 1 解析 f(x)＝4x＋＝4x－5＋＋5. 4x－5 4x－5 5 1 ∵x＞，∴4x－5＞0，∴4x－5＋ ≥2. 4 4x－5 3 故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝ . 2
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备考这样做 1.注意基本不等式求最值时的条件． 2.在复习时注意对式子的灵活变形． 3.注意分类讨论思想及与函数思想的综合应用.
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基本不等式练习题(带答案)

基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。

$a^2+1>a$B。

$\frac{1}{2}<a<1$C。

$a^2+9>6a$D。

$\log_{a+1}。

\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。

$1$B。

$2$C。

$a^2+b^2$D。

$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。

$3$B。

$\frac{3}{2}$C。

$\frac{3}{4}$D。

$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。

$10$B。

$6\sqrt{3}$C。

$4\sqrt{10}$D。

$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。

最小值 $\frac{1}{36}$B。

最大值 $\frac{1}{36}$C。

最小值 $\frac{16}{9}$D。

最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。

$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。

$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。

$xy\ge 2$D。

$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。

基本不等式练习题及答案

基本不等式练习题及答案1.函数y＝x＋x/(x>0)的值域是什么？正确答案：B．(0，＋∞)解析：当x>0时，x/x=1，所以函数可以简化为y=2x。

因为x>0，所以函数的值域为(0，＋∞)。

2.下列不等式中正确的个数是多少？正确答案：C．1解析：只有第一组不等式a^2+1>2a成立，其他两个不等式都不成立。

3.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为多少？正确答案：B．1解析：将a＋2b－2＝0变形得到2b=2－a，所以b=1－a/2.因为a>0，所以1－a/2<1，所以b<1.所以ab的最大值为a(1－a/2)=a－a^2/2，当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)＝x＋1/(x－2)在x＝a处取最小值，则a等于多少？正确答案：C．3解析：f(x)可以写成x+1/(x－2)=x－2+3+1/(x－2)，所以f(x)的最小值在x=3时取得，此时f(3)=3+1=4.5.已知t＞0，则函数y＝(t^2－4t＋1)/t的最小值为多少？正确答案：1解析：将分子t^2－4t＋1写成(t－2)^2－3，所以y=(t－2)^2/t－3/t。

因为t>0，所以y的最小值为3/t－(t－2)^2/t，当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房，地面面积为12平方米，房子侧面的长度x不得超过5米。

房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，墙高为3米，不计房屋背面的费用。

求侧面的长度为多少时，总造价最低。

去年，XXX年产量为10万件，每件产品的销售价格为100元，固定成本为80元。

今年起，工厂投入100万元科技成本，每年递增100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。

每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变，求第n次投入后的年利润f(n)。

6-4第四节 基本不等式练习题(2015年高考总复习)

基本不等式习题及答案

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